Эта-инвариант эллиптических краевых задач с параметром

Полный текст

Введение Впервые η-инвариант появился в цикле работ Атьи, Патоди и Зингера [10-12] и выражал вклад границы в формулу индекса для оператора Дирака на многообразии с краем. Также в цитируемой серии работ было введено понятие η-инварианта эллиптических самосопряжённых псевдодифференциальных операторов на гладком замкнутом многообразии как регуляризации типа дзета-функции сигнатуры квадратичной формы, отвечающей оператору. η-Инвариант по определению является спектральным инвариантом и появляется во многих формулах индекса, а также имеет приложения в геометрии и анализе (см., напр., [15, 16, 27]). Позднее Мельроуз [24] предложил использовать иной подход к построению η-инварианта. А именно, используя методы теории эллиптических псевдодифференциальных операторов (ПДО) с параметром (см. [2, 8]), Мельроуз определил η-инвариант как регуляризацию числа вращения и показал, что построенный η-инвариант в случае операторов первого порядка с параметром совпадает с η-инвариантом Атьи-Патоди-Зингера для некоторого обратимого самосопряжённого оператора (см. также [22, 23]). Более точно, число вращения обратимого эллиптического ПДО с параметром D(p), p ∈ R, формальноˆвычисляется по формуле 1 2πi R tr (D(p)-1 dD(p) \ dp dp, где след существует только для операторов сильно отрицательного порядка, а интеграл может расходиться. Поэтому построение соответствующих регуляризаций играет ключевую роль при исследовании η-инварианта. В дальнейшем η-инвариант использовался в формулах индекса на многообразиях с цилиндрическими концами и/или коническими точками (см. [17, 28]), на многообразиях с периодическими концами [26], также были определены η-формы [25]. Обобщение η-инварианта на случай некоторых классов нелокальных операторов и приложение к проблеме индекса были исследованы в недавних работах авторов [4, 30, 33]. Особый интерес в рамках текущего исследования представляет η-инвариант типа Атьи-Патоди-Зингера краевых задач, построенный в работе [18] (см. также [14, 21] в случае краевых задач для операторов Дирака). Цель данной работы - рассмотреть η-инвариант Мельроуза для краевых задач с параметром [2] и исследовать его свойства. При этом регуляризация следа подразумевает получение асимптотики на бесконечности следа композиций обратимых краевых задач с параметром - основной технический результат работы (см. теорему 2.1 ниже). Доказательство этого результата задействует аппарат краевых задач для ПДО [6, 13] (см. также [9, 19]) и состоит в сведении краевых задач для ПДО с параметром к краевым задачам для ПДО (без параметра) на цилиндре. Предполагается, что построенный таким образом η-инвариант будет участвовать в формулах индекса на многообразиях с цилиндрическими концами и на областях с угловыми точками на границе (см. [5]). Также к исследованию η-инварианта краевых задач с параметром приводит проблема индекса некоторых нелокальных задач (см. [7]). Работа имеет следующую структуру. В разделе 1 напоминаются основные сведения из теории эллиптических краевых задач. Раздел 2 содержит формулировку основных результатов работы, доказательства которых приведены в разделе 7. В третьем разделе в качестве примеров приведены вычисления η-инварианта краевых задач для оператора второго порядка с параметром при различных краевых условиях. Раздел 6 посвящён сведению операторов Буте де Монвеля с параметром, построенных в разделе 4, к операторам Буте де Монвеля без параметра при помощи изоморфизма, построенного в разделе 5. 1. Эллиптические краевые задачи с параметром Напомним понятие эллиптической краевой задачи с параметром из работы [2]. Краевые задачи с параметром. Пусть M - гладкое компактное многообразие с краем ∂M. Введём такие локальные координаты (x×, xn) в окрестности края, что многообразие локально определяется условием M = {xn ;;: 0}, а его край - условием ∂M = {xn = 0}, т. е. xn - определяющая функция края, а x× - координаты на крае. Двойственные координаты обозначаются (ξ×, ξn). Семейство операторов вида D(p) = '\" 0 k m Dk pk : C∞(M ) -→ C∞(M ), где Dk = Dk (x, -i∂x) - дифференциальные операторы на M порядка m - k, будем называть оператором с параметром порядка m на многообразии M . Здесь и всюду далее используется обозначение ∂x = ∂/∂x. Определение 1.1. Оператор вида ⎛ D(p) ⎞ C∞(M, F ) D(p) = ⎝ ⎠ : C∞(M, E) -→ i∗B(p) ⊕ C∞(∂M, G) , (1.1) где D(p) и B(p) - семейства с параметром порядков m и b, соответственно, а i∗ : C∞(M, E) → C∞(∂M, E|∂M ) - оператор сужения сечений на край, индуцированный вложением i : ∂M '→ M, ЭТА-ИНВАРИАНТ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ 601 будем называть краевой задачей порядка (m, b) с параметром. Здесь E и F - комплексные векторные расслоения на M, а G - комплексное векторное расслоение на ∂M. В локальных координатах граничный оператор i∗B(p) может быть записан в виде i∗B(p) k 1 C∞(M, E) ::: u '\" ±-→ 0 k b Bk (p)(-i∂xn ) 1 1 1xn =0 u ∈ C∞(∂M, G), где Bj (p) - операторы с параметром порядка b - k на границе. Будем говорить, что краевая задача (1.1) имеет тип d ∈ Z, если Bk(p) = 0 при всех k ;;: d, т. е. тип равен максимальному порядку нормальной производной в краевых условиях плюс один. В частности, тип задачи Дирихле равен 1, а задачи Неймана - 2. Будем предполагать, что тип d ord D(p). Эллиптичность с параметром. Для s ∈ Z+ через Hs(M ) обозначим пространство Соболева функций на M с нормой, обозначаемой l· ls. Введём семейство норм в Hs(M ), зависящих от параметра p ∈ R: 2 2 2s 2 |||u|||s = luls + |p| lul0. (1.2) Аналогично определяются нормы с параметром в пространствах Соболева на границе. Известно, что краевая задача (1.1) определяет ограниченный оператор в пространствах Соболева Hs-m(M, F ) D(p): Hs(M, E) -→ ⊕ Hs-b-1/2(∂M, G) (1.3) при условии s - d - 1/2 > 0, где d - тип граничного оператора. При этом нормы операторов (1.3), отвечающие нормам (1.2) в пространствах Hs(M ), ограничены равномерно по p ∈ R. Перейдём к условиям эллиптичности задачи (1.1). Гладкая функция σ(D)(x, ξ, p) = '\" 0 k m σ(Dk )(x, ξ)pk ∈ C∞ T ∗M × R, Hom(E, F ) , где σ(Dk )(x, ξ) - главные символы дифференциальных операторов Dk , называется внутренним символом краевой задачи с параметром. Фиксируем точку (x×, ξ×) ∈ T ∗∂M. Заморозим коэффициенты операторов D(p) и B(p) в точке x×, отбросим младшие члены (т. е. в дифференциальных операторах Dk и Bk оставим только производные старших порядков m-k и b-k, соответственно) и выполним преобразование Фурье по касательной переменной x×. Получим семейство краевых задач ⎪ ⎧σ(D) x×, 0, ξ×, -i∂xn , p u(xn) = 0, xn ;;: 0, ⎨ k '\" ⎪⎩ 0 k d-1 σ(Bk )(x×, ξ×, p) (-i∂xn ) 1 u1 = g 1xn=0 (1.4) для обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами на полупрямой R+ = {xn ;;: 0}. Через L+(x×, ξ×, p) ⊂ C∞(R+, Ex∗ ) обозначим пространство решений первого уравнения задачи (1.4), которые стремятся к нулю при xn → +∞. Говорят, что краевая задача с параметром (1.3) удовлетворяет условию Шапиро-Лопатинского, если задача (1.4) имеет единственное решение u ∈ L+(x×, ξ×, p) для любой правой части g ∈ Gx∗ . Теорема 1.1 (Агранович, Вишик [2]). Пусть для задачи (1.3) выполнены условия эллиптичности с параметром: 1. внутренний символ σ(D)(x, ξ, p) обратим при всех (x, ξ, p) ∈ T ∗M \ {|ξ| + |p| = 0}; 2. выполнено условие Шапиро-Лопатинского. Тогда оператор (1.3) фредгольмов при всех p ∈ R и обратим при всех достаточно больших p. При этом норма обратного оператора D(p)-1, отвечающая семействам норм (1.2) в пространствах Соболева, равномерно ограничена по p, т. е. выполнена оценка 1 1D(p)-1(f, g) 1s 1 C1|||f |||s -m + C2|||g||| s-b-1/2 1 , где s - (d - 1) > 2 , а константы C1 и C2 не зависят от f, g и p. 602 К. Н. ЖУЙКОВ, А. Ю. САВИН 2. Формулировка основных результатов Алгебра задач с параметром. Фиксируем числа m0, b0 и d0. Через Ψp(M ) обозначим алгебру операторов с параметром D(p): C∞(M, F ) ⊕ -→ C∞(∂M, G) C∞(M, F ) ⊕ C∞(∂M, G), мультипликативно порождённую композициями вида D1(p)D0(p)-1, где множители - краевые задачи с параметром D0(p), D1(p): C∞(M, E) -→ C∞(M, F ) ⊕ C∞(∂M, G), (2.1) причём задача D0(p) имеет порядки (m0, b0) и тип d0 и является эллиптической и обратимой при всех p ∈ R, а задача D1(p) имеет порядки (m1, b1) и тип d1, подчинённые неравенствам m1 m0, b1 b0, d1 d0. Изэтого определения следует, что алгебра Ψp(M ) состоит излинейных комбинаций произведений вида N n j=1 Dj D-1 0j , (2.2) где порядки и тип операторов с параметром Dj удовлетворяют неравенствам mj m0, bj b0, dj d0 ∀j ;;: 1, (2.3) а задачи D0j являются эллиптическими с параметром и имеют порядки (m0, b0) и тип d0. Теорема 2.1. Пусть для произведения N D(p) = n Dj (p)D0j (p)-1 (2.4) j=1 выполнены неравенства (2.3) и неравенства N m1 - m0 + k < - dim M, b1 - b0 + k < - dim M + 1, где k = '\" max(mj - m0, bj - b0). (2.5) j=2 Тогда семейство D(p) состоит из ядерных операторов (т. е. операторов, для которых существует след) и для следа семейства существует асимптотическое разложение при p → ±∞ вида j tr D(p) ∼ pf '\" c±pj , где R = max(m1 - m0 + k + dim M, b1 - b0 + k + dim M - 1), (2.6) j 0 причём разложение можно дифференцировать по параметру любое число раз. Регуляризованный след и η-инвариант. Следуя методу из работы [24], определим регуляризованный след на алгебре Ψp(M ). Введём пространство Sas(R), состоящее из функций f (p) ∈ C∞(R), имеющих асимптотическое разложение i f (p) ∼ '\" c±pi + '\" j d±pj ln |p| при p → ±∞, i N 0 j N где N > 0 - некоторое целое число, а c±, d± ∈ C. Причём это разложение можно дифференцироj j вать произвольное число раз. Через P ⊂ (R) обозначим подпространство многочленов. Рассмотрим семейство D ∈ Sas Ψp(M ). Оно является линейной комбинацией произведений вида (2.2). Для краткости будем считать, что N 0j D = n Dj D-1. (2.7) j=1 ЭТА-ИНВАРИАНТ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ 603 Это произведение, вообще говоря, не имеет следа, поскольку для него неравенства (2.5) могут быть не выполнены. Рассмотрим производную семейства (2.7) по параметру ∂pD(p) = (∂pD1)D-1D2D-1 ... - D1D-1(∂pD01)D-1D2 ... + D1D-1(∂pD2) ... 01 02 01 01 01 Порядок при дифференцировании будет падать, как минимум, на единицу. Отсюда и из теоремы 2.1 следует, что при p R ;;: max(m1 - m0 + k + dim M + 1, b1 - b0 + k + dim M ) (2.8) семейство ∂f D(p) будет иметь след. Теперь можно дать определение регуляризованного следа. Определение 2.1. Регуляризованным следом будем называть функционал TR: Ψp(M ) -→ Sas(R)/P, ˆp (TR D)(p) = 0 qˆi!, 0 -1 ··· ˆq1 0 q tr ∂fD(q) dqdq1 ... dqf -1, где R определяется из (2.8). Из теоремы 2.1 следует, что это определение корректно, т. е. регуляризованный след действительно попадает в пространство Sas(R), а выбор другого числа R меняет регуляризованный след на многочлен. Так же, как в [24] (см. также [3]), доказывается, что регуляризованный след является следом, т. е. выполнено равенство TR D1(p)D2(p) = TR D2(p)D1(p) ∀ D1(p), D2(p) ∈ Ψp(M ). (2.9) Определим регуляризованн ый интеграл : Sas(R)/P -→ C, R f (p)dp = c0, R где c0 - постоянный член в асимптотическом разложении интеграла ˆT f (p)dp ∼ '\" cj T j + '\" dj T j ln T при T → +∞, T j N - 0 j N где N > 0 - некоторое целое число, а cj , dj ∈ C. Отметим, что регуляризованный интеграл нечётных функций равен нулю. Дадим определение η-инварианта для краевой задачи. Пусть D(p) - задача с параметром вида (1.3), которая является эллиптической и обратимой при всех p ∈ R. Для краткости введём следующее обозначение для композиции регуля ризованных следа и интеграла: Tr d=ef R § TR . Определение 2.2. η-Инвариантом задачи D(p) с параметром называется число D η (p) = 1 2πi Tr ∂pD(p)D(p)-1 ∈ C. (2.10) Установим некоторые свойства η-инварианта. 604 К. Н. ЖУЙКОВ, А. Ю. САВИН Теорема 2.2. 2. (Логарифмическое свойство.) Рассмотрим обратимые эллиптические задачи с параметром ⎛ D0(p) ⎞ ⎛ D 0(p) ⎞ C∞(M, F ) D(p) = ⎝ ⎠ , i∗B0(p) D (p) = ⎝ ⎠ : C∞(M, E) -→ i∗B 0(p) ⊕ C∞(∂M, G), где ord D0 = ord D 0, ord B0 = ord B 0 и тип B0 = тип B 0. Имеет место равенство η D - η D = η DD -1 , где η-инвариант семейства DD -1 определяется формулой (2.10). 3. (Формальный след.) Отображение T r : Ψp(M ) -→ C, D(p) ±-→ Tr ∂pD(p) , называемое формальным следом, является следом на алгебре Ψp(M ), т. е. T r(BA) для всех элементов A, B ∈ Ψp(M ). T r(AB) = 4. (Вариация η-инварианта.) Пусть Dt(p), t ∈ [0, 1], есть гладкая гомотопия обратимых эллиптических задач с параметром. Тогда производная η-инварианта по параметру t равна 1 1 Доказательство. t ∂tη(Dt) = 2πi T r D- ∂tDt . 5. Пользуясь линейностью и циклическим свойством следа Tr, получаем η DD -1 = 1 (∂ D)D-1 - Tr DD -1(∂ D)D-1 = 2πi 1 Tr p p 1 = 2πi Tr (∂pD)D-1 - 2πi Tr (∂pD )D -1 = η D - η D . 6. Очевидным образом следует из (2.9). 7. Доказательство аналогично случаю замкнутого многообразия [24, с. 554], см. также [3, предложение 7.2], и следует из циклического свойства следа Tr. Замечание 2.1. Формальный след может быть явно вычислен, см. теорему 7.1 ниже. 3. Примеры вычисления η-инварианта краевых задач Пример 1. Краевые условия без параметра. На отрезке [0, 1] рассмотрим краевую задачу ((∂2 - p2)u(x) = f (x), x u(0) = h0, u(1) = h1. Этой краевой задаче отвечает оператор (3.1) ⎛A⎞ Hs-2[0, 1] A = ⎝ B ⎠ : Hs[0, 1] -→ ⊕ , C2 x где A = ∂2 -p2, Bu(x) = u(0), u(1) . Нетрудно показать, что оператор A удовлетворяет условиям Шапиро-Лопатинского на обоих концах отрезка и является обратимым при всех |p| /= 0. Имеем ∂pA = (-2p\ 0 , A-1 = (R, C), ∂pAA-1 = (-2pR -2pC\ . 0 0 Здесь Rf - решение задачи (3.1) с однородными краевыми условиями, а Ch - решение задачи при f = 0 и h = (h0, h1). ˆ Общее решение уравнения Au = f имеет вид x 1 u(x) = p 0 sh p(x - y)f (y)dy + C1epx + C2e-px. (3.2) ЭТА-ИНВАРИАНТ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ 605 ˆ Из однородных граничных условий получаем 1 Таким образом, 1 u(1) = p 0 sh p(1 - y)f (y)dy + 2C1 sh p = 0, C2 = -C1. 1 Rf (x) = p ˆx sh p(x - y)f (y)dy - 0 sh px p sh p ˆ1 sh p(1 - y)f (y)dy. 0 Ядро Шварца оператора -2pR равно 2 (1 при y - x 0, K(x, y) = 2 sh p(y - x)χ(y - x)+ sh p sh px sh p(1 - y), где χ(y - x) = Отсюда имеем 0 при y - x> 0. ˆ1 tr ∂pAA-1 = tr(-2pR) = 0 )1 K(x, y 1 1y=x dx = 1 sh p ˆ1 ch p - ch p(2x - 1) dx = 0 1 ( = sh p ch p · x - 1 2p sh p(2x - 1) \ 1x=1 1 1x=0 = 1 ( sh p ch p - 1 \ sh p p = cth p - 1 . (3.3) p Поскольку найденный след есть нечетная функция, то из свойств следа и регуляризованного интеграла следует, что 1 η(A) = 2πi R tr ∂pAA-1 dp = 0. Пример 2. Краевые условия нулевого порядка с параметром. На отрезке [0, 1] рассмотрим краевую задачу x ((∂2 - p2)u(x) = f (x), (p + i)u(0) = h0, u(1) = h1. Этой краевой задаче отвечает оператор (3.4) ⎛A⎞ Hs-2[0, 1] A = ⎝ B ⎠ : Hs[0, 1] -→ ⊕ , C2 x где A = ∂2 - p2, Bu(x) = (p + i)u(0), u(1) . Аналогично примеру 1 находим (-2p\ 1 -1 (-2pR -2pC\ ∂pA = i∗ , A- = (R, C), ∂pAA = i∗ ∗ , 0 0R i0C 0 где i∗u(x) = (u(0), 0), Ch - решение задачи (3.4) при f = 0 и h = (h0, h1), а оператор R такой же, как в (3). Из определения оператора C имеем ∗ 0 h i0Ch = p + i . (3.5) Далее, получаем 0 tr(∂pAA-1) = -2p tr R + tr(i∗C). Выражение -2p tr R вычислено в (3.3). Наконец, из (3.3) и (3.5) получаем Таким обр азом, 1 p tr(∂pAA-1) = cth p - + 1 . p + i 1 1 1 ( T + i \ 1 1 η(A) = 2πi R dp = reglim ln p + i 2πi T →∞ -T + i 2π = lim arg(T +i)-arg(-T +i) = - T →∞ . (3.6) 2 606 К. Н. ЖУЙКОВ, А. Ю. САВИН Пример 3. Краевые условия первого порядка с параметром. На отрезке [0, 1] рассмотрим краевую задачу x ((∂2 - p2)u(x) = f (x), (p + i)u×(0) = h0, u(1) = h1. Этой краевой задаче отвечает оператор (3.7) ⎛A⎞ Hs-2[0, 1] A = ⎝ B ⎠ : Hs[0, 1] -→ x ⊕ , где A = ∂2 - p2, Bu(x) = (p + i)u×(0), u(1) . C2 Аналогично предыдущему примеру находим ∂pA = (-2p\ i∗ 0∂x , A-1 = (R, C), ∂pAA-1 = (-2pR -2pC\ , i∗∂xR i∗∂xC 0 0 0 где i∗u(x) = (u(0), 0), Rf - решение задачи (3.7) с однородными краевыми условиями, а Ch - решение задачи (3.7) при f = 0, h = (h0, h1). Отсюда получаем 0 tr(∂pAA-1) = -2p tr R + tr(i∗∂xC). (3.8) Из (3.2) имеем 1 Rf (x) = p ˆx sh p(x - y)f (y)dy - 0 ch px p ch p ˆ1 sh p(1 - y)f (y)dy. (3.9) 0 Из определения оператора C имеем ∗ 0 h i0∂xCh = p + i . (3.10) ˆ Наконец, подставляя (3.9) и (3.10) в (3.8), имеем 1 2 1 1 tr(∂pAA-1) = ch p 0 ch px sh p(1 - x)dx + p + i = th p + . p + i Поскольку th p - нечетная функция, то ана логично (3.6) получаем 1 1 1 η(A) = 2πi R tr(∂pAA- )dp = - 2 . 4. Определение операторов Буте де Монвеля с параметром В этом разделе определяется класс операторов Буте де Монвеля (см. [6, 13, 31]), зависящих от параметра p ∈ R. Рассматриваемый класс является более узким, чем классы из [19]. Мы используем схему определения псевдодифференциальных краевых задач из монографии [6]. Сглаживающие операторы с параметром. Рассмотрим следующие операторы с параметром на многообразии M : o сглаживающий ˆкограничный оператор C : C∞(∂M ) → C∞(M ): (Cu)(x) = ∂M c(x, y×, p)u(y×)dy×, где u ∈ C∞(∂M ), c ∈ C∞ M × ∂M, S(R) ; (4.1) o сглаживающий граничный ˆоператор типа d, B : C∞(M )ˆ→ C∞(∂M ): d-1 (Bu)(x×) = '\" k=0∂M xn bk (x×, y×, p)∂k u(y×, 0)dy× + M b(x×, y, p)u(y)dy, (4.2) где bk ∈ C∞ ∂M × ∂M, S(R) , b ∈ C∞ ∂M × M, S(R) ; ЭТА-ИНВАРИАНТ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ 607 o сглаживающий оператор Грина типа d, G : C∞(M )ˆ→ C∞(M ): d-1 xn (Gu)(x× , xn) = '\" Ck ∂k k=0 u(x×, 0) + M g(x, y, p)u(y)dy, (4.3) где Ck - сглаживающие кограничные операторы (см. (4.1)), а g ∈ C∞ M × M, S(R) ; o сглаживающий операˆтор на границе, DX : C∞(∂M ) → C∞(∂M ): (DX u)(x×) = ∂M dX (x×, y×, p)u(y×)dy×, где dX ∈ C∞ ∂M × ∂M, S(R) . (4.4) Ψ-∞,d В этих формулах dy× и dy - гладкие меры на ∂M и M, соответственно. Тогда пространство p (M ) сглаживающих операторов с параметром по определению состоит из семейств операторов вида (G C \ D = B DX : C∞(M ) ⊕ -→ C∞(∂M ) C∞(M ) ⊕ C∞(∂M ), где компоненты матрицы определяются формулами (4.1)-(4.4). Непосредственно проверяется, что композиция сглаживающих операторов является сглаживающим оператором и имеет место соотношение D1D2 ∈ Ψ-∞,d2 ,dj p p (M ), где Dj ∈ Ψ-∞ (M ), j = 1, 2. n+1 Внутренний символ с параметром. Рассмотрим пространство R+ = Rn-1 × R × R . Его n+1 n+1 x∗ +,xn t ξ∗,ξn,p кокасательное расслоение равно T ∗R+ = R+ × Rn+1 . Внутренним символом с параметром будем называть функцию int int R+ a = a (x, ξ, p) ∈ C∞(T ∗ n × R) - классический символ, удовлетворяющий свойству трансмиссии, т. е. для него выполняются условия: 5. его порядок m является целым числом; 6. он имеет асимптотическое разложение aint ∼ aint,m + aint,m-1 + ... , (4.5) где компоненты aint,j являются однородными степени j по переменным (ξ, p) и удовлетворяют соотношениям (условия симметрии) ∂α β × xn ∂ξ∗,paint,j (x , 0, 0, 1, 0) = (-1) j+|β|∂α ∂β aint,j (x×, 0, 0, -1, 0). xn ξ∗,p Компоненту старшей степени в разложении (4.5) будем называть внутренним главным символом с параметром. Граничный символ с параметром. Введем линейные пространства H+ d=ef def F(S(R+)) и H- = F(S(R-)) Фурье-образов пространств Шварца на R+ и R-, соответственно. Эти пространства являются пространствами Фреше (топология переносится с пространств Шварца S(R±)). Определим проектор Π+ : H+ ⊕ H- → H+ на первое слагаемое и непрерывный функционал × Πξn : H+ ⊕ H- -→ C, u(ξn) ±-→ lim xn→0+ F n -1 u(ξ ). ξn →xn Наконец, определим пространства H× = C[ξn] - пространство многочленов, H = H+ ⊕ H- ⊕ H×, Hm = H+ ⊕ H- ⊕ (m-1 ), j=0 n cj ξj , а сумму пространства H- и пространства многочленов степени - - d 1 обозначим через Hd . n Граничным символом a∂ с параметром в полупространстве R+ = {x ∈ Rn | xn ;;: 0} будем называть граничный символ (т. е. граничный символ без параметра в смысле [2, § 2.2.5.2]) 608 К. Н. ЖУЙКОВ, А. Ю. САВИН n+1 в R+ = {(x, t) ∈ Rn+1 | xn ;;: 0}, который не зависит от переменной t. А именно, граничный символ a∂ является оператор-функцией a∂ = a∂ (x×, ξ×, p), (x×, ξ×, p) ∈ Rn-1 × Rn-1 × R, H+ H+ ηn Π+a(ξn)+ Π× g(ξn, ηn) c(ξn) a∂ (x×, ξ×, p): ⊕ -→ C и действует по формуле ⊕ , a∂ (x×, ξ×, p) = C ξn Π× b(ξn) dX , (4.6) a∂ (x×, ξ×, p) u v = ηn Π+ a(x×, ξ×, ξn, p)u(ξn) + Π× Π g(x×, ξ×, ξn, ηn, p)u(ηn) + c(x×, ξ×, ξn, p)v . ξn × b(x×, ξ×, ξn, p)u(ξn) + dX (x×, ξ×, p)v В этих формулах функции a, b, c, dX и g принадлежат пространствам a ∈ C∞ T ∗Rn-1 × R, Hm+1 , c ∈ C∞ T ∗Rn-1 × R, H+ , dX ∈ C∞ T ∗Rn-1 × R , b ∈ C∞ T ∗Rn-1 × R,Hd , g ∈ C∞ T ∗Rn-1 × R, H+ ⊗ Hd (4.7) - - и являются классическими символами целых порядков m, m - 1, m, m и m - 1, соответственно. Будем предполагать, что функции a, b, c, g и dX обращаются в нуль при |x×| >R для некоторого R. Напомним, что функции b, c и g в (4.7) называются классическими порядка m, если выполнены следующие условия: 1) для •ξ×, p) = 1+ ξ×2 + p2 1/2 функции - b[0] = b(x×, ξ×, •ξ×, p)ξn, p) ∈ Sm(T ∗Rn-1 × R,Hd ), c[0] = c(x×, ξ×, •ξ×, p)ξn, p) ∈ Sm-1(T ∗Rn-1 × R, H+), - g[0] = g(x× , ξ×, •ξ×, p)ξn, •ξ×, p)ηn, p) ∈ Sm-1(T ∗Rn-1 × R, H+ ⊗ Hd ) (4.8) суть символы со значениями в пространствах Фреше Hd , H+ и H+ ⊗ Hd , соответственно; 7. имеют место асимптотические разложения b ∼ '\" bj , c ∼ '\" - cj , g ∼ '\" - gj , (4.9) j m j m-1 j m-1 степени j: cj и gj разложений являются произведениями однородных функций bj (x×, λξ×, λξn, λp) = λj bj (x×, ξ×, ξn, p), cj (x×, λξ×, λξn, λp) = λj cj (x×, ξ×, ξn, p), gj (x×, λξ×, λξn, ληn, λp) = λj bj (x×, ξ×, ξn, ηn, p), × 2 ∀ λ> 0, |ξ | + p2 > 0, | | на срезающую функцию χ ξ× 2 + p2 , где χ(τ ) = 0 при τ < ε и χ(τ ) = 1 при τ > 2ε; 8. разложения (4.9) являются асимптотическими в следующем смысле: для любого N разности bN = b - m '\" bj , = c - m-1 '\" , = g - m-1 '\" cN удовлетворяют соотношениям cj gN N gj j>-N - bN [0] ∈ S-N T ∗Rn-1 × R,Hd , cN [0] gN [0] ∈ S- N T ∗R N n-1 n-1 × R, H+ , d ∈ S- T ∗R × R, H+ ⊗ H- (здесь используются обозначения из формулы (4.8)). Граничный символ (4.6), в котором функции a, g, c, b и dX совпадают со старшими компонентами своих асимптотических разложений (см. (4.9), символ ПДО dX имеет аналогичное разложение), называется граничным главным символом с параметром. ЭТА-ИНВАРИАНТ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ 609 Операторы с параметром. Символу с параметром a = (aint, a∂ ) сопоставим семейство операторов Op(a): n ∞ Cc (R+) ⊕ -→ n ∞ Cc (R+) ⊕ ∞ Cc (ˆR n-1) ∞ Cc (R n-1), Op(a) (u\ v ˆ ⎛(2π)-n = ⎜ ⎝ n Rn×R+ ei(x-y)ξ 0 aint(x, ξ, p)u(y)dydξ⎞ ⎟ + ⎠ (4.10) F-1 Fx η + (2π)-(n-1) ei(x∗-y∗)ξ∗ Rn-1 ×Rn-1 ξn →xn 0 0 1 a∂ (x×, ξ×) n → n 0 0 1 u(xn) v(y×) dy×dξ×. p p При помощи разбиения единицы, подчинённого покрытию многообразия M с краем ∂M координатными картами, стандартным образом строится пространство Ψm,d(M ) псевдодифференциальных операторов с параметром на M. При этом бесконечно сглаживающие семейства из Ψ-∞,d(M ) p образуют подпространство в Ψm,d(M ). Теорема 4.1. 9. Композиция операторов определяет отображение Ψm1 ,d1 m2 ,d2 m,d p (M ) × Ψp (M ) -→ Ψp (M ) D1 D2 ±-→ D1D2, где m = m1 + m2, d = max(d2, d1 + m2). При этом главный символ композиции операторов равен композиции главных символов. p 10. Пусть оператор D(p) ∈ Ψm,d(M ) является эллиптическим, т. е. его внутренний главный | символ обратим при |ξ 2 + p2 | > 0, и граничный главный символ обратим при |ξ× 2 + p2 > 0. Тогда D(p) фредгольмов при всех p и обратим при достаточно больших значениях |p|. При этом имеем p (M ). (4.11) D(p)-1 ∈ Ψ-m,0 Доказательство теоремы 4.1 основано на сведении операторов с параметром на многообразии M к операторам (без параметра) на произведении M × S1. Это сведение отвечает специальному изоморфизму пространств Соболева на этих многообразиях, который мы сейчас опишем. 1. Изоморфизм пространств Соболева на M × R и на M × S1 × S1 Напомним [32, с. 375], что преобразование Фурье-Лапласа1 задается формулой t Fz : L2(Rt) -→ L2(S1 × [0, 2π]), u(t) ±-→ (Fz u)(t, θ) = eiθt/2π '\" eiθnu(t + 2πn), (5.1) n∈Z ˆ где θ = -i ln z ∈ [0, 2π], |z| = 1. Обратное преобразование Фурье-Лапласа задается формулой 2π Обозначим через 1 u(t) = 2π 0 e-itθ/2π (Fz u)(t, θ)dθ. p→t L = Fz ◦ F-1 t : L2(Rp) -→ L2(S1 × [0, 2πˆ]), 1 itθ/2π '\" iθn i(t+2πn)p (5.2) u(p) ±-→ (Lu)(t, θ) = 2π e e e n∈Z R u(p)dp 1 В литературе встречаются различные названия этого преобразования, см. историческую справку в [20, с. 359] 610 К. Н. ЖУЙКОВ, А. Ю. САВИН композицию обратного преобразования Фурье ˆ [F-1 1 itp p→tu](t) = 2π e R u(p)dp и преобразования Фурье-Лапласа (5.1). Пользуясь равенством '\" ein(θ+2πp) = 2π '\" δ(θ + 2π(p - n)), n n из (5.2) получаем явную формулу для преобразования L: (Lu)(t, θ) = '\" eitnu(-θ/2π + n). (5.3) n ˆ ˆ Обратное к преобразованию L задается формулой 2π 1 u(p) = 2π R e-it(p+θ/2π)(Lu)(t, θ)dθdt. 0 Через H s(R) обозначим весовое L2-прострˆанство функций на прямой с нормой 2 2 2s lulH s = R |u(p)| (1 + |p|) dp. Лемма 5.1. Преобразование (5.3) осуществляет изоморфизм пространств t L: H s(Rp) -→ Hs(S1) ⊗ L2[0, 2π]. ˆ Доказательство. Для u ∈ H s(Rp) имеем ˆ2π 1 2 2 2 2s u 1 2 '\" 1 ( \1 2s lulH s = R |u(p)| (1 + |p|) dp, lLuls = 0 θ 1 1 - 2π + n n 1 (1 + |n|) 1 dθ, t где lLuls - норма в пространстве Hs(S1)⊗L2[0, 2π]. Поскольку 1+|n|∼ 1+|-θ/2π+n| равномерно по n ∈ Z и θ ∈ [0, 2π], то получаем двустороннюю оценку × lLuls ClulH s C lLuls, где C и C× - некоторые константы. Из последней оценки следует, что отображение (5.3) - изоморфизм. Результаты этого раздела непосредственно переносятся на случай, когда функция u зависит от дополнительной переменной, пробегающей гладкое компактное многообразие M (возможно, с краем). В этом случае оператор L осуществляет изоморфизм пространств t L: H s(M × Rp) -→ Hs(M × S1) ⊗ L2(S1), → где H s(M × Rp) = Ft pHs(M × Rt) - Фурье´-образ пространства Соболева на бесконечном цилин- 2 H s дре, и норма в H s(M × Rp) равна lul s = |||u(p)|||2dp. R 2. Сведение операторов с параметром к операторам на цилиндре p Оператору с параметром D(p) ∈ Ψm,d(M ) сопоставим ограниченный оператор, действующий в пространствах D = D(p): H s(M × Rp) ⊕ -→ H s-1/2(∂M × Rp) H s-m(M × Rp) ⊕ H s-m-1/2(∂M × Rp). (6.1) ЭТА-ИНВАРИАНТ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ 611 Используем преобразование L (см. (5.2)) и перейдём к изоморфному оператору D d=ef LDL-1 : t Hs(M × S1) ⊗ L2[0, 2π] ⊕ -→ t Hs-m(M × S1) ⊗ L2[0, 2π] ⊕ Hs-1/2(∂M × S1 2 t ) ⊗ L [0, 2π] H s-m-1/2(∂M × S1) ⊗ L2[0, 2π]. t t Из определения (5.2) преобразования L следует, что последний оператор представляет собой семейство операторов, обозначаемых D (θ), действующих на произведении M × S1: D (θ): t Hs(M × S1) ⊕ -→ Hs-1/2(∂M × S1 t Hs-m(M × S1) ⊕ s-m-1/2 1 (6.2) t ) H (∂M × St ). Поскольку преобразование L является изоморфизмом (см. лемму 5.1), то оператор (6.1) обратим тогда и только тогда, когда семейство (6.2) обратимо при всех θ ∈ [0, 2π]. Ниже мы покажем, что операторы D (θ) являются операторами Буте де Монвеля на произведении M × S1 при всех θ ∈ [0, 2π] и опишем, какие операторы Буте де Монвеля при этом получаются. Предложение 6.1. Отображение t Ψm,d p (M ) -→ C∞ Rθ , Ψm,d(M × S1) , D(p) ±-→ D (θ) = LD(p)L-1 = D ( θ \ -i∂t - 2π , (6.3) t (сопоставляющее семейству D(p) ПДО с параметром p ∈ R на M ПДО на M × S1, который θ) корректно определено. При этом образ отображения (6.3) состоит из гладко зависит от гладких семейств A(θ) ∈ C∞ Rθ , Ψm,d(M × S1) ПДО на M × S1, удовлетворяющих условиям: t t 1. оператор A(θ) инвариантен относительно вращений (x, t) ±→ (x, t + t×) ∀ t× ∈ R, (x, t) ∈ M × S1; 2. выполнено условие скрученной периодичности A(θ + 2π) = e-itA(θ)eit; 3. полный символ σ A(θ) семейства A(θ) удовлетворяет соотношению σ A(θ) (x, ξ, τ ) = σ A(0) Доказательство. ( θ \ x, ξ, τ - 2π '\" 1 ∼ j! j;;:0 ( -θ \j 2π θ ∂j σ A(0) (x, ξ, τ ). (6.4) 1. Сначала рассмотрим сглаживающие операторы, т. е. случай, когда m = -∞. Изопределения отображения L следует равенство = F ( θ \ def 1 ( θ \ - D (θ) = D -i∂t - 2π k→tD k - 2π Ft→k , (6.5) t → t где Ft k - преобразование Фурье на S1 (т. е. переход от функции переменной t к её коэффициентам Фурье). Поскольку семейство D(p) быстро убывает при p → ∞, то каждый оператор D (θ) является сглаживающим, и эти операторы гладко зависят от θ. При этом из формулы (6.5) очевидно, что полученное семейство будет инвариантно относительно вращений и будет скрученно периодическим. Обратно, если семейство A(θ) ∈ C∞ Rθ, Ψ-∞,d(M × S1) состоит из сглажива- M × S1, инвариантно относительно вращений и является ющих операторов Буте де Монвеля на t p скрученно-периодическим, то оно имеет вид (6.5) для некоторого сглаживающего семейства с параметром D(p) ∈ Ψ-∞,d(M ). В самом деле, поскольку семейство A(θ) инвариантно относительно вращений, то оно имеет вид A(θ)u(t) = F-1 A(θ, k)Ft k u, k→t → где семейство A(θ, k) ∈ Ψ-∞,d(M ) гладко зависит от θ ∈ R и быстро убывает при k → ∞. При этом условие скрученной периодичности для всех θ и k имеет вид A(θ + 2π, k) = A(θ, k - 1). (6.6) 612 К. Н. ЖУЙКОВ, А. Ю. САВИН Теперь определим функцию p ±→ A(-2πp, 0) ∈ Ψ-∞,d(M ). Из (6.6) следует равенство A(-2πp, 0) = A( -2π{p}, [p] , где p = [p] + {p} - разложение на целую и дробную части числа p. Поэтому рассматриваемая функция быстро убывает при p → ∞. Функции A(-2πp, 0) отвечает оператор A = F-1 A (-2π(k - θ/2π), 0) Ft k = F-1 A(θ, k)Ft k = A(θ). k→t → k→t → Здесь второе равенство выполнено в силу скрученной периодичности. Итак, мы показали, что семейство A(θ) лежит в образе отображения (6.3). t 2. Докажем, что отображение (6.3) корректно определено, т. е. оператор D (θ) является ПДО на произведении M × S1, гладко зависящим от параметра θ. Это утверждение является обобщением известного результата о псевдодифференциальности операторов на окружности, определяемых при помощи рядов Фурье (см., напр., [1, 29]). В силу доказанного п. 1 достаточно рассмотреть слу- R+ ˆ чай полупространства M = n . Мы приведём доказательство для ПДО D(p) = A(p) со свойством трансмиссии A(p)u (x, t) = 1 (2π)n n R+×Rn ei(x-x∗)ξ a(x, ξ, p)u(x×)dx×dξ. Для остальных компонент оператора Буте де Монвеля доказательство аналогично, поэтому мы его опускаем. С одной стороны, соответствующˆий оператор A (θ): C∞(Rn × S1) → C∞(Rn × S1) равен c + t c + t ( θ \ A(θ)u (x, t) = 1 (2π)n+1 n ei[(x-x∗)ξ+(t-t∗)p]a x, ξ, p - 2π u(x×, t×)dx×dt×dξdp. R+×Rn+2 n n Здесь мы рассматриваем функции на произведении R+×S1 как функции на произведении R ×Rt, t + которые являются периодическими по переменной t с периодом 2π. Это определение даёт тот же оператор, что и применение формулы (6.5). t С другой стороны, по символу a(x, ξ, p - θ/2π) можно построить ПДО на цилиндре R+ × S1, t пользуясь разбиением единицы на S1. А именно, рассмотрим o покрытие S1 = U1 ∪ U2, где U1 = S1 \ {t = 0} и U2 = S1 \ {t = π}; c o функции ρk ∈ C∞(Uk ), k = 1, 2, - разбиение единицы, подчинённое покрытию; § c функции χk ∈ C∞(Uk ) со свойством χk (t) ≡ 1 для всех t из малой окрестности носителя функции ρk ; c o функции ρkj , χkj ∈ C∞(Rt), где ρ1j = ρ1(t) при |t - (π + 2πj)| < π, ρ2j (t) = ρ2(t) при |t - 2πj| <π и нулю иначе. Определим оператор A(θ): C∞(ˆRn × S1) → C∞(Rn × S1) по формуле c + t c + t ( \ A(θ)u (x, t) = 1 (2π)n+1 '\" k,j n ei[(x-x∗)ξ+(t-t∗)p]a θ x, ξ, p - 2π χkj (t)ρkj (t×)u(x×, t×)dx×dt×dξdp. Покажем, что разность Имеем R+×Rn+2 A (θ) - A(θ) является гладким семейством сглаживающих операторов. A (θ) - A(θ) u = ˆ 1 '\" ( \ 1 χ (t) ρ (t )u(x ,t )dx dt dξdp = = (2π)n+1 k,j ei[(x-x∗)ξ+(t-t∗)p]a n Rˆ+×Rn+2 θ x, ξ, p - 2π - kj kj × × × × × 1 '\" ( \ 1 χ (t) ρ (t )u(x ,t )dx dt dξdp = = (2π)n+1 k,j LN ei[(x-x∗)ξ+(t-t∗)p] a n R+ ׈Rn+2 θ x, ξ, p - 2π - kj kj × × × × × 1 '\" ( ( L a x, ξ, p θ \\ 1 χ (t) ρ (t )u(x ,t )dx dt dξdp. = (2π)n+1 k,j n ei[(x-x∗)ξ+(t-t∗)p] N o 2π o kj kj × × × × × R+×Rn+2 ЭТА-ИНВАРИАНТ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ 613 Здесь число N достаточно велико, а L = L∗ = -i(t - t×)-1∂p - симметрический дифференциальный оператор первого порядка. Поскольку оператор рассматривается в пространстве периодических функций, то его ядро Шварца равно K(x, t, x×, t×) = 1 (2π)n+1 '\" 1 - χkj (t) ˆ ρkj (t× + 2πR) ei[(x-y)ξ+(t-t∗-2πf)p] ( LN a ( x, ξ, p - θ \\ 2π dξdp. k,j,f Rn+1 Пусть t, t× ∈ [0, 2π]. Тогда в последней сумме мы можем учитывать только слагаемые, для которых |R - j| 1, поскольку остальные слагаемые равны нулю в силу свойств носителя функций ρkj . Ядро Шварца оценивается равномерно следующим образом: |K(x, t, x×, t×)| C '\" m-N 1 - χkj (t) ρkj (t× + 2πR)|t - t× - 2πR| m-N C + C '\" |R| < C, k,|f-j| 1 |f|;;:2 где через C обозначаем произвольные константы. Здесь мы сначала воспользовались символьными оценками для символа a(x, ξ, p), а затем воспользовались свойствами функций χkj . Аналогичным образом оцениваются производные ядра Шварца. Поскольку число N можно выбрать произвольно большим, отсюда следует искомая гладкость ядра Шварца оператора A (θ) - A(θ). Итак, мы установили, что оператор A (θ) - ПДО на цилиндре с полным символом σint A (θ) = a ( θ \ x, ξ, p - 2π ∼ '\" 1 ( j! θ \j - 2π j ∂p a(x, ξ, p). j;;:0 В частности, отсюда следует искомое равенство (6.4). Таким образом, мы доказали корректность определения отображения (6.3) и свойств 1)-3) в случае ПДО A(p) в операторе Буте де Монвеля. Доказательство для остальных компонент проводится аналогично. t p 3. Осталось доказать, что образ отображения (6.3) состоит в точности из семейств, которые удовлетворяют условиям 1)-3). Пусть A(θ) ∈ C∞ Rθ , Ψm,d(M × S1) - гладкое семейство операторов на торе, удовлетворяющее свойствам 1)-3). Через σ(A(θ)) обозначим полный символ этого семейства. В силу условий 1) и 3) этот полный символ равен a(x, ξ, p - θ/2π) для некоторого полного символа с параметром a(x, ξ, p). Через A0(p) ∈ Ψm,d(M ) обозначим какое-нибудь семейство с параметром с полным символом a(x, ξ, p). Тогда разность операторов на торе A(θ) - A 0(θ) будет иметь нулевой полный символ, т. е. мы будем иметь A(θ) - A 0(θ) ∈ Ψ-∞,d(M × S1). Поэтому последняя разность лежит в образе отображения (6.3) в силу доказанного выше п. 1. Следовательно, семейство A(θ) = (A(θ) - A 0(θ)) + A 0(θ) также лежит в образе этого отображения (как сумма элементов из образа). Предложение доказано. Вернёмся к доказательству теоремы 4.1. Доказательство. p 1 2 1. Рассмотрим операторы Dj ∈ Ψmj ,dj (M ), j = 1, 2, и их композицию D D . Тогда имеем D 1D2 = D 1D 2. Теперь D 1 и D 2 - гладкие семейства задач Буте де Монвеля на M × S1, D j ∈ C∞ Rθ , Ψmj ,dj (M × S1) . Поэтому в силу теоремы о композиции операторов Буте де Монвеля (см. [6, 13]) имеем D 1D 2 ∈ C∞ Rθ , Ψm,d(M × S1) , где показатели m и d такие же, как в теореме 4.1. При этом последняя композиция состоит из операторов, инвариантных относительно вращений и скрученно периодических, а их полные символы удовлетворяют соотношению (6.4). Следовательно, семейство D 1D2 является образом сеp мейства операторов с параметром, т. е. мы получаем искомое соотношение D1(p)D2(p) ∈ Ψm,d(M ). Первое утверждение теоремы 4.1 доказано. p 2. Пусть D(p) ∈ Ψm,d(M ) - эллиптическое семейство с параметром. Из доказанного п. 1 следует, что оператор D (θ) является эллиптическим. Отсюда и из результатов работы [6] следует, 614 К. Н. ЖУЙКОВ, А. Ю. САВИН что оператор D (θ) обратим с точностью до сглаживающих операторов. Следовательно, семейство D(p) обратимо с точностью до сглаживающего семейства, т. е. существует такое семейство D×(p) ∈ Ψ-m,0(M ), что выполнены равенства D(p)D×(p) - 1 ∈ Ψ-∞,0(M ) и D×(p)D(p) - 1 ∈ Ψ-∞,d(M ). (6.7) p p p Поскольку семейства из Ψ-∞,d(M ) определяют операторы в пространствах Соболева с нормой, быстро стремящейся к нулю при p → ∞, то из (6.7) следует обратимость семейства D(p) при больших значениях |p| и соотношение (4.11). Второе утверждение теоремы 4.1 доказано. 7. Доказательства основных результатов Докажем теорему 2.1. Заметим сначала, что композиция (2.4) является оператором Буте де Монвеля с параметром. В следующей лемме даются оценки порядков и типов его компонент. Лемма 7.1. Рассмотрим произведение вида (2.2), в котором множители Dj и D0j являются псевдодифференциальными операторами-столбцами вида (2.1), порядки и типы которых связаны неравенствами (2.3). Тогда произведение (2.2) является оператором типа Буте де Монвеля (A + G C \ B D , где операторы B и G имеют тип, равный нулю, а порядки компонент оцениваются следующим образом: ord A, ord G m1 - m0 + k, ord D b1 - b0 + k, N где k = '\" max(m m ,b b ). (7.1) ord B b1 - m0 + k, ord C m1 - b0 + k, j=2 j - 0 j - 0 Доказательство. Лемма доказывается индукцией по числу множителей. 1. При N = 1 имеем D1D-1 (A1 + G1 C1 \ , 01 = B1 D1 где ord A1, ord G1 m1 - m0, ord C1 m1 - b0, ord B1 b1 - m0, ord D1 b1 - b0 и тип равен нулю. Получаем, что оценки (7.1) верны. N -1 2. Пусть для произведения n j=1 0j Dj D-1 справедливы оценки (7.1), т. е. N -1 n j=1 0j = Dj D-1 (A + G C \ B D , (7.2) причём выполнены оценки порядков операторов ordA, ordG m1 - m0 + kN -1, ordC m1 - b0 + kN -1, ordB b1 - m0 + kN -1, ordD b1 - b0 + kN -1, N -1 k = kN -1 = '\" max(mj - m0, bj - b0) j=2 и тип равен нулю. Получим аналогичные оценки для композиции ( \ N N -1 n n (A + G C \ (A + G C \ (A× + G× C×\ j=1 -1 Dj D0j = j=1 -1 Dj D0j 0N B D DN D-1 = N N N = BN DN B× D× , (7.3) ЭТА-ИНВАРИАНТ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ 615 где ordAN , ordGN mN - m0, ordCN mN - b0, ordBN bN - m0, ordDN bN - b0 и тип равен нулю. Тогда из (7.2) и (7.3) получаем оценки для порядков компонент A×, G×, B×,C× и D×: ord A×, ord G× max(ord A + ord AN , ord C + ord BN ) max(m1 - m0 + kN -1 + mN - m0, m1 - b0 + kN -1 + bN - m0) = = m1 - m0 + kN -1 + max(mN - m0, bN - b0) = m1 - m0 + kN ; ord C× max(ord A + ord CN , ord C + ord DN ) max(m1 - m0 + kN -1 + mN - b0, m1 - b0 + kN -1 + bN - b0) = = m1 - b0 + kN -1 + max(mN - m0, bN - b0) = m1 - b0 + kN ; ord B× max(ord B + ord AN , ord D + ord BN ) max(b1 - m0 + kN -1 + mN - m0, b1 - b0 + kN -1 + bN - m0) = = b1 - m0 + kN -1 + max(mN - m0, bN - b0) = m1 - b0 + kN ; ord D× max(ord B + ord CN , ord D + ord DN ) max(b1 - m0 + kN -1 + mN - b0, b1 - b0 + kN -1 + bN - b0) = = b1 - b0 + kN -1 + max(mN - m0, bN - b0) = b1 - b0 + kN . При этом для типов получаем тип G× max(тип GN , тип G + ord AN , тип BN ) = max(0, ord AN , 0) = 0, поскольку ord AN 0; тип B× max(тип GN , тип B + ord AN , тип BN ) = max(0, ord AN , 0) = 0. Лемма доказана. Продолжим доказательство теоремы 2.1. Из леммы 7.1 следует, что композиция (2.4) является оператором Буте де Монвеля вида (A(p)+ G(p) C(p)\ A ∈ Ψm1-m0 +k m1 -m0 +k,0 m1 -b0 +k p (M ),G ∈ Ψp (M ),C ∈ Ψp (M ), D(p) = B(p) D(p) , где B Ψb1 -m0+k,0 b1 -b0+k ∈ p (M ),D ∈ Ψp (∂M ). (7.4) Покажем, что из условий (2.5) и формулы (4.10) следует, что оператор D(p) имеет непрерывное ядро Шварца и, следовательно, имеет след. В самом деле, порядки псевдодифференциальных операторов A и D удовлетворяют неравенствам (в силу (2.5)) ord A m1 - m0 + k < -dim M, ord D b1 - b0 + k < -dim ∂M. Следовательно, эти операторы имеют непрерывные ядра Шварца и являются ядерными. Аналогично проверяется, что операторы B, C и G в (7.4) также имеют непрерывные ядра Шварца. Для получения асимптотического разложения (2.6) представим оператор D(p) с точностью до сглаживающих операторов в виде (4.10) в локальной карте в окрестности края ∂M. Имеем выражение для следаˆ tr Op(a) = (2π)-n n T ∗R+ aint(x, ξ, p)dxdξ + ˆ ξn g(x ,ξ , ξn, ξn, p)+ dX (x ,ξ , p) dx dξ . (7.5) + (2π)-(n-1) T ∗Rn-1 Π× × × × × × × Символы aint и dX являются классическими и имеют порядки m1 - m0 + k и b1 - b0 + k, соответственно. Поэтому их интегралы имеют асимптотику вида (2.6) с показателями R, равными m1 - m0 + k + dim M и b1 - b0 + k + dim M - 1, соответственно, и при p → ±∞ имеют искомый вид (2.6) (ср. [24], см. также [3]). 616 К. Н. ЖУЙКОВ, А. Ю. САВИН Наконец, поскольку порядок символа g удовлетворяет оценке´ m1 - m0 + k < -1, то в (7.5) ξn мы можем заменить функционал Πˆ× на интегрирование (2π)-1 R · dξn и получить интеграл g(x×, ξ×, ξn, ξn, p)dx×dξ×dξn. (7.6) T ∗Rn-1 ×R Утверждается, что интеграл (7.6) имеет асимптотическое разложение вида (2.6) при p → ∞. В самом деле, так как функция g является классической, то достаточно рассмотреть два случая. 1. Пусть g = χ(ξ×, p)gj (x×, ξ×, ξn, ηn, p), где χ ≡ 0 в окрестности нуля ξ× = 0, p = 0, и χ ≡ 1 в окрестности бесконечности, а функция gj - однородная степени j по переменным (ξ×, ξn, ηn, p). В этом случаˆе при больших p получаем g = gj . Поэтомˆу интеграл в (7.6) равен j+n ( p \ × × × × gj (x×, ξ×, ξn, ξn, p)dx×dξ×dξn = |p| T ∗Rn-1 ×R gj T ∗Rn-1 ×R x ,η , ηn, ηn, |p| dx dη dηn (здесь мы воспользовались однородностью функции gj ) и является однородной функцией степени j + n при больших p, т. е. имеет асимптотику вида (2.6). 2. Пусть функция g(x×, ξ×, ξn, ηn, p) такова, что выполнено условие - g[0] = g(x× , ξ×, •ξ×, p)ξn, •ξ×, p)ηn, p) ∈ Sj T ∗Rn-1 × R, H+ ⊗ H0 , (7.7) 2 где j - достаточное большое по модулю отрицательное число, а •ξ×, p) = /1+ |ξ×| + p2. Из соотношения (7.7) получаем оценку j -1 -1 Это даёт оценку для функции g: |g[0]| C•ξ×, p) •ξn) •ηn) j × . -1 -2 |g(x× , ξ×, ξn, ξn, p)| C•ξ×, p) •ξn•ξ , p) ) . Это поˆзволяет оценить интеграл от этой фуˆнкции: 1 1 j 1 1 1 1 -1 -2 × × × 1 g(x×, ξ×ξn, ξn, p)dx×dξ×dξn1 C •ξ×, p) •ξn•ξ , p) ) dx dξ dξn = 1 1T ∗Rn-1 ×R ˆ ⎛ˆ j Rn-1 ×R ⎞ × -1 -2 × × ˆ × j+1 = C Rn-1 •ξ×, p) ˆ ⎝ •ξn•ξ , p) ) R dξn⎠ dx dξ 2 = C 2 2 Rn-1 × •ξ , p) ×× π j+1+n-1 ×× j+n | C× Rn-1 ξ×| + p dξ = C |p| = C |p| . Из выражения в п. 1 и оценки в п. 2 следует, что интеграл (7.6) имеет искомое асимптотическое разложение (2.6). Наконец, асимптотическое разложение можно дифференцировать по параметру p, поскольку коэффициенты в асимптотическом разложении (2.6) являются суммами интегралов от однородных компонент полного символа. Доказательство теоремы 2.1 завершено. Дадим явную формулу для формального следа (см. теорему 2.2). Теорема 7.1. Для оператора Буте де Монвеля D(p) вида (7.4) имеет место равенство T r D(p) = T r A(p)+ T r G(p)+ T r D(p), где T r A(p) = ˆ - dim M )1 σ(A) (x, ξ, p 1p=1 ˆ 1p=-1 dxdξ, (7.8) T ∗M T r G(p) = T ∗∂M ×R - dim M n n )1 σ(G) (x×, ξ×, ξ , ξ , p 1p=1 1p=-1 dx×dξ×dξn, (7.9) ˆ ЭТА-ИНВАРИАНТ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ 617 T r D(p) = T ∗∂M - dim ∂M )1 σ(D) (x×, ξ×, p 1p=1 1p=-1 dx×dξ×. (7.10) Здесь σ(·)j - однородная компонента степени j полного символа соответствующего оператора. ˆ Доказательство. Равенства (7.8) и (7.10) установлены в [24, Proposition 6]. Докажем равенство (7.9). Для оператора G(p), отвечающего функции g = χgj , где gj - однородная функция степени j (см. п. 1 доказательства теоремы 2.1), имеем T T r G(p) = reglim ˆ T →∞ -T T ˆ TR ∂pG(p)dp = N -1 1 = reglim ∂pg(x×, ξ×, ξn, ξn, p) - '\" ∂f+1g(x×, ξ×, ξn, ξn, 0)pf dx×dξ×dξn = T →∞ -T Rn-1 ×Rn ⎧ ˆ R! f=0 p 1p=1 ωn ⎪⎨ = T ∗Rn-1 ×R g(x×, ξ×, ξn, ξn, p)1 1p=-1 n! при j = n = dimM, (7.11) ⎩⎪ 0 при j /= dimM. Здесь ω - стандартная симплектическая форма на T ∗Rn-1×R. Второе равенство в (7.11) получено прямым вычислением, а третье - следует из [24, Proposition 6].

Об авторах

К. Н. Жуйков

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: zhuykovcon@gmail.com
Москва, Россия

А. Ю. Савин

Российский университет дружбы народов

Email: a.yu.savin@gmail.com
Москва, Россия

Список литературы