Спектральный анализ интегродифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве

Аннотация

В работе изучается корректная разрешимость начальных задач для абстрактных интегродифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве, а также проводится спектральный анализ оператор-функций, являющихся символами указанных уравнений. Изучаемые уравнения представляют собой абстрактную форму линейных интегродифференциальных уравнений в частных производных, возникающих в теории вязкоупругости и имеющих ряд других важных приложений. Установлена локализация и структура спектра операторфункций, являющихся символами этих уравнений.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Работа посвящена исследованию интегродифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Рассматриваемые уравнения представляют собой абстрактное гиперболическое уравнение, возмущенное слагаемыми, содержащими вольтерровы интегральные операторы. Эти уравнения могут быть реализованы как интегродифференциальные уравнения в частных производных, возникающие в теории вязкоупругости (см. [18, 23], а также как интегродифференциальные уравнения Гуртина-Пипкина (см. [20, 32, 33, 39]), которые описывают процесс распространения тепла в средах с памятью с конечной скоростью, кроме того, указанные уравнения возникают в задачах усреднения в многофазных средах (закон Дарси, см. [5, 16, 17]). Перечисленные задачи можно объединить в достаточно широкий класс интегродифференциальных уравнений в частных производных, поэтому более естественно рассматривать интегродифференциальные уравнения с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовых пространствах (абстрактные интегродифференциальные уравнения), которые могут быть реализованы как интегродифференциальные уравнения в частных производных. В настоящее время существует обширная литература по абстрактным интегродифференциальным уравнениям (см., например, работы [2-14, 21, 29-31, 36-41, 43-45] и цитированную в них литературу). В работах [1-3, 29-31, 36, 44, 45] (см. также цитированную в них литературу) изучались интегродифференциальные уравнения, главной частью которых является абстрактное параболическое уравнение. Интегродифференциальные уравнения, главной частью которых является абстрактное гиперболическое уравнение, изучены в меньшей степени (см, например, [4, 7-14, 28, 37, 43]). Пусть H - сепарабельное гильбертово пространство, A - самосопряженный положительный оператор, A∗ = A κ0I (κ0 > 0), действующий в пространстве H, имеющий компактный обратный. Пусть B - симметрический оператор (Bx, y) = (x, By) , действующий в пространстве H Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект № 14-14-00592). Qc 2016 РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ 53 54 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН с областью определения Dom (B) (Dom (A) ⊆ Dom (B)), неотрицательный, (Bx, x) 0 для любых x, y ∈ Dom (B) и удовлетворяющий неравенству lBxl κ lAxl (0 < κ < 1) для любого x ∈ Dom (A) , I - тождественный оператор в пространстве H. Рассмотрим следующую задачу для интегродифференциального уравнения второго порядка на положительной полуоси R+ = (0, ∞): d2u(t) dt2 + Au(t) + Bu(t) - t r K(t - s)Au(s)ds - 0 t r Q(t - s)Bu(s)ds = f (t), t ∈ R+, (1.1) 0 u(+0) = ϕ0, u(1)(+0) = ϕ1. (1.2) Предположим, что ядра интегральных операторов K(t) и Q(t) имеют следующее представление: r∞ K(t) = 0 r∞ e-tτ dμ(τ ), Q(t) = 0 e-tτ dν(τ ), (1.3) где dμ и dη - положительные меры, которым соответствуют возрастающие, непрерывные справа функции распределения μ и η, соответственно. Интеграл понимается в смысле Стильтьеса. Кроме того, будем считать, что выполнены условия r∞ dμ(τ ) 0 < τ 0 < 1, 0 < r∞ dν(τ ) τ 0 < 1. (1.4) Условие (1.4) означает, что K(t), Q(t) ∈ L1(R+), lKlL1 < 1, lQlL1 < 1. Если к условиям (1.4) добавить также условия K(0) = r∞ 0 dμ(τ ) ≡ Var μ|∞ < +∞, Q(0) = 0 r∞ 0 dν(τ ) ≡ Var ν|∞ < +∞, (1.5) 0 1 тогда ядра K(t) и Q(t) будут принадлежать пространству W 1(R+). В дальнейшем будем предполагать, что выполнено условие inf ||x||=1, x∈Dom(A) ((A + B)x, x) > 1. (1.6) Интегродифференциальное уравнение (1.1) представляет собой абстрактную форму динамического уравнения вязкоупругости, где операторы A и B порождаются дифференциальными выражениями A = -ρ-1μ ( 1 \\ Δu + grad(div u) 3 - 1 · 1 , B = ρ- λ grad(div u), 3 где u = _u(x, t) ∈ R3 - вектор перемещений вязкоупругой наследственной изотропной среды заполняющей ограниченную область Ω ⊂ R3 с достаточно гладкой границей ∂Ω, ρ - постоянная плотность, ρ > 0, коэффициенты Ламе λ, μ - положительные постоянные, K(t), Q(t) - функции релаксации, характеризующие наследственные свойства среды. На границе области ∂Ω выполняется краевое условие Дирихле u|∂Ω = 0. (1.7) 2 В качестве пространства H рассматривается пространство трехмерных вектор-функций L2(Ω). Область определения Dom(A) принадлежит векторному пространству Соболева W 2(Ω) и естественно выделяется краевым условием (1.7). Условия (1.4) имеет конкретный физический смысл (подробнее см. [18, 23]). В случае, когда оператор B = 0 и самосопряженный положительный оператор A может быть реализован как Ay = -y//(x), где x ∈ (0, π), y(0) = y(π) = 0, либо как Ay = -Δy с условиями Дирихле в ограниченной области с достаточно гладкой границей, уравнение (1.1) представляет собой абстрактную форму уравнения Гуртина-Пипкина, описывающего процесс распространения тепла в средах с памятью с конечной скоростью. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 55 Другой класс приложений - это задачи усреднения в многофазных средах, где одной из фаз является упругая (или вязкоупругая) среда, а другой - вязкая (сжимаемая или несжимаемая) жидкость (подробнее см. [24, 25]). Задача усреднения состоит в том, чтобы построить эффективную (усредненную) модель такой двухфазной среды, когда отдельные включения той или иной фазы быстро чередуются при изменении пространственных переменных. Предварительные исследования показывают, что одномерная модель распространения колебаний в такой усредненной (гомогенизированной) среде в абстрактной форме может быть записана как операторное уравнение, рассматриваемое в данной работе. Следует также отметить, что уравнения рассматриваемого вида возникают в физических задачах. К уравнениям, близким по форме к рассматриваемым в этой статье, относится ряд уравнений и систем уравнений, возникающих в кинетической теории газов. В этих задачах интегральные слагаемые играют роль вязкости. Такое операторное представление вязкости возникает при выводе уравнений газовой динамики непосредственно из законов взаимодействия молекул (см. [22]). Рассматривая преобразование Лапласа уравнения (1.1) при однородных начальных условиях, получаем оператор-функцию L(λ) = λ2I + A + B - Kˆ (λ)A - Qˆ(λ)B, (1.8) которая является символом этого уравнения. Здесь Kˆ (λ) и Qˆ(λ) - преобразования Лапласа ядер K(t) и Q(t), соответственно, имеющие представления r∞ dμ(τ ) Kˆ (λ) = , λ + τ 0 r∞ dν(τ ) Qˆ(λ) = λ + τ 0 . (1.9) В настоящей работе мы устанавливаем корректную разрешимость начальной задачи для уравнения (1.1) в весовых пространствах Соболева на положительной полуоси и исследуем вопрос о локализации спектра для оператор-функции L(λ), являющейся символом указанного уравнения. В наших предшествующих работах [4, 6-14, 43] проводилось подробное исследование задачи (1.1), (1.2) в случае, когда оператор B = 0. Наш подход к исследованию основывался на спектральном анализе оператор-функции (1.8), который также дает возможность получить результат о корректной разрешимости и представление решения указанной задачи в виде ряда по экспонентам, соответствующим точкам спектра оператор-функции L(λ). Отметим также, что результаты работ [4, 6, 8-14, 43] подытожены в главе 3 монографии [7]. Следует отметить, что метод, используемый нами для доказательства корректной разрешимости начальных задач для абстрактных интегродифференциальных уравнений, существенно отличается от более традиционного подхода, использованного Л. Пандолфи в работе [41], где разрешимость изучается в функциональном пространстве на конечном временном интервале (0,T ). В нашей ра- 2,γ боте разрешимость изучается в весовых пространствах Соболева W 2 (R+, A0) вектор-функций на положительной полуоси R+, где A0 - положительный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Доказательство нашей теоремы 2.1 о разрешимости существенно использует 2,γ гильбертову структуру пространств W 2 (R+, A0), L2,γ (R+,H), а также теорему Пэли-Винера, в то время как в работе [41] рассмотрения проводятся в банаховом функциональном пространстве гладких функций на конечном временном интервале (0,T ). На протяжении всей работы выражение вида D ;S E подразумевает неравенство D cE, выполненное с некоторой положительной константой c, выражение D ≈ E означает D ;S E ;S D. Мы используем символы := и =: для введения новых величин. 2. ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ 0 Введем обозначение A0 := A + B. Согласно известному результату (см. [34, с. 361]), оператор A0 является самосопряженным и положительным. Превратим область определения Dom(Aβ ) оператора Aβ , β > 0, в гильбертово пространство Hβ , введя на Dom(Aβ ) норму l · lβ = lAβ · l, 0 0 0 0 эквивалентную норме графика оператора Aβ . Замечание 2.1. Из свойств операторов A и B следует, что оператор A0 является обратимым, операторы AA-1, BA-1 - ограниченные, а оператор A-1 - компактный. 0 0 0 56 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН В самом деле, из условия lBxl κ lAxl , 0 < κ < 1, x ∈ Dom (A) , следует, что оператор BA-1 допускает ограниченное замыкание в пространстве H и 1BA-11 κ < 1. Следовательно, операторы AA-1, BA-1 1 являются ограниченными, поскольку AA-1 1 = (I + BA-1)-1, BA-1 = 0 0 0 0 0 BA-1(I + BA-1)-1 и оператор A-1 = A-1(I + BA-1)-1 является компактным. 2,γ 1. Корректная разрешимость. Через W n (R+, A0) обозначим пространство Соболева векторфункций на полуоси R+ = (0, ∞) со значениями в H, снабженное нормой 1/2 \\ 2 ⎛r∞ (1 12 ⎞ lulW n ≡ ⎝ e-2γt 1u(n)(t)1 + lA0u(t)l dt⎠ , γ 0. 2,γ (R+,A0) 0 1 1H H 2,γ Подробнее о пространствах W n 2,γ (R+, A0) , см. [19, гл. 1]. При n = 0 полагаем W 0 (R+, A0) ≡ 2,0 L2,γ (R+,H) , при γ = 0 будем писать W n 2 = W n. Определение 2.1. Будем называть вектор-функцию u сильным решением задачи (1.1), (1.2), 2,γ если она принадлежит пространству W 2 (R+, A0) для некоторого γ 0 (A0 = A + B), удовлетворяет уравнению (1.1) почти всюду на полуоси R+ и начальному условию (1.2). Следующая теорема дает достаточное условие корректной разрешимости задачи (1.1), (1.2). Теорема 2.1. Пусть выполнено условие (1.5), f /(t) ∈ L2,γ0 (R+,H) для некоторого γ0 0, f (0) = 0, кроме того, ϕ0 ∈ H1, ϕ1 ∈ H1/2. Тогда существует такое γ1 γ0, что для лю- 2,γ бого γ > γ1 задача (1.1), (1.2) имеет единственное решение в пространстве W 2 (R+, A0) , удовлетворяющее неравенству (1 1 1 1/2 1 \\ lulW 2 d 1f /(t)1L (R ,H) + lA0ϕ0lH + 1A0 ϕ11 , (2.1) 2,γ (R+,A0) 2,γ + 1 1H где константа d не зависит от вектор-функции f и векторов ϕ0, ϕ1. Доказательство теоремы 2.1 приведено в [11]. 2 Уместно отметить, что из теоремы 2.3 немедленно вытекает результат о разрешимости задачи (1.1), (1.2) на конечном временном интервале (0,T ) в пространстве W 2((0,T ), A0) для любого T > 0. 2 Определение 2.2. Будем называть вектор-функцию u решением почти всюду для задачи (1.1), (1.2), если она принадлежит пространству W 2((0,T ), A0) для любого T > 0, удовлетворяет уравнению (1.1) почти всюду на полуоси R+ и начальным условиям (1.2). Теорема 2.2. Пусть выполнено условие (1.5), f /(t) ∈ L2((0,T ),H) для любого T > 0, f (0) = 0, кроме того, ϕ0 ∈ H1, ϕ1 ∈ H1/2. Тогда задача (1.1), (1.2) имеет единственное решение почти всюду, удовлетворяющее неравенству (1 1 1 1/2 1 \\ lulW 2 K 1f /(t)1L ((0,T ),H) + lA0ϕ0l + 1A ϕ11 , (2.2) 2 ((0,T ),A0) 2 H 1 0 1H с постоянной K = K(T ), не зависящей от вектор-функции f и векторов ϕ0, ϕ1. 2. Спектральный анализ. Перейдем к изучению структуры спектра оператор-функции L(λ) в случае, когда выполнены условия (1.4), (1.5), а также дополнительные условия. Теорема 2.3. Пусть выполнены условия (1.4), (1.5), (1.6) и носители мер μ(τ ), ν(τ ) принадлежат отрезку [d1, d2], где 0 < d1 < d2 < +∞. Тогда для любого сколь угодно малого θ0 > 0 существует такое число R0 > 0, что спектр оператор-функции L(λ) принадлежит множеству Ω = {λ ∈ C : Re λ< 0, |λ| < R0} ∪ {λ ∈ C : α1 Re λ α2} , где α1 = α0 - θ0, R0 max(d2, -α0 + θ0), 1 ∞ ((K(0)A + Q(0)B)f, f ) 2 ∈ α0 = - sup , f D(A), ((A + B)f, f ) ±f ±=1 k=1 СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 57 1 ∞ ((K(0)A + Q(0)B)f, f ) 2 ( α2 = - inf 2 ) . (2.3) ±f ±=1 k=1 (A + B + d2I)f, f При этом существует такое γ0 > 0, что для оператор-функции L-1(λ) на множестве {λ : Re λ< -R0} ∪ {λ : Re λ> γ0} справедлива оценка 1L-1(λ)1 const . (2.4) 1 1 |λ|| Re λ| Предложение 2.1. Величина α0 допускает следующую оценку: 1 1 -1/2 -1/21 1 1 α0 - 2 1A0 (K(0)A + Q(0)B) A0 1 . Замечание 2.2. Согласно [26, лемма 2.1] оператор A-1/2BA-1/2 допускает ограниченное замыкание в пространстве H. Отсюда следует, что оператор A-1/2A0A-1/2 = I +A-1/2BA-1/2 допускает ограниченное замыкание в H. В свою очередь, в силу упомянутой [26, лемма 2.1] и в силу самосопряженности оператора A0 = A + B, оператор A-1/2AA-1/2 также допускает ограниченное 0 0 замыкание в пространстве H. Теорема 2.4. Пусть выполнены условия теоремы 2.3. Тогда невещественная часть спектра оператор-функции L(λ) симметрична относительно вещественной оси и состоит из собственных значений конечной алгебраической кратности, причем для любого ε > 0 в области Ωε := Ω\\ {λ : -d2 - ε< Re λ< 0, | Im λ| < ε} собственные значения являются изолированными, т. е. не имеют точек накопления. Отметим, что оператор-функция вида (1.8) в случае, когда ядра интегральных операторов являются рядами убывающих экспонент с положительными коэффициентами, изучалась в [10]. Теоремы 2.3, 2.4 представляют собой естественное развитие результатов работы [10]. 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ 2.3, 2.4 Доказательству теорем 2.3, 2.4 предпошлем несколько лемм, представляющих, на наш взгляд, самостоятельную ценность. Лемма 3.1. Пусть выполнены условия (1.4), (1.5). Тогда оператор-функция L(λ) обратима в замкнутой правой полуплоскости и справедливо неравенство 1 1/2 -1 1/21 1 1A L 1 (λ)A 1 const, Re λ>γ > 0. (3.1) Доказательство. Преобразуем оператор-функцию L(λ) к виду L(λ) = A1/2M (λ)A1/2, (3.2) где 1 M (λ) = λ2A-1 + (1 - Kˆ (λ)\\ I + ( - Qˆ(λ)\\ K и через оператор K обозначен оператор A-1/2BA-1/2. Согласно [26, лемма 2.1] оператор K допускает ограниченное замыкание в пространстве H. Кроме того, оператор K является неотрицательным, т. е. (Kx, x) 0 для любого x ∈ H, и симметричным в силу неотрицательности и симметричности оператора B. Покажем, что оператор-функция L(λ) обратима в правой полуплоскости. Рассмотрим форму (M (λ)f, f ) для λ = x + iy таких, что x> |y|. Справедлива следующая цепочка неравенств: ⎛ Re (M (λ)f, f ) = (x2 - y2) (A-1f, f ) + ⎝1 - +∞ r (x + τ )dμ(τ ) (x + τ )2 + y2 d1 ⎞ ⎠ (f, f )+ ⎛ +∞ r ⎞ (x + τ )dν(τ ) ⎛ ( 2 2)( -1 ) +∞ ⎞ r dμ(τ ) + ⎝1 - d1 ((x + τ )2 + y2) ⎠ (Kf, f ) 1. - y A f, f + ⎝1 - d1 x + τ ⎠ (f, f )+ 58 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН ⎛ +∞ r ⎞ dν(τ ) ⎛ +∞ r ⎞ dμ(τ ) 2 где δ = 1 - + ⎝1 - d1 +∞ r dμ(τ ) > 0. τ d1 x + τ ⎠ (Kf, f ) ⎝1 - d1 τ ⎠ (f, f ) δlf l , (3.3) Для λ = x + iy таких, что y x γ > 0, справедливы следующие неравенства: +∞ Im (M (λ)f, f ) = 2xy (A-1f, f ) + y r d1 dμ(τ ) (x + τ )2 + y2 +∞ r (f, f )+ y d1 dν(τ ) (x + τ )2 + y2 (Kf, f ) +∞ 2x2 (A-1f, f ) + y r d1 dμ(τ ) (x + τ )2 + y2 +∞ r (f, f )+ y d1 dν(τ ) (x + τ )2 + y2 (Kf, f ) γlf l2. (3.4) Для λ = x + iy таких, что y < -x< -γ > 0, γ > 0, справедливы следующие неравенства: - Im (M (λ)f, f ) 2x2 (f, f )+ |y| +∞ r dμ(τ ) (x + τ )2 + y2 d1 (f, f )+ |y| +∞ r dν(τ ) (x + τ )2 + y2 d1 (Kf, f ) γlf l2. (3.5) Объединяя неравенства (3.4) и (3.5), получаем что в области {λ = x + iy| |y| >x γ > 0} справедлива оценка |Im (M (λ)f, f )| γlf l2. В силу произвольности γ > 0, из неравенств (3.3) и (3.5) вытекает обратимость операторфункции M (λ), а следовательно, и оператор-функции L(λ) в правой полуплоскости. Оценка (3.1) следует из неравенств (3.3), (3.5). Рассмотрим оператор-функцию L(λ) на мнимой оси. В силу представлений ⎛ d2 r ⎞ τdμ(τ ) ⎛ d2 r ⎞ τdν(τ ) Re (M (iy)f, f ) = -y2 (A-1f, f ) + ⎝1 - d1 +∞ τ 2 + y2 ⎠ (f, f )+ ⎝1 - d1 d2 τ 2 + y2 ⎠ (Kf, f ) , r Im (M (iy)f, f ) = y d1 τdμ(τ ) τ 2 + y2 r (f, f )+ y d1 τdν(τ ) τ 2 + y2 (Kf, f ) из условия (1.4) вытекает, что существует такое δ > 0, что для всех y таких, что |y| < δ, справедливо неравенство Re (M (iy)f, f ) k (f, f ) , (3.6) с некоторой постоянной k > 0. С другой стороны, справедливо неравенство ⎡ d2 r τdμ(τ ) d2 ⎤ r τdν(τ ) |Im (M (iy)f, f )| |y| ⎣ d1 τ 2 + y2 (f, f )+ d1 τ 2 + y2 (Kf, f )⎦ . (3.7) Из неравенств (3.6) и (3.7) вытекает обратимость оператор-функции L(λ) на мнимой оси. Перейдем к изучению спектра оператор-функции L(λ) в левой полуплоскости. Лемма 3.2. Пусть выполнены условия (1.4), (1.5) и носители функций μ(t) и ν(t) лежат на отрезке [d1, d2], где 0 < d1 < d2 < +∞. Тогда найдутся такие R0 > d2 и γ0 > 0, что операторфункция L(λ) обратима в объединении полуплоскостей {λ : Re λ< -R0} ∪ {λ : Re λ> γ0} и справедлива оценка 1L-1(λ)1 const 0 0 , λ ∈ {λ : Re λ< -R } ∪ {λ : Re λ>γ } . 1 1 |λ|| Re λ| СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 59 Доказательство. Покажем, что в области Ω := {λ : Re λ< -d2, | Im λ| < | Re λ|} оператор функция L(λ) обратима. Для этого заметим, что при Re λ = x< -d2 ⎛ d2 r Re (1 - Kˆ (λ)\\ = ⎝1 - d1 ⎛ d2 r Re (1 - Qˆ(λ)\\ = ⎝1 - d1 и, следовательно, в области Ω (x + τ )dμ(τ ) (x + τ )2 + y2 (x + τ )dν(τ ) (x + τ )2 + y2 ⎞ ⎠ 1, ⎞ ⎠ 1 ⎛ Re (M (λ)f, f ) = (x2 - y2) (A-1f, f ) + ⎝1 - +∞ r (x + τ )dμ(τ ) (x + τ )2 + y2 d1 ⎞ ⎠ (f, f )+ ⎛ +∞ r ⎞ (x + τ )dν(τ ) + ⎝1 - d1 ((x + τ )2 + y2) ⎠ (Kf, f ) (f, f ), λ ∈ Ω. Покажем теперь, что найдутся такие R0 > 0 и γ0 > 0, что оператор-функция L(λ) обратима в полуплоскости {λ : Re λ< -R0} , а также в полуплоскости {λ : Re λ> γ0} . Представим оператор-функцию L-1(λ) в виде -1 L-1(λ) = (λ2I + (A + B))-1(I - Kˆ (λ)A(λ2I + (A + B))-1 - Qˆ(λ)B(λ2I + (A + B))-1\\ . (3.8) Покажем теперь, что найдутся такие R0 > 0 и γ0 > 0, что для всех λ, удовлетворяющих условию λ ∈ {λ : Re λ< -R0} ∪ {λ : Re λ> γ0} , справедливы следующие неравенства: 1 1 const 1 ˆ 2 -11 1K(λ)A(λ I + (A + B)) 1 1 | Re λ| 1 const , (3.9) 1 ˆ 2 -11 1Q(λ)B(λ I + (A + B)) 1 | Re λ| . (3.10) Согласно известному результату (см. [34, с. 361]), оператор A0 = A + B является самосопряженным и положительным. Для доказательства неравенств (3.9) и (3.10) нам потребуется следующее утверждение. Лемма 3.3. Существует такое γ > 0, что справедливо неравенство 1 1 11 const 1 sup 1 A0(λ2I + A0)- 1 < . (3.11) 1 λ:| Re λ|>γ 1 λ 1 | Re λ| Доказательство. Принимая во внимание, что оператор A0 - самосопряженный, используем спектральную теорему (см. [34, с. 452-453]). Положим λ = τ + iν (τ, ν ∈ R) и a ∈ σ(A0) ⊂ [κ0, +∞), т. е. a принадлежит спектру оператора A0. Согласно утверждению спектральной теоремы, достаточно установить оценку a (τ 2 + ν2)1/2((τ 2 - ν2)+ a)2 + 4τ 2ν2)1/2 Для этого оценим снизу функцию const τ , τ γ > 0. (3.12) f (a, τ, ν) = (τ 2 + ν2)((τ 2 - ν2)+ a)2 + 4τ 2ν2). Пусть d ∈ (0, 1), тогда имеет место оценка ( f (a, τ, ν) min min f (a, τ, ν), min f (a, τ, ν) Следовательно, ν2∈[0, da] ν2∈[da,+∞] min {τ 2(τ 2 + (1 - d)aτ 2)2, (τ 2 + da)4daτ 2 . 60 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН a г 1 1 l (f (a, τ, ν))1/2 a max √ , (τ 2 + (1 - d)a)τ (τ 2 + da)1/22 ⎡ daτ ⎤ max ⎢ 1 ( τ 2 1 \\ , г 1 1/2 ⎥ max , 1 l . (3.13) dτ ( τ τ ⎣ a + (1 - d) √ 2 2 a + d\\ ⎦ τ (1 - d) 2τd Полагая d = 1/3 в неравенстве (3.13), мы получаем искомую оценку (3.12). Лемма 3.3 доказана. Легко видеть, что для функций Kˆ (λ) и Qˆ(λ) справедливы оценки |Kˆ (λ)| и | Var μ d2 d1 , |Qˆ(λ)| |λ| d2 | Var ν d2 d1 , Re λ> 0, (3.14) |λ| d2 |Kˆ (λ)| Var μ|d1 |λ| - d2 , |Qˆ(λ)| Var ν|d1 |λ| - d2 , Re λ< -d2. Из последних оценок следует, что для всех таких λ, что |λ| > R0 > d2, найдется такое K > 0, что будут справедливы неравенства 0 |Kˆ (λ)| K , |Qˆ(λ)| K , |λ| >R . (3.15) |λ| |λ| Завершим доказательство леммы 3.2. В силу замечания 2.1, леммы 3.3 и оценок (3.14), (3.15), получаем, что 1 1 1 ˆ 2 1 1 1 2 11 - 1 1 1K(λ)A(λ I + A0) - 0 1 1 = 1Kˆ (λ)AA- A0(λ I + A0) 1 const 1AA-11 1 1A λ2I + A 11 const , 1 1 1 ˆ 2 1 1 1 1 2 11 1 1 0( 0 |λ| 1 0)- 1 1 | Re λ| - 1 1 1Q(λ)B(λ I + A0) - 0 1 1 = 1Qˆ(λ)BA- A0(λ I + A0) 1 const 1BA-11 1 1A λ2I + A 11 const . 1 1 ( 1 0 |λ| 1 0 0)- 1 1 | Re λ| Для дальнейших рассуждений будет использоваться следующее известное предложение. Предложение 3.1. Справедлива следующая оценка: 1 1( 2 1 )-11 1 1 λ I + A0 1 |λ|| Re λ| , Re λ /= 0. Доказательство предложения немедленно вытекает из спектральной теоремы и неравенств 1 1 1 = < . λ2 + a2 (λ + ia)(λ - ia) |λ|| Re λ| На основании представления (3.8), неравенств (3.9), (3.10) и предложения 3.1, получаем, что существует такое R0 > 0 и такое γ0 > 0, что оператор-функция L-1(λ) допускает оценку 1L-1(λ)1 const 0 0 , λ ∈ {λ : Re λ< -R } ∪ {λ : Re λ>γ } . 1 1 |λ|| Re λ| В самом деле, согласно оценкам (3.9), (3.10) можно выбрать такие R0 > 0 и γ0 > 0, что 1( \\ 1 ( 1 1 1 - 1 K(λ)A + Q(λ)B ˆ ˆ 2 λ I + (A + B)) 1 < 1 при λ ∈ {λ : Re λ< -R0} ∪ {λ : Re λ> γ0} . Следовательно, для указанных λ будет существовать оператор-функция -1 (I - Kˆ (λ)A(λ2I + (A + B))-1 - Qˆ(λ)B(λ2I + (A + B))-1\\ , СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 61 причем она будет регулярной и ограниченной на множестве {λ : Re λ< -R0} ∪ {λ : Re λ> γ0} . Таким образом, из представления (3.8) и предложения 3.1 получим утверждение леммы. Лемма 3.2 доказана. Объединяя полученные выше результаты, получаем, что спектр оператор-функции L(λ) лежит в полосе {λ : -R0 < Re λ< 0} . Перейдем теперь к уточнению локализации спектра оператор-функции L(λ) в левой полуплоскости. Введем следующие обозначения: ω2 = ((A + B)f, f ) , где f ∈ Dom(A), lf l = 1, (Af, f ) (Bf, f ) r1(f ) = ((A + B)f, f ) , r2(f ) = ((A + B)f, f ) . В указанных обозначениях форму (L(λ)f, f ) , где f ∈ Dom(A), lf l = 1, можно переписать в следующем виде: (L(λ)f, f ) = λ2 + ω2 - После деления на ω2 получаем +∞ r r1(f )ω2 τ + λ d0 dμ(τ ) - +∞ +∞ r r2(f )ω2 τ + λ d0 dν(τ ). (L(λ)f, f ) λ2 r dθ(τ ) где dθ(τ ) = r1(f )dμ(τ )+ r2(f )dν(τ ). ω2 = ω2 +1 - d0 , τ + λ Заметим, что в силу условия (1.4) и того, что r1(f )+ r2(f ) = 1, справедливо неравенство d2 r dθ(τ ) τ d1 d2 r = r1(f ) d1 dμ(τ ) τ d2 r + r2(f ) d1 dν(τ ) τ < 1. Дальнейшему изложению предпошлем следующую лемму о расположении невещественных нулей функции λ2 m(λ) = ω2 d2 r +1 - d1 dθ(τ ) . τ + λ В дальнейшем предполагается, что параметр ω ∈ [ω0, +∞), ω0 = inf ||x||=1, x∈Dom(A) ((A + B)x, x) > 1. Лемма 3.4. При выполнении условий леммы 3.2 вещественные части α невещественных нулей λ± = α ± iβ функции m(λ) удовлетворяют следующему неравенству: 2 1 d2 1 ω d2 2 - 2 Var θ(τ )|d1 α - 2 ω2 + d2 Var θ(τ )|d1 . (3.16) Доказательство. Доказательство леммы 3.4 существенно опирается на [10, лемма 4.3]. Для удобства читателей приведем ее формулировку. Рассмотрим семейство уравнений c k λ2(N ) N ω2 +1 = k=1 λ(N )+ γk , λ(N ) ∈ C, (3.17) зависящих от параметра N ∈ N при фиксированном значении ω ω0 > 1, где ck > 0, γk+1 > γk > 0, k ∈ N. Лемма 3.5 (А. И. Милославский, см. [10, 21]). Для любого фиксированного значения N уравнение (3.17) имеет N вещественных корней λk (N ) ∈ R, k = 1,..., N, удовлетворяющих неравенствам -γk < λk (N ) < pk (N ) < -γk-1, k = 1,..., N, γ0 = 0, (3.18) 62 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН а также пару комплексно-сопряженных корней λ±(N ) = α(N ) ± iβ(N ) ∈ C, α(N ), β(N ) ∈ R, причем для вещественной части α(N ) справедливо неравенство 1 N 1 N ω2c k - 2 k=1 ck < α(N ) < - 2 k=1 k ω2 + γ2 . (3.19) n=1 Вначале, построим последовательность ступенчатых функций {θn(τ )}∞ сходящуюся к изучаемой функции θ(τ ) в пространстве L1[d1, d2], т. е. d2 r |dθ(τ ) - dθn(τ )| → 0, n → +∞, (3.20) d1 такую, что для каждой ступенчатой функции θn(x) справедливо представление d2 r dθn(τ ) τ + λ d1 n = k=1 ck (n) . γk (n)+ λ Функция θ(τ ) является монотонной, поэтому множество ее точек разрыва не более чем счетно. Изменяя функцию θ(τ ) на множестве сколь угодно малой меры, получим непрерывную функцию θ˜(τ ) ∈ C[d1, d2]. Функцию θ˜(τ ) приблизим последовательностью ступенчатых функций вида n θn(τ ) = ), χ(γk-1, γk ](τ )ck , где k=1 γk = d1 + k k - k-1 d2 - d1 k, c = θ˜(γ ) θ˜(γ ), k = 1,..., n, (3.21) n где χ(γk-1, γk ] - характеристическая функция полуинтервала (γk-1, γk ], k, n ∈ N. Таким образом, n=1 последовательность функций {θn(τ )}∞ будет равномерно сходиться к функции θ˜(τ ) и, следовательно, указанная последовательность будет сходится к функции θ˜(τ ) в пространстве L1[d1, d2]. Одновременно мы получаем, что d2 n ck = Var θn(τ )|d2 = θ˜(d2) - θ˜(d1) = Var θ˜(τ ) = Var θ(τ )|d2 . d1 k=1 d1 d1 Кроме того, справедливы следующие неравенства: n ω2ck n ω2 (˜ 2 ˜ \\ ω2 d ω2 + γ2 ω2 + d2 |d1 θ(γk ) - θ(γk-1) = Var θ(τ ) , ω2 + d2 k=1 k 1 k=1 1 n 2 следовательно, последовательность ω ck сходится при n → +∞, кроме того, k=1 n n k ω2 + γ2 ω2ck ω2 (˜ = Var θ(τ )|d1 = β > 0. (3.22) ˜ \\ ω2 d ω2 + γ2 ω2 + d2 θ(γk ) - θ(γk-1) 2 ω2 + d2 k=1 k 2 k=1 2 Рассмотрим последовательность функций λ2 c k n (n) ln(λ) = ω2 +1 - k=1 , γk (n)+ λ где функции последовательности ck (n) и γk (n) определены формулами (3.21). Покажем, что поn=1 следовательность функций {ln(λ)}∞ сходится равномерно к функции m(λ) на любом компакте, отделенном от отрицательной вещественной полуоси. Действительно, справедлива цепочка неравенств d2 r |m(λ) - ln(λ)| = (dθ(τ ) - dθn(τ )) d2 r |dθ(τ ) - dθn(τ )| 1 / d2 r |dθ(τ ) - dθn(τ )| → 0 (3.23) d1 τ + λ d1 (x + τ ) + y2 2 |y| d1 СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 63 при n → +∞, где λ = x + iy, |y| θ0 > 0. В силу аналитичности функции ln(λ) на любом компакте, отделенном от отрицательной действительной полуоси, соотношения (3.23), равномерной сходимости последовательности функций ln(λ) к функции m(λ) и равномерной отделенности мнимых частей λ от нуля, по теореме Гурвица n получаем, что невещественные нули λ± = αn + iβn функции ln(λ) сходятся к невещественным нулям λ± = α + iβ функции m(λ). Таким образом, совершая предельный переход в неравенстве 1 n 1 n ω2c k - 2 k=1 ck < αn < - 2 k=1 k ω2 + γ2 при n → +∞ и используя оценку (3.22), получаем искомое неравенство 2 1 d2 1 ω d2 Лемма 3.4 доказана. 2 - 2 Var θ(τ )|d1 α - 2 ω2 + d2 Var θ(τ )|d1 . (3.24) Лемма 3.6. При выполнении условий леммы 3.2 функции ln(λ) и m(λ) не имеют нулей в замкнутой правой полуплоскости и имеют не более пары комплексно-сопряженных нулей в открытой левой полуплоскости. Доказательство. Покажем, что функция m(λ) не имеет нулей в открытой правой полуплоскости. В самом деле, уравнение m(λ) = 0 можно переписать в виде d2 λ2 r ω2 +1 = d1 dθ(τ ) . (3.25) λ + τ Вначале рассмотрим λ, лежащие в первом квадранте (Re λ> 0, Im λ> 0). Тогда d2 ( λ2 Im ω2 \\ r +1 > 0, Im d1 dθ(τ ) λ + τ < 0. Следовательно, уравнение (3.25) не может иметь корней в первом квадранте. Вследствие комплексной сопряженности невещественных корней уравнение (3.25) не может иметь корней в открытом четвертом квадранте. Рассмотрим теперь λ = x ∈ R+, тогда уравнение примет вид d2 Из условия (4) и неравенства x2 r ω2 +1 = d1 d2 d2 dθ(τ ) . (3.26) x + τ r dθ(τ ) r x + τ d1 d1 dθ(τ ) < 1 τ получаем, что уравнение (3.26) не имеет корней при x> 0. Рассмотрим функцию m(λ)на мнимой оси: 2 m(iy) = -y d2 r +1 - dθ(τ ) ⎛ 2 = -y d2 r +1 - ⎞ τdθ(τ ) d2 r dθ(τ ) ω2 iy + τ d1 ⎝ ω2 y2 + τ 2 ⎠ + iy d1 d1 y2 + τ 2 . (3.27) Из представления (3.27) вытекает, что найдется такое δ > 0, что для всех таких y, для которых |y| < δ, справедливо неравенство d2 y2 r Re m(iy) = 1 - ω2 - d1 τdθ(τ ) y2 + τ 2 > 0. (3.28) 64 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН В самом деле, в силу того, что d2 r dθ(τ ) τ d1 d2 < 1 и ω ω0 > 0, будут справедливы неравенства d2 y2 r τdθ(τ ) y2 r dθ(τ ) 1 - ω2 - d1 y2 + τ 2 1 - ω2 - d1 > 0. τ С другой стороны, при |y| >δ выполнено неравенство d2 d2 r |Im m(iy)| = |y| d1 dθ(τ ) r y2 + τ 2 δ d1 dθ(τ ) y2 + τ 2 > 0. (3.29) Из неравенств (3.28), (3.29) следует обратимость функции m(λ) на мнимой оси. Для функции ln(λ) рассуждения проводятся аналогично. Покажем, что функция m(λ), а также функция ln(λ) имеют не более одного невещественного нуля в открытой верхней полуплоскости C+. Действительно, рассмотрим регулярную ветвь ϕ квадратного корня, которая отображает нижнюю полуплоскость во второй квадрант, тогда уравнение эквивалентно уравнению λ2 m(λ) = ω2 d2 r +1 - d1 ⎛ λ2 dθ(τ ) λ + τ d2 r = 0 (3.30) ⎞ dθ(τ ) λ = g(λ) := ωϕ ⎝ ω2 +1 - d1 λ + τ ⎠ . Отметим, что функция g(λ) отображает верхнюю полуплоскость C+ в себя. В самом деле, ⎛ d2 r ⎞ dθ(τ ) Im ⎝ d1 λ + τ ⎠ < 0, λ ∈ C+. Поэтому, по лемме Шварца, уравнение λ = g(λ) имеет не более одного решения в верхней полуплоскости C+. Для функции ln(λ) рассуждения проводятся аналогично. Для удобства читателей приведем здесь формулировку леммы Шварца. Лемма 3.7 (Шварц). Пусть аналитическая функция f отображает верхнюю полуплоскость C+ в себя. Тогда уравнение z = f (z) имеет не более одного решения, и если такое решение существует, то |f /(w)| < 1. В противном случае f - эллиптическое дробно-линейное преобразование. В дальнейшем будет существенно использоваться следующая теорема. Теорема 3.1 (Denjoy-Wol , см. [42]). Пусть аналитическая функция f отображает верхнюю полуплоскость C+ в себя и f не является эллиптическим дробно-линейным преобразованием. Тогда существует единственная точка ω ∈ C+ ∪ {∞} такая, что итерации f ∗n сходятся равномерно к ω на компактных множествах в C+. Угловой предел lim f (z) существует z→ω и удовлетворяет уравнению ω = f (ω). Более того, угловая производная f /(ω) существует и удовлетворяет неравенству |f /(ω)| 1. Замечание 3.1. Существование решения уравнения λ = g(λ) в верхней полуплоскости C+ можно установить с помощью итераций отображения ⎛ d2 λ2 r ⎞ dθ(τ ) g(λ) := ωϕ ⎝ ω2 +1 - d1 λ + τ ⎠ , СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 65 начиная с любой точки в C+. При этом последовательность λk = g(λk -1), k ∈ N сходится по теоk=1 реме 3.1. Если указанная последовательность {λk }∞ сходится к точке в верхней полуплоскости, ∞ то эта точка единственна. Если последовательность {λk }k=1 сходится к точке на отрицательной вещественной полуоси, то по теореме 3.1 (Denjoy-Wol ) уравнение λ = g(λ) не имеет решений в C+. Лемма 3.6 доказана. Для полноты изложения приведем здесь утверждение об асимптотике нулей функции m(λ) при ω → +∞. Лемма 3.8. Пусть выполнены условия леммы 3.2 и параметр ω → +∞. Тогда невещественные нули функции m(λ) имеют следующую асимптотику: 1 d2 ( 1 \\ 1 λ±(ω) = - 2 Var θ(τ )|d ± iω + O - ω , ω → +∞. Доказательство леммы проводится совершенно аналогично доказательству [9, теорема 2]. Здесь также уместно привести следующее предложение. Предложение 3.2. Для любого ω0 > 0 можно указать такое k ∈ N, что на подпространстве k ω0 конечной размерности H+ = H ⊕ Hω0 , где Hω0 = Span {ej }j=1 , aj и ej - собственные значения 0 ak <ω2 и собственные векторы самосопряженного оператора A0 (A0ej = aj ej ), будет выполняться неравенство (A0f, f ) ω2, f ∈ H⊥ , ||f || = 1, f ∈ Dom(A). 0 ω0 Доказательство. Действительно, рассмотрим форму ω2 = (A0f, f ), ||f || = 1, f ∈ Dom(A). Как уже отмечалось, оператор A0 является самосопряженным, положительным, имеющим компактный обратный. Следовательно, согласно минимаксному принципу, для собственных значений aj, оператора A0 (A0ej = aj ej ) выполняются соотношения aj, = inf ||f ||=1, (f,ek )=0, k=1,...,j-1 f ∈Dom(A) (A0f, f ), при этом, в силу неограниченности оператора A0, aj → +∞ при (j → +∞). Таким образом, для любого ω0 > 0 будет выполнено неравенство (A0f, f ) ω2, ||f || = 1, f ∈ Dom(A), f ∈ H⊥ . 0 ω0 Перейдем к завершению доказательства теоремы 2.3. Определим теперь расположение невещественных нулей функции (L(λ)f, f ) в терминах коэффициентов исходного уравнения. Заметим, что Var μ(τ )|d2 = K(0), Var ν(τ )|d2 = Q(0). В силу оценки (3.24), имеем d1 d1 1 d2 1 r d2 d2 1 Re λ± - 2 Var θ(τ )|d = - 2 r1(f ) Var μ(τ )|d1 + r2(f ) Var ν(τ )|d1 = 1 2 = - sup ||f ||=1 г K(0)(Af, f )+ Q(0)(Bf, f ) l ((A + B)f, f ) , f ∈ Dom(A). (3.31) Отметим, что из оценки (3.24) и определения функции θ(τ ) вытекает неравенство 2 1 ω2 d 1 α = Re λ± - 2 ω2 + d2 Var θ(τ )|d = 1 (A0f, f ) г (Af, f ) d2 (Bf, f ) d2 l = = - 2 (A f, f )+ d2 |d1 |d1 Var μ(τ ) + Var ν(τ ) (A f, f ) (A f, f ) 0 2 0 0 1 г (Af, f ) (Bf, f ) l = - 2 (A f, f )+ d2 K(0) + (A f, f )+ d2 Q(0) 0 2 0 2 1 2 - inf ±f ±=1, f ∈Dom(A) г (Af, f ) 2 (A0f, f )+ d2 K(0) + 2 (Bf, f ) (A0f, f )+ d2 l Q(0) = 66 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН Введем обозначения 1 2 = - inf ||f ||=1, f ∈Dom(A) 2 ((K(0)A + Q(0)B) f, f ) (A0f, f )+ d2 = μ1. (3.32) 1 2 α0 := - sup ||f ||=1, f ∈Dom(A) г((K(0)A + Q(0)B)f, f ) l , (A0f, f ) 1 2 α2 = - inf ||f ||=1, f ∈Dom(A) г((K(0)A + Q(0)B) f, f ) l . 2 (A0f, f )+ d2 Согласно лемме 3.2, спектр оператор-функции L(λ) лежит в полосе {λ : -R0 Re λ< 0} . В соответствии с оценками (3.31), (3.32) невещественная часть спектра оператор-функции L(λ), лежащая на положительном расстоянии от отрицательной полуоси, лежит в полосе {λ : -α0 Re λ< α2} . Следовательно, для любого сколь угодно малого θ0 можно указать такое R0, что спектр операторфункции L(λ) будет принадлежать множеству Ω = {λ ∈ C : Re λ< 0, |λ| < R0} ∪ {λ ∈ C : -α1 Re λ α2} , где α1 = α0 - θ0. При этом R0 max(d2, -α0 + θ0). Оценка (2.4) установлена в лемме 3.2. Теорема 2.3 доказана. 0 Доказательство предложения 2.1. Положим в неравенстве (3.31) f = A-1/2g, где A0 = A + B. Тогда 0 0 0 0 1 ⎡ K(0)(AA-1/2g, A-1/2g)+ Q(0)(BA-1/2g, A-1/2g) ⎤ 2 Re λ± - sup ⎣ ||f ||=1 ((A + B)A-1/2 -1/2 \\ ⎦ = 1 2 = - sup ||f ||=1 0 g, A0 g 0 0 0 0 г K(0)(A-1/2AA-1/2g, g)+ Q(0)(A-1/2BA-1/2g, g) l = (g, g) 1 1 -1/2 -1/21 1 = - 2 1A0 (K(0)A + Q(0)B) A0 1 . (3.33) 1 Замечание 3.2. В силу самосопряженности оператора A0 и согласно [26, лемма 2.1], операторы A-1/2 -1/2 -1/2 -1/2 0 AA0 и A0 BA0 допускают ограниченное замыкание в пространстве H. Доказательство теоремы 2.4. Покажем, что невещественный спектр оператор-функции L(λ) состоит из изолированных собственных значений конечной алгебраической кратности. Для этого рассмотрим оператор-функцию D(λ) = (1 - Kˆ (λ))I + (1 - Qˆ(λ))K. Оператор-функция D(λ) обратима для невещественных λ. В самом деле, рассмотрим форму (D(λ)f, f ) = (1 - Kˆ (λ))(f, f )+ (1 - Qˆ(λ))(Kf, f ). Из представления ⎛ d2 r ⎞ dμ(τ ) ⎛ d2 r ⎞ dν(τ ) Im (D(λ)f, f ) = y ⎝ d1 (x + τ )2 + y2 ⎠ (f, f )+ y ⎝ d1 (x + τ )2 + y2 ⎠ (Kf, f ), λ = x + iy, вытекает, что при выполнения условия невырожденности функций μ(τ ) и ν(τ ) и справедливости условий (1.4), (1.5) оператор-функция D(λ) обратима при Im λ /= 0. Более того, легко видеть, что для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что будут справедливы неравенства ⎛ +∞ r ⎞ dμ(τ ) ⎛ +∞ r ⎞ dν(τ ) Re (D(x)f, f ) = ⎝1 - d0 x + τ ⎠ (f, f )+ ⎝1 - d0 x + τ ⎠ (Kf, f ) > δ(f, f ), x> -d1 + ε, ε > 0. Re (D(x)f, f ) < -δ(f, f ), x < -d2 - ε, ε > 0. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 67 Таким образом, оператор-функция D(λ) будет обратимой вне отрезка [-d2, -d1]. ∞ Согласно теореме И. Ц. Гохберга (см. [15]), оператор-функция M (λ) = D(λ)+λ2A-1 (A-1 ∈ σ ) обратима при всех невещественных λ, за исключением некоторого счетного множества характеристических чисел конечной алгебраической кратности, которые могут иметь точки сгущения лишь на отрезке [d1, d2]. В силу представления (3.2), это утверждение справедливо и для операторфункции L(λ). Симметрия невещественной части спектра L(λ) относительно вещественной оси вытекает из соотношения L∗(λ) = L(λ¯). Авторы глубоко признательны профессору А. А. Шкаликову за полезные обсуждения и консультации.