Model of the Oldroyd Compressible Fluid


Cite item

Full Text

Abstract

In this paper, mathematical models of compressible viscoelastic Maxwell, Oldroyd, and Kelvin- Voigt uids are derived. A model of rotating viscoelastic barotropic Oldroyd uid is studied. A theorem on strong unique solvability of the corresponding initial-boundary value problem is proved. The spectral problem associated with such a system is studied. Results on the spectrum localization, essential and discrete spectra, and spectrum asymptotics are obtained. In the case where the system is in the weightlessness state and does not rotate, results on multiple completeness and basisness of a special system of elements are proved. In such a case, under condition of su ciently large viscosity, expansion of the solution of the evolution problem with respect to a special system of elements is obtained.

About the authors

D. A. Zakora

V. I. Vernadsky Crimean Federal University; Voronezh State University

Email: dmitry_@crimea.edu
Vernadsky Avenue, 4, Simferopol, 295007, Russia; Universitetskaya Square, 1, Voronezh, 1394006, Russia

References

  1. Азизов Т. Я., Иохвидов И. С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. - М.: Наука, 1986.
  2. Азизов Т. Я., Копачевский Н. Д., Орлова Л. Д. Эволюционные и спектральные задачи, порожденные проблемой малых движений вязкоупругой жидкости// Тр. СПб. Мат. об-ва. - 1998. - 6. - С. 5-33.
  3. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. - Киев: Наукова думка, 1965.
  4. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Сер. мат. ан. - 1977. - 14.- С. 5-58.
  5. Голдстейн Дж. А. Полугруппы линейных операторов и их приложения. - Киев: Выща школа, 1989.
  6. Закора Д. А. Операторный подход к модели Ильюшина вязкоупругого тела параболического типа// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2015. - 57.- С. 31-64.
  7. Звягин В. Г., Турбин М. В. Исследование начально-краевых задач для математических моделей движения жидкостей Кельвина-Фойгта// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2009. - 31. - С. 3-144.
  8. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. - М.: Мир, 1972.
  9. Копачевский Н. Д, Крейн С. Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике: эволюционные и спектральные задачи. - М.: Наука, 1989.
  10. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1967.
  11. Маркус А. С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. - Кишинев: Штиинца, 1986.
  12. Маркус А. С., Мацаев В. И. Теорема о сравнении спектров и спектральная асимптотика для пучка М. В. Келдыша// Мат. сб. - 1984. - 123, № 3. - С. 391-406.
  13. Милославский А. И. Спектр малых колебаний вязкоупругой жидкости в открытом сосуде// Усп. мат. наук. - 1989. - 44, № 4.
  14. Милославский А. И. Спектр малых колебаний вязкоупругой наследственной среды// Докл. АН СССР. - 1989. - 309, № 3. - С. 532-536.
  15. Михлин С. Г. Спектр пучка операторов теории упругости// Усп. мат. наук. - 1973. - 28, № 3. - С. 43- 82.
  16. Осколков А. П. Начально-краевые задачи для уравнений движений жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта// Тр. МИАН. - 1989. - 179. - С. 126-164.
  17. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. - М.: Мир, 1985.
  18. Солонников В. А. Об общих краевых задачах для систем, эллиптических в смысле А. Даглиса- Л. Ниренберга. II// Тр. МИАН. - 1966. - 92. - С. 233-297.
  19. Фрейденталь А., Гейрингер Х. Математические теории неупругой сплошной среды. - М.: Физматгиз, 1962.
  20. Birman M. Sh., Solomjak M. Z. Spectral theory of self-adjoint operators in Hilbert space. - Dordrecht- Boston-Lancaser-Tokyo: D. Reidel Publishing Company, 1987.
  21. Gohberg I., Goldberg S., Kaashoek M. A. Classes of linear operators. Vol. 1. - Basel-Boston-Berlin: Birkha¨user, 1990.
  22. Grubb G., Geymonat G. The essential spectrum of elliptic systems of mixed order// Math. Ann. - 1977. - 227. - С. 247-276.
  23. Kelvin (Thomson) W. On the theory viscoelastic uids// Math. A. Phys. Pap. - 1875. - 3. - С. 27-84.
  24. Kopachevsky N. D., Krein S. G. Operator approach to linear problems of hydrodynamics. Vol. 2: Nonselfadjoint problems for viscous uids. - Basel-Boston-Berlin: Birkha¨user, 2003.
  25. Maxwell J. C. On the dynamical theory of gases// Philos. Trans. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. - 1867. - 157.- С. 49-88.
  26. Maxwell J. C. On the dynamical theory of gases// Philos. Mag. - 1868. - 35. - С. 129-145.
  27. Oldroyd J. G. On the formulation of rheological equations of state// Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. - 1950. - A200. - С. 523-541.
  28. Oldroyd J. G. The elastic and viscous properties of emulsions and suspensions// Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. - 1953. - A218. - С. 122-137.
  29. Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial di erential equations. - New York: Springer, 1983.
  30. Voight W. Uber die innere Reibung der fasten Korper, inslesondere der krystalle// Gottinden Abh. - 1889. - 36, № 1. - С. 3-47.
  31. Voight W. Uber innex Reibung faster Korper, insbesondere der Metalle// Ann. Phys. U. Chem. - 1892. - 47, № 9. - С. 671-693.

Copyright (c) 2022 Contemporary Mathematics. Fundamental Directions

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies