Квазилинейные эллиптические и параболические системы с недиагональными главными матрицами и сильными нелинейностями по градиенту. Проблемы разрешимости и регулярности

Аннотация

Изучаются недиагональные эллиптические и параболические системы уравнений с сильно нелинейными членами по градиенту. Мы рассматриваем и комментируем известные результаты о разрешимости и регулярности и описываем последние результаты автора в этой области.

Полный текст

Сильно нелинейные эллиптические системы Пусть Ω - ограниченная область в пространстве Rn, n 2, и u : Ω → RN , N 1 - решение системы -div(A(x, u)∇ u)+ b(x, u, ∇ u) = f (x), x ∈ Ω, (1.1) k lk N ∇ где u = (u1,... , uN ), u = f ∂u ∂ xα . α n f lα,β n Предположим, что недиагональная матрица A(x, u) = kl Aαβ (x, u) k,l N равномерно непрерывна на Ω × RN и удовлетворяет условию равномерной эллиптичности | (A(x, u) ξ · ξ) ν |ξ 2 ∀ξ ∈ RnN , (1.2) с константами 0 <ν μ. |A(x, u)| μ, (x, u) ∈ Ω × RN , (1.3) Мы также предполагаем, что функция b : Ω × RN × RnN → RN определена, удовлетворяет условиям Каратеодори на Ω × RN × RnN , и 2 |b(x, u, p)| b0|p| , b0 = const, (x, u) ∈ Ω × RN , p ∈ RnN ; (1.4) © А. А. Архипова, 2023 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 18 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ И ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 19 следующее одностороннее условие выполнено на Ω × RN × RnN : N 2 b(x, u, p) · u = ' bk(x, u, p)uk γ |p| , γ = const, ν + γ > 0; (1.5) k=1 а также существует константа b1 такая, что |b(x, v, p) - b(x, v, q)| b1(|p| + |q|)|p - q|, (x, v) ∈ Ω × RN , p, q ∈ RnN . (1.6) В уравнении (1.1) мы рассматриваем функции f ∈ Lq (Ω; RN ), q > n/2. (1.7) 2 Условие (1.4) означает, что b(x, u(x), ∇ u(x)) ∈ L1(Ω; RN ) при условии, что u - функция из пространства Соболева W 1(Ω; RN ), и мы имеем, что -div(A(x, u)∇ u) = -b(x, u(x), ∇ u(x)) + f (x) ∈ L1(Ω; RN ). Такие системы (и, в частности, скалярные уравнения при N = 1) известны как сильно нелинейные системы. Для изучения такого класса систем мы вынуждены применять специальные подходы. 2 Например, для исследования задачи Дирихле для такого класса скалярных уравнений (при N = 1) в [8] применялся метод Лере-Шаудера. Доказано, что подходящим классом слабых решений является W 1(Ω) ∩ L∞(Ω). Ограниченность слабых решений предполагалась как необходимое условие для доказательства их дальнейшей гладкости (см. контрпримеры регулярности в [8, гл. 1, § 2]). 2 Поскольку класс W 1(Ω) ∩ L∞(Ω) является естественным при изучении задачи Дирихле для уравнения (1.1), N = 1, где b(x, u, p) имеет квадратичный рост по |p| при |p| → ∞, нам потребуются дополнительные предположения для оценки ⊕u⊕L∞ (Ω). Одним из таких предположений является одностороннее условие (1.5). Следует отметить, что можно допустить более общие условия, чем (1.4) и (1.5) для функции b, но мы выбрали простейший вариант ограничений, чтобы объяснить основную идею нашего подхода. В качестве контрпримера регулярности в скалярных задачах Дж. Фрезе [31] рассматривал вариационную задачу r Φ[u] = | [1 + (1 + eu (ln |x|)-12)-1] |∇ u 2 dx =⇒ min , 2 u∈W˚ 1(Ω) BR(0) где u : BR(0) → R1, R = e-1, n = 2, N = 1. Здесь a(x, u) = 1 + (1 + eu (ln |x|)-12)-1, минимизирующей функцией здесь является u ≡ 0, и существует неограниченная экстремаль 2 u(x) = 12 ln(ln |x|-1) ∈ W˚ 1(BR(0)), u 1 a(x, u(x)) 2, |at (x, u(x))| 1. Эта функция удовлетворяет уравнению Эйлера-Лагранжа 1 2 в смысле распределений. u -div(a(x, u)∇ u)+ 2 at (x, u)|∇ u| = 0 В этом примере выполняются предположения (1.1)-(1.4), но нет дополнительного условия, обеспечивающего L∞-оценку на u. Теперь рассмотрим так называемые диагональные сильно нелинейные системы. В этом случае u : Ω → RN , N > 1, является решением системы xβ -(aαβ (x, u)uk )xα + bk (x, u, ∇ u) = fk(x), k N, x ∈ Ω, (1.8) где главная [n × n]-матрица a(x, u) одинакова для всех уравнений, а функция b имеет квадратичный рост по градиенту. Качественные свойства решений систем такого типа (в частности, систем, связанных с гармоническими отображениями) хорошо изучены. Априорная оценка L∞нормы решений (1.8) была получена в [8, гл. 8, § 5] при некотором одностороннем условии для функции b, но дальнейшая регулярность доказана только при предположении меньшей скорости 2-ε роста b(x, u, p) ∼ |p| , ε > 0, |p|→ ∞. 20 А. А. АРХИПОВА Результаты о гладкости при размерностях n = 2 и n 3 для таких систем различны. Гладкая разрешимость задачи Дирихле для класса сильно нелинейных эллиптических систем в Ω ⊂ R2 была доказана Дж. Фрезе [32] при некотором одностороннем условии для b. 2 С. Хильдебрандтом и К.-О. Видманом [34] было показано, что необходимым условием для доказательства непрерывности по Гельдеру и дальнейшей регулярности слабых решений уравнения (1.8) в W 1(Ω; RN ) ∩ L∞(Ω; RN ), n 3, при условиях (1.2)-(1.4) является следующее условие: b0 ⊕u⊕L∞ (Ω;RN ) < ν. (1.9) В то же время, контрпримеры П.-А. Айверта [35] и М. Струве [48] подтверждают, что одностороннего условия (1.5) недостаточно для доказательства непрерывности ограниченного слабого решения диагональной системы при n 3. Существует важное различие в поведении слабых решений эллиптических систем с недиа- 2 гональными главными матрицами и скалярных уравнений. Напомним, что слабые решения u ∈ W 1(Ω) уравнения (1.1) с b = 0, N = 1 и ограниченными эллиптическими матрицами a(x) = A(x, u(x)) - это функции, непрерывные по Гельдеру в Ω, согласно хорошо известным классическим результатам Де Джорджи и Нэша (см. [18, 40] и [8, гл. 4, § 1]). В 1968 г. в работе [19] Э. Де Джорджи была построена линейная эллиптическая система div(A(x) ∇ u) = 0, x ∈ B1(0) ⊂ Rn, n = N, n 3, (1.10) с ограниченными, но не гладкими элементами эллиптической матрицы A. Система имеет слабое решение u ∈ W˚ 1(B1(0); Rn), lim |u(x)| = ∞. Матрица A(x) является симметричной, и мы можем 2 x→0 рассматривать u(x) как экстремаль соответствующего квадратичного функционала. Очевидно, результат противоречит скалярной ситуации [18, 40]. Позднее разными авторами было построено много различных контрпримеров регулярности для эллиптических и параболических систем с недиагональными главными частями (см. работы [24, 38, 44-46, 49] и ссылки в них). Из сказанного следует, что можно ожидать лишь частичную регулярность слабых решений различных классов эллиптических и параболических систем. Возникает проблема описания и оценки допустимых сингулярных множеств слабых решений. Как правило, мы можем оценить хаусдорфову размерность сингулярного множества. В настоящее время существует три основных подхода к изучению частичной регулярности слабых решений. Исторически первый метод использовал идею доказательства от противного. Он известен как «метод от противного». Идея состоит в том, чтобы доказать монотонность масштабированного эксцесса слабого решения от противного (см., например, [24, гл. 4, § 1]). Позднее появился так называемый «прямой» метод. Он сочетает в себе идею замораживания коэффициентов и более высокую интегрируемость градиента слабого решения u. Более высокая интегрируемость |∇ u| является следствием применения локального варианта леммы Геринга [23]. Локальные варианты леммы [27, 47] позволяют доказать более высокую интегрируемость |∇ u| при условии, что определенная степень |∇ u| удовлетворяет обратным неравенствам Гельдера (ОНГ) с различными носителями (см. [24, гл. 5, § 1] и [26, § 7.1]). ОНГ применялись для уточнения данных о слабых решениях как эллиптических, так и параболических задач. Возникли различные модификации леммы Геринга, в частности, появились ОНГ в параболической метрике. Предложенная автором концепция квазиобратных неравенств Гельдера применялась для изучения решений сильно нелинейных эллиптических и параболических систем уравнений (см. [9, 10]). Наконец, третий подход (метод A-гармонической аппроксимации) был успешно применен Ф. Дюзаром и Дж. Ф. Гротовски для исследования частичной регулярности нелинейных эллиптических систем [20] (см. также [22]). Метод является развитием идеи Э. Де Джорджи, заключающейся в оценке отличия интегрального тождества для слабого решения нелинейной задачи от простейшего тождества для модельной системы с подходящим классом пробных функций (см. [41]). Метод вводит элементарный способ доказательства частичной регулярности решений при более естественных или даже оптимальных предположениях о данных. Эта идея была обобщена Ф. Дюзаром и Г. Минджионе в [21] для изучения частичной регулярности слабых решений для широкого класса параболических систем (метод A-калорической аппроксимации). Позже появилась новая версия метода. Он получил название «метод A(t)-калорической аппроксимации» [17]. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ И ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 21 Метод ослабил предположения о гладкости главной матрицы различных классов параболических систем (см. [14-17]). Теперь обсудим некоторые известные результаты о частичной регулярности. 2 Если мы рассмотрим простейшую эллиптическую систему (1.10) в Ω ⊂ Rn, n 3, с эллиптической равномерно непрерывной на Ω × RN матрицей A(x, u), то любое слабое решение системы из W 1(Ω; RN ) является функцией, непрерывной по Гельдеру на открытом множестве Ω0, а замкнутое сингулярное множество Σ = Ω \ Ω0 допускает оценку Hn-2-ε(Σ) = 0 для некоторого (достаточно малого) ε > 0. Результат был доказан Э. Джусти, М. Миранда [30] и Ч. Морри [39]. Следует отметить, что в двумерном случае (n = 2, N 1) особые множества слабых решений (1.10) отсутствуют. Непрерывность слабых решений в этом случае следует из того, что любое слабое решение (1.10) из W 1(Ω; RN ) принадлежит некоторому пространству W 1 (Ω; RN ), ε > 0. 2 2+ε Это доказывается с помощью техники ОНГ. Непрерывность следует из теоремы вложения при dim Ω = 2. Первый результат об интегрируемости более высокого порядка |∇ u| для систем (1.10) и более общих систем был доказан М. Джаквинта и Э. Джусти [25]. Авторы применяли прямой метод для доказательства частичной регулярности слабых решений. 2 Такую же оценку сингулярного множества можно получить для систем (1.1), если функция b имеет квадратичный рост по градиенту, и мы рассматриваем слабые ограниченные решения u ∈ W 1(Ω; RN ) ∩ L∞(Ω; RN ) в предположении, что 2 b0 ⊕u⊕L∞ (Ω;RN ) < ν, (1.11) где ν и b0 фиксированы в (1.2) и (1.4), соответственно. Это ограничение на L∞-норму позволяет получить локальные энергетические оценки решения. Окончание доказательства частичной регулярности такое же, как и в случае b = 0 либо в случае не критически растущего b при |p|→ ∞. Следует отметить, что условие (1.11) всегда допускается авторами, если рассматриваются системы с квадратичной нелинейностью по градиенту. 2 По мнению автора, класс V = W 1(Ω; RN ) ∩ L∞(Ω; RN ) является естественным для изучения сильно нелинейных скалярных уравнений (N = 1) и доказательства непрерывности слабых решений во всех точках области. В этой ситуации принцип максимума помогает оценить ⊕u⊕L∞ (Ω;RN ) по данным. Для эллиптических и параболических систем с недиагональными главными матрицами принцип максимума не выполняется, и у нас нет инструментов для оценки L∞-нормы решения. Это означает, что невозможно проверить условие (1.11). 2 Именно по этой причине автор решил рассматривать слабые решения задачи (1.1)-(1.4) в более общем смысле. Предположим, что u ∈ W 1(Ω; RN ) может быть неограниченным. 2 Определение 1.1. Функция u ∈ W 1(Ω; RN ) является слабым решением системы (1.1), если она удовлетворяет тождеству r r [A(x, u) ∇ u ·∇ η + b(x, u, ∇ u) · η] dx = Ω Ω 0 f (x) · η dx ∀η ∈ C∞(Ω). (1.12) 2 Это означает, что мы понимаем u как решение в смысле распределений. Конечно, мы можем рассмотреть в (1.12) пробные функции из W˚ 1(Ω; RN ) ∩ L∞(Ω; RN ). Чтобы доказать локальную регулярность потенциально неограниченных слабых решений, мы дополнительно предположим, что выполняется одностороннее условие (1.5). Сформулируем предположения о поведении u в фиксированной точке x0 ∈ Ω, гарантирующие непрерывность u(x) в некоторой окрестности этой точки. Сначала определим эксцесс E(r, x0) следующим образом: Напомним, что условие E(r, x0) = 1 rn-2 r Br (x0 ) | |∇ u 2 dx. lim inf E(r, x0) = 0 (1.13) r→0 22 А. А. АРХИПОВА является основным предположением для описания регулярных точек решений даже для простейших систем (1.10). В этом случае предположение (1.13) позволяет доказать монотонность по r эксцесса E(r, x0). Как следствие, можно доказать непрерывность по Гельдеру u в окрестности x0. Предположения (1.13) и (1.11) обычно используются для доказательства частичной регулярности ограниченных слабых решений системы (1.1) при условиях (1.2)-(1.4). Теперь исследуем среднее значение u. Положим ur,x0 = 1 |Br | r Br (x0 ) u(y) dy и сформулируем следующий результат, принадлежащий автору. 2 Теорема 1.1 (см. [4, Theorem 2.1]). Пусть выполнены предположения (1.2)-(1.7), а u - слабое решение уравнения (1.1) из W 1(Ω; RN ). Если при n> 2 имеет место предел lim |uρ,x0 | = m, m < ρ→0 ν + γ b0 , (1.14) Bρ 0 β N в некоторой точке x0 ∈ Ω, и если предположение (1.13) выполнено в x0, то существует 0 (x ) ⊂ Ω такое, что u ∈ C (Bρ0 (x0); R ) для любого β ∈ (0, min{1, 2 - n/q}). Если n = 2, то утверждение теоремы следует при выполнении условия (1.14). 0 Замечание 1.1. Если доказана непрерывность u по Гельдеру в некотором шаре Bρ0 (x ) и 1 данные задачи достаточно гладкие, то можно доказать непрерывность ∇ u(x) в некотором шаре Bρ (x0), ρ1 < ρ0 (см., например, [26, теорема 9.7]), и дальнейшая регулярность следует из линейной теории регулярности. Замечание 1.2. Как уже упоминалось, условие (1.13) предполагается даже тогда, когда b = 0 и требуется описать регулярные точки решений. Мы заменили в этой теореме ограничение (1.11) предположением (1.14). Замечание 1.3. В [5] мы описали регулярные точки неограниченных слабых решений нелинейных эллиптических систем с квадратичной нелинейностью по градиенту -div a(x, u, ∇ u)+ b(x, u, ∇ u) = f (x), x ∈ Ω. Предполагалось одностороннее условие для функции b. Замечание 1.4. В [4, 5] результаты были доказаны методом от противного. Метод был ранее применен Ч. Гамбургером в [33] для изучения частичной регулярности ограниченных слабых решений нелинейных эллиптических систем с естественными q-нелинейностями по градиенту, q 2. 2. Параболические системы с квадратичной нелинейностью по градиенту Глобальная разрешимость задачи Коши-Дирихле для скалярных параболических уравнений (N = 1) с квадратичной нелинейностью по градиенту может быть доказана методом Лере- Шаудера при условии, что данные достаточно гладкие в QT = Ω × [0,T ] ∀T > 0 (см., например, [7, гл. 5, § 6]). В качестве первого шага для применения метода нам потребуется априорная оценка ⊕u(x, t)⊕L∞ (QT ) по данным, где u - решение задачи. Напомним, что получить такую оценку помогает одностороннее условие на нелинейный член. Далее рассмотрим случай N > 1. Прежде всего рассмотрим параболические системы вариационной структуры. Более точно, пусть Ω - ограниченная область в R2, QT = Ω × (0,T ) и u : QT → RN , N > 1, - решение следующей задачи Коши-Дирихле: × ut + Lu = 0, u = u(z), z = (x, t) ∈ QT ; u|∂ Ω (0,T ) = 0, u|t=0 = φ0(x). (2.1) Здесь L - оператор Эйлера-Лагранжа для некоторого класса квадратичных функционалов. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ И ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 23 Первый результат [1] автора был посвящен системам, порожденным простейшими функционалами Φ0[v] = 1 r (A(x, v) v v) dx, Ω R2, 2 ∇ ·∇ ⊂ Ω с эллиптическими недиагональными достаточно гладкими матрицами A (см. также [2, 11, 12]). В [1] было доказано, что глобальное решение задачи существует и имеет не более чем конечное число особых (сингулярных) точек (xj, tj ) ∈ Ω × (0, ∞). Точка (xj, tj ) является особой, если lim sup E(u(t), Br (xj ) ∩ Ω) ε0 ∀r > 0 (2.2) t±tj при некотором ε0 > 0, где E(u(t), Br (xj ) ∩ Ω) = 1 r 2 Ω∩Br (xj ) (A(x, u(x, t))∇ u(x, t) ·∇ u(x, t)) dx. Условие (2.2) означает, что концентрация энергии сохраняется в особых точках. Позднее в работах М. Спековиус-Нейгебауэр и Дж. Фрезе [42, 43] было доказано, что если дополнительно предположить, что для сильно нелинейных членов b(x, u, ∇ u) класса параболических систем с вариационной структурой (n = 2) выполняется одностороннее условие, то не существует точек (xj, tj ), в которых локальная энергия E(u(t), Br (xj ) ∩ Ω) концентрируется, и глобальное решение задачи является гладким для всех t ∈ [0, ∞). В [3] нами были рассмотрены более общие квадратичные функционалы r Φt[v] = Ω [f (x, t, v, ∇ v)+ g(x, t, v)] dx, x ∈ Ω ⊂ R2, t ∈ [0,T ]. } Тогда L = {Lk k N имеет следующую структуру: где - Lk[v] = d d xα v ∇ ∇ f k (x, t, v, v)+ bk (x, v, v), xα bk (x, t, v, p) = fvk (x, t, v, p)+ gvk (x, t, v). Среди предположений в [3] для f, g и их производных имеем, в частности, что 2 2 m f (z, v, p) ≈ |p| , |p|→ ∞, |b(z, v, p)| b0|p| + b1|v| + ψ(z), m 0. (Отметим, что ниже мы пишем B(QT ) вместо B(QT ; RN ) для упрощения записи.) При некоторых предположениях о гладкости данных и при некотором условии малости произведения b0 ⊕∇ φ0⊕L2 (Ω) нами доказана в [3] глобальная по времени разрешимость задачи (2.1) в классе W 2,1(QT ) ∩ Cβ (QT ; δ), ⊕u(·, t) - φ0(·)⊕ ˚ → 0, t → 0. 2 2 W 1 (Ω) Напомним, что параболическая метрика определяется следующим образом: | δ(z1, z2) = max{|x1 - x2|, |t1 - t2 1/2 } ∀z1 , z2 R , n+1 ∈ а утверждение u ∈ Cβ (QT ; δ) означает, что функция u является непрерывной по Гельдеру с показателем β по xi, i n, и показателем β/2 по переменной t. Теперь рассмотрим квазилинейные параболические системы ut + Lu = f (z), z ∈ QT , (2.3) где оператор | Lu = -div(A(z, u)∇ u)+ b(z, u, ∇ u), b(z, u, p) ∼ |p 2, |p|→ ∞, (2.4) не имеет вариационной структуры и эллиптическая матрица A(z, u) не является диагональной. Насколько известно автору, для классических краевых задач с системами такого типа нет результатов о разрешимости даже в двумерной области Ω. 24 А. А. АРХИПОВА В то же время имеются результаты частичной регулярности для сильно нелинейных параболических систем с недиагональными главными матрицами. При условии (параметры ν и b0 определены в (2.7) и (2.9)) 2 b0 ⊕u⊕L∞ (QT ) <ν (2.5) 2 Q0 T было доказано М. Джаквинта и М. Струве [28], что слабое решение задачи (2.3), (2.4) из L2((0,T ); W 1(Ω)) ∩ L∞(QT ) является непрерывной гельдеровской функцией на открытом множестве ⊂ Q , а n-мерная мера Хаусдорфа в параболической метрике замкнутого сингулярного множества Σ = QT \ Q0 равна нулю, т. е. Hn(Σ; δ) = 0. Качественные свойства слабых ограниченных решений сильно нелинейных систем изучались в предположении (2.5) в [36, 37] и других работах, посвященных этому классу параболических систем. Возникает та же проблема, что и в эллиптическом случае. Принцип максимума не выполняется для недиагональных параболических систем, мы не можем оценить ⊕u⊕L∞ (QT ) и проверить соотношение (2.5). В недавних работах [6, 13] автором были рассмотрены слабые, возможно, неограниченные решения сильно нелинейных систем из пространства V (QT ) := W 1,0(QT ) = L2((0,T ); W 1(Ω)). 2 2 Определение 2.1. Функция u ∈ V (QT ) называется слабым решением системы (2.3), (2.4), если она удовлетворяет тождеству r r [-u · ηt + (A(z, u)∇ u ·∇ η)+ b(z, u, ∇ u) · η)] dz = QT QT 0 f · η dz ∀η ∈ C∞(QT ). (2.6) Легко видеть, что мы можем зафиксировать пробные функции η в (2.6) из пространства W˚ 1 T ∞ T 1 T I ∞ 2 (Q ) ∩ L W 1 (Q ), где W˚2 (Q ) = C0 (QT ) . 2 (QT ) В [6, 13] мы предполагали, что матрица A определена на множестве QT × RN и удовлетворяет сильному условию эллиптичности в виде: (H1) | (A(z, u)ξ · ξ) ν|ξ 2 ∀ξ ∈ RnN , |A(z, u)| μ, (2.7) для почти всех z ∈ QT , u ∈ RN ; ν μ - положительные константы. Мы также предполагали в [13], что матрица A(z, u) равномерно непрерывна на QT × RN . Мы смягчили это предположение в [6] до следующих условий: (H2) матрица A(z, u) равномерно непрерывна по u ∈ RN при п. в. z ∈ QT ; kl Aαβ (H3) элементы Aαβ (x, t, u) матрицы A непрерывны по x ∈ Ω в интегральном смысле, т. е. kl (x, t, u) ∈ V MO(Ω) для п. в. t ∈ (0,T ) и для всех u ∈ RN , и, кроме того, sup r r r sup - - \ 2 |A(y, t, η) - Aρ,x0 (t, η)| dy dt =: q2(r) → 0, r → 0; (2.8) z0∈QT , η∈RN ρ r Λρ(t0 ) Bρ(x0 ) здесь и ниже Qρ(z0) = Bρ(x0) × Λρ(t0), где Bρ(x0) = {x ∈ Rn : |x - x0| < ρ}, Λρ(t0) = (t0 - ρ2, t0 + ρ2), |Qρ|n+1 = 2ωnρn+2, ωn = |B1|n, перечеркиванием обозначается среднее значение интеграла; (H4) функция b(z, u, p) удовлетворяет условиям Каратеодори на QT × RN × RnN и имеет квадратичный рост при |p|→ ∞: 2 |b(z, u, p)| b0 |p| , b0 = const; (2.9) (H5) функция b удовлетворяет односторонней оценке | (b(z, u, p) · u) γ|p 2 с ν + γ > 0, п. в. z ∈ QT , u ∈ RN , p ∈ RnN ; (2.10) (H6) существует константа b1 такая, что ess sup |b(z, u, p) - b(z, u, q)| b1(|p| + |q|)|p - q|, u ∈ RN , p, q ∈ RnN ; (2.11) z∈QT (H7) f ∈ Lq (QT ), q > n +2 2, ⊕f ⊕ =: c . 2 , n Lq (QT ) f КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ И ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 25 В [6] был доказан следующий результат. Теорема 2.1 (см. [6, теорема 2.1]). Пусть выполняются условия (H1)-(H7) и u ∈ V (QT ) является слабым решением системы (2.3), (2.4). Предположим, что sup |uρ,z0 | < ρ>0 ν + γ b0 r , uρ,z0 = - Qρ(z0 ) u(z) dz, (2.12) lim inf r→0 1 r rn Qr (z0) 2 |∇ u| dz = 0, (2.13) 0 в некоторой точке z0 ∈ QT . Тогда существует окрестность Qr (z0) ⊂ QT такая, что u ∈ n +2 l\ Cβ (Qr (z0); δ) для любых β ∈ r , min f - , 1 . 0 0 2 q Следующая лемма содержит основной аналитический результат для доказательства теоремы 2.1. Лемма 2.1 (см. [6, Lemma 3.1]). Пусть u ∈ V (QT ) - слабое решение системы (2.3), (2.4). За- ν + γ фиксируем множество Q0 ⊂⊂ QT и числа τ ∈ (0, 1), M < b . Существуют числа θ, C1, C2 0 такие, что если для некоторых z0 ∈ Q0 и R < δ(Q0; ∂QT ) =: δ0 |uR,z0 | M, (2.14) E(R, z0) := R2α + 1 Rn то r r QR(z0 ) | |∇ u 2 dz < θ2, (2.15) 2 0 Φ(R, z0) := - QR(z0) |u(z) - uR,z0 | dz C1E(R, z ) (2.16) E(τ R, z0) C2 τ 2αE(R, z0), (2.17) где α = min f n +2 - 1 , C = C (μ, b , n,c ), C = C (ν, μ, α, n, q, c ). 2 , l 1 q 1 0 f 2 2 f Заметим, что если зафиксировать любое β < α и выбрать такое τ, что выполняется неравенство C2τ 2α τ 2β, то из (2.17) следует, что E(τ R, z0) τ 2β E(R, z0). Это обеспечивает монотонность E(r, z0 ) в точке z0. Эта лемма была доказана в [6, 13] методом от противного. Отметим, что подход того же типа мы применяли в эллиптическом случае, но в параболическом случае доказательство имеет дополнительные шаги, поскольку функция u(x, t) не является гладкой по переменной t. С помощью леммы 2.1 доказывается следующая оценка: r r \2β Φ(r, ξ0) c R 0 для всех ξ0 в цилиндре Qρ (z0). E(R, z0) ∀r R (2.18) Как следствие оценки (2.18), мы получаем оценку sup sup 1 r n+2+2β 2 |u(z) - ur,ξ0 | dz c∗, (2.19) ξ0∈Qρ0 (z0) r R r R где константа c∗ зависит от R-1, ⊕∇ u⊕2,Q Qr (ξ0 ) (z0 ) и других данных задачи. Это означает, что мы оце- 0 0 β нили полунорму в пространстве Кампанато L2,n+2+2β (Qρ (z0); δ) и, как следствие, также оценили норму в этом пространстве. Используя изоморфизм между L 0 можно утверждать, что u ∈ Cβ (Qρ (z0)); δ). 2,n+2+2β Qρ0 (z ); δ) и C (Qρ0 (z0)); δ), 26 А. А. АРХИПОВА 3. Оценки сингулярных множеств Здесь мы обсуждаем сведения о сингулярных множествах слабых решений эллиптических и параболических систем с квадратичной нелинейностью по градиенту. Как следствие теоремы 1.1, мы имеем описание сингулярного множества Σ в системе (1.1): Σ = Σ0 ∪ Σ , где и Σ = Σ 1 ∪ Σ 2, Σ0 = {x0 ∈ Ω : lim inf ρ→0 1 ρn-2 r Bρ(x0 ) 2 |∇ u| dx > 0}, (3.1) Σ 1 = {x0 ∈ Ω \ Σ0 : ν + γ b0 lim |ur,x0 | < ∞}, (3.2) r→0 Σ 2 = {x0 ∈ Ω \ Σ0 : lim |ur,x0 | = ∞ и / ∃ lim |ur,x0 |}. (3.3) r→0 r→0 Множество Σ0 можно оценить по соответствующему результату Э. Джусти [29] (см. также доказательство в [24, гл. 4, теорема 2.2]). Поскольку этот результат применяется для оценки сингулярных множеств различных типов систем, сформулируем его. loc Теорема 3.1 (см. [29]). Пусть Ω - открытое множество в Rn, v ∈ L1 (Ω) и 0 α < n. Положим, что Тогда имеем Hα(Σα) = 0. Σα = {x ∈ Ω : lim sup ρ→0 1 r ρα Bρ(x) |v(y)| dy > 0}. Следуя этому результату, мы имеем в нашем случае, что Hn-2(Σ0) = 0. (3.4) Отметим, что множество Σ0 может появиться даже в случае простейших квазилинейных эллиптических систем с b = 0. Известно, как оценить множество Σ 2 (см., например, [24, теорема 2.1, гл. 4]). В этом случае мы доказываем, что Σ 2 ⊂ Iε = {x0 ∈ Ω \ Σ0 : lim inf r→0 1 rn-2+ε r Br (x0) 2 |∇ u| dx > 0} ∀ε> 0. (3.5) - - Если (3.5) верно, то Hn 2+ε(Σ2) Hn 2+ε(Iε) = T h.3.1 0. По определению размерности меры Хаусдорфа Таким образом, мы оценили множество dimH Σ 2 n - 2. (3.6) Σ∗ = Σ0 ∪ Σ 2 : dimH Σ∗ n - 2. Открытым вопросом для автора является то, как оценить множество Σ 1. В нашей статье [6] мы обсуждали сингулярное множество слабых решений u ∈ V (QT ) параболических систем (2.1) в условиях теоремы 2.1. В этом случае замкнутое сингулярное множество Σ = Σ0 ∪ Σ , где Σ0 = {z0 ∈ QT : lim inf r→0 1 r rn Qr (z0) 2 |∇ u| dz > 0} Σ = Σ 1 ∪ Σ 2. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ И ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 27 Здесь Σ 1 = {z0 ∈ QT \ Σ0 : ν + γ b0 lim |ur,z0 | < ∞}, (3.7) r→0 Σ 2 = {z0 ∈ QT \ Σ0 : lim |ur,z0 | = ∞ и / ∃ lim |ur,z0 |}. (3.8) r→0 r→0 Используя параболическую версию теоремы 3.1, мы можем утверждать, что n-мерная мера Хаусдорфа множества Σ0 в параболической метрике δ обращается в нуль, т. е. Hn(Σ0; δ) = 0. (3.9) Нами доказано в [6, раздел 4], что Σ 2 ⊂ Iε = {z0 ∈ QT \ Σ0 : lim sup r→0 1 rn+ε r Qr (z0 ) 2 |∇ u| dz > 0} ∀ε> 0. (3.10) В силу параболического варианта теоремы 3.1 Hn+ε(Iε; δ) = 0. Из соотношения (3.10) следует, что Hn+ε(Σ 2; δ) = 0 ∀ε> 0. Таким образом, dimH(Σ 2) n. (3.11) Из (3.9), (3.11) вытекает dimH(Σ0 ∪ Σ 2) n. Открытый вопрос здесь тот же, что и в эллиптической ситуации: как оценить множество Σ 1.