Об оценке Боярского-Мейерса решения задачи Дирихле для линейного эллиптического уравнения второго порядка со сносом

Аннотация

Установлена повышенная суммируемость градиента решения задачи Дирихле для оператора Лапласа с младшими членами, а также приведено доказательство однозначной разрешимости этой задачи.

Полный текст

Введение В настоящей работе рассматривается однородная задача Дирихле для неоднородного уравне- ния Пуассона со сносом. Основной целью является доказательство повышенной суммируемости градиента решения этой задачи в предположении, что правая часть тоже обладает повышенной суммируемостью. Повышенная суммируемость градиента решений эллиптических уравнений привлекает вни- мание учёных-математиков на протяжении нескольких десятилетий. В пионерской работе [1] рассмотрен случай линейных дивергентных равномерно эллиптических уравнений второго по- рядка с измеримыми коэффициентами в плоской ограниченной области. Позже в многомерном случае для уравнений такого же вида повышенная суммируемость градиента решения задачи Дирихле в области с достаточно регулярной границей была установлена в [17]. После этой ра- боты оценки повышенной суммируемости градиента решений общепринято называть оценками типа Мейерса, хотя справедливее было бы их называть оценками Боярского-Мейерса. Оценка Боярского-Мейрса решения задачи Дирихле в области с липшицевой границей для уравнения p-Лапласа с переменным показателем p, обладающим логарифмическим модулем непрерывности, впервые получена в [19]. Позже в работах [6, 12] этот результат был усилен и распространен на системы эллиптических уравнений с переменным показателем суммируемости. Отметим, что в статье [19] стимулом изучения оценок Мейерса явилась задача о термисторе, дающей совмест- ное описание потенциала электрического поля и температуры (см. [11, 15, 19]). Такого же рода системы возникают и в гидромеханике квазиньютоновых жидкостей. Также рассматривался вопрос об оценках повышенной суммируемости градиента решения за- дачи Зарембы - см. работы [4, 7-9], в которых для линейного эллиптического уравнения в дивер- гентной форме получена оценка повышенной суммируемости градиента решения задачи Зарем- бы в областях с липшицевой границей и быстрой сменой краевых условий Дирихле и Неймана с повышенным показателем суммируемости, не зависящим от частоты смены краевых условий. Такого рода оценки важны в теории усреднения задач с быстрой сменой краевых условий, они позволяют улучшить скорость сходимости допредельных решений к решению усредненной зада- чи (см. аналогичную задачу в области, перфорированной вдоль границы, в [10]). Аналогичные оценки для p-лапласиана получены в [5]. 2 Введем соболевское пространство функций W˚ 1(D) как пополнение финитных бесконечно диф- ференцируемых в ограниченной области D функций по норме 1/2 fr 2 (D) × v ×W˚ 1 = D \ 2 |∇v| dx . Данное выражение является нормой в силу хорошо известного неравенства Фридрихса ×u×L2 (D) C(n, D)×∇u×L2 (D). Настоящая работа посвящена оценкам решений задачи Дирихле для уравнения Пуассона с млад- шими членами вида 2 Lu := Δu + b · ∇u = div f, f = (f1,... fn), fj ∈ L2(D), u ∈ W˚ 1(D), (1.1) заданного в ограниченной липшицевой области D ⊂ Rn, где n > 1. Здесь вектор-функция b = (b1,... , bn) такова, что bj ∈ Lp(D), p > n, j = 1,... , n. (1.2) При наличии младших слагаемых оценки повышенной суммируемости градиента решений задачи нам не известны. 2 Под решением задачи (1.1) понимается функция u ∈ W˚ 1(D), для которой выполнено инте- гральное тождество r r ∇u · ∇ϕ dx - D D r (b · ∇u)ϕ dx = D (f · ∇ϕ) dx (1.3) 2 для всех пробных функций ϕ ∈ W˚ 1(D) (см., например, [3, гл. 3, § 4]). Основной результат настоящей работы состоит в следующем утверждении. n Теорема 1.1. Если выполнено условие (1.2) и f ∈ L2+δ0 (D) , где δ0 > 0, то существуют положительные постоянные δ(n, p, δ0 ) < δ0 и C такие, что для решения задачи (1.3) справед- лива оценка u r 2+δ |∇ | D r dx C D f 2+δ | | dx, (1.4) где C зависит только от δ0, размерности пространства n, а также от области D и ×b×Lp (D). Замечание 1.1. Теорема остаётся в силе, если вместо оператора Лапласа рассмотреть линей- ный равномерно эллиптический оператор второго порядка вида div(a(x)∇u). ОБ ОЦЕНКЕ БОЯРСКОГО-МЕЙЕРСА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 3 Здесь a(x) = {aij (x)} - равномерно эллиптическая измеримая и симметрическая матрица, т. е. aij = aji и | α|ξ 2 n i,j=1 | aij (x)ξiξj α-1|ξ 2 для почти всех x ∈ D и для всех ξ ∈ Rn . (1.5) Работа организована следующим образом. В разделе 2 мы для полноты изложения приводим простое доказательство однозначной разрешимости задачи (1.3), основанное на рассуждениях из [2]. В разделе 3 мы выводим оценку Боярского-Мейерса. Однозначная разрешимость поставленной задачи В этом разделе однозначная разрешимость задачи Дирихле в произвольной ограниченной об- ласти доказывается для уравнения вида 2 Lu := div(a∇u)+ b · ∇u = divf, f = (f1,... fn), fj ∈ L2(D), u ∈ W˚ 1(D), (2.1) где a(x) = {aij (x)} - равномерно эллиптическая измеримая и симметрическая матрица, т. е. aij = aji, удовлетворяющая (1.5), а b удовлетворяет (1.2). Имеет место следующее утверждение. Теорема 2.1. Если выполнены условия (1.2) и (1.5), то задача (1.1) однозначно разрешима в W˚ 1 2 (D), и для её решения справедлива оценка × ∇u ×L2 (D) C×f ×L2(D) (2.2) с постоянной C, зависящей только от коэффициентов оператора L, области D и размерности пространства n. Доказательство основано на вспомогательных утверждениях, которые устанавливаются ниже. Сначала нам потребуются оценки билинейной формы, связанной с оператором L, имеющей вид r L(u, v)= D r a∇u · ∇v dx - D b · ∇uv dx (2.3) 2 и определённой на функциях u, v ∈ W˚ 1(D). Лемма 2.1. Если коэффициенты оператора L из (2.1) удовлетворяют условиям (1.2) и (1.5), то α r L(u, u) ;;? 2 D 2 |∇u| r dx - C(α, b, n, p) D u2 dx. (2.4) Доказательство. В силу условия (1.5) имеем r 2 r L(u, u) ;;? α D |∇u| dx - D b · ∇uu dx . (2.5) Оценим второе слагаемое в правой части (2.5). По неравенству Гёльдера r fr r \1/2f 2 \1/2 2 2 b · ∇uu dx D D 1/2 |∇u| dx D 2/p |b| u dx 1/p˜ (2.6) fr \ 2 |∇u| dx D 2p fr \ p |b| dx D fr \ p˜ |u| dx , D где p˜ = p - 2 , p > n. Ясно, что p˜ > 2. Сначала предположим, что n > 2. Для q˜ ∈ (0, 2) из представления r p r q p˜-q˜ |u|˜ dx = D D | |u|˜ u| dx 4 Ю. А. АЛХУТОВ, Г. А. ЧЕЧКИН по неравенству Гёльдера будем иметь q˜/2 (2-q˜)/2 r fr p˜ |u| dx D D \ u2 dx fr \ | |u 2(p˜-q˜)/(2-q˜) dx . D Выберем константу q˜ из соотношения 2(p˜ - q˜) = 2n , (2.7) согласно которому 2 - q˜ n - 2 q˜ = 2n - (n - 2)p˜ 2 . (2.8) Проверим, что q˜ ∈ (0, 2). Нетрудно видеть, что q˜ < 2, поскольку n > 2. Осталось проверить, что q˜ > 0. Для этого (см. (2.8)) достаточно показать неравенство 2n - (n - 2)p˜ > 0. Имея в виду, что p˜ = 2p p - 2 , заключаем, что p p - 2 n < n - 2 и, так как изначально p > n, требуемое неравенство также выполнено. Таким образом, q˜ ∈ (0, 2) и из (2.6), (2.7) имеем r fr b · ∇uu dx D D p |b| \2/pfr dx D 2 |∇u| \1/2fr dx D 2n |u| n-2 dx \ fr 2-q˜ 2p˜ D u2 dx q˜ \ 2p˜ . (2.9) Далее, по неравенству Коши 2/p 1/2 2-q˜ q˜ f r \ p |b| dx D fr \ 2 |∇u| dx D fr 2n |u| n-2 dx D \ 2p˜ fr D u2 dx \ 2p˜ (2.10) 4/p 2-q˜ fr \ q˜ r 2 ε |∇u| D 1 fr dx + 2ε D \ p |b| dx fr 2n \ |u| n-2 dx D p˜ D 4p˜ p˜ u2 dx . 4 В силу неравенства Юнга с учётом равенства (2.7) и равенства = pq˜ p - n выводим 4/p 2-q˜ fr \ q˜ fr \ p |b| dx D fr 2n \ p˜ |u| n-2 dx D p˜ u2 dx D fr ε1 D 2n \ |u| n-2 dx n-2 n fr + C(ε1) D p |b| 4 \ p-n r dx D u2 dx, а поскольку по теореме вложения Соболева n-2 r то имеем 2 fr 2n \ n |u| n-2 dx D C0 D |∇u| dx, 4/p 2-q˜ fr \ q˜ fr \ p |b| dx D 2 fr 2n \ p˜ |u| n-2 dx D u2 dx D p˜ r ε1C0 D |∇u| r dx + C(ε1, b, n, p) D u2 dx. (2.11) Теперь из (2.9)-(2.11) после соответствующего выбора ε1 получим r r b · ∇uu dx 2ε D D 2 |∇u| r dx + C(ε, b, n, p) D u2 dx. (2.12) ОБ ОЦЕНКЕ БОЯРСКОГО-МЕЙЕРСА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 5 Выбирая теперь ε = α , получаем из (2.12) и (2.5) требуемую оценку. 4 Покажем теперь неравенство (2.12) при n = 2. В этом случае, исходя из (2.6), будем иметь r fr b · ∇uu dx D D 2p 2 |∇u| \1/2fr dx D p |b| \2/pfr dx D u | | p˜ dx \1/p˜ , (2.13) где, как и ранее, p˜ = p - 2 , p > 2 и p˜ > 2. Исходя из тождества по неравенству Гёльдера найдём r r p˜ |u| dx = D D | |u||u p˜-1 dx, r fr p˜ |u| dx D D u2 dx \1/2fr D | |u 2(p˜-1) \1/2 dx . Таким образом, из (2.13) вытекает, что r fr b · ∇uu dx D D p |b| \2/pfr dx D 2 |∇u| \1/2fr dx D | |u 2(p˜-1) 1 \ 2p˜ fr dx D u2 dx 1 \ 2p˜ . (2.14) Далее, по неравенству Коши 2/p 1/2 1 1 fr \ r \ p |b| dx D fr \ 2 |∇u| dx D fr D 4/p | |u 2(p˜-1) \ 2p˜ dx u2 dx D 1 2p˜ 1 (2.15) r 2 ε |∇u| D 1 fr dx + 2ε D \ p |b| dx fr D 4p˜ | |u 2(p˜-1) 8 \ p˜ fr dx D u2 dx \ p˜ , и согласно неравенству Юнга с учётом формулы 4/p = p p - 2 1 выводим 1 fr \ p |b| dx D fr | |u 2(p˜-1) D \ p˜ fr dx D u2 dx \ p˜ fr ε1 D | |u 2(p˜-1) 1 \ p˜-1 dx fr + C(ε1) D p |b| 8 \ p-2 r dx D u2 dx. Поскольку по теореме вложения Соболева 1 то имеем 4/p fr | |u 2(p˜-1) D 1 \ p˜-1 dx 1 r C1 D 2 |∇u| dx, fr \ p |b| dx D fr | |u 2(p˜-1) D \ p˜ fr dx D u2 dx \ p˜ r ε1C1 D 2 |∇u| r dx + C(ε1, b, p) D u2 dx. (2.16) Из (2.14)-(2.16) после соответствующего выбора ε1 придём к неравенству (2.12). Выбирая теперь ε = α/4 в (2.12), из (2.5) придём к требуемой оценке (2.4). Лемма доказана. Лемма 2.2. Если коэффициенты оператора L из (2.1) удовлетворяют условиям (1.2) и (1.5), то для фиксированного u ∈ 2 W˚ 1(D) отображение v ±→ L(u, v), где форма L(u, v) определена 2 в (2.3), является ограниченным линейным функционалом на W˚ 1(D) и справедлива оценка 2 (D) |L(u, v)| C(α, b, n, p) ×u×W˚ 1 2 ×v×W˚ 1 (D) . (2.17) 6 Ю. А. АЛХУТОВ, Г. А. ЧЕЧКИН Доказательство. В силу условия равномерной эллиптичности (1.5) имеем r a∇u · ∇v dx α-1×u× ˚ 1 ×v× ˚ 1 . (2.18) W2 (D) D W2 (D) Второе слагаемое формы (2.3) оценим по неравенству Гёльдера: p-2 r b · ∇uv dx ×u× ˚ 1 fr 2 |b| v2 \1/2 dx ×u× ˚ 1 fr p |b| \2/pfr dx |v| 2p p-2 \ 2p dx , (2.19) W2 (D) D D 2p 2n W2 (D) D D где p > n. Поскольку p - 2 < n - 2 , то по теореме вложения Соболева p-2 fr 2p |v| p-2 dx D \ 2p 2 (D) C2×v×W˚ 1 , и из (2.19), (2.18) приходим к (2.17). Лемма доказана. W˚ 1 Докажем теперь принцип максимума для решений однородной задачи (2.1). Функция u ∈ 2 (D) называется субрешением однородной задачи (2.1) в области D, если r r a∇u · ∇ϕ dx - D D b · ∇uϕ dx 0 (2.20) 2 W˚ 1 для любой неотрицательной функции ϕ ∈ W˚ 1(D). Аналогично определяется суперрешение u ∈ 2 (D) в области D, для которого выполнено неравенство r r a∇u · ∇ϕ dx - D D b · ∇uϕ dx ;;? 0 2 для всех неотрицательных функций ϕ ∈ W˚ 1(D). 2 Лемма 2.3. Если выполнены условия (1.2), (1.5) и функция u ∈ W˚ 1(D) является субрешением в области D, то ess sup u 0. (2.21) D 2 Если же u ∈ W˚ 1(D) является суперрешением в области D, то ess inf u ;;? 0. (2.22) D Доказательство. Сначала покажем (2.21). Доказательство проводим от противного. Предполо- жим, что ess sup u > 0. Тогда существует такое число k, что 0 < k < ess sup u. Рассмотрим функ- D D 2 цию v = max (u - k, 0) = (u - k)+, которая принадлежит пространству W˚ 1(D) и неотрицательна. В силу (2.20) имеем Перепишем эту оценку в виде r r r a∇v · ∇v dx D D a∇u · ∇u dx b · ∇vv dx. r b · ∇uv dx. (2.23) D∩{u>k} D∩{u>k} Сначала предположим, что n > 2. Пользуясь в правой части (2.23) условием эллиптично- сти (1.5) и применяя неравенство Гёльдера в правой части, получим r 2 α |∇u| f r dx n |b| \1/nf r dx 2 |∇u| \1/2fr dx 2n |v| n-2 dx \ 2n n-2 . (2.24) D∩{u>k} D∩{u>k} D∩{u>k} D ОБ ОЦЕНКЕ БОЯРСКОГО-МЕЙЕРСА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 7 2 Поскольку v ∈ W˚ 1(D), по теореме вложения Соболева fr 2n |v| n-2 dx D 2n \ f n-2 r C D 2 |∇v| \1/2 dx f r = C D∩{u>k} 2 |∇u| \1/2 dx , и из (2.24) будем иметь r α D∩{u>k} 2 |∇u| dx C f r D∩{u>k} n |b| \1/n dx r D∩{u>k} 2 |∇u| dx. (2.25) Если M = ess sup u = ∞, то первый множитель в правой части (2.25) стремится к нулю при D k → ∞, что приводит к противоречию. Если же M < ∞, то ∇u =0 почти всюду на множестве D∩{u = M } и оценка (2.25) приобретает вид где fr α C Mk n |b| \1/n dx , Mk = {x ∈ D : k < u(x) < M }, ∇u(x) ⊗= 0}. Ясно, что n-мерная мера Лебега множества Mk стремится к нулю при k → M, в силу чего 1/n fr \ n |b| dx Mk -→ 0 при k → M, и мы вновь приходим к противоречию, что и доказывает (2.21). Рассмотрим оставшийся случай, когда n = 2. Исходя из (2.23), пользуясь условием эллиптич- ности и применяя в правой части (2.23) неравенство Гёльдера с другими показателями, придём к оценке r 2 α |∇u| f r dx p |b| \1/pf r dx 2 |∇u| \1/2fr dx 2p |v| p-2 dx 2p \ p-2 , (2.26) D∩{u>k} D∩{u>k} D∩{u>k} D где p > 2. При n =2 по теореме вложения Соболева fr 2p |v| p-2 dx D 2p \ p-2 fr C D 2 |∇v| \1/2 dx f r = C D∩{u>k} 2 |∇u| \1/2 dx , и из (2.26) приходим к оценке r 2 f r p r \1/p 2 α D∩{u>k} |∇u| dx C D∩{u>k} |b| dx D∩{u>k} |∇u| dx. (2.27) Дальнейшие рассуждения, основанные на (2.27), ничем не отличаются от приведенных выше в случае n > 2, что вновь влечёт (2.21). Оценка (2.22) доказывается аналогично. Нужно только заметить, что если функция u явля- ется суперрешением уравнения, то эта же функция со знаком минус будет субрешением. Лемма доказана. Следствие 2.1. При выполнении условий (1.2) и (1.5) задача Дирихле (2.1) имеет един- ственное решение. Доказательство теоремы 2.1. Определим для σ > 0 оператор Lσ формулой Lσu = Lu - σu. Из оценки (2.4) леммы 2.1 следует, что соответствующая оператору Lσ форма r Lσ (u, u)= D r a∇u · ∇u dx - D r b · ∇uu dx + σ D u2 dx 8 Ю. А. АЛХУТОВ, Г. А. ЧЕЧКИН при достаточно большом σ = σ0(α, b, n, p) будет коэрцитивной, т. е. r Lσ (u, u) ;;? α/2 D 2 |∇u| dx. Отметим, что таком выборе σ = σ0 билинейная форма r Lσ0 (u, v)= D r a∇u · ∇v dx - D r b · ∇uv dx + σ0 D uv dx (2.28) является ограниченной. Это следует из оценки (2.17), применённой к первым двум слагаемым в правой части (2.28), и оценки r 2 (D) uv dx ×u×L2 (D)×v×L2 (D) C×u×W˚ 1 D 2 ×v×W˚ 1 (D), 2 вытекающей из неравенства Фридрихса. Таким образом, оператор Lσ0 является ограниченным и коэрцитивным в гильбертовом пространстве H = W˚ 1(D). Пусть H-1 - сопряженное пространство к H. Определим оператор Iu : H → H-1 равенством r I = Iuv = D uv dx, v ∈ H. (2.29) Покажем, что отображение Iu является компактным. Для этого заметим, что отображение Iu можно представить в виде композиции Iu = I1 ◦ I2. (2.30) Здесь I2 : H → L2(D) - естественное вложение. По теореме о компактности вложения Кондрашова-Соболева [2, теорема 7.22] оператор I2 является компактным, а отображение I1 : L2(D) → H-1 определено формулами (2.29) и (2.30). Из того, что оператор I1 непреры- вен и оператор I2 компактен, следует компактность оператора I. Уравнение Lu = l для u ∈ H, где l-функционал в пространстве H-1, сопряженном к H = W˚ 1(D), эквивалентно уравнению Lσ u + σ0Iuu = l. По лемме Лакса-Мильграма (см. [16]) 2 0 σ0 -1 обратный оператор L-1 задает непрерывное взаимно однозначное отображение H на H. По- этому, применяя этот оператор к предыдущему уравнению, получаем эквивалентное уравнение u + σ0L-1Iuu = L-1l. (2.31) σ0 σ0 σ0 Отображение T = -σ0L-1Iu в силу компактности I также компактно. Следовательно, по альтернативе Фредгольма (см., например, [2, теорема 5.3, § 5.3]) существование функции u ∈ H, удовлетворяющей уравнению (2.31), является следствием единственности в H тривиального ре- шения уравнения Lu = 0. Теперь однозначная разрешимость задачи Зарембы (1.1) вытекает из следствия 2.1 к лемме 2.3. Перейдём к доказательству оценки (2.2). Для этого определим формально сопряженный для * L оператор L* формулой L u := div(a(x)∇u) - div(b(x)u). 2 Поскольку для соответствующих билинейных форм L*(u, v) = L(v, u) при u, v ∈ W˚ 1(D), опе- ратор L* сопряжен оператору L в гильбертовом пространстве H. Заменяя в предыдущем рас- суждении L на L*, мы видим, что уравнение Lσu = l эквивалентно уравнению u + (σ0 - σ)L-1Iuu = L-1l, o σ0 σ0 и сопряженный оператор T* компактного отображения Tσ = (σ0 - σ)L-1I (см. (2.29)) даётся формулой T* * -1 σ = (σ0 - σ)(Lσ0 ) I. Используя теперь теорему о сжимающих отображениях в банаховом пространстве (см., напри- мер, [2, теорема 5.1, § 5.1]), мы приходим к следующему утверждению, аналогичному [2, теоре- ма 8.6, § 8.2]. ОБ ОЦЕНКЕ БОЯРСКОГО-МЕЙЕРСА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 9 Лемма 2.4. Если выполнены условия (1.2) и (1.5), то существует не более чем счётное дискретное множество Σ ∈ (-∞, 0) такое, что если σ ∈/ Σ, то задачи Дирихле для уравнений Lσu = l и L* u = l однозначно разрешимы в W˚ 1(D) для произвольного линейного функционала l σ 1 в пространстве, сопряженном к W˚2 2 (D). σ Для доказательства оценки (2.2) рассмотрим оператор Gσ : H* → H, определяемый равенством Gσ = L-1 при σ ∈/ Σ. Этот оператор естественно назвать оператором Грина задачи Дирихле (2.1). Используя альтернативу Фредгольма (см., например, [2, теорема 5.3, § 5.3]), заключаем, что этот оператор является ограниченным, и, следовательно, справедлива оценка (2.2). Теорема 2.1 дока- зана. Доказательство основного результата Доказательство теоремы 1.1 основано на получении обратного неравенства Гёльдера для гра- диента решения задачи Дирихле (1.1) с последующим применением обобщённой леммы Геринга. R Доказательство теоремы 1.1. Обозначим через Qx0 открытый куб с центром в точке x0 и рёб- рами длиной 2R, которые параллельны координатным осям. Ниже полагается r - f dx = 1 | Qx0 r | f dx, x R Q Q 0 x0 R R где |E| обозначает n-мерную меру множества E ⊂ Rn. Далее продолжим функцию u нулём вне области D. 3R/2 Сначала рассмотрим случай, когда Qx0 ⊂ D, и выберем в интегральном тождестве (1.3) пробную функцию ϕ = (u - λ)η2, где r λ = - Q x0 3R/2 u, dx, а срезающая функция η ∈ C∞(Qx0 ) такова, что 0 η 1, η = 1 в Qx0 и |∇η| CR-1. 0 Тогда (1.3) преобразуется к виду 3R/2 R r 2 |∇u| η2 r dx = (b · ∇u)(u - λ)η2 r dx - 2 η(u - λ)∇u · ∇η dx + Q x0 3R/2 Q x0 3R/2 r +2 Q x0 3R/2 r f (u - λ)η · ∇η dx + η2f · ∇u dx. (3.1) Q x0 3R/2 Q x0 3R/2 Оценим сначала первое слагаемое в правой части тождества (3.1). По неравенству Гёльдера имеем r f r (b · ∇u)(u - λ)η2 dx R 2 |∇u| η2 \1/2f r dx 2 |b| η2 f u - λ \2 R \1/2 dx Q Q x0 3R/2 f r 2 2 \ 1/2 x0 3R/2 f r p p \ 2/p Q x0 3R/2 f r 2p u - λ p-2 \ p-2 2p (3.2) R Q x0 3R/2 |∇u| η dx Q x0 3R/2 |b| η dx R Q y0 3R/2 dx . Далее, по неравенству Пуанкаре-Соболева 2p p-2 f r \1/q f r u - λ p-2 dx\ 2p q 2np R Q x0 3R/2 C(n, p) Q x0 3R/2 |∇u| dx , q = n(p - 2) + 2p ∈ (1, 2). (3.3) 10 Ю. А. АЛХУТОВ, Г. А. ЧЕЧКИН Из (3.3) и (3.2), учитывая, что 0 η 1, найдём r f r (b · ∇u)(u - λ)η2 dx C(n, p)R 2 |∇u| η2 \1/2f r dx p |b| \2/pf r dx q |∇u| \1/q dx , Q Q x0 3R/2 и по неравенству Коши с ε > 0 x0 3R/2 Q x0 3R/2 Q x0 3R/2 r r (b · ∇u)(u - λ)η2 dx ε 2 |∇u| η2 2 C(n, p) f r dx + R 4ε p |b| \4/pf r dx q |∇u| \2/q dx . Q Q x0 3R/2 x0 3R/2 Q x0 3R/2 Q x0 3R/2 (3.4) Оценим теперь оставшиеся интегралы в правой части интегрального равенства (3.1). Для вто- рого слагаемого получаем r r 2 2 C(ε) r 2 2 Q x0 3R/2 η(u - λ)∇u · ∇η dx ε Q x0 3R/2 |∇u| η dx + R2 Q x0 3R/2 (u - λ) |∇η| dx. (3.5) Третье слагаемое оценивается следующим образом: r r 2 C r 2 Q x0 3R/2 f (u - λ)η · ∇η dx Q x0 3R/2 |f | dx + R2 Q x0 3R/2 (u - λ) dx. (3.6) Для четвертого слагаемого выводим r r η2f · ∇u dx ε 2 |∇u| r dx + C(ε) 2 |f | dx. (3.7) Q Q x0 3R/2 x0 3R/2 Q x0 3R/2 В результате, пользуясь (3.1), учитывая последние оценки после соответствующего выбора ε, придём к неравенству r 2 ! 1 r 2 r 2 2f r \2/q q |∇u| Q x0 R dx C(n, b, p) 2n R2 Q x0 3R/2 (u - λ) dx + Q x0 3R/2 |f | dx + R Q x0 3R/2 |∇u| dx , или, поскольку q +2 - n ;;? 0, выводим r 2 ! 1 r 2 r 2 f r \2/q q - |∇u| Q x0 R dx C(n, b, p) R2 - Q x0 3R/2 (u - λ) dx + - Q x0 3R/2 |f | dx + - Q x0 3R/2 |∇u| dx . (3.8) Далее из неравенства Пуанкаре-Соболева f r - (u - λ)2 dx \1/2 f C(n, p)R r q - |∇u| \1/q dx 2np , q = ∈ (1, 2), Q x0 3R/2 и из (3.8) найдём Q x0 3R/2 n(p - 2) + 2p f r 2 \1/2 f f r r \1/q f q \1/2\ 2 - |∇u| dx Q x0 R C(n, b, p) - |∇u| dx Q x0 2R + - |f | dx Q x0 2R . (3.9) 3R/2 Рассмотрим теперь случай, когда Qx0 ∩ ∂D ⊗= ∅. В этом случае функция u равна нулю в Q x0 3R/2 \ D. Выбирая в интегральном тождестве (1.3) пробную функцию ϕ = uη2 с той же ОБ ОЦЕНКЕ БОЯРСКОГО-МЕЙЕРСА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 11 срезающей функцией η, получим r 2 |∇u| η2 r dx = r b · ∇u uη2 dx - 2 (ηu∇u · ∇η) dx - Q x0 3R/2 Q x0 3R/2 r r - 2 fuη · ∇η dx - Q x0 3R/2 (η2f · ∇u) dx. (3.10) Q x0 3R/2 Q x0 3R/2 Перейдём к оценке первого интеграла в правой части (3.10). Имеем 1/2 1/2 r Q x0 3R/2 b · ∇u uη2 dx f r Q x0 3R/2 1/2 \ 2 |∇u| η2 dx f r Q x0 3R/2 2/p 2 |b| η2 \ u2 dx p-2 (3.11) f r Q x0 3R/2 \ 2 |∇u| η2 dx f r Q x0 3R/2 \ p |b| ηp dx f r Q x0 3R/2 2p |u| p-2 dx x0 \ 2p . 3R/2 Далее заметим, что поскольку Qx0 ∩ ∂D ⊗= ∅, имеем |(Rn \ D) ∩ Q2R| ;;? c(D)Rn для достаточно малого R. Поэтому по неравенству Соболева f r 2p - |u| p-2 dx Q x0 2R f r \ p-2 2p 1 \ 2 f r CR - Q x0 2R f r q |∇u| q 1 \ q dx , 1 \ q (3.12) Теперь из (3.11) получим - |u|2 dx Q x0 2R CR - Q x0 2R 1/2 |∇u| dx . 1/2 r Q x0 3R/2 b · ∇u uη2 dx f r Q x0 3R/2 \ 2 |∇u| η2 dx f r Q x0 3R/2 2 |b| η2 \ u2 dx C(n, p)R n(p-2)+2p f r 2p Q x0 3R/2 2 |∇u| η2 \1/2 dx f r Q x0 3R/2 p |b| ηp \2/pf r dx - Q x0 2R q 1 \ q |∇u| dx (3.13) и по неравенству Коши с ε > 0 с учётом свойств η выводим 4/p 2/q r r b · ∇u uη2 dx ε 2 |∇u| η 2 dx + C(n, p) R 4ε n(p-2)+2p f r p \ p |b| dx f r \ q - |∇u| dx . Q x0 3R/2 Q x0 3R/2 Q Q x0 x0 3R/2 2R Или, поскольку p ;;? n, имеем 4/p 2/q r r b · ∇u uη2 dx ε 2 |∇u| η 2 dx + C(n, p) f r 4ε \ p |b| dx f r \ q - |∇u| dx . (3.14) Q x0 3R/2 Q x0 3R/2 Q Q y0 x0 3R/2 2R Оценки оставшихся слагаемых проводим аналогично (3.5), (3.6) и (3.7). В результате, пользу- ясь (3.10), учитывая последние оценки, после соответствующего выбора ε получаем оценку (3.8) с λ =0 вида r 2 ! 1 r 2 r 2 f r \2/q q - |∇u| Q x0 R dx C(n, b, p, D) R2 - u Q x0 2R dx + - Q x0 2R |f | dx + - |∇u| dx Q x0 2R . (3.15) Далее, пользуясь вторым неравенством из (3.12) и неравенством (3.15), вновь приходим к (3.9). Ясно, что оценка (3.9) выполнена и для кубов с центрами, лежащими вне области D. Таким образом, оценка (3.9) справедлива во всех рассматриваемых случаях. 12 Ю. А. АЛХУТОВ, Г. А. ЧЕЧКИН R Из оценки (3.9), справедливой для всех рассматриваемых кубов Qy0 , и обобщённой леммы Геринга (см. [13, 14], а также [18, гл. VII]) вытекает, что в предположении f ∈ L2+δ0 (D), где δ0 > 0, имеет место оценка ×∇u×L2+δ (D) C(n, p, b, δ0, D)(×∇u×L2 (D) + ×f ×L2+δ (D)). (3.16) Оценим первое слагаемое в правой части (3.16) с помощью оценки (2.2) теоремы 2.1. Теорема доказана.