О формуле объема гиперболического октаэдра с mm2-симметрией

Аннотация

В настоящей работе получены явные интегральные формулы объема произвольных компактных гиперболических октаэдров, обладающих mm2-симметрией, в терминах двугранных углов, а также указан алгоритм вычисления объема таких октаэдров в сферическом пространстве.

Полный текст

1. ВВЕДЕНИЕ Вычисление объемов является очень старой и сложной проблемой, берущей свое начало во времена античной математики и не потерявшей актуальности по сей день. По-видимому, первый серьезный результат об объеме треугольной пирамиды получен еще Архимедом, а в 16-м веке Тарталья выразил объем евклидова тетраэдра через квадраты длин его ребер. В настоящее время результат Тартальи известен как детерминантная формула Кэли-Менгера. Заметим, что аналогичная формула имеет место и для симплексов произвольной размерности. В сферическом и гиперболическом случаях ситуация более сложная. Объем бипрямоугольного тетраэдра (ортосхемы) в сферическом случае был найден Л. Шлефли [20], а Н. И. Лобачевский [9] и Я. Бойяи [10] независимо друг от друга вычислили объем гиперболической ортосхемы. Объем идеального гиперболического тетраэдра был найден еще в 1835 году Н. И. Лобачевским [9], а в 1982 году Дж. Милнор [15] представил этот результат в более компактном виде. В свою очередь, Э. Б. Винбергом [4] были получены формулы объема гиперболических идеальных пирамид, а также тетраэдров, имеющих одну, две и три вершины на бесконечности. Что касается формулы объема произвольного неевклидова тетраэдра, то она долгое время была неизвестна. Лишь на рубеже веков эта проблема была полностью решена в работах Ю. Чо и Х. Кима [11], Дж. Мураками и У. Яно [19], Дж. Мураками и А. Ушиджимы [17], Д. А. Деревнина и А. Д. Медных [12], а также Дж. Мураками [18]. Нельзя не упомянуть, что еще в 1906 году итальянский герцог Г. Сфорца нашел формулу для вычисления объема неевклидова тетраэдра. К сожалению, выдающаяся работа Г. Сфорца [21] долгое время была полностью забыта и приобрела широкую известность лишь после дискуссии А. Д. Медных с Х. М. Монтезиносом на конференции в Испании в августе 2006 года. В 2002 году Я. Моханти [16] был вычислен объем симметричного идеального октаэдра, а в 2008 году Н. В. Абросимовым, М. Годой-Молина и А. Д. Медных [3] были получены формулы объемов трехмерных сферических многогранников, обладающих нетривиальными симметриями, в частности, mmmи 2|m-октаэдров. В 2011 году Г. А. Байгонакова, М. Годой-Молина и А. Д. Медных [5] вычислили объем гиперболического mmm-октаэдра в простейшей геометрической ситуации. Наконец, в 2013 году в работах Н. В. Абросимова и Г. В. Байгонаковой [2], а также В. А. Краснова [8] параллельно и независимо были получены формулы объема произвольного гиперболического mmm-октаэдра. Кроме того, в работе [7] предложена интегральная формула объема произвольного гиперболического октаэдра с 2|m-симметрией. В настоящей статье найдена явная интегральная формула объема произвольного компактного гиперболического октаэдра, обладающего mm2-симметрией, а также описан алгоритм вычисления объема mm2-октаэдров в сферическом пространстве. Стоит отметить, что полученный в работе результат является обобщением теоремы Р. В. Галиулина, С. Н. Михалева и И. Х. Сабитова [6] на случаи классических неевклидовых пространств. 2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Будем рассматривать задачу вычисления объема многогранника на трехмерной сфере S3 и в трехмерном гиперболическом пространстве H3. Кроме того, для простоты будем предполагать, что мы имеем дело с пространствами постоянной кривизны K = 1 и K = -1 соответственно. Одним из основных инструментов при вычислении объемов трехмерных неевклидовых многогранников является формула Шлефли для дифференциала объема. Заметим, что Л. Шлефли [20] доказал эту формулу для сферического n-мерного пространства, а позднее Х. Кнезер [13] обобщил ее и на гиперболический случай. Однако нас будет интересовать лишь ее частный случай, когда n = 3. Теорема 2.1 (дифференциальная формула Шлефли). Пусть P - выпуклый многогранник в пространстве S3 или H3. Если многогранник Р непрерывно деформируется в пространстве, не изменяя своего комбинаторного строения, а его двугранные углы изменяются дифференцируемым образом, то и объем V = V (P ) также изменяется дифференцируемым образом и его дифференциал выражается по формуле K dV = 1 2 li dαi, (2.1) i где K - кривизна пространства, li - длина i-го ребра многогранника, а суммирование ведется по всем ребрам многогранника P. При этом dαi обозначает дифференциал двугранного угла αi при i-м ребре. В дальнейшем нам также понадобится формула объема произвольного гиперболического тетраэдра, полученная в работе [12]. Теорема 2.2 (Д. А. Деревнин, А. Д. Медных, 2004). Пусть T = T (A, B, C, D, E, F ) - гиперболический тетраэдр, двугранные углы которого A, B, C лежат при одной вершине, а D, E, F - противолежащие им двугранные углы (рис. 2.1). Тогда объем гиперболического тетраэдра выражается интегралом по отрезку вещественной прямой с вещественнозначной подынтегральной функцией Z1 1 { sin ξ sin ξ+A+B+D+E ξ+A+C+D+F ξ+B+C+E+F 2 2 sin 2 sin 2 dξ, (2.2) V(T ) = - 4 ln cos ξ+A+B+C cos ξ+A+E+F cos ξ+B+D+F cos ξ+C+D+E где Z2 2 2 2 2 k2 k4 k Z1 = arctg 1 k - arctg , 3 Z = arctg k2 2 k1 а вещественные числа k1, k2, k3 и k4 имеют вид + arctg k4 , k3 k1 = -(cos (A + B + C + D + E + F )+ cos (A + D)+ cos (B + E)+ cos (C + F )+ + cos (D + E + F )+ cos (D + B + C)+ cos (A + E + C)+ cos (A + B + F )), О ФОРМУЛЕ ОБЪЕМА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ОКТАЭДРА С mm2-СИММЕТРИЕЙ 105 РИС. 2.1 k2 = sin (A + B + C + D + E + F )+ sin (A + D)+ sin (B + E)+ sin (C + F )+ + sin (D + E + F )+ sin (D + B + C)+ sin (A + E + C)+ sin (A + B + F )), k3 = 2(sin A sin D + sin B sin E + sin C sin F ), / k4 = k2 + k2 - k2. 1 2 3 Заметим, что доказательство этой формулы основывается на геометрических соотношениях между длинами ребер тетраэдра и его двугранными углами, определенных теоремой синусов- тангенсов. Кроме того, одним из ключевых шагов доказательства является применение дифференциальной формулы Шлефли (2.1). В работе [12] также было сказано, что из формулы Деревнина- Медных вытекает формула Мураками-Яно [19]. Однако формулу (2.2) можно легко получить и из формулы Мураками-Яно [19]. Так, в работе [7] приведен ее обратный вывод и, как следствие, получена интегральная формула объема гиперболического тетраэдра в терминах длин ребер. Далее, пусть по-прежнему T - неевклидов тетраэдр, двугранные углы которого суть A, B, C, D, E, F (рис. 2.1). Обозначим через ⎛ 1 - cos A - cos B - cos F ⎞ G = ∗- cos αij )i,j=1,2,3,4 = ⎜- cos A 1 - cos C - cos E⎟ ⎜ ⎟ ⎝- cos B - cos C 1 - cos D⎠ - cos F - cos E - cos D 1 матрицу Грама тетраэдра T. Рассмотрим присоединенную матрицу H = ∗cij )i,j=1,2,3,4, где cij = (-1)i+j Mij, при этом Mij - ij-й минор матрицы G. В следующей теореме приведены некоторые основные соотношения для двугранных углов и длин ребер гиперболического и сферического тетраэдра. Теорема 2.3. Пусть T = T (A, B, C, D, E, F ) - гиперболический (сферический) тетраэдр, двугранные углы которого A, B, C лежат при одной вершине, а D, E, F - противолежащие 106 В. А. КРАСНОВ, Э. Ш. ХИСЯМЕТДИНОВА РИС. 3.1 им двугранные углы (cм. рис. 2.1). Кроме того, пусть lij - длина ребра, соединяющего вершины vi и vj. Тогда: det G< 0 (det G> 0); (2.3) cii > 0; (2.4) cij cij √c ch lij = ii cjj √c (cos lij = ii cjj ), (2.5) В свою очередь, критерий существования гиперболического тетраэдра с наперед заданным набором двугранных углов дается теоремой, доказательство которой приведено в работе [22]. Теорема 2.4 (А. Ушиджима, 2013). Для существования гиперболического тетраэдра T = T (A, B, C, D, E, F ) необходимо и достаточно одновременное выполнение следующих условий: (sgnG = (3, 1) cij > 0, где i ±= j, при этом sgnG есть сигнатура матрица G. Наконец, для существования сферического тетраэдра с заданным набором двугранных углов необходимо и достаточно, чтобы его матрица Грама G была положительно определена [4]. 3. ОБЪЕМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ОКТАЭДРА С mm2-СИММЕТРИЕЙ 1. Гиперболический октаэдр с mmm-симметрией. Рассмотрим октаэдр O, обладающий mm2-симметрией, т. е. октаэдр, остающийся инвариантным при отражениях от двух взаимно перпендикулярных плоскостей, пересекающих O по его реберным циклам (рис. 3.1). Обозначим через A, B, C, D, E величины его двугранных углов. О ФОРМУЛЕ ОБЪЕМА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ОКТАЭДРА С mm2-СИММЕТРИЕЙ 107 РИС. 3.2 Очевидно, что mmm-октаэдр (рис. 3.2), т. е. октаэдр O = O(A, B, C), остающийся инвариантным при отражениях относительно трех взаимно перпендикулярных плоскостей, пересекающих его по реберным циклам, является частным случаем октаэдра с mm2-симметрией. Как было сказано во введении, объем гиперболического mmm-октаэдра параллельно и независимо был вычислен в работах [2, 8]. Теорема 3.1 (В. А. Краснов, 2013). Пусть O = O(A, B, C) - гиперболический октаэдр, обладающий mmm-симметрией. Тогда его объем V = V (O) выражается формулой Z˜1 { sin ξ cos 2ξ+A+B cos 2ξ+A+C cos 2ξ+B+C V (O) = -2 ln 2 4 4 4 dξ, (3.1) где Z˜2 4 cos cos cos 2ξ+A+B+π 2ξ+A+C+π 4 cos 2ξ+B+C+π 4 2ξ+3π 4 2A + π k˜2 ˜ Z˜1 = arctg k1 k˜2 ˜ Z˜2 = arctg k1 2B + π k˜4 3 - arctg k˜ , k˜4 3 + arctg k˜ , 2C + π 2A + 2B + 2C + π k˜1 = √2 sin 4 + sin 4 + sin 4 - sin 4 , 108 В. А. КРАСНОВ, Э. Ш. ХИСЯМЕТДИНОВА √ k˜2 = - 2 sin 2A - π 4 + sin 2B - π 4 + sin 2C - π 4 § sin 2A +2B +2C - π , 4 k˜3 = 2 A sin 2 B + sin 2 C + sin , 2 k˜4 = / 2 k˜1 2 + k˜2 2 - k˜3 . Теорема 3.2 (Абросимов, Байгонакова, 2013). Пусть O = O(A, B, C) - гиперболический октаэдр с mmm-симметрией. Тогда его объем V = V (O) отыскивается по формулам: 1. если 0 :( T :( 1, то τ { (1 - cos A)(cos A - cos t)(cos B - cos t)(cos C - cos t) V = - ln dt, (3.21) (1 + cos A)(cos A + cos t)(cos B + cos t)(cos C + cos t) 0 π где острый угол 0 <τ < 2 2. если T > 1, то находится из уравнения sin τ = T ; π 2 { V = 2 1 arctg + arctg cos A + arctg cos B + arctg cos C dη , (3.211) tgη θ π tgη tgη 1 tgη cos η где величина 0 <θ < 2 3. если T = 1, то находится из уравнения cos θ = T ; ⎛ arth(sin A) { xdx arth(sin B) { xdx arth(sin C) { ⎞ xdx V = 2 ⎜ + - ⎟ , (3.2111) при этом ⎝ chx 0 chx 0 chx ⎠ 0 /(1 + cos A)(1 + cos B)(1 + cos C) T = . 1+ cos A + cos B + cos C Замечание 3.1. Идея доказательства формулы (3.1) основана на выборе подходящей триангуляции mmm-октаэдра, последующим исключении возникающих вспомогательных параметров (двугранных углов) и вычислении объемов тетраэдров триангуляции по формуле Деревнина- Медных (2.2). В свою очередь, для доказательства справедливости формул (3.21)-(3.2111) в работе [2] проверяется, что соответствующие функции объема удовлетворяют дифференциальной формуле Шлефли (2.1) и некоторым начальным условиям (т. е. функции объема октаэдров с mmm-симметриями есть единственные решения некоторых задач Коши). Несмотря на то, что формулы (3.1) и (3.21)-(3.211) существенно отличаются по своей записи, на конкретных примерах они приводят к одинаковым результатам. Пример 3.1. Рассмотрим гиперболический mmm-октаэдр O = O(A, B, C), где A = B = 2π 2 , C = arccos . 3 5 Тогда по формулам (3.1) и (3.21) V (O) ≈ 0,948. Пример 3.2. Пусть O = O(A, B, C) - гиперболический октаэдр с mmm-симметрией, при этом пусть A = B = 2π 1 , C = arccos . 3 3 Согласно формулам (3.1) и (3.211), V (O) ≈ 0,661. Пример 3.3. Рассмотрим гиперболический mmm-октаэдр O = O(A, B, C). Пусть 2π A = B = 3 Тогда в силу (3.1) и (3.2111) V (O) ≈ 0,394. 1 , C = arccos . 4 О ФОРМУЛЕ ОБЪЕМА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ОКТАЭДРА С mm2-СИММЕТРИЕЙ 109 Замечание 3.2. Заметим, что метод, основанный на применении формулы Шлефли (2.1), может быть использован и при доказательстве формулы (3.1). А именно, используя метрические соотношения между длинами ребер и двугранными углами гиперболического тетраэдра (теорема 2.3, формула (2.5)), элементарными вычислениями можно легко установить, что длины ребер двугранных углов A, B , C тетраэдра T˜ равны длинам ребер двугранных углов A, B, C октаэдра 2 2 2 O соответственно [5]. Значит, если подходящим образом склеить 8 одинаковых экземпляров T˜, то получится в точности гиперболический mmm-октаэдр O(A, B, C). Заметим, что в работах [2, 8] приведены разные доказательства критерия существования гиперболического октаэдра с mmm-симметрией. В заключение данного пункта мы докажем критерий существования сферического mmm-октаэдра O = O(A, B, C) с заданным набором двугранных углов. Лемма 3.1. Для существования сферического mmm-октаэдра O = O(A, B, C) (рис. 3.1) необходимо и достаточно выполнения следующей системы условий: 2 ⎧ A B ⎪⎨cos2 + cos < 1, 2 2 ⎪⎩cos2 A - sin2 B - cos2 C < 0. 2 2 2 Доказательство. Из определения октаэдра с mmm-симметрией следует, что существование mmm-октаэдра O = O(A, B, C) равносильно существованию сферического тетраэдра T˜ = T˜( A, B , C , π , π , π \\ с матрицей Грама 2 2 2 2 2 2 ⎛ A 2 1 - cos ⎜ ⎜ B § cos 2 C ⎞ 2 § cos ⎟ ⎟ ⎜ A G(T˜) = - ⎜ cos ⎜ 2 ⎜ B ⎜ 1 0 0 ⎟ ⎟ . ⎟ ⎟ ⎟ 2 ⎜- cos 0 1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ C ⎠ - cos 2 0 0 1 Применяя к G критерий Сильвестра (квадратичная форма с матрицей G должна быть положительно определена), получаем требуемую систему. 2. Гиперболический октаэдр с mm2-симметрией. А теперь рассмотрим задачу вычисления объема произвольного компактного гиперболического октаэдра, обладающего mm2-симметрией (рис. 3.1). Для вычисления объема гиперболического октаэдра O, допускающего mm2-симметрию, рассмотрим его разбиение на тетраэдры T1, T2, T3 и T4 с вершинами (1234), (1245), (2346) и (2456) соответственно. Так как плоскость (1264) является плоскостью симметрии нашего октаэдра, то тетраэдры T1 и T2, а также T3 и T4 попарно конгруэнтны. Следовательно, вычисление объема октаэдра V = V (O) в нашем случае сводится к вычислению объемов тетраэдров T1 и T3: V (O) = 2 · V (T1)+2 · V (T3). (3.3) В свою очередь, для вычисления объемов тетраэдров триангуляции нам достаточно найти двугранный угол x при основании четырехугольной гиперболической пирамиды (12345). Для нахождения x мы, как и в случае октаэдров с mmmи 2|m-симметриями (см. [2, 5, 8]), будем использовать технику, заключающуюся в описании сферы бесконечно малого радиуса, центр которой совпадает с некоторой вершиной многогранника, и последующим применением сферической теоремы косинусов [9]. Вначале опишем сферу бесконечного малого радиуса с центром в вершине 2 и найдем ее пересечение с тетраэдром (1234). Далее, обозначим плоский угол грани (123) при вершине 2 через α. Не нарушая общности, предположим, что ее пересечение с тетраэдром триангуляции (1234) есть 110 В. А. КРАСНОВ, Э. Ш. ХИСЯМЕТДИНОВА сферический прямоугольный треугольник с внутренними углами x, A и π 2 2 и гипотенузой α [9]. Запишем сферическую теорему Пифагора для этого треугольника: A cos α = ctgx · ctg 2 , откуда x = arctg cos α 2 ctg A . (3.4) Найдем плоский угол α, предварительно рассмотрев четырехугольную пирамиду (12643) и описав сферу бесконечного малого радиуса с центром в вершине 2. Как и ранее, предположим, что полученное пересечение сферы и многогранника представляет собой сферический треугольник с углами E, A и C 2 2 и стороной α, лежащей против угла C 2 [9]. Применим теперь к полученному треугольнику вторую теорему косинусов и выразим cos α. Окончательно имеем: cos C + cos A cos E cos α = 2 2 . (3.5) 2 sin A sin E Наконец, подставив (3.5) в (3.4), получим выражение неизвестного двугранного угла x через двугранные углы исходного октаэдра: cos C + cos A cos E x = arcctg 2 2 . (3.6) 2 cos A sin E Таким образом, гиперболический октаэдр, обладающий mm2-симметрией, однозначно с точностью до движения определяется своими двугранными углами A, B, C, D и E, т. е. O = O(A, B, C, D, E). Вычислив теперь объемы тетраэдров триангуляции T1 и T3 по формуле Деревнина- Медных (2.2) и воспользовавшись формулой (3.3), мы получим следующую теорему. Теорема 3.3. Пусть O = O(A, B, C, D, E) - гиперболический октаэдр, обладающий mm2симметрией. Тогда его объем V = V (O) выражается формулой где V (O) = 2V ( A , B, 2 A , λ, 2 π C , λ)+ 2V ( 2 2 , D, C 2 ,E - λ, π 2 ,E - λ), (3.7) cos C + cos A cos E λ = arcctg 2 2 , 2 cos A sin E z1 1 { sin ξ sin ξ+α+β+δ+Е ξ+α+γ+δ+ζ ξ+β+γ+Е+ζ 2 2 sin 2 sin 2 V (α, β, γ, δ, β, ζ) = - 4 ln cos ξ+α+β+γ cos ξ+α+Е+ζ cos ξ+β+δ+ζ cos ξ+γ+δ+Е z2 2 2 2 k2 k4 dξ, 2 k z1 = arctg 1 k - arctg , 3 z = arctg k2 2 k1 + arctg k4 , k3 k1 = -(cos (α + β + γ + δ + β + ζ)+ cos (α + δ)+ cos (β + β)+ cos (γ + ζ)+ + cos (δ + β + ζ)+ cos (δ + β + γ)+ cos (α + β + γ)+ cos (α + β + ζ)), k2 = sin (α + β + γ + δ + β + ζ)+ sin (α + δ)+ sin (β + β)+ sin (γ + ζ)+ + sin (δ + β + ζ)+ sin (δ + β + γ)+ sin (α + β + γ)+ sin (α + β + ζ)), k3 = 2(sin α sin δ + sin β sin β + sin γ sin ζ), / k4 = k2 + k2 - k2. 1 2 3 О ФОРМУЛЕ ОБЪЕМА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ОКТАЭДРА С mm2-СИММЕТРИЕЙ 111 Таким образом, формула (3.7) является интегральной формулой, выражающей объем произвольного гиперболического октаэдра, обладающего mm2-симметрией, через величины двугранных углов. Что касается сферического октаэдра, обладающего mm2-симметрией, то здесь вместо формулы Деревнина-Медных [12] для вычислении объема тетраэдра триангуляции можно использовать формулу Мураками [18] объема произвольного сферического тетраэдра в терминах двугранных углов, а вспомогательный параметр λ будет выражаться через двугранные углы A, C и E исходного октаэдра O = O(A, B, C, D, E) точно так же, как и в гиперболическом случае [9]. Нетрудно заметить, что существование неевклидова октаэдра O = O(A, B, C, D, E) с A mm2-симметрией равносильно существованию тетраэдров T1 = T1( , C 2 B π π π \\ , , , ,λ 2 2 2 2 и T1 = T1( , 2 D π π , , , 2 2 2 π \\ 2 ,E - λ (E > λ) с равными ребрами (23), (34) и (24) (см. рис. 3.1). Таким образом, используя теоремы 2.3, 2.4, а также условие положительной определенности матрицы Грама сферического тетраэдра (см. раздел 2), можно сформулировать критерии существования гиперболического и сферического октаэдра с mm2-симметрией с наперед заданными наборами двугранных углов (A, B, C, D, E). Лемма 3.2. Для существования компактного гиперболического mm2-октаэдра O = O(A, B, C, D, E) (рис. 3.1) необходимо и достаточно выполнения следующей системы условий: ⎧signG1 = (3, 1), ⎪ ⎪signG2 = (3, 1), ⎪ ⎪ ij ⎪c1 > 0,i ±= j, ⎪c2 ⎪ ij ⎪ > 0,i =± j, c1 2 ⎨ 23 = c23 , ⎪ c1 1 c2 2 22c33 c ⎪ 1 ⎪ 13 22c33 c2 = 13 , ⎪ 1 1 2 2 ⎪ c11 ⎪ c33 c11 c33 c 1 ⎪ 12 ⎪ c2 = 12 , ⎩ c1 1 c2 2 где матрицы G1 и G2 имеют вид: ⎛ ⎜ ⎜ 11c22 A 1 - cos 2 A 11c22 ⎞ - cos B - cos λ ⎟ A ⎟ ⎜ , ⎟ G1 = ⎜- cos 2 1 - cos 2 0 ⎟ ⎜ ⎜ A ⎝- cos B - cos 2 ⎟ - 1 cos λ⎟ ⎠ - cos λ 0 - cos λ 1 ⎛ C ⎞ 1 - cos ⎜ 2 C ⎜ - cos D - cos (E - λ) ⎟ C ⎟ ⎜ G2 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ , ⎟ § cos 2 1 - cos 2 0 ⎟ C ⎟ ⎠ § cos D - cos 2 1 - cos (E - λ)⎟ § cos (E - λ) 0 - cos (E - λ) 1 а c 1 ij но. и c ij 2 - суть алгебраические дополнения к ij-м элементам матриц G1 и G2 соответствен- Замечание 3.3. В условиях теоремы 3.3 и леммы 3.2 мы предполагаем, что среди вершин октаэдра O нет бесконечно удаленных. Заметим, что если идеальными являются вершины (2.1) и (или) (3.4), то лемма 3.1 также справедлива. В случае, если среди бесконечно удаленных вершин находятся вершины гиперболического ромба (2345), то вычисление объема O = O(A, B, C, D, E) легко сводится к проблеме вычисления объемов тетраэдров с идеальными вершинами, полностью решенной в работе [4]. 112 В. А. КРАСНОВ, Э. Ш. ХИСЯМЕТДИНОВА Лемма 3.3. Для существования сферического mm2-октаэдра O = O(A, B, C, D, E) (рис. 3.1) необходимо и достаточно выполнения следующей системы условий: c ⎧ 1 ⎪ 23 c2 = 23 , ⎪ 22c33 c22c33 c1 1 2 2 ⎪ ⎪ c1 c2 , ⎪ 13 ⎪ = 13 ⎪ c1 1 c2 2 11c33 c ⎪ 1 ⎪ ⎨⎪ 12 11c33 c 2 = 12 , c1 1 c2 2 11c22 ⎪ 11c22 detG1 > 0, ⎪ ⎪detG1 > 0, ⎪ 2 - 2 A ⎪ ⎪sin B 2cos (1 + cos B) > 0, ⎪ ⎪ 2 ⎩ - ⎪⎪sin2D 2cos2 C 2 (1 + cos D) > 0, ij где c1 и c ij 2 - алгебраические дополнения к ij-м элементам матриц G1 и G2 соответственно, при этом: ⎛ A 1 - cos ⎜ 2 A ⎜ ⎞ - cos B - cos λ ⎟ A ⎟ ⎜ , ⎟ A G1 = ⎜- cos 2 1 - cos 2 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝- cos B - cos 2 1 - cos λ⎠ - cos λ 0 - cos λ 1 ⎛ C ⎞ 1 - cos ⎜ 2 C ⎜ - cos D - cos (E - λ) ⎟ C ⎟ ⎜ G2 = ⎜ ⎜ ⎜ . ⎟ - cos 2 1 - cos 2 0 ⎟ C ⎟ ⎟ ⎝ - cos D - cos 2 1 - cos (E - λ)⎠ - cos (E - λ) 0 - cos (E - λ) 1 3. Проверка формулы (3.7). Как было сказано выше, mmm-симметрия является частным случаем mm2-симметрии. Поэтому с помощью формулы (3.7) можно считать объемы произвольных гиперболических mmm-октаэдров. Вычисляя объемы октаэдров из примеров 3.1-3.3 с помощью программы MathCad по формуле (3.7), можно убедиться, что формулы из теорем 3.1, 3.2 и 3.3 приводят нас к одинаковым результатам.