Kipriyanov-Katrakhov singular pseudodifferential operators

Full Text

Введение j-функцией Бесселя (Клиффорда) будем называть функцию jν (t) = 2ν Γ(ν + 1) Jν (t) ∞ Γ(ν +1) ( t \2k = , ν = γ - 1 , γ > 0. tν k=0 (-1)k Γ(k + ν + 1) 2 2 image © Л. Н. Ляхов, Ю. Н. Булатов, С. А. Рощупкин, 2025 image This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 253 254 Л. Н. ЛЯХОВ, Ю. Н. БУЛАТОВ, С. А. РОЩУПКИН Эта функция является одним из линейно независимых решений сингулярного уравнения Бесселя (см. [6]): ∂2 γ ∂ image image Bγu + u = 0, Bγ = ∂t2 + t + image , γ > 0. ∂t Пусть x = (x∗, xn) = (x1,... , xn-1, xn) ∈ Rn, Rn = {x : xn > 0}. Смешанные прямое и обратное преобразования Фурье-Бесселя определяются выражениями r FB [f ](ξ) = R + n n e-i(x1 ,ξ1) jν (xnξn) f (x) xγ dx, где r F -1 B [f ](ξ) = C(ν) R + n e-i(x1 ,ξ1) n jν (xnξn) f (x) xγ dx, γ - 1 1 1 ν = , C(ν) = 2 (2π)n-122ν Γ2(ν + 1) = (2π)n-12γ-1Γ2 γ- 2 image 1 = Cγ. Изучение сингулярных псевдодифференциальных операторов на основе смешанного преобразования Фурье-Бесселя было инициировано И. А. Киприяновым в 1974 году. Формально этот класс псевдодифференциальных операторов построен в [5] по символу a(x, ξ) следующим представлением: A(x, D) = F -1 l a(x, ξ)FB [u](ξ) r (x) = Cγ r e-i(x1-y1 , ξ1) Tyn jγ 1 (xnξn) a(x, ξ) u(y) yγ dy ξγ dξ. B R+ R+ xn - n n 2 n n xn Это выражение будем называть сингулярным j-псевдодифференциальным оператором Киприянова. Также будем использовать сокращение - j-ПДО. Здесь Tyn - обобщенный сдвиг Пуассона1 ( ν+1 ) π Tyn xn f (x∗, xn) = Γ Γ image ( 1 ) image 2 2 r Γ ( ν ) image 2 0 f x∗, ;xn2 + yn2 · 2xnyn cos α sin2ν α dα. (1.1) В [6] для j-функции Бесселя доказана следующая теорема сложения: ξ jν (ξ) jν (t) = T t jν (ξ), ξ где оператор T t определен формулой (1.1). Поскольку в образах Фурье-Бесселя имеет место B 1 I 2 Bγ,xn u(x∗, xn) = F - -ξ FB [u](x∗, ξn)l (x), то введенный Киприяновым класс j-ПДО приспособлен для исследования дифференциальных d2 γ d image image n уравнений, содержащих сингулярный дифференциальный оператор Бесселя Bγ,xn = dx2 + x dx , γ > 0. B Из представления j-функции Бесселя видим, что эта функция четная, поэтому прямое и обратное j-преобразования Бесселя - четные функции. Далее преобразования FB и F -1 будем называть четными преобразованиями Фурье-Бесселя. n Через Sev = Sev (R+) обозначим подпространство пространства основных функций Л. Шварца, состоящее из четных по переменной xn функций. Теория j-ПДО и применение этой теории к построению регуляризаторов граничных задач для B-эллиптических уравнений было развито Л. Н. Ляховым в его кандидатской диссертации [7]. image 1 Впервые название «обобщенный сдвиг» для представленного ниже интегрального оператора появилось в работах Ж. Дельсарта и А. Ванштейна, поэтому часто называется сдвигом Ванштейна-Дельсарта. В работе [6] «обобщенный сдвиг» применен для определения решения задачи Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу, которое названо формулой Пуассона. СИНГУЛЯРНЫЕ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ КИПРИЯНОВА-КАТРАХОВА 255 Однако было выяснено, что используемое «четное» преобразование Фурье-Бесселя не дает возможности построить алгебру таких операторов, как это сделано для классических псевдодифференциальных операторов, построенных на основе преобразования Фурье. Например, применение оператора Бесселя к произведению функций определено формулой xn v , xn Bxn (u v) = Bxn u v + u Bxn v +2 u∗ ∗ в которой производные первого порядка по xn оказываются нечетными функциями и не могут быть определены в рамках четного j-преобразования Бесселя. Поэтому регуляризаторы граничных задач построены для сингулярных дифференциальных уравнений главного типа, т. е. для линейных дифференциальных уравнений, в которых каждое слагаемое представлено дифференциальным оператором фиксированного порядка m. Было установлено, что невозможно в рамках четного j-преобразования Бесселя построить алгебру таких сингулярных j-ПДО истинного порядка -∞. Эта «неадекватность» введенных четных j-ПДО исправлена в работе И. А. Киприянова и В. В. Катрахова [4] введением «нечетного» j-преобразования Бесселя, называемого сейчас интегральным преобразованием Фурье-Бесселя-Киприянова-Катрахова. Ядром служила «четная+нечетная» функция t ± kν (t) = jν (t) ± i 2(ν + 1) jν+1(t), ν = γ - 1 , γ > 0. 2 Введенное преобразование позволило исследовать решения уравнений, содержащих сингулярные дифференциальные операторы нечетного порядка вида ∂ (DB )2m+1 Bm n xn = ∂x γ,xn . Алгебра многомерных сингулярных псевдодифференциальных операторов, где преобразование Фурье-Бесселя-Киприянова-Катрахова применялось только по одной переменной, построена В. В. Катраховым и Л. Н. Ляховым уже в 2011 году в работе [2]. Для многих весовых переменных теория j-ПДО Киприянова-Катрахова построена в совместных работах Л. Н. Ляхова и С. А. Рощупкина [10, 14, 18]. 1. Об операторах Бесселя с отрицательным параметром Исследовать уравнения, содержащие оператор Бесселя с отрицательным параметром, было предложено И. А. Киприяновым в 1980-х гг. на одном из научных семинаров в ВГУ. Такого рода исследования начаты были В. В. Катраховым, но публикаций по этой теме не было. В. В. Катрахов в начале 2000-х годов отметил, что требуется новый математический аппарат и продолжение исследований на эту тему оставлено «на потом». Этот математический аппарат возник в работах [8, 9, 11-13] для ΔB -операторов Киприянова (название из работы [11]) n = B ΔB -γ ∂2 γi image image i -γ - ∂ , -γ = (-γ1,... , -γn), -γi ∈ (-1, 0). (2.1) -γ i=1 i , B i = ∂x2 xi ∂xi -γ Представление оператора ΔB в виде оператора Бельтрами на сфере позволяет считать сингулярный оператор Бесселя в качестве среднего между операторами Лапласа в Rn и оператором Лапласа в Rn+1 (это замечено в [20], доказано в [12]). Отсюда повышенный интерес к исследованию сингулярных дифференциальных уравнений, инициированных И. А. Киприяновым еще в 1980 году. Но принципиальной особенностью новых исследований оказалась теорема сложения функций Бесселя, удовлетворяющих сингулярному дифференциальному уравнению Бесселя с отрицательным параметром. Эта теорема сложения представлена через посредство интегрального оператора, который не является «оператором обобщенного сдвига» Б. М. Левитана, но при этом коммутирует -γ с ΔB -оператором Киприянова (2.1). Сингулярное дифференциальное уравнение Бесселя B-γ u(x)+ u(x) = 0, -1 < -γ < 0 256 Л. Н. ЛЯХОВ, Ю. Н. БУЛАТОВ, С. А. РОЩУПКИН имеет следующий набор линейно независимых решений: ∞ u1 = J-μ(t) = m=0 image (-1)mΓ (1 - μ) m! Γ (m +1 - μ) ( t \2m 2 = Γ(1 - μ) 2-μ μ 2μ t J-μ(t) = t j-μ, (2.2) ∞ u2 = Jμ(t) = m=0 image (-1)m Γ(1 + μ) m! Γ(m +1+ μ) t2(m+μ) image 22m = Γ(1 + μ) 2μ tμ Jμ(t) = t2μjμ. (2.3) где J∓μ - функции Бесселя первого рода и j∓μ - j-функции Бесселя. Можно заметить, что J-функции Бесселя удовлетворяют условиям lim x-2μ Jμ(x) = 1, J (0) = 1. x→0 -μ Из (2.3) видна связь функций jμ и Jμ положительного индекса, откуда аналогично теореме сложения Б. М. Левитана (для j-функций Бесселя) вытекает теорема сложения для J-функций Бесселя: x Jμ(x) Jμ(y) = Ty Jμ(x). Оператор обобщенного T-псевдосдвига имеет следующий вид: π y r α Γ image T γ+3 2 (x y)γ+1 γ+1 xf (x) = f x → y image image 1 γ+2 α (sin α) γ+1 dα, (2.4) 0 Γ ( 2 ) Γ 2 (xi → y ) → где (x α image y ) = ;x2 + y2 - 2xy cos α. Принципиально важно отметить, что T-псевдосдвиг не x принадлежит классу обобщенных сдвигов Левитана (т. к. T0f (x) /= f (x), Ty 1 /= 1). Решение (2.2) более востребовано в спектральной теории сингулярных дифференциальных уравнений, что продемонстрировано в работах [15, 16]. Для построения теории соответствующих сингулярных псевдодифференциальных операторов подходит только Jμ-функция Бесселя (2.3), γ +1 которая имеет положительный порядок μ = image , γ > 0. 2 1 В [8] доказана обратимость на четных функциях (x2)-γ/2 f (x) ∈ L2(R+) следующих интегральных преобразований: r FB -γ [f ](ξ) = f (ξ) = Jμ(ξ y) f (y) y-γ dy, (2.5) FB γ ( )-1 [f ](x) = f (x) = C(μ) r - R + 1 Jμ(ξ x) f (ξ) ξ-γ dξ, C(μ) = 1 image 22μ Γ2(μ+1) , μ = γ +1 image , (2.6) 2 R + 1 которые в этой работе названы соответственно прямым и обратным J-преобразованиями Бесселя. Многомерное J-преобразование Бесселя имеет своим ядром произведение Jμ-функций Бесселя: n Jμ(x) = n Jμ (xi), x = (x1,... , xn) ∈ R+, i n i=1 где μ = (μ1,... , μn) - мультииндекс, каждая координата которого связана с параметром -γi γi +1 сингулярного дифференциального оператора Бесселя B-γi равенством μi = 2 , γi ∈ (0, 1), 1 μi ∈ image , 1 , i = 1, n. 2 Функцию, определенную на полуоси xn > 0, будем называть четной по Киприянову, если возможно ее четное продолжение на отрицательную полуось с сохранением класса своей принадлежности. Введем весовую билинейную форму следующего вида: r (u, v)-γ = R + n u(x) v(x) x-γ dx, x-γ = n i i x-γi , -γi ∈ (-1, 0). (2.7) СИНГУЛЯРНЫЕ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ КИПРИЯНОВА-КАТРАХОВА 257 - ev,-γ n Класс основных функций обозначим символом Sev, γ = S (R+). В этот класс входят два множества функций. К первому из них относятся функции из Sev(R+) такие, что x-γ ϕ ∈ Sev (R+). n n Ко второму множеству отнесем производные первого порядка от этих функций. Ясно, что n ∀ϕ ∈ Sev =⇒ ϕ(x)+ ai i=1 ∂ϕ(x) image ∂xi + ∈ Sev,-γ (Rn ) (ai ∈ R1). Топология в Sev,-γ определяется системой норм | u |N = sup (1 + x)k Dα ) u(x , B-γ image n где верхняя грань берется по всем x ∈ R+ и всем k и α таким, что k + α :( N. Пространство, двойственное к Sev,-γ в смысле билинейной формы (2.7), будем называть расev, γ пределениями Киприянова и обозначать S∗ - приянова понимаются в следующем смысле: B . Обобщенные Dα -производные распределений Ки- (Dα u, ϕ(x)) = (-1)|α| (u, Dα ϕ(x)) . B -γ B -γ Ясно, что регулярными распределениями Киприянова могут быть как четные, так и нечетные (в смысле Киприянова) функции. 1. Теорема сложения Б. М. Левитана для ядер многомерного J-преобразования Бесселя. Из теоремы сложения для J-функций Бесселя (одного переменного) вытекает теорема сложения для ядер многомерного J-преобразования Бесселя: x Jμ(x) Jμ(y) = Ty Jμ(x). Здесь оператор обобщенного T-псевдосдвига имеет следующий вид: π π r r α Ty Γ n γi +3 n 2 (xi yi)γi +1 γi +1 xf (x, t) = ... image f x → y, t i 1 γ +2 α (sin αi) i γ +1 dαi, (2.8) image image 0 0 i=1 Γ ( 2 ) Γ 2 (xi → yi ) i где (x α y ) = (... , xi α yi,.. .) = (... , I x2 + y2 - 2xi yi cos αi,.. .). → → i i Отметим, что далее будет указан только верхний индекс в левой части равенства (2.8), если переменная нижнего индекса полностью совпадает с аргументом функции. Весовая билинейная форма (2.7) порождает весовое функциональное пространство 2 = {u : ⊗u⊗L-γ = L-γ 2 image I (u, u)-γ < ∞}. Приведем необходимые нам свойства T-псевдосдвига (доказательства приведены в [8]). 2 Свойство 1. Эрмитовость T-псевдосдвига в L-γ : если f и g - функции, суммируемые с весом x-γ, то γ (Ty f, g) - γ = (f, Ty g) . - -γ Свойство 2. Коммутируемость с оператором ΔB : если u(x) - суммируемая с весом x-γ, дважды непрерывно дифференцируемая и четная по Киприянову функция, то T ΔB y -γ, x -γ, x u(x) = ΔB -γ, y Tyu(x) = ΔB Tyu(x). Свойство 3. Переместительность и ассоциативность T-псевдосдвига: если функция f представлена равномерно сходящимся рядом Фурье по J-функциям Бесселя, то Ty z z y z y z y xTxf (x) = TxTxf (x), Ty Txf (x) = TxTxf (x). 258 Л. Н. ЛЯХОВ, Ю. Н. БУЛАТОВ, С. А. РОЩУПКИН 2. Рекуррентное соотношение для производных J-функций Бесселя. Лемма 2.1. Пусть 2μi=γi+1, -γi∈(-1, 0). Имеют место следующие формулы: image ∂Jμi (xi) = 2μ ∂xi i xi Jμi -1 (xi), ∇Jμ(x) = 2 (μ1 x1 Jμ1 -1(x1),... , μn xn Jμn -1(xn)) . Доказательство приведено в [1]. Следствие 2.1. ∂Jμi (xiξi) = 2μ ξ2 x J (x ξ ). image ∂xi i i i μi -1 i i Доказательство с очевидностью вытекает из леммы 2.1. 2. Четное, нечетное и полное J-преобразования Бесселя Формула Ханкеля представления L2-функций, примененная к функции n u(x)x-γ ∈ L2(Rn), где x-γ = n |xi|-γi , i=1 приводит к равенству r u(x) = Cμ r Jμ(xξ) ξ-γ Jμ(yξ) f (y) y-γ dy dξ, Rn Rn которое будем называть интегралом Фурье-Бесселя-Киприянова1. Из него вытекают определения (2.5) и (2.6) в одномерном случае. В общем случае: четным прямым и четным обратным J-преобразованиями Бесселя будем называть выражения F(ev) r -γ B-γ [f ](ξ) = f (ξ) = Rn Jμ(ξ y) f (y) y dy, F(ev) B-γ -1 [f ](ξ) = C(μ) r Rn image μ 2μ 2 J (ξ x) f (ξ) ξ-γ dξ, C(μ) = 1 2 Γ (μ+1) γ +1 image , μ = . 2 Следуя [4] и следствию 2.1, введем нечетное J-преобразование Бесселя, основанное на функции 1 ∂Jμi (xiξi) = 2μ ξ x J (x ξ ), которое имеет вид image ξi ∂xi i i i n μi -1 i i F(od) 1 r n 1 ∂Jμi (xiξi) -γi image image B-γ [f ](ξ) = 2 Rn f (x) i ξ i=1 ∂xi xi dxi, - где x = (xi, xi), xi = (x1,... , xi 1, xi+1 ,... , xn). Несобственный интеграл здесь, как обычно, понимается в смысле главного значения по Коши. B γ Как видим, ядро этого преобразования нечетно, поэтому для четных функций F(od) [f ](ξ) = 0. - - n Лемма 3.1. Пусть f ∈ Sev, γ (R+). Тогда ∂f F(od) l (ξ) = ξi F(ev) [f ](ξ) = ξi f (ξ), B-γ ∂xi B-γ где f (ξ) - четное J-преобразование Бесселя. image 2 1 Для j-функций Бесселя аналогичное представление функций Lγ , γ > 0, называется интегралом Фурье- Бесселя, см. [3]. СИНГУЛЯРНЫЕ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ КИПРИЯНОВА-КАТРАХОВА 259 B γ Из леммы 3.1 видно, что преобразование F(od) - производной четной функции свелось к преоб- B γ разованию F(ev) . Поэтому удобно ввести одно преобразование со смешанным ядром - n Λμ(xξ) = Jμ(xξ) - ψ Jμ-1(xξ), ψ = 2 n i=1 μi xi ξi. При этом, полагая f (x) = f (x)+f (-x) + 2 f (x) - f (-x) 2 = fev(x)+ fod(x), получим 1 r Kμ[f ](ξ) = 2 Rn f (x) Λ(xξ) x-γ B γ dx = F(ev) - B γ [fev](ξ)+ F(od) - [fod](ξ), где первое слагаемое представляет собой четное J-преобразование Бесселя, а второе - нечетное J-преобразование Бесселя. Приведем основные формулы J-преобразования Бесселя. Доказательства равенств 1) и 2) см. в [1], а равенства 3) и 4) доказаны в статье [8]. Теорема 3.1. Пусть ϕ, ψ ∈ Sev. Тогда 1. r R + n x) ψ(x) x-γ dx = r ϕ( ϕ(x) ψ (x) x-γ dx (равенство Парсеваля); R + n 2. r R + n image image x) ψ(x) x-γ dx = Cμ r ϕ( ϕ(x) ψ (x) x-γ dx (равенство Планшереля); R + n B-γ -γ 3) F(ev) (ϕ ∗ ψ) (ξ) = ϕ (ξ) ψ (ξ); 4) F(ev) B-γ [ ϕ ψ ] (ξ) = Cμ ∗ ψ (ξ), где (ϕ ∗ ψ)-γ = r Tyϕ(x) ψ(y) y-γ dy. ϕ R -γ + n Замечание 3.1. Легко видеть, что утверждения теоремы 3.1 справедливы для полного K-преобразования Бесселя. Пусть αi ∈ Z+. Введем сингулярный дифференциальный оператор ⎧ Bαi/2, если αi = 2k Dαi ⎨ -γi , k = 0, 1, 2,... B-γi x = ∂ Bαi/2, если α = 2k +1 image ⎩ ∂xi -γi i Заметим, что этот оператор ограниченно действует на четную по Киприянову по аргументу xi функцию u ∈ C2, поскольку lim B±γi u(xi,x ) = (1 ± γi) u(xi,x ) x < ∞. i xi→0 i i=0 Теорема 3.2 (о символе Dαi -оператора). Пусть μi = + γi +1 , -γi ∈ (-1, 0). Для f ∈ Sev (R ) имеет место формула B-γi 2 n ( (-ξ2)k f (ξ), если α = 2k - четное Kμ[Dαi f ](ξ) = i , k = 0, 1, 2,... B-γi (-ξ2)k ξi f (ξ), если α = 2k +1 - нечетное i Доказательство достаточно просто вытекает из определения J-преобразования Бесселя и опре- B деления Dαi -γi оператора (см. [1, 19]). 1. Представление линейного сингулярного дифференциального оператора в рамках J-преобразования Бесселя. Рассмотрим линейный сингулярный дифференциальный оператор L Dα = aα(x) Dα , B-γ |α|:(m B-γ B где Dα -γ B = Dα1 -γ1 B ... Dαn -γn , α = (α1,... , αn), |α| = α1 + ... + αn. 260 Л. Н. ЛЯХОВ, Ю. Н. БУЛАТОВ, С. А. РОЩУПКИН ev ) = Пусть функция u - четная по Киприянову, u ∈ Cm. Тогда u(x F (ev) B-γ -1 [u](x). Следова- тельно, ⎡ L Dα u(x) = K-1 aα(x) ξα u(ξ) ⎤ (x), B-γ μ, ξ→x ⎣ ⎦ |α|:(m ξα = ξα1 ,... , ξαn , ξαi = i ( (-ξ2)k, если α = 2k - четное , k = 0, 1, 2,... 1 n i i (-ξ2)k ξi, если α = 2k +1 - нечетное B Действие оператора L(Dα -γ ) в рамках J-преобразования Бесселя имеет следующий вид: где функция L D α B-γ μ u(x) = K-1 B γ a(x, ξ) F(ev) - [u] , (3.1) a(x, ξ) = |α|:(m i aα(x) ξiαi , ξαi = i ( (-ξ2)k, если α = 2k - четное, i (-ξ2)k ξi, если α = 2k +1 - нечетное, (3.2) B - символ сингулярного дифференциального оператора L(Dα ). -γ B 2. Представление L(Dα -γ )-сопряженного оператора в рамках J-преобразования Бесселя. Рассмотрим весовую линейную форму (2.7) в виде (u, v)-γ = r u(x) v(x) x-γ Rn dx, x-γ = n i |xi|-γi , -γi ∈ (-1, 0). Упрощая, предположим, что u, v ∈ Sev(Rn). Тогда D α L B-γ r u, v = L -γ Rn D α B-γ v(x u(x) ) x-γ dx. B γ Исходя из J-преобразования Бесселя оператора L Dα - , получим Dα L B-γ u, v r = Cμ -γ r x-γ dx r ξ-γ dξ image x Ty Jμ(xξ) a(x, ξ) v(x) u(y) y-γ dy = r = Cμ Rn r u(y) y-γ dy Rn r ξ-γ dξ Rn image x Ty Jμ(xξ) a(x, ξ) v(x) x-γ dx. Rn Введём обозначение Rn Rn r r L Dα v(y) = Cμ x-γ dx Ty J (xξ) a(x, ξ) v(x) ξ-γ dξ. Тогда B-γ D L Rn u, v x μ Rn α = α B-γ D γ u, L -γ B-γ v . - Таким образом, оператор Dα L B-γ image с комплексно сопряженным символом a(x, ξ) оказывается B формально сопряжённым оператору L Dα . -γ Подобно (3.1) имеем следующую формальную запись действия сопряженного оператора L D α B-γ μ u(x) = K-1 F (ev) B-γ image a(x; ξ) u , (3.3) image где a(x; ξ) - символ оператора L (B-γ ), комплексно сопряженный символу (3.2). СИНГУЛЯРНЫЕ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ КИПРИЯНОВА-КАТРАХОВА 261 B 3. Пространства Соболева-Киприянова, ассоциированные с оператором Dα . -γ В этой работе вводится следующее пространство Соболева-Киприянова: для любого веществен- γ ного s через Hs - n (R+) обозначим пополнение множества Sev, -γ по норме n r ⊗u⊗H 2 s = -γ Rn | (1+ |ξ 2)s |Kμ[u](ξ)|2 ξ-γ dξ, ξ-γ = n i=1 |ξi|-γi , (3.4) где Kμ[u] - полное J-преобразование Бесселя. В рамках наших исследований нечетным по переменной ξi символом линейного сингулярного дифференциального оператора является производная четной по ξi функции a(x, ξ). В результате image первая производная интегрированием по частям окажется примененной к функции x-γi ∂Jμi (ξ x) . i ∂xi B γ При этом J-преобразование Бесселя с ядром Λμ превращается в F(ev) -преобразование четной - функции с ядром Jμi , что приводит к равенству x γi ∂ image i ∂xi ( x -γi i image ∂Jμi (ξ x)\ = B ∂xi -γi Jμi (ξ x) = i -ξ2 Jμi (ξ x). После таких действий операторы с «нечетным» символом окажутся операторами с «четным» B γ символом, и мы имеем дело с F(ev) - преобразованием, для которого соответствующие результаты приведены в работах [17, 19]. ev,-γ Пусть u ∈ S∗ . В рамках весовой билинейной формы (2.7) для любой функции ϕ ∈ Sev действие J-преобразования Бесселя принимает следующий вид: r (Kμu, ϕ)-γ = Rn u(ξ) Kμ[ϕ](ξ) ξ-γ r dξ = Rn B γ u(ξ) F(ev) - [ϕ](ξ) ξ-γ dξ. Если же регулярный функционал u представлен производной четной функции по координате xi своего аргумента, то xi (Kμu, ϕ∗ r )-γ = Rn u(ξ) ξi F (ev) B-γ [ϕ](x) ξ-γ dξ. γ Сказанное означает, что введенное нами пространство Hs - окажется пространством функций с конечной нормой 2 r ( 2)s u(ξ) 2 ξ-γ -γ ⊗u⊗Hs = Rn 1+ |ξ| | | dξ, (3.5) J где u - четное -преобразование Бесселя. Утверждение 3.1. Пусть u = u(x)∈Sev,-γ, -1 < -γi < 0. При целом неотрицательном s = m норма (3.4) эквивалентна норме 2 r ⊗u⊗Hm = Dα ) u(x 2 x-γ dx. (3.6) -γ R |α|:(s + n B-γ Доказательство. Из равенства Планшереля для J-преобразования Бесселя (см. теорему 3.1 и замечание 3.1) вытекает равенство I I I I I I I (DB )suI = ⊗Kμ[ψ]⊗ -γ , (3.7) где ψ = ), (DB )su. Но |α|:(s I I|α|:(s I L2 2 IL-γ I n I I α 2 ξ ⊗Kμ[ψ]⊗L-γ = I | | I i=1 I I . L I -γ 2 262 Л. Н. ЛЯХОВ, Ю. Н. БУЛАТОВ, С. А. РОЩУПКИН Теперь утверждение 3.1 для m ∈ N вытекает из практически очевидного неравенства n C-1(1 + |ξ| ) :( |ξ | . :( C(1 + |ξ| ) 2 s α 2 2 s i=1 image 2 При s = 0 норма (3.6) совпадает с L-γ -нормой функции Kμ[u], что вытекает из равенства (3.6). 3. Сингулярные J-псевдодифференциальные операторы Формулы (3.1) и (3.3) приводят к общим конструкциям операторов, включающих линейные B Dα сингулярные операторы типа L . -γ Поскольку норма, записанная в образах J-преобразования Бесселя, приведет к умножению на символ, представляющий многочлен порядка m, то для многочлена с ограниченными коэффициентами справедливо неравенство α:(m aα(x) ξ α :( |α|:(m α |aα(x)| (1 + |ξ|) . Определение 4.1. Через Ξm = Ξm (R+ × R+) будем обозначать класс бесконечно диффе- -γ -γ n n ренцируемых четных по Киприянову по каждой координате аргумента функций a(x, ξ), удовлетворяющих неравенству D αi Dβi ( 2) m-|β| 2 B-γi x B-γi a(x, ξ) ξ :( Cα,β 1+ |ξ| , -γ константа Cα,β не зависит от x и ξ. Класс функций Ξm будем называть пространством символов порядка m. Из определения 4.1 следует D αi p βi l Kμ,x→η 1+ DB-γi x B-γi a(x, ξ) = ξ = (1+ |η| p m-|β| 2) Dβi 1a(η, ξ) :( C α,β | (1+ |ξ 2) 2 , B-γi ξ a где 1 - обозначение J-преобразования Бесселя функции a(x, ξ) по первой переменной. Следовательно, для любого положительного числа p найдется такая константа C, что 2)-p ( 2) m 1a(η, ξ) :( Cα,β (1+ |η| 1+ |ξ| 2 , ( 2)-p ( m-|β| 2) Dβi 1a(η, ξ) :( Cα,β 1+ |η| image 1+ |ξ| 2 . B-γi ξ + Определение 4.2. Операторы, действующие на функцию u ∈ Sev,-γ (Rn ), по формулам r r A u(x) = Rn Rn r r A u(x) = Rn Rn x Ty Λμ(xξ) a(x, ξ) u(y) y-γ dy ξ-γ dξ, (4.1) x Ty Λ(xξ) a(y, ξ) u(y) y-γ dy ξ-γ dξ, (4.2) будем называть сингулярными J-псевдодифференциальными операторами Киприянова (J-ПДО). ev Приведем формулировки основных теорем сингулярных J-ПДО с символом из Ξm , доказательства которых даны в работах [1, 17]. ev Теорема 4.1. Сингулярные J-ПДО (4.1), (4.2) с символом a(x, ξ) ∈ Ξm является операторами порядка m, то есть ⊗A u⊗Hs-m :( C ⊗u⊗Hs . -γ -γ СИНГУЛЯРНЫЕ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ КИПРИЯНОВА-КАТРАХОВА 263 ev Теорема 4.2. Сингулярный J-ПДО (A - A) с символом a(x, ξ) ∈ Ξm является оператором порядка m - 1, т. е. ⊗(A - A) u⊗Hs-m+1 :( C ⊗u⊗Hs . -γ Лемма 4.1. Пусть A ∈ Ξm . Для любой функции u ∈ Hs -γ имеет место неравенство ev -γ 2 , -γ | (Au, u)-γ | = | (u, Au)-γ | :( const ⊗u⊗ m с константой, не зависящей от функции u. Пусть a1(x, ξ) ∈ Ξm1 , a2(x, ξ) ∈ Ξm2 , а A1 и A2 - соответствующие этим символам сингуev ev A1A2 и лярные J-ПДО. Утверждение, аналогичное теореме 4.1, справедливо для произведения сингулярного псевдодифференциального оператора с символом, равным произведению символов операторов A1 и A2. Этот оператор будем обозначать A1 ◦ A2. Теорема 4.3. Оператор [A1A2 - A1 ◦ A2] имеет порядок m1 + m2 - 1 в пространстве Hs + -γ (Rn ), т. е. ⊗ [A1A2 - A1 ◦ A2] u ⊗Hs-m1 -m2 +1 :( C⊗u⊗Hs .

About the authors

L. N. Lyakhov

Voronezh State University; Bunin Yelets State University

Author for correspondence.
Email: levnlya@mail.ru
Voronezh, Russia; Yelets, Russia; Lipetsk, Russia

Yu. N. Bulatov

Bunin Yelets State University

Email: y.bulatov@bk.ru
Yelets, Russia

S. A. Roschupkin

Bunin Yelets State University

Email: roshupkinsa@mail.ru
Yelets, Russia

References

Supplementary files