Spectral Analysis of Integrodi erential Equations in a Hilbert Space

Abstract

We investigate the correct solvability of initial-value problems for abstract integrodi erential equations with unbounded operator coe cients in a Hilbert space. We do spectral analysis of operatorfunctions describing symbols of such equations. These equations are an abstract form of linear integrodi erential partial derivative equations arising in the viscoelasticity theory and having some other important applications. We establish the localization and the spectrum structure of operator-functions describing symbols of these equations.

Full Text

ВВЕДЕНИЕ Работа посвящена исследованию интегродифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Рассматриваемые уравнения представляют собой абстрактное гиперболическое уравнение, возмущенное слагаемыми, содержащими вольтерровы интегральные операторы. Эти уравнения могут быть реализованы как интегродифференциальные уравнения в частных производных, возникающие в теории вязкоупругости (см. [18, 23], а также как интегродифференциальные уравнения Гуртина-Пипкина (см. [20, 32, 33, 39]), которые описывают процесс распространения тепла в средах с памятью с конечной скоростью, кроме того, указанные уравнения возникают в задачах усреднения в многофазных средах (закон Дарси, см. [5, 16, 17]). Перечисленные задачи можно объединить в достаточно широкий класс интегродифференциальных уравнений в частных производных, поэтому более естественно рассматривать интегродифференциальные уравнения с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовых пространствах (абстрактные интегродифференциальные уравнения), которые могут быть реализованы как интегродифференциальные уравнения в частных производных. В настоящее время существует обширная литература по абстрактным интегродифференциальным уравнениям (см., например, работы [2-14, 21, 29-31, 36-41, 43-45] и цитированную в них литературу). В работах [1-3, 29-31, 36, 44, 45] (см. также цитированную в них литературу) изучались интегродифференциальные уравнения, главной частью которых является абстрактное параболическое уравнение. Интегродифференциальные уравнения, главной частью которых является абстрактное гиперболическое уравнение, изучены в меньшей степени (см, например, [4, 7-14, 28, 37, 43]). Пусть H - сепарабельное гильбертово пространство, A - самосопряженный положительный оператор, A∗ = A κ0I (κ0 > 0), действующий в пространстве H, имеющий компактный обратный. Пусть B - симметрический оператор (Bx, y) = (x, By) , действующий в пространстве H Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект № 14-14-00592). Qc 2016 РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ 53 54 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН с областью определения Dom (B) (Dom (A) ⊆ Dom (B)), неотрицательный, (Bx, x) 0 для любых x, y ∈ Dom (B) и удовлетворяющий неравенству lBxl κ lAxl (0 < κ < 1) для любого x ∈ Dom (A) , I - тождественный оператор в пространстве H. Рассмотрим следующую задачу для интегродифференциального уравнения второго порядка на положительной полуоси R+ = (0, ∞): d2u(t) dt2 + Au(t) + Bu(t) - t r K(t - s)Au(s)ds - 0 t r Q(t - s)Bu(s)ds = f (t), t ∈ R+, (1.1) 0 u(+0) = ϕ0, u(1)(+0) = ϕ1. (1.2) Предположим, что ядра интегральных операторов K(t) и Q(t) имеют следующее представление: r∞ K(t) = 0 r∞ e-tτ dμ(τ ), Q(t) = 0 e-tτ dν(τ ), (1.3) где dμ и dη - положительные меры, которым соответствуют возрастающие, непрерывные справа функции распределения μ и η, соответственно. Интеграл понимается в смысле Стильтьеса. Кроме того, будем считать, что выполнены условия r∞ dμ(τ ) 0 < τ 0 < 1, 0 < r∞ dν(τ ) τ 0 < 1. (1.4) Условие (1.4) означает, что K(t), Q(t) ∈ L1(R+), lKlL1 < 1, lQlL1 < 1. Если к условиям (1.4) добавить также условия K(0) = r∞ 0 dμ(τ ) ≡ Var μ|∞ < +∞, Q(0) = 0 r∞ 0 dν(τ ) ≡ Var ν|∞ < +∞, (1.5) 0 1 тогда ядра K(t) и Q(t) будут принадлежать пространству W 1(R+). В дальнейшем будем предполагать, что выполнено условие inf ||x||=1, x∈Dom(A) ((A + B)x, x) > 1. (1.6) Интегродифференциальное уравнение (1.1) представляет собой абстрактную форму динамического уравнения вязкоупругости, где операторы A и B порождаются дифференциальными выражениями A = -ρ-1μ ( 1 \\ Δu + grad(div u) 3 - 1 · 1 , B = ρ- λ grad(div u), 3 где u = _u(x, t) ∈ R3 - вектор перемещений вязкоупругой наследственной изотропной среды заполняющей ограниченную область Ω ⊂ R3 с достаточно гладкой границей ∂Ω, ρ - постоянная плотность, ρ > 0, коэффициенты Ламе λ, μ - положительные постоянные, K(t), Q(t) - функции релаксации, характеризующие наследственные свойства среды. На границе области ∂Ω выполняется краевое условие Дирихле u|∂Ω = 0. (1.7) 2 В качестве пространства H рассматривается пространство трехмерных вектор-функций L2(Ω). Область определения Dom(A) принадлежит векторному пространству Соболева W 2(Ω) и естественно выделяется краевым условием (1.7). Условия (1.4) имеет конкретный физический смысл (подробнее см. [18, 23]). В случае, когда оператор B = 0 и самосопряженный положительный оператор A может быть реализован как Ay = -y//(x), где x ∈ (0, π), y(0) = y(π) = 0, либо как Ay = -Δy с условиями Дирихле в ограниченной области с достаточно гладкой границей, уравнение (1.1) представляет собой абстрактную форму уравнения Гуртина-Пипкина, описывающего процесс распространения тепла в средах с памятью с конечной скоростью. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 55 Другой класс приложений - это задачи усреднения в многофазных средах, где одной из фаз является упругая (или вязкоупругая) среда, а другой - вязкая (сжимаемая или несжимаемая) жидкость (подробнее см. [24, 25]). Задача усреднения состоит в том, чтобы построить эффективную (усредненную) модель такой двухфазной среды, когда отдельные включения той или иной фазы быстро чередуются при изменении пространственных переменных. Предварительные исследования показывают, что одномерная модель распространения колебаний в такой усредненной (гомогенизированной) среде в абстрактной форме может быть записана как операторное уравнение, рассматриваемое в данной работе. Следует также отметить, что уравнения рассматриваемого вида возникают в физических задачах. К уравнениям, близким по форме к рассматриваемым в этой статье, относится ряд уравнений и систем уравнений, возникающих в кинетической теории газов. В этих задачах интегральные слагаемые играют роль вязкости. Такое операторное представление вязкости возникает при выводе уравнений газовой динамики непосредственно из законов взаимодействия молекул (см. [22]). Рассматривая преобразование Лапласа уравнения (1.1) при однородных начальных условиях, получаем оператор-функцию L(λ) = λ2I + A + B - Kˆ (λ)A - Qˆ(λ)B, (1.8) которая является символом этого уравнения. Здесь Kˆ (λ) и Qˆ(λ) - преобразования Лапласа ядер K(t) и Q(t), соответственно, имеющие представления r∞ dμ(τ ) Kˆ (λ) = , λ + τ 0 r∞ dν(τ ) Qˆ(λ) = λ + τ 0 . (1.9) В настоящей работе мы устанавливаем корректную разрешимость начальной задачи для уравнения (1.1) в весовых пространствах Соболева на положительной полуоси и исследуем вопрос о локализации спектра для оператор-функции L(λ), являющейся символом указанного уравнения. В наших предшествующих работах [4, 6-14, 43] проводилось подробное исследование задачи (1.1), (1.2) в случае, когда оператор B = 0. Наш подход к исследованию основывался на спектральном анализе оператор-функции (1.8), который также дает возможность получить результат о корректной разрешимости и представление решения указанной задачи в виде ряда по экспонентам, соответствующим точкам спектра оператор-функции L(λ). Отметим также, что результаты работ [4, 6, 8-14, 43] подытожены в главе 3 монографии [7]. Следует отметить, что метод, используемый нами для доказательства корректной разрешимости начальных задач для абстрактных интегродифференциальных уравнений, существенно отличается от более традиционного подхода, использованного Л. Пандолфи в работе [41], где разрешимость изучается в функциональном пространстве на конечном временном интервале (0,T ). В нашей ра- 2,γ боте разрешимость изучается в весовых пространствах Соболева W 2 (R+, A0) вектор-функций на положительной полуоси R+, где A0 - положительный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Доказательство нашей теоремы 2.1 о разрешимости существенно использует 2,γ гильбертову структуру пространств W 2 (R+, A0), L2,γ (R+,H), а также теорему Пэли-Винера, в то время как в работе [41] рассмотрения проводятся в банаховом функциональном пространстве гладких функций на конечном временном интервале (0,T ). На протяжении всей работы выражение вида D ;S E подразумевает неравенство D cE, выполненное с некоторой положительной константой c, выражение D ≈ E означает D ;S E ;S D. Мы используем символы := и =: для введения новых величин. 2. ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ 0 Введем обозначение A0 := A + B. Согласно известному результату (см. [34, с. 361]), оператор A0 является самосопряженным и положительным. Превратим область определения Dom(Aβ ) оператора Aβ , β > 0, в гильбертово пространство Hβ , введя на Dom(Aβ ) норму l · lβ = lAβ · l, 0 0 0 0 эквивалентную норме графика оператора Aβ . Замечание 2.1. Из свойств операторов A и B следует, что оператор A0 является обратимым, операторы AA-1, BA-1 - ограниченные, а оператор A-1 - компактный. 0 0 0 56 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН В самом деле, из условия lBxl κ lAxl , 0 < κ < 1, x ∈ Dom (A) , следует, что оператор BA-1 допускает ограниченное замыкание в пространстве H и 1BA-11 κ < 1. Следовательно, операторы AA-1, BA-1 1 являются ограниченными, поскольку AA-1 1 = (I + BA-1)-1, BA-1 = 0 0 0 0 0 BA-1(I + BA-1)-1 и оператор A-1 = A-1(I + BA-1)-1 является компактным. 2,γ 1. Корректная разрешимость. Через W n (R+, A0) обозначим пространство Соболева векторфункций на полуоси R+ = (0, ∞) со значениями в H, снабженное нормой 1/2 \\ 2 ⎛r∞ (1 12 ⎞ lulW n ≡ ⎝ e-2γt 1u(n)(t)1 + lA0u(t)l dt⎠ , γ 0. 2,γ (R+,A0) 0 1 1H H 2,γ Подробнее о пространствах W n 2,γ (R+, A0) , см. [19, гл. 1]. При n = 0 полагаем W 0 (R+, A0) ≡ 2,0 L2,γ (R+,H) , при γ = 0 будем писать W n 2 = W n. Определение 2.1. Будем называть вектор-функцию u сильным решением задачи (1.1), (1.2), 2,γ если она принадлежит пространству W 2 (R+, A0) для некоторого γ 0 (A0 = A + B), удовлетворяет уравнению (1.1) почти всюду на полуоси R+ и начальному условию (1.2). Следующая теорема дает достаточное условие корректной разрешимости задачи (1.1), (1.2). Теорема 2.1. Пусть выполнено условие (1.5), f /(t) ∈ L2,γ0 (R+,H) для некоторого γ0 0, f (0) = 0, кроме того, ϕ0 ∈ H1, ϕ1 ∈ H1/2. Тогда существует такое γ1 γ0, что для лю- 2,γ бого γ > γ1 задача (1.1), (1.2) имеет единственное решение в пространстве W 2 (R+, A0) , удовлетворяющее неравенству (1 1 1 1/2 1 \\ lulW 2 d 1f /(t)1L (R ,H) + lA0ϕ0lH + 1A0 ϕ11 , (2.1) 2,γ (R+,A0) 2,γ + 1 1H где константа d не зависит от вектор-функции f и векторов ϕ0, ϕ1. Доказательство теоремы 2.1 приведено в [11]. 2 Уместно отметить, что из теоремы 2.3 немедленно вытекает результат о разрешимости задачи (1.1), (1.2) на конечном временном интервале (0,T ) в пространстве W 2((0,T ), A0) для любого T > 0. 2 Определение 2.2. Будем называть вектор-функцию u решением почти всюду для задачи (1.1), (1.2), если она принадлежит пространству W 2((0,T ), A0) для любого T > 0, удовлетворяет уравнению (1.1) почти всюду на полуоси R+ и начальным условиям (1.2). Теорема 2.2. Пусть выполнено условие (1.5), f /(t) ∈ L2((0,T ),H) для любого T > 0, f (0) = 0, кроме того, ϕ0 ∈ H1, ϕ1 ∈ H1/2. Тогда задача (1.1), (1.2) имеет единственное решение почти всюду, удовлетворяющее неравенству (1 1 1 1/2 1 \\ lulW 2 K 1f /(t)1L ((0,T ),H) + lA0ϕ0l + 1A ϕ11 , (2.2) 2 ((0,T ),A0) 2 H 1 0 1H с постоянной K = K(T ), не зависящей от вектор-функции f и векторов ϕ0, ϕ1. 2. Спектральный анализ. Перейдем к изучению структуры спектра оператор-функции L(λ) в случае, когда выполнены условия (1.4), (1.5), а также дополнительные условия. Теорема 2.3. Пусть выполнены условия (1.4), (1.5), (1.6) и носители мер μ(τ ), ν(τ ) принадлежат отрезку [d1, d2], где 0 < d1 < d2 < +∞. Тогда для любого сколь угодно малого θ0 > 0 существует такое число R0 > 0, что спектр оператор-функции L(λ) принадлежит множеству Ω = {λ ∈ C : Re λ< 0, |λ| < R0} ∪ {λ ∈ C : α1 Re λ α2} , где α1 = α0 - θ0, R0 max(d2, -α0 + θ0), 1 ∞ ((K(0)A + Q(0)B)f, f ) 2 ∈ α0 = - sup , f D(A), ((A + B)f, f ) ±f ±=1 k=1 СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 57 1 ∞ ((K(0)A + Q(0)B)f, f ) 2 ( α2 = - inf 2 ) . (2.3) ±f ±=1 k=1 (A + B + d2I)f, f При этом существует такое γ0 > 0, что для оператор-функции L-1(λ) на множестве {λ : Re λ< -R0} ∪ {λ : Re λ> γ0} справедлива оценка 1L-1(λ)1 const . (2.4) 1 1 |λ|| Re λ| Предложение 2.1. Величина α0 допускает следующую оценку: 1 1 -1/2 -1/21 1 1 α0 - 2 1A0 (K(0)A + Q(0)B) A0 1 . Замечание 2.2. Согласно [26, лемма 2.1] оператор A-1/2BA-1/2 допускает ограниченное замыкание в пространстве H. Отсюда следует, что оператор A-1/2A0A-1/2 = I +A-1/2BA-1/2 допускает ограниченное замыкание в H. В свою очередь, в силу упомянутой [26, лемма 2.1] и в силу самосопряженности оператора A0 = A + B, оператор A-1/2AA-1/2 также допускает ограниченное 0 0 замыкание в пространстве H. Теорема 2.4. Пусть выполнены условия теоремы 2.3. Тогда невещественная часть спектра оператор-функции L(λ) симметрична относительно вещественной оси и состоит из собственных значений конечной алгебраической кратности, причем для любого ε > 0 в области Ωε := Ω\\ {λ : -d2 - ε< Re λ< 0, | Im λ| < ε} собственные значения являются изолированными, т. е. не имеют точек накопления. Отметим, что оператор-функция вида (1.8) в случае, когда ядра интегральных операторов являются рядами убывающих экспонент с положительными коэффициентами, изучалась в [10]. Теоремы 2.3, 2.4 представляют собой естественное развитие результатов работы [10]. 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ 2.3, 2.4 Доказательству теорем 2.3, 2.4 предпошлем несколько лемм, представляющих, на наш взгляд, самостоятельную ценность. Лемма 3.1. Пусть выполнены условия (1.4), (1.5). Тогда оператор-функция L(λ) обратима в замкнутой правой полуплоскости и справедливо неравенство 1 1/2 -1 1/21 1 1A L 1 (λ)A 1 const, Re λ>γ > 0. (3.1) Доказательство. Преобразуем оператор-функцию L(λ) к виду L(λ) = A1/2M (λ)A1/2, (3.2) где 1 M (λ) = λ2A-1 + (1 - Kˆ (λ)\\ I + ( - Qˆ(λ)\\ K и через оператор K обозначен оператор A-1/2BA-1/2. Согласно [26, лемма 2.1] оператор K допускает ограниченное замыкание в пространстве H. Кроме того, оператор K является неотрицательным, т. е. (Kx, x) 0 для любого x ∈ H, и симметричным в силу неотрицательности и симметричности оператора B. Покажем, что оператор-функция L(λ) обратима в правой полуплоскости. Рассмотрим форму (M (λ)f, f ) для λ = x + iy таких, что x> |y|. Справедлива следующая цепочка неравенств: ⎛ Re (M (λ)f, f ) = (x2 - y2) (A-1f, f ) + ⎝1 - +∞ r (x + τ )dμ(τ ) (x + τ )2 + y2 d1 ⎞ ⎠ (f, f )+ ⎛ +∞ r ⎞ (x + τ )dν(τ ) ⎛ ( 2 2)( -1 ) +∞ ⎞ r dμ(τ ) + ⎝1 - d1 ((x + τ )2 + y2) ⎠ (Kf, f ) 1. - y A f, f + ⎝1 - d1 x + τ ⎠ (f, f )+ 58 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН ⎛ +∞ r ⎞ dν(τ ) ⎛ +∞ r ⎞ dμ(τ ) 2 где δ = 1 - + ⎝1 - d1 +∞ r dμ(τ ) > 0. τ d1 x + τ ⎠ (Kf, f ) ⎝1 - d1 τ ⎠ (f, f ) δlf l , (3.3) Для λ = x + iy таких, что y x γ > 0, справедливы следующие неравенства: +∞ Im (M (λ)f, f ) = 2xy (A-1f, f ) + y r d1 dμ(τ ) (x + τ )2 + y2 +∞ r (f, f )+ y d1 dν(τ ) (x + τ )2 + y2 (Kf, f ) +∞ 2x2 (A-1f, f ) + y r d1 dμ(τ ) (x + τ )2 + y2 +∞ r (f, f )+ y d1 dν(τ ) (x + τ )2 + y2 (Kf, f ) γlf l2. (3.4) Для λ = x + iy таких, что y < -x< -γ > 0, γ > 0, справедливы следующие неравенства: - Im (M (λ)f, f ) 2x2 (f, f )+ |y| +∞ r dμ(τ ) (x + τ )2 + y2 d1 (f, f )+ |y| +∞ r dν(τ ) (x + τ )2 + y2 d1 (Kf, f ) γlf l2. (3.5) Объединяя неравенства (3.4) и (3.5), получаем что в области {λ = x + iy| |y| >x γ > 0} справедлива оценка |Im (M (λ)f, f )| γlf l2. В силу произвольности γ > 0, из неравенств (3.3) и (3.5) вытекает обратимость операторфункции M (λ), а следовательно, и оператор-функции L(λ) в правой полуплоскости. Оценка (3.1) следует из неравенств (3.3), (3.5). Рассмотрим оператор-функцию L(λ) на мнимой оси. В силу представлений ⎛ d2 r ⎞ τdμ(τ ) ⎛ d2 r ⎞ τdν(τ ) Re (M (iy)f, f ) = -y2 (A-1f, f ) + ⎝1 - d1 +∞ τ 2 + y2 ⎠ (f, f )+ ⎝1 - d1 d2 τ 2 + y2 ⎠ (Kf, f ) , r Im (M (iy)f, f ) = y d1 τdμ(τ ) τ 2 + y2 r (f, f )+ y d1 τdν(τ ) τ 2 + y2 (Kf, f ) из условия (1.4) вытекает, что существует такое δ > 0, что для всех y таких, что |y| < δ, справедливо неравенство Re (M (iy)f, f ) k (f, f ) , (3.6) с некоторой постоянной k > 0. С другой стороны, справедливо неравенство ⎡ d2 r τdμ(τ ) d2 ⎤ r τdν(τ ) |Im (M (iy)f, f )| |y| ⎣ d1 τ 2 + y2 (f, f )+ d1 τ 2 + y2 (Kf, f )⎦ . (3.7) Из неравенств (3.6) и (3.7) вытекает обратимость оператор-функции L(λ) на мнимой оси. Перейдем к изучению спектра оператор-функции L(λ) в левой полуплоскости. Лемма 3.2. Пусть выполнены условия (1.4), (1.5) и носители функций μ(t) и ν(t) лежат на отрезке [d1, d2], где 0 < d1 < d2 < +∞. Тогда найдутся такие R0 > d2 и γ0 > 0, что операторфункция L(λ) обратима в объединении полуплоскостей {λ : Re λ< -R0} ∪ {λ : Re λ> γ0} и справедлива оценка 1L-1(λ)1 const 0 0 , λ ∈ {λ : Re λ< -R } ∪ {λ : Re λ>γ } . 1 1 |λ|| Re λ| СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 59 Доказательство. Покажем, что в области Ω := {λ : Re λ< -d2, | Im λ| < | Re λ|} оператор функция L(λ) обратима. Для этого заметим, что при Re λ = x< -d2 ⎛ d2 r Re (1 - Kˆ (λ)\\ = ⎝1 - d1 ⎛ d2 r Re (1 - Qˆ(λ)\\ = ⎝1 - d1 и, следовательно, в области Ω (x + τ )dμ(τ ) (x + τ )2 + y2 (x + τ )dν(τ ) (x + τ )2 + y2 ⎞ ⎠ 1, ⎞ ⎠ 1 ⎛ Re (M (λ)f, f ) = (x2 - y2) (A-1f, f ) + ⎝1 - +∞ r (x + τ )dμ(τ ) (x + τ )2 + y2 d1 ⎞ ⎠ (f, f )+ ⎛ +∞ r ⎞ (x + τ )dν(τ ) + ⎝1 - d1 ((x + τ )2 + y2) ⎠ (Kf, f ) (f, f ), λ ∈ Ω. Покажем теперь, что найдутся такие R0 > 0 и γ0 > 0, что оператор-функция L(λ) обратима в полуплоскости {λ : Re λ< -R0} , а также в полуплоскости {λ : Re λ> γ0} . Представим оператор-функцию L-1(λ) в виде -1 L-1(λ) = (λ2I + (A + B))-1(I - Kˆ (λ)A(λ2I + (A + B))-1 - Qˆ(λ)B(λ2I + (A + B))-1\\ . (3.8) Покажем теперь, что найдутся такие R0 > 0 и γ0 > 0, что для всех λ, удовлетворяющих условию λ ∈ {λ : Re λ< -R0} ∪ {λ : Re λ> γ0} , справедливы следующие неравенства: 1 1 const 1 ˆ 2 -11 1K(λ)A(λ I + (A + B)) 1 1 | Re λ| 1 const , (3.9) 1 ˆ 2 -11 1Q(λ)B(λ I + (A + B)) 1 | Re λ| . (3.10) Согласно известному результату (см. [34, с. 361]), оператор A0 = A + B является самосопряженным и положительным. Для доказательства неравенств (3.9) и (3.10) нам потребуется следующее утверждение. Лемма 3.3. Существует такое γ > 0, что справедливо неравенство 1 1 11 const 1 sup 1 A0(λ2I + A0)- 1 < . (3.11) 1 λ:| Re λ|>γ 1 λ 1 | Re λ| Доказательство. Принимая во внимание, что оператор A0 - самосопряженный, используем спектральную теорему (см. [34, с. 452-453]). Положим λ = τ + iν (τ, ν ∈ R) и a ∈ σ(A0) ⊂ [κ0, +∞), т. е. a принадлежит спектру оператора A0. Согласно утверждению спектральной теоремы, достаточно установить оценку a (τ 2 + ν2)1/2((τ 2 - ν2)+ a)2 + 4τ 2ν2)1/2 Для этого оценим снизу функцию const τ , τ γ > 0. (3.12) f (a, τ, ν) = (τ 2 + ν2)((τ 2 - ν2)+ a)2 + 4τ 2ν2). Пусть d ∈ (0, 1), тогда имеет место оценка ( f (a, τ, ν) min min f (a, τ, ν), min f (a, τ, ν) Следовательно, ν2∈[0, da] ν2∈[da,+∞] min {τ 2(τ 2 + (1 - d)aτ 2)2, (τ 2 + da)4daτ 2 . 60 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН a г 1 1 l (f (a, τ, ν))1/2 a max √ , (τ 2 + (1 - d)a)τ (τ 2 + da)1/22 ⎡ daτ ⎤ max ⎢ 1 ( τ 2 1 \\ , г 1 1/2 ⎥ max , 1 l . (3.13) dτ ( τ τ ⎣ a + (1 - d) √ 2 2 a + d\\ ⎦ τ (1 - d) 2τd Полагая d = 1/3 в неравенстве (3.13), мы получаем искомую оценку (3.12). Лемма 3.3 доказана. Легко видеть, что для функций Kˆ (λ) и Qˆ(λ) справедливы оценки |Kˆ (λ)| и | Var μ d2 d1 , |Qˆ(λ)| |λ| d2 | Var ν d2 d1 , Re λ> 0, (3.14) |λ| d2 |Kˆ (λ)| Var μ|d1 |λ| - d2 , |Qˆ(λ)| Var ν|d1 |λ| - d2 , Re λ< -d2. Из последних оценок следует, что для всех таких λ, что |λ| > R0 > d2, найдется такое K > 0, что будут справедливы неравенства 0 |Kˆ (λ)| K , |Qˆ(λ)| K , |λ| >R . (3.15) |λ| |λ| Завершим доказательство леммы 3.2. В силу замечания 2.1, леммы 3.3 и оценок (3.14), (3.15), получаем, что 1 1 1 ˆ 2 1 1 1 2 11 - 1 1 1K(λ)A(λ I + A0) - 0 1 1 = 1Kˆ (λ)AA- A0(λ I + A0) 1 const 1AA-11 1 1A λ2I + A 11 const , 1 1 1 ˆ 2 1 1 1 1 2 11 1 1 0( 0 |λ| 1 0)- 1 1 | Re λ| - 1 1 1Q(λ)B(λ I + A0) - 0 1 1 = 1Qˆ(λ)BA- A0(λ I + A0) 1 const 1BA-11 1 1A λ2I + A 11 const . 1 1 ( 1 0 |λ| 1 0 0)- 1 1 | Re λ| Для дальнейших рассуждений будет использоваться следующее известное предложение. Предложение 3.1. Справедлива следующая оценка: 1 1( 2 1 )-11 1 1 λ I + A0 1 |λ|| Re λ| , Re λ /= 0. Доказательство предложения немедленно вытекает из спектральной теоремы и неравенств 1 1 1 = < . λ2 + a2 (λ + ia)(λ - ia) |λ|| Re λ| На основании представления (3.8), неравенств (3.9), (3.10) и предложения 3.1, получаем, что существует такое R0 > 0 и такое γ0 > 0, что оператор-функция L-1(λ) допускает оценку 1L-1(λ)1 const 0 0 , λ ∈ {λ : Re λ< -R } ∪ {λ : Re λ>γ } . 1 1 |λ|| Re λ| В самом деле, согласно оценкам (3.9), (3.10) можно выбрать такие R0 > 0 и γ0 > 0, что 1( \\ 1 ( 1 1 1 - 1 K(λ)A + Q(λ)B ˆ ˆ 2 λ I + (A + B)) 1 < 1 при λ ∈ {λ : Re λ< -R0} ∪ {λ : Re λ> γ0} . Следовательно, для указанных λ будет существовать оператор-функция -1 (I - Kˆ (λ)A(λ2I + (A + B))-1 - Qˆ(λ)B(λ2I + (A + B))-1\\ , СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 61 причем она будет регулярной и ограниченной на множестве {λ : Re λ< -R0} ∪ {λ : Re λ> γ0} . Таким образом, из представления (3.8) и предложения 3.1 получим утверждение леммы. Лемма 3.2 доказана. Объединяя полученные выше результаты, получаем, что спектр оператор-функции L(λ) лежит в полосе {λ : -R0 < Re λ< 0} . Перейдем теперь к уточнению локализации спектра оператор-функции L(λ) в левой полуплоскости. Введем следующие обозначения: ω2 = ((A + B)f, f ) , где f ∈ Dom(A), lf l = 1, (Af, f ) (Bf, f ) r1(f ) = ((A + B)f, f ) , r2(f ) = ((A + B)f, f ) . В указанных обозначениях форму (L(λ)f, f ) , где f ∈ Dom(A), lf l = 1, можно переписать в следующем виде: (L(λ)f, f ) = λ2 + ω2 - После деления на ω2 получаем +∞ r r1(f )ω2 τ + λ d0 dμ(τ ) - +∞ +∞ r r2(f )ω2 τ + λ d0 dν(τ ). (L(λ)f, f ) λ2 r dθ(τ ) где dθ(τ ) = r1(f )dμ(τ )+ r2(f )dν(τ ). ω2 = ω2 +1 - d0 , τ + λ Заметим, что в силу условия (1.4) и того, что r1(f )+ r2(f ) = 1, справедливо неравенство d2 r dθ(τ ) τ d1 d2 r = r1(f ) d1 dμ(τ ) τ d2 r + r2(f ) d1 dν(τ ) τ < 1. Дальнейшему изложению предпошлем следующую лемму о расположении невещественных нулей функции λ2 m(λ) = ω2 d2 r +1 - d1 dθ(τ ) . τ + λ В дальнейшем предполагается, что параметр ω ∈ [ω0, +∞), ω0 = inf ||x||=1, x∈Dom(A) ((A + B)x, x) > 1. Лемма 3.4. При выполнении условий леммы 3.2 вещественные части α невещественных нулей λ± = α ± iβ функции m(λ) удовлетворяют следующему неравенству: 2 1 d2 1 ω d2 2 - 2 Var θ(τ )|d1 α - 2 ω2 + d2 Var θ(τ )|d1 . (3.16) Доказательство. Доказательство леммы 3.4 существенно опирается на [10, лемма 4.3]. Для удобства читателей приведем ее формулировку. Рассмотрим семейство уравнений c k λ2(N ) N ω2 +1 = k=1 λ(N )+ γk , λ(N ) ∈ C, (3.17) зависящих от параметра N ∈ N при фиксированном значении ω ω0 > 1, где ck > 0, γk+1 > γk > 0, k ∈ N. Лемма 3.5 (А. И. Милославский, см. [10, 21]). Для любого фиксированного значения N уравнение (3.17) имеет N вещественных корней λk (N ) ∈ R, k = 1,..., N, удовлетворяющих неравенствам -γk < λk (N ) < pk (N ) < -γk-1, k = 1,..., N, γ0 = 0, (3.18) 62 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН а также пару комплексно-сопряженных корней λ±(N ) = α(N ) ± iβ(N ) ∈ C, α(N ), β(N ) ∈ R, причем для вещественной части α(N ) справедливо неравенство 1 N 1 N ω2c k - 2 k=1 ck < α(N ) < - 2 k=1 k ω2 + γ2 . (3.19) n=1 Вначале, построим последовательность ступенчатых функций {θn(τ )}∞ сходящуюся к изучаемой функции θ(τ ) в пространстве L1[d1, d2], т. е. d2 r |dθ(τ ) - dθn(τ )| → 0, n → +∞, (3.20) d1 такую, что для каждой ступенчатой функции θn(x) справедливо представление d2 r dθn(τ ) τ + λ d1 n = k=1 ck (n) . γk (n)+ λ Функция θ(τ ) является монотонной, поэтому множество ее точек разрыва не более чем счетно. Изменяя функцию θ(τ ) на множестве сколь угодно малой меры, получим непрерывную функцию θ˜(τ ) ∈ C[d1, d2]. Функцию θ˜(τ ) приблизим последовательностью ступенчатых функций вида n θn(τ ) = ), χ(γk-1, γk ](τ )ck , где k=1 γk = d1 + k k - k-1 d2 - d1 k, c = θ˜(γ ) θ˜(γ ), k = 1,..., n, (3.21) n где χ(γk-1, γk ] - характеристическая функция полуинтервала (γk-1, γk ], k, n ∈ N. Таким образом, n=1 последовательность функций {θn(τ )}∞ будет равномерно сходиться к функции θ˜(τ ) и, следовательно, указанная последовательность будет сходится к функции θ˜(τ ) в пространстве L1[d1, d2]. Одновременно мы получаем, что d2 n ck = Var θn(τ )|d2 = θ˜(d2) - θ˜(d1) = Var θ˜(τ ) = Var θ(τ )|d2 . d1 k=1 d1 d1 Кроме того, справедливы следующие неравенства: n ω2ck n ω2 (˜ 2 ˜ \\ ω2 d ω2 + γ2 ω2 + d2 |d1 θ(γk ) - θ(γk-1) = Var θ(τ ) , ω2 + d2 k=1 k 1 k=1 1 n 2 следовательно, последовательность ω ck сходится при n → +∞, кроме того, k=1 n n k ω2 + γ2 ω2ck ω2 (˜ = Var θ(τ )|d1 = β > 0. (3.22) ˜ \\ ω2 d ω2 + γ2 ω2 + d2 θ(γk ) - θ(γk-1) 2 ω2 + d2 k=1 k 2 k=1 2 Рассмотрим последовательность функций λ2 c k n (n) ln(λ) = ω2 +1 - k=1 , γk (n)+ λ где функции последовательности ck (n) и γk (n) определены формулами (3.21). Покажем, что поn=1 следовательность функций {ln(λ)}∞ сходится равномерно к функции m(λ) на любом компакте, отделенном от отрицательной вещественной полуоси. Действительно, справедлива цепочка неравенств d2 r |m(λ) - ln(λ)| = (dθ(τ ) - dθn(τ )) d2 r |dθ(τ ) - dθn(τ )| 1 / d2 r |dθ(τ ) - dθn(τ )| → 0 (3.23) d1 τ + λ d1 (x + τ ) + y2 2 |y| d1 СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 63 при n → +∞, где λ = x + iy, |y| θ0 > 0. В силу аналитичности функции ln(λ) на любом компакте, отделенном от отрицательной действительной полуоси, соотношения (3.23), равномерной сходимости последовательности функций ln(λ) к функции m(λ) и равномерной отделенности мнимых частей λ от нуля, по теореме Гурвица n получаем, что невещественные нули λ± = αn + iβn функции ln(λ) сходятся к невещественным нулям λ± = α + iβ функции m(λ). Таким образом, совершая предельный переход в неравенстве 1 n 1 n ω2c k - 2 k=1 ck < αn < - 2 k=1 k ω2 + γ2 при n → +∞ и используя оценку (3.22), получаем искомое неравенство 2 1 d2 1 ω d2 Лемма 3.4 доказана. 2 - 2 Var θ(τ )|d1 α - 2 ω2 + d2 Var θ(τ )|d1 . (3.24) Лемма 3.6. При выполнении условий леммы 3.2 функции ln(λ) и m(λ) не имеют нулей в замкнутой правой полуплоскости и имеют не более пары комплексно-сопряженных нулей в открытой левой полуплоскости. Доказательство. Покажем, что функция m(λ) не имеет нулей в открытой правой полуплоскости. В самом деле, уравнение m(λ) = 0 можно переписать в виде d2 λ2 r ω2 +1 = d1 dθ(τ ) . (3.25) λ + τ Вначале рассмотрим λ, лежащие в первом квадранте (Re λ> 0, Im λ> 0). Тогда d2 ( λ2 Im ω2 \\ r +1 > 0, Im d1 dθ(τ ) λ + τ < 0. Следовательно, уравнение (3.25) не может иметь корней в первом квадранте. Вследствие комплексной сопряженности невещественных корней уравнение (3.25) не может иметь корней в открытом четвертом квадранте. Рассмотрим теперь λ = x ∈ R+, тогда уравнение примет вид d2 Из условия (4) и неравенства x2 r ω2 +1 = d1 d2 d2 dθ(τ ) . (3.26) x + τ r dθ(τ ) r x + τ d1 d1 dθ(τ ) < 1 τ получаем, что уравнение (3.26) не имеет корней при x> 0. Рассмотрим функцию m(λ)на мнимой оси: 2 m(iy) = -y d2 r +1 - dθ(τ ) ⎛ 2 = -y d2 r +1 - ⎞ τdθ(τ ) d2 r dθ(τ ) ω2 iy + τ d1 ⎝ ω2 y2 + τ 2 ⎠ + iy d1 d1 y2 + τ 2 . (3.27) Из представления (3.27) вытекает, что найдется такое δ > 0, что для всех таких y, для которых |y| < δ, справедливо неравенство d2 y2 r Re m(iy) = 1 - ω2 - d1 τdθ(τ ) y2 + τ 2 > 0. (3.28) 64 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН В самом деле, в силу того, что d2 r dθ(τ ) τ d1 d2 < 1 и ω ω0 > 0, будут справедливы неравенства d2 y2 r τdθ(τ ) y2 r dθ(τ ) 1 - ω2 - d1 y2 + τ 2 1 - ω2 - d1 > 0. τ С другой стороны, при |y| >δ выполнено неравенство d2 d2 r |Im m(iy)| = |y| d1 dθ(τ ) r y2 + τ 2 δ d1 dθ(τ ) y2 + τ 2 > 0. (3.29) Из неравенств (3.28), (3.29) следует обратимость функции m(λ) на мнимой оси. Для функции ln(λ) рассуждения проводятся аналогично. Покажем, что функция m(λ), а также функция ln(λ) имеют не более одного невещественного нуля в открытой верхней полуплоскости C+. Действительно, рассмотрим регулярную ветвь ϕ квадратного корня, которая отображает нижнюю полуплоскость во второй квадрант, тогда уравнение эквивалентно уравнению λ2 m(λ) = ω2 d2 r +1 - d1 ⎛ λ2 dθ(τ ) λ + τ d2 r = 0 (3.30) ⎞ dθ(τ ) λ = g(λ) := ωϕ ⎝ ω2 +1 - d1 λ + τ ⎠ . Отметим, что функция g(λ) отображает верхнюю полуплоскость C+ в себя. В самом деле, ⎛ d2 r ⎞ dθ(τ ) Im ⎝ d1 λ + τ ⎠ < 0, λ ∈ C+. Поэтому, по лемме Шварца, уравнение λ = g(λ) имеет не более одного решения в верхней полуплоскости C+. Для функции ln(λ) рассуждения проводятся аналогично. Для удобства читателей приведем здесь формулировку леммы Шварца. Лемма 3.7 (Шварц). Пусть аналитическая функция f отображает верхнюю полуплоскость C+ в себя. Тогда уравнение z = f (z) имеет не более одного решения, и если такое решение существует, то |f /(w)| < 1. В противном случае f - эллиптическое дробно-линейное преобразование. В дальнейшем будет существенно использоваться следующая теорема. Теорема 3.1 (Denjoy-Wol , см. [42]). Пусть аналитическая функция f отображает верхнюю полуплоскость C+ в себя и f не является эллиптическим дробно-линейным преобразованием. Тогда существует единственная точка ω ∈ C+ ∪ {∞} такая, что итерации f ∗n сходятся равномерно к ω на компактных множествах в C+. Угловой предел lim f (z) существует z→ω и удовлетворяет уравнению ω = f (ω). Более того, угловая производная f /(ω) существует и удовлетворяет неравенству |f /(ω)| 1. Замечание 3.1. Существование решения уравнения λ = g(λ) в верхней полуплоскости C+ можно установить с помощью итераций отображения ⎛ d2 λ2 r ⎞ dθ(τ ) g(λ) := ωϕ ⎝ ω2 +1 - d1 λ + τ ⎠ , СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 65 начиная с любой точки в C+. При этом последовательность λk = g(λk -1), k ∈ N сходится по теоk=1 реме 3.1. Если указанная последовательность {λk }∞ сходится к точке в верхней полуплоскости, ∞ то эта точка единственна. Если последовательность {λk }k=1 сходится к точке на отрицательной вещественной полуоси, то по теореме 3.1 (Denjoy-Wol ) уравнение λ = g(λ) не имеет решений в C+. Лемма 3.6 доказана. Для полноты изложения приведем здесь утверждение об асимптотике нулей функции m(λ) при ω → +∞. Лемма 3.8. Пусть выполнены условия леммы 3.2 и параметр ω → +∞. Тогда невещественные нули функции m(λ) имеют следующую асимптотику: 1 d2 ( 1 \\ 1 λ±(ω) = - 2 Var θ(τ )|d ± iω + O - ω , ω → +∞. Доказательство леммы проводится совершенно аналогично доказательству [9, теорема 2]. Здесь также уместно привести следующее предложение. Предложение 3.2. Для любого ω0 > 0 можно указать такое k ∈ N, что на подпространстве k ω0 конечной размерности H+ = H ⊕ Hω0 , где Hω0 = Span {ej }j=1 , aj и ej - собственные значения 0 ak <ω2 и собственные векторы самосопряженного оператора A0 (A0ej = aj ej ), будет выполняться неравенство (A0f, f ) ω2, f ∈ H⊥ , ||f || = 1, f ∈ Dom(A). 0 ω0 Доказательство. Действительно, рассмотрим форму ω2 = (A0f, f ), ||f || = 1, f ∈ Dom(A). Как уже отмечалось, оператор A0 является самосопряженным, положительным, имеющим компактный обратный. Следовательно, согласно минимаксному принципу, для собственных значений aj, оператора A0 (A0ej = aj ej ) выполняются соотношения aj, = inf ||f ||=1, (f,ek )=0, k=1,...,j-1 f ∈Dom(A) (A0f, f ), при этом, в силу неограниченности оператора A0, aj → +∞ при (j → +∞). Таким образом, для любого ω0 > 0 будет выполнено неравенство (A0f, f ) ω2, ||f || = 1, f ∈ Dom(A), f ∈ H⊥ . 0 ω0 Перейдем к завершению доказательства теоремы 2.3. Определим теперь расположение невещественных нулей функции (L(λ)f, f ) в терминах коэффициентов исходного уравнения. Заметим, что Var μ(τ )|d2 = K(0), Var ν(τ )|d2 = Q(0). В силу оценки (3.24), имеем d1 d1 1 d2 1 r d2 d2 1 Re λ± - 2 Var θ(τ )|d = - 2 r1(f ) Var μ(τ )|d1 + r2(f ) Var ν(τ )|d1 = 1 2 = - sup ||f ||=1 г K(0)(Af, f )+ Q(0)(Bf, f ) l ((A + B)f, f ) , f ∈ Dom(A). (3.31) Отметим, что из оценки (3.24) и определения функции θ(τ ) вытекает неравенство 2 1 ω2 d 1 α = Re λ± - 2 ω2 + d2 Var θ(τ )|d = 1 (A0f, f ) г (Af, f ) d2 (Bf, f ) d2 l = = - 2 (A f, f )+ d2 |d1 |d1 Var μ(τ ) + Var ν(τ ) (A f, f ) (A f, f ) 0 2 0 0 1 г (Af, f ) (Bf, f ) l = - 2 (A f, f )+ d2 K(0) + (A f, f )+ d2 Q(0) 0 2 0 2 1 2 - inf ±f ±=1, f ∈Dom(A) г (Af, f ) 2 (A0f, f )+ d2 K(0) + 2 (Bf, f ) (A0f, f )+ d2 l Q(0) = 66 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН Введем обозначения 1 2 = - inf ||f ||=1, f ∈Dom(A) 2 ((K(0)A + Q(0)B) f, f ) (A0f, f )+ d2 = μ1. (3.32) 1 2 α0 := - sup ||f ||=1, f ∈Dom(A) г((K(0)A + Q(0)B)f, f ) l , (A0f, f ) 1 2 α2 = - inf ||f ||=1, f ∈Dom(A) г((K(0)A + Q(0)B) f, f ) l . 2 (A0f, f )+ d2 Согласно лемме 3.2, спектр оператор-функции L(λ) лежит в полосе {λ : -R0 Re λ< 0} . В соответствии с оценками (3.31), (3.32) невещественная часть спектра оператор-функции L(λ), лежащая на положительном расстоянии от отрицательной полуоси, лежит в полосе {λ : -α0 Re λ< α2} . Следовательно, для любого сколь угодно малого θ0 можно указать такое R0, что спектр операторфункции L(λ) будет принадлежать множеству Ω = {λ ∈ C : Re λ< 0, |λ| < R0} ∪ {λ ∈ C : -α1 Re λ α2} , где α1 = α0 - θ0. При этом R0 max(d2, -α0 + θ0). Оценка (2.4) установлена в лемме 3.2. Теорема 2.3 доказана. 0 Доказательство предложения 2.1. Положим в неравенстве (3.31) f = A-1/2g, где A0 = A + B. Тогда 0 0 0 0 1 ⎡ K(0)(AA-1/2g, A-1/2g)+ Q(0)(BA-1/2g, A-1/2g) ⎤ 2 Re λ± - sup ⎣ ||f ||=1 ((A + B)A-1/2 -1/2 \\ ⎦ = 1 2 = - sup ||f ||=1 0 g, A0 g 0 0 0 0 г K(0)(A-1/2AA-1/2g, g)+ Q(0)(A-1/2BA-1/2g, g) l = (g, g) 1 1 -1/2 -1/21 1 = - 2 1A0 (K(0)A + Q(0)B) A0 1 . (3.33) 1 Замечание 3.2. В силу самосопряженности оператора A0 и согласно [26, лемма 2.1], операторы A-1/2 -1/2 -1/2 -1/2 0 AA0 и A0 BA0 допускают ограниченное замыкание в пространстве H. Доказательство теоремы 2.4. Покажем, что невещественный спектр оператор-функции L(λ) состоит из изолированных собственных значений конечной алгебраической кратности. Для этого рассмотрим оператор-функцию D(λ) = (1 - Kˆ (λ))I + (1 - Qˆ(λ))K. Оператор-функция D(λ) обратима для невещественных λ. В самом деле, рассмотрим форму (D(λ)f, f ) = (1 - Kˆ (λ))(f, f )+ (1 - Qˆ(λ))(Kf, f ). Из представления ⎛ d2 r ⎞ dμ(τ ) ⎛ d2 r ⎞ dν(τ ) Im (D(λ)f, f ) = y ⎝ d1 (x + τ )2 + y2 ⎠ (f, f )+ y ⎝ d1 (x + τ )2 + y2 ⎠ (Kf, f ), λ = x + iy, вытекает, что при выполнения условия невырожденности функций μ(τ ) и ν(τ ) и справедливости условий (1.4), (1.5) оператор-функция D(λ) обратима при Im λ /= 0. Более того, легко видеть, что для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что будут справедливы неравенства ⎛ +∞ r ⎞ dμ(τ ) ⎛ +∞ r ⎞ dν(τ ) Re (D(x)f, f ) = ⎝1 - d0 x + τ ⎠ (f, f )+ ⎝1 - d0 x + τ ⎠ (Kf, f ) > δ(f, f ), x> -d1 + ε, ε > 0. Re (D(x)f, f ) < -δ(f, f ), x < -d2 - ε, ε > 0. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 67 Таким образом, оператор-функция D(λ) будет обратимой вне отрезка [-d2, -d1]. ∞ Согласно теореме И. Ц. Гохберга (см. [15]), оператор-функция M (λ) = D(λ)+λ2A-1 (A-1 ∈ σ ) обратима при всех невещественных λ, за исключением некоторого счетного множества характеристических чисел конечной алгебраической кратности, которые могут иметь точки сгущения лишь на отрезке [d1, d2]. В силу представления (3.2), это утверждение справедливо и для операторфункции L(λ). Симметрия невещественной части спектра L(λ) относительно вещественной оси вытекает из соотношения L∗(λ) = L(λ¯). Авторы глубоко признательны профессору А. А. Шкаликову за полезные обсуждения и консультации.