On Behavior of Solutions of Parabolic Nondivergent Equations with Increasing Higher-Order Coe cients at Large Values of Time

Abstract

We investigate su cient conditions of stabilization to zero for solutions of the Cauchy problem for linear parabolic second-order equation with increasing higher-order coe cients and initial-value functions of power growth rate at in nity.

Full Text

ВВЕДЕНИЕ В полупространстве D = RN × [0, ∞) при N 3 рассмотрим задачу Коши L1u ≡ Lu + c(x, t)u - ut = 0, (x, t) ∈ D, (1.1) u(x, 0) = u0(x), x ∈ RN , (1.2) где Lu = N i k '\\" aik (x, t)ux x . (1.3) Предполагается, что: i,k=1 92. Коэффициенты уравнения (1.1) действительны, aik = aki (i, k = 1,...,N ) и существуют положительные постоянные λ0, λ1 такие, что N λ2 0b(|x|)|ξ|2 для всех (x, t) ∈ D, где '\\" i,k=1 1 aik (x, t)ξiξk λ2b(|x|)|ξ|2 (1.4) b(|x|) = max(1, |x|α), (1.5) 0 α < 2. (1.6) Из условий (1.4)-(1.6) следует, что старшие коэффициенты уравнения (1.1) растут на бесконечности как |x|α, 0 α < 2. 93. Коэффициенты уравнения (1.1) непрерывны в D и удовлетворяют условию Гельдера в каждой ограниченной подобласти D1 области D. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 15-01-00471). Qc 2016 РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ 72 О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ НЕДИВЕРГЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 73 94. Коэффициент c(x, t) неположителен в D и удовлетворяет следующему условию: найдутся постоянные α из неравенства (1.6), β > 0, такие, что c(x, t) -β2 min(1, |x|-2+α) ∀(x, t) в D. (1.7) 95. Начальная функция u0(x) непрерывна в RN и удовлетворяет условию роста |u0(x)| M (1 + |x|m), m > 0, M > 0. (1.8) Разрешимость классической задачи Коши (1.1), (1.2) хорошо изучена (см., например [7, 9, 11]). Будем говорить, что решение задачи Коши (1.1), (1.2) стабилизируется к нулю в точке x ∈ RN (равномерно относительно x на каждом компакте K в RN ), если существует предел lim u(x, t)=0 (1.9) t→∞ в точке x ∈ RN (равномерно по x на каждом компакте K в RN ). Стабилизация решения задачи Коши с ограниченными старшими коэффициентами и растущими на бесконечности младшими коэффициентами была изучена в работах [3-6]. Обзор работ по стабилизации решений параболических уравнений см. в работе [2]. В настоящей работе мы изучим точные достаточные условия на коэффициенты уравнения (1.1), которые гарантируют стабилизацию к нулю решения задачи Коши (1.1), (1.2) с начальной функцией u0(x), удовлетворяющей условию степенного роста (1.8) и при условии, что старшие коэффициенты уравнения (1.1) удовлетворяют условию роста (1.4)-(1.6). Мы покажем на примерах неулучшаемость условий стабилизации. 1. ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ Теорема 2.1. Если начальная функция u0(x) (1.2) удовлетворяет условию степенного роста (1.8), старшие коэффициенты уравнения (1.1) удовлетворяют условиям (1.4)-(1.6), младший коэффициент c(x, t) уравнения удовлетворяет условию (1.7) при β2 > λ2m(m + s - 2) = β2, (2.1) где 1 0 λ2 2 λ 2 s = 1(N - 1) + λ0 , (2.2) 0 то решение задачи Коши (1.1), (1.2) стабилизируется к нулю, т. е. существует предел (1.9) равномерно относительно x на каждом компакте K в RN . Замечание 2.1. Теорема 2.1 является точной в том смысле, что нельзя в ее утверждении заменить компакт K на все RN . Замечание 2.2. В теореме 2.1 неравенство (2.1) является близким к окончательному в том смысле, что выполнение противоположного относительно (2.1) неравенства не влечет за собой стабилизацию к нулю некоторого решения задачи Коши. 2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СУПЕРРЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В RN В области D = RN × (0, ∞) рассмотрим стационарное решение Γ = Γβ (r) параболического неравенства L2Γα ≡ L(x, t)Γβ (r)+ aβ (r)Γβ (r) 0, (3.1) где L(x, t) - оператор (1.3) из введения, коэффициент aβ (r) в неравенстве (3.1) определен по формуле ⎧ aβ (r)= ⎨ -β2 при r 1, β2 (3.2) где 0 α < 2, r = |x| = / x2 + ... + x2 . ⎩ - r2-α при r 1, 1 N Будем искать решения неравенства (3.1) такие, что β Γβ (r) > 0, Γ1 (r) 0, (3.3) 74 В. Н. ДЕНИСОВ и для которых на бесконечности справедлива асимптотика Γβ (r) ∼ C1rδ1 при r → ∞, (3.4) где C1 > 0, δ1 является большим корнем уравнения λ δ2 + (s - 2)δ - β2 = 0, β = β , (3.5) 1 δ1 = - (s - 2) + √D 2 , D = (s - 2)2 + 4β2. Применяя к Γ(r) формулы дифференцирования: xi 2. · xk r Γ1 r - Γ1 1 11 11 xi = Γ , Γxixk = Γx x i x2 r r2 Γ r , Γ1 Γ1 будем иметь i i = r2 Γ11 - r N + , (3.6) r Γ1 Γ1 ), aii aβ (r)Γβ l L2Γβ = QJrΓ11 - β + β i=1 + , (3.7) β r r Q Q N xixk где Q = Q(x, t)= ), i,k=1 aik (x, t) r2 . Из неравенств (1.4)-(1.6) следует, что N ), aii 2 2 λ2 2 i=1 (N - 1)λ1 + λ0 0b(r) Q(x, t) λ1b(r), Q λ 2 . (3.8) 0 При r 1 справедливо равенство aβ (r) = -β2, поэтому, учитывая в правой части (3.7) неравенства (3.8), будем иметь: (N - 1)λ2 + λ2 Γ1 β2 β Γ11 2 L2Γβ (r) Qr + ( λ . 1 0 - 1 0 λ r 2 β - Γβ 1 (3.9) Полагая для краткости β = β λ1 и используя обозначение (2.2) и (3.5), рассмотрим для функции Zβ (r) задачу 11 Zβ (r)+ β - (s - 1) Z1 (r) β r 2 Zβ (r)= 0, (3.10) β Zβ (0) = 1, Z1 (0) = 0. (3.11) Положив в правой части (3.9) Γβ (r)= Zβ (r), где Zβ (r) - решение задачи (3.10), (3.11), получим неравенство L2Γβ (r) 0, r 1, t > 0. (3.12) Из теории функций Бесселя (см. [1]) следует, что решение задачи (3.10), (3.11) существует, единственно и представимо в виде Is-2 (rβ) s-2 s Zβ (r)= q1(s) · 2 s-2 , q1(s)=2 2 Γ( ), (3.13) (rβ) 2 2 где Γ( n - функция Эйлера (см. [8, т. 2, с. 272]), I 2 ν (r) - модифицированная функция Бесселя первого рода (см. [1]). Из формулы (3.13) и формул из [1, п. 3.71] следует, что Zβ (r) > 0 при r > 0 и 2-s b0(β)= Zβ |r=1 = q(s)β β b1(β)= Z1 |r=1 = q(s)β 2 Is-2 (β) > 0, (3.14) 2 2- s 2 I s (β) > 0 (3.15) 2 в силу формулы дифференцирования d Iν (r) Iν+1(r) dr rν = rν > 0. (3.16) О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ НЕДИВЕРГЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 75 β 2 При r 1 имеет место равенство aβ (r) = - , поэтому, учитывая в (3.7) неравенства (3.8), будем иметь r2-α 2 β - L Γ QrΓ11 + s - 1 Γ1 β2 Γβ . (3.17) β r β 1r λ2 2 Рассмотрим для функции yβ (r) при r 1 задачу y11 s - 1 1 2 -2 r β (r)+ yβ (r) - β yβ (r)r = 0, r > 1, (3.18) β yβ (1) = b0(β), y1 (1) = b1(β), (3.19) где b0(β) и b1(β) - значения функции (3.13) и ее производной по r при r = 1, определенные формулами (3.14) и (3.15) соответственно. Будем искать решение задачи (3.18), (3.19) в виде yβ (r) = rδ, так как уравнение (3.18) представляет собой уравнение Эйлера (см. [10]). Получим при этом определяющее уравнение (3.5), которое имеет корни δ1 = - (s - 2) + √D 2 > 0, δ2 = -(s - 2) - √D 2 < 0, D = (s - 2)2 + 4β 2. (3.20) Решение задачи (3.18), (3.19) имеет вид yβ (r)= C1rδ1 + C2rδ2 , (3.21) где постоянные C1, C2 определяются из условий (3.19), т. е. из системы ( C1 + C2 = b0(β), C1δ1 + C2δ2 = b1(β). Лемма 3.1. Решение задачи (3.18), (3.19) обладает следующими свойствами: 1. yβ (r) > 0, r > 1, β 2. y1 (r) > 0, r 1, ∞ 3. lim yβ (r)= + . t→∞ Доказательство. Запишем уравнение (3.18) в самосопряженном виде: d (rs-1 dr dyβ (r) 2 )= β dr rs-3yβ (r), r > 1. Дважды проинтегрируем последнее уравнение по r от 1 до r и учтем при этом условия (3.19). При этом получим 2 r dyβ (r) = b1(β) β r s-3 dr rs-1 + rs-1 τ 0 r r yβ (τ )dτ, (3.22) τ r yβ (r)= b0(β)+ b1(β) 1 τ 1-sdτ + β2 r 1 r τ 1-sdτ 1 yβ (ξ)ξs-3dξ. (3.23) В силу положительности b0(β) и b1(β) и непрерывности функции yβ (r) правая часть равенства (3.23) является положительной в достаточно малой правой окрестности r = 1, т. е. при достаточно малом r - 1 > 0. Докажем, что правая часть (3.23) остается положительной при всех r - 1 > 0. Предположим противное, тогда при некотором r = r1 > 1 функция yβ (r) обратится в ноль (первый ноль yβ (r) при r = r1 > 1). Тогда из (3.23) при r = r1 получим yβ (r1)=0= b0(β)+ b1(β) r r r1 r1 τ 1-sdτ + β2 1 1 τ r τ 1-sdτ 1 yβ (ξ)ξs-3dξ. (3.24) Так как при 1 ξ r1, s > 1 имеем yβ (r) > 0, то очевидно, что правая часть (3.24) является положительной. Полученное противоречие доказывает, что yβ (r) > 0 при всех r > 1. Утверждение 1 леммы 3.1 доказано. 76 В. Н. ДЕНИСОВ Из (3.22) и положительности yβ (r) > 0 при всех r > 1 тогда следует, что dyβ (r) > 0, r > 1. (3.25) dr Утверждение 2 леммы 3.1 доказано. Из равенства (3.23) тогда следует, что yβ (r) b0(β) > 0 при r 1. Применяя формулу Ньютона-Лейбница (см. [8, т. 1, с. 358]) и используя при этом равенство (3.22) и неравенство yβ (r) b0(β) при r 1, получим r r yβ (r) - yβ (1) = 1 r dyβ (τ ) dτ = b (β) r dτ 1 1 τ 1-s r 2 r dτ + β 1 τ r τ 1-sdτ 1 yβ (ξ)ξ s-3 dξ > r τ r r 2 r > β b0(β) 1 r τ 1-sds 1 2 ξs-3dξ = 2 β b0(β) (s - 2) 1 τ 1-s(τs-2 - 1)dτ = при r → +∞, так как = β b0(β) r (s - 2) ln r - r2-s - 1 2 - s → +∞, (N - 1)λ2 + λ2 2 s = Утверждение 3 леммы 3.1 доказано. Лемма 3.1 доказана. λ 1 0 > N > 2. 0 Положим в (3.16) Γβ (r)= yβ (r), где yβ (r) - решение задачи (3.18), (3.19), и получим неравенство Нами определена функция L2Γβ (r) 0, r 1, t > 0. (3.26) ( Zβ (r) при r 1, Γβ (r)= yβ (r) при r 1, (3.27) где Zβ (r) - решение задачи (3.10), (3.11), yβ (r) - решение задачи (3.18), (3.19). Очевидно, что функция (3.27) непрерывна и имеет непрерывные первые и вторые производные. В самом деле, непрерывность функций и указанных производных при r /=1 очевидна, а при r =1 справедливы «условия склейки» из (3.19): Zβ (1) = yβ (1) = b0(β), Z1 (1) = y1 (1) = b1(β). (3.28) β β β Поэтому из непрерывности функции Γβ (r) при r =1 и непрерывности Γ1 (r) при r = 1, вытекающих из «условий склейки» (3.28) и из непрерывности коэффициентов уравнений (3.10) и (3.18) при r = 1, получаем, что β (1) = yβ (1). Z11 11 Покажем, что функция (3.27) является суперэллиптической. Лемма 3.2. Функция (3.27) обладает следующими свойствами: 1. L2Γβ (r) 0 при r 0, t > 0; 1. Γβ (r1) > Γβ (r2) при r1 > r2. Доказательство. Из неравенств (3.12) и (3.26) вытекает, что функция (3.27) удовлетворяет свойству 1 леммы 3.2. Свойство 2 при r 1 непосредственно вытекает из (3.13) и (3.16), а при r 1 - из утверждения 2 леммы 3.1. Лемма 3.2 доказана. Докажем, что функция (3.27) является монотонно возрастающей функцией параметра β и растет на бесконечности как C1rδ1 , где δ1 - больший корень уравнения (3.5). Лемма 3.3. Для функции (3.27) имеют место следующие свойства: 1. Γβ1 (r) > Γβ2 (r) при β1 > β2, r > 0; О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ НЕДИВЕРГЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 77 2. Γβ (r)= C1rδ1 (1 + ε(r)), lim ε(r)= 0. r→∞ Доказательство. Докажем свойство 1. Пусть β1 > β2. При β = β1 и β = β2 определим по формуле (3.27) функции Γβ1 (r) и Γβ2 (r) и рассмотрим выражение W (r)= rs-1[Γ1 (r)Γβ (r) - Γβ (r)Γ1 (r)]. (3.29) β1 2 1 β2 Дифференцируя функцию W (r) по r и учитывая, что при r 1 функции Γβ1 (r) = Zβ1 (r) и Γβ2 (r)= Zβ2 (r) удовлетворяют уравнению (3.10) при β = β2 и β = β1 соответственно, а при r 1 функции Γβ1 (r) = yβ1 (r) и Γβ2 (r) = yβ2 (r) удовлетворяют уравнению (3.18) при β = β1 и β = β2 соответственно, получим W 1(r)= s - 1 W (r)+ rs-1[Γ11 Γβ - Γβ (r)Γ11 (r)] = s - 1 r s - 1 rs-1 β1 2 1 β2 где = r W (r) - r W (r) - λ 2 Γβ1 (r)Γβ2 (r)(Cβ1 (r) - Cβ2 (r)) > 0, (3.30) 1 2 2 2 2 Cβ1 (r)= -β1 min(1, r- ), Cβ2 (r)= -β2 min(1, r- ). (3.31) Так как W (0) = 0, то из (3.30) следует неравенство W (r) > 0 при r > 0. Следовательно, ( Γβ1 (r) 1 = W (r) > 0 при r > 0, β1 > β2. Γβ2 (r) β rs-1Γ2 2 (r) Интегрируя последнее неравенство и учитывая, что Γβ1 (0) = 1, Γβ2 (0) получим Γβ1 (r) r r W (τ )dτ 1= > 0. Γβ2 (r) - Свойство 1 леммы 3.3 доказано. β τs-1Γ2 0 2 (τ ) Докажем асимптотическую формулу 2 из леммы 3.3. Из представления (3.21) решения задачи (3.18), (3.19) при r →∞ будем, очевидно иметь C2 где Γβ (r)= C1rδ1 [1 + C1 C2 C2 rδ2-δ1 ]= C1rδ1 [1 + ε(r)], D √ ε(r)= C1 rδ2-δ1 = r- C1 → 0, при r → ∞, D = (s - 2)2 + 4β2, где δ1, δ2 - корни (3.20) уравнения (3.5). Докажем, что постоянная C1 в (3.21) является положительной. В самом деле, если бы это было не так, т. е. C1 < 0, то из (3.21) мы получили бы, что Γβ (r) → -∞ при r → ∞, что приводит к противоречию в силу свойства 3 из леммы 3.1. Свойство 2 доказано. Лемма 3.3 доказана. 78 В. Н. ДЕНИСОВ 1. О СТАБИЛИЗАЦИИ СУПЕРРЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Пусть при β > 0 определена функция ⎧ aβ (r)= ⎨ ⎩ Рассмотрим эллиптический оператор -β2, r 1, -β2 r2-α , r 1, 0 α < 2. (4.1) L2V = L(x, t)V + aβ (r)V, (4.2) где L(x, t) - оператор (1.3) из введения, для которого выполнены условия (1.4)-(1.6). Лемма 4.1. Для любого R > 1, β > 0 найдется постоянная A0(R, β) > 0 такая, что при A A0 и λ = e-A для функции r ( r2 справедливо неравенство V (r)=1 - exp A 4R2 - 1 , 0 r 2R, (4.3) Для функции L2V (r)+ λV (r) < 0, r < R. (4.4) P (x, t)= V (r)e-λt, (4.5) где V (r) - функция (4.3), выполняются следующие соотношения: L2P (x, t) - Pt(x, t) 0, |x| < R, t > 0, (4.6) λt 3A P (x, t)||x|=R = (1 - e- 4 )e- > 0, (4.7) P (x, 0) = V (|x|), |x| < R, (4.8) lim P (x, t)=0 (4.9) t→∞ равномерно относительно x на каждом компакте K в |x| < R. Доказательство. Докажем только неравенство (4.4), так как соотношения (4.6)-(4.9) после этого очевидны. Проводя вычисления, будем иметь A2 N A N '\\" L2V + λV = -ψ 4R4 i, k=1 '\\" aikxixk - ψ 2R2 i=1 aii + aβ (r)V (r)+ λv(r), (4.10) где ψ(r)= exp r ( r2 1 - > 0. A 4R2 Отбрасывая в правой части (4.10) слагаемые A2 N A2 N '\\" -ψ 4R4 i, k=1 '\\" aikxixk < 0, -ψ 2R4 i, k=1 aii < 0, будем иметь в шаре |x| < R неравенство г г ( r2 \\l ( r2 \\ l L2V + λV < ψ(r) Обозначим V (r)aβ (r) exp A 1 - 4R2 + exp -A 4R2 V (r) . (4.11) г ( r2 \\l ( r2 \\ K1(r)= V (r)aβ (r) exp A 1 - 4R2 + exp -A 4R2 V (r). (4.12) При 1 r R учтем в (4.12) неравенства β2 2 -β2 -β2 ( r2 \\ и получим r2-α β , r2-α R2-α , exp β2 -A 4R2 3A V (r) 1 K1(r) β2 +1 - R2-α e 4 . (4.13) О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ НЕДИВЕРГЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 79 Выберем A0 из условия β2 R2-α exp ( 3 A 4 0 > β2 + 1. (4.14) При A A0 из (4.13) и (4.14) следует, что K1(r) < 0 при 1 r R. (4.15) При 0 r 1 и A A0 для всех K1(r) в силу (4.14) имеет место оценка 3 A 4 K1(r) β2 +1 - α2 exp ( β2 +1 - β2 R2-α exp ( A 3 . (4.16) 4 Из неравенств (4.11), (4.15), (4.16) следует, что неравенство (4.4) доказано. Лемма 4.1 доказана. 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ Докажем ряд вспомогательных утверждений. Наряду с задачей Коши (1.1), (1.2) рассмотрим задачу Коши L(x, t)Wβ + aβ (r)Wβ - Wβt =0 в D, (5.1) Wβ (x, 0) = u1(x), u1(x)= C1(1 + |x|m), (5.2) где aβ (r) определено по формуле (4.1). Из принципа максимума (см. [7, п. 1]) элементарно следует неравенство. Лемма 5.1. Рассмотрим задачи Коши |u(x, t)| Wβ (x, t) в D, (5.3) L(x, t)Wβ1 + aβ1 (r)Wβ1 - Wβ1t =0 в D, (5.4) Wβ1 (x, 0) = u1(x), (5.5) L(x, t)Wβ2 + aβ2 (r)Wβ2 - Wβ2t =0 в D, (5.6) Wβ2 (x, 0) = u1(x) (5.7) с одинаковыми начальными функциями (5.2). Лемма 5.2. Если β2 > β1, то для решений задачи Коши (5.4), (5.5) и (5.6), (5.7) таких, что |Wβi(x, t)| M (1 + |x|m), i = 1, 2 в полосе HT = {x ∈ RN , 0 t T }, ∀T > 0 справедливо неравенство Wβ2 (x, t) Wβ1 (x, t) в D, (5.8) Доказательство. Рассмотрим функции z(x, y) = Wβ2 (x, t) - Wβ1 (x, t) и получим, что функция z(x, t) удовлетворяет соотношениям L(x, t)z + aβ2 z - zt = Wβ1 (x, t)(aβ1 (r) - aβ2 (r)) > 0, z(x, 0) = 0 в D, так как Wβ1 (x, t) > 0 и aβ1 (r) - aβ2 (r) > 0 при β2 > β1, то из принципа максимума (см. [7, п. 1]) получим: z(x, t) 0 в полосе HT для ∀T. Из произвольности T > 0 получаем справедливость (5.8) в D. Лемма 5.2 доказана. Лемма 5.3. Для m > 0 и β2 2 0 = m(m + s - 2)λ1 (5.9) 0 существует постоянная l > 0 такая, что решение Wβ (x, t) задачи Коши (5.1), (5.2) с β2 = β2 удовлетворяет неравенству Wβ0 (x, t) lΓβ0 (r), (5.10) где Γβ0 (r) - функция (3.27) при β = β0. 80 В. Н. ДЕНИСОВ Доказательство. Пусть 2 -2+α aβ0 (r)= -β0 min(1,r ). Выбрав β0 из условия δ1(β0)= m > 0, где δ1(β) больший корень уравнения (3.5), получим, что β2 0 удовлетворяет (5.9). Тогда по лемме 3.2 функция (3.27) удовлетворяет равенству m Γβ0 (r)= C1r (1 + ε(r)), lim ε(r)= 0. (5.11) r→∞ Не ограничивая общности считаем, что |ε(r)| 1 для всех r 0. Рассмотрим функцию z(x, t)= lΓβ0 (r) - Vβ0 (x, t), (5.12) 0 где Γβ0 (r) - функция (5.11), а Vβ0 (x, t) - решение задачи Коши (5.1), (5.2). Ясно, что функция (5.12) при β2 = β2 удовлетворяет соотношениям L(x, t)z + aβ0 (r)z - zt 0 в D, (5.13) m z(x, 0) = lΓβ0 (r) - C1(1 + |x| Выберем постоянную l > 0 настолько большой, чтобы ). (5.14) m lΓβ0 (r) C1(1 + |x| ). (5.15) Такой выбор l 2 возможен, так как C1 > 0, а для функции Γβ0 (r) справедливо равенство (5.11). В силу соотношений (5.13), (5.14) и (5.15) можем применить принцип максимума (см. [7, п. 1.7]) и получим, что z(x, t) 0 в полосе HT для ∀T > 0. (5.16) Из произвольности T > 0 и из (5.16) следует, что неравенство (5.10) доказано. Лемма 5.3 доказана. Замечание. Так как Γβ (r) lrm при r 1, то неравенство (5.10) можно записать в более простом виде: Wβ (x, t) l(rm + 1)). (5.17) Лемма 5.4. Пусть функция u1(x) определена в (5.2), и c(x, t) удовлетворяет условию (1.7) при β2 > β2 = λ2m(m + s - 2), тогда решение задачи Коши (5.1), (5.2) удовлетворяет неравен- 0 1 ству Wβ (x, t) < CΓβ (r), t > 0, C > C1. (5.18) 2 Доказательство. Применяя лемму 5.2 к функциям Wβ0 (x, t) и Wβ (x, t), где β лемму 5.3, получим доказательство леммы 5.4 с постоянной C > C1. 0 > β2, и учитывая Докажем основную теорему. В силу неравенства (5.3) достаточно доказать, что при выполнении условий теоремы решение задачи Коши (5.1), (5.2) имеет предел lim t→+∞ Wβ0 (x, t)=0 (5.19) равномерно относительно x на каждом компакте K в RN . Пусть задано m > 0. Выберем β0 из условия, чтобы δ1(β0)= m. При этом получим равенство (s - 2)2 + 4β2 = 2m + (s - 2), / 0 из которого, после возведения в квадрат, получаем β2 2 0 = λ1m(m + s - 2). Пусть теперь β таково, что δ1(β) > m, тогда аналогично получим неравенство β2 > β2, где β2 0 0 0 m из (5.9). В силу леммы 3.3 функция Γβ (r), определенная формулой (3.27) при β2 > β2, имеет на бесконечности больший порядок роста по сравнению с функцией Γβ0 (r), растущей как l(r +1). 1 Фиксируем произвольный компакт K в RN и выберем r1 > 0 столь большим, чтобы K ∈ Br . Для фиксированного m > 0 найдем функцию Γβ0 (r) по формуле (3.27). Для Γβ0 (r) имеет место лемма 5.3 и неравенство (5.17). 0 При β2 > β2 в силу леммы 5.4 для решения Wβ (x, t) задачи Коши (5.1), (5.2) справедливо неравенство (5.18). О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ НЕДИВЕРГЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 81 0 При β2 > β2 в силу леммы 5.2 справедливо неравенство Рассмотрим функцию Wβ (x, t) Wβ0 (x, t). (5.20) z(x, t)= γΓβ (r) - Wβ (x, t). (5.21) Для любого ε > 0 выберем γ > 0 так, чтобы ε γΓβ (r) 2 при |r| r1. (5.22) В силу второй теоремы Вейерштрасса (см. [8, т. 1, с. 174]) такой выбор γ возможен. В силу неравенств (5.10) и (5.20) получим z(x, t) γΓβ (r) - Wβ0 (x, t) γΓβ (r) - lΓβ0 (r). 0 Так как, по условию выбора β, γΓβ (r) растет на бесконечности как Cγ|x|δ1 , а функция γΓβ (r) имеет порядок роста l|x|m, то существует R > max(r1, |x0|), где |x0| = x0(λ0, λ1,N ), для которого z(x, t)||x|=R 0 ∀t > 0. (5.23) Функция (5.21) очевидно удовлетворяет соотношениям L(x, t)z + aβ (r)z - zt 0, N < R, t > 0, (5.24) z(x, t)||x|=R 0, t > 0, (5.25) z(x, 0) = γΓβ (r) - C(1 + rm) ≡ ϕ(r) при |x| < R. (5.26) Рассмотрим функцию (4.5) при λ = e-A из леммы 4.1 и введем новую функцию A1 где γ P1(x, t)= 1 p(x, t), (5.27) 3 A1 = max |ϕ(r)| при r R, γ1 =1 - e-A 4 = V (R), (5.28) p(x, t) - функция (4.5), ϕ(r) - функция (5.26). Заметим, что A1 γ P1(x, 0) = 1 A1, (5.29) так как γ1 V (r) 1, где V (r) функция (4.3). Из леммы 4.1 следует, что функция (5.27) удовлетворяет соотношениям LP1 + aβ (r)P1 - P1t 0, |x| < R, t > 0, (5.30) P1(x, t)||x|=R > 0, t > 0, (5.31) P1(x, 0) A1 = max |ϕ(r)| 0 при r R (5.32) и существует предел lim t→+∞ P1(x, t)=0 (5.33) равномерно по x в шаре |x| < R, т. е. для ∀ε > 0 существует T (ε) > 0 такое, что для всех t T и всех x, удовлетворяющих |x| < R, Рассмотрим функцию ε P1(x, t) < 2 . (5.34) q(x, t)= z(x, t)+ P1(x, t), (5.35) где z(x, t) - функция (5.21), а P1(x, t) - функция (5.27). Ясно, что в силу соотношений (5.24)- (5.26) и (5.30)-(5.32) функция (5.35) удовлетворяет неравенствам: L(x, t)q + aβ (r) - qt 0, |x| < R, t > 0, (5.36) q||x|=R 0, t > 0, (5.37) q|t=0 ϕ(r)+ |ϕ(r)| 0, r R. (5.38) В силу принципа максимума (см. [7]), из (5.36)-(5.38) следует, что справедливо неравенство: q(x, t) 0 при |x| < R, t > 0. (5.39) 82 В. Н. ДЕНИСОВ Учитывая формулу (5.21) и неравенство (5.39), можем записать Wβ (x, t) γΓβ (r)+ P1(x, t) при |x| < R, t > 0. (5.40) Учитывая при |x| r1 неравенство (5.22) и неравенство (5.34) при t T (ε) получим, что для любого ε > 0 существует T (ε) > 0, такое, что при t T (ε) и всех x, удовлетворяющих |x| r1, справедливо неравенство Wβ (x, t) < ε. (5.41) Тогда из (5.41) и (5.3) мы получаем, что теорема доказана. 3. ТОЧНОСТЬ УСЛОВИЙ ТЕОРЕМЫ На примере мы покажем, что условие (2.1) в теореме является точным. С этой целью рассмотрим в полупространстве D = RN × [0, ∞), N 3, задачу Коши b(r)Δu + aβ (r)u - ut =0 в D, (6.1) u(x, 0) = u0(x), x ∈ RN , (6.2) в которой, как и выше в разделах 1 и 2, b(r)= max(1, rα), 0 α < 2, (6.3) aβ (r)= -β2 min(1, rα-2). (6.4) Ясно, что в обозначениях разделов 1 и 2 λ2 = λ2 = 1, s = N, так как L =Δ - оператор Лапласа 0 1 в RN . Далее будем предполагать, что начальная функция u0(x) является непрерывной в RN и удовлетворяет условию (1.8). 0 Лемма 6.1. Для произвольного m > 0 существует непрерывная начальная функция u1(x), удовлетворяющая условию степенного роста порядка m > 0 и коэффициент aβ0 (r) (6.4), удовлетворяющий условию (1.7) при β2 = β2, β2 0 = m(m + N - 2), (6.5) для которых решение соответствующей задачи Коши (6.1), (6.2) не имеет нулевого предела lim u(x, t)=0 (6.6) t→∞ ни в одной точке x пространства RN . 0 Доказательство. Рассмотрим в RN задачу о построении положительного в RN решения Γβ (r) уравнения b(r)ΔΓβ0 (r)+ aβ0 (r)Γβ0 (r)= 0, (6.7) имеющего на бесконечности заданный порядок роста m > 0. Переходя к сферическим N -мерным координатам с центром в начале координат, рассмотрим при r 1 задачу Γ11 N - 1 1 aβ0 (r) r β0 (r)+ Γβ0 (r)+ Γβ0 (r)= 0, 0 < r 1, (6.8) b(r) β0 Γβ0 (0) = 1, Γ1 (0) = 0. (6.9) aβ0 (r) 2 - 0 При r 1 справедливо равенство = β . Поэтому задача (6.8), (6.9) имеет вид b(r) Γ11 N - 1 1 2 r β0 (r)+ Γβ0 (r) - β0 Γβ0 (r)= 0, r 1, (6.10) β0 Γβ0 (0) = 1, Γ1 (0) = 0. (6.11) Заметим, что задача (6.10), (6.11) только обозначениями отличается от задачи (3.10), (3.11) из раздела 3. Следует заменить в (3.10), (3.11) S на N и β2 на β2. При этом мы получаем решение задачи (6.10), (6.11) в виде Γβ0 (r)= q1(N ) IN -2 (rβ0) 2 N-2 N-2 , q1(N )=2 2 ( N Γ , (6.12) (rβ0) 2 2 О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ НЕДИВЕРГЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 83 и это решение положительно и 2-N 2 Γβ0 (1) = q1(N )β0 IN -2 (β0)= b0(β0) > 0, (6.13) 2 2- N 1 Γβ (1) = q1(N )β0 2 IN (β0)= b1(β0) > 0. (6.14) 2 β 2 0 При r 1 имеет место равенство aβ0 (r)= - r2-α , поэтому при r 1 получаем задачу Γ11 β 2 N - 1 1 0 r r2 β0 (r)+ Γβ0 (r) - Γβ0 (r)= 0, r > 1, (6.15) β0 Γβ0 (1) = b0(β0), Γ1 (0) = b1(β0). (6.16) 0 Задача (6.15), (6.16) только обозначениями отличается от задачи (3.18), (3.19) из раздела 3, при этом следует заменить S на N и β2 на β2 в (3.18), (3.19), чтобы получить задачу (6.15), (6.16). Поэтому решение задачи (6.15), (6.16) имеет при r > 1 вид δ1 Γβ0 (r)= C1r + C2rδ2 , (6.17) где δ1, δ2 - корни уравнения (3.5) при S = N, имеющие вид δ1 = - (N - 2) + √D 2 > 0, δ2 = -(N - 2) - √D 2 < 0, D = (N - 2)2 + 4β2. (6.18) Постоянные C1, C2 в (6.17) определяются из условий (6.16). Важно, что при этом C1 > 0. (6.19) Для функции Γβ0 (r), определяемой формулами (6.12) при r 1 и (6.18) при r 1, получаем гладкое решение уравнения (6.7). Выбирая β из условия δ1 = m, в силу (6.18), (6.19) мы придем к условию β2 = β2. Тогда Γβ (r) растет на бесконечности как rm. 0 0 Положим в задаче Коши (6.1), (6.2) u1(x)= Γβ0 (r) и получим положительное решение задачи u(x, t)= Γβ0 (r) > 0. Таким образом, решение u(x, t) не стабилизируется к нулю ни в одной точке x ∈ RN . Лемма 6.1 доказана.