Existence of weak solutions of the stationary alpha model describing the motion of polymer solutions

Abstract

In this paper, we study a boundary-value problem for a mathematical model describing the motion of aqueous polymer solutions. Based on the approximation-topological method, we investigate the existence of weak solutions of the problem under study. We consider the case of medium motion both in a bounded domain of two-dimensional or three-dimensional space and in an unbounded domain.

Full Text

1. Введение Пусть Ω ⊂ Rn, n = 2,3, - ограниченная область границей ∂Ω класса C2. Рассматривается следующая краевая задача: grad p = f, x ∈ Ω; (1.1) u = (I - α2Δ)-1v, x ∈ Ω; (1.2) divv = 0, x ∈ Ω; v|∂Ω = 0. (1.3) Здесь v(x) - вектор-функция скорости, u(x) - вектор-функция модифицированной скорости движения частицы среды, определяемая равенством (1.2), p(x) -функция давления, f(x) - плотность внешних сил, ν > 0- кинематический коэффициент вязкости, а κ > 0 - время запаздывания (время релаксации деформаций), α > 0- скалярный параметр, E = (Eij(v)) - тензор © А.В. Звягин, 2025 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 96 скоростей деформации,- дивергенция тензора A, т. е. вектор Div . Изучаемая в работе задача описывает стационарное движение растворов полимеров. Данная модель имеет реологическое (определяющее тип жидкости) соотношение вида , где σ - девиатор тензора напряжений. Данная модель также получила название модель Кельвина-Фойгта (см. работы [4, 9, 20-22]). Группа ученых из Санкт-Петербурга провела эксперименты и доказала, что именно данное реологическое соотношение описывают течение слабо концентрированных водных растворов полимеров, например, растворов полиэтиленоксида и полиакриламида, растворов полиакриламида и гуаровой смолы [2, 12]. Поэтому рассматриваемую модель также часто называют моделью движения водных растворов полимеров. Также отметим, что первая теоретическая модель движения водных растворов полимеров, учитывающая их релаксационные свойства, была сформулирована в работе Я.И. Войткунского, В.Б. Амфилохиева и В.А. Павловского [3]. Авторы исходили из варианта модели максвелловского типа для вязкоупругой жидкости. Затем в работе В.А. Павловского [12] эта модель была упрощена и использовалась для описания турбулентного пограничного слоя в предельном случае малых времен релаксации. Поэтому рассматриваемую модель также часто называют моделью Павловского (см. [13]). Краевая задача (1.1)-(1.3) является альфа-моделью I класса. Альфа-модели представляют собой своего рода регуляризованные приближенные системы, которые зависят от некоторого положительного параметра α, причем регуляризация осуществляется путем некоторой фильтрации вектора скорости, который стоит в аргументе нелинейного члена. Параметр α отражает ширину шкалы пространственной фильтрации для модифицированной скорости. В качестве ядра фильтрации наиболее часто используют оператор Гельмгольца I -α2Δ. Выбор такого оператора связан с его хорошими математическими свойствами. Идея использования такого рода аппроксимаций впервые возникла в работе Ж. Лере [19] (в данной работе Ж. Лере использовал общий вид ядра фильтрации) для доказательства существования слабого решения системы уравнений Навье-Стокса. С одной стороны, интерес к изучению альфа-моделей связан с изучением исходных моделей, с другой стороны, в последнее время альфа-модели стали изучаться как независимые системы и применяться к исследованию эффектов турбулентности для потоков жидкости и в численных исследованиях. Альфа-модели представляют больший интерес для прикладных ученых, производства и промышленности, чем исходные модели, ввиду более простого численного исследования. Однако большая часть работ по исследованию разрешимости альфа-моделей посвящена моделям движения идеальной или ньютоновской жидкости (см. [16-18]). Только за последние несколько лет появились работы, посвященные альфа-моделям для неньютоновской жидкости (см. [5-7]). Данная работа продолжает исследования разрешимости альфа-моделей для неньютоновских жидкостей, а именно, для модели, описывающей движение водных растворов полимеров. Работа организована следующим образом. Второй раздел посвящен описанию используемых функциональных пространств, введению определения слабого решения для изучаемой краевой задачи и формулировке основного результата работы. В третьем разделе вводится аппроксимационная задача и изучается ее разрешимость. Для этого в пункте 3.1 доказываются необходимые априорные оценки решений аппроксимационной задачи, а в пункте 3.2 применяется теория топологической степени Лере-Шаудера для вполне непрерывных векторных полей. В четвертом разделе доказывается предельный переход к решению исходной задачи. Пятый раздел посвящен обобщению полученных результатов на случай неограниченной области Ω. 2. Постановка задачи и формулировка результатов Через D(Ω)n будем обозначать пространство функций на Ω со значениями в Rn класса C∞ с компактным носителем, содержащимся в Ω; - подмножество соленоидальных функций пространства D(Ω)n; H - замыкание V по норме пространства L2(Ω)n; V - замыкание V по норме пространства W21(Ω)n; X - замыкание V по норме пространства W23(Ω)n. Определение 2.1. Пусть f ∈ V ∗. Слабым решением краевой задачи (1.1)-(1.3) называется функция v ∈ V, удовлетворяющая для любого ϕ ∈ X равенству: Здесь через Δα : V → V ∗ обозначим оператор Δα = (J + α2A), где J = PI, I - тождественный оператор, P -оператор Лере. В силу [10, лемма 4.4.4] оператор Δα обратим. Применив проектор Лере P : L2(Ω)n → H к обеим частям равенства v = (I - α2Δ)u, выразим из последнего равенства u: u = (J + α2A)-1v = Δ-α1v. Одним из основных результатов данной работы является следующая теорема. Теорема 2.1. Пусть Ω -ограниченная область пространства Rn и n = 2,3. Тогда для любого f ∈ V ∗ краевая задача (1.1)-(1.3) имеет хотя бы одно слабое решение v∗ ∈ V. Доказательство данной теоремы 2.1 состоит из нескольких частей. Сначала на основе аппроксимационно-топологического подхода к исследованию математических задач гидродинамики, разработанного профессором В.Г. Звягиным (см. [8]), доказывается существование слабых решений исследуемой задачи. Для этого вводится семейство вспомогательных задач, зависящих от малого параметра ε > 0, доказываются априорные оценки решений и на основе теории топологической степени Лере-Шаудера доказывается существование слабых решений вспомогательной задачи. Далее для доказательства разрешимости исходной задачи на основе необходимых оценок устанавливается предельный переход. Полученный результат можно обобщить на случай неограниченной области. Теорема 2.2. Пусть Ω -произвольная область пространства Rn и n = 2,3. Тогда для любого f ∈ V ∗ краевая задача (1.1)-(1.3) имеет хотя бы одно слабое решение v∗ ∈ V. Доказательство данной теоремы 2.2 приведено в разделе 5. 3. Аппроксимационная задача Рассмотрим следующую аппроксимационную задачу с малым параметром. Задача 3.1. Пусть f ∈ V ∗. Найти функцию v ∈ X, удовлетворяющую для любого ϕ ∈ X равенству: (3.1) Здесь ε - некоторое фиксированное положительное число. Для исследования аппроксимационной задачи перейдем к операторной трактовке. Определим операторы A,N,B1,B2,B3 с помощью следующих равенств: ; ; ; ; Замечание 3.1. Заметим, что V вложено в L4(Ω)n для n = 2,3, значит, B1 можно рассматривать и как отображение B1 : V → V ∗, а поскольку X вложено в V, то операторы A,Bi, i = 1,2,3, можно рассматривать и как отображения A,B1,B2,B3 : X → X∗. При этом, чтобы не нагромождать обозначения, будем использовать одну и ту же букву для обозначения операторов, определенных одной и той же формулой, но действующих в разных функциональных пространствах, когда из контекста ясно, в каких функциональных пространствах действуют операторы в данном месте текста. В силу произвольности ϕ ∈ X в задаче 3.1 равенство (3.1) эквивалентно следующему операторному уравнению: εNv + νAv - B1(v) - κB2(v) - κB3(v) = f. (3.2) Таким образом, каждое решение задачи 3.1 является решением операторного уравнения (3.2) и обратно. Также введём операторы при помощи следующих равенств: Lε : X → X∗, Lε(v) = εNv; K : X → X∗, K(v) = νAv - B1(v) - κB2(v) - κB3(v). В этих обозначениях уравнение (3.2) записывается в виде: Lε(v) + K(v) = f. (3.3) Для дальнейшего нам необходимо исследовать свойства операторов A,Lε,B1,B2,B3,K. Лемма 3.1. Для оператора A имеют место следующие свойства: 1. Оператор A : V → V ∗ непрерывен, и для него имеет место оценка . (3.4) 2. Оператор A : X → X∗ вполне непрерывен. Доказательство. 1. Достаточно показать ограниченность линейного оператора A. По определению имеем . Отсюда и следует неравенство (3.4) и непрерывность оператора 2. Докажем вполне непрерывность оператора A, действующего из X в X∗. Из первого пункта этой леммы имеем, что оператор A : V → V ∗ непрерывен, а в композиции отображений X ⊂ A V -→ V ∗ ⊂ X∗ первое вложение вполне непрерывно. Учитывая, что отображение A и последнее вложение непрерывны, получаем, что отображение A : X → X∗ вполне непрерывно. Лемма 3.2. Оператор Lε = εN : X → X∗ непрерывен, обратим, и для него имеет место оценка . (3.5) Кроме того, обратный оператор L-ε 1 = (εN)-1 : X∗ → X непрерывен. Доказательство. В силу линейности оператора Lε для доказательства его непрерывности достаточно показать его ограниченность. Имеем . Отсюда и следует оценка (3.5). Таким образом, оператор Lε : X → X∗ ограничен и, следовательно, непрерывен. Для доказательства обратимости воспользуемся проекционной теоремой из [14, c. 28]. Приведем её формулировку. Теорема 3.1 (проекционная теорема). Пусть W -сепарабельное вещественное гильбертово пространство (с нормой ), и пусть a(u,v) -непрерывная билинейная форма на W × W, которая коэрцитивна, т. е. существует α > 0, такое что Тогда для каждого l из W∗ -пространства, сопряженного к W, -существует один и только один элемент u ∈ W, такой что Для того чтобы применить данную теорему, нам достаточно показать, что непрерывная билинейная форма коэрцитивна. Действительно, для любого v ∈ X имеем, что . Отсюда следует, что Lε : X → X∗ - изоморфизм. Итак, имеем линейный непрерывный оператор εN, который отображает все банахово пространство X на все банахово пространство X∗ взаимно-однозначно. Отсюда по теореме Банаха следует, что существует линейный непрерывный оператор L-ε 1, обратный оператору Lε, отображающий X∗ на X. Лемма 3.3. Для отображения B1 имеют место следующие свойства: 1. Отображение B1 : L4(Ω)n → V ∗ непрерывно, и для него имеет место оценка . (3.6) 2. Для любой функции v ∈ X функция B1(v) ∈ X∗, а отображение B1 : X → X∗ вполне непрерывно. Доказательство. 1. Для любых v ∈ L4(Ω) и ϕ ∈ V, используя неравенство Гельдера, получим . Откуда следует неравенство (3.6). Отметим, что здесь мы воспользовались следующей известной оценкой (см. [1, 15]): . Покажем непрерывность отображения B1 : L4(Ω)n → V. Для произвольных vm, v0 ∈ L4(Ω)n имеем Таким образом, . Полагая vm → v0 в L4(Ω)n, получаем, что отображение B1 : L4(Ω)n → V ∗ является непрерывным. 2. Так как в силу теоремы вложения Соболева мы имеем компактное вложение X ⊂ L4(Ω)n для n = 2,3, то имеем: X ⊂ L4(Ω)n --B→1 V ∗ ⊂ X∗, где первое вложение вполне непрерывно, а отображение B1 и последнее вложение -непрерывны. Таким образом получили, что для любой функции v ∈ X функция B1(v) ∈ X∗, а отображение B1 : X → X∗ вполне непрерывно. Лемма 3.4. Для операторов B2 и B3 имеют место следующие свойства: 1. Для i = 2,3 операторы Bi : V → X∗ непрерывны, и для них имеет место оценка . (3.7) 2. Для i = 2,3 и любой функции v ∈ X значения Bi(v) ∈ X∗, а отображения Bi : X → X∗ вполне непрерывны. Доказательство. Мы докажем данную лемму для оператора B2. Доказательство в случае оператора B3 полностью аналогично. 1. Для любых v ∈ V, ϕ ∈ X в силу определения оператора B2 имеем . Отсюда и следует требуемая оценка (3.7). Покажем непрерывность отображения B2 : V → X∗. Для произвольных vm,v0 ∈ V имеем: . Преобразуем правую часть неравенства следующим образом: . Отсюда следует, что . Итак, если последовательность {vm} ⊂ V сходится к некоторой предельной функции v0 ∈ V, то из последнего неравенства следует непрерывность отображения 2. Для доказательства утверждения этого пункта мы уже имеем:. Здесь первое вложение вполне непрерывно, а отображение B2 непрерывно. Таким образом, для любой функции v ∈ X получим, что функция B2(v) ∈ X∗, а отображение B2 : X → X∗ вполне непрерывно. Лемма 3.5. Оператор K : X → X∗ -вполне непрерывен. Bсти операторовДоказательство.3 : X → X∗ по лемме 3.4.A :Вполне непрерывность оператораX → X∗ по лемме 3.1; B1 : X XK∗:по лемме 3.3;X → X∗ следует из вполне непрерывно-B2 : X → X∗ по лемме 3.4; → 3.1. Априорные оценки. Вместе с уравнением (3.3) мы будем рассматривать следующее семейство операторных уравнений Lε(v) + λK(v) = λf, λ ∈ [0, 1], (3.8) которое совпадает с (3.3) при λ = 1. Теорема 3.2. Если v ∈ X -решение операторного уравнения (3.8) для некоторого λ ∈ [0, 1], то для него имеет место оценка , (3.9) где. Более того, при λ = 1 имеет место оценка , (3.10) где. Доказательство. Пусть v ∈ X - решение (3.8), тогда для него при любом ϕ ∈ X имеет место равенство (3.11) Заметим, что Тогда (3.11) можно переписать в виде Поскольку последнее равенство имеет место при всех ϕ ∈ X, то оно имеет место и при ϕ = v: (3.12) Преобразуем слагаемые в левой части (3.12) следующим образом: ; = 0; Здесь мы воспользовались симметричностью тензора скоростей деформаций E. Заметим, что правую часть равенства (3.12) можно оценить сверху . Здесь мы воспользовались неравенством Коши: . Таким образом, для δ = ν получили , . Аналогично при λ = 1 получаем: . Отсюда и следуют требуемые оценки (3.9) и (3.10). 3.2. Существование решений аппроксимационной задачи. Теорема 3.3. Операторное уравнение (3.3) имеет хотя бы одно решение v ∈ X. Доказательство. Для доказательства данной теоремы воспользуемся теорией топологической степени Лере-Шаудера для вполне непрерывных векторных полей. В силу априорной оценки (3.9) все решения семейства уравнений (3.8) Lε(v) + λK(v) = λf, где λ ∈ [0, 1], лежат в шаре BR радиуса R = C7 +1 с центром в нуле. И, следовательно, все решения семейства уравнений v = λL-ε 1 [f - K(v)] = 0, где λ ∈ [0, 1], лежат в том же шаре BR. В силу леммы 3.5 отображение [f - K(·)] : X → X∗ является вполне непрерывным. А из леммы 3.2 следует, что оператор L-ε 1 : X∗ → X непрерывен. Таким образом, отображение L-ε 1 [f - K(·)] : X → X вполне непрерывно. Тогда отображение вполне непрерывно по совокупности переменных Из вышесказанного имеем, что вполне непрерывное векторное поле Φ(λ,v) = v - G(λ,v) невырождено на границе шара BR. Следовательно, для него определена степень Лере-Шаудера degLS(Φ,BR,0). По свойству гомотопической инвариантности степени получим, что degLS(Φ(0,·),BR,0) = degLS(Φ(1,·),BR,0). Вспомним, что Φ(0,·) = I и выполнено равенство degLS(I,BR,0) = 1. Отсюда degLS(Φ(1,·),BR,0) = 1. Таким образом, получили, что существует хотя бы одно решение v ∈ X уравнения v + L-ε 1 [f - K(v)] = 0 и, следовательно, уравнения (3.3). Поскольку существует решение v ∈ X уравнения (3.3), то из вышеприведенных рассуждений следует, что аппроксимационная задача (3.1) имеет хотя бы одно слабое решение v ∈ X. 4. Доказательство разрешимости в ограниченной области краевой задачи (1.1)-(1.3) В силу теоремы 3.3 при каждом ε задача 3.1 имеет слабое решение. Рассмотрим сходящуюся к нулю последовательность εm. Покажем, что полученная последовательность решений vm задачи 3.1 будет сходиться к слабому решению краевой задачи (1.1)-(1.3). Для этого положим в (3.1) . В силу выбора последовательность {εm} сходится к нулю при m → ∞. В силу теоремы 3.3 при каждом εm существует vm ∈ X ⊂ V - слабое решение аппроксимационной задачи 3.1. Таким образом, каждое vm удовлетворяет уравнению: (4.1) В силу существования априорной оценки (3.10) (и в силу рефлексивности пространства V ) {vm} будет слабо сходиться к некоторому элементу v∗ ∈ V. Тогда при m → ∞ в силу определения слабой сходимости Далее заметим: при m → ∞. Так как V вполне непрерывно вложено в L4(Ω)n для n = 2,3, учитывая оценку (3.10), без ограничения общности можно считать, что vm → v∗ сильно в L4(Ω)n. Отсюда следует, что В оставшихся интегралах имеем к ∇Действительно, здесь последовательностьv∗ слабо в L2(Ω)n. Поэтому их произведение сходится слабо кvm сходится к v∗ сильно вv∗∇v∗ в L4/3 n. сходится (Ω) Таким образом, переходя в равенстве (4.1) к пределу при m → +∞, получим, что предельная функция v∗ удовлетворяет равенству Вспоминаем, что v∗ ∈ V. Это и завершает доказательство теоремы 2.1. 5. Случай неограниченной области Рассмотрим теперь задачу (1.1)-(1.3) в случае, когда Ω - произвольная область в пространстве Rn,n = 2,3, возможно, неограниченная. Аналогично случаю с ограниченной областью для задачи (1.1)-(1.3) вводятся понятия слабого решения (аналогично определению 2.1) и аппроксимационной задачи (аналогично задаче 3.1). Определение 5.1. Пусть Ω - произвольная область пространства Rn, n = 2,3, и f ∈ V ∗. Слабым решением краевой задачи (1.1)-(1.3) называется функция v ∈ V, удовлетворяющая для любого ϕ ∈ V равенству (5.1) Задача 5.1. Пусть Ω - произвольная область пространства Rn, n = 2,3, и f ∈ V ∗. Найти функцию v ∈ X, удовлетворяющую для любого ϕ ∈ V равенству: (5.2) Для доказательства теоремы 2.2 обозначим через Ωm пересечение Ω с шаром Bm с центром в нуле радиуса m в пространстве Rn,m = 1,2,... Введем новые обозначения. Через , будем обозначать множество всех измеримых функций u : Ωm → Rn, суммируемых с p-й степенью. D(Ωm)n - пространство функций на Ωm со значениями в Rn класса C∞ с компактным носителем, содержащимся в Ωm; V(Ωm) = {v : v ∈ D(Ωm)n, divv = 0} - подмножество соленоидальных функций пространства D(Ωm)n; V (Ωm) - замыкание V(Ωm) по норме пространства W21(Ωm)n; X(Ωm) - замыкание V(Ωm) по норме пространства W23(Ωm)n. Аналогично введем обозначения V (Bk) и L4(Bk), где Bk - шар с центром в нуле и радиусом k. Следуя [11, с. 117], можно рассмотреть сужение f на Ωm : f|Ωm ∈ V ∗(Ωm), которое задается формулой , где ϕ- произвольная функция из V, а ϕ˜- продолжение ϕ нулем на все Ω. Очевидно, . На каждой области Ωm рассмотрим задачу 5.1. Заменим в (5.2) f на f|Ωm, и пусть. По теореме 2.1 эти задачи имеют хотя бы одно решение vm. Обозначим через v˜m продолжение vm нулем на все Ω. По теореме 3.2 нормы ||v˜m||V (Ω) = ||vm||V (Ωm) равномерно ограничены. Поэтому при m → ∞ без ограничения общности можно считать, что слабо в V. Покажем, что v˜0 есть решение задачи (5.1). Возьмем произвольное ϕ ∈ V. При некотором k носитель ϕ лежит в Ωk. Обозначим через продолжение v˜m нулем за пределы Ω, суженное на Bk. Ясно, чтослабо в V (Bk), и значит, сильно в L4(Bk). Поэтому все слагаемые (5.2) с сходятся к соответствующим слагаемым (5.1): причем без ограничения общности в силу оценки (3.9) теоремы 3.2 получаем: при m → ∞. Итак, v˜0 удовлетворяет тождеству (5.1) при всех ϕ ∈ V. Значит, v˜0 является слабым решением задачи (1.1)-(1.3).