К геометрическим аспектам бесконечномерных динамических систем

Аннотация

Основная цель работы - построить аналоги символов Кристоффеля для бесконечномерных систем и на этой основе получить уравнения геодезических для таких систем. Указанные аналоги представляют особый интерес в плане выявления взаимосвязи между динамикой систем с бесконечным числом степеней свободы и геометрией Римана, а также геометрией, определяемой псевдоримановой метрикой.

Полный текст

1. Введение Предмет настоящей статьи находится между аналитической механикой и римановой геометрией. Тензорные методы давно начали применять в динамике конечномерных систем [5]. Первоначально они были направлены на использование в динамике идей римановой геометрии. В свою очередь, задачи механики способствовали развитию геометрии. За более чем сто лет были получены значительные результаты (см., например, [2, 5, 8] и имеющиеся там ссылки). В частности, было показано, что кривизна многообразия - инвариант, различающий римановы метрики существенно влияет на вид геодезических на нем, т. е. на движение в соответствующей динамической системе [1]. Геодезическими называются линии являющиеся решениями уравнений где Γjki - символы Кристоффеля второго рода. Здесь и далее по повторяющимся индексам сомножителей, расположенным на разных уровнях, подразумевается суммирование. © В.М. Савчин, 2024 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 163 Если метрика невырождена (т. е. ), то , (1.1) где - матрица, обратная к (alk). Символы Кристоффеля первого рода находятся через компоненты метрического тензора по формулам . (1.2) Как отмечено в работе [3], в задачах механики в качестве римановой метрики естественно выбрать метрику, которая определяет кинетическую энергию системы. Наша основная цель - построить аналоги символов Кристоффеля (1.1), (1.2) для бесконечномерных систем и на этой основе получить уравнения геодезических для таких систем. 2. Постановка задачи. Уравнения геодезических Обозначим U = C2 ([t0,t1],U1), V = C ([t0,t1],U1), где U1, V1 - линейные нормированные пространства над полем действительных чисел R, U1 ⊆ V1. Пусть состояние бесконечномерной динамической системы определяется функцией u ∈ U, удовлетворяющей условиям u|t=t0 = u0, u|t=t1 = u1, где u0, u1 - заданные элементы из U1. Кривой u в U1 назовем отображение u : [t0,t1] → U1. Будем следовать обозначениям и терминологии работ [2, 7]. Пусть задана симметрическая невырожденная билинейная форма и кинетическая энергия системы, где Au - линейный дифференцируемый по Гато оператор, в общем случае, зависящий нелинейно от. Обозначим - плотность действующих на систему сил; ; дифференциал Гато δF[u,h] = . Построение в работе сопряженных операторов основано на тождестве Лагранжа [4]. Определение 2.1. Функция u ∈ D (F) называется стационарной для функционала F, если . Теорема 2.1. Стационарная функция функционала F[u] является решением операторного уравнения , (2.1) где (...)∗ -оператор, сопряжённый к оператору (...) относительно заданной билинейной формы,. Доказательство. Для дальнейшего использования отметим, что при существовании производной Гато оператора N имеет место равенство [9] , (2.2) где . Используя равенство (2.2), получаем Отсюда находим (2.3) Поскольку , то из (2.3) получаем (2.4) Принимая во внимание, что , из (2.4) находим Из условия получаем операторное уравнение (2.1). Теорема доказана. Следствие 2.1. Если A∗u = Au, то уравнение (2.1) принимает вид . (2.5) При отсутствии сил движение системы с кинетической энергией T [u,ut] можно интерпретировать как движение в U по инерции при метрике . (2.6) Заимствуя терминологию в механике, при таком движении траектории (кривые) называют геодезическими линиями относительно метрики (2.6). Таким образом, задача о движении по инерции сводится к нахождению геодезических линий. Операторное уравнение (2.5) выражает далеко идущее обобщение этого факта. Следствие 2.2. Если A∗u = Au и существует обратный оператор A-u 1, то уравнение (2.1) представимо в виде . (2.7) Рассмотрим конечномерную систему с координатами , и кинетической энергией , где - симметрическая матрица, . Теорема 2.2. Если, то уравнение (2.7) совпадает с уравнениями геодезических (2.8) где -символы Кристоффеля. Доказательство. В рассматриваемом частном случае Имеем Отсюда находим Интегрируя по частям, получаем Поскольку то поменяв индексы суммирования в слагаемых под знаком интеграла, находим Учитывая симметричность матрицы , приходим к равенству Из условия заключаем, что u является решением системы уравнений akju¨j + Γk,iju˙iu˙j = 0, (2.9) где Γk,ij - символы Кристоффеля первого рода (1.2). Поскольку , то систему уравнений (2.9) можно разрешить относительно u¨j . В результате приходим к системе уравнений (2.8). Таким образом, получены уравнения геодезических (2.8). Теорема доказана. Сопоставляя уравнения (2.7), (2.8), из изложенного выше заключаем, что справедливо Следствие 2.3. Уравнение (2.7) -операторный аналог уравнений геодезических (2.8), при этом оператор (2.10) определяет аналог символов Кристоффеля первого рода Γk,ij, а K2u[·] = A-u 1K1u[·] -аналог символов Кристоффеля второго рода Γkij. D Оператор , определённый формулой dt , является аналогом ковариантной производной ut по t. Указанные выше аналоги представляют особый интерес в плане взаимосвязи с геометрией Римана, а также геометрией, определяемой псевдоримановой метрикой. 3. Движение системы с потенциальными силами Рассмотрим теперь случай, когда на систему с кинетической энергией действуют силы с плотностью F(u) = Puut + Q(t,u). Здесь ∀t ∈ [t0,t1] и ∀u ∈ U1 оператор Pu : U1 → V1 является линейным и в общем случае нелинейно зависящим от t, u; Q : [t0,t1] × U1 → V1 - произвольный оператор, вообще говоря, нелинейный. Будем предполагать, что при каждых t ∈ [t0,t1] и g(t), u(t) ∈ U1 функция Pug(t) со значениями в V1 непрерывно дифференцируема. Тогда уравнения движения заданной динамической системы могут быть представлены в операторном виде . Определение 3.1. Силы с плотностью F(u) называются потенциальными на D (N) относительно билинейной формы если существует функционал Π[u] такой, что его дифференциал Гато t1 t1 gradΠ[. t0 t0 Если D(N) - выпуклое множество, то для этого необходимо и достаточно выполнения критерия потенциальности [7] . (3.1) При этом искомый потенциал Π[u] может быть найден по формуле const, где uˆ - произвольный фиксированный элемент из D(N). Теорема 3.1. Если Dt∗ = -Dt и силы с плотностью F(u) = Puut +Q(t,u) потенциальны, то существуют операторы R(t,u) и B[u] такие, что . Доказательство. Имеем Отсюда получаем Теперь условие (3.1) может быть представлено в виде Преобразуя, получаем B силу невырожденности рассматриваемый билинейной формы и произвольности отсюда получаем условия потенциальности сил с плотностью F(u) = Puut + Q(t,u) в виде . При их выполнении искомый потенциал Π[u] находится по формуле const. Определим искомые операторы R и B соответственно формулами const, const. Найденные так операторы R и B позволяют записать функционал . Отметим, что . Таким образом, для потенциальности сил с линейной по скорости ut плотностью F(u) = Puut+ Q(t,u) необходимо и достаточно, чтобы имело место представление . Теорема доказана. 4. Пример Обозначим U = C2 ([t0,t1],U1), V = C ([t0,t1],V1); Ω- ограниченная область в R3 с кусочногладкой границей - оператор Лапласа, . Положим Au = -Δ + αu + βu2, где α, β -постоянные. Будем считать, что область определения D (Au) оператора Au состоит из тех функций u ∈ U, которые удовлетворяют условиям , где Зададим билинейную форму Определим квадратичную форму по , которую будем трактовать как кинетическую энергию некоторой системы. Найдем вид уравнения (2.1) для этого случая. С этой целью получаем Найдем. Имеем . Таким образом, . Далее получаем Согласно формуле (2.10) находим . Таким образом, в рассматриваемом случае уравнение (2.1) принимает вид Если предположить, что на систему действуют силы с плотностью , то получаем уравнение . При α = β = 0 отсюда приходим к уравнению Соболева [6] , (4.1) связанному с исследованиями колебаний жидкости во вращающемся сосуде. Нетрудно проверить, что для уравнения (4.1) при соответствующих граничных условиях существует первый интеграл const. 5. Заключение Уравнения движения вида (2.1), (2.7) допускают содержательную интерпретацию в терминах римановой геометрии. При этом определяющими являются полученные операторные аналоги символов Кристоффеля первого и второго рода, а также обобщенная ковариантная производная. На их основе составляются уравнения геодезических для бесконечномерных систем. Изложенный операторный подход позволяет рассматривать задачи как с римановыми, так и псевдоримановыми метриками.