Спектральные свойства операторов в задаче о нормальных колебаниях смеси вязких сжимаемых жидкостей

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Исследуется задача о нормальных колебаниях гомогенной смеси нескольких вязких сжимаемых жидкостей, заполняющих ограниченную область трёхмерного пространства с бесконечно гладкой границей. Рассматриваются два граничных условия: условие прилипания и условие проскальзывания без касательных напряжений. Доказано, что существенный спектр задачи в обоих случаях представляет собой конечный набор отрезков, расположенных на действительной оси. Оставшийся спектр состоит из изолированных собственных значений конечной алгебраической кратности и расположен на действительной оси за исключением, быть может, конечного числа комплексно сопряжённых собственных значений. Спектр задачи содержит подпоследовательность собственных значений с предельной точкой в бесконечности и степенным асимптотическим распределением.

Полный текст

1. Введение 1. Формулировка нелинейной динамической задачи. Пусть ограниченная область Ω ⊂ R3 с бесконечно гладкой границей ∂Ω заполнена гомогенной смесью нескольких вязких сжимаемых жидкостей. Введём систему координат Ox1x2x3 так, что ось Ox3 направлена против действия силы тяжести, а начало координат находится внутри области Ω. Обозначим через n единичный вектор, нормальный к границе ∂Ω и направленный вне Ω. Баротропное движение смеси n ;;: 2 жидкостей описывается следующей системой уравнений1: i ∂t i i i R ∂ui + R (u · ∇)u = div( § PiI3 + n j=1 σij ) (uj + n j=1 aij (uj - ui)+ RiFi, (1.1) ∂Ri + div(R u ) = 0, (t, x) ∈ [0, +∞) × Ω, i = 1,... , n, ∂t i i где ui = ui(t, x) = (ui1(t, x); ui2(t, x); ui3(t, x))τ (x = (x1; x2; x3) ∈ Ω) - поле скоростей i-й компоненты смеси (символом τ обозначена операция транспонирования), Ri = Ri(t, x) - плотность, m m m 1 Пусть A, B - матрицы, действующие в Rm. Положим divA := ' ei ' ∂Aij ∂xj и A : B := tr(Aτ B) = ' Aij Bij . i=1 j=1
×

Об авторах

Д. А. Закора

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского

Автор, ответственный за переписку.
Email: dmitry.zkr@gmail.com
Симферополь, Россия

Список литературы

  1. Азизов Т. Я., Иохвидов И. С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. - М.: Наука, 1986.
  2. Азизов Т. Я., Копачевский Н. Д., Орлова Л. Д. Эволюционная и спектральная задачи, порожденные проблемой малых движений вязкоупругой жидкости// Тр. СПб. Мат. об-ва. - 1988. - 6. - С. 5-33.
  3. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений// Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. - 1977. - 14, № 11. - С. 5-58.
  4. Волевич Л. Р. Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем// Мат. сб. - 1965. - 68, № 3. - С. 373-416.
  5. Доровский В. Н., Перепечко Ю. В. Теория частичного плавления// Геолог. и геофиз. - 1989. - № 9. - С. 56-64.
  6. Имомназаров Х. Х., Имомназаров Ш. Х., Маматкулов М. М., Черных Е. Г. Фундаментальное решение для стационарного уравнения двухскоростной гидродинамики с одним давлением// Сиб. ж. индустр. мат. - 2014. - 17, № 4. - С. 60-66.
  7. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. - М.: Мир, 1972.
  8. Кожевников А. Н. Функциональные методы математической физики. Учебное пособие. - М.: МАИ, 1991.
  9. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1967.
  10. Ланкастер П. Теория матриц. - М.: Наука, 1973.
  11. Мамонтов А. Е., Прокудин Д. А. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнений политропного движения смесей вязких сжимаемых жидкостей// Сиб. электрон. мат. изв. - 2016. - 13. - С. 541- 583.
  12. Мамонтов А. Е., Прокудин Д. А. Разрешимость нестационарных уравнений многокомпонентных вязких сжимаемых жидкостей// Изв. РАН. Сер. мат. - 2018. - 82, № 1. - С. 151-197.
  13. Маркус А. С., Мацаев В. И. Теорема о сравнении спектров и спектральная асимптотика для пучка М. В. Келдыша// Мат. сб. - 1984. - 123, № 3. - С. 391-406.
  14. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. Т. 1. - М.: Наука, 1987.
  15. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. - М.: МГУ, 1990.
  16. Пал П. К., Масленникова В. Н. Спектральные свойства операторов в задаче о колебании сжимаемой жидкости во вращающихся сосудах// Докл. АН СССР. - 1985. - 281, № 3. - С. 529-534.
  17. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. - М.: Мир, 1985.
  18. Солонников В. А. Об общих краевых задачах для систем, эллиптических в смысле А. Даглиса-Л. Ниренберга. II// Тр. МИАН. - 1966. - 92. - С. 233-297.
  19. Atkinson F. V., Langer H., Mennicken R., Shkalikov A. A. The essential spectrum of some matrix operators// Math. Nachr. - 1994. - 167. - С. 5-20.
  20. Faierman M., Fries R. J., Mennicken R., Mo¨ller M. On the essential spectrum of the linearized Navier-Stokes operator// Integr. Equ. Oper. Theory. - 2000. - 38, № 1. - С. 9-27.
  21. Frehse J., Goj S., Ma´lek J. A Stokes-like system for mixtures// В сб.: «Nonlinear Problems in Mathematical Physics and Related Topics. II». - Dordrecht-Norwell-New York-London: Kluwer, 2002. - С. 119-136.
  22. Frehse J., Goj S., Ma´lek J. On power and non-power asymptotic behavior of positive solutions to Emden-Fowler type higher-order equations// SIAM J. Math. Anal. - 2005. - 36, № 4. - С. 1259-1281.
  23. Frehse J., Goj S., Ma´lek J. A uniqueness result for a model for mixtures in the absence of external forces and interaction momentum// Appl. Math. - 2005. - 50. - С. 527-541.
  24. Gohberg I., Goldberg S., Kaashoek M. A. Classes of linear operators. Vol. 1. - Basel-Boston-Berlin: Birkha¨user, 1990.
  25. Grubb G., Geymonat G. The essential spectrum of elliptic systems of mixed order// Math. Ann. - 1977. - 227. - С. 247-276.
  26. Kozhevnikov A., Skubachevskaya T. Some applications of pseudo-differential operators to elasticity// Hokkaido Math. J. - 1997. - 26, № 2. - С. 297-322.
  27. Mamontov A. E., Prokudin D. A. Viscous compressible multi-fluids: modeling and multi-D existence// Methods Appl. Anal. - 2013. - 20, № 2. - С. 179-195.
  28. Mennicken R., Shkalikov A. A. Spectral decomposition of symmetric operator matrices// Math. Nachr. - 1996. - 179. - С. 259-273.
  29. Rajagopal K. L., Tao L. Mechanics of mixtures. - River Edge: World Sci. Publ., 1995.

© Закора Д.А., 2023

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах