Об устойчивости возмущенных полугрупп в полуупорядоченных банаховых пространствах

Аннотация

В статье доказываются необходимое и достаточное условия устойчивости возмущенных полугрупп линейных операторов в банаховых пространствах с конусами и приводятся примеры использования этих теорем. В частности, рассматривается пример с возмущением краевой задачи линейным оператором с запаздыванием и формулируется условие устойчивости полученной возмущенной полугруппы.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Рассмотрим возмущенную задачу Коши в банаховом пространстве ( y× = -(Γ + M )y, y(0) = y0, где Γ - замкнутый, но (вообще говоря) неограниченный оператор, а M - ограниченный оператор, считающийся возмущением. Как будет показано в данной статье, наличие инвариантного относительно Γ и M конуса позволяет доказать связь устойчивости полугруппы, порожденной этой задачей (другими словами, диссипативности оператора -Γ + M ), и свойством оператора Γ-1M быть сжимающим. Точные формулировки выглядят следующим образом: Теорема 3.1. Пусть F - вещественное банахово пространство, K ⊂ F - воспроизводящий конус и норма пространства F монотонна. Пусть заданы линейные операторы: o Γ : D(Γ) ⊂ F → F такой, что -Γ - производящий оператор сильно непрерывной полугруппы, причем e-Γt 0 в смысле K для всех t 0, o M : F → F, ограниченный и M 0 в смысле K, Qc 2016 РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ 97 98 М. И. КАМЕНСКИЙ, И. М. ГУДОШНИКОВ и пусть композиция Γ-1M вполне непрерывна. Тогда при любом t> 0 ρ(e(-Γ+M )t) < 1 =⇒ ρ(Γ-1M ) < 1. Теорема 5.1. Пусть F - вещественное банахово пространство, а K ⊂ F - воспроизводящий конус. Пусть заданы линейные операторы: o Γ : D(Γ) ⊂ F → F, такой, что Γ-1 вполне непрерывен, -ΓC является производящим оператором аналитической и равномерно экспоненциально устойчивой полугруппы, а e-Γt положительны в смысле K для всех t 0; o M : F → F - ограничен и M 0 в смысле K. Тогда для любого t> 0 ρ(Γ-1M ) < 1 =⇒ ρ(e(-Γ+M )t) < 1. Разделы 3, 4, 5 содержат доказательства этих теорем. В статье также рассмотрены два примера использования теоремы 5.1. Первый пример, описываемый в разделе 6, касается операторов, действующих в пространстве последовательностей l1 (бесконечных матриц, их теорию можно найти в [11, 14, 15]). Как будет показано, теорема 5.1 позволяет получить условие устойчивости возмущенной полугруппы, порожденной такими операторами, отличающееся от обычной локализации собственных значений кругами Гершгорина [15]. Вторым примером, который описывается в разделе 7, является задача Коши с производящим оператором (-Γ)(f ) = f ×× - af с краевыми условиями Неймана. Все условия теоремы 5.1 проверяются явно через вычисление функции Грина и проверку положительности и аналитичности получаемой полугруппы. В качестве возмущения рассматриваются операторы с запаздыванием, что стало возможным благодаря характеру условий, наложенных на оператор M в теореме 5.1 (инвариантность конуса и оценка на спектральный радиус/норму). Для удобства читателя в разделе 2, перед изложением основных результатов, приведены используемые сведения о конусах, полугруппах и комплексификации пространства. 2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Конуса в банаховом пространстве. В данном разделе приведены основные определения, относящиеся к конусам в банаховом пространстве, которые будут использованы в статье. Источниками по данной теме могут являться [5, 8]. Определение 2.1. Замкнутое подмножество K вещественного банахова пространства X называется конусом, если: 1. α 0, x ∈ K =⇒ αx ∈ K, 2. x, y ∈ K =⇒ x + y ∈ K, 3. K ∩ (-K) = 0. Конус K задает отношение полуупорядоченности в пространстве X. Если x, y ∈ X и x-y ∈ K, то пишут, что x y. Определение 2.2. Конус K называется воспроизводящим, если ∀(x ∈ X)∃(u, v ∈ K)[x = u - v]. Определение 2.3. Норма в пространстве X с конусом K называется монотонной, если 0 x y =⇒ ⊗x⊗ ⊗y⊗. Определение 2.4. Оператор A : X → X называется положительным (обозначается A 0), если A(K) ⊂ K. 2. Теория полугрупп. Данный раздел, содержащий основные общеизвестные понятия и факты из теории полугрупп, основан на [12]. Также этот материал содержится (в той или иной степени) в [1, 6, 7, 10, 13]. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВОЗМУЩЕННЫХ ПОЛУГРУПП В ПОЛУУПОРЯДОЧЕННЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 99 Определение 2.5. Семейство {T (t)}t 0 ограниченных линейных операторов на банаховом пространстве X называется (однопараметрической) полугруппой на X, если оно удовлетворяет ( T (t + s) = T (t)T (s) ∀(t, s 0), T (0) = I. Определение 2.6. Полугруппа {T (t)}t 0 называется сильно непрерывной, или C0-полугруппой, если функции непрерывны при любом x ∈ X. ξx : R+ → X, ξx : t 1→ ξx(t) := T (t)x Определение 2.7. Производящим оператором сильно непрерывной полугруппы T (t) называется оператор, определенный на множестве D(A) = {x|ξx дифференцируема} и действующий по правилу A : x 1→ lim t↓0 T (t)x - x. t Мы часто будем обозначать полугруппу T (t) как eAt. Свойство 2.1. Производящий оператор сильно непрерывной полугруппы всегда является линейным замкнутым плотно определенным оператором. Свойство 2.2. Если {T (t)}t 0 - сильно непрерывная полугруппа, то существуют такие ω ∈ R и M 1, что для всех t 0 ⊗T (t)⊗ Meωt. Определение 2.8. Пусть дана сильно непрерывная полугруппа T = {T (t)}t 0. Тогда ее порядком роста называется число ω0(T ) = inf {ω ∈ R : ∃(Mω )∀(t 0) r⊗T (t)⊗ Mωeωtl . Свойство 2.3. Если T = {T (t)}t 0 - сильно непрерывная полугруппа, то при любом t 0 ρ(T (t)) = eω0(T )t, где ρ - спектральный радиус. Определение 2.9. Полугруппа {T (t)}t 0 называется равномерно экспоненциально устойчивой, если ∃(ε> 0) lim eεt⊗T (t)⊗ . r = 0 t→∞ Свойство 2.4. Сильно непрерывная полугруппа {T (t)}t 0 равномерно экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда ее порядок роста ω0(T ) < 0. Определение 2.10. Пусть X - банахово пространство, а A : D(A) ⊂ A → X - замкнутый оператор. Тогда s(A) := sup{Re λ ∈ σ(A)} называется спектральной границей. Определение 2.11. Существенным порядком роста полугруппы T = {T (t)}t 0, порожденной производящим оператором A, называется число ωess(T ) = ωess(A) := inf 1 ln ⊗T (t)⊗ess, где t>0 t ⊗D⊗ess = inf{⊗D - K⊗ : K- компактный} для произвольного оператора D. 100 М. И. КАМЕНСКИЙ, И. М. ГУДОШНИКОВ Свойство 2.5. Пусть A является производящим оператором сильно непрерывной полугруппы T = {T (t)}t 0. Тогда ω0(T ) = max{ωess(T ), s(A)}. Свойство 2.6. Пусть A является производящим оператором сильно непрерывной полугруппы T = {T (t)}t 0. Тогда при любом t0 > 0 -∞ s(A) ω0(T ) = inf 1 ln ⊗T (t)⊗ = lim 1 ln ⊗T (t)⊗ = 1 ln ρ(T (t0)) < +∞. t>0 t t→∞ t t0 Свойство 2.7. Пусть A является производящим оператором сильно непрерывной полугруппы T = {T (t)}t 0. Если K - компактный оператор, то ωess(A) = ωess(A + K). Также нам потребуется понятие аналитической полугруппы и некоторые общеизвестные факты: Определение 2.12. Пусть Σδ = {z ∈ C : | arg(z)| < δ}\\ {0}. Семейство ограниченных линейных операторов {T (z)}z∈Σδ ∪{0}, действующих в банаховом пространстве X, называется аналитической полугруппой (угла δ ∈ (0, π/2]), если: 1. T (0) = I и для всех z1, z2 ∈ Σδ выполнено T (z1 + z2) = T (z1)T (z2). 2. Отображение z 1→ T (z) аналитично в Σδ. Σ∗ 3. Для всех x ∈ X и δ× ∈ (0, δ) выполнено lim δ →0 T (z)x = x. Лемма 2.1. Пусть A : D(A) ⊂ F → F - линейный оператор в комплексном банаховом пространстве F. Если ϑ ∈ R, то e-iϑσ(A) = σ(eiϑA). Лемма 2.2. Пусть A - производящий оператор аналитической полугруппы угла α. Возьмем iϑ ϑ ∈ (-α, α). Тогда eA(e совпадает с eiϑA. t) - сильно непрерывная полугруппа, и ее производящий оператор Aϑ 3. Комплексификация пространств и операторов. Нам понадобится понятие комплексификации пространства и оператора, описанное в [2, §II.XIII.2]. По произвольному линейному оператору A : F → F, где F - вещественное банахово пространство, может быть построен оператор AC : FC → FC, где FC = F × F - комплексное банахово пространство с нормой ⊗(x, y)⊗ = max θ∈[0,2π] AC : (x, y) 1→ (Ax, Ay). Легко проверить, что: ⊗x cos θ + y sin θ⊗, Свойство 2.8. ACBC = (AB)C , (A-1)C = (AC )-1. Свойство 2.9. Для вещественных α, β выполнено (αA + βB)C = αAC + βBC. Свойство 2.10. AC - компактный оператор тогда и только тогда, когда A - компактный оператор. Свойство 2.11. ⊗AC ⊗ = ⊗A⊗ благодаря формуле Гельфанда: ρ(AC ) = ρ(A). Свойство 2.12. eAt - сильно непрерывная полугруппа тогда и только тогда, когда (eAt)C - сильно непрерывная полугруппа, при этом производящий оператор (eAt)C совпадает с AC, т. е. Кроме того, благодаря свойству 2.11 eAC t = (eAt)C. ω(eAC t) = ω(eAt). Под спектром, спектральным радиусом и собственным значением оператора A, определенного над вещественным банаховым пространством, понимаются таковые оператора AC. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВОЗМУЩЕННЫХ ПОЛУГРУПП В ПОЛУУПОРЯДОЧЕННЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 101 1. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ УСТОЙЧИВОСТИ Теорема 3.1. Пусть F - вещественное банахово пространство, K ⊂ F - воспроизводящий конус и норма пространства F монотонна. Пусть заданы линейные операторы: § Γ : D(Γ) ⊂ F → F такой, что -Γ - производящий оператор сильно непрерывной полугруппы, причем e-Γt 0 в смысле K для всех t 0, § M : F → F, ограниченный и M 0 в смысле K, и композиция Γ-1M вполне непрерывна. Тогда при любом t> 0 ρ(e(-Γ+M )t) < 1 =⇒ ρ(Γ-1M ) < 1. Доказательство. В силу компактности спектр Γ-1M состоит из изолированных собственных значений конечной кратности [3, III.6.7]. Если Γ-1M не имеет собственных значений, отличных от нуля, то ρ(Γ-1M ) < 1 и на этом доказательство завершено. В случае, если Γ-1M имеет ненулевые собственные значения, предположим противное заключению теоремы, ρ(Γ-1M ) 1, и заметим, что Γ-1 = R(0, Γ) = -R(0, -Γ) = +∞ r e-Γtdt 0, 0 поэтому оператор Γ-1M положителен как композиция положительных операторов и компактен по условию. Поскольку конус K - воспроизводящий, в силу [8, Теорема 6.1, § 6] существует собственный вектор x0 ∈ K, отвечающий собственному значению λ = ρ(Γ-1M ), т. е. Γ-1Mx0 = λx0, иначе 1 1 x0 = λ Γ- Mx0, 1 1 1 Тогда Γx0 = Γ λ Γ-1Mx0 = ΓΓ-1Mx0 = λ λ Mx0 ∈ K. Рассмотрим задачу Коши (-Γ+ M )x0 = Mx0 - Γx0 = ΓΓ-1Mx0 - Γx0 = = Γλx0 - Γx0 = λΓx0 - Γx0 = (λ - 1)Γx0 ∈ K. ( y× = (-Γ+ M )y, y(0) = x0 (3.1) и ее решение y(t) = e(-Γ+M )tx0. Для t, ,6,t> 0 имеем y(t + ,6,t) - y(t) = e(-Γ+M )te(-Γ+M ) tx0 - e(-Γ+M )tx0 = t r = e(-Γ+M )t(e(-Γ+M ) tx0 - x0) = e(-Γ+M )t 0 e(-Γ+M )s(-Γ+ M )x0 ds = t r = e(-Γ+M )t 0 e(-Γ+M )s(λ - 1)Γx0 ds. (3.2) Заметим, что при любом t 0 оператор e(-Γ+M )t положителен, поскольку к нему сходится итеративная схема v0 = I; vi+1 = Qvi со следующим положительным оператором: t r (Qv)(t) = e-Γt + 0 e(-Γ)(t-s)Mv(s)ds. По предположению противного, λ = ρ(Γ-1M ) 1. Поэтому из (3.2) имеем y(t + ,6,t) - y(t) 0, 102 М. И. КАМЕНСКИЙ, И. М. ГУДОШНИКОВ т. е. y(t + ,6,t) y(t) в смысле K. В силу положительности y(t + ,6,t) и y(t) и монотонности нормы из этого следует ⊗y(t + ,6,t)⊗ ⊗y(t)⊗, что противоречит устойчивости полугруппы, следующей из посылки ρ(e(-Γ+M )t) < 1, а значит, наше предположение неверно и ρ(Γ-1M ) < 1. 1. ПОЗИТИВИРУЮЩЕЕ МНОГОЗНАЧНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ Пусть F - вещественное банахово пространство, а K ⊂ F - воспроизводящий конус. Тогда на F можно следующим образом задать многозначное отображение: P : F -→ 2K, P : x 1-→ {u + v|u, v ∈ K; u - v = x}, где 2K - множество всех подмножеств конуса K. Поскольку конус воспроизводящий, то P (x) содержит хотя бы один элемент для каждого x ∈ F. Выведем некоторые свойства отображения P. Свойство 4.1. ∀(x ∈ F )[P (x) ⊂ K]. Очевидно, так как каждый y ∈ P (x) является суммой двух элементов K. Свойство 4.2. ∀(x ∈ F )[P (x) = P (-x)]. Пусть y ∈ P (x). Значит, ∃(u, v ∈ K)[(u + v = y) ∧ (u - v = x)]. Тогда v - u = -x ⇒ y = u + v ∈ P (-x), т. е. P (x) ⊂ P (-x). Взяв в качестве x вектор -x, убедимся в верности обратного вложения. Свойство 4.3. ∀(x ∈ F, y ∈ P (x))[(y + x ∈ K) ∧ (y - x ∈ K)]. ⇔ y ∈ P (x) def ∃(u, v ∈ K)[(u + v = y) ∧ (u - v = x)]. Тогда y + x = u + v + u - v = 2u ∈ K и y - x = u + v - (u - v) = u + v - u + v = 2v ∈ K. Свойство 4.4. y x, y -x =⇒ y ∈ P (x). Требуемое разложение: u = 1 (y + x) ∈ K, v = 1 (y - x) ∈ K, u + v = y, u - v = x. 2 2 Свойство 4.5. P (0) = K. y По свойству 4.1 P (0) ⊂ K. Докажем обратное вложение. Пусть y ∈ K. Тогда u = v = 2 будет требуемым разложением вектора 0. Свойство 4.6. ∀(x ∈ F )[b ∈ P (x),a b =⇒ a ∈ P (x)] ⇔ b ∈ P (x) def ∃(u, v ∈ K)[(u + v = b) ∧ (u - v = x)], a b =⇒ a - b ∈ K. Пусть u1 = u+ a - b 2 ∈ K, v1 = v + a - b 2 ∈ K. Тогда u1 +v1 = u+ a - b +v + 2 - a - b = b+a b = a, 2 u1 - v1 = u + a - b 2 - (v + a - b \\ 2 = u - v = x. Следовательно, a ∈ P (x). Свойство 4.7. ∀(x ∈ F )[P (x)- замкнутое множество]. Пусть дана произвольная последовательность {yi} такая, что {yi} ⊂ P (x), yi → y. Тогда 1 2 (yi + x) → 1 1 (y + x), 2 1 2 (yi - x) → 1 1 2 (y - x). В силу замкнутости конуса и свойства 4.3 имеем: u = 2 (y + x) ∈ K, v = 2 (y - x) ∈ K, u + v = y, u - v = x, следовательно, y ∈ P (x) и P (x) замкнуто. Свойство 4.8. ∀(x ∈ F, α ∈ R)[|α|P (x) ⊂ P (αx)] ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВОЗМУЩЕННЫХ ПОЛУГРУПП В ПОЛУУПОРЯДОЧЕННЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 103 При α = 0: |α|P (x) = 0 ⊂ P (αx) = P (0) = K. При α > 0: |α|P (x) = αP (x). Пусть y ∈ P (x), т. е. ∃(u, v ∈ K)[(u + v = y) ∧ (u - v = x)]. Тогда αy = α(u + v) = αu + αv, αu ∈ K, αv ∈ K. αu - αv = α(u - v) = αx, следовательно, αy ∈ P (αx). При α < 0: |α|P (x) = -αP (x). Пусть y ∈ P (x), т. е. ∃(u, v ∈ K)[(u + v = y) ∧ (u - v = x)]. Тогда -αy = -α(u + v) = (-αu)+(-αv), -αu ∈ K, -αv ∈ K. Поскольку (-αv) -(-αu) = α(u - v) = αx, следовательно, -αy ∈ P (αx). Свойство 4.9. ∀(x1, x2 ∈ F )[P (x1)+ P (x2) ⊂ P (x1 + x2)]. Пусть y1 ∈ P (x1), y2 ∈ P (x2), т. е. ∃(u1, v1 ∈ K)[(u1 + v1 = y1) ∧ (u1 - v1 = x1)], ∃(u2, v2 ∈ K)[(u2 + v2 = y2) ∧ (u2 - v2 = x - 2)]. Тогда y1 + y2 = u1 + v1 + u2 + v2 = (u1 + u2)+ (v1 + v2) и (u1 + u2) - (v1 + v2) = u1 - v1 + u2 - v2 = x1 + x2, следовательно, y1 + y2 ∈ P (x1 + x2). Значит, P (x1)+ P (x2) ⊂ P (x1 + x2). Свойство 4.10. Пусть S : F → F - линейный положительный оператор. Тогда ∀(x ∈ F )[SPx ⊂ PSx] P (x) d=ef {u + v|u, v ∈ K; u - v = x}, SP (x) = S{u + v|u, v ∈ K; u - v = x} = = {Su + Sv|u, v ∈ K; u - v = x}⊂ P (Su - Sv) = PS(u - v) = PS(x). 2. ТЕОРЕМА О СОХРАНЕНИИ УСТОЙЧИВОСТИ Лемма 5.1. Пусть F - комплексное банахово пространство, и заданы линейные операторы: § Γ : D(Γ) ⊂ F → F такой, что Γ-1 компактен, § M : F → F - ограниченный оператор. Пусть также ρ(Γ-1M ) < 1. Тогда оператор -αΓ+ M при всех α : α× α < +∞, где 0 < α× < 1, является оператором с компактной резольвентой. Доказательство. Возьмем ε : 0 < ε < 1 - ρ(Γ-1M ). Мы можем ввести (см. [5, гл. 2, § 5, п. 2]) в F такую норму ⊗· ⊗ε, эквивалентную текущей, что норма операторов, построенная по ней, такова: ⊗Γ-1M ⊗ε ρ(Γ-1M )+ ε< ρ(Γ-1M )+1 - ρ(Γ-1M ) = 1. Теперь выберем α× : ⊗Γ-1M ⊗ε < α× < 1. Можно видеть, что для произвольного α : α× α < +∞ верна оценка 1 1 Γ-1M 1 < 1. Далее зафиксируем λ такое, что 1 1 1 α 1ε 0 <λ< α 1 - ⊗ 1 Γ-1 1 M ⊗ε . Тогда ⊗ α Γ-1M ⊗ε 1 1 λ 1 А это означает, что ( 1 ⊗ α Γ- M ⊗ε + ⊗ α Γ- ⊗ε < 1. 1 λ 1 λ λ \\ ρ Γ-1M + Γ-1 ⊗ Γ-1M + Γ-1⊗ ⊗ Γ-1M ⊗ + ⊗ Γ-1⊗ < 1. α α α α ε α o α ε Поэтому можно разложить в ряд Неймана резольвенту: ( ( 1 λ \\\\-1 - Rλ(-αΓ+ M ) = (-αΓ+ M - λI)-1 = -αΓ I Γ-1M α - Γ-1 = α ( 1 1 λ 1\\- 1 ( 1 \\ 1 ∞ ( 1 1 λ 1 \\k ( \\ 1 1 (5.1) = I - α Γ- M - α Γ- - α Γ- = k=0 Γ- M + Γ- α α - α Γ- . Из (5.1) видно, что Rλ(-αΓ + M ) компактна, т. е. оператор -αΓ + M является оператором с компактной резольвентой(см. [3, гл. III, § 6, п. 8]) при всех α : α× α < +∞, где α× < 1. Лемма 5.2. Пусть F - вещественное банахово пространство, а K ⊂ F - воспроизводящий конус. Пусть заданы линейные операторы: 104 М. И. КАМЕНСКИЙ, И. М. ГУДОШНИКОВ § Γ : D(Γ) ⊂ F → F, такой, что -Γ является производящим оператором сильно непрерывной полугруппы и эта полугруппа положительна в смысле K при каждом значении параметра, § M : F → F - ограничен и положителен в смысле K. Пусть ρ(Γ-1M ) < 1. Тогда операторы вида -αΓ+ M имеют собственное значение с нулевой вещественной частью только при α < 1. Доказательство. Предположим противное, что оператор α0Γ+ M имеет собственное значение iω, ω ∈ R, ему отвечает собственный вектор x0 + iy0 и при этом α0 1. Частным решением уравнения y× = (-α0Γ+ M )y при начальном условии y(0) = x0 + iy0 является функция y1(t) = (x0 + iy0)(cos ωt + i sin ωt) = (x0 cos ωt - y0 sin ωt)+ i(x0 sin ωt + y0 cos ωt), при начальном условии y(0) = x0 - iy0 - функция y2(t) = (x0 - iy0)(cos ωt - i sin ωt) = (x0 cos ωt - y0 sin ωt) - i(x0 sin ωt + y0 cos ωt), а значит и их сумма (при начальном условии y(0) = 2x0) y∗(t) = 2x0 cos ωt - 2y0 sin ωt. Решение y∗ - периодическое (с периодом T = 2π ) и невырожденное (так как собственный вектор ω x0 + iy0 /= 0 + i0). При этом данное решение лежит в вещественной компоненте FC, и мы можем в доказательстве этой леммы работать далее с операторами, действующими в F, а не в FC. Поскольку y∗ является решением неоднородной системы ( y× = -α0Γy + My∗, y(0) = 2x0, то t r y∗(t) = e-α0Γ(t-s)My∗(s)ds. -∞ Рассмотрим семейство линейных операторов Qt : F -→ F, t r Qt : x 1-→ -∞ e-α0Γ(t-s)Mxds. 1 α Покажем, что все Qt совпадают с одним оператором Q d=ef Γ-1M. Для любого x ∈ F верно: 0 t r Qtx = t r e-α0Γ(t-s)Mxds = e-α0Γ(t-s)(-α0Γ)(-α0Γ)-1Mxds = -∞ ⎛ 0 s=t-q 1 r -∞ ⎞ α0Γq -1 ⎛ +∞ 1 r ⎞ α0Γq -1 α = - 0 ⎝ (-1)(-α0)Γe- +∞ +∞ dq⎠ Γ α Mx = - ⎝ 0 0 -α0Γe- dq⎠ Γ Mx = т. е. 1 α = - e- 0 α0Γq q=0 Γ-1 1 α Mx = - 0 (0 - I)Γ-1 1 Mx = α0 Γ-1 Mx, 1 α Qt = 0 Γ-1M = Q. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВОЗМУЩЕННЫХ ПОЛУГРУПП В ПОЛУУПОРЯДОЧЕННЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 105 Заметим, что α0 1 по предположению, а ρ(Γ-1M ) < 1, значит, в F можно ввести (см. [5, гл. 2, § 5, п. 2]) такую норму ⊗· ⊗L, эквивалентную заданной в F, что Γ-1Mx⊗L Тогда ∀x, y ∈ F верно: ⊗Γ-1M ⊗L d=ef sup ⊗ x∈F,x/=0 ⊗x⊗L < 1. 1 1 1 1 α ⊗Qtx - Qty⊗L = ⊗Qt(x - y)⊗L = ⊗ 0 α Γ- M (x - y)⊗L 0 ⊗Γ- M ⊗L⊗x - y⊗L Значит, Qt - сжимающее отображение, имеющее единственную неподвижную точку в F. Поскольку Qt - линейный оператор, то этой неподвижной точкой является ноль. Поскольку K - воспроизводящий конус, то на F можно задать отображение P. Рассмотрим множество P d=ef (] P (y∗(s)). s∈R Каждое из множеств P (y∗(s)) замкнуто, поэтому P также замкнуто (пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто). Покажем, что множество P непусто. Обозначим a1 = 2x0 + 2y0, a2 = 2x0 - 2y0. Тогда 2x0 = 2y0 = a1 + a2 , 2 a1 - a2 . 2 Благодаря тому, что конус K воспроизводящий, существуют его элементы u1, v1, u2, v2 такие, что a1 = u1 - v1, a2 = u2 - v2. Обозначим ξ = u1 + v1 + u2 + v2. Очевидно, ξ ∈ K и при этом ξ - y∗(t) = u1 + v1 + u2 + v2 - 2x0 cos ωt + 2y0 sin ωt = = u1 + v1 + u2 + v2 - a1 + a2 cos ωt + 2 a1 - a2 sin ωt = 2 = u1 + v1 + u2 + v2 - u1 - v1 + u2 - v2 cos ωt + 2 u1 - v1 - u2 + v1 sin ωt = 2 ( = u1 1 - cos ωt + 2 sin ωt \\ 2 + v1 ( cos ωt 1+ 2 - ( cos ωt sin ωt \\ 2 sin ωt \\ ( + u2 1 - cos ωt 2 - sin ωt \\ + 2 +v2 1+ 2 + 2 . Можно видеть, что множитель перед каждым вектором не может быть меньше нуля, поэтому ω ξ - y∗(t) ∈ K, т. е. ξ y∗(t) при всех t. Так как -y∗(t) = y∗(t + π \\, то по свойству 4.4 имеем ξ ∈ P (y∗(t)), т. е. ξ ∈ P . y Продолжим исследование операторов Qt. Для всех t ∈ R и ∈ P имеем: t r t Q y = e-α0Γ(t-s) t r Myds = e-α0Γ(t-s)M ( y + y∗(s) + 2 y - y∗(s)\\ 2 ds = -∞ t t r y + y∗(s) r -∞ - y∗(s) = e-α0Γ(t-s)M 2 -∞ ds + -∞ e-α0Γ(t-s)M y 2 ds ∈ (так как интегралы неотрицательны) 106 М. И. КАМЕНСКИЙ, И. М. ГУДОШНИКОВ ⎛ rt ∈ P ⎝ -∞ t y + y (s) ∗ r - e-α0Γ(t-s)M ds 2 -∞ e-α0Γ(t-s) - y y ∗(s) M 2 ⎞ ds⎠ = ⎛ rt = P ⎝ -∞ e-α0Γ(t-s)M ( y + y ∗(s) 2 - - y y ∗(s)\\ 2 ⎞ ds⎠ = ⎛ rt = P ⎝ -∞ ⎞ e-α0Γ(t-s)My∗(s)ds⎠ = P (y∗(t)). Поскольку при любом t оператор Qt = Q, то ∀(t ∈ R)[Q ∈ P (y∗(t))], т. е. Q ∈ n P (y∗(t)) = P . Значит, отображение y Q : P -→ P , y t∈R Q : x 1-→ 1 Γ-1Mx α0 задано корректно. Поскольку множество P замкнуто, то его можно рассматривать как метрическое пространство с метрикой, порожденной нормой пространства F. Отображение Q является сжимающим, так же как и Q, поэтому оно имеет неподвижную точку yf ∈ P . Тогда yf также является неподвижной точкой отображения Q, имеющей единственную неподвижную точку - ноль. Следовательно, yf = 0 ∈ P . Заметим, что P ⊂ P (y∗(0)), поэтому 0 ∈ P (y∗(0)). То есть, ∃(ux, vx ∈ K : ux + vx = 0)[ux - vx = y∗(0)]. ux - vx = y∗(0) = 2x0 cos(ω0) - 2y0 sin(ω0) = 2x0. Но K - конус, поэтому (ux, vx ∈ K) ∧ (ux + vx = 0) =⇒ (ux = 0) ∧ (vx = 0), значит, ux - vx = 0 - 0 = 0 = 2x0 = x0. Аналогично, P ⊂ P (y∗( π \\\\ =⇒ 0 ∈ P (y∗( π \\\\ =⇒ ∃(u ,v ∈ K : u + v = 0)[u - v = 2ω 2ω y y y y y y y∗( π \\ = -2y ] =⇒ (u = 0) ∧ (v = 0) =⇒ u - v = 0 = -2y = y . 2ω 0 y y y y 0 0 То есть x0 и y0 одновременно равны нулю. Но такого не может быть, так как x0 + iy0 - собственный вектор, который не может быть нулевым. Имеем противоречие, значит, наше предположение неверно и α0 < 1. Теорема 5.1. Пусть F - вещественное банахово пространство, а K ⊂ F - воспроизводящий конус. Пусть заданы линейные операторы: § Γ : D(Γ) ⊂ F → F, такой, что Γ-1 вполне непрерывен, -ΓC является производящим оператором аналитической и равномерно экспоненциально устойчивой полугруппы, а e-Γt положительны в смысле K для всех t 0. § M : F → F - ограничен и M 0 в смысле K. Тогда для любого t> 0 ρ(Γ-1M ) < 1 =⇒ ρ(e(-Γ+M )t) < 1. Доказательство. Поскольку полугруппа e-Γt является сильно непрерывной, то найдутся такие c и ω1, что ⊗e-Γt⊗ ceω1t, и, в силу ее устойчивости, ω1 < 0. Пусть α 0. Тогда D(-αΓ) = D(-Γ) и e(-αΓ)t = e-Γ(αt) - сильно непрерывная полугруппа, причем ⊗e(-αΓ)t⊗ ceω1αt. Из леммы 5.1 следует, что существует такое α× : 0 < α× < 1, что -αΓC + MC, а значит, и -αΓ+ M является оператором с компактной резольвентой при всех α α×. Рассмотрим подробнее семейство операторов {-αΓ+ M }α α∗ . (5.2) ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВОЗМУЩЕННЫХ ПОЛУГРУПП В ПОЛУУПОРЯДОЧЕННЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 107 Сразу можно сказать, что, поскольку M - ограниченный оператор, то согласно [12, теорема III.1.3, с. 158] e(-αΓ+M )t - сильно непрерывная полугруппа и ⊗e(-αΓ+M )t⊗ ce(αω1+c M )t. ω1 Так как ω1 < 0, то при α > - c M мы получим, что αω1 + c⊗M ⊗ < 0, т. е. весь спектр σ(-αΓ+ M ) лежит в левой полуплоскости. Поскольку -ΓC - производящий оператор аналитической полугруппы, то существует такое ϑ ∈ (0, π/2), что сужения e-ΓC z на {eiϑt | t 0} и {e-iϑt | t 0} являются сильно непрерывными полугруппами. По лемме 2.2 их производящими операторами являются соответственно -eiϑΓC и -e-iϑΓC. Тогда существуют такие Mi,M ,ω ,ω , что -i i -i iϑ M e , ⊗e(-e iϑ ΓC )t ωit " i Тогда ⊗e(-e- iϑ M ΓC )t " -i eω-it. ⊗e(e iϑ (-αΓC +M ))t⊗ Mie(αωi+Mi M )t, значит, ⊗e(e- -i (-αΓC +MC ))t⊗ M e(αω-i+M-i M )t, Re σ(eiϑ(-αΓC + MC )) αωi + Mi⊗M ⊗, и по лемме 2.1 -i Re σ(e-iϑ(-αΓC + MC )) αω + M-i ⊗M ⊗, Re e-iϑσ(-αΓ+ M ) αωi + Mi⊗M ⊗, -i Re eiϑσ(-αΓ+ M ) αω + M-i ⊗M ⊗, т. е. если λ ∈ σ(-αΓ+ M ), то Re λ cos ϑ + Im λ sin ϑ αωi + Mi⊗M ⊗, Re λ cos ϑ - Im λ sin ϑ αω-i + M-i⊗M ⊗, и наконец Im λ - ctg ϑ Re λ + αωi + Mi⊗M ⊗ , (5.3) sin ϑ Im λ ctg ϑ Re λ - αω-i + M-i⊗M ⊗ . (5.4) sin ϑ Таким образом, спектр -αΓ+ M находится внутри сектора комплексной плоскости, обращенного расширяющейся частью в сторону убывания вещественной оси. С другой стороны, как было сказано выше, при α α× оператор -αΓ+ M - оператор с компактной резольвентой, поэтому его спектр при каждом фиксированном α состоит из изолированных собственных значений конечной кратности, а при изменении α собственные значения образуют непрерывные, возможно пересекающиеся, ветви μ(α). При этом возможна ситуация, когда |μ(α)|→∞ при α, стремящемся к конечной величине. (Детальное обоснование см. в [3], в частности, теорема IV.3.16. Можно даже заметить, что семейство (5.2) является голоморфным типа (А) и ветви его собственных значений аналитичны.) Пусть функция μ(α), действующая из (a, b) или [a, b) в C - любая ветвь собственного значения такая, что α× a< 1, а 1 <b +∞. Рассмотрим несколько возможных случаев. c⊗M ⊗ ω Если b = +∞, то при α > - 1 , как было показано выше, Re μ(α) < 0. Поэтому, если ветвь μ(α) не пересекает мнимую ось, то она целиком лежит в левой полуплоскости, если же она пересекает ее, то в силу леммы 5.2 - только при значениях α < 1, поэтому при α = 1 Re μ(α) < 0. Если b< ∞, а при α b функция μ(α) не определена, то |μ(α)|→∞ при α → b слева. Однако, из оценок (5.3), (5.4) видно, что неограниченный рост |μ(α)| при ограниченных α возможен, только если Re μ(α) → -∞. Очевидно, что тогда существует такое α ∈ (1, b), что Re μ(α) < 0. Поэтому, как и в предыдущем случае, μ(1) лежит в левой полуплоскости. Таким образом, мы показали, что весь спектр оператора -Γ+ M лежит в левой полуплоскости, т. е. s(-Γ+ M ) 0. 108 М. И. КАМЕНСКИЙ, И. М. ГУДОШНИКОВ Так как -Γ + M - оператор с компактной резольвентой, то единственной предельной точкой его спектра может быть ∞. С другой стороны, весь его спектр находится в секторе, определяемом (5.3), (5.3) при α = 1. Поэтому ситуация, когда ∃{λi}⊂ σ(-Γ+ M ) : Re λi → 0 невозможна, а это значит, что s(-Γ+ M ) < 0. Поскольку e(-ΓC +MC )t - аналитическая полугруппа, то она непрерывна по норме при t > 0, а поскольку ее производящий оператор имеет компактную резольвенту, то данная полугруппа компактна при t> 0 (см. теорему 2.4.29 и последующую диаграмму в [12]). Существенный спектр отсутствует при t> 0, поэтому ω0(e(-Γ+M )t) = s(-Γ+ M ) < 0, т. е. e(-Γ+M )t равномерно экспоненциально устойчива. 3. ПРИМЕР: БЕСКОНЕЧНЫЕ МАТРИЦЫ Рассмотрим пространство последовательностей l1 с конусом K = {{xk }k∈N ∈ l1 : ∀(k ∈ N)[xk 0]}. Пусть {γk } - последовательность положительных чисел такая, что lim k→∞ γk = +∞. Тогда согласно [15, теорема 2] следующие операторы корректно определены, область определения D(Γ) плотна в l1, и Γ-1 компактен: Γ : D(Γ) ⊂ l1 → l1, ⎛ ⎞ 1 ⎛ ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛γ1 0 ... 0 .. .⎞⎛x1⎞ ⎛γ1x1⎞ γ1 0 ... 0 .. . x1 γ1 1 x2 ⎟ ⎜ 0 γ2 ... 0 ... ⎜x2⎟ ⎜γ2x2⎟ ⎜ 0 γ2 ... 0 .. .⎟⎜x2⎟ ⎜ γ2 ⎟ Γx = ⎜ .. .. . . . .. ⎟⎜ .. ⎟ ⎜ .. ⎟ 1 ⎜ .. . . . .. ⎟⎜ .. ⎟ ⎜ .. ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . . . ⎟⎜ . ⎟ = ⎜ . ⎟ , Γ- x = ⎜ . . . . ⎟⎜ . ⎟ = ⎜ . ⎟ . ⎜ 0 0 ... γ .. .⎟⎜x ⎟ ⎜γ x ⎟ ⎜ 1 ⎟⎜x ⎟ ⎜ xk ⎟ ⎝ . . ⎠ ⎝ k . ⎠⎝ k ⎠ i. k ⎜ 0 0 ... γk .. .⎟⎝ k ⎠ ⎜ γk ⎟ .. .. .. . .. . ⎝ .. .. ⎠ . .. . ⎝ .. ⎠ . . . . . . .. . . . . Оператор -Γ порождает сильно непрерывную, устойчивую, положительную в смысле конуса K полугруппу сжатий ⎛e-γ1t 0 ... 0 .. .⎞ 0 e-γ2t ... 0 ... ⎜ ⎟ ⎜ e-Γt = ⎜ ⎜ ... ... ⎟ . . . ... ⎟ ⎟ ⎝ ⎜ 0 0 ... e-γkt .. .⎟ Пусть r > 0,s /= 0, тогда ... ... 1⎛ 1 ... . . .⎠ ⎞1 1 -γ1-r-is 0 ... 0 ... 1 1 1 1⎜ 0 1 ⎟1 1⎜ -γ2-r-is ... 0 ... 1 1⎜ . . . ⎟1 . = ⊗R(r + is, -Γ)⊗ = ⊗(-Γ - (r + is)I⊗ = 1⎜ . 1⎜ ⎟1 .. . . . .. ⎟ ⎟1 1⎜ 0 0 ... 1 .. .⎟1 1⎝ -γk -r-is ⎠1 . . . . . . . . 1 1 1 .. . . 1 1⎛ |s| ⎞1 1 1 1 γ1+r+is 0 ... 0 ... 1 0 1⎜ 1 1⎜ |s| γ2+r+is ⎟1 ... 0 .. .⎟1 1 ( 1⎜ = 1⎜ |s| 1⎜ ... ... . . . ... ⎟1 ⎟1 ⎟1 sup |s| < 1 , 1⎜ 1⎜ 0 0 ... |s| ⎟1 .. .⎟1 |s| k∈N |γk + r + is| |s| 1⎝ . . γk +r+is ⎠1 . 1 1 1 . .. ... . . . 1 что в силу [12, теорема II.4.6.d] влечет аналитичность полугруппы e-Γt. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВОЗМУЩЕННЫХ ПОЛУГРУПП В ПОЛУУПОРЯДОЧЕННЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 109 Таким образом, оператор Γ удовлетворяет всем условиям теоремы 5.1 и для любого M - положительного ограниченного линейного оператора такого, что ρ(Γ-1M ) < 1, сильно непрерывная полугруппа e(-Γ+M )t устойчива. Заметим, что ⎛ m11 m12 m1q ⎞ γ1 m21 γ1 ... m22 γ1 ... m2q ⎜ ⎜ γ2 γ2 ... γ2 .. .⎟ ⎟ ⎜ Γ-1M = ⎜ ... ... . . . . .. ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ mp1 ⎝ γ.p .. и для операторной l1-нормы верно следующее: mp2 γp ... ... mpq γp ... ∞ ⎟ .. .⎟ . . .⎠ ρ(Γ-1M ) ⊗Γ-1M ⊗ = sup mpq . q∈N p=1 γp Таким образом, используя теорему 5.1, можно получить следующий факт: Теорема 6.1. Для определенного выше оператора Γ и оператора M : l1 → l1, определенного как M = {mpq }p,q∈N, K-положительного (т. е. mpq 0) и ограниченного (т. е. sup ), mpq < q∈N p∈N +∞) условие ∞ sup mpq < 1 (6.1) q∈N p=1 γp влечет устойчивость полугруппы e(-Γ+M )t. Заметим, что, используя локализацию собственных значений кругами Гершгорина (для случая бесконечных матриц см., например, [15]), можно получить следующие неравенства в качестве различных достаточных условий устойчивости e(-Γ+M )t: ), mpq q∈N ∀p ∈ N < 1, (6.2) γp Но, к примеру, для матриц ∀q ∈ N ⎛10 0 0 .. .⎞ ), mpq p∈N γq < 1. (6.3) ⎛5 ⎜5 1 1 1 .. .⎞ 1 1 1 .. .⎟ ⎜5 ⎜ 1 1 1 .. .⎟ ⎟ Γ = ⎜ 0 20 0 .. .⎟ , M = ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 30 .. .⎟ ⎜ ⎟ ⎝ .. .. .. . . ⎠ ⎜0 0 0 0 .. .⎟ . . . . ⎝ ... ... ... ... . . .⎠ выполнено только (6.1), но не (6.2) и (6.3). Также отметим, что для случая операторов, действующих в пространстве l∞, из теоремы 5.1 аналогичным образом можно получить условие на возмущение, однако в этом случае оно не дает преимуществ по сравнению с методом кругов Гершгорина. 4. ПРИМЕР: ВОЗМУЩЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ОПЕРАТОРАМИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 1. Исходный оператор. Пусть пространство F =C[0, 1], а оператор L задан дифференциальным выражением и краевыми условиями l(f ) = f ×× f ×(0) = 0, f ×(1) = 0, (7.1) 110 М. И. КАМЕНСКИЙ, И. М. ГУДОШНИКОВ т. е. L : D(L) = {f ∈ C2[0, 1] : f ×(0) = f ×(1) = 0}⊂ F → F, L : f 1→ f ××. Оператор L имеет собственное значение λ0 = 0 с собственными векторами f0(t) ≡ c и собственные значения λk = -π2k2,k ∈ N с собственными векторами fk (t) = c cos πkt. Этим его спектр исчерпывается. 2. Функция Грина и резольвента. Найдем резольвенту оператора L для регулярных λ, т. е. оператор (L - λI)-1. Для этого построим функцию Грина краевой задачи ⎧ ⎨ f ×× - λf = g, U1(f ) := f ×(0) = 0, ⎩ U2(f ) := f ×(1) = 0. Нам известна фундаментальная система решений однородного уравнения: √ (7.2) и производные ее членов: f1(t) = e f2(t) = e- λt, √λt f × √ √λt 1(t) = f × 2(t) = - λe √λe- , √λt. Построим функцию Грина, следуя доказательству теоремы 1 из [9, I.§3.3]. Известно, что ( 0 x<ξ 1 : a1(ξ)f1(x)+ a2(ξ)f2(x), Gλ(x, ξ) = где a и b удовлетворяют условиям 0 ξ < x 1 : b1(ξ)f1(x)+ b2(ξ)f2(x). (7.3) ( a1(ξ)f1(ξ)+ a2(ξ)f2(ξ) - (b1(ξ)f1(ξ)+ b2(ξ)f2(ξ)) = 0, a1(ξ)f × (ξ)+ a2(ξ)f × (ξ) - (b× (ξ)f1(ξ)+ b× (ξ)f2(ξ)) = -1. 1 Обозначив получим систему: 2 1 2 c1 = b1 - a1, c2 = b2 - a2, (7.4) ( c1(ξ)e √ λξ + c2(ξ)e √ -λξ = 0, √ √ Решаем: λe c1(ξ)√λe λξ √ - - λξ = 1. √ √ e λξ e -λξ √ √ √ √ √ √ √ λξ W (ξ) = √ √ √ √ = - λe( λξ- λξ) - λe( λξ- λξ) = -2 λ, λe - λe -λξ √ 0 e- λξ √ - √ W1(ξ) = 1 - √ λe- λ √λξ = e- λξ, e 0 √λξ 1 W2(ξ) = √ √ λe = e , λ √ √ c (ξ) = W1(ξ) = 1. W (ξ) -e- λξ √ e- λξ = √ , -2 λ 2 λ c (ξ) = W2(ξ) = 2. W (ξ) √ e λξ √ = - √ e λξ √ . Краевые условия дают систему -2 λ 2 λ ( U1(Gλ) = 0, U2(Gλ) = 0, ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВОЗМУЩЕННЫХ ПОЛУГРУПП В ПОЛУУПОРЯДОЧЕННЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 111 из которой с учетом (7.3) и (7.4) (см. [9, I.§3.3]) получаем систему √ √ √ √ √ √ √ ( b1(ξ)√λe λ·0 - b2(ξ)√λe- λ·0 = e- λξ √ √λe λξ λ·0 + e √ λe- λ·0, √ √ 2 λ 2 λ b1(ξ)√λe λ·1 - b2(ξ)√λe- λ·1 = 0; √ λξ e √ λξ ( b1(ξ)√λ - b2(ξ)√λ = e- + , √ b1(ξ)e √ 2 2 λ = b2(ξ)e- λ; ( √λ(b1(ξ) - b2(ξ)) = e- λξ , √λξ +e√ √ 2 b1(ξ) = b2(ξ)e-2 λ; √ ( √λb2(ξ)(e-2 λ 1) = e- λξ , √λξ +e√ √ -√ 2 b1(ξ) = b2(ξ)e-2 λ. λ 2 2 Заметим, что √λ(e-2 - 1) = 0 ⇒ {-π k : k ∈ {0}∪ N}. Продолжим: ⎧ √ √ - λξ λξ √ , ⎨ b2(ξ) = e +e √ - 2 λ(e-2 √ λ 1) √ √ - ⎩ b1(ξ) = (e λξ +e √ . λξ )e-2 λ √ Тогда 2 λ(e-2 √ λ-1) √ √ √ (e- λξ + e λξ )e-2 λ e- λξ a1(ξ) = b1(ξ) - c1(ξ) = √λ(e √ - √ , 2 -2 λ - 1) 2 λ √ √ √ e- λξ + e λξ e λξ √ a2(ξ) = b2(ξ) - c2(ξ) = 2 √ λ(e + √ . Итого: -2 λ - 1) 2 λ ( 0 x<ξ 1 : G1,λ(x, ξ), Gλ(x, ξ) = 0 ξ < x 1 : G2,λ(x, ξ); √ √ \\ ( e √ √ e√ \\ ((e-√λξ + e√λξ )e-2 λ e- λξ √ - λξ + e λξ λξ √ G1,λ(x, ξ) = √ √ - √ e λx + √ √ + √ e- λx, 2 λ(e-2 λ - 1) √ 2 λ √ √ 2 λ(e-2 √ λ - 1) 2 λ √ G2,λ(x, ξ) = (e- λξ + e √ λξ )e-2 √ e + λ √λx e- λξ + e λξ √ √ √ e- λx. Упростим: 2 λ(e-2 λ - 1) 2 λ(e-2 λ - 1) 1 ( √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ G1,λ(x, ξ) = √ √ e- λξ-2 λ+ λx + e λξ-2 λ+ e λx -2 - λ- λξ+ λx + e- λξ+ λx+ 2 λ(e-2 λ - 1) √ √ √ √ √ √ √ √ √ \\ = +e- λξ- λx + e λξ- λx + e-2 e λ+ λξ- λx - λξ- λx 1 = √ √ √ (e√λξ-2 λ+ √λx + e- λx √λξ+√ + e- λx √λξ-√ √ + e-2 λ+√ λx λξ-√ \\ = 2 λ(e-2 λ - 1) √ √ √ √ √ (e-2 λe = λξ + e- √ λξ )(e √ λx + e- λx) 2 λ(e-2 √ √ λ - 1) √ √ √ (e- λξ + e λξ )(e-2 λe λx + e- λx) G2,λ(x, ξ) = √ √ . 2 λ(e-2 λ - 1) Получив функцию Грина, мы можем выписать резольвенту оператора L: 1 r где f ∈ C[0, 1]. R(λ, L)(f ) = 0 Gλ(x, ξ)f (ξ)dξ, 112 М. И. КАМЕНСКИЙ, И. М. ГУДОШНИКОВ ∈ ( π 3. Секториальность оператора. Покажем теперь, что L - секториальный оператор (см. [12, \\ II.4.a]). Для этого достаточно, чтобы для некоторого θ ,π 2 сектор Σθ = {λ ∈ C : |arg λ| < θ}\\ {0} состоял из одних только регулярных точек и найдется такое M, что для всех этих точек M ||R(λ, L)|| |λ| . (7.5) \\ Зафиксируем θ ∈ ( π ,π . Весь спектр L лежит на мнимой оси в левой полуплоскости, так что он 2 не лежит в Σθ. Докажем теперь оценку (7.5). 1 ||R(λ, L)|| = sup ||R(λ, L)f || = sup r max Gλ(x, ξ)f (ξ)dξ f ∈C[0, 1],||f ||=1 f ∈C[0, 1],||f ||=1 x∈[0, 1] 0 sup max 1 r |Gλ(x, ξ)f (ξ)|dξ sup max 1 r |Gλ(x, ξ)| max |f (y)|dξ = f ∈C[0, 1],||f ||=1 x∈[0, 1] 0 f ∈C[0, 1],||f ||=1 x∈[0, 1] 0 ⎛ 1 ⎞ 1 y∈[0, 1] = sup r max ⎝ r |Gλ(x, ξ)|dξ ||f ||⎠ = max |Gλ(x, ξ)|dξ = f ∈C[0, 1],||f ||=1 x∈[0, 1] 0 ⎛ x x∈[0, 1] 0 1 ⎞ r = max ⎝ x∈[0, 1] r |G2,λ(x, ξ)|dξ + |G1,λ(x, ξ)|dξ⎠ = 0 ⎛ x √ √ x √ √ √ r (e- λξ + e λξ )(e-2 λe λx + e- λx) = max ⎝ √ √ dξ+ x∈[0, 1] 0 2 λ(e-2 λ - 1) 1 √ √ √ √ √ ⎞ r (e-2 + λe λξ + e- λξ )(e λx λx + e- ⎠ ) dξ 2 √λ(e ⎛ √ 2 λ - 1) x 1 √ √ √ r ( √ √λξ \\ √ √ max ⎝ e-2 λe λx + e- λx e- λξ + e dξ+ 2| λ||e-2 0 λ - 1| x∈[0, 1] - λx r 1 ⎞ + - λξ √λx √ ( √ √ λ -2 √λξ \\ e + e e + e x e dξ⎠ 1 √ √ max ( ( e-2Re √ λeRe √ λx + e-Re \\ e 1 √ ( -Re √λx λx - + √ eRe λx - 1 \\ + 2| λ||e-2 λ - 1| x∈[0, 1] ( e-Re √λ -Re √λx √ Re √λ -Re √λ Re √λx \\\\ Re √λ + (eRe √λx + e-Re √λx\\ - e + e-2Re λ e - e = 1 -Re √λ Re √λ λ 2|√ √ ||e-2 λ - 1| × × max x∈[0, 1] ( 1 -Re √λ ( e-2Re √ λeRe √ λxe-Re √ e λx -2Re - √ λeRe √ λx + e-Re √ λxe-Re \\ √ √ e + λx -Re λx - 1 ( + √ e-2Re √ λeRe √ λxeRe √ e λx -2Re - √ λeRe √ λx + e-Re √ λxeRe \\ + √ √ e λx -Re λx - Re λ 1 ( + √ eRe √ λxe-Re √ e λ Re - √ λxe-Re √ λx + e-Re √ λxe-Re √ e λ -Re - \\ + √ √ λxe-Re λx -Re λ 1 ( √ √ √ √ √ √ √ √ √ + √ Re λ eRe e λxe-2Re λeRe λ Re - λxe-2Re λe-Re λx + e-Re λxe-2Re λeRe λ- -e-Re √ λxe-2Re √ λeRe λx √ \\\\ = 1 max (-e-2Re √ λ + e-2Re √ λeRe √ λx+ √ 2|√λ||e-2 λ - 1||Re √λ| x∈[0, 1] -e-2Re √ λx + e-Re √ λx + e-2Re √ λe2Re e √λx -2Re - √ λeRe √ λx +1 - e-Re e √λx -Re - √ λeRe √ λx + 1- ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВОЗМУЩЕННЫХ ПОЛУГРУПП В ПОЛУУПОРЯДОЧЕННЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 113 -e-Re √ λe-Re √ λx + e-2Re √ λx + e-Re √ λeRe √ e λx -2Re - 2Re √λ √ λe2Re √ λx + e-Re √ λe-Re √ e λx -2Re - λ √ \\ = = |e- - 1| √ |√λ||Re √ λ||e-2 λ - 1| . (7.6) Здесь следует сделать два замечания. Во-первых, поскольку |arg λ| <θ < π, то можно выбирать в качестве √λ тот из корней, который лежит в правой полуплоскости, и без ограничения общности λ можно считать, что 0 |arg√λ| < θ < π . Тогда |Re √λ| = |√ λ | cos |arg √λ| > |√ θ | cos . 2 2 π 2 Во-вторых, для произвольных a, b > 0, |ϕ| < 2 , будет верно: / |a(cos ϕ + i sin ϕ) - b| = / (a cos ϕ - b)2 + a2 sin2 ϕ = / = a2 cos2 ϕ - 2a cos ϕ · b + b2 + a2 sin2 ϕ = a2(cos2 ϕ + sin2 ϕ) - 2ab cos ϕ + b2 = = /a2 - 2ab cos ϕ + b2 /a2 - 2ab + b2 = /(a - b)2 = a - b. √ В нашем случае a = e-2Re λ,b = 1,ϕ = arg √λ. Поэтому из (7.6) следует, что 1 R(λ, L) Мы доказали, что L - секториальный оператор. . 2 |λ| cos θ 1. Обратимый оператор и полугруппа. В [12, II.2.12] показано, что оператор L порождает сильно непрерывную полугруппу на пространстве F = C[0, 1], заданную формулой 1 r (eLtf )(s) = 0 kt(s, r)f (r)dr, kt(s, r) = 1 + 2 e-π n t cos(πns) cos(πnr), 2 2 n∈N причем kt - положительные функции, определенные на [0, 1] × [0, 1]. Поскольку 0 ∈ σ(L), то оператор L необратим. Построим масштабированную полугруппу, выбрав число a ∈ (0, ∞) и обозначив Тогда согласно [12, II.2.2] Γ = -L + aI. σ(-Γ) = σ(L - aI) = {-π2k2 - a : k ∈ {0}∪ N}, e-Γ = e-ateLt. (7.7) Поскольку L является секториальным оператором, он порождает аналитическую полугруппу [12, Theorem II.4.6], а значит и -Γ = L - aI порождает аналитическую полугруппу, так как -aI - ограниченный оператор (см. [12, Proposition III.1.12]). Так как R(λ, Γ) = (Γ - λI)-1 = (-(-Γ - (-λ)I))-1 = -(-Γ - (-λ)I)-1 = -R(-Γ, -λ), то σ(Γ) = -σ(-Γ) = {π2k2 + a : k ∈ {0}∪ N} при тех же собственных подпространствах, отвечающих соответствующим собственным значениям. Как можно видеть, 0 является регулярной точкой оператора Γ, поэтому он обратим. Согласно [3, теорема 6.15, III.6.3] имеем расширенный спектр (который может отличаться от спектра оператора только точками 0 и ∞): σ(Γ-1) = {0}∪ и получаем спектральный радиус ( 1 π2k2 + a : k ∈ {0}∪ N , э σ(Γ-1) 1 = ρ(Γ-1). a 114 М. И. КАМЕНСКИЙ, И. М. ГУДОШНИКОВ Заметим, что 1 r (Γ-1f )(x) = ((-L + aI)-1f )(x) = ((-(L - aI))-1f )(x) = (-(L - aI)-1f )(x) = - 0 Ga(x, ξ)f (ξ)dξ. (7.8) Как показано в [4, IV.§6.1.4], в этом случае оператор Γ-1 компактен, а значит, компактна и резольвента Γ и -Γ. Поскольку полугруппа e-Γt аналитична, то она непрерывна по норме при t > 0, и благодаря компактности резольвенты генератора мы имеем компактность полугруппы (см. [12, Theorem II.4.29]). Значит, у нее отсутствует существенный спектр и ω0(e-Γt) = s(-Γ) = sup Re σ(-Γ) = -a< 0, т. е. полугруппа устойчива. Рассмотрим конус K = {f ∈ C[0, 1] : ∀(x ∈ [0, 1])[f (x) 0]}. Если рассматривать операторы только над вещественнозначными функциями, мы получаем, что полугруппа e-Γt положительна в смысле K благодаря положительности ядер kt (что дает положительность eLt) и соотношению (7.7). 2. Примеры возмущений с запаздыванием. Таким образом, для оператора -Γ выполнены все условия теоремы 5.1. В качестве ее следствия мы можем сформулировать следующую теорему: Теорема 7.1. Пусть M : F → F - ограниченный линейный оператор, положительный относительно конуса K и такой, что ρ(Γ-1M ) < 1. Тогда полугруппа e(-Γ+M )t равномерно экспоненциально устойчива. Пример 7.1. Зафиксируем 0 <p< 1. Рассмотрим функцию q1 ∈ K и оператор ( t ∈ [0, p] : q1(t)f (0), (M1f )(t) = t ∈ [p, 1] : q1(t)f (t - p). M1 положителен и ограничен. Выясним, когда полугруппа e(-Γ+M1)t равномерно экспоненциально устойчива. Заметим, что ρ(Γ-1M1) ⊗Γ-1M1⊗ = sup max |(Γ-1M1f )(x)| = f ∈C[0, 1], f =1 x∈[0, 1] = sup 1 r max - Ga(x, ξ)M1f (ξ)dξ f ∈C[0, 1], f =1 x∈[0, 1] 0 sup ⎛ p r max ⎝ 1 r |Ga(x, ξ)| |q1(ξ)| |f (0)|dξ + ⎞ |Ga(x, ξ)| |q1(ξ)| |f (ξ - p)|dξ⎠ f ∈C[0, 1], f =1 x∈[0, 1] sup 0 max p 1 r |Ga(x, ξ)| |q1(ξ)|dξ⊗f ⊗ = max 1 r |Ga(x, ξ)|q1(ξ)dξ. f ∈C[0, 1], f =1 x∈[0, 1] 0 x∈[0, 1] 0 Таким образом, e(-Γ+M1)t устойчива, если 1 r max x∈[0, 1] |Ga(x, ξ)|q1(ξ)dξ < 1. 0 Если для всех x ∈ [1 - p, 1] ⎡ p 1 r r ⎣ |Ga(x, ξ)|q1(ξ)dξ 0 p ⎤ |Ga(x, ξ)|q1(ξ)dξ /= 0⎦ , (7.9) то мы можем несколько улучшить оценку. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВОЗМУЩЕННЫХ ПОЛУГРУПП В ПОЛУУПОРЯДОЧЕННЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 115 Выберем непрерывную на [0, 1] функцию ν(t) : ∀(t ∈ [0, 1])[ν(t) /= 0]. Введем норму на C[0, 1]: ⊗x⊗ν = ⊗νx⊗. Она эквивалентна стандартной: 1 ν 1 ν(t) 1 1 1 1 ⊗x⊗ = 1 x1 = max x(t) max max |ν(t)x(t)| = 1 1 ⊗x⊗ν, 1 ν 1 t∈[0, 1] ν(t) t∈[0, 1] ν(t) t∈[0, 1] 1 ν 1 1 1 ⊗x⊗ν = ⊗xν⊗ = max |x(t)ν(t)| max |x(t)| max |ν(t)| = ⊗x⊗⊗ν⊗. t∈[0, 1] Тогда, подобно случаю со стандартной нормой, t∈[0, 1] t∈[0, 1] 1 r ρ(Γ-1M1) ⊗Γ-1M1⊗ν = sup max - Ga(x, ξ)M1f (ξ)dξν(x) f ∈C[0, 1], f ν =1 x∈[0, 1] 0 ⎛ p sup r max ⎝ |Ga(x, ξ)|q1(ξ) f (0) dξ|ν(x)|+ ν(0) f ∈C[0, 1], f ν =1 x∈[0, 1] 0 1 r ν(ξ - p) ν(0) ⎞ ν(ξ p) dξ|ν(x)| ⎠ + |Ga(x, ξ)|q1(ξ) f (ξ - p) - p ⎛ p r ν(x) + sup max ⎝ |Ga(x, ξ)|q1(ξ)dξ⊗f ⊗ν f ∈C[0, 1], f ν =1 x∈[0, 1] 0 1 r ν(x) ν(0) ⎞ + |Ga(x, ξ)|q1(ξ)dξ⊗f ⊗ν max = ξ∈[p,1] ν(ξ - p) ⎠ p ⎛ p 1 ⎞ r ν(x) r ν(x) = max ⎝ |Ga(x, ξ)|q1(ξ)dξ + |Ga(x, ξ)|q1(ξ)dξ max . (7.10) x∈[0, 1] ν(0) ξ∈[p,1] ν(ξ - p) ⎠ 0 p Выберем ν(x) следующим образом: ⎧ 1, x 1 - p, ⎪ p ⎨⎪ ⎛ Г Ga(1-p,ξ)|q1(ξ)dξ ⎞ ⎛ 1 ⎞ Г |Ga(1-p,ξ)|q1(ξ)dξ ν(x) = min | 1, 0 ⎜1, p ⎟ ⎝ p ⎪ ⎩ ⎪ Г |Ga(x,ξ)|q1(ξ)dξ 0 ⎠ min ⎝ 1 Г |Ga(x,ξ)|q1(ξ)dξ p ⎠ , 1 - p< x. Функция ν(x) определена, непрерывна и положительна на [0, 1] благодаря (7.9). Далее для x> 1-p p 1 r ν(x) r ν(x) + |Ga(x, ξ)|q1(ξ)dξ |Ga(x, ξ)|q1(ξ)dξ max ν(0) 0 p ξ∈[p,1] ν(ξ - p) p 1 r r |Ga(1 - p, ξ)|q1(ξ)dξν(1 - p)+ 0 p |Ga(1 - p, ξ)|q1(ξ)dξν(1 - p). Значит, максимум по x в (7.10) достигается при x ∈ [0, 1 - p], и при выполненном (7.9) условием устойчивости будет неравенство 1 r max x∈[0, 1-p] 0 |Ga(x, ξ)|q1(ξ)dξ < 1. 116 М. И. КАМЕНСКИЙ, И. М. ГУДОШНИКОВ Пример 7.2. Пусть q2 : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] - непрерывная функция такая, что ∀x, s ∈ [0, 1] q2(x, s) 0. Рассмотрим оператор Аналогично: p r (M2f )(s) = 0 1 r q2(t, s)f (0)ds + p q2(t, s)f (s - p)ds. ρ(Γ-1M1) sup 1 r max - ⎛ p r Ga(x, ξ) ⎝ 1 r q2(ξ, s)f (0)ds + ⎞ q2(ξ, s)f (s - p)ds⎠ dξ p f ∈C[0, 1], f =1 x∈[0, 1] 0 0 1 1 r r max x∈[0, 1] 0 |Ga(x, ξ)| 0 q2(ξ, s)ds dξ имеем условие устойчивости полугруппы e(-Γ+M2)t: 1 r max x∈[0, 1] 0 1 r |Ga(x, ξ)| 0 q2(ξ, s)ds dξ < 1. Аналогично примеру 7.1, если для всех x ∈ [1 - p, 1] то верна оценка 1 p 1 r r r |Ga(x, ξ)|q2(ξ, s)ds dξ 0 0 0 1 r |Ga(x, ξ)|q2(ξ, s)ds dξ /= 0, p ρ(Γ-1M2) ⊗Γ-1M2⊗ν ⎛ 1 p 1 1 ⎞ r r ν(x) r r ν(x) max ⎝ |Ga(x, ξ)|q2(ξ, s)ds dξ + |Ga(x, ξ)|q2(ξ, s)ds dξ max x∈[0, 1] ν(0) s∈[p,1] ν(s - p) ⎠ 0 0 0 p и, выбрав ⎧ 1, x 1 - p, ⎪ ⎪ ⎛ 1 p ⎨ Г Г ⎞ Ga(1-p,ξ)|q2(ξ,s)ds dξ ⎛ 1 1 ⎞ Г Г |Ga(1-p,ξ)|q2(ξ,s)ds dξ ν(x) = | min ⎜1, 0 0 ⎟ min ⎜1, 0 p ⎟ , 1 p< x, ⎝ 1 p ⎪ ⎩ ⎪ Г Г |Ga(x,ξ)|q2(ξ,s)ds dξ 0 0 ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 - Г Г |Ga(x,ξ)|q2(ξ,s)ds dξ 0 p получаем улучшенное условие устойчивости 1 1 r r max x∈[0, 1-p] 0 |Ga(x, ξ)| 0 q2(ξ, s)ds dξ < 1.