Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)3532910.22363/2413-3639-2023-69-2-276-288TXNZZSArticlesСтатьиResearch ArticleNonlinear optics problem with transformation of a spatial variable and an oblique derivativeЗадача нелинейной оптики с преобразованием пространственной переменной и косой производнойKornutaA. A.КорнутаА. А.korn_57@mail.ruLukianenkoV. A.ЛукьяненкоВ. А.art-inf@yandex.ruV. I. Vernadsky Crimean Federal UniversityКрымский федеральный университет имени В. И. Вернадского30062023692Proceedings of the Crimean Autumn Mathematical School-SymposiumТруды Крымской осенней математической школы-симпозиума27628810072023Copyright ©; 2023, Kornuta A.A., Lukianenko V.A.Copyright ©; 2023, Корнута А.А., Лукьяненко В.А.2023Kornuta A.A., Lukianenko V.A.Корнута А.А., Лукьяненко В.А.https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/35329

In this paper, we consider a functional differential equation of parabolic type on a strip with a transformation of a spatial variable and boundary conditions with an oblique derivative. Using the Laplace and Fourier transforms, we obtain a representation of the problem under consideration in the form of a nonlinear integral equation. A special case of this representation is considered. The proved statements make it possible to implement iterative methods for obtaining approximate solutions of nonlinear partial differential equations taking into account the given conditions. The results show that the presented method is promising for solving similar problems.

В данной статье рассматривается функционально-дифференциальное уравнение параболического типа на полосе с преобразованием пространственной переменной и краевыми условиями с косой производной. Используя преобразования Лапласа и Фурье, получено представление рассматриваемой задачи в виде нелинейного интегрального уравнения. Рассмотрен частный случай данного представления. Доказанные утверждения дают возможность реализовать итерационные методы получения приближенных решений нелинейных уравнений в частных производных с учетом заданных условий. Результаты показывают, что представленный метод перспективен для решения аналогичных задач.

functional differential equationsbifurcationboundary conditions with an oblique derivativeFourier transformLaplace transformфункционально-дифференциальные уравнениябифуркациякраевые условия с косой производнойпреобразование Фурьепреобразование ЛапласаАхманов С.А., Воронцов М.А., Иванов В.Ю. Генерация структур в оптических системах с двумерной обратной связью: на пути к созданию нелинейно-оптических аналогов нейронных сетей// В сб.: «Новые принципы оптической обработки информации».- М.: Наука, 1990.-С. 263-325.Белан Е.П. О взаимодействии бегущих волн в параболическом функционально-дифференциальном уравнении// Дифф. уравн.- 2004.- 40, № 5.-С. 645-654.Белан Е.П. О динамике бегущих волн в параболическом уравнении с преобразованием сдвига пространственной переменной// Журн. мат. физ., анал., геом.-2005.- 1, № 1.- C. 3-34.Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. С прил. табл., сост. Р. Гершелем. -М.: Наука, 1971.Корнута А.А., Лукьяненко В.А. Функционально-дифференциальные уравнения параболического типа с оператором инволюции// Динам. сист.- 2019.- 9, № 4. -С. 390-409.Корнута А.А., Лукьяненко В.А. Динамика решений нелинейных функционально-дифференциальных уравнений параболического типа// Изв. вузов. Прикл. нелин. динам. -2022.-30, № 2.- С. 132-151.Крутицкий П.А., Чикилев А.В. Метод углового потенциала в краевых задачах физики замагниченных полупроводников// Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша.-2003.-072.Кубышкин Е.П., Куликов В.А. Бифуркации автоколебательных решений нелинейного параболического уравнения с поворотом пространственного аргумента и запаздыванием// Журн. выч. мат. и мат. физ.- 2021.-61, № 3.- C. 428-449.Муравник А.Б. Функционально-дифференциальные параболические уравнения: интегральные представления и качественные свойства решений задачи Коши// Соврем. мат. Фундам. направл.- 2014.- 52.-С. 3-141.Несененко Г.А. Метод граничных интегральных уравнений в решениях двумерных сингулярно возмущенных задач нестационарной теплопроводности с нелинейными граничными условиями// Дифф. уравн.-2000.- 36, № 9. -C. 1160-1171.Разгулин А.В. Нелинейные модели оптической синергетики. -М.: МАКС Пресс, 2008.Разгулин А.В., Романенко Т.Е. Вращающиеся волны в параболическом функционально-дифференциальном уравнении с поворотом пространственного аргумента и запаздыванием// Журн. выч. мат. и мат. физ.- 2013.- 53, № 11.- С. 1804-1821.Achmanov S.A., Vorontzov M.A., Ivanov V.Yu., Larichev A.V., Zeleznykh N.I. Controlling transversewave interactions in nonlinear optics - generation and interaction of spatiotemporal structures// J. Opt. Soc. Am. B. Opt. Phys.- 1992.- 9, № 1.-С. 78-90.Budzinskiy S.S., Razgulin A.V. Rotating and standing waves in a diffractive nonlinear optical system with delayed feedback under O(2) Hopf bifurcation// Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. - 2017.- 49.- С. 17-29.Budzinskiy S.S., Razgulin A.V. Pulsating and rotating spirals in a delayed feedback diffractive nonlinear optical system// Internat. J. Bifur. Chaos. Appl. Sci. Engrg.-2021.- 31, № 1. -2130002.Grigorieva E.V., Haken H., Kashchenko S.A., Pelster A. Travelling wave dynamics in a nonlinear interferometer with spatial field transformer in feedback// Phys. D. - 1999.- 125.-С. 123-141.Kornuta A.A., Lukianenko V.A. Stable structures of nonlinear parabolic equations with transformation of spatial variables// Lobachevskii J. Math.- 2021.-42, № 5.- С. 911-930.Kornuta A.A., Lukianenko V.A. Stability of structures and asymptotics of nonlinear parabolic type equations solutions with transformation of arguments// Lobachevskii J. Math. -2021.-42, № 14.- С. 3468-3485.Kornuta A.А., Lukianenko V.A. Scenarios of the behavior of solutions of a nonlinear functional-differential equation of parabolic type with transformation of arguments// В сб.: «Int. Sci. Conf. “Modern Methods, Problems and Applications of Operator Theory and Harmonic Analysis”».- Rostov-on-Don, 2021.- С. 29.Krutitskii P.A., Sgibnev A.I. Integral-equation method in the mixed oblique derivative problem for harmonic functions outside cuts on the plane// J. Math. Sci. (N.Y.) - 2008.- 151.- С. 2710-2725.Kubyshkin E.P., Kulikov V.A. Bifurcations of self-oscillatory solutions to a nonlinear parabolic equation with a rotating spatial argument and time delay// Comput. Math. Math. Phys. -2021.- 61, № 3.- C. 403-423.Vorontzov M.A., Razgulin A.V. Properties of global attractor in nonlinear optical system having nonlocal interactions// Photonics and Optoelectronics.- 1993.- 1, No 2.-С. 103-111.