Asymptotic solutions of the Vlasov-Poisson-Landau kinetic equations

Full Text

1. Введение Уравнения Власова-Пуассона-Ландау (ВПЛ) описывают эволюцию по времени горячей столкновительной плазмы. Известно, что интеграл столкновений Ландау [1, 11] можно рассматривать как малое возмущение уравнений Власова-Пуассона (см., например, [12]). Поэтому интегралы столкновений часто игнорируются, и тогда в литературе рассматриваются бесстолкновительные модели плазмы. Однако это может быть верно только для относительно коротких промежутков времени. Цель настоящей статьи - показать важность столкновительных эффектов в некоторых процессах. Очевидно, что уравнения Власова-Пуассона-Ландау содержат два различных микроскопических масштаба длины: радиус Дебая rD и длину свободного пробега . Кроме того, типичные граничные или начальные условия могут вводить третий макроскопический масштаб длины L такой, что. Эти три различных масштаба делают общую картину кинетической эволюции плазмы довольно сложной. Целью данной работы является изучение различных стадий этой эволюции на большом времени как аналитическими, так и численными методами. Основное внимание уделяется (1) роли начальных условий и (2) важности столкновительных эффектов. Мы используем в основном упрощенный оператор столкновений типа Бхатнагара-Гросса-Крука (БГК), поскольку все основные свойства приближенных уравнений совпадают с аналогичными свойствами истинных кинетических уравнений Власова- Пуассона-Ландау. Наша главная цель - описать как аналитическими, так и численными методами качественную картину эволюции системы. Статья организована следующим образом. Раздел 2 посвящен постановке задачи для уравнений ВПЛ и анализу малых параметров, временных масштабов и различных классов начальных условий. Асимптотические решения относительно малого параметра ε обсуждаются в разделах 3-4. Показано, что безразмерное электрическое поле не может иметь предела при ε = 0 из-за быстрых колебаний с частотой порядка O(1/ε). Этот вывод подтверждается численным решением. Колебания имеют величину порядка O(1) при ε → 0. Они затухают со временем только за счет столкновений, и этот факт показывает важность столкновительных эффектов в плазме. Все эти факты подтверждаются численным моделированием для упрощенного модельного уравнения со столкновительным членом типа БГК в разделе 5. Упрощение позволяет уменьшить размерность задачи до d = 2 и, следовательно, минимизировать затраты на вычисления. Численная схема и результаты расчетов подробно обсуждаются в разделе 5. Следует подчеркнуть, что кинетические уравнения Власова-Пуассона-Ландау с математической точки зрения достаточно сложны. Поэтому они пока недостаточно изучены. В частности, для этих уравнений до сих пор не доказаны теоремы о глобальном существовании решений задачи Коши и подобные результаты. В то же время они широко используются в приложениях к физике. Основная цель настоящей работы - прояснить некоторые тонкие математические вопросы, связанные со многими работами физиков по асимптотическим свойствам этих кинетических уравнений. Поэтому работа написана на формальном уровне математической строгости. Неявно предполагается, что классические решения задачи Коши рассматриваемых уравнений существуют на любом временном интервале и обладают всеми необходимыми свойствами. Основное внимание уделено таким эффектам, которые не были отмечены в публикациях физиков (в частности, существование быстрых и очень медленно затухающих колебаний электрического поля). Результаты подтверждены точными численными исследованиями. 2. Уравнение Власова-Пуассона-Ландау для плазмы Рассмотрим плазму из электронов с электрическим зарядом (-e) и массой m и ионов с зарядом Ze и массой M, где e > 0 - элементарный заряд электрона. Ниже для простоты полагаем, что Z = 1. Условие слабого взаимодействия: , (2.1) где ρ0 и T0 -соответственно типичные постоянные плотность и абсолютная температура электронов. Пусть f(x,v,t) -распределение электронов, а ионы равномерно распределены в пространстве с постоянной плотностью ρ0. Тогда самосогласованное электрическое поле выражается формулой . (2.2) В равенстве (2.2) предполагается, что на бесконечности плазма находится в состоянии равновесия, а также = const достаточно быстро, чтобы гарантировать сходимость интеграла. Уравнение Власова-Ландау для f(x,v,t) выглядит так: , где fi(x,v,t) - функция распределения ионов, Λ - постоянная кулоновского логарифма, , Мы рассматриваем формальный предел очень тяжелых ионов с M → ∞, предполагая, что их кинетическая энергия остается конечной. Тогда типичная скорость иона очень мала и поэтому u ≈ v в подынтегральном выражении Q(L)(f,fi). Следовательно, в пределе при M → ∞. Поэтому упрощенное кинетическое уравнение для функции распределения электронов f(x,v,t) имеет вид . (2.3) Самосогласованное электрическое поле E(x,t) задается уравнением (2.2). Его также можно рассматривать как решение уравнений Максвелла в нерелятивистском пределе c = ∞ divE = 4π e(ρ0 - ρ), curlE = 0, (2.4) или, что то же самое, градиент решения ϕ(x,t) уравнения Пуассона (2.5) с нулевыми условиями на бесконечности. Кинетическое уравнение (2.3) в паре с уравнением (2.4) или, что то же самое, с уравнением (2.5) называются уравнениями Власова-Пуассона-Ландау. Заметим, что это уравнение было выведено выше в предположении (2.1) слабого взаимодействия между электронами. Параметры ρ0 и T0 в (2.1) соответствуют типичной электронной плотности и абсолютной температуре (выраженной в единицах энергии) на бесконечности. Рассмотрим задачу Коши для t > 0 во всем пространстве (x,v) ∈ R3 × R3 с начальными условиями . Заметим, что длина L рассматривается здесь как свободный параметр. Она не предполагается большой с самого начала. Обычно мы также предполагаем, что . Более того, та же самая константа Максвелла M(|v˜|) на бесконечности для безразмерной задачи предполагается для всех t > 0. Это предположение будет рассматриваться ниже как граничное условие на бесконечности. Для постановки безразмерной задачи обозначим f(x,v,t) = ρ0 θ0-3/2 f˜(x,˜ v,˜ t˜), F(f) = mF0 F˜(f˜), C(f) = C0 C˜(f˜), с соответствующими константами F0 для силы и C0, и положим . Также определим безразмерное электронное поле E˜ = E/E0 в (2.3), (2.4) таким образом, что полученные уравнения для E˜ не содержат никаких параметров. Тогда безразмерные уравнения для f˜ и E˜ будут иметь вид ft + v · fx - AE · fv = B C(f), C(f) = QL(f,f) + K(f), divE = 1 - ρ, curlE = 0, (2.6) где тильды опущены. Эти уравнения содержат только два безразмерных параметра , (2.7) где Kn обозначает число Кнудсена, , обозначают соответственно радиус Дебая, среднюю длину свободного пробега электронов и кулоновский логарифм. Важно ясно понимать, что параметры A и B в уравнениях (2.6) не являются независимыми. Действительно, кинетическое уравнение (2.6) было формально выведено в предположении (2.1) слабого взаимодействия. Традиционный малый параметр δ в физике плазмы (см., например, [10]) равен обратному числу частиц в сфере или кубе Дебая. Неравенство , (2.8) очевидно, эквивалентно неравенству (2.1). Следовательно, , , и , если , где c1 - абсолютная константа. Это неравенство подтверждает, что член столкновения Ландау следует рассматривать как малый поправочный член в уравнении Власова. Имеется также второе условие применимости уравнения Ландау-Власова, а именно неравенство- эффективный радиус действия потенциала. В случае плазмы можно положить d ≈ rD и ввести второй (вместе с δ из (2.8)) параметр, а именно . Число Кнудсена в уравнениях (2.6), (2.7) можно выразить через ε и δ как . В следующем разделе мы рассмотрим некоторые асимптотические решения уравнений (2.6) вблизи предела ε → 0, предполагая, что Kn ограничено. 3. Асимптотические решения уравнений ВПЛ Сделаем еще одно упрощение и предположим, что начальные данные f0 и решение f задачи (2.6) зависят только от одной пространственной переменной. Для краткости сохраним ниже прежние обозначения x, полагая, что x ∈ R, v ∈ R3, t ∈ R+. Введем также безразмерное электрическое поле Eε(x,t) = E(x,t)/ε2, ε2 = A-1. Замечание 3.1. Конечно, мы имеем в виду, что «истинное» электрическое поле E˜ ∈ R3 - это вектор E˜ = (E,0,0), параллельный (или антипараллельный) оси x. Ниже, с некоторой долей злоупотребления обозначениями, символами типа Ex,fx,... обозначим частные производные по x, тогда как через vx будем обозначать x-компоненту вектора v ∈ R3. Получаем из (2.6): , (3.1) где мы добавили верхние индексы к f,ρ, чтобы подчеркнуть их ε-зависимость. Типичное начальное условие имеет вид . (3.2) Обозначим , где . Теперь мы можем рассмотреть формальный предел уравнений ВПЛ при ε → 0 при некоторых предположениях о «хорошем поведении» fε(x,v,t) и Eε(x,t) для ε → 0. Полученные уравнения имеют следующий вид. Предложение 3.1. Предельные функции f0(x,v,t) и E0(x,v,t) удовлетворяют уравнениям (3.3) , (3.4) что влечёт . Доказательство. Формальное доказательство предложения 3.1 очевидно. Уравнение (3.1) для E приводит к равенству ρ0 = 1. Это, в свою очередь, возможно только при j0 = 0 из-за уравнения непрерывности и граничных условий на бесконечности. Наконец, формула для E0 следует из уравнения jt0 = 0. Предельные уравнения (3.3), (3.4) изучались аналитическими и численными методами во многих работах, в частности, в [2, 5-7, 9]. Можно сказать, что в этом случае уравнение Пуассона для электрического поля заменяется явной формулой (3.4) для E0, которая следует из условий квазинейтральности. Конечно, аналогичный формальный предел может быть определен и для более сложного случая двухкомпонентной плазмы с ионами, имеющими конечную массу и произвольный электрический заряд. В данной работе мы рассматриваем только упрощенную модель, чтобы избежать некоторых менее важных деталей. 4. Поведение Eε(x,t) при ε → 0 Начнем с первого вопроса и предположим, что существует «хорошее» решение задачи (3.1), (3.2) для малых ε. Затем умножим уравнение (3.1) для Eε(x,t) на ε2 и продифференцируем по переменной t. Уравнение непрерывности и граничные условия на бесконечности приводят к уравнению . Затем дифференцируем первое уравнение ещё раз и после несложных преобразований получаем на основе уравнений (3.1), (3.2) следующую задачу: ; (4.1) Eε|t=0 = Etε|t=0 = 0. (4.2) Задача (4.1), (4.2) может быть формально «решена» преобразованием Лапласа по t. Тогда мы получим Теперь мы можем доказать следующую оценку. Предложение 4.1. Если , (4.4) где C не зависит от ε при ε → 0, то справедлива следующая асимптотическая формула: , (4.5) Доказательство. Достаточно оценить последний интеграл в (4.3). Интегрируя по частям, получаем . Оценка (4.5) следует непосредственно из этого равенства и предположения (4.4) предложения 4.1. Тем самым доказательство завершено. Заметим, что S0(x,t) = E0(x,t) в обозначениях уравнения (3.4). Таким образом, Eε(x,t) быстро осциллирует при ε → 0 с частотой ωε = 1/ε вблизи своего среднего E0(x,t) с амплитудой |E0(x,0)| = O(1). Например, для начального локального максвеллиана с температурой T0(x). Вероятно, дополнительный член в кинетическом уравнении (3.3) приводит лишь к небольшому возмущению f0(x,v,t) из-за быстрых колебаний. Но он важен для понимания поведения Eε(x,t). Конечно, предположение (4.4) предложения 4.1 остается недоказанным. Однако оно выглядит реалистичным для «хорошего» решения f0(x,v,t) уравнения (3.3) с Eε(x,t) (без остаточного члена) из предложения 4.1. С другой стороны, асимптотическую формулу для Eε(x,t) можно проверить численно для общего случая или даже аналитически для линеаризованного бесстолкновительного случая (см. [3]). Следует отметить, что быстрые колебания электрического поля для бесстолкновительных уравнений Власова-Пуассона ранее изучались в литературе (см., в частности, важную статью [8] Гренье). Наше уравнение (4.1) для Kn = ∞ можно рассматривать как одномерную версию уравнения (27) из [8] (после интегрирования и очевидной смены обозначений). Методы этой статьи основаны на специальном представлении решений (уравнение (12) из [8]), которое удобно только для уравнений типа Власова и вряд ли может быть использовано для уравнений ВПЛ. 5. Модельные уравнения Власова-Пуассона-БГК и численные примеры В начале мы дадим краткое описание численного алгоритма и конечно-разностной схемы, с помощью которых решается упрощенная модель уравнений ВПЛ. Затем мы покажем несколько графиков, представляющих расчет для двух типов исходных данных и различных входных характеристик. В частности, расчеты качественно иллюстрируют полученные выше аналитические результаты. Для численного моделирования возьмем упрощенную одномерную по скорости v ∈ R и координате x ∈ R модель 1V1D-версии уравнений (3.1) и (3.4), (4.1) (опуская нижний индекс x в vx, Ex) ; (5.1) (5.2) с начальными условиями . Здесь, где используется модель типа БГК (5.3) для члена столкновений Cˆ(f). Угловые скобки ··· обозначают в этом разделе интеграл по R. Упрощенные уравнения (5.1)-(5.3) рассматриваются на отрезке [0, 2π] с периодическими граничными условиями f(2π,v,t) = f(0,v,t), E(2π,t) = E(0,t). Для построения 1V1D конечноразностной схемы для (5.1)-(5.3) бесконечный интервал скорости заменяется на v ∈ [-vm,vm]. Граничные значения дискретной скорости ±vm выбираются достаточно большими, чтобы обеспечить равенство нулю распределения . В рассматриваемой области введем пространственно-временную сетку ω = ωx × ωv × ωt с шагами дискретизации Δx, Δv и Δt: ωx = {xl+1 = xl +Δx, l = 0,1,... ,L - 1, x0 = 0, xL = 2π}, ωv = {vk+1 = vk + Δv, k = 0,1,... ,K - 1, v0 = -vm, vK = vm}, ωt = {tn+1 = tn +Δt, n = 0,1,..., t0 = 0}, обозначая. Интегралы определяются суммами где в обозначениях уравнения (5.3). Используя консервативную дискретизацию для уравнений (5.1), получаем конечно-разностные операторы с потоками . Из уравнения (5.2) получаем его дискретный аналог для определения электрического поля. Тогда система (5.1), (5.2) принимает вид ; (5.4) = 0; (5.5) (5.6) Учитывая равенства , мы видим, что уравнения (5.5), (5.6) можно получить из уравнения (5.4). Квазинейтральный предел формально можно получить, если в уравнениях (5.2), (5.5) ε равен нулю: ε = 0, E0(x) = 0, j = 0. Тогда осциллирующая во времени часть электрического поля в (5.6) обращается в нуль. Кроме того, в этой численной формуле отсутствует шаг по времени. Таким образом, уравнения (5.4)-(5.6) задают численную схему первого порядка. Вычислительный алгоритм следующий: 1. На каждом временном шаге tn+1 все необходимые члены вычисляются с использованием fl,kn . 2. Затем электрическое поле Eln+1 получается для (n + 1)-го временного шага из (5.7) с использованием уравнения (5.6) для формального предела при ε = 0. Здесь σ = Δt2/ε2. 3. Функция распределения вычисляется из уравнения . (5.8) В следующей части раздела представлены численные эксперименты по изучению эволюции электрического поля для параметров 0 ε 1 и 0 Kn 0.01. Скорость изменяется от -vm = -20 до vm = 20 с шагом скорости Δv = 0.1, шаг пространственной сетки обычно равен . Шаг по времени зависит от ε. Его следует брать достаточно малым, поскольку грубые шаги не улавливают самые быстрые временные масштабы. Ниже рассматриваются два типа начальных данных: , где (I) a1 = 1, , с двумя различными типами начальных условий для E(x,t): = 0; (I) . (II) Представленные ниже численные результаты сравниваются с приближенной формулой для электрического поля E(x,t) из [4] = const. (5.9) При отсутствии столкновений Kn = ∞ имеем C(f) = J(f) = 0 в (5.6)-(5.8) и λ = 0 в (5.9). В начале мы рассмотрим эволюцию функции f10(x,v) для начальных условий (I) с температурой, распределенной как T10(x) = 1 - Acosx, A = 0.5. Отметим, что амплитуда колебаний электрического поля пропорциональна A и зависит от этого параметра возмущения линейно через ∂p/∂x. Несколько расчетов выполнены для набора значений параметра 0 ε 1. Численные результаты на рис. 1 и 2 иллюстрируют зависимость колебаний электрического поля от времени. Напомним, что ε = 1 соответствует периодическому в пространстве решению с периодом 2πrD (масштаб пространства равен радиусу Дебая rD). Условие ε = 0 соответствует квазинейтральному пределу, см. (5.6). Эта формула удобна для долговременного моделирования, поскольку нет ограничений на временной шаг, за исключением обычных численных ограничений. В этом случае колебания поля исчезают, и электрическое поле становится равным нулю после короткой начальной стадии (рис. 1, ε = 0). Этот формальный подход не улавливает реального поведения электрического поля, но он приближенно описывает среднее значение E(x,t) для любых малых значений. В [3] было показано, что длинноволновые колебания электрического поля в бесстолкновительной плазме могут существовать без затухания очень долгое время (см. (5.9)). Этот факт подтверждается на рис. 1. Чем меньше параметр ε, тем слабее затухание колебаний. Рис. 1. Электрическое поле E(1.5π,t) как функция времени для различных значений параметра 0 ε 1. Fig. 1. Electric field E(1.5π,t) as a function of time for different values of parameter 0 ε 1. Для оценки затухания колебаний E(x,t) вводится амплитуда колебаний ΔE(x,t;ε), вычисленная за период колебаний Tosc: ΔE(x,t;ε) =; Tosc = 2π ε, m = 1,2,.... (5.10) Эта характеристика ΔE(x, t;ε) представлена на рис. 2 для x = π/2 и различных значений параметра ε. Замечание 5.1. В принципе, параметр ε(t) может менять свое значение в ходе численного решения больших по времени физических задач. Поскольку грубый шаг по времени не сохраняет правильную эволюцию поля, важно учитывать зависимость Δt от ε такую, что . Несмотря на возможно небольшое влияние на саму функцию распределения, ошибка в оценке поля может играть важную роль для некоторых задач динамики плазмы. Вторую серию численных расчетов для второго типа начальных данных f2(x,v) с начальными условиями (II) и распределением температуры - начинаем с бесстолкновительного случая Kn = ∞. Переход от начальных условий (I) к более общим ограничениям (II) существенно увеличивает величину осциллирующей части поля Графики 3 и 4 дают общий вид эволюции электрического поля E(x,t) для ε = 0.04 от времени для x = π, 1.5π. На рис. 4 показаны графики E и ∂p/∂x, увеличенные для лучшей наглядности. На рис. 5 и 6 представлены два результата вычислений для второго варианта в бесстолкновительном (Kn = ∞) и столкновительном (Kn = 1) случаях, ε = 0.01. Зависимость ∂p/∂x от времени во втором варианте более подробно представлена на рис. 5. Рис. 2. ΔE(π/2,t;ε) как функция времени для различных значений параметра , Kn = ∞. Fig. 2. ΔE(π/2,t;ε) as a function of time for different values of parameter 0 ε 1, Kn = ∞. Рис. 3. Электрическое поле E(x,t), x = π -светло-серая линия, и x = 3π/2 - темно-серая линия, ∂p/∂x, x = 3π/2 - черная линия; Kn = ∞, ε = 0.04 и A = 0.5. Fig. 3. Electric field E(x,t), x = π - light grey line, and x = 3π/2 - dark grey line, ∂p/∂x, x = 3π/2 - black line; Kn = ∞, ε = 0.04 and A = 0.5. Для сравнения результатов двух вариантов начальных данных на рис. 7 представлены расчеты колебаний электрического поля в столкновительном случае, Kn = 1, для первого варианта: начальная функция f10 с начальными условиями (II) и начальным распределением температуры T20(x). Длительность затухания электрического поля в обоих случаях сопоставима, но амплитуда колебаний в первом случае пренебрежимо мала. Рис. 4. Электрическое поле E(x,t) - темно-серая линия, -∂p/∂x - черная линия частично изображены в большем масштабе; x = 3π/2, Kn = ∞, ε = 0.04 и A = 0.5. Fig. 4. Electric field E(x,t) - dark grey line, -∂p/∂x - black line are partially depicted at a larger scale; x = 3π/2, Kn = ∞, ε = 0.04 and A = 0.5. Рис. 5. Зависимость электрического поля E(x,t) от времени; Kn = ∞ - серые линии; Kn = 1- черные линии, x = π. Fig. 5. Electric field E(x,t) dependence on time; Kn = ∞ - grey lines; Kn = 1- black lines, x = π. В следующих примерах сравниваются столкновительные режимы для второго варианта при различных числах Кнудсена, которые принимаются в качестве параметра. Ищем зависимость затухания колебаний от величины Kn. На рис. 8 показана зависимость E(π/2,t), ε = 0.001 для трех Рис. 6. Зависимость от времени электрического поля E(x,t) и ∂p/∂x: Kn = ∞ - серые линии; Kn = 1 - черные линии. x = π/2. Fig. 6. Electric field E(x,t) and ∂p/∂x dependence on time: Kn = ∞ - grey lines; Kn = 1- black lines. x = π/2. Рис. 7. Временная зависимость ∂p/∂x для Kn = ∞ и Kn = 1, x = π/2. Fig. 7. Time dependence of ∂p/∂x for Kn = ∞ and Kn = 1, x = π/2. чисел Кнудсена Kn = 0.1, 0.05, 0.025. Очевидно, что чем меньше число Кнудсена, тем медленнее E(x,t) сходится к нулю при больших t. Фактически, рис. 9 описывает переход к гидродинамическому режиму. Видно, что через некоторое время, пропорциональное Kn-1, колебания исчезают. Также видно, что чем меньше число Кнудсена, тем выше проходят линии E(x,t). Рис. 8. E(x,t) для начальной функции f10 с начальными условиями (I) и T20(x). Fig. 8. E(x,t) for the initial function f10 with the initial conditions (I) and T20(x). Рис. 9. Электрическое поле E(x,t) для Kn = 0.1, 0.05, 0.025; ε = 10-3, A = 5, x = 3π/2 - пунктирная линия, π/2 -сплошная линия. Fig. 9. Electric field E(x,t) for Kn = 0.1, 0.05, 0.025; ε = 10-3, A = 5, x = 3π/2 - dotted line, π/2 -solid line. 6. Заключение В этой работе мы изучили класс таких решений уравнений ВПЛ, для которых типичная длина L намного больше радиуса Дебая rD. Принимая формальный предел такой, что ε = rD/L → 0, Kn = l/L остается ограниченным, мы получаем кинетическое уравнение, которое численно изучалось в нескольких публикациях. Нашей целью было прояснить некоторые математические вопросы, связанные с этим пределом. В частности, было показано, что предельное уравнение дает, вероятно, правильные результаты для функции распределения, но не для самосогласованного электрического поля. Причина в том, что поле содержит быстро осциллирующие члены, пропорциональные exp(±it/ε) при ε → 0. Это новое наблюдение показывает, что с предельными уравнениями нужно проявлять осторожность. Мы считаем, что эти свойства уравнений ВПЛ могут быть строго доказаны, все они подтверждены в [3] более явным изучением линеаризованного уравнения Власова-Пуассона и в настоящей статье точными численными решениями модельных уравнений Власова-Пуассона-БГК. Численные результаты для случая сильных колебаний электрического поля (см. рис. 5 и 6) поднимают много интересных вопросов, которые требуют дальнейшего исследования.

About the authors

A. V. Bobylev

Keldysh Institute of Applied Mathematics, RAS

Author for correspondence.
Email: alexander.bobylev47@gmail.com
Moscow, Russia

I. F. Potapenko

Keldysh Institute of Applied Mathematics, RAS

Email: alexander.bobylev47@gmail.com
Moscow, Russia

References

Supplementary files