On a nonlinear spectral problem

Abstract

The problem of perturbation of the spectrum of a linear operator by a linear operator is solved thanks to the introduced concepts of holomorphic families of operators of type (A) and in the sense of Kato. The Rayleigh-Schr¨odinger series constructed in this case already converged in the usual sense, and not asymptotically. In this paper, conditions for holomorphy with respect to a small parameter of eigenpairs are found in the situation when a linear operator is perturbed by a nonlinear operator generated by a product in a Banach algebra.

Full Text

1. Введение Одним из вопросов, связанным с аналитическими аспектами теории возмущений, является вопрос зависимости от малого параметра собственных векторов и собственных значений операторов вида Lε = A + εB, когда оба оператора линейные и известен спектр оператора A. Такого рода задачи, как правило, решаются методом малого параметра (методом Пуанкаре), причем во многих случаях (см. [6, гл. XII, п. 3]) ряды, представляющие собственные векторы и собственные значения, сходятся асимптотически при ε → 0. Однако для квантовой механики собственные значения - это уровни энергии атомов, и желательно было, чтобы вышеупомянутые ряды (ряды Рэлея-Шрёдингера) сходились в обычном смысле. В рассматриваемом линейном случае это имело место, когда Lε представляло собой голоморфное семейство типа Като [2, гл. VII, § 2, п. 2]. Если DB ⊃ DA и оператор B подчинен оператору A [6, гл. XII, п. 2], то Lε является голоморфным семейством типа (A) и собственные пары спектральной задачи для Lε также голоморфным образом зависят от ε. Следует также указать на фундаментальный труд К. Фридрихса [10], в котором детально изучена проблема возмущения спектра оператора в линейном случае. 2. Постановка задачи о нелинейном возмущении спектра линейного оператора Пусть B - коммутативная банахова алгебра с единицей, оснащенная скалярным произведением (·, ·)s. Норму в B обозначим через 1· 1, а норму, порожденную скалярным произведением, image © В. И. Качалов, 2025 image This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 233 234 В. И. КАЧАЛОВ обозначим через 1· 1s. Рассмотрим в B спектральную задачу Au + εu · Hu = Λu, (1) с малым комплексным параметром ε, когда A и H являются замкнутыми неограниченными операторами с областями определения DA и DH соответственно. Условие (α). Оператор A обладает системой нормированных собственных векторов E = {e1, e2,... }, являющейся ортонормированной в введенном скалярном произведении. Соответствующие собственные значения обозначим через {λ1, λ2,... }. Условие (β). Обозначим через Em одномерное подпространство, натянутое на вектор em, и пусть B\Em - подпространство в B, причем em⊥B\Em в смысле введенного скалярного произведения, m = 1, 2,... Условие (γ). При каждом натуральном m оператор A-λmI, где I - тождественный оператор, непрерывно обратим в пространстве B\Em. Будем искать собственные векторы и собственные значения в виде рядов по степеням малого параметра: um(ε)= u0,m + εu1,m + ··· + εnun,m + ... , (2) Λm(ε)= λ0,m + ελ1,m + ··· + εnλn,m + ... (3) В соответствии с методом неопределенных коэффициентов, имеем серию задач: Au0,m = λ0,mu0,m, Au1,m + u0 · Hu0,m = λ0,mu1,m + λ1,mu0,m, ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... n-1 n (4) Aun,m + ), uk,m · Hun-k-1,m = ), λk,mun-k,m, k=0 k=0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Действуя так же, как и в линейной теории возмущений [6, гл. XII, п. 1], пользуясь условием (β), получим следующую серию равенств: λ0,m = λm, u0,m = em; λ1,m = (u0,m · Hu0,m, u0,m)s, (A - λmI)u1,m = -u0,m · Hu0,m + λ1,mu0,m; ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... λn,m = n-1 ), (uk,m · Hun-k-1,m, u0,m)s, k=0 (5) n-1 n (A - λmI)un,m = - ), uk,m · Hun-k-1,m + ), λk,mun-k ; k=0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... k=1 Из условия (γ) следует, что λm принадлежит резольвентному множеству оператора Am, яв- 1 ляющемуся сужением оператора A на пространство B\Em. Пусть RAm (λm) = (Am - λmI)- и 1RAm (λm)1 = rm. Для дальнейшего нам понадобится следующая лемма. n=0 Лемма 1. Пусть заданы две последовательности {pn}∞ n=0 и {qn}∞ рекуррентными формулами n-1 p0 = 1, pn = \ qkqn-k-1; k=0 n-1 n q0 = 1, qn = \ qkqn-k-1 + \ pkqn-k; n = 1, 2,... k=0 k=1 ОБ ОДНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ 235 Тогда функции q Sp(z)=1 + zS2(z), image 2 I 1 1 image (z + 18)√z 1 image Sq (z)= 3 image 1+ sin z image arcsin 3 image image (z + 3)√z +3 - 3 являются производящими для них. Доказательство. В соответствии с правилом Коши произведение рядов Sp(z) и Sq (z) удовлетворяет системе q ( Sp(z)=1 + zS2(z), q Sq (z)= Sp(z)+ S3(z), из которой следует уравнение для определения Sq(z): S3 2 q (z)+ zSq (z) - Sq (z)+1 = 0. Решая это уравнение, получим доказываемые формулы (см. также [9]). Лемма 1 доказана. image Таким образом, Sp(z)= 1 + z + 4z2 + 24z3 + 172z4 + 1360z5 + ... , Sq (z)=1 + 2z + 10z2 + 66z3 + 498z4 + 4066z5 + ... √ 5 5 - 11 Можно доказать, что оба ряда сходятся в круге |z| < формула коэффициентов ряда Sp(z): p =2 \ n n-1 (2n + m - 1)! m!(n - m - 1)!(n + m + 1)! 2 ≈ 0,09. В [10] приведена , n = 1, 2,... m=0 Обозначим через L(B) алгебру непрерывных в B операторов. Теорема 1. Если выполнены условия (α), (β), (γ), A-1 ∈ L(B) и DH ⊃ DA, то собственные векторы и собственные значения спектральной задачи (1) голоморфны в точке ε = 0. Доказательство. Рассмотрим оператор G = HA-1 : B → B. По теореме Банаха о замкнутом графике [7, гл. III, § 15, п. 4], G ∈ L(B), так как H - замкнутый оператор, A-1 ∈ L(B) и DH ⊃ DA. Пусть 1G1 = g. Также введем в рассмотрение операторы Tm = ARAm (λm), m = 1, 2,... , которые также являются ограниченными по теореме Банаха о замкнутом графике, и пусть 1Tm1B\Em = tm. Будем считать, не ограничивая общности, что 1A-11 =1 и 1= |λ1| ::: |λ2| ::: ... Из равенств (5) следует, что λ0,m = λm, u0,m = Rm; λ1,m = (u0,m · Hu0,m, u0,m)s, u1,m = RAm (λm)[-u0,m · Hu0,m + λ1,mu0,m]; ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... n-1 λn,m = \(uk,m · Hun-k-1,m, u0,m)s, k=0 (6) \ \ I n-1 n l un,m = RAm (λm) § uk,m · Hun-k-1,m + λk,mun-k ; k=0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... k=1 236 В. И. КАЧАЛОВ Пусть Aun,m = vn,m, n = 0, 1,... , m = 1, 2,... Запишем равенства для vn,m, используя ранее введенные операторы: λ0,m = λm, v0,m = Aem = λmem; λ1,m = (A-1u0,m · Gv0,m, A-1v0,m)s, v1,m = Tm[-A-1v0,m · Gv0,m + λ1,mA-1v0,m]; ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... n-1 λn,m = \(A-1vk,m · Gvn k=0 -k- 1,m, A-1v0,m)s, (7) \ I n-1 n l vn,m = Tm § A-1vk,m · Gvn k=0 -k- - 1,m + \ λk,mA-1vn k ; k=1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Докажем методом математической индукции, что 2n n m |λn,m| ::: pntn-1gn|λm| γ , (8) n n 2n+1 1vn,m1 ::: qntmg |λm| γ n, (9) с учетом того, что в банаховой алгебре 1uv1 ::: 1u1· 1v1 ∀u, v ∈B (см. [1, гл. XI, п. 1]) и (u, v)s ::: γ1u1· 1v1 для некоторого γ > 0 (см. [7, гл. I, § 6, п. 7]). При n = 1 неравенство (8) очевидно. Рассмотрим неравенство (9): 2 3 3 1v1,m1 ::: q1tmg|λm| γ + q1tmg|λm| γ ::: tmg|λm| γ, т. е. оно также выполняется. Пусть неравенства (8) и (9) верны при n = s. Докажем, что отсюда вытекает их справедливость при n = s + 1: |λs+1,m1 ::: γg \ qktk gk |λm| s γ 2k+1 k m k=0 § qs -kt s-k m gs-k λ γ 2s-2k+1 | | s-k = = gγ / s \ \ qkqs-k tmg |λm| γ = ps+1tmg |λm| γ ; s s 2s+2 s s s+1 2s+2 s+1 k=0 g \ qktk gk |λm| I s 1vs+1,m1 ::: tm γ 2k+1 k m § qs -kt s-k m λm γ 2s-2k+1 | | s-k + s+1 m g + \ pktk-1 k k=0 λ γ 2k k | m| - m § qs+1 kts+1-kg s+1-k | |λm 2s-2k+3γ l s-k+1 = k=1 / s \ = \ qkqs-k t g s+1 m s+1 λ γ 2s+1 | m| s+1 + /s+1 + \ pkqs+1-k k=0 \ t g s+1 m s+1 λ γ 2s+3 | m| s+1 ::: qs+1t s+1 gs+1 λ γ 2s+3 | m| s+1. k=1 Следовательно, неравенства (8), (9) верны при всех натуральных n. Из леммы 1 и оценок (8), (9) вытекает сходимость ряда (3) и ряда vm(ε)= v0,m + εv1,m + ··· + εnvn,m + ... Но тогда, ввиду ограниченности оператора A-1, сходится и ряд (2). Итак, ∞ \ εnun,m = um(ε), n=0 ∞ ∞ \ εnAun,m = A \ εnun,m = vm(ε), n=0 n=0 ОБ ОДНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ 237 что ввиду замкнутости оператора A означает, что um(ε) ∈ DA и vm(ε) = A(um(ε)). Вместе с тем фактом, что ряды (2), (3) обращают уравнение (1) в тождество, это доказывает, что image {um(ε), Λm(ε)} - собственная пара, голоморфная в точке ε = 0. Теорема 1 доказана. Пример 1. Пусть B - банахова алгебра вещественнозначных функций ∞ w(x)= \(an cos nx + bn sin nx) n=0 с нормой 1w1 = ),∞ (|an| + |bn|). Оснастим B скалярным произведением по формуле n=0 2π 1 r image (u, v)s = π 0 u(x)v(x)dx. (10) Ясно, что |(u, v)s | ::: γ1u1· 1v1 с γ = 2. Пусть в уравнении (1) A = -∂2, DA = {w ∈ B : ∂2w ∈ B, w(0) = = w(2π) = 0}, H = ∂x, x x DH = {w ∈B : ∂xw ∈ B, w(0) = 0}. Ясно, что DH ⊃ DA, em = sin mx, λm = m2, 1em1 = 1em1s = 1, Em = {μ sin mx, μ ∈ R}, Em⊥B\Em в смысле скалярного произведения (10). Итак, имеем спектральную задачу -∂2u + εu · ∂xu = Λu, u ∈ B, x u(0) = u(2π)= 0. (11) Если воспользоваться формулами (5), (6), то можно найти несколько первых членов рядов (2), (3) при m = 1, 2,... , представляющих решение спектральной задачи (11): o ε2 image image um(x, ε)= sin mx - 6m sin 2mx + 32m2 sin 3mx - ... ; Λm(ε)= m2 + image 1 ε2 + 12 1 image 384m2 ε4 + ... 3. Заключение Если DH ⊗⊃ DA, то возмущение оператора A является сингулярным [5, гл. I, § 1], [11], а ряд (2) не будет аналитическим образом зависеть от ε. В этом случае нужно будет искать условия псевдоголоморфности u(ε) (см. [3]). Примечательно, что задача построения рядов по степеням малого параметра, сходящихся в обычном смысле, систематически начала изучаться именно в теории сингулярных возмущений, в рамках метода регуляризации С. А. Ломова [4].