Using the Balakrishnan-Yosida approach to constructing fractional powers of linear operators in a Banach space by means of strongly continuous semigroups with densely defined generating operators, in this paper, a similar scheme is presented for constructing fractional powers of nondensely defined operators by means of semigroups with a summable singularity. It is found that the newly constructed semigroups also have a singularity at zero, and their sharp estimate is established, related to the order of the singularity of the original semigroup and the fractional power of the constructed operator, in particular, the square root. As an example, the obtained results are applied to semigroups with a singularity given in the paper [3] and in the doctoral dissertation of Yu. T. Silchenko, and a square root is also constructed for a nondensely defined operator.
С использованием подхода Балакришнана-Иосиды построения дробных степеней линейных операторов в банаховом пространстве с помощью сильно непрерывных полугрупп с плотно определёнными производящими операторами, в работе приводится аналогичная схема для построения дробных степеней неплотно определённых операторов с применением полугрупп, имеющих суммируемую особенность. Выяснено, что вновь построенные полугруппы также имеют особенность в нуле, и установлена их точная оценка, связанная с порядком особенности исходной полугруппы и дробной степенью построенного оператора, в частности - квадратного корня. В качестве примера полученные результаты применяются к полугруппам с особенностью, приведённым в работе [3] и в докторской диссертации Ю.Т. Сильченко, а также строится квадратный корень для неплотно определённого оператора.