Модель сжимаемой жидкости Олдройта

Аннотация

В работе выведены математические модели сжимаемых вязкоупругих жидкостей Максвелла, Олдройта и Кельвина-Фойгта. Изучена модель вращающейся вязкоупругой баротропной жидкости Олдройта. Доказана теорема об однозначной сильной разрешимости соответствующей начальнокраевой задачи. Исследована спектральная задача, ассоциированная с изучаемой системой. Доказаны утверждения о локализации спектра, о существенном и дискретном спектре, об асимптотике спектра. В случае, если система находится в невесомости и не вращается, доказаны утверждения о кратной полноте и базисности специальной системы элементов. В последнем случае и при условии достаточно большой вязкости в системе найдено разложение решения эволюционной задачи по специальной системе элементов.

Полный текст

1. ВВЕДЕНИЕ В работе изучается модель вязкоупругой баротропной жидкости, которая является развитием модели Олдройта для несжимаемой жидкости. Первые модели несжимаемых жидкостей, учитывающие предысторию течения и названные впоследствии линейными вязкоупругими жидкостями, были предложены в XIX в. Дж. Максвеллом [25, 26], В. Кельвином [23] и В. Фойгтом [30, 31]. Эти модели были развиты в середине XX в. в значительной степени благодаря работам Дж. Г. Олдройта [27, 28]. Впоследствии эти и более общие модели изучались многими авторами. Отметим работы [7, 16] (см. также указанную там литературу), посвященные исследованию начально-краевых Работа сделана при финансовой поддержке РНФ (проект № 14-21-00066, выполняемый в Воронежском государственном университете). Qc 2016 РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ 41 42 Д. А. ЗАКОРА задач для уравнений движений жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта. Спектральному анализу модели Олдройта вязкоупругой несжимаемой жидкости посвящены работы [2, 13, 14] (см. также указанную там литературу). В настоящей работе исследуется задача о малых движениях вязкоупругой сжимаемой жидкости, заполняющей ограниченную равномерно вращающуюся область. В третьем разделе исследуется вопрос разрешимости соответствующей системы интегродифференциальных уравнений, граничных и начальных условий. При этом соответствующая задача Коши для системы интегродифференциальных уравнений сводится к задаче Коши dξ dt = -Aξ + F(t), ξ(0) = ξ0, в некотором гильбертовом пространстве H. Оператор A представляет из себя некоторую операторную блок-матрицу и является максимальным секториальным оператором. Отсюда выводится утверждение о сильной разрешимости исходной начально-краевой задачи. В четвертом разделе исследуется задача о спектре оператора A, которая ассоциируется со спектральной задачей для исходной системы интегродифференциальных уравнений. Установлено, что спектр оператора A расположен в правой открытой полуплоскости. Существенный спектр оператора A в общем случае состоит из конечного количества точек и отрезков на действительной положительной полуоси. Дискретный спектр расположен в некоторой полосе, содержащей действительную положительную полуось. Если система не вращается, то дискретный спектр оператора A - вещественный за исключением, быть может, конечного количества комплексно сопряженных собственных значений. Если, дополнительно, система находится в невесомости, то при некоторых условиях система корневых элементов оператора A образует p-базис (при p > 3) пространства H. 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 1. Модели вязкоупругих сжимаемых жидкостей. Как известно, движение вязкой сжимаемой жидкости в ограниченной области Ω ⊂ R3 описывается следующей системой уравнений в форме Коши (см., например, [19, с. 21-22]): ρ ∂ v ρF (в Ω), (2.1) · ∇ + ( v ) v ∂t ρ = -∇P + Divσ + ∂ + div(ρ v) = 0 (в Ω), v = 0 (на ∂Ω). (2.2) ∂t В данной системе v = v(t, x) (x := (x1, x2, x3) ∈ Ω) - поле скоростей жидкости, = t, x) - ρ ρ( плотность жидкости, P = P (t, x) - давление в жидкости, F = F (t, x) - поле внешних сил. Че- }i,j=1 рез Divσ обозначен вектор, координатами которого являются дивергенции строк матрицы σ = {σij 3 , где σ - тензор вязких напряжений в жидкости. При этом определяющее соотношение для вязкой сжимаемой жидкости имеет вид: σij = μ ∂vi + ∂vj 2 - δij ∂vl + ηδij ∂vl =: μσ (1) + ησ (2) (i, j = 1, 2, 3). ∂xj ∂xi 3 ∂xl ∂xl ij ij Будем считать далее, что жидкость удовлетворяет обобщенной математической модели, описываемой следующим определяющим соотношением: ∂ Pm ∂t σ = Q ∂ n ∂t σ(1) + R ∂ n ∂t σ(2), (2.3) где Pm(λ), Qn(λ), Rn(λ) - многочлены степеней m и n соответственно. Если n = m - 1, то определяющее соотношение (2.3) будет соответствовать модели Максвелла, если n = m - модели Олдройта, если n = m +1 - модели Кельвина-Фойгта. Предположим, что корни полинома Pm(λ) m вещественны, различны и отрицательны, обозначим их через -bl (l = 1, m), а дроби Qn(λ)P -1(λ), m Rn(λ)P -1(λ) имеют следующие разложения: Qn(λ) = γ μ λ + γ μ m + '\\" μl Rn(λ) , = γ η λ + γ η m + '\\" ηl , (2.4) Pm(λ) 1 -1 2 0 l=1 bl + λ Pm(λ) 1 -1 2 0 l=1 bl + λ МОДЕЛЬ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ОЛДРОЙТА 43 где μl, ηl > 0, l = -1, m, и γ1, γ2 принимают значения 0 или 1. При этом γ1 = γ2 = 0 для модели Максвелла, γ1 = 0, γ2 = 1 для модели Олдройта, γ1 = γ2 = 1 для модели Кельвина-Фойгта. Из определяющего соотношения (2.3) с помощью преобразования Лапласа и представлений (2.4) можно найти (см. [7, с. 43-46]) тензор вязких напряжений σ: σ(t, x) = J1(t)σ(1)(t, x)+ J2(t)σ(2)(t, x), (2.5) m t J1(t)σ(1)(t, x) := γ1μ ∂ σ(1)(t, x)+ γ μ σ(1)(t, x)+ '\\" r μ e-bl(t-s)σ(1)(s, x) ds, -1 ∂t 2 0 l l=1 0 m t J2(t)σ(2)(t, x) := γ1η ∂ σ(2)(t, x)+ γ η σ(2)(t, x)+ '\\" r η e-bl(t-s)σ(2)(s, x) ds. -1 ∂t 2 0 l l=1 0 В (2.5) мы пренебрегли экспоненциально затухающим во времени слагаемым, порождаемым состоянием жидкости в начальный момент времени. Это слагаемое можно считать отнесенным к полю внешних сил. Из системы (2.1)-(2.2) и соотношения (2.5) получим систему уравнений, описывающую движения обобщенной сжимаемой вязкоупругой жидкости, заполняющей ограниченную область Ω ⊂ R3: ρ ∂ v 1 ρF (в Ω), (2.6) · ∇ + ( v ) v ∂t ρ = -∇P + J1(t) Δ v + 3 ∇div v + J2(t)∇div v + ∂ + div(ρ v) = 0 (в Ω), v = 0 (на ∂Ω). (2.7) ∂t Отметим здесь, что если γ1 = 0, γ2 = 1 и жидкость несжимаема, то уравнения (2.6), (2.7) будут описывать обычную жидкость Одройта (см., например, [2]). 2. Уравнения малых движений баротропной жидкости Олдройта, заполняющей равномерно вращающуюся область. Пусть сжимаемая жидкость Олдройта занимает ограниченную область Ω ⊂ R3, равномерно вращающуюся вокруг оси, сонаправленной с действием силы тяжести. Обозначим через n единичный вектор, нормальный к границе ∂Ω и направленный вне области Ω. Введем систему координат Ox1x2x3, жестко связанную с областью, таким образом, что ось Ox3 совпадает с осью вращения и направлена против действия силы тяжести, а начало координат находится в области Ω. В этом случае равномерная скорость вращения области запишется в виде ω 0 := ω0 e3, где e3 - орт оси вращения Ox3, а ω0 > 0, для определенности. Будем считать, что внешнее стационарное поле сил F 0 является гравитационным и действует вдоль оси вращения, т. е. F 0 = -g e3, g > 0. Далее будем считать, что сжимаемая жидкость удовлетворяет уравнению состояния баротропной жидкости: P = a2 ρ, ∞ где a ∞= const - скорость звука в сжимаемой жидкости. Рассмотрим состояние относительного равновесия жидкости. Из уравнения (2.6) движения сжимаемой жидкости Олдройта, записанного в подвижной системе координат, найдем формулу для градиента стационарного давления: ∇P0 = ρ0 - ω 0 × (ω 0 × r) - g e3 = ρ0∇ 2-1|ω 0 × r|2 - gx3 , (2.8) ∞ где r - радиус-вектор текущей точки области Ω, а ρ0 - стационарная плотность жидкости. Из (2.8) и соотношения P0 = a2 ρ0 заключаем, что стационарная плотность ρ0 является функцией параметра z := 2-1ω2(x2 + x2) - gx3. При этом ρ0 будет постоянной только если в системе отсутству- 0 1 2 ет вращение и гравитационное поле. Для функции ρ0(z) выполнено также следующее свойство: 0 < α1 :( ρ0(z) :( α2. Представим теперь полное давление и плотность жидкости в виде: P (t, x) = P0(z) + p(t, x), ρ(t, x) = ρ0(z)+ t, x), где p(t, x) и t, x) - это динамическое давление и плотность соответ- ρ( ρ( ственно, возникающие при малых движениях жидкости относительно стационарного состояния. Осуществим линеаризацию уравнений (2.6), (2.7) (при γ1 = 0, γ2 = 1), записанных в подвижной системе координат, относительно состояния относительного равновесия. Получим задачу о малых 44 Д. А. ЗАКОРА движениях баротропной вращающейся жидкости Олдройта, заполняющей равномерно вращающееся твердое тело: ∂ u(t, x) a2 ∞ ρ( ∂t - 2ω0 u(t, x) × e3 = -∇ ρ ) t, x) + 1 + ρ0(z) t m r 0(z μ0Δ u(t, x)+ (η0 + ∇ μ0 ) div u(t, x) + 3 + '\\" l=1 0 ∂ ρ(t, x) e-bl(t-s) 1 ρ0(z) μlΔ u(s, x)+ (ηl μl + 3 )∇div u(s, x) ds + f (t, x) (в Ω), + div ρ0(z) u(t, x) = 0 (в Ω), u(t, x) = 0 (на ∂Ω), ∂t где u(t, x) - поле скоростей жидкости в подвижной системе координат, f (t, x) - малое поле внешних сил, наложенное на гравитационное поле. Осуществим в полученной системе, с целью ее симметризации, следующую замену: 0 a∞ρ- В результате получим основную задачу: 1/2 ρ( (z) t, x) = ρ(t, x). ∂ u(t, x) -1/2 ∂t - 2ω0 u(t, x) × e3 = -∇ a∞ρ0 (z)ρ(t, x) + 1 + ρ0(z) t m r μ0Δ u(t, x)+ (η0 + ∇ μ0 ) div u(t, x) + (2.9) 3 + '\\" l=1 0 ∂ρ(t, x) e-bl(t-s) 1 ρ0(z) 1/2 μlΔ u(s, x)+ (ηl μl + 3 )∇div u(s, x) ds + f (t, x) (в Ω), 0 ∞ + a ρ- ∂t (z)div ρ0(z) u(t, x) = 0 (в Ω), u(t, x) = 0 (на ∂Ω). (2.10) Для полноты формулировки задачи зададим еще начальные условия: u(0, x) = u0(x), ρ(0, x) = ρ0(x). (2.11) 3. ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ СИЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ В этом разделе начально-краевая задача (2.9)-(2.11), описывающая малые движения вращающейся сжимаемой вязкоупругой жидкости Олдройта, с помощью специальных операторов сводится к задаче Коши (3.6) для системы дифференциально-операторных уравнений в гильбертовом пространстве. Затем исследуется вопрос разрешимости задачи Коши (3.6). Основное утверждение раздела - теорема 3.1. 1. Операторная формулировка задачи. Введем векторное гильбертово пространство H := L 2(Ω, ρ0) с весом ρ0(z) и скалярным произведением и нормой следующего вида: r 2 r 2 ( u, v)H=L 2(Ω,ρ0) := Ω ρ0(z) u(x) · v(x) dΩ, ± u±H=L 2(Ω,ρ0) = Ω ρ0(z)| u(x)| dΩ. 1/2 Введем скалярное гильбертово пространство L2(Ω) функций, суммируемых со своими квадратами по области Ω, а также его подпространство L2,ρ0 (Ω) := {f ∈ L2(Ω) | (f, ρ0 )L2(Ω) = 0}. Определим оператор S u(t, x) := i u(t, x) × e3 , D(S) = L 2(Ω, ρ0). Верна лемма, доказательство которой подобно доказательству аналогичной леммы о свойствах кориолисова оператора из [9]. Лемма 3.1. Оператор S является самосопряженным и ограниченным в H = L 2(Ω, ρ0): S = S∗, S ∈ L(H); более того, ±S±L(H) = 1. МОДЕЛЬ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ОЛДРОЙТА 45 Будем считать далее, что граница ∂Ω области Ω - класса C2. Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: -1 -ρ0 (z) αΔ u(x)+ β∇div u(x) = v(x) (в Ω), u(x) = 0 (на ∂Ω), α > 0, β ;;? 0. (3.1) 2 Эта задача, как известно (см. [17]), имеет единственное обобщенное решение u = A-1(α, β) v для любого v ∈ H, где оператор A(α, β) является самосопряженным и положительно определенным в H. Энергетическое пространство HA(α,β) = D(A1/2(α, β)) = { u ∈ W 1(Ω)| u = 0 (на ∂Ω)} оператора A(α, β) компактно вложено в пространство H, а значит, оператор A-1(α, β) компактен и положителен в H. Для любых u, v ∈ HA(α,β) L(Ω,ρ0) ( u, v)A(α,β) = (A1/2(α, β) u, A1/2(α, β) v) = αJ ( u, v)+ βD( u, v), r J ( u, v) := Ω '\\" 3 ∇ui(x) · ∇vi(x) dΩ, D( u, v) := i=1 r div u(x) div v(x) dΩ. Ω (3.2) Кроме того, можно проверить, что нормы в любых двух энергетических пространствах HA(α1,β1) и HA(α2,β2) эквивалентны между собой. Определим операторы Al := A(μl, ηl + 3-1μl) (l = 0, m) (напомним, что μl, ηl > 0, l = 0, m). При этом D(A0) = D(Al) (l = 1, m) в силу гладкости границы. 1/2 0 Определим оператор B u(t, x) := a∞ρ- (z)div ρ0(z) u(t, x) , D(B) := { u ∈ L 2(Ω, ρ0)| div(ρ0 u) ∈ L 2(Ω, ρ0), u · n = 0 (на ∂Ω)}⊃ D(A1/2) = D(A1/2) (l = 1, m). 0 l 1/2 0 Лемма 3.2. Сопряженный оператор определяется по формуле B∗ρ(x) = -∇ a∞ρ- (z)ρ(x) , (B∗) = W 1 (Ω) := W 1(Ω) ∩ L2,ρ (Ω). Кроме того, имеют место неравенства: D 2,ρ0 2 0 2,ρ0 (Ω) ∃ cl > 0 : ±B u±W 1 :( cl±Al u±H ∀ u ∈ D(Al) (l = 0, m). Доказательство. Пусть u ∈ D(B). Вычислим r -1/2 r -1/2 0 (Ω) (B u, ρ)L2,ρ = Ω a∞ρ0 (z)div(ρ0(z) u(x))ρ(x) dΩ = - Ω ρ0(z) u(x) · ∇ a∞ρ0 (z)ρ(x) dΩ+ r 1/2 r -1/2 -1/2 + a∞ρ0 (z)ρ(x) u(x) · n dS = - ∂Ω Ω ρ0(z) u(x) · ∇ a∞ρ0 (z)ρ(x) dΩ = ( u, -∇ a∞ρ0 ρ )H. Отсюда и из определения сопряженного оператора следуют формулы для B∗. Для доказательства неравенств в лемме понадобятся некоторые вспомогательные оценки и рассуждения. Для l = 0,m рассмотрим задачи Ll u := -μlΔ u(x) - (ηl + 3-1μl)∇div u(x) = f (x) (в Ω), BL,l u := u(x) = g(x) (на ∂Ω). Можно проверить, что матричное дифференциальное выражение Ll определяет невырожденную правильно эллиптическую по Дуглису-Ниренбергу систему, а граничное условие BL,l удовлетворяет условию дополнительности (см. [18]). Из теоремы о нормальной разрешимости [18, с. 241] следует, что существуют константы d1,l > 0, d2,l > 0 (l = 0, m), не зависящие от поля u, такие, что W 2 2 (Ω) d1,l± u±2 2 :( ±Ll u±L 2(Ω) :( d2,l± u± W 2 2 2 (Ω) ∀ u ∈ W 2 2(Ω, BL,l), (3.3) 2 (Ω, BL,l) := { u ∈ W 2 (Ω)1 BL,l u = u(x) = 0 (на ∂Ω)} = D(Al), W 2 2 1 2 3 3 2 ∂ uk 2 ± u±2 := '\\" uk ± + '\\" 1 1 . W 2 2 (Ω) ± L2(Ω) 1 ∂x ∂x 1L2(Ω) k=1 i,j=1 i j Далее, из неравенства Эрлинга-Ниренберга [3, c. 33] следует, что существует константа d1 > 0, не зависящая от поля u, такая, что 1 ∂uk 12 d ± u±2 ∀ u ∈ W 2(Ω), k, j = 1, 2, 3. (3.4) 1 ∂xj 1L2(Ω) :( 1 2 W 2(Ω) 2 46 Д. А. ЗАКОРА 2 Пусть теперь u ∈ D(Al) = W 2(Ω, BL,l) (l = 0, m). С использованием неравенств (3.3), (3.4) проведем следующие оценки: W 1 ±B u±2 r = a2 1∇ ρ-1/2(z)div(ρ0(z) u(x)) 12 + 1ρ-1/2(z)div(ρ0(z) u(x))12 dΩ :( 2,ρ0 (Ω) ∞ 1 0 Ω 2 1 1 0 1 r -1 -1 2 2 W 2 :( d2± u±2 1,l :( d2d-1±Ll u± :( d2d 1,l max ρ0(z) ρ0(z)|ρ0 (z)Ll u(x)| dΩ = cl±Al u±H, 2 (Ω) L2(Ω) x∈Ω Ω где cl = cl(d1,l, d1, ρ0, a∞, Ω) > 0 - некоторая абсолютная константа. Для l = 1,m определим следующие операторы: Ql := A1/2A-1/2 + -1/2 1/2 -1/2 + -1/2 l 0 , Ql := A0 Al , QB := BA0 , QB := A0 B∗. (3.5) + + Лемма 3.3. Ql ∈ L(H), QB ∈ L(H, L2,ρ0 (Ω)). Операторы Ql , QB расширяются по непрерывности до ограниченных операторов Q∗, Q∗ соответственно. При этом Q+ = Q∗ | ∗ , l B B B D(B ) Q+ ∗ 1/2 (l = 1, m), операторы Q∗Ql положительно определены. l = Ql | D(Al ) l l Доказательство. Доказательство проведем для оператора Ql. Ограниченность Ql следует из равенства D(Al) = D(A0) (l = 1, m). Следовательно, Q∗ ∈ L(H). Далее, для любого u ∈ H и 1/2 1/2 -1/2 + l v ∈ D(Al ) имеем (Ql u, v)H = (Al A0 u, v)H = ( u, Ql v)H = ( u, Q∗ v)H. Отсюда следует, что Q+ ∗ 1/2 , Q+ = Q∗ (l = 1, m). Далее, для любого u ∈ H с учетом (3.2) имеем l = Ql | Q∗ D(Al ) l l 1/2 -1/2 l Ql u, u H = A 0 Ql u, Ql u H = - A u, A0 u = l μl -1/2 -1/2 = μlJ (A-1/2 u, A-1/2 u)+ + D(A u, A u) ;;? μl 0 3ηl + μl 0 -1/2 ηl 3 -1/2 0 μ0 0 -1/2 -1/2 ;;? min , μ0 3η0 + μ0 μ0J (A0 u, A0 u)+ η0 + 3 D(A0 u, A0 u) = = min μl , 3ηl + μl A-1/2 u, A-1/2 u = min μl , 3ηl + μl ± u±2 , μ0 3η0 + μ0 0 0 A0 μ0 3η0 + μ0 H l откуда следует положительная определенность оператора Q∗Ql. С использованием введенных операторов задачу (2.9)-(2.11) запишем в виде задачи Коши для системы интегродифференциальных уравнений первого порядка в гильбертовом пространстве H0 := H ⊕ L2,ρ0 (Ω) (H = L 2(Ω, ρ0)): ⎧ ⎪⎪ ∗ d u ⎨ dt + (2ω0iS + A0) u - B ρ + r m t '\\" e-bl(t-s) Al u(s) ds = f (t), l=1 0 ⎪ (3.6) ⎪⎩ dρ + B u = 0, ( u(0); ρ(0))τ := ( u0; ρ0)τ , dt где символ τ обозначает операцию транспонирования. Определение 3.1. Сильное решение задачи (3.6) назовем сильным решением начальнокраевой задачи (2.9)-(2.11). Элемент ζ(t) := ( u(t); ρ(t))τ назовем сильным решением задачи (3.6), если ζ(t) ∈ D(A0) ⊕ D(B∗) при каждом t ∈ R+ := [0, +∞), (A0 u(t); B∗ρ(t))τ ∈ C(R+, H0), ( u(t); ρ(t))τ ∈ C1(R+, H0), ( u(0); ρ(0))τ := ( u0; ρ0)τ и выполнены уравнения из (3.6) для любого t ∈ R+. 2. Переход к дифференциально-операторному уравнению первого порядка. Теорема о сильной разрешимости. Пусть u(t), ρ(t) - сильное решение задачи (3.6). Тогда из леммы 3.3 МОДЕЛЬ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ОЛДРОЙТА 47 следует, что u(t), ρ(t) удовлетворяют системе ⎧ m rt ⎪ d u 1/2 1/2 '\\" bl(t-s) 1/2 Q e ⎪⎨ dt + 2ω0iS u + A0 B A0 u - Q∗ ρ + ∗ - l l=1 0 QlA0 u(s) ds = f (t), (3.7) ⎪⎪ dρ ⎩ + Q A1/2 τ 0 0 τ dt B 0 u = 0, ( u(0); ρ(0)) := ( u ; ρ ) . Осуществим в системе (3.7) следующие замены: t r vl(t) := 0 0 e-bl(t-s)QlA1/2 u(s) ds (l = 1, m). (3.8) Поля vl(t) (l = 1, m) непрерывно дифференцируемы на R+. Продифференцированные соотношения (3.8) и преобразованные уравнения системы (3.7) составляют следующую систему: d u ⎧ m ⎪ + 2ω iS u + A1/2 A1/2 u - Q∗ ρ + '\\" Q∗ v = f (t), ⎪⎪ ⎨ dt dρ 0 0 1/2 0 d vl B 1/2 l l l=1 (3.9) ⎪ ⎪ dt + QBA0 u = 0, dt - QlA0 u + bl vl = 0 (l = 1,m), ⎩⎪ u(0) = u0, ρ(0) = ρ0, vl(0) = 0 (l = 1, m). m Эту систему будем трактовать как задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка в гильбертовом пространстве H := H ⊕ H0, где H0 := L2,ρ0 (Ω) ⊕ ⊕l=1 H : dt dξ = -Aξ + F(t), ξ(0) = ξ0. (3.10) Здесь ξ := ( u; w)τ , w := (ρ; v1; ... ; vm)τ , ξ0 := ( u0; w0)τ , w0 := (ρ0; 0; ... ; 0)τ , F(t) := (f (t); 0)τ . Непосредственной проверкой можно убедиться, что для операторного блока A справедливы следующие представления - факторизация с симметричным множителями и факторизация в форме Шура-Фробениуса: 0 A = diag A1/2, I ( I Q∗ -Q G 0 diag A1/2, I + diag 2ω0iS, 0 , (3.11) ( I 0 0 I = A -QA-1/2 diag A0, G + QQ∗ 0 Q∗ (I A-1/2 0 I + diag 2ω0iS, 0 = (3.12) ( I 0 = diag A1/2T A1/2, G + Q T Q∗ 0 T Q∗ , (I A-1/2 0 I -Q T A-1/2 0 0 0 I 0 D(A) = {ξ = ( u; w)τ ∈H | u + A-1/2Q∗w ∈ D(A0)}, (3.13) где I, I - единичные операторы в H = L 2(Ω, ρ0) и H0 соответственно, T := (I + 2ω0iA-1/2SA-1/2)-1, Q := - QB, Q1,..., Qm τ , G := diag 0, b1I,..., bmI . 0 0 Определение 3.2 (см. [10, с. 38]). Сильным решением задачи Коши (3.10) назовем функцию ξ(t) такую, что ξ(t) ∈ D(A) для любого t из R+, Aξ(t) ∈ C(R+; H), ξ(t) ∈ C1(R+; H), ξ(0) = ξ0 и выполнено уравнение из (3.10) для любого t ∈ R+. Таким образом, если поле u(t) и функция ρ(t) составляют сильное решение задачи (3.6), то элемент ξ(t) есть сильное решение задачи (3.10). Обратное, однако, не всегда верно. Это ясно из того, что при выводе задачи Коши (3.10) осуществлялось замыкание операторов Q+ и Q+. Тем не B l менее, далее будет установлено, что если начальные данные выбирать специальным образом, то от задачи (3.10) можно будет вернуться к задаче (3.6). Напомним, что числовой областью оператора A называется множество { A W(A) := ξ, ξ H | ξ ∈ D(A), ±ξ±H = 1}⊂ C. 48 Д. А. ЗАКОРА Лемма 3.4. Оператор A - максимальный аккретивный и секториальный. Более того, W(A) ⊂{λ ∈ C | 1Imλ1 :( ±Q∗± (2ω0) 2 -1 1 1 2 ∗ -2 Reλ + 2ω0, 0 :( Reλ :( 4ω0 ±Q ± }∪ ∪ {λ ∈ C | 1Imλ1 :( 2±Q∗±(Reλ)1/2, Reλ ;;? 4ω2±Q∗±-2}. 1 1 0 m l Доказательство. 1. Прежде всего заметим, что D(A0) ⊕ D(B∗) ffi D(A1/2) ⊂ D(A), а значит, опеl=1 m l ратор A плотно определен. Действительно, пусть ξ = ( u; w)τ ∈ D(A0) ⊕ D(B∗) ffi D(A1/2) , т. е. 1/2 l=1 u ∈ D(A0), ρ ∈ D(B∗), vl ∈ D(Al ) (l = 1, m). Тогда с использованием леммы 3.3 найдем u + A-1/2 -1/2 m '\\" -1/2 1 m '\\" 1 0 Q∗w = u + A0 - Q∗ ρ + Q∗ vl = u + A - Q∗ 1 1/2 ρ + Q∗1 vl = B = u + A-1/2 - A-1/2 l=1 m '\\" l -1/2 1/2 0 B D(B∗) 1 l=1 m '\\" l 1/2 D(Al ) 0 т. е. ξ ∈ D(A) (см. (3.13)). 0 B∗ρ + l=1 0 A0 Al vl = A- A0 u - B∗ρ + Al l=1 vl ∈ D(A0), 1. Докажем, что оператор A аккретивен и секториален. Пусть ξ = ( u; w)τ ∈ D(A), тогда 0 u ∈ D(A1/2), и из факторизации (3.11) оператора A симметричной форме и леммы 3.1 получим (( I Q∗ (A1/2 (A1/2 1/2 2 1/2 2 Re Aξ, ξ = Re 0 u , 0 u = ±A u± + ±G w± ;;? 0, (3.14) H -Q G w w 0 H H0 H 1 1 1 ∗ 1/2 1/2 1 1Im Aξ, ξ H1 = 1Im (Q w, A = 1 u)H - (QA u, w)H0 + 2ω0i(S u, u)H 1 = 1 (3.15) H 12 Im(Q∗w, A1/2 u)H + 2ω0i(S u, u)H 1 :( 2 ±A1/2 u±H ±Q∗w±H + 2ω0± u±2 . Из (3.14) следует, что оператор A аккретивен. Из (3.14), (3.15) при любом α > 0 найдем, что Re Aξ, ξ - α1Im Aξ, ξ 1 ;;? A1/2 u±H - α±Q∗w±H 2- H 1 H1 ± 2 1/2 2 2 2 ∗ 2 2 Следовательно, - α2±Q∗w±H + ±G w±H0 - 2ω0α± u±H ;;? - max{α ±Q ±L(H0,H) , 2ω0α}±ξ±H. Re 1 1 A + γ(α) ξ, ξ 2 H - α1Im A + γ(α) ξ, ξ H1 ;;? 0, { ±Q ± где γ(α) := max α2 ∗ L(H0,H) , 2ω0α}. Таким образом, 1 1 -1 1Im A + γ(α) ξ, ξ H1 :( α Re A + γ(α) ξ, ξ H ∀ ξ ∈ D(A), α > 0. Отсюда следует, что W(A) ⊂ {λ ∈ C || arg(λ + γ(α))| :( arctg α-1} при любом α > 0, т. е. оператор A секториален с вершиной -γ(α) и полууглом раствора arctg α-1. Формула из формулировки леммы получается построением огибающих соответствующих семейств прямых. 2. Докажем, что оператор A максимален и замкнут. Для этого достаточно показать (см. [10, теорема 4.3, с. 109]), что оператор A- λ непрерывно обратим при λ < 0. Положим ξ1 := ( u1; w1)τ ∈ D(A), ξ2 := ( u2; w2)τ ∈ H. Определим оператор SA := A-1/2SA-1/2. Из (3.11) 0 0 найдем, что уравнение (A- λ)ξ1 = ξ2 можно переписать в векторно-матричной форме: 0 diag(A1/2, I) 0 (I + 2ω0iSA - λA-1 0 Q∗ diag(A1/2 , I) ( u1 = ( u2 . (3.16) -Q G - λ w1 w2 Отсюда видно, что оператор A- λ будет иметь ограниченный обратный оператор, определенный на всем пространстве H, т. е. будет иметь резольвенту Rλ(A) := (A- λ)-1, если средний блок в (3.16) будет непрерывно обратим в H. МОДЕЛЬ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ОЛДРОЙТА 49 0 Введем оператор-функцию L(λ) := I - λA-1 + 2ω0iSA + Q∗(G- λ)-1Q. Фиксируем λ < 0. Для любого 0 /= u ∈ H = L 2(Ω, ρ0) найдем, что ±L(λ) u±H ;;? ± u±-1 · |(L(λ) u, u)H | ;;? ± u±-1 · Re(L(λ) u, u)H = H 2 = ± u±H - λ± u±-1 · ±A-1/2 u± H + ± u±-1 · ((G- λ)-1 Q u, Q u) ;;? ± u±H, (3.17) H 0 H H H0 ±[L(λ)]∗ u±H ;;? ... ;;? ± u±H. Следовательно, L-1(λ) ∈ L(H), и непосредственной проверкой можно убедиться, что 1 0 = (I - λA-1 + 2ω0iSA Q∗ - -Q G - λ (I Q∗Rλ(G) (L(λ) 0 ( I 0 -1 = 0 I 0 G- λ = -Rλ(G)Q I ( I 0 (L-1(λ) 0 = (I -Q∗Rλ(G) = Rλ(G)Q I 0 Rλ(G) 0 I = ( L-1(λ) -L-1(λ)Q∗Rλ(G) ∈ L(H), Rλ(G)QL-1(λ) Rλ(G) - Rλ(G)QL-1(λ)Q∗Rλ(G) где Rλ(G) := (G- λ)-1. Отсюда следует, что оператор A замкнут и максимален. Из (3.16) получим представление для резольвенты оператора A: / A-1/2 -1 -1/2 -1/2 -1 ∗ \\ Rλ(A) = 0 L (λ)A0 -A0 L (λ)Q Rλ(G) (3.18) 0 Rλ(G)QL-1(λ)A-1/2 Rλ(G) - Rλ(G)QL-1(λ)Q∗Rλ(G) при всех λ ∈/ σ(G) ∪ σ(L(λ)), где σ(G), σ(L(λ)) - спектры оператора G и операторного пучка L(λ) соответственно. Отметим здесь, что свойство секториальности операторного блока A никак не связано с компактностью оператора A-1. Хотя свойство A-1 ∈ S (H) и факторизация (3.12) показывают, что 0 0 ∞ оператор A подобен слабому возмущению самосопряженного неотрицательного оператора. В этом случае из [10, теорема 7.2, с. 183] получим, что оператор -A порождает сильно непрерывную полугруппу операторов, голоморфную в некотором секторе, содержащем положительную полуось. Основываясь на лемме 3.4, докажем теорему о сильной разрешимости задачи (2.9)-(2.11). Теорема 3.1. Пусть u0 ∈ D(A0), ρ0 ∈ D(B∗), а поле f (t, x) удовлетворяет условию Гельдера: ∀ τ ∈ R+ ∃ K = K(τ ) > 0, k(τ ) ∈ (0, 1], что ±f (t) - f (s)±L 0 2 (Ω,ρ ) :( K|t - s|k при 0 :( s, t :( τ. Тогда сильное решение задачи (2.9)-(2.11) существует и единственно. Доказательство. 1. Пусть u0 ∈ D(A0), ρ0 ∈ D(B∗), ξ0 := ( u0; w0)τ , w0 := (ρ0; 0; ... ; 0)τ . Из (3.13) и леммы 3.3 найдем, что ξ0 ∈ D(A): u0 + A-1/2 -1/2 1 0 Q∗w0 = u0 - A0 Q∗ 1 ρ0 = u0 - A-1B∗ρ0 = A-1 A0 u0 - B∗ρ0 ∈ D(A0). B D(B∗) 0 0 Далее, из условий теоремы и равенства ±F (t) - F(s)±H = ±f (t) - f (s)±H следует, что функция F(t) удовлетворяет условию Гельдера. Из [5, теорема 5.9, с. 61] следует, что оператор -A порождает сильно непрерывную полугруппу операторов, голоморфную в некотором секторе, содержащем положительную полуось. Из [5, теорема 1.4, с. 130] следует, что задача Коши (3.10) имеет единственное сильное (в смысле определения 3.2) решение. 2. Пусть функция ξ(t) - единственное решение задачи Коши (3.10). То есть ξ(t) = ( u(t); w(t))τ , где w(t) = (ρ(t); v1(t); ... ; vm(t))τ , причем Aξ(t) ∈ C(R+; H), ξ(t) ∈ C1(R+; H). Покажем, что A0 u ∈ C(R+; H). Тогда в системе (3.7) можно будет раскрыть фигурные скобки и заменить «∗» на «+»; в результате получим, что найденное сильное решение задачи Коши (3.10) (системы (3.7)) будет сильным решением задачи (3.6) (в смысле определения 3.1). 50 Д. А. ЗАКОРА Запишем уравнение из (3.10) в виде системы (3.9). Учитывая, что vl(0) = 0 (l = 1, m), из второго и последующих уравнений системы (3.9) последовательно найдем: t r ρ(t) = - 0 r t 0 QBA1/2 u(s) ds + ρ0, vl(t) = 0 0 e-bl(t-s)QlA1/2 u(s) ds, l = 1, m. Отсюда и из первого уравнения системы (3.9) найдем, что m t d u r Q∗ -bl(t-s) ∗ 0 A1/2 -1/2 ∗ 0 A l +2ω0iS u+A0 u+ dt 0 -1/2 0 BQB +'\\" e l=1 Q Ql u(s) ds-A0 QBρ = f (t). (3.19) Из ρ0 ∈ D(B∗) и леммы 3.3 следует, что A-1/2Q∗ ρ0 = A-1/2Q∗ | ρ0 = A-1B∗ρ0 ∈ D(A0). Отсюда и из (3.19) получим, что t 0 B 0 B D(B∗) 0 r u(t)+ 0 R(t - s) u(s) ds =: g(t), A0 g(t) ∈ C(R+; H = L 2(Ω, ρ0)), (3.20) m Q 0 R(t) := A-1/2 QB + '\\" e A Q Ql 1/2. ∗ B l=1 -blt ∗ l 0 Введем пространство H(A0) := (D(A0), ±· ±H(A0)), где ± u±H(A0) := ±A0 u±L 2(Ω,ρ0) для любого u ∈ D(A0). Известно, что H(A0) банахово пространство. Будем рассматривать (3.20) как интегральное уравнение Вольтерра второго рода в пространстве H(A0). Покажем, что оператор-функция R(t) непрерывна при t ∈ R+ в равномерной операторной топологии пространства H(A0). Для этого достаточно показать, что A-1/2Q∗ QBA1/2 ∈ L(H(A0)), A-1/2 1/2 0 B 0 l QlA ∈ L(H(A0)) (l = 1, m). Докажем первое включение, оставшиеся включения дока- 0 Q∗ 0 зываются аналогично. Из леммы 3.2 заключаем, что QBA-1/2= BA-1 ∈L(H, W 1 (Ω)). Учитывая, что D(B∗)= W 1 (Ω) 2,ρ0 и B∗ ∈ L(W 1 0 0 (Ω),H), вычислим 2,ρ0 2,ρ0 0 Q∗ ±A-1/2 1/2 0 0 1/2 0 B -1/2 0 BQBA u±H(A ) = ±A 1/2 1 Q∗ QBA (A0 u)±H = = ±A0 Q∗ 1 BA-1(A0 u)±H = ±B∗BA-1(A0 u)±H :( B D(B∗) 0 0 1 :( ±B∗±L(W 1 ±BA- ± 1 ± u±H(A ) ∀ u ∈ H(A0). 2,ρ0 (Ω),H) 0 L(H,W2,ρ0 (Ω)) 0 Таким образом, ядро уравнения (3.20) непрерывно при 0 :( s :( t < +∞ со значениями в H(A0). Если g(t) ∈ C(R+,H(A0)), то уравнение (3.20) имеет единственное решение u(t) ∈ C(R+,H(A0) = D(A0)). Следовательно, в системе (3.7) можно раскрыть фигурные скобки и заменить «∗» на «+»; в результате получим, что найденное сильное решение задачи Коши (3.10) (системы (3.7)) является сильным решением задачи (3.6) (в смысле определения 3.1). 4. ЗАДАЧА О СПЕКТРЕ ВЯЗКОУПРУГОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В этом разделе исследуется спектр операторного блока A (см. (3.11)-(3.13)). В пункте 4.1 осуществляется вывод основных спектральных задач. В пункте 4.2 исследуется существенный и дискретный спектр оператора A (леммы 4.1-4.4). В частности, доказано, что оператор непрерывно обратим: A-1 ∈ L(H). В пункте 4.3 исследуется локализация спектра оператора A. Доказывается, что спектр оператора лежит в правой открытой полуплоскости (лемма 4.5) в некоторой полосе, содержащей положительную полуось (лемма 4.7). Устанавливается формула асимптотического распределения собственных значений оператора A с предельной точкой в бесконечности (лемма 4.6). В пункте 4.4 исследуется локализация спектра оператора A в случае, если ω = 0. С использованием методов индефинитной метрики доказывается, что в этом случае спектр оператора лежит на положительной действительной оси за исключением, быть может, конечного количества комплексно сопряженных изолированных собственных значений конечной кратности (лемма 4.8). МОДЕЛЬ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ОЛДРОЙТА 51 Вычисляется область комплексной плоскости, которая содержит невещественные собственные значения; выводится условие, достаточное для отсутствия невещественных собственных значений (лемма 4.9). В пункте 4.5 доказывается теорема о представлении решения эволюционной задачи (3.6), а также об асимптотическом поведении этого решения (теорема 4.1). Если внешнее поле стабилизируется, то решение эволюционной задачи сходится к решению следующей краевой задачи: ⎧ 1 ⎪ ⎪- / μ0 + m '\\" μl )+ Δ u(x μ0 η0 + m + '\\" 1 ηl + μl \\ ∇div u(x) - ⎪ ρ0(z) ⎪ ⎨ bl l=1 3 bl 3 l=1 a∞ -2ω0 u(x) × e3 + ∇ ⎪ a ⎪ ρ 1/2 0 (z) ρ(x) = f (x) (в Ω), ⎪ ∞ ⎪ ρ1/2 ⎩ 0 (z) div ρ0(z) u(x) = 0 (в Ω), u(x) = 0 (на ∂Ω). В частности, в случае ω0 = 0 доказано, что если внешнее поле стабилизируется к некоторому потенциальному полю, то решение эволюционной задачи сходится к равновесному состоянию с новым распределением плотности. В пункте 4.6 доказывается теорема о полноте и базисности системы корневых элементов оператора A в случае, если система находится в невесомости и не вращается. В случае, если спектр оператора A действительный, найдено разложение эволюционной задачи (3.6) по соответствующей системе собственных элементов. 1. Вывод основных спектральных задач. Будем разыскивать решения однородного (при F(t) ≡ 0) уравнения (3.10) в виде ξ(t) = exp(-λt)ξ, где λ - спектральный параметр, а ξ - амплитудный элемент. В результате придем к следующей основной спектральной задаче: Aξ = λξ, ξ ∈ D(A) ⊂ H, (4.1) которую будем ассоциировать с задачей о спектре вязкоупругой сжимаемой жидкости Олдройта. Пусть ξ = ( u; w)τ ∈ D(A). Осуществим, с учетом факторизации (3.11), в спектральной зада- 0 че (4.1) замену искомого элемента diag(A1/2, I)ξ = η =: ( z; w)τ . Получим спектральную задачу A(λ)η := 0 (I - λA-1 + 2ω0iSA Q∗ ( z = 0, η ∈H = H ⊕ H0, (4.2) где SA = A-1/2SA-1/2 -Q G - λ w 0 0 . Пусть λ ∈/ {0, b1,..., bm} = σ(G), тогда из (4.2) найдем, что 0 L(λ) z := I - λA-1 + 2ω0iSA + Q∗(G- λ)-1Q z = 0, z ∈ H. Эту задачу, вспоминая определение операторов Q и G, можно переписать в следующем виде: L(λ) z := I - λA-1 + 2ω0iSA - m 1 1 Q∗ QB + '\\" z Q∗Ql = 0, z ∈ H. (4.3) 0 λ B l=1 bl - λ l Из (3.18) следует, что спектр оператора A и спектр пучка L(λ) (спектры задач (4.1) и (4.3)) совпадают между собой при λ ∈/ σ(G). 2. О существенном и дискретном спектре задачи. Прежде всего, установим следующую лемму о точках множества {0, b1,..., bm}. Лемма 4.1. {b1,..., bm}⊂ ρ(A). Точка λ = 0 не является собственным значением оператора A (спектральной задачи (4.1)). Доказательство. Запишем уравнение (A- λ)ξ = ξ0 в виде системы (см. (3.9), (3.11)): m ⎧ 1/2 1/2 -1/2 '\\" ⎪ ⎪ A0 ⎨ B l A0 u + 2ω0iA0 S u - Q∗ ρ + l=1 Q∗ vl 1/2 - λ u = u0, (4.4) ⎪ QBA0 u - λρ = ρ0, ⎪ 1/2 ⎩ -QlA0 u + bl vl - λ vl = vl0, l = 1, m. 52 Д. А. ЗАКОРА 1. Положим в системе (4.4) λ = 0, ξ0 = ( u0; ρ0; v10; ... ; vm0)τ = 0 и выразим из третьего уравнения поле vl. С учетом (3.5) найдем, что vl = b-1QlA1/2 u = b-1A1/2 u (l = 1, m). Используем найl 0 l l денные элементы в первом уравнении системы (4.4); умножим первое уравнение системы скалярно на поле u, а второе - на функцию ρ. После простых преобразований получим систему ⎧ ⎪ 1/2 2 ∗ 1/2 m '\\" 1 1/2 2 ⎨ ±A0 u±H + 2ω0i(S u, u)H - (QBρ, A0 u)H + l=1 b ±Al u±H = 0, l ⎪ (QBA1/2 1/2 ⎩ 0 u, ρ)L2,ρ (Ω) = (Q∗ ρ, A u)L (Ω) = 0. 0 B 0 1/2 2 m 2,ρ0 1/2 2 Из этой системы следует, что ±A0 u±H + b-1±A u± = 0, а значит, u = 0 в HA = HA . l l H 0 l l=1 B Следовательно, vl = 0 (l = 1, m). Из системы (4.4) (при λ = 0, ξ0 = 0) найдем теперь, что Q∗ ρ = 0. B Отсюда следует, что ρ = 0, так как KerQ∗ = {0}. Таким образом, ξ = 0, и точка λ = 0 не является собственным значением оператора A. 2. Положим теперь в системе (4.4) λ = bq, ξ0 = 0: ⎧ m ⎪ A1/2 1/2 -1/2 ∗ '\\" ⎨⎪ 0 l A0 u + 2ω0iA0 S u - QBρ + l=1 Q∗ vl - bq u = 0, (4.5) 1/2 1/2 1/2 ⎪ QBA0 u - bqρ = 0, -Qq A0 u = -Aq u = 0, 1/2 ⎩⎪ -QlA0 u + (bl - bq ) vl = 0, l = 1, m, l /= q. 0 q Последовательно из третьего, второго и четвертого уравнений системы (4.5) найдем, что u = 0, ρ = 0, vl = 0 (l /= q). Теперь из первого уравнения из (4.5) следует, что A1/2Q∗ vq = 0, а значит, vq = 0. Таким образом, ξ = 0, и точка λ = bq не является собственным значением оператора A. 3. Покажем теперь, что bq ∈ ρ(A). Для этого достаточно установить, в силу формулы (3.18), что в некоторой проколотой окрестности точки λ = bq существует L-1(λ) ∈ L(H). С использованием леммы 3.3 преобразуем пучок L(λ) в окрестности точки λ = bq следующим образом: m ) = L(λ 1 0 I - λA-1 + 2ω0iSA - 1 B λ Q∗ QB + '\\" l=1,l/=q 1 bl - λ l Q∗Ql + 1 1 bq - λ q Q∗Qq = m 1 = Q∗Qq I + (bq - λ) Q∗Qq -1 I - λA-1 + 2ω0iSA - Q∗ QB + '\\" Q∗Ql = bq - λ q q 0 λ B 1 l=1,l/=q bl - λ l =: bq - λ q Q∗Qq I + Gq (λ) , где Gq (λ) → 0 при λ → bq. Отсюда и из теоремы об обращении оператора, близкого к единичному, следует требуемое утверждение. Приведем известное утверждение об эллиптичности двух специальных краевых задач. Лемма 4.2. 1◦. Пусть a(x), b(x), c(x) ∈ C(Ω), c(x) /=0 (x ∈ Ω). Тогда следующая краевая задача является эллиптической при a(x) /= 0 (x ∈ Ω): ( -a(x)Δ u(x) - b(x)∇div u(x)+ c(x)∇p(x) = v(x) (в Ω), c(x) div u(x) = q(x) (в Ω), u(x) = g(x) (на ∂Ω). 2◦. Пусть a(x), b(x) ∈ C(Ω). Тогда следующая краевая задача является эллиптической если a(x) /= 0, a(x)+ b(x) /= 0 (x ∈ Ω) и 2a(x)+ b(x) /= 0 (x ∈ ∂Ω): -a(x)Δ u(x) - b(x)∇div u(x) = v(x) (в Ω), u(x) = g(x) (на ∂Ω). Основываясь на лемме 4.2, докажем следующие два утверждения. Лемма 4.3. 0 ∈ ρ(A). МОДЕЛЬ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ОЛДРОЙТА 53 Доказательство. Нужно доказать, что существует A-1 ∈ L(H). Из факторизации (3.12) оператора A в форме Шура-Фробениуса видно, что для этого достаточно установить, что существует (G + QT Q∗)-1 ∈ L(H0). Проведем дальнейшее доказательство в несколько этапов. 4. Для любого u ∈ H = L 2(Ω, ρ0) с использованием леммы 3.1 имеем 2 ±(I + 2ω0iSA) u±H = ±(I + 2ω0iA-1/2SA-1/2) u±H :( (1 + 2ω0±A-1/2± )± u±H. 0 0 0 L(H) Отсюда следует, что для любого v ∈ H = L 2(Ω, ρ0) 2 ±T v±H = ±(I + 2ω0iSA)-1 ±H 0 v 2 ;;? (1 + 2ω0±A- 1/2 2 ±L(H) )-2 2 ± v±H ±H =: γ± v 2 . Отсюда и из соотношения T + T ∗ = 2T ∗T = 2TT ∗ для любого w ∈ H0 имеем 1/2 2 ∗ ∗ ±(G + QT Q∗)w±H0 · ±w±H0 ;;? Re((G + QT Q∗)w, w)H0 = ±G w±H0 + Re(T Q w, Q w)H = 2 1 2 ∗ 2 H0 H0 2 = ±G1/2w± +( (T + T ∗)Q∗w, Q∗w)H = ±G1/2w± + ±T Q w±H ;;? (4.6) 2 ∗ 2 ∗ H0 ;;? ±G1/2w± + γ±Q w±H = ((G + γQQ )w, w)H0 , ±(G + QT Q∗)∗w±H0 · ±w±H0 ;;? Re((G + QT ∗Q∗)w, w)H0 ;;? ··· ;;? ((G + γQQ∗)w, w)H0 . Из (4.6) следует, что для доказательства (G + QT Q∗)-1 ∈ L(H0) достаточно установить, что оператор G + γQQ∗ положительно определен или (G + γQQ∗)-1 ∈ L(H0). 5. С этой целью определим операторы Q := Q1,..., Qm τ , G := diag b1I,..., bmI m и перепишем оператор G + γQQ∗ относительно разложения H0 = L2,ρ0 (Ω) ⊕ H , где H := ffi H, в l=1 следующей форме: (0 0 (-QB (γQBQ∗ -γQB Q ∗ G + γQQ∗ = + γ 0 G Q B · - Q∗ , Q ∗ = B -γQ Q∗ . G + γQQ∗ B Допустим, что существует (QBQ∗ )-1 ∈ L(L2,ρ (Ω)). Тогда из последнего соотношения найдем B 0 следующее разложение оператора G + γQQ∗ в форме Шура-Фробениуса: G + γQQ∗ = B (γQBQ∗ -γQ Q∗ -γQB Q ∗ = G + γQQ∗ (4.7) B B ( I 0 (γQB Q∗ = 0 (I -(QB Q∗ ) B -1QB Q ∗ , -Q Q∗ (QBQ∗ )-1 I 0 F 0 I B B где F := G + γQ Q ∗ - γQ Q∗ (QBQ∗ )-1QB Q ∗. B B По теореме о полярном разложении плотно определенного замкнутого оператора [20, теорема 2, с. 184] существует единственный частично изометричный оператор U, действующий из H в L2,ρ0 (Ω), такой, что QB = U (Q∗ QB )1/2 = (QBQ∗ )1/2U, Q∗ = (Q∗ QB )1/2U ∗ = U ∗(QBQ∗ )1/2, U ∗U = P. B B B B B Здесь P - это оператор ортогонального проектирования пространства H на H е KerQB. Отсюда следует положительная определенность оператора F : F = G + γQ Q ∗ - γQ Q∗ (QBQ∗ )-1QB Q ∗ = G + γQ (I - U ∗U )Q ∗ = G + γQ (I - P )Q ∗ ⊇ 0. B B Из (4.7) следует, что существует (G + γQQ∗)-1 ∈ L(H0) и лемма будет доказана. 6. Рассмотрим краевую задачу ⎧ 0 (z) ⎨-ρ-1 μ0Δ u(x)+ η0 + 0 μ 3 ∇div u(x) ∞ 0 + ∇ a ρ-1/2(z)ρ(x) = v(x) (в Ω), (4.8) 0 ⎩ a∞ρ- 1/2 (z)div ρ0(z) u(x) = q(x) (в Ω), u(x) = 0 (на ∂Ω). 54 Д. А. ЗАКОРА Система (4.8) - это система Дуглиса-Ниренберга. Краевая задача, отвечающая главной части системы (4.8), имеет вид (первое уравнение умножено на ρ0(z)) ⎧ ⎨- μ0Δ u(x)+ η0 + 1/2 μ0 3 ∇ div u(x) ∞ 0 0 + a ρ1/2(z)∇ρ(x) = ρ (z) v(x) (в Ω), ⎩ a∞ρ0 (z)div u(x) = q(x) (в Ω), u(x) = 0 (на ∂Ω) и является эллиптической в силу леммы 4.2. Из [22] следует, что максимальный оператор, являющийся L2-реализацией краевой задачи (4.8), фредгольмов. С использованием операторов A0, B QB, Q∗ краевую задачу (4.8) можно переписать в следующей операторной форме в гильбертовом пространстве H0 = H ⊕ L2,ρ0 (Ω) (H = L 2(Ω, ρ0)): ( u (A1/2 0 ( I -Q∗ (A1/2 0 ( u / A1/2 A1/2 u - Q∗ ρ \\ ( v B0 ρ = 0 Q 0 B 0 ρ = 0 0 B 1/2 = q , 0 I B 0 I QBA0 u D(B0) = {ζ = ( u; ρ)τ ∈ H0 | u - A-1/2Q∗ ρ ∈ D(A0)}. 0 B 0 0 Оператор B0 является максимальным аккретивным оператором, KerB0 = {0}. Эти факты доказываются по аналогии с соответствующими утверждениями в леммах 3.4 и 4.1. Оператор B∗ также является максимальным аккретивным оператором, KerB∗ = {0}. Отсюда и из фредгольмовости оператора B0 0 следует, что существует B-1 ∈ L(H0). B 7. Докажем теперь, что существует (QBQ∗ )-1 ∈ L(L2,ρ0 (Ω)). Допустим, что это не +∞ верно. Тогда существует некомпактная последовательность {ρn}n=1 ⊂ L2,ρ0 (Ω) такая, что ∗ -1/2 ∗ τ ±ρn±L2,ρ0 (Ω) = 1, QBQBρn → 0 (n → +∞) в L2,ρ0 (Ω). Определим ζn := (A0 QBρn; ρn) , n ∈ N. }n=1 Тогда {ζn +∞ ⊂ D(B0), так как [A- 1/2 Q∗ ρn] - A-1/2 Q∗ [ρn] = 0 ∈ D(A0). Кроме того, имеем 0 B 0 B (A-1/2 ∗ ( 0 ζn --0, B0ζn = B0 0 QBρn ρn B = QBQ∗ ρn → 0 (n → +∞), что противоречит B-1 ∈ L(H0). Таким образом, (QBQ∗ )-1 ∈ L(L2,ρ (Ω)). 0 B 0 Определение 4.1. Существенным спектром оператора A (спектральной задачи (4.1)) назовем множество σess(A) := {λ ∈ C | (A- λ) - нефредгольмов}. Для описания существенного спектра задачи определим функции m ϕ(λ) := μ0 + '\\" l=1 μ l bl - λ μ0 , ψ(λ, x) := η0 + 3 m + '\\" l=1 1 bl - λ ηl + μl 3 - 0 1 a2 ρ (z). (4.9) λ ∞ С помощью функций (4.9) определим множества в комплексной плоскости (точнее, на R+) ΛE,1 := (λ ∈ C| ϕ(λ) = 0 , ΛE,2 := (λ ∈ C| ϕ(λ)+ ψ(λ, x) = 0, x ∈ Ω , ΛL := (λ ∈ C| 2ϕ(λ)+ ψ(λ, x) = 0, x ∈ ∂Ω . (4.10) Простые геометрические рассуждения показывают, что множество ΛE,1 состоит ровно из m различных точек, находящихся на луче (b1, +∞) и разделенных точками bl (l = 1, m). Каждое из множеств ΛE,2, ΛL состоит ровно из (m + 1)-го отрезка на луче (0, +∞). Для каждого множества отрезки разделены точками bl (l = 1, m). Если рассматриваемая система не вращается и находится в невесомости (ω0 = 0, g = 0), то ρ0 = const, и каждое из множеств ΛE,2, ΛL превращается в набор из (m + 1)-й точки. Лемма 4.4. σess(A) = ΛE,1 ∪ ΛE,2 ∪ ΛL ⊂ (0, +∞). Множество C\\σess(A) состоит из регулярных точек и изолированных собственных значений конечной кратности оператора A. МОДЕЛЬ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ОЛДРОЙТА 55 Доказательство. Пусть λ ∈/ ΛE,1 ∪ ΛE,2 ∪ ΛL, λ ∈/ σ(G). Рассмотрим краевую задачу 1 - ρ0(z) μ0 + m '\\" l=1 μl bl - λ Δ u(x) - 1 ρ0(z) μ0 η0 + 3 m + '\\" l=1 1 bl - λ ηl + μl 3 ∇div u(x)+ 1 + λ ∇ a2 ∞ ρ0(z) div ρ0(z) u(x) - 2ω0 u(x) × e3 - λ u(x) = v(x) (в Ω), u(x) = 0 (на ∂Ω). (4.11) Из (4.9), (4.10) и леммы 4.2 найдем, что краевая задача (4.11) является эллиптической. Из [22] следует, что оператор, являющийся L2-реализацией краевой задачи (4.11), фредгольмов. С использованием введенных ранее операторов и пучка (4.3) можно проверить, что краевую задачу (4.11) можно переписать в виде A1/2L(λ)A1/2 u = v. Таким образом, оператор A1/2L(λ)A1/2 фредгольмов 0 0 0 0 в H = L 2(Ω, ρ0). Из [15, лемма 1, с. 52] следует, что оператор A1/2L(λ)A1/2 фредгольмов как оператор, действу- 0 0 A0 ющий из HA0 в H∗ A (H∗ 0 - пространство, сопряженное к HA0 относительно скалярного произведения в H). Следовательно, оператор L(λ) также фредгольмов в H = L 2(Ω, ρ0). Из [21, теорема 3.1, с. 374] (теорема о произведении фредгольмовых операторов) и факторизации (3.11) теперь найдем, что оператор (A1/2 (I - λA-1 ∗ ( 1/2 A- λ = 0 0 0 I 0 + 2ω0iSA Q -Q G - λ A0 0 = 0 I (A1/2 (I Q∗R (G) (L(λ) 0 ( I 0 ( 1/2 0 I 0 I 0 G- λ -Rλ(G)Q I 0 I )-1, SA = A-1/2S 0 A-1/2, фредгольмов. Сл 0 едовательно, для существе = 0 0 λ где Rλ(G) = (G- λ A0 0 , нного спектра оператора A получаем включение σess(A) ⊂ ΛE,1 ∪ ΛE,2 ∪ ΛL. Множество C\\σess(A), очевидно, является связным, а оператор A имеет регулярные точки. Отсюда и из [8, теорема 5.17, с. 296] (теорема об устойчивости индекса и дефекта замкнутого оператора) следует, что множество C\\σess(A) состоит из регулярных точек и изолированных собственных значений конечной кратности оператора A. Предположим теперь, что λ ∈/ σess(A), λ ∈ ΛE,1 ∪ ΛE,2 ∪ ΛL. В этом случае получим противоречие, так как регулярные точки (отличные от 0, b1, ··· , bm) и изолированные собственные значения конечной кратности оператора A являются регулярными и изолированными собственными значениями конечной кратности для пучка L(λ) (см. (3.18) и лемму 4.10). 3. Локализация спектра и асимптотика спектра на бесконечности. Из леммы 3.4 следует, что σ(A) ⊂ {λ ∈ C| Reλ ;;? 0}. Докажем, что спектр оператора A лежит в правой открытой полуплоскости. Лемма 4.5. σ(A) ⊂ {λ ∈ C| Reλ > 0}. Доказательство. Пусть λ ∈ σ(A), λ ∈/ σess(A), λ ∈/ σ(G) = {0, b1,..., bm}. Тогда λ, являющееся собственным значением оператора A, является также собственным значением пучка L(λ) (см. (4.3)). То есть, существует 0 /= z ∈ H = L 2(Ω, ρ0) такой, что L(λ) z = 0. Умножая последнее равенство скалярно на z, получим уравнение, которому удовлетворяет λ: 1 m q '\\" l (4.12) -1/2 2 1 - λp + 2ω0is - λ q0 + l=1 = 0, bl - λ 2 2 p := ±A0 z±H , s := (SA z, z)H , q := ±QB z±H , q := ±Ql z±H (l = 1, m). H ± z±2 H ± z±2 H 0 ± z±2 H l ± z±2 Выделим действительную и мнимую части из (4.12): Reλ m q (b - Reλ) 1 - pReλ - q0 |λ|2 + '\\" l=1 l l |bl - λ|2 = 0, (4.13) 56 Д. А. ЗАКОРА -pImλ + 2ω0s + q0 Imλ |λ|2 m + '\\" l=1 qlImλ |bl - λ|2 = 0. (4.14) Учитывая, что p > 0, из (4.13) и леммы 4.3 следует утверждение леммы. Лемма 4.6. Для любого сколь угодно малого ε > 0 существует R = R(ε) > 0 такое, что весь спектр оператора A принадлежит множеству Λε ∪ CR, где Λε := { |argλ| < ε}, CR := { |λ| < R}. Более того, спектр оператора A имеет ветвь собственных значений (+∞) n=1 {λn }∞ , расположенных в Λε со следующей асимптотикой: λ(+∞) n = λn(A0)(1 + o(1)) (n → +∞), 2μ-3/2 + ζ-3/2 r -2/3 4μ0 λn(A0) = 0 0 6π2 0 ρ3/2(z) dΩ Ω n2/3(1 + o(1)) ζ0 := η0 + 3 (n → +∞). 0 0 Доказательство. Оператор SA компактен, KerA-1 = {0}, следовательно (см. [11, лемма 3.1, с. 15]), ±(I - λA-1)-1SA±H → 0 при λ → ∞, λ ∈ C\\Λε. Отсюда следует, что существует R = R(ε) такое, что пучок L(λ) из (4.3) непрерывно обратим в C\\(Λε ∪ CR). Наличие соответствующей ветви собственных значений и ее асимптотика следует из степенной асимптотики собственных значений оператора A0 и теоремы А. С. Маркуса-В. И. Мацаева [12]. Асимптотика собственных значений оператора A0 следует из [4, с. 10]. Лемма 4.7. Для любого сколь угодно малого ε > 0 спектр σ(A) оператора A, за исключением, быть может, конечного количества собственных значений, лежит в полосе {λ ∈ C | Reλ > 0, |Imλ| :( 2ω0 + ε}. Доказательство. Достаточно доказать, очевидно, что ветвь собственных значений из леммы 4.6 попадает в указанную область. Пусть λ - собственное значение из указанной ветви, а z - соответствующий ему собственный элемент пучка L(λ), т. е. L(λ) z = 0. Умножив последнее равенство скалярно на z и выделив из полученного соотношения действительную и мнимую части, получим равенства (4.13) и (4.14) соответственно. Из (4.14) с учетом (4.13) найдем: 1 q0 |Imλ| = |2ω0s|· 1 - p + 1 |λ|2 m + '\\" l=1 l q 1-1 = 1 |bl - λ|2 1 2ω0|s|Reλ |s| pReλ 1 '\\" q b 1 p 1 '\\" q b 1 1 l l 1 1 l l 1 12pReλ - 1 - l=1 |bl - λ|2 1 12pReλ - 1 - l=1 |bl - λ|2 1 Из леммы 3.1 получим, что |s|p-1 = (SA-1/2 z, A-1/2 z)H ±A-1/2 z±-2 :( 1. Из (4.13) следует, что 0 0 0 H :( большое по абсолютной величине собственное значение. 4. Локализация спектра в случае ω0 = 0. В следующих двух утверждениях установим локализацию спектра оператора A в случае, когда в системе отсутствует вращение, т. е., когда ω0 = 0. Рассуждения будут основаны на применении методов индефинитной метрики, которые можно найти в [1, 24]. В связи с этим обстоятельством будем считать, что H = H+ ⊕ H-, где H+ := H = L 2(Ω, ρ0), H- := H0. Определим оператор J := diag(I, -I0) и введем в H индефинитное скалярное произведение по формуле [ξ1, ξ2] := (J ζ1, ζ2)H = ( v1, v2)H+ - (w1, w2)H- . Введем ортопроекторы P+ и P-: P+H = H+, P-H = H-. Приведем необходимые понятия и факты из теории пространств с индефинитной метрикой. Подпространство L+ пространства Крейна H называется неотрицательным, если [ξ, ξ] ;;? 0 для любого ξ ∈ L+, и максимальным неотрицательным (L+ ∈ M+), если оно не является частью другого неотрицательного подпространства. Аналогично определяется неположительное подпространство L-. МОДЕЛЬ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ОЛДРОЙТА 57 - Известно (см. [1, с. 70]), что L+ ∈ M+ тогда и только тогда, когда существует K+ : H+ →H (±K+± :( 1) такой, что L+ = {ξ = ξ+ + K+ξ+ : ξ+ ∈ H+}. Подпространство L+ называется равномерно положительным, если оно является гильбертовым пространством по отношению к скалярному произведению, порождаемому индефинитной метрикой. Будем говорить, что пространство L+ принадлежит классу h+, если оно допускает разложение в прямую J -ортогональную сумму конечномерного изотропного подпространства и равномерно ∞ положительного подпространства. В частности, L+ ∈ h+, если K+ ∈ S (см. [1, с. 84]). Если L± ∈ M± и L+ J -ортогонально L-, то будем говорить, что они образуют дуальную пару {L+, L-}. Будем писать {L+, L-}∈ h, если L± ∈ h±. Будем говорить, что непрерывный J -самосопряженный оператор A принадлежит классу (H) (A∈ (H)), если у него есть хотя бы одна дуальная пара {L+, L-} инвариантных подпространств и каждая A-инвариантная дуальная пара принадлежит классу h. Лемма 4.8. В случае ω0 = 0 спектр оператора A действительный, за исключением, быть может, конечного количества собственных значений, расположенных симметрично относительно действительной оси. Доказательство. Из факторизации (3.12) оператора A в форме Шура-Фробениуса и положительной определенности оператора G + QQ∗ ⊇ 0 (см. лемму 4.3) найдем ( -1/2 ( I 0 A-1 = I -A0 Q∗ 0 I 0 diag(A-1, (G + QQ∗)-1) QA -1/2 = 0 I / 1 1/2 1 -1/2 -1/2 \\ (4.16) 1 0 - A- Q (G + QQ ) QA0 -A0 Q (G + QQ ) = A- 0 ∗ ∗ - ∗ ∗ - . 0 (G + QQ∗)-1QA-1/2 (G + QQ∗)-1 Оператор A-1 J -самосопряженный и ограниченный, следовательно, спектр оператора A симметричен относительно действительной оси (этот же факт следует и из самосопряженности пучка L(λ)). Теорема будет доказана полностью, если оператор A-1 имеет не более конечного количества невещественных собственных значений. Последнее, в свою очередь, будет верно, если A-1 ∈ (H) 0 (см. [1, следствие 5.21, с. 245]). В самом деле, из компактности оператора A-1/2 следует, что - P+A-1P компактен, а значит (см. [1, с. 287]), оператор A-1 имеет дуальную инвариантную - пару {L+(A-1),L (A-1)}. Пусть K+ - угловой оператор инвариантного неотрицательного подпространства L+(A-1), тогда K+ : H+ →H , ±K ± :( 1 и - + - + + L+(A-1) = (( u; w)τ ∈ H+ ⊕H | ( u; w)τ = ( u; K u)τ , u ∈H . Пусть ( u1; w1)τ = ( u1; K+ u1)τ ∈ L+(A-1), тогда A-1( u1; K+ u1)τ = ( u2; K+ u2)τ . Отсюда и из (4.16) следует уравнение для определения углового оператора K+: 0 (G + QQ∗)-1K+ = -(G + QQ∗)-1QA-1/2+ + K+ A-1 - A-1/2Q∗(G + QQ∗)-1QA-1/2 - K+A-1/2Q∗(G + QQ∗)-1K+. (4.17) 0 0 ∞ Отсюда и из A-1/2 ∈ S 0 следует, что K+ 0 0 ∈ S∞. Лемма 4.9. Пусть ω0 = 0 и λ0 - невещественное собственное значение оператора A, тогда γ1 < Reλ0 < γ2, |λ0|2 < bm + 2c + 2(c2 + bmc)1/2 2bm + c , 0 ± γ1 := 2±A-1/2 2 -1 ±L(L2,ρ0 (Ω)) , γ2 := bm + c + (c2 + bmc)1/2, c := ±QB 2 m + '\\" l=1 2 ±Ql±L(H). Спектр оператора A действительный, если выполнено условие 2±A-1/2 2 2 1/2 -1 0 ± :( bm + c + (c + bmc) . (4.18) 58 Д. А. ЗАКОРА Доказательство. Поскольку ω0 = 0 и λ0 - невещественное собственное значение оператора A, тогда λ0 есть корень уравнения (4.12) при некотором фиксированном z = z0. Перепишем уравнение (4.12) в следующих формах: m 1 l q - '\\" q q := q m + '\\" q , q := b q (l = 1, m), 0 = 1 - λp - λ l=1 m , 0 bl - λ m m l l l l l=1 0 = (λ - λ2p - q) тт(bl - λ)+ '\\" ql тт(bk - λ) = l=1 l=1 k/=l m m q = -p(-1)mλm+2 + (-1)mλm+1 1+ p '\\" bl - (-1)mλm + '\\" bl + p '\\" bibj + .... (4.19) l=1 l=1 i<j Уравнение (4.12) имеет m действительных корней, которые мы обозначим через λl (λl ∈ (bl-1, bl), l = 1, m, b0 := 0), и еще два корня- λ0 и λ0. Обозначим ξ0 := Reλ0, η0 := Imλ0, тогда m 0 = -p тт(λl - λ) (λ - ξ0)2 + η2 = -p(-1)mλm+2 + (-1)mλm+1p m ξ0 + '\\" λl - 0 l=1 2 l=1 m - (-1)mλmp (ξ2 + η2)+ 2ξ0 '\\" λl + '\\" λiλj + .... (4.20) 0 0 l=1 i<j Приравнивая коэффициенты при λm+1 и λm из (4.19) и (4.20), получим m 2ξ0 + '\\" λl = l=1 m 1 + '\\" bl, (4.21) p l=1 m q 1 m (ξ2 + η2)+ 2ξ0 '\\" λl + '\\" λiλj = + '\\" bl + '\\" bibj. (4.22) 0 0 l=1 2 i<j m p p l=1 i<j Из (4.21) следует, что 2Reλ0 = 2ξ0 = p-1 + (bl - λl) > p-1 ;;? ±A-1/2± , и оценка снизу на Reλ0 получена. 0 l=1 m Далее мы следуем идеям из [24, с. 378]. Обозначим δ := 2-1 (bl -λl), ω := (2p)-1, тогда l=1 ξ0 = ω + δ (см. (4.21)). Выразим из (4.21) зований получим m λl и подставим его в (4.22). После ряда преобраl=1 η2 0 + 2δ m '\\" l=1 λl - '\\" i<j (bibj - λiλj ) = -ω2 + 2ω(δ + q) - δ2. (4.23) Из условия λl ∈ (bl-1, bl), l = 1,m (b0 = 0) можно вывести оценку [24, формула (5.24), с. 380]: m m m '\\"(bibj - λiλj ) < '\\"(bj - λj ) '\\" λi = 2δ '\\" λl. (4.24) i<j j=1 i=1 l=1 q q q2)1/2 m Из (4.24) следует положительность правой части в (4.23), а значит, ω < δ + + (2δ + . q q q2)1/2 2 1/2 2 2 Отсюда Reλ0 = ξ0 < 2δ + + (2δ + ка сверху на Reλ0 получена. :( bm + c + (c + bmc) , c = ±QB ± + l=1 ±Ql± , и оцен- Из оценки на Reλ0 выводится условие (4.18), достаточное для отсутствия невещественного собственного значения λ0. Далее, выразим из (4.22) (ξ2 +η2)=|λ0|2 и преобразуем его с помощью (4.21). С использованием 0 0 оценки (4.24) получим, что |λ0|2 < 2ω(q + 4δ). После простых оценок отсюда следует неравенство для |λ0|2. МОДЕЛЬ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ОЛДРОЙТА 59 5. О представлении решения эволюционной задачи и его стабилизации. Из лемм 3.4 и 4.5 следует, что оператор -A является генератором голоморфной полугруппы, и эта полугруппа имеет отрицательный тип, так как σ(-A) ⊂ {Reλ < 0} (см., например, [29, теорема 4.3, с. 118]). Это обстоятельство позволяет применить к задаче (3.10) (а затем и к задаче (3.6)) соответствующие теоремы о представлении решения эволюционного уравнения и об асимптотическом поведении этого решения. По краевой задаче (3.1) определим оператор A A := μ0 + m '\\" μl b , η0 + μ0 + 3 m '\\" 1 b ηl + μl , 3 l=1 l l=1 l с помощью которого можно существенно упростить формулы следующей теоремы при ω0 = 0. Теорема 4.1. Пусть u0 ∈ D(A0), ρ0 ∈ D(B∗), а поле f (t) удовлетворяет условию теоремы 3.1. Тогда сильное решение задачи (3.6) представимо в виде t ( u(t) ρ(t) = U(t) ( u0 r ρ0 + 0 U(t - s) (f (s) 0 ds, 1 r e-λt / 2 -1 -1 ∗ \\ λ A-1/2 -1/2 -1/2 0 L (λ)A0 -λA0 L (λ)QB U(t) := - 2πi λ2 Γ λQB 0 B L-1(λ)A-1/2 QBL-1(λ)Q∗ - λI dλ, где контур Γ является границей сектора Λω,θ := {λ ∈ C | |arg(λ - ω)| < θ} и ориентирован так, что Imλ убывает при его обходе. Числа ω > 0 и θ ∈ (0, π/2) выбраны так, чтобы σ(A) ⊂ Λω,θ (см. леммы 3.4, 4.5). При этом ( u(t) ( u /A-1/2M M -1 - Q∗ QBMQ∗ -1QB M A-1/2f \\ lim f (t) = f =⇒ lim = := 0 B B 0 , t→+∞ t→+∞ ρ(t) ρ - QBMQ∗ -1QBM A-1/2f m M := I + '\\" 1 Q∗Q B + 2ω iS 0 -1. Если ω0 = 0, то bl l l 0 A l=1 ( u(t) ( u / A-1/2 I - P A-1/2f \\ lim = = -1BA f , t→+∞ ρ(t) ρ - (BA-1/2)(BA-1/2)∗ -1 где P - ортопроектор пространства H = L 2(Ω, ρ0) на H е Ker(BA-1/2). Если предположить дополнительно, что f = ∇q, то u = 0, ρ = ρ1/2 0 (z) a∞ 0 Ω - q r ρ (z)q d r 0 Ω ρ (z) d -1 . Ω Ω Доказательство. 1. Пусть u0 ∈ D(A0), ρ0 ∈ D(B∗), а поле f (t) удовлетворяет условию теоремы 3.1. Тогда по теореме 3.1 задача Коши (3.6) имеет единственное сильное решение ζ(t) = ( u(t); ρ(t))τ , а построенная по ζ(t) функция ξ(t) - сильное решение задачи Коши (3.10). Это решение представимо в виде r t r ξ(t) = U(t)ξ0 + 0 2πi U(t - s)F(s) ds, U(t)ξ0 := - 1 Γ e-λt(A- λ)-1ξ0 dλ, (4.25) где контур Γ выбирается как описано в условии теоремы. Дальнейшее доказательство состоит в простых вычислениях с использованием в (4.25) формулы (3.18), формул для ξ0, F(t) и ξ(t). 1. Из условий теоремы следует, что F(t) →F := (f ; 0)τ при t → +∞. Из лемм 3.4 и 4.5 следует, что оператор -A - генератор голоморфной полугруппы и справедливо включение σ(-A) ⊂ {Reλ < 0}. Отсюда следует (см. [29, теорема 4.3, с. 118]), что соответствующая полугруппа имеем отрицательный тип. По теореме [29, теорема 4.4, с. 119] ξ(t) → A-1F при t → +∞. 60 Д. А. ЗАКОРА Пусть AX = F . Полагая в (4.4) λ = 0, ξ = X , ξ0 = F найдем, что ⎛ m ⎞ (A1/2 I + b-1 ∗ ∗ (A1/2 ( 0 0 l Ql Ql + 2ω0iSA -QB 0 0 u = 0 I ⎝ l=1 QB 0 ⎠ 0 I ρ ( I 0 (A1/2 1/2 ( -1/2 ( u ( 0 I QBM A-1/2 = 0 M -1A0 0 B 0 QBMQ∗ B I -A0 MQ∗ 0 I = f . ρ 0 Отсюда получим ( u A-1/2 (I A-1/2MQ∗ / -1/2 \\ ( I 0 ( ρ = 0 0 I B 0 M A0 0 B 0 QBMQ∗ -1 -1/2 f = -QBM A0 I 0 /A-1/2 1 ∗ ∗ -1 -1/2 \\ = 0 M M - - QB QBMQB QB M A0 f . - QBMQ∗ -1QBM A-1/2f B 0 2. Пусть теперь ω0 = 0. Проведем ряд вычислений, воспользовавшись тем, что если два ограниченных оператора совпадают на некотором плотном в пространстве множестве, то они совпадают: M -11 m = I + '\\" 1 Q∗Q 1 m = I + '\\" 1 A-1/2A A-1/21 = 1 0 ) 1 1/2 1D(A1/2 bl l l=1 1 l 0 ) D(A0 ) = A-1/2 bl 0 l=1 -1/21 l 1 0 1D(A1/2 -1/2 -1/2 1 0 AA0 m 1 0 ) 1D(A1/2 = (A1/2A0 )∗(A1/2A0 )1 , 1/2 1D(A0 ) M = I + '\\" 1 Q∗Q -1 = (A1/2A-1/2)-1 (A1/2A-1/2)∗ -1 = (A1/2A-1/2)(A1/2A-1/2)∗, A-1/2 bl l=1 -1/2 l l -1/2 1/2 0 1/2 0 0 0 -1/2 0 M A0 = A0 (A0 A-1/2)(A0 A-1/2)∗A0 = A-1, A-1/2 1 -1/2 1/2 1/2 -1/2 1 B 1 0 MQ∗ 1 D(B∗) = A0 (A0 A-1/2)(A0 A-1/2)∗(BA0 )∗1 = 1D(B∗) 1 = A-1B∗1 1D(B∗) 1 = A-1/2(BA-1/2)∗1 , 1D(B∗) B 1 QBMQ∗ 1 = (BA- 1/2)(A1/2A-1/2)(A1/2A-1/2)∗(BA- 1 1/2)∗1 = 1D(B∗) 0 0 0 0 1 = BA-1B∗1 1D(B∗) 1D(B∗) 1 = (BA-1/2)(BA-1/2)∗1 , 1D(B∗) QBM A-1/2 -1/2 1/2 1/2 -1/2 0 = (BA0 )(A0 A-1/2)(A0 A-1/2)∗A0 = BA-1 = (BA-1/2)A-1/2. По теореме [20, теорема 2, с. 184] о полярном разложении плотно определенного замкнутого оператора существует единственный частично изометричный оператор U, действующий из H в L2,ρ0 (Ω), такой, что (BA-1/2) = (BA-1/2)(BA-1/2)∗ 1/2U, (BA-1/2)∗ = U ∗ (BA-1/2)(BA-1/2)∗ 1/2, U ∗U = P. Здесь P - это оператор ортогонального проектирования пространства H на H е Ker(BA-1/2). С использованием проведенных вычислений теперь найдем, что u = A-1/2 -1 -1/2 B B 0 M M -1 - Q∗ QBMQ∗ QB M A0 f = = A-1/2 -1/2 -1/2 -1 -1/2 B B 0 M A0 - A0 MQ∗ QBMQ∗ QBM A0 f = = A-1 - A-1/2(BA-1/2)∗ (BA-1/2)(BA-1/2)∗ -1(BA-1/2)A-1/2 f = = A-1/2 I - U ∗U A-1/2f = A-1/2 I - P A-1/2f , ρ = - QBMQ∗ -1QBM A-1/2f = - (BA-1/2)(BA-1/2)∗ -1BA-1f . B 0 МОДЕЛЬ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ОЛДРОЙТА 61 3. Предположим теперь, что f = ∇q. Тогда мы можем записать поле f следующим образом: r f = ∇q = ∇ q - Ω ⎛ 0 Ω ρ (z)q d r Ω 1/2 0 Ω ρ (z) d -1 = ⎞ = -∇ ⎝ ρ1/2 a∞ 0 (z) q - ρ0 (z) r - a∞ Ω 0 Ω ρ (z)q d r Ω 0 Ω ρ (z) d -1 ⎠ = B∗p, p := - ρ1/2 0 (z) a∞ 0 Ω - q r ρ (z)q d r 0 Ω ρ (z) d -1 ∈ D(B∗). Ω Ω Из этого представления, учитывая, что (BA-1/2)∗p ∈ Im(BA-1/2)∗ = H е Ker(BA-1/2) и, соответственно, P (BA-1/2)∗p = (BA-1/2)∗p, теперь найдем 1 - - u = A-1/2 I P A-1/2B∗p = A-1/2 I P (BA-1/2)∗1 1D(B∗) p = 0, ρ = - (BA-1/2)(BA-1/2)∗ -1BA-1B∗p = 1 - = (BA-1/2)(BA-1/2)∗ -1(BA-1/2)(BA-1/2)∗1 1 Теорема доказана. D(B∗) p = -p. 6. Теорема о кратной базисности для специальной системы элементов в случае ω0 = 0, g = 0. Разложение решения эволюционной задачи. Дадим следующее определение. Определение 4.2 (см. [11, с. 61]). Пусть λ0 - собственное значение, а z0 - отвечающий ему собственный элемент оператор-функции L(λ), т. е. L(λ0) z0 = 0. Элементы z1, z2,..., zn-1 называют j присоединенными к собственному элементу z0, если (k!)-1L(k)(λ0) zj k=0 -k = 0 (j = 1, 2,...,n - 1). Число n называют длиной цепочки z0, z1,..., zn-1 из собственного и присоединенных элементов. В работе [6] установлена следующая лемма о связи собственных и присоединенных элементов оператора A (задачи (4.1)) и пучка L(λ) (см. (4.3)). }k=0 Лемма 4.10. Пусть набор элементов {ξk = ( uk ; wk )τ n-1 является цепочкой из собственного и присоединенных к нему элементов оператора A, отвечающей собственному значению λ0 n-1 1/2 n-1 (λ0 /= 0, b1,..., bm), тогда { zk }k=0 := {A0 uk }k=0 - цепочка из собственного и присоединенных к нему элементов пучка L(λ), отвечающая собственному значению λ0. }k=0 Обратно, пусть набор элементов { zk n-1 - цепочка из собственного и присоединенных к нему элементов пучка L(λ), отвечающая собственному значению λ0, тогда k n-1 {ξk = (A-1/2 zk ; wk )τ } , где wk = (G- λ0) -(k-l+1) Q zl, - цепочка из собственного и присо- 0 k=0 l=0 единенных к нему элементов оператора A. Рассмотрим пространство H = H+ ⊕ H- с индефинитным скалярным произведением (см. п. 4.4). Назовем базис J -пространства H почти J -ортонормированным, если его можно представить как объединение конечного подмножества элементов и J -ортонормированного подмножества, причем эти подмножества J -ортогональны друг другу. Обозначим через Lλ(A) корневой линеал оператора A, отвечающий собственному значению λ (λ ∈ σp(A)). Введем также следующие обозначения: F(A) := sp{Lλ(A)| λ ∈ σp(A)}, F0(A) := sp{Ker(A- λ)| λ ∈ σp(A)}. Будем писать λ ∈ s(A) ⊂ R, если Ker(A- λ) вырождено, т. е. если существует ξ0 ∈ Ker(A- λ) такое, что [ξ0, ξ] = 0 для любого ξ ∈ Ker(A- λ). Основываясь на теореме Т. Я. Азизова [1, теорема 2.12, с. 271] установим следующую теорему в случае, когда ω0 = 0, g = 0. 62 Д. А. ЗАКОРА Теорема 4.2. Имеют место следующие утверждения. 1◦. codim F(A) :( codim F0(A) < ∞. 2◦. F(A) = H ⇐⇒ sp{Lλ(A)|λ ∈ σess(A) ∩ (γ1, γ2)} - невырожденное подпространство, где γ1, γ2 - числа, определенные в лемме 4.9. 3◦. F0(A) = H ⇐⇒ Lλ(A) = Ker(A- λ) при λ /= λ и s(A) = ∅. Если γ2 :( γ1, то F0(A) = H. 4◦. Если F0(A) = H (соответственно, F(A) = H), то в H существует почти J -ортонормированный p-базис (при p > 3), составленный из собственных (соответственно, корневых) элементов оператора A. Если γ2 :( γ1, то указанный базис из собственных элементов будет J -ортонормированным. Доказательство. В лемме 4.8 установлено, что A-1 ∈ (H). Кроме того, из (4.17) следует, что 0 K+ ∈ Sp при p > 3, поскольку A-1 ∈ Sp при p > 3/2, согласно лемме 4.6. Из леммы 4.4 следует, что спектр оператора A-1 (при ω0 = 0, g = 0) имеет конечное количество точек сгущения. Таким образом, оператор A-1 удовлетворяет всем требованиям теоремы Т. Я. Азизова. Применим эту теорему к оператору A-1. 1. Из равенств F(A) = F(A-1), F0(A) = F0(A-1) следует 1◦. 2. F(A-1) = H ⇐⇒ sp{Lλ-1 (A-1)|λ-1 ∈ s(A-1)} - невырожденное подпространство. Из [1, замечание 3.8, с. 271] следует, что при доказательстве равенства F(A-1) = H невырожденность Lλ-1 (A-1) нужно проверять только для тех λ-1 ∈ s(A-1), которые являются точками сгущения спектра оператора A-1. Из равенства Lλ-1 (A-1) = Lλ(A) следует, что нужно проверять невырожденность Lλ(A) для λ ∈ σess(A) ∩ s(A). Выясним расположение множества s(A). Пусть λ = λ ∈ σp(A), λ ∈/ σ(G) и Ker(A-λ) вырождено. В силу леммы 4.10 это эквивалентно тому, что в KerL(λ) существует такой элемент z0, что элемент ξ0 = (A-1/2 -1/2 0 z0; (G- λ)-1Q z0)τ J -ортогонален всем элементам вида ξ = (A0 z; (G- λ)-1Q z)τ , где z ∈ KerL(λ), т. е. [ξ0, ξ] = 0. Используя введенные ранее обозначения, последнее уравнение мож- H но привести к виду Lt(λ) z0, z H = 0. В частности, имеем два соотношения: L(λ) z0, z0 = 0, H Lt(λ) z0, z0 = 0. Таким образом, λ есть кратный корень уравнения (4.12) при z = z0. Полагая в формуле (4.20) леммы 4.9 η0 = 0 и считая, что ξ0 и есть этот кратный корень, найдем, что λ ∈ (γ1, γ2). Из лемм 4.1, 4.3 следует, что σ(G) = {0, b1, ··· , bm}⊂ ρ(A), а значит, {0, b1, ··· , bm}∩ s(A) = ∅. Таким образом, s(A) ⊂ (γ1, γ2), и утверждение 2◦ доказано. 3. Первые части утверждений 3◦ и 4◦ - это переформулировки соответствующих утверждений используемой теоремы Т. Я. Азизова. Если γ2 :( γ1, то s(A) = ∅, и оператор A не имеет невещественных собственных значений. Следовательно, F0(A) = H, и соответствующий p-базис (при p > 3) в H, составленный из собственных элементов оператора A, будет J -ортонормированным. Пусть ω0 = 0, g = 0. Будем считать, что γ2 :( γ1, тогда по теореме 4.2 существует J -ортонормированный p-базис (при p > 3) в H, составленный из собственных элементов оператора A. По лемме 4.10 этот базис можно представить в следующем виде, разделив его на систему позитивных и негативных элементов: ξ± k := A- 1/2 z±; (G- λ±)-1Q z± τ ∞ , 0 k ξ± -1 + + k k k=1 - - + - (4.26) k ∈ L±(A ), [ξk , ξj ] = δkj, [ξk , ξj ] = -δkj, [ξk , ξj ] = 0, k где собственные значения λ+ составляют ветвь из леммы 4.6. Представим решение ξ(t) задачи (3.10) в форме ∞ ∞ ξ(t) = '\\" c+(t)ξ+ + '\\" c-(t)ξ-, c+(0) = [ξ0, ξ+], c-(0) = -[ξ0, ξ-]. (4.27) k k=1 k j j k k j j j=1 МОДЕЛЬ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ОЛДРОЙТА 63 Из (3.10), (4.26), (4.27), вида ξ0 и F(t) найдем, что t ξ(t) = '\\" e-λ+ [ξ ∞ k t k=1 r k 0, ξ+]+ 0 + e-λk (t-s)[F ∞ k (s), ξ+ ] ds + ξk - t '\\" - r - j j j - j=1 e-λj t[ξ0, ξ-]+ 0 e-λj (t-s)[F(s), ξ-] ds ξ-, (4.28) [ξ0, ξ±] = u0, A-1/2 z± - 1 ρ0,Q z± , [F(t), ξ±] = f (t), A-1/2 z± , k ∈ N. λ k 0 k H ± k B k L2,ρ0 (Ω) k 0 k H Из (4.28), (3.5) получим в явном виде разложение решения u(t), ρ(t) задачи (3.6) по нормиро- +∞ ванной специальным образом системе собственных элементов { z±} , связанных с J -ортонормированным базисом (4.26): k k=1 ( u(t) ∞ / + / A-1/2 z+ \\ / A-1/2 z- \\\\ ρ(t) = '\\" Tk (t) 0 + -1 k 1/2 + k - T -(t) 0 - -1 k , 1/2 - k=1 ( (λk ) 1 0 BA- zk (λk ) t r 0 BA- zk T ± -λ±t 0 1/2 ± 0 1/2 ± -λ±(t-s) 1/2 ± k (t) := e k 0 u , A- zk λ H - ± k 0 ρ , BA- zk + e k L2,ρ0 (Ω) 0 0 f (s), A- zk H ds.