Inverse initial-boundary value problem for systems of quasilinear evolution equations of odd order

Full Text

1. Введение. Описание основных результатов В статье рассматривается система квазилинейных уравнений нечетного порядка заданная на интервале I = (0,R) (R > 0 произвольно). Здесь u = u(t,x) = (u1,...,un)T , n ∈ N, - неизвестная вектор-функция, f = (f1,...,fn)T , gj = (gj1,...,gjn)T - также вектор-функции, a2l+1 = diag(a(2l+1)i), a2l = diag(a(2l)i), i = 1,...,n, - постоянные диагональные матрицы размера для j = 0,...,2l -1, - матрицы также размера n×n. © О.С. Балашов, А.В. Фаминский, 2025 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 18 В прямоугольнике QT = (0,T) × I для некоторого T > 0 рассмотрим обратную начальнокраевую задачу для системы (1.1) с начальным условием u(0,x) = u0(x), x ∈ [0,R], и граничными условиями (1.2) ∂xju(t,0) = μj(t), j = 0,...,l - 1, ∂xju(t,R) = νj(t), j = 0,...,l, t ∈ [0,T], где u0 = (u01,...,u0n)T , μj = (μj1,...,μjn)T , νj = (νj1,...,νjn)T . Предположим, что для любого i = 1,...,n функция fi представляется в виде (1.3) (1.4) для некоторого неотрицательного целого числа mi (если mi = 0, то fi = h0i), где функции hki даны, а функции Fki неизвестны. Кроме того, предположим, что часть краевых функций νli также неизвестна. Положим ni = 1, если функция νli неизвестна, и ni = 0, если функция νli дана. Тогда задача (1.1)-(1.3) дополнена условиями переопределения в интегральной форме: если mi +ni > 0 для некоторого i, то , (1.5) для некоторых заданных функций ωki и ϕki. В частности, для отдельного i условия переопределения для функции ui могут отсутствовать, но всегда предполагается, что , (1.6) так что хотя бы одна из краевых функций νli неизвестна (очевидно, что). Положим также , тогда. Задача состоит в нахождении функций νli (при ni > 0) и функций Fki (при mi > 0), для которых соответствующее решение u задачи (1.1)-(1.3) удовлетворяет условиям (1.5). В случае одного (n = 1) уравнения типа (1.1) обратные задачи были, например, рассмотрены в [5]. В частности, в этой статье приведены примеры физических моделей, которые могут быть описаны уравнениями подобного вида: уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) и Кавахары с обобщениями, уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса и Бенни-Лина, уравнение Каупа- Купершмидта и другие. Однако, наряду с одиночными уравнениями, в реальных физических ситуациях возникают также системы квазилинейных эволюционных уравнений нечетного порядка. Среди подобных систем следует упомянуть систему Майды-Биелло (см. [8]) , и более общие системы уравнений типа КдФ со спаренными нелинейностями (см. [4]). Более подробно о примерах подобных систем написано, например, в [5]. Важность условий интегрального переопределения в обратных задачах обсуждена, например, в книге [9]. Изучение обратных задач с интегральным условием переопределения для уравнений типа КдФ было начато в статье [2] на основе, в частности, идей из [9]. В статье [5] для задачи (1.1)- (1.3) в случае одного уравнения были рассмотрены две обратные задачи с одним интегральным условием переопределения типа (1.5). В первой их них в качестве управления была выбрана правая часть уравнения типа (1.4) (тогда M = 1, N = 0), во второй - граничная функция νl (тогда M = 0, N = 1). Были установлены результаты о корректности подобных задач либо в случае малых входных данных, либо малого временного интервала. В статье [6] была рассмотрена начально-краевая задача на ограниченном интервале для нелинейного уравнения Шрёдингера высокого порядка (u - комплекснозначная функция) с начальными и краевыми условиями, аналогичными (1.2)(1.3), и изучены три обратные задачи с интегральными условиями переопределения. Первые две из них аналогичны задачам, рассмотренным в [5], с похожими результатами. В третьей задаче были введены два условия переопределения типа (1.5), а в качестве управлений были рассмотрены как правая часть уравнения, так и граничная функция (M = N = 1). Результаты были аналогичны первым двум случаям. Заметим также, что обратная задача с двумя интегральными условиями переопределения для уравнения типа КдФ ut + uxxx + uux + α(t)u = F(t)g(t) в периодическом случае при неизвестных функциях α и F была рассмотрена в [7], где были установлены результаты об однозначной разрешимости для малого временного интервала. В статье [3] была рассмотрена обратная начально-краевая задача (1.1)-(1.3) с интегральными условиями переопределения (1.5) в случае, когда управлениями были правые части уравнений типа (1.4) (M > 0 - произвольно, N = 0). Аналогично [5] были установлены результаты о корректности либо в случае малых входных данных, либо малого временного интервала. Заметим, что в [3] также была рассмотрена и прямая начально-краевая задача (1.1)-(1.3). Настоящая работа является продолжением статьи [3] на случай произвольных M 0 и N ∈ (0,n] c аналогичными результатами о корректности. Эти результаты являются новыми даже в случае одного уравнения (тогда N = n = 1) в силу произвола в выборе M. Условия, накладываемые на систему, начальные и краевые данные, аналогичны условиям из [3], но с более сильными ограничениями на порядок роста нелинейностей (см. замечание 1.2). Решения рассматриваемой задачи, как и в [3], строятся в специальном пространстве векторфункций, где для любого i = 1,...,n ui(t,x) ∈ X(QT ) = C([0,T];L2(I)) ∩ L2(0,T;Hl(I)), с нормой . Для r > 0 через Xrn(QT ) обозначим замкнутый шар. Слабое решение задачи (1.1)-(1.3) понимается так же, как в [3], в смысле следующего определения. Определение 1.1. Пусть ∀j. Функция называется слабым решением задачи (1.1)-(1.3), если ∂xju(t,0) ≡ μj(t), ∂xju(t,R)νj(t), j = 0,...,l1, и для любой пробной функции φ(t,x), такой что j j ∂ = 0,...,l 1, и выполнено , (1.7) где символом (·,·) обозначено скалярное произведение в пространстве Rn. Пусть символы f(ξ) ≡ F[f](ξ) и F-1[f](x), как обычно, обозначают соответственно прямое и обратное преобразования Фурье функции В частности, для f ∈ S(R) Для s ∈ R стандартным образом введем пространство Соболева дробного порядка и для любого T > 0 обозначим через пространство сужений на интервал (0,T) функций из Hs(R) с естественной нормой. Для описания свойств граничных функций μj, νj при j < l будем использовать следующее функциональное пространство также с естественной нормой: . На коэффициенты линейной части системы будем накладывать следующие условия: (1.8) и для любых (1.9) Пусть ym = (ym1,...,ymn) для m = 0,...,l - 1. На функции gj(t,x,y0,...,yl-1) при любом будем накладывать следующие условия: для i = 1,...,n gji,grad, (1.10) где . Наконец, функции ωki будут всегда удовлетворять следующим условиям: ω ∈ H2l+1(I), ω(m)(0) = 0, m = 0,... ,l, ω(m)(R) = 0, m = 0,...,l - 1, (1.12) для всех ωki (где здесь ω ≡ ωki). Теперь сформулируем основные результаты работы. Теорема 1.1. Пусть матрицы aj, j = 0,...,2l + 1, удовлетворяют условиям (1.8), (1.9), а функции gj, j = 0,...,l, удовлетворяют условиям (1.10), (1.11), где при j < l (1.13) l, а при j = l l k (1.14) Пусть, если ni = 0, h0 = для некоторого T > 0. Предположим, что выполнено условие (1.6) и для любого i = 1,...,n, для которого mi +ni > 0, при k = 1,...mi +ni функции ωki удовлетворяют условию (1.12); ϕki ∈ H1(0,T) и ; (1.15) hki ∈ C([0,T];L2(I)) для k = 1,... ,mi если mi > 0. Положим для k = 1,...,mi + ni в случае mi > 0 , (1.16) а в случае ni = 1 , (1.17) и предположим, что . (1.18) Положим Тогда существует δ > 0, для которого при условии существуют функции Fki ∈ L2(0,T), i : mi > 0, k = 1,...,mi, функции νli ∈ L2(0,T), i : ni = 1, и соответствующее слабое решение, удовлетворяющее свойствам (1.5), где функция f задана формулой (1.4). Более того, существует r > 0, для которого это решение u единственно в шаре с соответствующими единственными функциями Fki ∈ L2(0,T) и νli ∈ L2(0,T), причем отображение (1.20) Липшиц-непрерывно в замкнутом шаре радиуса δ в пространство Теорема 1.2. Пусть выполнены условия теоремы 1.1, более того, в (1.13), (1.14) нестрогие неравенства при оценках b2 заменены на строгие. Тогда справедливы следующие утверждения. 1. Для фиксированного произвольного δ > 0 существует T0 > 0, для которого при и T ∈ (0,T0] существуют единственные функции Fki ∈ L2(0,T), i : mi > 0, k = 1,... ,mi, единственные функции νli ∈ L2(0,T), i : ni = 1, и соответствующее единственное слабое решение задачи (1.1)-(1.3), удовлетворяющее условиям (1.5), где функция f задана формулой (1.4). 2. Для фиксированного произвольного T > 0 существует δ > 0, для которого при условии существуют единственные функции Fki ∈ L2(0,T), i : mi > 0, k = 1,...,mi, единственные функции νli ∈ L2(0,T), i : ni = 1, и соответствующее единственное слабое решение задачи (1.1)-(1.3), удовлетворяющее условиям (1.5), где функция f задана формулой (1.4). Более того, отображение (1.20) Липшиц-непрерывно в замкнутом шаре радиуса δ аналогично теореме 1.1. Замечание 1.1. Теорема 1.2 справедлива для неоднородного аналога приведенной выше системы Майды-Биелло. Теорема 1.1 справедлива, например, для ее обобщения вида , при , где , например, если , , где Замечание 1.2. По сравнению с результатами настоящей работы аналогичные результаты в статье [3] в случае N = 0 получены при более слабых условиях на нелинейность для любого (с аналогичной заменой на строгое неравенство в аналоге теоремы 1.2). Статья организована следующим образом. Раздел 2 содержит некоторые интерполяционные неравенства и вспомогательные результаты для соответствующей линейной задачи, в разделе 3 приведены доказательства основных результатов. 2. Вспомогательные утверждения В дальнейшем мы будем использовать следующие интерполяционные неравенства: для некоторой константы c = c(R,l,b) и любых функций v,w ∈ X(QT ) 1. если j ∈ [0,l], k,m ∈ [0,l - 1], b ∈ (0,(4l - 2j - 2k)/(2m + 1)], то 2. если k,m ∈ [0,l - 1], m + k < l, b ∈ (1,(2l - 2k + 1)/(2m + 1)], то ; (2.2) 3. если k,m ∈ [0,l - 1] и либо m + k < l, b ∈ (0,1], либо , то , (2.3) которые доказаны в [5, лемма 3.3] (неравенство (2.1)) и [5, леммы 4.3, 4.4] (неравенства (2.2), (2.3)) на основе следующего простого неравенства (см., например, [1]): для некоторой константы c = c(R,l,p) и любых ϕ ∈ Hl(I), целого m ∈ [0,l) и p ∈ [2,+∞] . Кроме нелинейной системы (1.1) рассмотрим ее линейный аналог Gj = (Gj1,...,Gjn)T . Понятие слабого решения соответствующей начально-краевой задачи аналогично определению 1.1. В частности, соответствующее интегральное тождество (для тех же пробных функций, что и в определении 1.1) записывается следующим образом: Теорема 2.1. Пусть матрицы , (μ0,...,μl 1), (ν0,...,νl 1) ∈ -1(0 ) , νl ∈ 2(0 ) ∈ 1(0 ; 2( )) ∈ u ∈ задачи (2.4), (1.2), (1.3) и для любого t ∈ (0,T] Доказательство. Это утверждение доказано в [3, теорема 2.3]. Введем некоторые дополнительные обозначения. Пусть u = S(u0,(μ0,...,μl-1),(ν0,...,νl-1),νl,f,(G0,...,Gl)) является слабым решением задачи (2.4), (1.2), (1.3) из пространства в условиях теоремы 2.1. Положим также , , Пусть H1(0,T) = {ϕ ∈ H1(0,T) : ϕ(0) = 0}. Очевидно, что является эквивалентной нормой в этом пространстве. Пусть ω ∈ C(I). На пространстве функций u(t,x), лежащих в L1(I) для всех t ∈ [0,T], определим линейный оператор Q(ω) формулой (Q(ω)u)(t) = q(t;u,ω), где . (2.7) Лемма 2.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.1 и дополнительно, удовлетворяет условиям (1.12). Тогда для функции u = (u1 ...,un)T = S(W,νl,f,(G0,...,Gl)) соответствующая функция q(·;ui,ω) = Q(ω)ui, заданная формулой (2.7), принадлежит пространству H1(0,T), i = 1,...,n, и для почти всех t ∈ (0,T) Кроме того, где константа c не убывает по T. Доказательство. Формула (2.8) была доказана при более слабых предположениях в [3, лемма 2.4]. Так как в условиях настоящей леммы, поскольку ω ∈ C2l[0,R], то r ∈ L2(0,T), и в силу (2.8), . Так как, применяя неравенство (2.6), завершаем доказательство леммы. Лемма 2.2. Пусть для матриц aj выполнены условия (1.8), (1.9) и условие (1.6). Пусть для любого для которого mi +ni > 0, при k = 1,...,mi +ni функции ωki удовлетворяют условию (1.12), ϕki ∈ H1(0,T), функции hki ∈ C([0,T];L2(I)) в случае mi > 0 и для соответствующих функций ψkji выполнены условия (1.18). Тогда существуют единственное множество M функций F = {Fki(t) ∈ L2(0,T),i : mi > 0,k = 1,...,mi} и единственное множество N функций Φ = {νli(t) ∈ L2(0,T),i : ni > 0}, таких что для функций f = (f1,...,fn)T ≡ HF и νl = (νl1,...,νln)T ≡ JΦ, где при mi > 0 , fi(t,x) ≡ 0 при mi = 0, νli(t) ≡ 0 при ni = 0, соответствующая функция u = S0f + Slνl = (S0 ◦ H)F + (Sl ◦ J)Φ (2.10) удовлетворяет всем условиям (1.5). Более того, если положить (F,Φ) = Γ{ϕki,i : mi + ni > 0,k = 1,...,mi + ni}, то линейный оператор Γ : ограничен и его норма не убывает по T. Доказательство. Прежде всего заметим, что в силу (1.16)-(1.18) ψkji ∈ C[0,T] и . (2.11) На пространстве введем M +N линейных операторов H)F + (Sl ◦ J)Φ]. Пусть Λ = {Λki}. Тогда, поскольку , из теоремы 2.1 и леммы 2.1 следует, что оператор Λ действует из пространства в пространство и ограничен. Заметим, что набор равенств ϕki = Λki(F,Φ), i : mi + ni > 0,k = 1,...,mi + ni, для (F,Φ) ∈ очевидно означает, что набор функций (F,Φ) является искомым. Положим для каждого i, для которого mi + ni > 0, . Тогда из равенства (2.8) следует, что для q(t;ui,ωki) = Λki( Φ) (t) , (2.13) где функции заданы формулами (1.16), (1.17). Положим (2.14) и обозначим через определитель матрицы размера (mi + ni) × (mi + ni), где по сравнению с матрицей -й столбец заменен столбцом. Тогда из равенства (2.13) следует, что . (2.15) Положим , (2.16) и обозначим через Δki(t), где по сравнению с -й столбец заменен столбцом . Введем операторы Aki : L2(0,T) → L2(0,T) формулой , (2.17) и пусть Докажем, что ϕki = Λki(F,Φ), i : mi + ni > 0,k = 1,...,mi + ni, тогда и только тогда, когда A(F,Φ) = (F,Φ). Действительно, если ϕki = Λki(F,Φ), то для функции q(t;ui,ωki) ≡ , и тогда из равенств (2.14)-(2.17) следует, что . Поэтому A(F,Φ) = Обратно, если и из условия следует, что zki(t) ≡ yki(t), а тогда. Поскольку ϕki(0) = q(0;ui,ωki) = 0, мы получаем, что q(t;ui,ωki) ≡ ϕki(t). Теперь покажем, что оператор A является сжимающим при подходящем выборе специальной M N нормы в пространстве. Пусть . Обозначим через Δ∗ki(t) определитель матрицы размера (mi + ni) × (mi + ni), где по сравнению с матрицей -й столбец заменен на столбец, в котором на j-й строке стоит элемент r(t;u1i,ωji) - . Тогда . (2.18) В силу неравенства (2.6) для t ∈ [0,T] . Пусть γ > 0, тогда с учетом (2.11), (2.12), (2.18) и (2.19) Осталось выбрать достаточно большое γ. Таким образом, для любого набора функций существует единственный набор функций , для которого, т. е. ϕki = Λki(F,Φ). Это означает, что оператор Λ обратим, и тогда из теоремы Банаха следует, что обратный оператор непрерывен. В частности, . (2.21) Наконец, если для произвольного T1 > T продолжить функции ϕki константами ϕki(T) на интервал (T,T1), то аналог неравенства (2.21) на интервале (0,T1) для таких функций очевидно выполнен для константы. Это означает, что норма оператора Γ не убывает по T. В следующей теореме приводится решение обратной задачи для линейной системы в общем случае. Теорема 2.2. Пусть для матриц aj выполнены условия (1.8), (1.9) для некоторого T > 0. Предположим, что если ni = 0 и положимh0 = (h ,...,h L L I L L I L L (I))∩L (0,T;L (I)) n, (1.6) = 1,...,n, для которого mi + ni > 0, при k = 1,...mi + ni функции ωki удовлетворяют условию (1.12); ϕki ∈ H1(0,T) и выполнено условие (1.15); hki ∈ C([0,T];L2(I)) для k = 1,...,mi если mi > 0. Предположим, что выполнено условие (1.18), где функции ψkji заданы формулами (1.16), (1.17). Тогда существуют единственное множество M функций F = {Fki(t) ∈ L2(0,T),i : mi > 0,k = 1,... ,mi}, единственное множество N функций νli(t) ∈ L2(0,T),i : ni = 1} и соответствующее единственное слабое решение задачи (2.4), (1.2), (1.3), удовлетворяющее условиям (1.5), где , (2.22) Доказательство. Положим . В силу леммы 2.1 Q(ωki)vi ∈ H1(0,T). Более того, согласно (1.15). Положим , тогда . В свою очередь, из леммы 2.2 следует, что функции и по формулам (2.22) и (2.24) дают искомое решение рассматриваемой задачи. Единственность также следует из леммы 2.2. 3. Доказательство основных результатов Доказательство теоремы 1.1. На пространстве введем отображение Θ Заметим, что в силу условий (1.10), (1.11) для i = 1,...,n . (3.3) Положим при (3.4) а при j = l ; (3.5) в частности, в силу (1.13), (1.14) все величины . Заметим, что если j < l, то , более того, если то . Тогда из условий (1.13), (1.14) и неравенства (2.1) следует, что , более того, . (3.6) В свою очередь, из условий (1.13)-(1.14) и неравенств (2.2)-(2.3) следует, что gji(t,x,v,... ,∂xl-1v)∈ L2(0,T;L1(I)), более того, . (3.7) Тогда в силу теоремы 2.2 отображение Θ существует. Пусть , (3.8) тогда из неравенств (3.6) и (3.7) следует, что при Применим леммы 2.1 и 2.2, тогда для функций (F,Φ) из равенства (3.2) следует оценка Поскольку также очевидно, что , то из неравенства (2.6) следует, что . (3.11) Далее, для произвольных функций поэтому, аналогично (3.9) Поскольку где то аналогично (3.11) Теперь выберем r > 0 так, чтобы , (3.17) а затем δ > 0 так, чтобы . (3.18) Тогда из неравенств (3.11) и (3.16) следует, что на шаре отображение Θ является сжимающим. Его единственная неподвижная точка является искомым решением. Более того, в силу теоремы 2.2 функции (F,Φ) в (3.2) (для v ≡ u) определяются единственным образом. Липшиц-непрерывная зависимость решения от входных данных устанавливается аналогично (3.11), (3.16). Доказательство теоремы 1.2. В основном, доказательство повторяет доказательство теоремы 1.1. Искомое решение строится как неподвижная точка отображения Θ, заданного формулами (3.1), (3.2). Однако в силу того, что в условиях (1.13), (1.14) нестрогие неравенства заменены на строгие, здесь все величины e(bi(j,k,m)) > 0. Положим σ = min e(b2(j,k,m)) > 0. (3.19) j,k,m Тогда из неравенств (3.6), (3.7) получаем, что в отличие от (3.9) а тогда, используя также оценку (3.10), выводим аналогично (3.11), что . (3.21) Также аналогично (3.16) находим, что Далее для доказательства первого утверждения теоремы при фиксированном δ выберем T0 > 0 так, чтобы , (3.23) а затем для любого T ∈ (0,T0] выберем произвольное r, для которого (3.24) (это множество непусто согласно (3.23), поскольку величина c(T) не убывает по T). Тогда отображение Θ является сжимающим на шаре Xrn(QT ). Для второго утверждения теоремы доказательство того факта, что в случае фиксированного T отображение Θ является сжимающим на шаре, ничем не отличается от аналогичного доказательства для теоремы 1.1. Для того, чтобы доказать единственность решения во всем пространстве в обоих случаях, заметим, что для достаточно большого r величина T0 может быть выбрана настолько малой, n что решение рассматриваемой задачибудет единственной неподвижной точкой сжимающего отображения Θ в шаре.

About the authors

O. S. Balashov

Author for correspondence.
Email: balashovos@s1238.ru

A. V. Faminskii

Email: faminskiy-av@pfur.ru

References

Supplementary files