Классическое решение начально-граничной задачи для волнового уравнения со смешанной производной

Полный текст

1. Постановка задачи, история вопроса, основные обозначения и определения Рассмотрим начально-граничную задачу , (1.1) u(0,t) = 0, u(1,t) = 0, (1.2) ∂u(x,0) u(x,0) = ϕ(x), = ψ(x), (1.3) ∂t где (x,t) ∈ Q = [0, 1] × [0,+∞); p1,p2 ∈ R; все функции, входящие в (1.1)-(1.3), предполагаются комплекснозначными. Далее будут также использоваться обозначения для частных производных вида ∂u ∂u ∂2u ∂2u ux := ∂x, ut := ∂t , uxx := ∂x2 , uxt := ∂x∂t, ... Рассматривается случай волнового или гиперболического уравнения (1.1), т. е. предполагается выполнение условия . В этом случае корни ω1,ω2 характеристического уравнения ω2 + p1ω + p2 = 0 вещественны и различны. Требуется найти решение начально-граничной задачи (1.1)-(1.3) в области Q при как можно более слабых условиях на параметры задачи, т. е. на функции ϕ(x), ψ(x), f(x,t). Уравнение (1.1) является уравнением поперечных колебаний продольно движущейся конечной струны. Такие уравнения актуальны для производственных процессов, связанных с продольным движением материалов (например, бумажного полотна). Исследование таких колебаний началось около 60 лет назад [49-51]. Излагаемые в статье результаты получены с использованием резольвентного и аксиоматического методов решения начально-граничных задач для волнового уравнения в полуполосе плоскости, предложенных А.П. Хромовым и наиболее просто описанных в [43, 44]. Такой подход к решению задачи сформировался не сразу. Историю формирования и развития этого подхода, а также полученные с помощью него результаты можно найти в [1, 2, 5-7, 9, 27, 28, 30, 33, 37-42, 45-47]. Этот подход использует идеи А.Н. Крылова [8] об ускорении сходимости тригонометрического ряда, а также идеи Л. Эйлера [48] и Г. Харди [35] о расходящихся рядах. Аналогичный подход решения начально-граничных задач в полуполосе плоскости для телеграфного уравнения при других краевых условиях используется в [10-14]. Другой подход, отличный от используемого в данной и вышеупомянутых статьях и при других постановках начально-граничных задач, в частности, в первой четверти плоскости, получил развитие в [15-20]. Рассматриваются и другие задачи для уравнения (1.1), например, задача гашения поперечных колебаний продольно движущейся струны [21, 22]. В зависимости от того, как будет пониматься решение задачи (1.1)-(1.3), будут накладываться различные требования на функции ϕ(x), ψ(x) и f(x,t). Считаем далее, что функция f(x,t) переменных (x,t) ∈ Q есть функция класса Q, если f(x,t) ∈ L1(QT ) при любом T > 0, где QT = [0, 1] × [0,T]. Будем кратко записывать этот факт как f(x,t) ∈ Q. Определение 1.1. Задачу (1.1)-(1.3), в которой f(x,t) есть функция класса Q, ϕ(x) ∈ W12[0, 1], ψ(x) ∈ W11[0, 1], будем называть классической начально-граничной задачей. Определение 1.2. Под классическим решением понимается функция u(x,t) переменных (x,t) ∈ Q, которая: а) непрерывна вместе с ux(x,t) и ut(x,t), при этом ux(x,t) и ut(x,t) абсолютно непрерывны и по x, и по t, и почти всюду (п.в.) в Q выполняется равенство ux,t(x,t) = utx(x,t); (1.4) б) удовлетворяет условиям (1.2)-(1.3) на границе множества Q и уравнению (1.1) п.в. в Q. Отметим, что необходимость в условии (1.4) обусловлена тем, что в случае, когда uxt(x,t) и utx(x,t) не являются непрерывными функциями, это равенство может не выполняться на множестве положительной меры [36]. Для классического решения задачи (1.1)-(1.3) по необходимости должны выполняться условия (далее ссылаемся на них, как на условия (N)): (N1) гладкости: абсолютно непрерывны на отрезке [0, 1]; (N2) согласования: ϕ(0) = ϕ(1) = 0 и ψ(0) = ψ(1) = 0. Определение 1.3. Задачу (1.1)-(1.3), в которой f(x,t) ∈ Q, а ϕ(x),ψ(x) ∈ L1[0, 1], будем называть обобщённой начально-граничной задачей. Возможны только две принципиально разные ситуации: ω1 < 0 < ω2, (1.5) 0 < ω1 < ω2. (1.6) В случае (1.5) соответствующая спектральная задача является регулярной по Биркгофу [23, с. 66-67], а в случае (1.6) - нерегулярной. Далее будем рассматривать только случай (1.5). Нерегулярный случай другим методом рассмотрен в [26]. В случае ω1 = -1, ω2 = 1 имеем p1 = 0, p2 = -1, и уравнение (1.1) является классическим уравнением колебания струны uxx - utt = 0. В [44] и предыдущих работах А.П. Хромова (ссылки приведены в [44]) рассматривался именно такой случай. Как следствие, из результатов настоящей статьи вытекает полученный в [44] результат об обобщённом решении, но представленный в другом виде, не использующем продолжений функций ϕ(x), ψ(x) и f(x,t) на всю вещественную ось. Результаты, излагаемые в настоящей статье, относятся к общему случаю p1 ∈ R. Обобщённое решение задачи (1.1)-(1.3) понимается аналогично соответствующему определению из [30, 33] и основывается на теореме единственности классического решения и представлении этого решения в виде ряда из контурных интегралов [29]. Для того, чтобы дать определение обобщённого решения задачи (1.1)-(1.3), сформулируем эту теорему. Предварительно введем спектральную задачу L(λ)y = 0, порожденную оператор-функцией L(λ), определяемой дифференциальным выражением с параметром λ и краевыми условиями типа Дирихле U1(y) := y(0) = 0, U2(y) := y(1) = 0. Пусть Rλ есть резольвента оператор-функции L(λ), а G(x,ξ,λ) её функция Грина. Обозначим через R1λ интегральный оператор с ядром Gξ(x,ξ,λ). Теорема 1.1. Если u(x,t) есть классическое решение задачи (1.1)-(1.3), выполняются условия (N), (1.5) и условие, что utt(x,t) есть функция класса Q, то это решение единственно и находится по формуле в которой ряд справа сходится абсолютно и равномерно по x ∈ [0, 1] при любом фиксированном t > 0. Отметим, что формулы, аналогичные формуле (1.7), уже встречались ранее (например, в работах [1, 3, 25] и многих других). Из теоремы 1.1 следует, что задача (1.1)-(1.3) и ряд справа в (1.7) тесно связаны, а именно, если эта задача имеет классическое решение, то для него справедлива формула (1.7). При этом функции ϕ(x) и ψ(x) должны удовлетворять условиям (N). Следуя методу, используемому в [43, 44], расширим понятие этой связи. Ряд справа в (1.7) имеет смысл для любых функций ϕ(x),ψ(x) ∈ L1[0, 1] и f(x,t) ∈ Q, хотя теперь он может и не быть сходящимся, т. е., вообще говоря, расходящимся. Будем считать, что он является формальным решением задачи (1.1)-(1.3), но понимаемой теперь чисто формально. Эта задача (1.1)-(1.3) в случае f(x,t) ∈ Q и ϕ(x),ψ(x) ∈ L1[0, 1] в определении 1.3 была названа обобщённой начально-граничной задачей. Определение 1.4. В случае f(x,t) ∈ Q и ϕ(x),ψ(x) ∈ L1[0, 1] будем называть ряд справа в (1.7) обобщённым решением задачи (1.1)-(1.3). Найти обобщённое решение задачи (1.1)-(1.3) - значит найти «сумму» ряда справа в (1.7) («сумма» в кавычках означает, что это сумма понимается именно как сумма расходящегося ряда). Трактуя ряд справа в формуле (1.7) изначально как расходящийся [35, 48] и соответствующим образом определяя (или, другими словами, назначая) «сумму» этого ряда, можно, как и в [43, 44], значительно сократить выкладки при получении конечных формул для обобщённого решения и при этом не накладывать никаких дополнительных ограничений на функции ϕ(x), ψ(x) и f(x,t), предполагая лишь, что ϕ(x),ψ(x) ∈ L1[0, 1], а f(x,t) ∈ Q. В последующих разделах будут сформулированы полученные автором ранее теоремы о формулах для обобщённых решений частных задач вида (1.1)-(1.3) и итоговая теорема о формуле для обобщённого решения задачи (1.1)-(1.3). Далее, на основе этих формул будут получены соответствующие формулы для классических решений частных задач вида (1.1)-(1.3) и итоговая теорема о формуле для классического решения задачи (1.1)-(1.3). Затем, как приложение результатов об обобщённом решении неоднородной задачи, будут сформулированы ранее полученные автором результаты об обобщённом решении двух начальнограничных задач с потенциалом q. Первая задача с потенциалом q = q(x) имеет вид , (1.8) u(0,t) = 0, u(1,t) = 0, (1.9) (1.10) где (x,t) ∈ Q = [0, 1] ×[0,+∞), p1,p2 ∈ R, функции, входящие в (1.8)-(1.10), комплекснозначные, ϕ(x), ψ(x) ∈ L1[0, 1], q(x) ∈ L1[0, 1]. Вторая задача с потенциалом q = q(x,t) имеет вид , (1.11) u(0,t) = 0, u(1,t) = 0, (1.12) (1.13) где (x,t) ∈ Q = [0, 1]×[0,+∞), p1,p2 ∈ R, функции, входящие в (1.11)-(1.13), комплекснозначные, ϕ(x), ψ(x) ∈ L1[0, 1], q(x,t) ∈ Q. Как понимается обобщённое решение задач (1.8)-(1.10) и (1.11)-(1.13), будет пояснено далее. 2. Конечные формулы для обобщённого решения в случае нулевого потенциала Решение задачи (1.1)-(1.3) ищется как суперпозиция решений трех более простых задач u(x,t) = u1(x,t) + u2(x,t) + u3(x,t), (2.1) где u1(x,t) есть решение однородной задачи uxx + p1uxt + p2utt = 0, (2.2) u(0,t) = 0, u(1,t) = 0, (2.3) u(x,0) = ϕ(x), ut(x,0) = 0, u2(x,t) есть решение однородной задачи (2.4) uxx + p1uxt + p2utt = 0, (2.5) u(0,t) = 0, u(1,t) = 0, (2.6) u(x,0) = 0, ut(x,0) = ψ(x), (2.7) а u3(x,t) есть решение неоднородной задачи uxx + p1uxt + p2utt = f(x,t), (2.8) u(0,t) = 0, u(1,t) = 0, (2.9) u(x,0) = 0, ut(x,0) = 0. (2.10) В случае обобщённой задачи (1.1)-(1.3) конечные формулы для решения получены в [30, 33]. Для дальнейшего изложения эти результаты удобнее представить в несколько другом виде. Будем использовать следующие обозначения: α(x,t) := 2x, t + ω ω2 - ω1 Кроме того, полагаем: β(x,t) := 1x, t + ω ω2 - ω1 ω a := 2 . ω2 - ω1 (2.11) (2.12) а [x] и {x} будет обозначать, соответственно, целую и дробную части числа x ∈ R. Для обобщённого решения u1(x,t) задачи (2.2)-(2.4) справедлива следующая теорема. Теорема 2.1. Пусть ϕ(x) ∈ L1[0, 1] и выполняется условие (1.5). Тогда обобщённым решением задачи (2.2)-(2.4) является функция u1(x,t) ∈ Q, определённая для п.в. (x,t) ∈ Q формулой , (2.13) где ); (2.14) . Для обобщённого решения u2(x,t) задачи (2.5)-(2.7) справедлива следующая теорема. Теорема 2.2. Пусть ψ(x) ∈ L1[0, 1] и выполняется условие (1.5). Тогда обобщённым решением задачи (2.5)-(2.7) является функция u2(x,t) ∈ Q, определённая для п.в. (x,t) ∈ Q формулой , (2.15) где ); (2.16) . Для обобщённого решения u3(x,t) задачи (2.8)-(2.10) справедлива следующая теорема. Теорема 2.3. Пусть f(x,t) ∈ Q и выполняется условие (1.5). Тогда обобщённым решением задачи (2.8)-(2.10) является функция u3(x,t) ∈ Q, определённая для п.в. (x,t) ∈ Q формулой (2.17) где ); (2.18) . Формулу (2.17) можно записать в другом виде, а именно, справедлива следующая теорема. Теорема 2.4. Пусть f(x,t) ∈ Q и выполняется условие (1.5). Тогда обобщённым решением задачи (2.8)-(2.10) является функция u3(x,t) ∈ Q, определённая для п.в. (x,t) ∈ Q формулой (2.19) где является непрерывной кусочно-линейной функцией при и удовлетворяет неравенству . На основе формулы (2.1) и теорем 2.1-2.3 можно сформулировать общую теорему о конечной формуле для обобщённого решения задачи (1.1)-(1.3). Теорема 2.5. Пусть ϕ(x), ψ(x) ∈ L1[0, 1], f(x,t) ∈ Q и выполняется условие (1.5). Тогда функция u(x,t), определённая для п.в. (x,t) ∈ Q формулой является обобщённым решением задачи (1.1)-(1.3), где определяется формулой (2.14), -формулой -формулой (2.18). Обозначим , (2.20) где функции определяются формулами (2.14) и (2.16), соответственно. Используя эти обозначения и пользуясь теоремой 2.4 вместо 2.3 в теореме 2.5, совершенно аналогично можно сформулировать теорему об обобщённом решении задачи (1.1)-(1.3) с итоговой формулой в другом виде. Теорема 2.6. Пусть выполняются условия теоремы 2.5. Тогда функция u(x,t), определённая для п.в. (x,t) ∈ Q формулой является обобщённым решением задачи (1.1)-(1.3). Естественно возникает вопрос, а будут ли формулы для обобщённых решений, приведенные в этом разделе, давать классические решения при соответствующих условиях на параметры задач? В следующем разделах будет получен утвердительный ответ на этот вопрос, что будет являться обоснованием полученных формул для обобщённого решения. 3. Классическое решение на основе формул для обобщённого решения в случае нулевого потенциала Рассмотрим классическую задачу (1.1)-(1.3). Для получения конечных формул для решения u(x,t) этой задачи, как и в предыдущем разделе, воспользуемся представлением (2.1), где функции u1(x,t), u2(x,t) и u3(x,t) являются решениями классических задач (2.2)-(2.4), (2.5)-(2.7) и (2.8)-(2.10), соответственно. Рассмотрим последовательно эти три задачи. 3.1. Классическое решение в случае ψ = 0 и f = 0. Рассмотрим задачу (2.2)-(2.4) нахождения классического решения u1(x,t). В теореме 2.1 для обобщённого решения u1(x,t) получена формула (2.13). Справедлива следующая теорема. Теорема 3.1. Если u1(x,t) есть классическое решение задачи (2.2)-(2.4) при условии (1.5), для которого u1,tt(x,t) ∈ Q, то это решение единственно и даётся формулой (2.13). Доказательство. Справедливость теоремы вытекает из теоремы 2 в [29] о единственности классического решения и формулы для него в виде ряда из контурных интегралов, определения обобщённого решения в [33, с. 101] и теоремы 2.1 о формуле (2.13) для обобщённого решения. Оказывается, справедливо и обратное утверждение. А именно, следующее достаточное условие для того, чтобы формула (2.13) давала классическое решение задачи (2.2)-(2.4). Теорема 3.2. Если ϕ(x) ∈ W12[0, 1], ϕ(0) = ϕ(1) = 0 и выполняется условие (1.5), то функция u1(x,t), определённая для всех (x,t) ∈ Q формулой (2.13), является единственным классическим решением задачи (2.2)-(2.4), для которого выполняется условие u1,tt(x,t) ∈ Q. Доказательство. Разобьём доказательство теоремы на несколько пунктов. 1. Покажем, что функция u1(x,t), определяемая формулой (2.13), при предположениях теоремы удовлетворяет пункту а) определения 1.2 классического решения и, кроме того, является решением уравнения (2.2) в области Q. Для этого сначала установим, что есть абсолютно непрерывная функция на любом отрезке [A,B] ⊂ R. Пусть m < ξ < m+a, где m ∈ Z. Тогда, так как ξ - m ∈ (0,a), будем иметь по определению функции . (3.1) То есть ϕ˘(ξ) - абсолютно непрерывная функция на каждом промежутке (m,m + a) при любых m ∈ Z, или, записывая кратко, ϕ˘(ξ) ∈ AC(m,m+a) ∀m ∈ Z. Пусть m+a < ξ < m+1, где m ∈ Z, тогда, так как ξ - m ∈ (a,1), аналогично получим из определения функции , (3.2) - - а это означает, что ϕ˘(ξ) ∈ AC(m + a,m) ∀m ∈ Z. Покажем теперь, что ϕ˘(ξ) непрерывна в точках ξ = m и ξ = m + a. На основании формул (3.1), (3.2), непрерывности функции ϕ(x) и предположения теоремы, что ϕ(0) = ϕ(1) = 0, получим 1) в точках ξ = m , - а это означает, что ϕ˘(ξ) непрерывна в точках ξ = m; 2) в точках , а это означает, что ϕ˘(ξ) непрерывна и в точках ξ = m + a. Таким образом, установлено, что ϕ˘(ξ) есть непрерывная кусочно-абсолютно непрерывная функция на любом отрезке [A,B]. Но тогда из определения абсолютно непрерывной функции получим, что ϕ˘(ξ) является абсолютно непрерывной функцией и на отрезке [A,B]. Этот факт удобно для дальнейшего оформить в виде леммы. Лемма 3.1. Непрерывная кусочно-абсолютно непрерывная функция на ограниченном отрезке [A,B] ⊂ R является абсолютно непрерывной функцией на этом отрезке. Далее, из формул (3.1) и (3.2) следует, что производная функции ϕ˘(ξ) существует на каждом интервале (m,m+a) и (m+a,m+1) при m ∈ Z, и по условию является абсолютно непрерывной функцией на этих интервалах. На интервале (m,m + a) из формулы (3.1) получим , (3.3) а на интервале (m + a,m + 1) на основании формулы (3.2) будем иметь - - - - Покажем, что есть абсолютно непрерывная функция на любом отрезке [A,B]. Для этого достаточно показать непрерывность в точках ξ = m и ξ = m+a. В точке ξ = m на основании формулы (3.3) имеем , а это и означает, что непрерывна в точках В точке ξ = m + a на основании формулы (3.4) имеем , а это и означает, что непрерывна и в точках ξ = m + a. Следовательно, функция есть непрерывная кусочно-абсолютно непрерывная функция на любом отрезке [A,B]. Но тогда по лемме 3.1 функция есть абсолютно непрерывная функция на любом отрезке [A,B]. А отсюда следует, на основании [24, теорема 3, с. 228], что на любом отрезке [A,B] производная существует для п.в. ξ ∈ [A,B] и является суммируемой функцией на этом отрезке. Далее потребуется следующая лемма. Лемма 3.2. Если есть абсолютно непрерывные функции на любом отрезке [A,B] ⊂ R, то функции g(α(x,t)) и g(β(x,t)) для п.в. (x,t) ∈ R2 являются решениями уравнения (2.2). При этом для п.в. (x,t) ∈ R2 имеют место равенства . (3.5) Доказательство. Докажем, например, что функция g(α(x,t)) есть решение уравнения (2.2) для п.в. (x,t) ∈ R2. Так как есть абсолютно непрерывная функция на [A,B], а функция α(x,t) есть монотонная функция и по х и по t, то на основании [24, теорема 3, с. 228] функция g(α(x,t) является абсолютно непрерывной и по x и по t для всех (x,t) из области . Следовательно, для п.в. (x,t) ∈ Ωα(A,B) существуют производные . (3.6) Но так как по той же теореме из [24] есть абсолютно непрерывная функция и по x и по t в области Ωα(A,B), то для п.в. (x,t) ∈ Ωα(A,B) существуют производные, определяемые на основании (3.6) следующими формулами: так как , (3.7) ) (так как, (3.8) ) (так как, (3.9) (так как. (3.10) Из формул (3.8) и (3.9) следует левое равенство в (3.5). Далее, подставим полученные выражения (3.7), (3.8) и (3.10) в левую часть уравнения (2.2). В результате для п.в. (x,t) ∈ Ωα(A,B) получим следующую цепочку равенств с учетом того, что по теореме Виета p1 = -(ω1 + ω2) и p2 = ω1ω2: . Так как A и B - произвольные числа, то функция g(α(x,t)) будет удовлетворять уравнению (2.2) для п.в. (x,t) ∈ R2. Тем самым утверждение леммы доказано для g(α(x,t)). Для g(β(x,t)) утверждение леммы доказывается аналогично. Таким образом, лемма 3.2 доказана. Так как функция ϕ˘(ξ) удовлетворяет предположениям леммы 3.2, то для п.в. (x,t) ∈ R2 функции ϕ˘(α(x,t)) и ϕ˘(β(x,t)) для п.в. (x,t) ∈ R2 являются решениями уравнения (2.2), для которых при п.в. (x,t) ∈ R2 выполняются равенства . Следовательно, в силу определения ϕ˘(ξ) из предыдущего заключаем, что функция u1(x,t), выражающаяся формулой (2.13), при предположениях теоремы удовлетворяет пункту а) определения 1.2 классического решения и, кроме того, для п.в. (x,t) ∈ R2 (а, значит, и в Q) удовлетворяет уравнению (2.2). 2. Далее будем рассматривать (x,t) ∈ Q. Проверим выполнение для u1(x,t) граничных условий (2.3). Из формулы (2.13) следует при всех t 0 , Таким образом, функция u1(x,t), определяемая формулой (2.13), удовлетворяет граничным условиям (2.3) в области Q. 3. Проверим для функции u1(x,t), определяемой формулой (2.13), выполнение начальных условий (2.4). В силу определения функции из формулы (2.13) следует при всех x ∈ [0, 1] , т. е. первое начальное условие (2.4) для функции u1(x,t) выполняется. Для проверки второго начального условия (2.4) нужно найти производную в достаточно узкой полосе в множестве Q - , (3.11) примыкающей к отрезку x ∈ [δ,1 - δ] (δ > 0 и достаточно мало). Если (x,t) ∈ Πδ, то ; α(x,t) = ω2x + t > ω2δ > 0; ω2 - ω1 ω2 - ω1 1 + β(x,t) = 1 + ω1x + t < 1 + ω1δ - ω1δ = 1; ω2 - ω1 ω2 - ω1 ω2 - ω1 - - Следовательно, при (x,t) ∈ Πδ , откуда получаем формулу для производной при (x,t) ∈ Πδ вида . В результате будем иметь при x ∈ [δ,1 - δ] и t = 0 , а в силу непрерывности и произвольности δ > 0 получим . Следовательно, , т. е. и второе начальное условие (2.4) для функции u1(x,t) выполнятся. Тем самым, на основании пунктов 1-3 можно заключить, что функция u1(x,t), определяемая формулой (2.13), при выполнении предположений теоремы является классическим решением задачи (2.2)-(2.4). 4. Покажем теперь, что функция u1,tt(x,t), где u1(x,t) определяется формулой (2.13), при выполнении предположений теоремы есть функция класса Q. Из определения функции u1(x,t) получим . Отсюда, используя формулу (3.10) для второй производной, найдём . (3.12) В пункте 1 доказательства было установлено, что при предположениях теоремы функция ϕ˘tt(x) является суммируемой на любом конечном отрезке [A,B] ⊂ R2, а значит, и измеримой на любом таком отрезке. Ввиду линейности функций α(x,t) и β(x,t) отсюда следует, что функции измеримы в области QT при любом T > 0. Покажем, что эти функции суммируемы в любой такой области. Рассмотрим для примера функцию. Из вышеизложенного следует, что эта функция суммируема по x ∈ [0, 1] для п.в. t ∈ [0,T] и по t ∈ [0,T] для п.в. x ∈ [0, 1]. На основании теоремы 2 из [24, с. 335] и следствия из неё [24, с. 336] можно заключить, что для суммируемости при любом T > 0 достаточно установить неравенство . (3.13) Делая внутри интеграла в (3.13) замену α(x,t) = s и вводя число k ∈ N такое, что (напомним, что здесь [x] обозначает целую часть числа x), получим , т. е. неравенство (3.13) установлено. Следовательно, . Совершенно аналогично доказывается, что и. Таким образом, на основании (3.12) приходим к выводу, что u1,tt(x,t) ∈ Q, а это доказывает единственность классического решения u1(x,t), если воспользоваться теоремой 2 из [29]. Тем самым, теорема 3.2 полностью доказана. Из теорем 3.1 и 3.2 вытекает следующая теорема о необходимых и достаточных условиях классического решения задачи (2.2)-(2.4). Теорема 3.3. Для того, чтобы функция u1(x,t), определённая формулой (2.13), была единственным классическим решением задачи (2.2)-(2.4) при условии (1.5), необходимо и достаточно, чтобы ϕ(x) ∈ W12[0, 1], ϕ(0) = ϕ(1) = 0. 3.2. Классическое решение в случае ϕ = 0 и f = 0. Рассмотрим задачу (2.5)-(2.7) нахождения классического решения u2(x,t). В теореме 2.2 для обобщённого решения u2(x,t) получена формула (2.15). Справедлива следующая теорема. Теорема 3.4. Если u2(x,t) есть классическое решение задачи (2.5)-(2.7) при условии (1.5), для которого u2,tt(x,t) ∈ Q, то это решение единственно и даётся формулой (2.15). Доказательство. Справедливость теоремы вытекает из теоремы 2 в [29] о единственности классического решения и формулы для него в виде ряда из контурных интегралов, определения обобщённого решения в [33, с. 101] и теоремы 2.2 о формуле (2.15) для обобщённого решения. Оказывается справедливо и обратное утверждение, а именно, следующее достаточное условие для того, чтобы формула (2.15) давала классическое решение задачи (2.5)-(2.7). Теорема 3.5. Если ψ(x) ∈ W11[0, 1], ψ(0) = ψ(1) = 0 и выполняется условие (1.5), то функция u2(x,t), определённая для всех (x,t) ∈ Q формулой (2.15), является единственным классическим решением задачи (2.5)-(2.7), для которого выполняется условие u2,tt(x,t) ∈ Q. Доказательство. Разобьём доказательство теоремы на несколько пунктов. 1. Покажем, что u2(x,t), определяемая формулой (2.15), при предположениях теоремы удовлетворяет пункту а) определения 1.2 классического решения и, кроме того, является решением уравнения (2.5) в области Q. Для этого сначала установим, что есть абсолютно непрерывная функция на любом отрезке [A,B] ⊂ R. Пусть m < ξ < m + a, где m ∈ Z. Тогда, так как ξ - m ∈ (0,a), будем иметь по определению функции (см. формулу (2.16)) . (3.14) То есть Пусть, тогда, так как ξ - m ∈ (a,1), аналогично получим из определения функции Ψ(x) , (3.15) а это означает, что Ψ(˘ ξ) ∈ AC(m+a,m) ∀m ∈ Z. Покажем теперь, что Ψ(˘ ξ) непрерывна в точках ξ = m и ξ = m+a. На основании формул (3.14), (3.15) и в силу непрерывности функции Ψ(x) на отрезке [0, 1] (см. формулу (2.12)), получим: , а это означает, что Ψ(˘ ξ) непрерывна в точках ξ = m; , а это означает, что Ψ(˘ ξ) непрерывна и в точках ξ = m + a. Таким образом, установлено, что Ψ(˘ ξ) есть непрерывная кусочно-абсолютно непрерывная функция на любом отрезке [A,B]. Но тогда по лемме 3.1 функция Ψ(˘ ξ) является абсолютно непрерывной функцией на отрезке [A,B]. Далее, из формул (3.14) и (3.15) следует, что производная функции Ψ(˘ ξ) существует на каждом интервале (m,m + a) и (m + a,m +1) при m ∈ Z и по условию является абсолютно непрерывной функцией на этих интервалах. На интервале (m,m + a) из формулы (3.14) и определения функции Ψ(x) получим , (3.16) а на интервале (m + a,m + 1) на основании формулы (3.15) аналогично будем иметь . (3.17) Покажем, что есть абсолютно непрерывная функция на любом отрезке [A,B]. Так как функция ψ(x) по предположению теоремы непрерывна на [0, 1], то для этого достаточно показать непрерывность в точках ξ = m и ξ = m+a. В точке ξ = m на основании формул (3.16), (3.17) и предположений теоремы, что ψ(0) = ψ(1) = 0, имеем , а это и означает, что непрерывна в точках ξ = m. В точке ξ = m + a на основании формул (3.16) и (3.17) аналогично имеем , а это и означает, что непрерывна и в точках ξ = m + a. Следовательно, функция есть непрерывная кусочно-абсолютно непрерывная функция на любом отрезке [A,B]. Но тогда по лемме 3.1 функция есть абсолютно непрерывная функция на любом отрезке [A,B]. Из формул (3.16) и (3.17) следует, на основании [24, теорема 3, с. 228], что на любом отрезке [A,B] производная существует для п.в. ξ ∈ [A,B] и является суммируемой функцией на этом отрезке. Так как функция Ψ(˘ ξ) удовлетворяет предположениям леммы 3.2, то для п.в. (x,t) ∈ R2 функции Ψ(˘ α(x,t)) и Ψ(˘ β(x,t)) для п.в. (x,t) ∈ R2 являются решениями уравнения (2.5), для которых при п.в. (x,t) ∈ R2 выполняются равенства . Следовательно, на основании определения функции Ψ(˘ ξ) из предыдущего заключаем, что функция u2(x,t), выражающаяся формулой (2.15), при предположениях теоремы удовлетворяет пункту а) определения 1.2 классического решения и, кроме того, для п.в. (x,t) ∈ R2, а значит, и в области Q, удовлетворяет уравнению (2.5). 2. Далее будем рассматривать (x,t) ∈ Q. Проверим выполнение для u2(x,t) граничных условий (2.6). Из формулы (2.15) для u2(x,t) следует при всех t 0 , . Таким образом, функция u2(x,t), определяемая формулой (2.15), удовлетворяет граничным условиям (2.6) в области Q. 3. Проверим теперь для функции u2(x,t), определяемой формулой (2.15), выполнение начальных условий (2.7). Из формулы (2.15) для u2(x,t) следует в силу определения (см. формулу (2.15)) при всех x ∈ [0, 1] , т. е. первое начальное условие (2.7) для функции u2(x,t) выполнятся. Для проверки второго начального условия (2.7) нужно найти производную в полосе Πδ отрезка x ∈ [δ,1-δ], определённой в предыдущем подразделе формулой (3.11) (δ > 0 и достаточно мало). Тогда, как и в предыдущем случае, получим при (x,t) ∈ Πδ α(x,t) ∈ (0,a), 1 + β(x,t) ∈ (a,1). Следовательно, при (x,t) ∈ Πδ получим формулу , - откуда при (x,t) ∈ Πδ найдём следующую формулу для производной: . - В результате будем иметь при x ∈ [δ,1 - δ] и t = 0 ω ω , - - а в силу непрерывности u2,t(x,0) и произвольности δ > 0 получим . Следовательно, , т. е. и второе начальное условие (2.7) для функции u2(x,t) выполняется. Тем самым на основании пунктов 1-3 доказано, что функция u2(x,t), определяемая формулой (2.15), при выполнении предположений теоремы является классическим решением начально-краевой задачи (2.5)-(2.7). То, что u2,tt(x,t) есть функция класса Q, показывается совершенно аналогично тому, как это было сделано для u1,tt(x,t) в предыдущем подразделе. На основании теоремы 2 из [29] это доказывает единственность классического решения u2(x,t). Тем самым теорема 3.5 полностью доказана. Из теорем 3.4 и 3.5, а также теоремы 2 из [29] о единственности классического решения вытекает следующая теорема о необходимых и достаточных условиях классического решения задачи (2.5)-(2.7). Теорема 3.6. Для того, чтобы функция u2(x,t), определённая формулой (2.15), была единственным классическим решением задачи (2.5)-(2.7) при условии (1.5), необходимо и достаточно, чтобы ψ(x) ∈ W11[0, 1], ψ(0) = ψ(1) = 0. 3.3. Классическое решение в случае ϕ = 0 и ψ = 0. Рассмотрим задачу (2.8)-(2.10). В разделе 2 в теореме 2.3 для обобщённого решения u3(x,t) получена формула (2.17). Справедлива следующая теорема. Теорема 3.7. Если u3(x,t) есть классическое решение задачи (2.8)-(2.10) при условии (1.5), для которого u3,tt(x,t) ∈ Q, то это решение единственно и даётся формулой (2.17). Доказательство. Справедливость теоремы вытекает из теоремы 2 в [29] о единственности классического решения и формулы для него в виде ряда из контурных интегралов, определения обобщённого решения в [33, с. 101] и теоремы 2.3 о формуле (2.17) для обобщённого решения. Оказывается справедливо и обратное утверждение, а именно, следующее достаточное условие для того, чтобы формула (2.17) давала классическое решение задачи (2.8)-(2.10). Теорема 3.8. Если f(x,t) абсолютно непрерывна по t при п.в. полняется условие (1.5), то функция u3(x,t), определённая для всех (x,t) ∈ Q формулой (2.17), является единственным классическим решением задачи (2.8)-(2.10), для которого выполняется условие u3,tt(x,t) ∈ Q. Доказательство. Рассмотрим функцию. Аналогичная функция Ψ(˘ ξ), но одной переменной, уже рассматривалась в доказательстве теоремы 3.5 (волна над функцией Ψ(ξ) и функцией F(ξ,τ) по переменной ξ имеет одинаковый смысл). Используя те же рассуждения, что и для функции Ψ(˘ ξ), можно аналогично установить, что F˘(ξ,τ) есть абсолютно непрерывная функция по ξ на любом отрезке [A,B] ⊂ R. Из условия теоремы следует, что и по τ эта функция абсолютно непрерывна на любом отрезке . При этом для ξ ∈ (m,m+a), где m ∈ Z, имеем по определению функции F(ξ,τ) (см. (2.18)) , т. е. на основании формулы (2.12) для функции F(ξ,τ) при п.в. ξ ∈ (m,m+a) получим выражение В случае ξ ∈ (m + a,m + 1) аналогично получим , т. е. при п.в. ξ ∈ (m + a,m + 1) будем иметь представление Так как α(x,t - τ) и β(x,t - τ) суть линейные функции и по x, и по t (см. определение этих функций в (2.11)), то функции F˘(α(x,t - τ),τ) и F˘(β(x,t - τ),τ) суть абсолютно непрерывные функции и по x, и по t в QT для всех T > 0. С использованием функции F˘(ξ,τ) формулу (2.17) можно записать в виде . (3.20) Покажем, что функция u3(x,t), определяемая этой формулой, при условиях теоремы будет классическим решением задачи (2.8)-(2.10). Это требует достаточно длинных рассуждений, но с идейной точки зрения эти рассуждения мало отличаются от соответствующих рассуждений из [45, c. 289-293] в случае, когда p1 = 0, т. е. когда ω1 = -1 и ω2 = 1. Поэтому эти рассуждения проведем без излишних подробностей. Найдём первые частные производные от v1(x,t). Для производной по x будем иметь для всех (x,t) ∈ Q где понимается следующим образом: . Если F˘ξ(ξ,τ) - непрерывная функция по ξ и τ, то формула (3.21) получается обычным дифференцированием интеграла v1(x,t) по формуле Ньютона-Лейбница. Если же функция F˘ξ(ξ,τ) не является непрерывной (а в нашем случае она, вообще говоря, суммируема по ξ), то, тем не менее, эта формула также верна (обоснование формулы (3.21) и аналогичных формул, как уже было указано выше, можно найти в [45, c. 289-293]). Из вида α(x,t-τ) и формулы (3.21) получим выражение для производной по x для всех (x,t) ∈ Q (3.22) Совершенно аналогично получаем выражение для производной по t для всех (x,t) ∈ Q Найдём теперь вторые частные производные от функции v1(x,t). Для этого в интегралах по переменной τ в (3.22) и (3.23) сделаем замену переменной α(x,t - τ) = ξ. В результате эти формулы будут иметь вид (3.24) (3.25) Так как F˘ξ(ξ,τ) есть абсолютно непрерывная функция по τ, то для п.в. (x,t) ∈ Q справедливы следующие формулы для вторых производных от функции v1(x,t): ; (3.26) Совершенно ясно, что для производных от функции v2(x,t) будут иметь место аналогичные формулы (первые производные определены для всех (x,t) ∈ Q, а вторые производные - для п.в. (x,t) ∈ Q) β(x,t) ; (3.30) ; (3.31) Учитывая представление (3.20) для функции u3(x,t) и формулы (3.24)-(3.35), получим следующие формулы для производных от функции u3(x,t) (первые производные определены для всех (x,t) ∈ Q, а вторые производные - для п.в. (x,t) ∈ Q): ; Так как на основании формулы (3.18) , (3.41) а на основании формулы (3.19) то формулу (3.39) можно записать короче: Сравнивая (3.38) и (3.43), получаем для п.в. (x,t) ∈ QT равенство u3,xt(x,t) = u3,tx(x,t). Следовательно, функция u3(x,t), определённая для всех (x,t) ∈ Q формулой (2.17), удовлетворяет пункту a) определения 1.2 классического решения. Покажем, что u3(x,t) удовлетворяет и пункту б) определения классического решения. Для этого нужно проверить выполнение условий (2.9) и (2.10) всюду на границе области Q, а также то, что функция u3(x,t) удовлетворяет уравнению (2.8) п.в. в Q. Из формулы (2.17) следует для всех t 0 , ввиду 1-периодичности функциит. е. краевые условия (2.9) для функции u3(x,t) выполняются. Далее, в соответствии с формулой (2.17) получим , а на основании формулы (3.36) будем иметь , т. е. функция u3(x,t) удовлетворяет также и начальным условиям (2.10). Покажем теперь, что рассматриваемая функция u3(x,t) при предположениях теоремы для п.в. (x,t) ∈ Q удовлетворяет уравнению (2.8). Используя формулы (3.37), (3.38) и (3.40) в левой части уравнения (2.8), получим для п.в. (x,t) ∈ Q Принимая во внимание формулы (3.41)-(3.42), для правой части (3.44) получим представление Из (3.44)-(3.45) видно, что функция u3(x,t), которая определена при всех (x,t) ∈ Q формулой (2.17), является решением уравнения (2.8) для п.в. (x,t) ∈ Q. Таким образом, доказано, что функция u3(x,t) является классическим решением неоднородной начально-граничной задачи (2.8)-(2.10) в случае (1.5). Осталось доказать единственность этого решения. Для доказательства единственности решения u3(x,t) в соответствии с [29, теорема 2] нужно установить, что u3,tt(x,t) ∈ Q. Из формулы (3.40) видно, что для этого достаточно установить ; (3.46) . (3.47) Справедливость (3.46) устанавливается совершенно аналогично тому, как это было сделано для u1,tt(x,t) в подразделе 3.1. Покажем, что справедливо и (3.47). Так как доказательства этого свойства для первого и второго интегралов идентичны, то установим это свойство, например, для первого интеграла. Нужно доказать, что при любом T > 0 . А для этого на основании теоремы 2 из [24, с. 335] и следствия из неё [24, с. 336] достаточно показать . (3.48) В силу того, что функция измерима в QT при любом T > 0, будет измерима и функция и по x, и по t в силу линейности второго аргумента по этим переменным. Поэтому будет измеримой в QT и функция С учетом этого обозначения, чтобы установить (3.48), достаточно получить при любом фиксированном T > 0 оценку . (3.49) Рассмотрим внутренний интеграл (3.50) В этом интеграле интегрирование проводится по параллелограмму . Сделаем в интеграле (3.50) замену переменных . (3.51) Для якобиана выполняется условие , т. е. замена переменных (3.51) является гомеоморфизмом. В результате этой замены для I(t) получим представление , где область интегрирования St есть параллелограмм . Так как функция F˘ξτ(ξ1,x1) измерима на множестве St при любом t > 0 и справедливы неравенства , то по теореме 2 из [24, с. 335] и следствия из неё [24, с. 336] получим, что I(t) есть суммируемая функция на [0,T], а следовательно, выполняется (3.49). Таким образом, неравенство (3.48) установлено и, тем самым, доказано первое свойство в (3.47). Как уже отмечалось, второе свойство в (3.47) доказывается аналогично. Тем самым установлено, что u3,tt(x,t) ∈ Q, откуда на основании [29, теоремы 2] следует единственность классического решения u3(x,t). Следовательно, теорема 3.8 полностью доказана. На основании теоремы 2.4 для обобщённого решения u3(x,t), а следовательно, и для классического решения u3(x,t) на самом деле справедлива и другая эквивалентная формула, а именно, формула (2.19). Учитывая это, теорему 3.8 можно переформулировать в следующем виде. Теорема 3.9. Если f(x,t) абсолютно непрерывна по t при п.в. полняется условие (1.5), то функция u3(x,t), определённая для всех (x,t) ∈ Q формулой (2.19), является единственным классическим решением задачи (2.8)-(2.10), для которого выполняется условие u3,tt(x,t) ∈ Q. Возвращаясь теперь к представлению (2.1) классического решения задачи (1.1)-(1.3), и учитывая уже доказанные теоремы 3.3, 3.6, 3.9 о классических решениях u1(x,t), u2(x,t), u3(x,t) на основе формул для обобщённых решений, пользуясь обозначением (2.20), получаем следующий итоговый результат о классическом решении задачи (1.1)-(1.3). Теорема 3.10. Если ϕ(x) ∈ W12[0, 1], ψ(x) ∈ W11[0, 1], выполняются условия ϕ(0) = ϕ(1) = ψ(0) = ψ(1) = 0, f(x,t) абсолютно непрерывна по t при п.в. и выполняется условие (1.5), то функция где функция v(x,t) определяется формулой (2.20), является единственным классическим решением задачи (1.1)-(1.3). Отметим, что функция v(x,t) является классическим решением задачи (1.1)-(1.3) в случае однородного уравнения (1.1) (f = 0). Чтобы подчеркнуть, что это именно классическое решение, далее для краткости будем обозначать его как v◦(x,t). 4. Обобщённое решение начально-граничной задачи в случае ненулевого потенциала 4.1. Обобщённое решение в случае ненулевого потенциала q(x). Рассмотрим начальнограничную задачу (1.8)-(1.10). Применим к решению этой задачи подход, предложенный для потенциала q = q(x) в [43, 44] (в случае p1 = 0) и в [30, 31] (в случае ). Так же, как и в [30, 31, 43, 44], будем считать правую часть q(x)u(x,t) в уравнении (1.8) как возмущение в уравнении (1.1) задачи (1.1)-(1.3). Тогда по теореме 2.6 от задачи (1.8)-(1.10) приходим к интегральному уравнению: (4.1) Таким образом, задача (1.8)-(1.10) и интегральное уравнение (4.1) тесно связаны. Но в интегральном уравнении (4.1) функции v(x,t) и q(x) могут быть самого общего вида. А именно, v(x,t) может быть функцией класса Q, что верно при самых общих предположениях на функции ϕ(x) и ψ(x), а именно: ϕ(x), ψ(x) ∈ L1[0, 1], а функция q(x) также может быть самого общего вида, т. е. q(x) ∈ L1[0, 1], но при условии, что произведение q(x)u(x,t)) ∈ Q. Естественно дать следующее определение. Определение 4.1. Будем называть решение u(x,t) интегрального уравнения (4.1), в котором ϕ(x), ψ(x), q(x) ∈ L1[0, 1], но при этом q(x)u(x,t) ∈ Q, обобщённым решением начальнограничной задачи (1.8)-(1.10), а саму задачу - обобщённой начально-граничной задачей. Введем оператор отображающий свою область определения D(B) ⊂ L1(QT ) в C(QT ). Очевидно, оператор B есть линейный оператор. Сужение этого оператора на пространство C(QT ) обозначим как оператор B. С использованием этого оператора уравнение (4.1) кратко можно записать в виде u(x,t) = v(x,t) + (Bu)(x,t). Введем чисто формально функцию . (4.2) Ввиду специальной структуры функции w(x,t) аналогично [30, лемма 4.2] можно утверждать, что если ϕ(x), ψ(x), q(x) ∈ L1[0, 1], то w(x,t) является функцией из пространства C(QT ) при любом T > 0, т. е. на самом деле уже не формально. Следовательно, можно образовать ряд . (4.3) . Определение 4.2. Будем говорить, что числовой ряд ! сходится не медленнее γ-экспоn=0 ненциального ряда (γ > 0), если при некоторой константе C > 0 и при всех n будет. 1-Экспоненциальный ряд - это обычный экспоненциальный ряд. Справедлива следующая теорема из [30]. Теорема 4.1. Если ϕ(x), ψ(x), q(x) ∈ L1[0, 1] и выполняется условие (1.5), то ряд (4.3) сходится абсолютно и равномерно в пространстве C(QT ) к непрерывной функции W(x,t), при этом сходимость ряда не медленнее экспоненциального, и функция u(x,t) = v(x,t) + W(x,t) (4.4) является единственным обобщённым решением задачи (1.8)-(1.10). 4.2. Обобщённое решение в случае ненулевого потенциала q(x,t). Рассмотрим начально-граничную задачу (1.11)-(1.13). Применим к решению этой задачи подход, предложенный для потенциала q = q(x,t) в [7] (в случае p1 = 0) и в [32, 34] (в случае). Так же, как и в [7], будем рассматривать правую часть q(x,t)u(x,t) в уравнении (1.11) как возмущение в уравнении (1.1) задачи (1.1)-(1.3). Тогда по теореме 2.6 от задачи (1.11)-(1.13) приходим к интегральному уравнению (4.5) Таким образом, задача (1.11)-(1.13) и интегральное уравнение (4.5) тесно связаны. Но в интегральном уравнении (4.5) функции v(x,t) и q(x,t) могут быть самого общего вида. А именно, v(x,t) может быть функцией класса Q, что верно при самых общих предположениях относительно параметров задачи ϕ(x), ψ(x), а именно: ϕ(x), ψ(x) ∈ L1[0, 1], и функция q(x,t) также может быть функцией класса Q, но при условии, что произведение q(x,t)u(x,t)) ∈ Q. Естественно дать следующее определение по аналогии с определением 4.1. Определение 4.3. Будем называть решение u(x,t) интегрального уравнения (4.5), в котором ϕ(x), ψ(x) ∈ L1[0, 1], q(x,t) ∈ Q, но при этом q(x,t)u(x,t) ∈ Q, обобщённым решением начальнограничной задачи (1.11)-(1.13), а саму задачу - обобщённой начально-граничной задачей. Введем оператор отображающий свою область определения D(D) ⊂ L1(QT ) в C(QT). Очевидно, оператор D есть линейный оператор. Сужение этого оператора на пространство C(QT ) обозначим как оператор D. С использованием этого оператора уравнение (4.5) кратко можно записать в виде u(x,t) = v(x,t) + (Du)(x,t). Далее будут фигурировать два предположения относительно потенциала q(x,t) для п.в. (x,t) ∈ QT при любом фиксированном T > 0: 1]; (. (4.6) Введем чисто формально функцию w. (4.7) Ввиду специальной структуры функции w(x,t), на основании [34, лемма 1] можно утверждать, что если ϕ(x), ψ(x) ∈ L1[0, 1], функция q(x,t) класса Q и для неё выполняется условие (i) или (ii) в (4.6), то w(x,t) является функцией из пространства C(QT ) при любом T > 0, т. е. на самом деле уже не формально w. Следовательно, можно образовать ряд . (4.8) Справедлива следующая теорема [34, теорема 3]. Теорема 4.2. Предположим, что ϕ(x), ψ(x) ∈ L1[0, 1], выполняется условие (1.5), q(x,t) ∈ Q и удовлетворяет условиям (i) или (ii). Тогда ряд (4.8) сходится абсолютно и равномерно в пространстве C(QT ) к непрерывной функции W(x,t), при этом сходимость ряда в случае (i) не медленнее экспоненциального ряда, а в случае (ii) не медленнее -экспоненциального, и функция u(x,t) = v(x,t) + W(x,t) (4.9) является единственным обобщённым решением задачи (1.11)-(1.13). 5. Классическое решение начально-граничной задачи в случае ненулевого потенциала на основе обобщённого решения 5.1. Классическое решение в случае ненулевого потенциала q(x). Рассмотрим обобщённую начально-граничную задачу (1.8)-(1.10) с потенциалом q = q(x). В разделе 4 сформулирована теорема 4.1 об обобщённом решении этой задачи, которое определяется формулой (4.4). Естественно возникает вопрос: будет ли формула (4.4) давать классическое решение начальнограничной задачи (1.8)-(1.10) и при каких условиях на функции ϕ(x), ψ(x), p(x)? Если ответ положительный (а это так и окажется), то можно сделать вывод, что метод получения обобщённого решения является регулярным. Этот вывод будет являться оправданием метода получения обобщённого решения. Справедлива следующая теорема. Теорема 5.1. Если ϕ(x) ∈ W12[0, 1], ψ(x) ∈ W11[0, 1], выполняются условия ϕ(0) = ϕ(1) = 0, ψ(0) = ψ(1) = 0, q(x) ∈ L1[0, 1] и предположение (1.5), то единственным классическим решением задачи (1.8)-(1.10) является функция u◦(x,t) = v◦(x,t) + W◦(x,t), (5.1) где W◦(x,t) определяется формулой (4.3) (ряд справа в (4.3) сходится абсолютно и равномерно в C(QT ), T > 0, при самых общих предположениях на параметры ϕ(x), ψ(x), а именно: ϕ(x), ψ(x) ∈ L1[0, 1]), функция w◦(x,t) определяется формулой (4.2), в которой вместо v(x,t) стоит v◦(x,t) -классическое решение задачи (1.1)-(1.3) с однородным уравнением (1.1). Доказательство. Из определения W◦(x,t) видно, что справедливо представление где обозначено . (5.3) Функция u◦(ξ,τ) выражается формулой (5.1) и является вполне определённой функцией из Q. На основании теоремы 2.4 и представления (5.2) можно заключить, что для функции W◦(x,t) имеет место и другое представление, более удобное для дальнейших рассуждений, а именно: (5.4) где определяется формулой (см. (2.18)) , здесь В теореме 3.8 установлено, что если h(x,t) есть абсолютно непрерывная функция по t 0 при п.в. x ∈ [0, 1] и ht(x,t) ∈ Q, то функция W◦(x,t), определённая формулой (5.4), является единственным классическим решением начально-граничной задачи uxx + p1uxt + p2utt = h(x,t), (5.5) u(0,t) = 0, u(1,t) = 0, (5.6) u(x,0) = 0, ut(x,0) = 0. (5.7) Справедлива следующая лемма. Лемма 5.1. Если выполняются условия теоремы 5.1 и ht(x,t) ∈ Q, то функция u◦(x,t), определяемая формулой (5.1), является единственным классическим решением начально-граничной задачи (1.8)-(1.10). Доказательство. Так как v◦(x,t) является классическим решением задачи (1.1)-(1.3) в случае однородного уравнения, W◦(x,t) есть решение задачи (5.5)-(5.7) и выполняется (5.3), то . Таким образом, u◦(x,t) удовлетворяет уравнению (1.8) для п.в. (x,t) ∈ Q. Далее, при всех u◦(0,t) = v◦(0,t) + W◦(0,t) = 0 + 0 = 0, u◦(1,t) = v◦(1,t) + W◦(1,t) = 0 + 0 = 0, т. е. u◦(x,t) удовлетворяет граничным условиям (1.9). При x ∈ [0, 1] имеют место равенства u◦(x,0) = v◦(x,0) + W◦(x,0) = ϕ(x) + 0 = ϕ(x), u◦t (x,0) = vt◦(x,0) + Wt◦(x,0) = ψ(x) + 0 = ψ(x), т. е. u◦ удовлетворяет и начальным условиям (1.13). Таким образом, функция u◦(x,t) есть классическое решение задачи (1.8)-(1.10). Единственность решения u◦(x,t) вытекает из того факта, что v◦(x,t) есть единственное классическое решение задачи (1.1)-(1.3) в случае однородного уравнения, а W◦(x,t) есть единственное классическое решение задачи (5.5)-(5.7), так как ht(x,t) ∈ Q по предположению леммы. Тем самым лемма 5.1 доказана. Следовательно, для завершения доказательства теоремы 5.1 осталось установить, что на самом деле ht(x,t) ∈ Q. В соответствии с (5.3) имеем . (5.8) Так как v◦(x,t) есть классическое решение задачи (1.1)-(1.3) в случае однородного уравнения, то vt◦(x,t) ∈ C(QT ) для любого T > 0 и, следовательно, q(x)vt◦(x,t) ∈ Q. Таким образом, из (5.8) видно, что всё свелось к доказательству следующего свойства: q(x)Wt◦(x,t) ∈ Q. (5.9) Установим, что Wt◦(x,t) ∈ C(QT ) при любом T > 0. Тогда, так как q(x) ∈ L1[0, 1], свойство (5.9) будет доказано. Воспользуемся формулой (5.4) и установленной ранее формулой (3.36). Получим где обозначено. Далее рассмотрим, например, слагаемое J1(x,t). Слагаемое J2(x,t) рассматривается совершенно аналогично. Для производной H˘ξ(ξ,τ) воспользуемся формулами (3.18) и (3.19) Определим аналогично (см. (2.18) или (2.16)) функцию . (5.12) Совершенно так же, как это было сделано для функции F˘(ξ.τ) в подразделе 3.3, можно установить, что u˘◦(ξ,τ) есть непрерывная функция по. Кроме того, определим функцию , q q˘. (5.13) Так как по предположению теоремы q(x) ∈ L1[0, 1], то совершенно ясно, что функция q˘(ξ) будет суммируемой на любом конечном отрезке. Из (5.11)-(5.13) следует представление H˘(ξ,τ) = q˘(ξ)u˘◦(ξ,τ). Следовательно, для J1(x,t) справедлива формула Так как функция ˘q(ξ) суммируема на каждом конечном интервале, u˘◦(ξ,τ) непрерывна по ξ ∈ R и, функции ω2x + t - (ω2 - ω1)ξ, α(x,0) и α(x,t) непрерывны по своим аргументам, то по свойству абсолютной непрерывности интеграла Лебега [4, теорема 5, с. 301] функция J1(x,t) есть непрерывная функция в QT при любом T > 0. Совершенно аналогично показывается непрерывность второго слагаемого J2(x,t) в соотношении (5.10). Следовательно, непрерывность функции Wt◦(x,t) в QT при любом T > 0 установлена, а тем самым установлено, что ht(x,t) ∈ Q. Таким образом, на основании леммы 5.1 получаем утверждение доказываемой теоремы. Теорема 5.1 полностью доказана. 5.2. Классическое решение в случае ненулевого потенциала q(x,t). Рассмотрим обобщённую начально-граничную задачу (1.11)-(1.13) с потенциалом q = q(x,t). В разделе 4 сформулирована теорема 4.2 об обобщённом решении этой задачи, которое определяется формулой (4.9). Естественно возникает вопрос: будет ли формула (4.9) давать классическое решение задачи (1.11)-(1.13) и при каких условиях на параметры ϕ(x), ψ(x), q(x,t)? Если ответ положительный (а это так и окажется), то можно сделать вывод, что метод получения обобщённого решения является регулярным. Этот вывод будет являться оправданием метода получения обобщённого решения. Справедлива следующая теорема. Теорема 5.2. Если ϕ(x) ∈ W12[0, 1], ψ(x) ∈ W11[0, 1], выполняются условия ϕ(0) = ϕ(1) = 0, ψ(0) = ψ(1) = 0, q(x,t) = q1(x)q2(x,t), q1(x) ∈ L1[0, 1], q2(x,t) и q2,t(x,t) ∈ C(QT ) при любом T > 0, а также предположение (1.5), то единственным классическим решением задачи (1.11)- (1.13) является функция u◦(x,t) = v◦(x,t) + W◦(x,t), (5.14) где W◦(x,t) определяется формулой (4.8) (ряд справа в (4.8) сходится абсолютно и равномерно в C(QT), T > 0, при самых общих предположениях: ϕ(x), ψ(x) ∈ L1[0, 1]), функция w◦(x,t) определяется формулой (4.7), в которой вместо v(x,t) стоит v◦(x,t) -классическое решение задачи (1.1)-(1.3) с однородным уравнением (1.1). Доказательство. Из определения W◦(x,t) видно, что справедливо представление где обозначено h. (5.16) С учетом предположений теоремы имеем представление h, (5.17) где функция является вполне определённой функцией класса Q. На основании теоремы 2.4 и представления (5.15) можно заключить, что для функции W◦(x,t) имеет место и другое представление, более удобное для дальнейших рассуждений, а именно: (5.18) где определяется формулой (2.18), а именно: , здесь H В теореме 3.8 установлено, что если h(x,t) есть абсолютно непрерывная функция по при п.в. x ∈ [0, 1] и ht(x,t) ∈ Q, то функция W◦(x,t), определённая формулой (5.18), является единственным классическим решением начально-граничной задачи uxx + p1uxt + p2utt = h(x,t), (5.19) u(0,t) = 0, u(1,t) = 0, (5.20) u(x,0) = 0, ut(x,0) = 0. (5.21) Справедлива следующая лемма. Лемма 5.2. Если выполняются условия теоремы 5.2 и ht(x,t) ∈ Q, то функция u◦(x,t), определяемая формулой (5.14), является единственным классическим решением начально-граничной задачи (1.11)-(1.13). Доказательство. Так как v◦(x,t) является классическим решением задачи (1.1)-(1.3) в случае однородного уравнения, W◦(x,t) есть решение задачи (5.19)-(5.21) и выполняется (5.16), то . Таким образом, u◦(x,t) удовлетворяет уравнению (1.11) для п.в. (x,t) ∈ Q. Далее, при всех u◦(0,t) = v◦(0,t) + W◦(0,t) = 0 + 0 = 0, u◦(1,t) = v◦(1,t) + W◦(1,t) = 0 + 0 = 0, т. е. u◦(x,t) удовлетворяет граничным условиям (1.12). При x ∈ [0, 1] имеют место равенства u◦(x,0) = v◦(x,0) + W◦(x,0) = ϕ(x) + 0 = ϕ(x), , т. е. u◦(x,t) удовлетворяет и начальным условиям (1.10). Таким образом, функция u◦(x,t) есть классическое решение задачи (1.11)-(1.13). Единственность решения u◦(x,t) вытекает из того факта, что v◦(x,t) есть единственное классическое решение задачи (1.1)-(1.3) в случае однородного уравнения, а W◦(x,t) есть единственное классическое решение задачи (5.19)-(5.21), так как ht(x,t) ∈ Q по предположению леммы. Тем самым лемма 5.2 доказана. Следовательно, для завершения доказательства теоремы 5.2 осталось установить, что на самом деле ht(x,t) ∈ Q. В соответствии с (5.17) имеем h Так как по условию теоремы q1(x) ∈ L1[0, 1], q2(x,t), q2t(x,t) ∈ C(QT ) для любого T > 0, v◦(x,t) есть классическое решение задачи (1.1)-(1.3) в случае однородного уравнения и, следовательно, vt◦(x,t) ∈ C(QT ) для любого T > 0, а W◦(x,t) ∈ C(QT) при любом T > 0 на основании теоремы 4.2, то функции q1(x)q2t(x,t)v◦(x,t), q1(x)q2t(x,t)W◦(x,t) и q1(x)q2(x,t)vt◦(x,t) принадлежат классу Q. Следовательно, из (5.22) видно, что для доказательства того факта, что ht(x,t) ∈ Q, достаточно доказать, что q1(x)q2(x,t)Wt◦(x,t) ∈ Q. Но так как q2(x,t) ∈ C(QT ), то всё сводится к необходимости доказать, что q1(x)Wt◦(x,t) ∈ Q. Это свойство устанавливается совершенно аналогично свойству (5.9). Следовательно, установлено, что ht(x,t) ∈ Q. Таким образом, на основании леммы 5.2 получаем утверждение доказываемой теоремы. Теорема 5.2 полностью доказана.

Об авторах

В. С. Рыхлов

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Автор, ответственный за переписку.
Email: RykhlovVS@yandex.ru
Саратов, Россия

Список литературы