On the volume formula for a hyperbolic octahedron with mm2-symmetry

Abstract

In this paper, explicit integral volume formulas for arbitrary compact hyperbolic octahedra with mm2-symmetry are obtained in terms of dihedral angles. Also we give an algorithm for calculation of volume of such octahedra in spherical space.

Full Text

1. ВВЕДЕНИЕ Вычисление объемов является очень старой и сложной проблемой, берущей свое начало во времена античной математики и не потерявшей актуальности по сей день. По-видимому, первый серьезный результат об объеме треугольной пирамиды получен еще Архимедом, а в 16-м веке Тарталья выразил объем евклидова тетраэдра через квадраты длин его ребер. В настоящее время результат Тартальи известен как детерминантная формула Кэли-Менгера. Заметим, что аналогичная формула имеет место и для симплексов произвольной размерности. В сферическом и гиперболическом случаях ситуация более сложная. Объем бипрямоугольного тетраэдра (ортосхемы) в сферическом случае был найден Л. Шлефли [20], а Н. И. Лобачевский [9] и Я. Бойяи [10] независимо друг от друга вычислили объем гиперболической ортосхемы. Объем идеального гиперболического тетраэдра был найден еще в 1835 году Н. И. Лобачевским [9], а в 1982 году Дж. Милнор [15] представил этот результат в более компактном виде. В свою очередь, Э. Б. Винбергом [4] были получены формулы объема гиперболических идеальных пирамид, а также тетраэдров, имеющих одну, две и три вершины на бесконечности. Что касается формулы объема произвольного неевклидова тетраэдра, то она долгое время была неизвестна. Лишь на рубеже веков эта проблема была полностью решена в работах Ю. Чо и Х. Кима [11], Дж. Мураками и У. Яно [19], Дж. Мураками и А. Ушиджимы [17], Д. А. Деревнина и А. Д. Медных [12], а также Дж. Мураками [18]. Нельзя не упомянуть, что еще в 1906 году итальянский герцог Г. Сфорца нашел формулу для вычисления объема неевклидова тетраэдра. К сожалению, выдающаяся работа Г. Сфорца [21] долгое время была полностью забыта и приобрела широкую известность лишь после дискуссии А. Д. Медных с Х. М. Монтезиносом на конференции в Испании в августе 2006 года. В 2002 году Я. Моханти [16] был вычислен объем симметричного идеального октаэдра, а в 2008 году Н. В. Абросимовым, М. Годой-Молина и А. Д. Медных [3] были получены формулы объемов трехмерных сферических многогранников, обладающих нетривиальными симметриями, в частности, mmmи 2|m-октаэдров. В 2011 году Г. А. Байгонакова, М. Годой-Молина и А. Д. Медных [5] вычислили объем гиперболического mmm-октаэдра в простейшей геометрической ситуации. Наконец, в 2013 году в работах Н. В. Абросимова и Г. В. Байгонаковой [2], а также В. А. Краснова [8] параллельно и независимо были получены формулы объема произвольного гиперболического mmm-октаэдра. Кроме того, в работе [7] предложена интегральная формула объема произвольного гиперболического октаэдра с 2|m-симметрией. В настоящей статье найдена явная интегральная формула объема произвольного компактного гиперболического октаэдра, обладающего mm2-симметрией, а также описан алгоритм вычисления объема mm2-октаэдров в сферическом пространстве. Стоит отметить, что полученный в работе результат является обобщением теоремы Р. В. Галиулина, С. Н. Михалева и И. Х. Сабитова [6] на случаи классических неевклидовых пространств. 2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Будем рассматривать задачу вычисления объема многогранника на трехмерной сфере S3 и в трехмерном гиперболическом пространстве H3. Кроме того, для простоты будем предполагать, что мы имеем дело с пространствами постоянной кривизны K = 1 и K = -1 соответственно. Одним из основных инструментов при вычислении объемов трехмерных неевклидовых многогранников является формула Шлефли для дифференциала объема. Заметим, что Л. Шлефли [20] доказал эту формулу для сферического n-мерного пространства, а позднее Х. Кнезер [13] обобщил ее и на гиперболический случай. Однако нас будет интересовать лишь ее частный случай, когда n = 3. Теорема 2.1 (дифференциальная формула Шлефли). Пусть P - выпуклый многогранник в пространстве S3 или H3. Если многогранник Р непрерывно деформируется в пространстве, не изменяя своего комбинаторного строения, а его двугранные углы изменяются дифференцируемым образом, то и объем V = V (P ) также изменяется дифференцируемым образом и его дифференциал выражается по формуле K dV = 1 2 li dαi, (2.1) i где K - кривизна пространства, li - длина i-го ребра многогранника, а суммирование ведется по всем ребрам многогранника P. При этом dαi обозначает дифференциал двугранного угла αi при i-м ребре. В дальнейшем нам также понадобится формула объема произвольного гиперболического тетраэдра, полученная в работе [12]. Теорема 2.2 (Д. А. Деревнин, А. Д. Медных, 2004). Пусть T = T (A, B, C, D, E, F ) - гиперболический тетраэдр, двугранные углы которого A, B, C лежат при одной вершине, а D, E, F - противолежащие им двугранные углы (рис. 2.1). Тогда объем гиперболического тетраэдра выражается интегралом по отрезку вещественной прямой с вещественнозначной подынтегральной функцией Z1 1 { sin ξ sin ξ+A+B+D+E ξ+A+C+D+F ξ+B+C+E+F 2 2 sin 2 sin 2 dξ, (2.2) V(T ) = - 4 ln cos ξ+A+B+C cos ξ+A+E+F cos ξ+B+D+F cos ξ+C+D+E где Z2 2 2 2 2 k2 k4 k Z1 = arctg 1 k - arctg , 3 Z = arctg k2 2 k1 а вещественные числа k1, k2, k3 и k4 имеют вид + arctg k4 , k3 k1 = -(cos (A + B + C + D + E + F )+ cos (A + D)+ cos (B + E)+ cos (C + F )+ + cos (D + E + F )+ cos (D + B + C)+ cos (A + E + C)+ cos (A + B + F )), О ФОРМУЛЕ ОБЪЕМА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ОКТАЭДРА С mm2-СИММЕТРИЕЙ 105 РИС. 2.1 k2 = sin (A + B + C + D + E + F )+ sin (A + D)+ sin (B + E)+ sin (C + F )+ + sin (D + E + F )+ sin (D + B + C)+ sin (A + E + C)+ sin (A + B + F )), k3 = 2(sin A sin D + sin B sin E + sin C sin F ), / k4 = k2 + k2 - k2. 1 2 3 Заметим, что доказательство этой формулы основывается на геометрических соотношениях между длинами ребер тетраэдра и его двугранными углами, определенных теоремой синусов- тангенсов. Кроме того, одним из ключевых шагов доказательства является применение дифференциальной формулы Шлефли (2.1). В работе [12] также было сказано, что из формулы Деревнина- Медных вытекает формула Мураками-Яно [19]. Однако формулу (2.2) можно легко получить и из формулы Мураками-Яно [19]. Так, в работе [7] приведен ее обратный вывод и, как следствие, получена интегральная формула объема гиперболического тетраэдра в терминах длин ребер. Далее, пусть по-прежнему T - неевклидов тетраэдр, двугранные углы которого суть A, B, C, D, E, F (рис. 2.1). Обозначим через ⎛ 1 - cos A - cos B - cos F ⎞ G = ∗- cos αij )i,j=1,2,3,4 = ⎜- cos A 1 - cos C - cos E⎟ ⎜ ⎟ ⎝- cos B - cos C 1 - cos D⎠ - cos F - cos E - cos D 1 матрицу Грама тетраэдра T. Рассмотрим присоединенную матрицу H = ∗cij )i,j=1,2,3,4, где cij = (-1)i+j Mij, при этом Mij - ij-й минор матрицы G. В следующей теореме приведены некоторые основные соотношения для двугранных углов и длин ребер гиперболического и сферического тетраэдра. Теорема 2.3. Пусть T = T (A, B, C, D, E, F ) - гиперболический (сферический) тетраэдр, двугранные углы которого A, B, C лежат при одной вершине, а D, E, F - противолежащие 106 В. А. КРАСНОВ, Э. Ш. ХИСЯМЕТДИНОВА РИС. 3.1 им двугранные углы (cм. рис. 2.1). Кроме того, пусть lij - длина ребра, соединяющего вершины vi и vj. Тогда: det G< 0 (det G> 0); (2.3) cii > 0; (2.4) cij cij √c ch lij = ii cjj √c (cos lij = ii cjj ), (2.5) В свою очередь, критерий существования гиперболического тетраэдра с наперед заданным набором двугранных углов дается теоремой, доказательство которой приведено в работе [22]. Теорема 2.4 (А. Ушиджима, 2013). Для существования гиперболического тетраэдра T = T (A, B, C, D, E, F ) необходимо и достаточно одновременное выполнение следующих условий: (sgnG = (3, 1) cij > 0, где i ±= j, при этом sgnG есть сигнатура матрица G. Наконец, для существования сферического тетраэдра с заданным набором двугранных углов необходимо и достаточно, чтобы его матрица Грама G была положительно определена [4]. 3. ОБЪЕМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ОКТАЭДРА С mm2-СИММЕТРИЕЙ 1. Гиперболический октаэдр с mmm-симметрией. Рассмотрим октаэдр O, обладающий mm2-симметрией, т. е. октаэдр, остающийся инвариантным при отражениях от двух взаимно перпендикулярных плоскостей, пересекающих O по его реберным циклам (рис. 3.1). Обозначим через A, B, C, D, E величины его двугранных углов. О ФОРМУЛЕ ОБЪЕМА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ОКТАЭДРА С mm2-СИММЕТРИЕЙ 107 РИС. 3.2 Очевидно, что mmm-октаэдр (рис. 3.2), т. е. октаэдр O = O(A, B, C), остающийся инвариантным при отражениях относительно трех взаимно перпендикулярных плоскостей, пересекающих его по реберным циклам, является частным случаем октаэдра с mm2-симметрией. Как было сказано во введении, объем гиперболического mmm-октаэдра параллельно и независимо был вычислен в работах [2, 8]. Теорема 3.1 (В. А. Краснов, 2013). Пусть O = O(A, B, C) - гиперболический октаэдр, обладающий mmm-симметрией. Тогда его объем V = V (O) выражается формулой Z˜1 { sin ξ cos 2ξ+A+B cos 2ξ+A+C cos 2ξ+B+C V (O) = -2 ln 2 4 4 4 dξ, (3.1) где Z˜2 4 cos cos cos 2ξ+A+B+π 2ξ+A+C+π 4 cos 2ξ+B+C+π 4 2ξ+3π 4 2A + π k˜2 ˜ Z˜1 = arctg k1 k˜2 ˜ Z˜2 = arctg k1 2B + π k˜4 3 - arctg k˜ , k˜4 3 + arctg k˜ , 2C + π 2A + 2B + 2C + π k˜1 = √2 sin 4 + sin 4 + sin 4 - sin 4 , 108 В. А. КРАСНОВ, Э. Ш. ХИСЯМЕТДИНОВА √ k˜2 = - 2 sin 2A - π 4 + sin 2B - π 4 + sin 2C - π 4 § sin 2A +2B +2C - π , 4 k˜3 = 2 A sin 2 B + sin 2 C + sin , 2 k˜4 = / 2 k˜1 2 + k˜2 2 - k˜3 . Теорема 3.2 (Абросимов, Байгонакова, 2013). Пусть O = O(A, B, C) - гиперболический октаэдр с mmm-симметрией. Тогда его объем V = V (O) отыскивается по формулам: 1. если 0 :( T :( 1, то τ { (1 - cos A)(cos A - cos t)(cos B - cos t)(cos C - cos t) V = - ln dt, (3.21) (1 + cos A)(cos A + cos t)(cos B + cos t)(cos C + cos t) 0 π где острый угол 0 <τ < 2 2. если T > 1, то находится из уравнения sin τ = T ; π 2 { V = 2 1 arctg + arctg cos A + arctg cos B + arctg cos C dη , (3.211) tgη θ π tgη tgη 1 tgη cos η где величина 0 <θ < 2 3. если T = 1, то находится из уравнения cos θ = T ; ⎛ arth(sin A) { xdx arth(sin B) { xdx arth(sin C) { ⎞ xdx V = 2 ⎜ + - ⎟ , (3.2111) при этом ⎝ chx 0 chx 0 chx ⎠ 0 /(1 + cos A)(1 + cos B)(1 + cos C) T = . 1+ cos A + cos B + cos C Замечание 3.1. Идея доказательства формулы (3.1) основана на выборе подходящей триангуляции mmm-октаэдра, последующим исключении возникающих вспомогательных параметров (двугранных углов) и вычислении объемов тетраэдров триангуляции по формуле Деревнина- Медных (2.2). В свою очередь, для доказательства справедливости формул (3.21)-(3.2111) в работе [2] проверяется, что соответствующие функции объема удовлетворяют дифференциальной формуле Шлефли (2.1) и некоторым начальным условиям (т. е. функции объема октаэдров с mmm-симметриями есть единственные решения некоторых задач Коши). Несмотря на то, что формулы (3.1) и (3.21)-(3.211) существенно отличаются по своей записи, на конкретных примерах они приводят к одинаковым результатам. Пример 3.1. Рассмотрим гиперболический mmm-октаэдр O = O(A, B, C), где A = B = 2π 2 , C = arccos . 3 5 Тогда по формулам (3.1) и (3.21) V (O) ≈ 0,948. Пример 3.2. Пусть O = O(A, B, C) - гиперболический октаэдр с mmm-симметрией, при этом пусть A = B = 2π 1 , C = arccos . 3 3 Согласно формулам (3.1) и (3.211), V (O) ≈ 0,661. Пример 3.3. Рассмотрим гиперболический mmm-октаэдр O = O(A, B, C). Пусть 2π A = B = 3 Тогда в силу (3.1) и (3.2111) V (O) ≈ 0,394. 1 , C = arccos . 4 О ФОРМУЛЕ ОБЪЕМА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ОКТАЭДРА С mm2-СИММЕТРИЕЙ 109 Замечание 3.2. Заметим, что метод, основанный на применении формулы Шлефли (2.1), может быть использован и при доказательстве формулы (3.1). А именно, используя метрические соотношения между длинами ребер и двугранными углами гиперболического тетраэдра (теорема 2.3, формула (2.5)), элементарными вычислениями можно легко установить, что длины ребер двугранных углов A, B , C тетраэдра T˜ равны длинам ребер двугранных углов A, B, C октаэдра 2 2 2 O соответственно [5]. Значит, если подходящим образом склеить 8 одинаковых экземпляров T˜, то получится в точности гиперболический mmm-октаэдр O(A, B, C). Заметим, что в работах [2, 8] приведены разные доказательства критерия существования гиперболического октаэдра с mmm-симметрией. В заключение данного пункта мы докажем критерий существования сферического mmm-октаэдра O = O(A, B, C) с заданным набором двугранных углов. Лемма 3.1. Для существования сферического mmm-октаэдра O = O(A, B, C) (рис. 3.1) необходимо и достаточно выполнения следующей системы условий: 2 ⎧ A B ⎪⎨cos2 + cos < 1, 2 2 ⎪⎩cos2 A - sin2 B - cos2 C < 0. 2 2 2 Доказательство. Из определения октаэдра с mmm-симметрией следует, что существование mmm-октаэдра O = O(A, B, C) равносильно существованию сферического тетраэдра T˜ = T˜( A, B , C , π , π , π \\ с матрицей Грама 2 2 2 2 2 2 ⎛ A 2 1 - cos ⎜ ⎜ B § cos 2 C ⎞ 2 § cos ⎟ ⎟ ⎜ A G(T˜) = - ⎜ cos ⎜ 2 ⎜ B ⎜ 1 0 0 ⎟ ⎟ . ⎟ ⎟ ⎟ 2 ⎜- cos 0 1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ C ⎠ - cos 2 0 0 1 Применяя к G критерий Сильвестра (квадратичная форма с матрицей G должна быть положительно определена), получаем требуемую систему. 2. Гиперболический октаэдр с mm2-симметрией. А теперь рассмотрим задачу вычисления объема произвольного компактного гиперболического октаэдра, обладающего mm2-симметрией (рис. 3.1). Для вычисления объема гиперболического октаэдра O, допускающего mm2-симметрию, рассмотрим его разбиение на тетраэдры T1, T2, T3 и T4 с вершинами (1234), (1245), (2346) и (2456) соответственно. Так как плоскость (1264) является плоскостью симметрии нашего октаэдра, то тетраэдры T1 и T2, а также T3 и T4 попарно конгруэнтны. Следовательно, вычисление объема октаэдра V = V (O) в нашем случае сводится к вычислению объемов тетраэдров T1 и T3: V (O) = 2 · V (T1)+2 · V (T3). (3.3) В свою очередь, для вычисления объемов тетраэдров триангуляции нам достаточно найти двугранный угол x при основании четырехугольной гиперболической пирамиды (12345). Для нахождения x мы, как и в случае октаэдров с mmmи 2|m-симметриями (см. [2, 5, 8]), будем использовать технику, заключающуюся в описании сферы бесконечно малого радиуса, центр которой совпадает с некоторой вершиной многогранника, и последующим применением сферической теоремы косинусов [9]. Вначале опишем сферу бесконечного малого радиуса с центром в вершине 2 и найдем ее пересечение с тетраэдром (1234). Далее, обозначим плоский угол грани (123) при вершине 2 через α. Не нарушая общности, предположим, что ее пересечение с тетраэдром триангуляции (1234) есть 110 В. А. КРАСНОВ, Э. Ш. ХИСЯМЕТДИНОВА сферический прямоугольный треугольник с внутренними углами x, A и π 2 2 и гипотенузой α [9]. Запишем сферическую теорему Пифагора для этого треугольника: A cos α = ctgx · ctg 2 , откуда x = arctg cos α 2 ctg A . (3.4) Найдем плоский угол α, предварительно рассмотрев четырехугольную пирамиду (12643) и описав сферу бесконечного малого радиуса с центром в вершине 2. Как и ранее, предположим, что полученное пересечение сферы и многогранника представляет собой сферический треугольник с углами E, A и C 2 2 и стороной α, лежащей против угла C 2 [9]. Применим теперь к полученному треугольнику вторую теорему косинусов и выразим cos α. Окончательно имеем: cos C + cos A cos E cos α = 2 2 . (3.5) 2 sin A sin E Наконец, подставив (3.5) в (3.4), получим выражение неизвестного двугранного угла x через двугранные углы исходного октаэдра: cos C + cos A cos E x = arcctg 2 2 . (3.6) 2 cos A sin E Таким образом, гиперболический октаэдр, обладающий mm2-симметрией, однозначно с точностью до движения определяется своими двугранными углами A, B, C, D и E, т. е. O = O(A, B, C, D, E). Вычислив теперь объемы тетраэдров триангуляции T1 и T3 по формуле Деревнина- Медных (2.2) и воспользовавшись формулой (3.3), мы получим следующую теорему. Теорема 3.3. Пусть O = O(A, B, C, D, E) - гиперболический октаэдр, обладающий mm2симметрией. Тогда его объем V = V (O) выражается формулой где V (O) = 2V ( A , B, 2 A , λ, 2 π C , λ)+ 2V ( 2 2 , D, C 2 ,E - λ, π 2 ,E - λ), (3.7) cos C + cos A cos E λ = arcctg 2 2 , 2 cos A sin E z1 1 { sin ξ sin ξ+α+β+δ+Е ξ+α+γ+δ+ζ ξ+β+γ+Е+ζ 2 2 sin 2 sin 2 V (α, β, γ, δ, β, ζ) = - 4 ln cos ξ+α+β+γ cos ξ+α+Е+ζ cos ξ+β+δ+ζ cos ξ+γ+δ+Е z2 2 2 2 k2 k4 dξ, 2 k z1 = arctg 1 k - arctg , 3 z = arctg k2 2 k1 + arctg k4 , k3 k1 = -(cos (α + β + γ + δ + β + ζ)+ cos (α + δ)+ cos (β + β)+ cos (γ + ζ)+ + cos (δ + β + ζ)+ cos (δ + β + γ)+ cos (α + β + γ)+ cos (α + β + ζ)), k2 = sin (α + β + γ + δ + β + ζ)+ sin (α + δ)+ sin (β + β)+ sin (γ + ζ)+ + sin (δ + β + ζ)+ sin (δ + β + γ)+ sin (α + β + γ)+ sin (α + β + ζ)), k3 = 2(sin α sin δ + sin β sin β + sin γ sin ζ), / k4 = k2 + k2 - k2. 1 2 3 О ФОРМУЛЕ ОБЪЕМА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ОКТАЭДРА С mm2-СИММЕТРИЕЙ 111 Таким образом, формула (3.7) является интегральной формулой, выражающей объем произвольного гиперболического октаэдра, обладающего mm2-симметрией, через величины двугранных углов. Что касается сферического октаэдра, обладающего mm2-симметрией, то здесь вместо формулы Деревнина-Медных [12] для вычислении объема тетраэдра триангуляции можно использовать формулу Мураками [18] объема произвольного сферического тетраэдра в терминах двугранных углов, а вспомогательный параметр λ будет выражаться через двугранные углы A, C и E исходного октаэдра O = O(A, B, C, D, E) точно так же, как и в гиперболическом случае [9]. Нетрудно заметить, что существование неевклидова октаэдра O = O(A, B, C, D, E) с A mm2-симметрией равносильно существованию тетраэдров T1 = T1( , C 2 B π π π \\ , , , ,λ 2 2 2 2 и T1 = T1( , 2 D π π , , , 2 2 2 π \\ 2 ,E - λ (E > λ) с равными ребрами (23), (34) и (24) (см. рис. 3.1). Таким образом, используя теоремы 2.3, 2.4, а также условие положительной определенности матрицы Грама сферического тетраэдра (см. раздел 2), можно сформулировать критерии существования гиперболического и сферического октаэдра с mm2-симметрией с наперед заданными наборами двугранных углов (A, B, C, D, E). Лемма 3.2. Для существования компактного гиперболического mm2-октаэдра O = O(A, B, C, D, E) (рис. 3.1) необходимо и достаточно выполнения следующей системы условий: ⎧signG1 = (3, 1), ⎪ ⎪signG2 = (3, 1), ⎪ ⎪ ij ⎪c1 > 0,i ±= j, ⎪c2 ⎪ ij ⎪ > 0,i =± j, c1 2 ⎨ 23 = c23 , ⎪ c1 1 c2 2 22c33 c ⎪ 1 ⎪ 13 22c33 c2 = 13 , ⎪ 1 1 2 2 ⎪ c11 ⎪ c33 c11 c33 c 1 ⎪ 12 ⎪ c2 = 12 , ⎩ c1 1 c2 2 где матрицы G1 и G2 имеют вид: ⎛ ⎜ ⎜ 11c22 A 1 - cos 2 A 11c22 ⎞ - cos B - cos λ ⎟ A ⎟ ⎜ , ⎟ G1 = ⎜- cos 2 1 - cos 2 0 ⎟ ⎜ ⎜ A ⎝- cos B - cos 2 ⎟ - 1 cos λ⎟ ⎠ - cos λ 0 - cos λ 1 ⎛ C ⎞ 1 - cos ⎜ 2 C ⎜ - cos D - cos (E - λ) ⎟ C ⎟ ⎜ G2 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ , ⎟ § cos 2 1 - cos 2 0 ⎟ C ⎟ ⎠ § cos D - cos 2 1 - cos (E - λ)⎟ § cos (E - λ) 0 - cos (E - λ) 1 а c 1 ij но. и c ij 2 - суть алгебраические дополнения к ij-м элементам матриц G1 и G2 соответствен- Замечание 3.3. В условиях теоремы 3.3 и леммы 3.2 мы предполагаем, что среди вершин октаэдра O нет бесконечно удаленных. Заметим, что если идеальными являются вершины (2.1) и (или) (3.4), то лемма 3.1 также справедлива. В случае, если среди бесконечно удаленных вершин находятся вершины гиперболического ромба (2345), то вычисление объема O = O(A, B, C, D, E) легко сводится к проблеме вычисления объемов тетраэдров с идеальными вершинами, полностью решенной в работе [4]. 112 В. А. КРАСНОВ, Э. Ш. ХИСЯМЕТДИНОВА Лемма 3.3. Для существования сферического mm2-октаэдра O = O(A, B, C, D, E) (рис. 3.1) необходимо и достаточно выполнения следующей системы условий: c ⎧ 1 ⎪ 23 c2 = 23 , ⎪ 22c33 c22c33 c1 1 2 2 ⎪ ⎪ c1 c2 , ⎪ 13 ⎪ = 13 ⎪ c1 1 c2 2 11c33 c ⎪ 1 ⎪ ⎨⎪ 12 11c33 c 2 = 12 , c1 1 c2 2 11c22 ⎪ 11c22 detG1 > 0, ⎪ ⎪detG1 > 0, ⎪ 2 - 2 A ⎪ ⎪sin B 2cos (1 + cos B) > 0, ⎪ ⎪ 2 ⎩ - ⎪⎪sin2D 2cos2 C 2 (1 + cos D) > 0, ij где c1 и c ij 2 - алгебраические дополнения к ij-м элементам матриц G1 и G2 соответственно, при этом: ⎛ A 1 - cos ⎜ 2 A ⎜ ⎞ - cos B - cos λ ⎟ A ⎟ ⎜ , ⎟ A G1 = ⎜- cos 2 1 - cos 2 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝- cos B - cos 2 1 - cos λ⎠ - cos λ 0 - cos λ 1 ⎛ C ⎞ 1 - cos ⎜ 2 C ⎜ - cos D - cos (E - λ) ⎟ C ⎟ ⎜ G2 = ⎜ ⎜ ⎜ . ⎟ - cos 2 1 - cos 2 0 ⎟ C ⎟ ⎟ ⎝ - cos D - cos 2 1 - cos (E - λ)⎠ - cos (E - λ) 0 - cos (E - λ) 1 3. Проверка формулы (3.7). Как было сказано выше, mmm-симметрия является частным случаем mm2-симметрии. Поэтому с помощью формулы (3.7) можно считать объемы произвольных гиперболических mmm-октаэдров. Вычисляя объемы октаэдров из примеров 3.1-3.3 с помощью программы MathCad по формуле (3.7), можно убедиться, что формулы из теорем 3.1, 3.2 и 3.3 приводят нас к одинаковым результатам.