Weak solvability of a variational parabolic equation with a nonlocal-in-time condition on the solution

Full Text

1. Постановка задачи Пусть задана тройка вложенных сепарабельных гильбертовых пространств V ⊂ H ⊂ V ×, где пространство V × - двойственное к V, а пространство H отождествляется со своим двойственным H×. Оба вложения плотные и непрерывные. На u, v ∈ V определена полуторалинейная форма a(u, v). Пусть для всех u, v ∈ V выполнены оценки: 2 |a(u, v)| η u V v V , Re a(u, u) α u V , (1.1) где α > 0. Форма a(u, v) порождает линейный ограниченный оператор A : V → V × такой, что a(u, v) = (Au, v). Здесь под выражением типа (z, v) понимается значение функционала z ∈ V × на элементе v ∈ V. Для z ∈ H выражение (z, v) совпадает со скалярным произведением в H (см. [5, с. 58]). Из определения оператора A следует оценка A V →V I η. В пространстве V × на [0,T ] рассмотрим параболическую задачу: u×(t)+ Au(t)= f (t), T r image p(t)u×(t) dt = u. (1.2) 0 image © А. С. Бондарев, А. А. Петрова, О. М. Пировских, 2025 image This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 213 214 А. С. БОНДАРЕВ, А. А. ПЕТРОВА, О. М. ПИРОВСКИХ image В (1.2) на [0,T ] заданы функция t → f (t) ∈ V × и функция t → p(t) ∈ R1, а также элемент u. Производные функций в настоящей работе понимаются в обобщённом смысле. Отметим, что вопросы разрешимости параболических задач с нелокальными по времени условиями на решение - активно разрабатываемая в настоящее время область исследования многих авторов. В работе [9] для абстрактных дифференциальных уравнений с нелокальным по времени условием на решение наиболее общего вида получен критерий единственности в терминах собственных значений. Разрешимость периодической по времени задачи для параболического уравнения с переменным оператором A(t) изучалась в работе [1]. Вопросы слабой разрешимости абстрактного параболического уравнения с интегральными по времени условиями на решения рассматривались в работах [3, 6]. При доказательстве слабой разрешимости в настоящей работе, как и в работах [1, 3, 6], точная задача аппроксимируется приближённой задачей, использующейся в методе Галёркина, с последующим обоснованием слабого предельного перехода. При этом доказательство, приведенное в работе [6], здесь адаптировано для нелокального условия в (1.2). Так, получена равномерная оценка приближенного решения в начальной точке um(0) H , отличная от подобной в работе [6]. Кроме того, ослаблено условие на элемент u, что позволяет в приближённой задаче вместо проектора Ритца использовать оператор ортогонального проектирования. В априорной оценке приближенных решений оказывается необходимым оценить норму не только самого решения, но и его производной. Помимо этого, доказательство выполнения интегрального условия для слабого предела последовательности приближенных решений проводится аналогично работе [6], но с опорой на другие установленные факты. Некоторые требования на данные задачи (1.2) в сравнении с работой [6] усилены: так, большая гладкость необходима от правой части уравнения в (1.2), а также требуется компактность вложения V ⊂ H. 2. Основной результат image Теорема 2.1. Пусть в задаче (1.2) выполнены условия (1.1) и вложение V ⊂ H компактно. Пусть также функция f ∈ L2(0,T ; H), а функция p(t) является абсолютно непрерывной на [0,T ], невозрастающей и принимает положительные значения на [0,T ]. Предположим, что u ∈ V. Тогда существует единственная функция u(t), такая что u ∈ L2(0,T ; V ) ∩ C([0,T ],H), u× ∈ L2(0,T ; V ×), удовлетворяющая в (1.2) уравнению почти всюду на [0,T ] и интегральному условию. Кроме того, справедлива оценка T 2 r r 2 × 2 \ T J 2 r 2 max u(t) H + 0 t T 0 Доказательство. u(t) V + u (t) V I dt C u V + 0 f (t) H dt . (2.1) 1. Единственность решения задачи (1.2). В силу линейности задачи (1.2) достаточно установить, что однородная задача u×(t)+ Au(t)= 0, имеет только нулевое решение. T r p(t)u×(t) dt =0 (2.2) 0 Как показано в [4, с. 116], задача Коши для однородного параболического уравнения u×(t)+ Au(t)= 0, u(0) = u0 ∈ H имеет единственное решение в пространстве W (0,T )= {u | u ∈ L2(0,T ; V ), u× ∈ L2(0,T ; V ×)}, где T - произвольное конечное число. Таким образом, определено семейство линейных ограниченных операторов G(t) : H → H, такое что решение задачи (2.2) записывается в виде u(t) = G(t)u0. Функция t → G(t)u0 является непрерывным отображением [0, ∞) в H, и выполнены свойство G(0) = I и полугрупповое свойство G(t)G(s) = G(s)G(t) = G(t + s) для всех t, s 0. СЛАБАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ВАРИАЦИОННОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ 215 Далее в работе полугруппу G(t) будем обозначать e-At, тогда решение задачи (2.2) задается формулой u(t) = e-Atu(0), где элемент u(0) ∈ H. В работе [6] для полугруппы e-At получена оценка где λ> 0. e-At H → H e-λt, (2.3) Поскольку функции p(t) и t → u(t) ∈ V × абсолютно непрерывны на [0,T ], то, учитывая весовое интегральное условие, получим T T r r 0= p(t)u×(t) dt = p(T )u(T ) - p(0)u(0) - 0 0 p×(t)u(t) dt. (2.4) Запишем равенство (2.4) в терминах оператора e-At: T r I - e-AT r p(T ) \ u(0) + p(0) 1 p(0) 0 p×(t)e-Atdt u(0) = 0. Из последнего равенства, воспользовавшись результатами из [6], получим, что u(0) = 0, т. е. решение задачи (2.2) u(t) = e-Atu(0) = e-At0 = 0. Значит, задача (1.2) имеет не более одного решения. Перейдём к доказательству существования решения задачи (1.2). i=1 2. Приближённая задача. Пусть {ϕi}∞ - полная линейно независимая система элементов в пространстве V. Определим конечномерное подпространство Vm ⊂ V как линейную оболочку }i=1 элементов {ϕi m . На Vm можно рассматривать нормы пространств V, H и V ×. Определим на элементах um ∈ Vm двойственную норму um VmI = sup |(um, vm)|, где точная верхняя граница берётся по всем vm ∈ Vm таким, что vm V = 1. Через Pm обозначим ортогональный проектор в пространстве H на Vm. В [2] было замечено, что m оператор Pm допускает расширение по непрерывности до оператора Pm : V × → V × и справедлива image оценка Отметим также оценку [7] P mu VmI u V I (u ∈ V ×). image um V I Pm V →V um VmI (um ∈ Vm). Если в последнем неравенстве возьмём um = Pmu, то получим оценку image P m V I→V I Pm V →V . (2.5) В пространстве Vm на отрезке [0,T ] рассмотрим приближённую для (1.2) задачу T r image image × × um(t)+ PmAum(t)= Pmf (t), image Элемент um ∈ Vm определим позже. p(t)um(t) dt = um. (2.6) 0 Задача (2.6) сводится к конечной линейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с весовым интегральным условием на решение. Заметим также, что решение задачи (2.6), как и задачи (1.2), единственно. Покажем, что решение существует. image Поскольку линейный оператор PmA : Vm → Vm ограничен, то всякое абсолютно непрерывное решение уравнения (2.6) имеет вид image um(t)= e-P m Atum(0) + t r e-P m A(t-s)Pmf (s) ds. (2.7) 0 Укажем значение um(0) ∈ Vm, при котором решение um(t) удовлетворяет интегральному условию в (2.6). 216 А. С. БОНДАРЕВ, А. А. ПЕТРОВА, О. М. ПИРОВСКИХ Продифференцируем равенство (2.7): image image u× -P m At image -P m A(0) image image -P m At m(t)= -PmAe um(0) + e Pmf (t)= -PmAe um(0) + Pmf (t). Умножим последнее равенство на p(t) и проинтегрируем его по t от 0 до T : T r m p(t)u× 0 T r (t) dt = -PmA 0 T r p(t)e-P m A(t)um(0) dt + Pm 0 p(t)f (t) dt. В силу интегрального условия в (2.6) получим: T r image um = -PmA 0 T r p(t)e-P mAt dtum(0) + Pm 0 p(t)f (t) dt. (2.8) В [6] установлено, что оператор Bm : Vm → Vm, заданный равенством T r Bm = PmA 0 p(t)e-P mAt dt, обратим в пространстве Vm с нормой пространства H, причем T -1 B-1 1 r p(T ) image Pm AT \-1 I + 1 r p(T ) image P m AT \-1 r p (t)e P mAtdt . image m = p(0) image image I - p(0) e- p(0) image I - p(0) e- × - 0 Из (2.8) тогда получим m um(0) = -B-1 T r um - Pm 0 p(t)f (t) dt , (2.9) откуда следует однозначная разрешимость в Vm задачи (2.6). 3. Априорные оценки приближённых решений. Для решения um(t) уравнения в (2.6) в [6] получена оценка T 2 r 2 J T 2 r 2 max um(t) H + 0 t T 0 um(t) V dt C um(0) H + 0 f (t) V I dt . (2.10) Покажем, что um(0) H оценивается равномерно по m ∈ N. В [6] доказано, что B-1 m Vm→Vm T rλ r 0 p(t)e-λt dt\-1 = M, (2.11) где пространство Vm берется с нормой пространства H. Теперь из (2.9) и (2.11) следует оценка T I r I Возьмём элемент I um(0) H M um H + M IPm I 0 image image um = Qmu, I p(t)f (t)dtI IH . (2.12) где Qm - ортогональный проектор V на Vm. В силу непрерывности вложения V ⊂ H справедлива оценка image image image image um H = Qmu H β Qmu V β u V , СЛАБАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ВАРИАЦИОННОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ 217 где β > 0. Для второго слагаемого в правой части (2.12) получим оценку T Ir I I I I p(t)Pmf (t) dtI I IH 0 T T r r |p(t)| Pmf (t) H dt p(0) 0 0 f (t) H dt, поскольку p(t) не возрастает и p(t) > 0. Тогда (2.12) примет вид image um(0) H M · β u V + p(0)M T r f (t) H dt. (2.13) 0 m Из уравнения в (2.6), оценки (2.5) и непрерывности вложения H ⊂ V × для u× (t) получим: m u× 2 (t) V I image 2 = Pmf (t) - PmAum(t) V I image 2 ( Pmf (t) V 2 2 I + PmAum(t) V I ) 2 (γ f (t) H + Pm V →V Aum(t) V I ) 2 (γ f (t) H + η Pm V →V um(t) V ) , 2 2 2 2 где γ > 0. Тогда T ⎛ T T ⎞ r m u× 0 V (t) 2 r I dt 2 ⎝γ 0 2 f (t) H r dt + η Pm V →V 0 2 um(t) V dt⎠ . (2.14) Поскольку вложение V ⊂ H компактно, то в пространстве V существует полная линейно незаi=1 висимая система {ϕi }∞ такая, что Pm V →V равномерно ограничены [8]. Будем считать, что i=1 выбранная ранее в доказательстве теоремы система {ϕi}∞ обладает необходимым свойством. В результате, из оценок (2.10) и (2.14) с учётом (2.13) получим T 2 r ( 2 × 2 T J 2 r 2 max um(t) H + 0 t T 0 um(t) V + um(t) V I ) dt C u V + 0 f (t) H dt . (2.15) 4. Обоснование слабого предельного перехода. Оценка (2.15) показывает, что последовательность {um(t)} ограничена в пространстве W (0,T ). А значит, существует подпоследовательность {uμ(t)}⊂ {um(t)}, слабо сходящаяся в пространстве W (0,T ) к некоторому элементу u ∈ W (0,T ). Покажем, следуя работам [1, 3, 6], что функция u(t) является решением задачи (1.2). image Из (2.6) следует, что для любых μ ∈ N и всех i = 1,μ справедливо равенство μ (u× (t), ϕi)+ a(uμ(t), ϕi)= (f (t), ϕi). (2.16) 0 Умножим (2.16) на скалярную функцию ψ ∈ C∞(0,T ), полученное равенство проинтегрируем по t от 0 до T. После интегрирования по частям первого слагаемого придем к равенству T T r r - (uμ(t), ψ×(t)ϕi) dt + 0 0 a(uμ(t), ψ(t)ϕi) dt = T r (f (t), ψ(t)ϕi ) dt. (2.17) 0 Заметим, что функции ψ×(t)ϕi, ψ(t)ϕi ∈ L2(0,T ; V ). Тогда из (2.17), устремив μ → ∞, для всех i ∈ N получим T T r r - (u(t), ψ×(t)ϕi) dt + 0 0 a(u(t), ψ(t)ϕi ) dt = T r (f (t), ψ(t)ϕi ) dt. (2.18) 0 i=1 Так как система элементов {ϕi}∞ является полной в пространстве V, то из (2.18) предельным переходом установим, что для всех v ∈ V выполняется T T r r - (u(t), v)ψ× (t) dt + 0 0 a(u(t), v)ψ(t) dt = T r (f (t), v)ψ(t) dt. 0 218 А. С. БОНДАРЕВ, А. А. ПЕТРОВА, О. М. ПИРОВСКИХ Последнее равенство означает, что в смысле обобщённых функций выполнено равенство d image (u(t), v)+ a(u(t), v)= (f (t), v), dt из чего следует (см. [4, c. 113]), что функция u(t) является решением уравнения в (1.2). В част- μ ности, имеем u× · u× V I → 0 при μ → ∞. Покажем, что выполняется и интегральное условие в (1.2). Напомним, что для всех μ ∈ N T image μ справедливо равенство r p(t)u× (t) dt = uμ. Следовательно, для любого v ∈ V 0 T image μ μ rr p(t)u× (t) dt, v\ = (u 0 , v). (2.19) i=1 Отметим, что в силу полноты системы {ϕi}∞ image image в пространстве V выполняется um - u V → 0 при m → ∞ (см. [5, с. 41]). Тогда в (2.19) (uμ, v) → (u, v) при μ → ∞. Заметим теперь, что на T функциях z ∈ L2(0,T ; V ×) отображение Fv (z)= (r p(t)z(t) dt, v) при всяком фиксированном v ∈ V 0 есть линейный функционал. Отметим также, что этот функционал на L2(0,T ; V ×) ограничен: T Ir I |Fv (z)| I 0 I p(t)z(t) dtI IV I v V T rr p2(t) dt 0 \1/2 T rr v V 0 2 z(t) V I dt\1/2. μ В таком случае Fv (u× ) → Fv (u×) при μ → ∞. В результате из (2.19) предельным переходом получим T image rr p(t)u×(t) dt, v\ = (u, v) 0 T image для любого v ∈ V, т. е. r p(t)u×(t) dt = u. 0 Покажем, что решение задачи (1.2) u ∈ W (0,T ) обладает дополнительной гладкостью u ∈ C([0,T ],H), а также обоснуем оценку (2.1). Поскольку u(t) есть слабый предел в W (0,T ) последовательности функций {uμ(t)}, для которых выполняется оценка (2.15), то и для u(t) верно T r ( 2 × 2 T J 2 r 2 u(t) V + u (t) V I ) dt C 0 u V + 0 f (t) H dt . (2.20) Заметим, что если функция u ∈ L2(0,T ; V ) и производная u× ∈ L2(0,T ; V ×), то функция u ∈ C([0,T ],H) (см. [4, с. 110]) и справедлива оценка T 2 r r 2 × 2 \ max u(t) H K 0 t T 0 u(t) V + u (t) V I dt. (2.21) Из (2.20) и (2.21) следует окончательная оценка (2.1). image

About the authors

A. S. Bondarev

Voronezh State University

Author for correspondence.
Email: bondarev@math.vsu.ru
Voronezh, Russia

A. A. Petrova

Voronezh State University

Email: rezolwenta@mail.ru
Voronezh, Russia

O. M. Pirovskikh

Voronezh State University

Email: pirovskiholeg@yandex.ru
Voronezh, Russia

References

Supplementary files