Classical solution of the initial-boundary value problem for the wave equation with mixed derivative

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In this paper, we study the initial-boundary value problem for a second-order nonhomogeneous hyperbolic equation in a half-strip of the plane with constant coefficients, containing a mixed derivative, with zero and nonzero potentials. This equation is the equation of transverse oscillations of a moving finite string. We consider the case of fixed ends (Dirichlet conditions). We assume that the roots of the characteristic equation are simple and lie on the real axis on different sides of the origin. We formulate our previously proven theorems on finite formulas for a generalized solution in the case of homogeneous and nonhomogeneous problems. Then, based on these formulas, we prove theorems on finite formulas for a classical solution or, in other words, a solution almost everywhere. In the second part of the paper, we formulate theorems on generalized solution of the initial-boundary value problem with ordinary potential and potential of general type, which we had proved earlier. These results are based on the idea of treating an equation with a potential as an inhomogeneity in an equation without a potential. This idea was previously used by A. P. Khromov and V. V. Kornev in the case of equation without mixed derivative. Further, on the basis of formulas for generalized solution to the problem with potentials, we prove theorems on the corresponding formulas for classical solutions for these two types of potentials.

About the authors

V. S. Rykhlov

Saratov State University

Author for correspondence.
Email: RykhlovVS@yandex.ru
Saratov, Russia

References

  1. Бурлуцкая М.Ш., Хромов А.П. Резольвентный подход в методе Фурье// Докл. РАН. - 2014.- 458, № 2. -С. 138-140.-doi: 10.7868/S0869565214260041.
  2. Бурлуцкая М.Ш., Хромов А.П. Резольвентный подход для волнового уравнения// Журн. вычисл. мат. и мат. физ.- 2015.- 55, № 2.- С. 229-241.- doi: 10.7868/S0044466915020052.
  3. Вагабов А.И. Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов.-Ростов-на-Дону: Рост. унив., 1994.
  4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.- М.: Наука, 1976.
  5. Корнев В.В. О применении расходящихся рядов в смешанных задачах, не имеющих классического решения// В сб.: «Современные методы теории краевых задач: материалы межд. конференции: Воронеж. весенняя матем. школа “Понтрягинские чтения-XXXIII”». -Воронеж: ВГУ, 2022.- С. 132-137.
  6. Корнев В.В., Хромов А.П. Классическое решение смешанной задачи для однородного волнового уравнения с закрепленными концами// Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. - 2019.- 172.- С. 119-133.-doi: 10.36535/0233-6723-2019-172-119-133.
  7. Корнев В.В., Хромов А.П. Использование резольвентного подхода и расходящихся рядов при решении смешанных задач// В сб.: «Математика. Механика. Вып. 23».-Саратов: Сарат. унив., 2021.- С. 18-24.
  8. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах.-М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.
  9. Курдюмов В.П., Хромов А.П., Халова В.А. Смешанная задача для однородного волнового уравнения с ненулевой начальной скоростью с суммируемым потенциалом// Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Мат. Мех. Инф.- 2020.- 20, № 4.- С. 444-456.- doi: 10.18500/1816-9791-2020-20-4-444-456.
  10. Ломов И.С. Эффективное применение метода Фурье для построения решения смешанной задачи для телеграфного уравнения// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. мат. и киберн.- 2021.-№ 4.- С. 37-42.
  11. Ломов И.С. Обобщенная формула Даламбера для телеграфного уравнения// Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. - 2021.- 172.-С. 66-79.- doi: 10.36535/0233-6723-2021-199-66-79.
  12. Ломов И.С. Эффективное применение метода Фурье к решению смешанной задачи для телеграфного уравнения// В сб.: «Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 21-й межд. Саратовской зимней школы».-Саратов: Сарат. унив., 2022.-С. 178-180.
  13. Ломов И.С. Новый метод построения обобщённого решения смешанной задачи для телеграфного уравнения// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. мат. и киберн. -2022.-№ 3. -С. 33-40.
  14. Ломов И.С. Построение обобщённого решения смешанной задачи для телеграфного уравнения: секвенциальный и аксиоматический подходы// Дифф. уравн.-2022.- 58, № 11.-С. 1471-1483.-doi: 10.31857/S0374064122110048.
  15. Ломовцев Ф.Е. Метод корректировки пробных решений волнового уравнения в криволинейной первой четверти плоскости для минимальной гладкости правой части// Журн. Белорус. гос. ун-та. Мат. Инф.-2017.- 3.-С. 38-52.
  16. Ломовцев Ф.Е., Лысенко В.Н. Смешанная задача для общего одномерного волнового уравнения в полуполосе плоскости при нестационарных нехарактеристических вторых производных// Весн. МДУ iм. А.А. Куляшова. Сер. B. Мат. Фiз. Бiял. -2021.-№ 2.-С. 28-55.
  17. Ломовцев Ф.Е. Глобальная теорема корректности по Адамару первой смешанной задачи для волнового уравнения в полуполосе плоскости// Весн. ГрДУ iм. Я. Купалы. Сер. 2. Мат. Фiз. Iнф, вылiч. тэх. i кiрав.- 2021.- 11, № 1.- С. 68-82.
  18. Ломовцев Ф.Е. Первая смешанная задача для общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами на полупрямой// Журн. Белорус. гос. ун-та. Мат. Инф.- 2021.- 1.-С. 18-38.
  19. Ломовцев Ф.Е. Глобальнаятеорема корректностипервой смешанной задачи для общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами на отрезке// Пробл. физ., мат. и техн.- 2022.-№ 1.- С. 62-73.-doi: 10.54341/20778708_2022_1_50_62.
  20. Моисеев Е.И., Ломовцев Ф.Е., Новиков Е.Н. Неоднородное факторизованное гиперболическое уравнение второго порядка в четверти плоскости при полунестационарной факторизованной второй косой производной в граничном условии// Докл. РАН. - 2014.- 459, № 5.- С. 544-549.-doi: 10.7868/S0869565214350072.
  21. Муравей Л.А., Петров В.М., Романенков А.М. О задаче гашения поперечных колебаний продольно движущейся струны// Вестн. Мордовского ун-та.-2018.- 28, № 4.- С. 472-485.-DOI: 1015507/0236-2910.028.201804.472-485.
  22. Муравей Л.А., Романенков А.М. Численные методы гашения колебаний движущегося бумажного полотна// В сб.: «Дифф. уравн., мат. моделир. и вычисл. алгоритмы: сборн. матер. межд. конф. Белгород, 25-29 окт. 2021 г.» -Белгород: ИД БелГУ НИУ БелГУ, 2021.- С. 194-196.
  23. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы.- М.: Наука, 1969.
  24. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. - М.: Наука, 1974.
  25. Расулов М.Л. Метод контурного интеграла и его применение к исследованию задач для дифференциальных уравнений.-М.: Наука, 1964.
  26. Рыхлов В.С. Разрешимость смешанной задачи для гиперболического уравнения с распадающимися краевыми условиями при отсутствии полноты собственных функций// Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. -2022.- 204.- С. 124-134.-doi: 10.36535/0233-6723-2022-204-124-134.
  27. Рыхлов В.С. О решении начально-граничной задачи для гиперболического уравнения со смешанной производной// В сб.: «Соврем. методы теории краевых задач: материалы Межд. конф. “Понтрягинские чтения-XXXIII”». -Воронеж: ВГУ, 2022.-С. 237-240.
  28. Рыхлов В.С. Решение начально-граничной задачи для уравнения гиперболического типа со смешанной производной// В сб.: «Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 21-й межд. Саратовской зимней школы».- Саратов: Сарат. унив., 2022.-С. 252-255.- URL: https://sgu.ru/node/184778.
  29. Рыхлов В.С. Единственность решения начально-граничной задачи для гиперболического уравнения со смешанной производной и формула для решения// Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Мат. Мех. Инф.-2023.- 23, № 2.-С. 183-194.-doi: 10.18500/1816-9791-2023-23-2-183-194.
  30. Рыхлов В.С. Обобщённая начально-граничная задача для волнового уравнения со смешанной производной// Соврем. мат. Фундам. направл.-2023.-69, № 2.- С. 342-363.- doi: 10.22363/2413-3639- 2023-69-2-342-363.
  31. Рыхлов В.С. Обобщённое решение начально-граничной задачи для волнового уравнения со смешанной производной и ненулевым потенциалом// В сб.: «Соврем. методы теории краевых задач: матер. Межд. конф.: Воронеж. весен. матем. школа (3-9 мая 2023 г.)». -Воронеж: ВГУ, 2023.- С. 343-345.
  32. Рыхлов В.С. Обобщённое решение начально-граничной задачи для волнового уравнения со смешанной производной и потенциалом общего вида// В сб.: «XXXIV Крымская осенняя математическая школа-симпозиум Н.Д. Копачевского по спектральным и эволюционным задачам».-Симферополь: ИТ АРИАЛ, 2023.-С. 17-19.
  33. Рыхлов В.С. О решении начально-граничной задачи в полуполосе для гиперболического уравнения со смешанной производной// Итоги науки и техники. Сер. Совр. мат. и ее прил. -2023.- 226.- С. 89-107.- doi: 10.36535/0233-6723-2023-226-89-107.
  34. Рыхлов В.С. О решении начально-граничной задачи для волнового уравнения со смешанной производной и потенциалом общего вида// В сб.: «Современные проблемы теории функций и их приложения: Вып. 22: материалы 22-й межд. Саратовской зимней школы».-Саратов: Сарат. унив., 2024.- С. 238-242.
  35. Харди Г. Расходящиеся ряды. -М.: Иностр. лит., 1951.
  36. Толстов Г.П. О второй смешанной производной// Мат. сб.-1949.- 24, № 1. -С. 27-51.
  37. Хромов А.П. Поведение формального решения смешанной задачи для волнового уравнения// Журн. выч. мат. и мат. физ. -2016.-56, № 2.- С. 239-251.-doi: 10.7868/S0044466916020149.
  38. Хромов А.П. О классическом решении смешанной задачи для однородного волнового уравнения с закрепленными концами и нулевой начальной скоростью// Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Мат. Мех. Инф.- 2019.- 19, № 3.- С. 280-288.-doi: 10.18500/1816-9791-2019-19-3-280-288.
  39. Хромов А.П. Расходящиеся ряды и смешанная задача для волнового уравнения// В сб.: «Математика. Механика. Вып. 21».-Саратов: Сарат. унив., 2019.-С. 62-67.
  40. Хромов А.П. Расходящиеся ряды и функциональные уравнения, связанные с аналогами геометрической прогрессии// В сб.: «Современные методы теории краевых задач: материалы межд. конференции: Воронежская весенняя математическая школа “Понтрягинские чтения-XXX”». - Воронеж: ВГУ, 2019.-С. 291-300.
  41. Хромов А.П. Расходящиеся ряды и метод Фурье для волнового уравнения// В сб.: «Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 20-й межд. Саратовской зимней школы».- Саратов: Научная книга, 2020.- С. 433-439.
  42. Хромов А.П. Расходящиеся ряды и обобщённая смешанная задача// В сб.: «Математика. Механика. Вып. 23».- Саратов: Сарат. унив., 2021.-С. 63-67.
  43. Хромов А.П. Расходящиеся ряды и обобщённая смешанная задача для волнового уравнения// В сб.: «Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 21-й межд. Саратовской зимней школы».-Саратов: Саратов. унив., 2022.-С. 319-324.- URL: https://sgu.ru/node/184778.
  44. Хромов А.П. Расходящиеся ряды и обобщённая смешанная задача для волнового уравнения простейшего вида// Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Мат. Мех. Инф.- 2022.- 22, № 3.-С. 322-331.-doi: 10.18500/1816-9791-2022-22-3-322-331.
  45. Хромов А.П., Корнев В.В. Классическое и обобщённое решения смешанной задачи для неоднородного волнового уравнения// Журн. вычисл. мат. и мат. физ.- 2019.- 59, № 2.-С. 286-300.-doi: 10.1134/S0044466919020091.
  46. Хромов А.П., Корнев В.В. Расходящиеся ряды в методе Фурье для волнового уравнения// Тр. ИММ УрО РАН. -2021.-27, № 4.- С. 215-238.-doi: 10.21538/0134-4889-2021-27-4-215-238.
  47. Хромов А.П., Корнев В.В. Расходящиеся ряды и обобщённая смешанная задача, не допускающая разделения переменных// Тр. Мат. центра им. Н.И. Лобачевского.- 2021.- 60.-С. 325-328.
  48. Эйлер Л. Дифференциальное исчисление. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1949.
  49. Archibald F.R., Emslie A.G. The vibration of a string having a uniform motion along its length// J. Appl. Mech.- 1958.- 25, № 1.- С. 347-348.
  50. Mahalingam S. Transverse vibrations of power transmission chains// British J. Appl. Phys.- 1957.- 8, № 4. -С. 145-148.-URL: http://iopscience.iop.org/article/ 10.1088/0508-3443/8/4/303/pdf.
  51. Sack R.A. Transverse oscillations in traveling strings// British J. Appl. Phys. -1954.-5, № 6.- С. 224- 226.- doi: 10.1088/0508-3443/5/6/307.

Copyright (c) 2024 Rykhlov V.S.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies