On the variational principle for a system of ordinary differential equations

Abstract

Necessary and sufficient conditions for the direct representability of one system of ordinary differential equations in the form of Lagrange-Ostrogradsky equations are obtained and the corresponding variational principle (the Hamilton-Ostrogradsky action) is constructed.

Full Text

1. Введение Вариационные принципы сыграли основополагающую роль в становлении и развитии механики (см., например, монографию [8] и библиографию в ней). В [2-4, 8, 24] изложены классические и современные методы решения основных задач динамики. Исследование вариационности дифференциальных уравнений является важной и актуальной задачей. Отметим, что этому вопросу посвящено значительное количество работ: например, для обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с частными производными [1, 9-14, 16-21, 23, 28, 29], дифференциально-разностных уравнений [5-7], стохастических дифференциальных уравнений [25-27], дифференциальных уравнений с производными дробного порядка [15, 22] и др. В перечисленных работах предложены конструктивные приемы построения прямых и косвенных вариационных формулировок дифференциальных уравнений. Для этого используются локальные и нелокальные билинейные формы, в том числе и билинейные формы со свертками, а также исследуются вопросы существования вариационных множителей как в виде функций, так и в виде операторов, в том числе и матричных. При этом соответствующие действия по Гамильтону (Гамильтону-Остроградскому) строятся с использованием как эйлеровых, так и неэйлеровых классов функционалов. Представляет значительный интерес распространение некоторых изложенных в этих работах методов на исследование вопросов представимости дифференциальных уравнений с производными высших порядков в форме уравнений Лагранжа-Остроградского, построение соответствующих функционалов - действий по Гамильтону-Остроградскому. В связи с этим вопрос о вариационности одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений приобретает особую важность, что и определило актуальность данной работы. Основная цель настоящей работы - получить необходимые и достаточные условия потенциальности оператора одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и построить соответствующее действие по Гамильтону-Остроградскому. В дальнейшем мы будем использовать обозначения и терминологию работ [8, 17]. Предположим, что U,V - линейные нормированные пространства над полем действительных чисел R. Для дальнейшего нам понадобятся следующие определение и теорема. Определение 1.1 (см. [8]). Оператор N : D(N) ⊂ U → V называется потенциальным на множестве D(N) относительно билинейной формы Φ(·,·) : V × V → R, если существует дифференцируемый по Гато функционал FN : D(FN) = D(N) → R такой, что . В этом случае говорят, что соответствующее уравнение N(u) = 0 допускает прямую вариационную формулировку. Заметим, что- производная Гато оператора N в точке u ∈ D(N). Множество состоит из таких элементов h ∈ U, что (u + εh) ∈ D(N) для любого достаточно малого значения ε. Теорема 1.1 (см. [8]). Пусть дифференцируемый по Гато оператор N : D(N) ⊂ U → V и билинейная форма Φ(·,·) : V × V → R таковы, что для любых фиксированных элементов ) функция ψ(ε) = Φ(N(u + εh),g) принадлежит классу C1[0, 1]. Тогда для потенциальности оператора N на выпуклом множестве D(N) относительно рассматриваемой билинейной формы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие . (1.1) При этом потенциал оператора N определяется формулой , (1.2) где u0 -фиксированный элемент D(N). 2. Условия потенциальности Рассмотрим систему уравнений . (2.1) Здесь u(t) = (u1(t),u2(t),...,un(t))T - неизвестная вектор-функция, A(t) = (aij(t))ni,j=1, B(t) = (bij(t))ni,j=1, C(t) = (cij(t))ni,j=1, D(t) = (dij(t))ni,j=1, E(t) = (eij(t))ni,j=1 - заданные матрицы, причем Зададим область определения оператора N (2.1) в виде где - заданные постоянные. В данном случае (2.3) и V = C[t0,t1]. Введем билинейную форму (2.4) где Отметим, что т. е. Φ(v,g) = Φ(g,v). Теорема 2.1. Оператор N (2.1) является потенциальным на множестве D(N) (2.2) относительно билинейной формы (2.4) тогда и только тогда, когда ∀t ∈ [t0,t1] выполнены следующие условия: (2.5) (2.6) (2.7) (2.8) . (2.9) Доказательство. Производная Гато оператора N (2.1) имеет вид . Далее, Интегрируя по частям и принимая во внимание, что h и g принадлежат (2.3), получаем Следовательно, С другой стороны, В данном случае критерий потенциальности (1.1) принимает вид . Это тождественно выполняется тогда и только тогда, когда (2.10) (2.11) (2.12) (2.13) . (2.14) Заметим, что условия (2.10)-(2.14) сводятся к условиям (2.5)-(2.9). 3. Построение функционала Теорема 3.1. Если оператор N (2.1) является потенциальным на множестве D(N) (2.2) относительно билинейной формы (2.4), то действие по Гамильтону-Остроградскому имеет вид Доказательство. Формула (1.2) в данном случае принимает вид (3.2) где - фиксированный элемент из D(N). Обозначим Интегрируя по частям и учитывая, что (2.3), получаем (3.3) Аналогично (3.4) Подставляя (3.3)-(3.7) в (3.2), получим (3.8) (здесь учтено условие (2.5)). Следовательно, (3.9) Рассмотрим интеграл (3.10) Введем обозначение . С учетом условий (2.5), (2.6) получим (3.11) Интегрируя по частям и принимая во внимание, что (2.3), а также условие (3.11), интеграл (3.10) представим в виде Далее, интеграл запишем в виде (3.13) где . С учетом условий (2.5)-(2.7) имеем В соответствии с условием (3.14) интеграл (3.13) можно переписать следующим образом: Отсюда получаем Рассмотрим интеграл Обозначим . Из условий (2.5)-(2.8) следует, что Таким образом, интегрируя по частям и принимая во внимание, что (2.3), а также условие (3.16), получим Отсюда следует, что Из условия потенциальности (2.9) имеем , поэтому интеграл может быть представлен в виде Отсюда находим Подставляя (3.9), (3.12), (3.15), (3.17), (3.18) в (3.8), получим (3.19) Таким образом, принимая во внимание (3.11), (3.14), (3.16), из (3.19) получаем функционал (3.1). 4. Случай одного обыкновенного дифференциального уравнения Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка . (4.1) Здесь u = u(t) - неизвестная функция, a ∈ C4[t0,t1], b ∈ C3[t0,t1], c ∈ C2[t0,t1], d ∈ C1[t0,t1], e ∈ C[t0,t1] - заданные функции. Зададим область определения оператора N (4.1) в виде , (4.2) где - заданные постоянные. Отметим, что и V = C[t0,t1]. Введем билинейную форму (4.3) В данном случае теоремы 2.1 и 3.1 формулируются следующим образом. Теорема 4.1. Оператор N (4.1) является потенциальным на множестве D(N) (4.2) относительно билинейной формы (4.3) тогда и только тогда, когда ∀t ∈ [t0,t1] выполнены следующие условия: - . Теорема 4.2. Если оператор N (4.1) является потенциальным на множестве D(N) (4.2) относительно билинейной формы (4.3), то действие по Гамильтону-Остроградскому имеет вид 5. Заключение В работе исследована прямая представимость одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений в форме уравнений Лагранжа-Остроградского. Одним из возможных направлений дальнейшего развития полученных результатов является разработка методов нахождения первых интегралов рассматриваемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, основанных на применении теории преобразований переменных для установления инвариантности как самих уравнений, так и соответствующего функционала - действия по Гамильтону- Остроградскому.