О полноте собственных функций одного дифференциального оператора 5-го порядка

Полный текст

Введение В пространстве L2[0, 1] рассмотрим простейший линейный обыкновенный дифференциальный оператор L0 пятого порядка, порожденный дифференциальным выражением , (1) и двухточечными двучленными краевыми условиями , (2) © Российский университет дружбы народов, 2022 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 338 где. В данной работе исследуется вопрос о полноте системы собственных функций оператора L0 в пространстве L2[0, 1]. Не оговаривая этого особо, будем использовать в качестве определения собственных значений (с.з.), собственных и присоединенных функций (с.п.ф.) и, в частности, собственных функций (с.ф.) в случае отсутствия присоединенных функций, соответствующие определения из [12, с. 24, 27]. Если известно, что присоединенных функций нет, например, когда с.з. простые (это как раз имеет место при рассмотрении оператора L0), то вместо термина «с.п.ф.» будем использовать термин «с.ф.». Основным результатом работы является следующая теорема. Теорема 1. Предположим, что или, или. Тогда либо система с.ф. оператора L0 полна в пространстве L2[0, 1], либо этот оператор вырожденный (а именно, либо не имеет вообще собственных значений (с.з.), либо все λ ∈ C являются его с.з.). Дается подробное доказательство этой теоремы. Этот результат был анонсирован в [16] и частично опубликован в [4]. К настоящему времени получен более общий результат [17, 18] для произвольного n = 2m+1, m ∈ N. Доказательство общего случая весьма громоздко и из-за этого его суть может быть не очень понятно. Для лучшего понимания идеи доказательства, как нам кажется, весьма полезно дать подробное доказательство для самого простейшего случая, когда n = 5, что и делается в настоящей статье. Статья состоит из 6 разделов и списка литературы. В первом разделе дается постановка задачи и краткая история вопроса. Во втором разделе приводится схема доказательства полноты системы с.ф. в пространстве L2[0, 1]. В частности, вводятся специальные параметрические решения (с.п.р.) уравнения y(5) + ρ5y = 0 (или, по-другому, не «классические» порождающие функции для системы с.ф.), где λ = -ρ5 есть спектральный параметр, содержащие вектор-функцию (в.ф.) Γ(ρ) = (γ1(ρ),γ2(ρ),...,γ5(ρ))T в качестве параметра. Подходящий подбор в.ф. Γ(ρ) позволяет в некоторых случаях доказывать полноту системы с.ф. Под «классическими» порождающими функциями понимаются функции, рассматриваемые, например, в [12, с. 84]. В третьем разделе дается классификация дифференциальных операторов (1)-(2) по степени их нерегулярности, а именно, вводятся множества операторов NRkj . В четвертом разделе доказываются некоторые вспомогательные результаты, которые существенно используются в дальнейшем изложении. В пятом разделе дается аналитическое описание множеств NRkj . Наконец, в шестом разделе, проводится непосредственное доказательство теоремы 1. Этот раздел состоит из 2-х подразделов. В первом подразделе подробно анализируется с.п.р., а во втором пункте доказывается полнота системы с.ф. оператора L0 во всех невырожденных случаях. 1. Постановка задачи и краткая история вопроса В пространстве L2[0, 1] рассмотрим обыкновенный дифференциальный оператор L, порожденный дифференциальным выражением , (1.3) и двухточечными краевыми условиями (1.4) где Принципиальным вопросом для этого оператора является вопрос о полноте системы его собственных и присоединенных функций (с.п.ф.) в пространстве L2[0, 1]. Для того чтобы описать случаи, для которых вопрос о полноте системы с.п.ф. оператора (1.3)(1.4) решается положительно, введем некоторые обозначения. Пусть λ = -ρn. Обозначим через различные корни n-й степени из -1. Считаем, что. Разобьем комплексную ρ-плоскость на 2n областей: arg. Вопрос о полноте решается положительно в следующих случаях: 1◦. Оператор (1.3)-(1.4) регулярен по Биркгофу (см. [12, c. 66-67]), т. е. функция Грина имеет оценку , где λν = -ρnν есть с.з. рассматриваемого оператора, Kδ(ρ) = {z : |z - ρ| < δ}, δ > 0 и достаточно мало. Результаты, касающиеся данного случая, можно найти, например, в [19, 29, 33]. 2◦. Оператор (1.3)-(1.4) почти регулярен (см. [27]) или, по-другому, регулярен по Стоуну (см. [28]), т. е. функция Грина имеет оценку , где N > 1 - n. Результаты, касающиеся данного случая, можно найти, например, в [21, 27, 28, 34]. 3◦. Оператор (1.3)-(1.4) слабо нерегулярен или нормален (по терминологии [27]), т. е. , где γ - луч, исходящий из начала координат. Результаты, касающиеся данного случая, можно найти в работах [3, 27]. 4◦. Оператор (1.3)-(1.4) порожден полураспадающимися краевыми условиями, т. е. краевыми условиями вида (1.5) где 2l > n. В этом случае функция Грина имеет экспоненциальный рост по ρ по любому направлению либо при либо при Будем называть такие операторы L, у которых наблюдается экспоненциальный рост по ρ по любому направлению, сильно нерегулярными. Результат о полноте системы с.п.ф. оператора (1.3), (1.5) в L2[0, 1] есть частный случай теоремы М.В. Келдыша [9], которая была сформулирована для абстрактных оператор-функций. Так как доказательство теоремы М.В. Келдыша полностью так и не было опубликовано, предпринималось много попыток доказать различные варианты этой теоремы. Существенное продвижение в этом направлении было сделано в 1973 году А.П. Хромовым [22, 23]. Им было получено доказательство теоремы М.В. Келдыша в случае аналитических коэффициентов pj(x) дифференциального выражения. Аналогичный результат другим методом был доказан позже W. Eberhard’ом [30]. В случае произвольных суммируемых коэффициентов дифференциального выражения эта теорема была доказана А.А. Шкаликовым в 1976 году [26]. Обобщение этой теоремы полноты в сильно нерегулярном случае на случай конечномерного возмущения вольтеррова оператора было сделано А.П. Хромовым в [24]. Случай произвольной главной части дифференциального выражения был рассмотрен G. Freiling’ом [31] и С.А. Тихомировым [20]. Исследование вопроса об n- и m-кратной полноте и неполноте с.п.ф. пучка L(λ), дифференциальное выражение которого имеет постоянные коэффициенты, а краевые условия полураспадающиеся, провел А.И. Вагабов [1, 2]. Если оператор (1.3)-(1.4) сильно нерегулярен и краевые условия не полураспадающиеся, то вопрос о полноте в L2[0, 1] системы его с.п.ф. до сих пор остается открытым. Так как никаких результатов для общего случая оператора (1.3)-(1.4) не было, и не ясно было, как их получать, то естественно было рассмотреть максимально простой случай оператора (1.3)-(1.4), сохраняющий основные трудности общего случая, а именно, оператор L0, введенный выше формулами (1)-(2). Результаты о полноте системы с.п.ф. этого оператора, как уже было отмечено, были сформулированы и частично доказаны в [4, 16]. В последней статье результаты принадлежат автору настоящей статьи. Соавторы помогали в подготовке статьи. А.П. Хромов в [25], по-видимому, впервые рассмотрел нерегулярную задачу на собственные значения третьего порядка вида y(3) + λy = 0, ανy(ν-1)(0) + βνy(ν-1)(1) = 0, ν = 1,2,3. (1.6) Он показал, что условие α1 + α2 + α3 = 0 в случае β1 = β2 = β3 = 1 является необходимым и достаточным для обращения в нуль коэффициентов при экспонентах, соответствующих точкам ω1 + ω2, ω2 + ω3, ω3 + ω1, в характеристическом определителе. А.П. Хромов исследовал вопрос о разложении функций в биортогональные ряды по собственным функциям задачи (1.6) при выполнении этого условия. Решение этого вопроса имело принципиальное значение, так как функция Грина задачи (1.6) в данном случае имеет экспоненциальный рост по ρ как при так и при в отличие от случая распадающихся граничных условий, когда функция Грина имеет экспоненциальный рост или приили при t x. Но с точки зрения вопроса о полноте системы с.п.ф. эта задача не представляет трудности, так как она является слабо нерегулярной в указанном выше смысле. Отметим, что все возможные нерегулярные ситуации при n = 3 или n = 4 либо также слабо нерегулярные, либо вырожденные. Результаты [25] были распространены О.Ю. Дмитриевым [5-8] на случай краевых задач на отрезке [0, 1], определенных дифференциальным уравнением y(n) - λy = 0 n-го порядка, где n = 4k + 1, k ∈ N, и краевыми условиями а также и некоторыми другими двухточечными краевыми условиями. Им были выделены некоторые классы нерегулярных по Биркгофу краевых условий, для которых были получены необходимые и достаточные условия разложения по с.ф. указанных краевых задачи на отрезке [0, 1] и внутри него. Вопрос полноты системы с.ф. для этих краевых задач О.Ю. Дмитриевым не рассматривался. 2. Схема доказательства полноты Пусть Λ := {λν} ⊂ C есть множество с.з. оператора L. Считаем, что Λ - счетное множество. Пусть система функций есть фундаментальная система решений (ф.с.р.) уравнения, определяемая начальными условиями при x = 0, образующими единичную матрицу, т. е.- символ Кронекера. Функции yj(x,λ) суть целые аналитические функции по λ. Хорошо известно (см. [12, с. 26]), что λ ∈ Λ, т. е. λ является с.з. оператора L тогда и только тогда, когда λ является нулем характеристического определителя . Очевидно, Δ(λ) - целая аналитическая функция. Далее потребуется определение, аналогичное определению [11, с. 62] производящего полинома для цепочки из собственного и присоединенных к нему векторов оператор-функции. Определение 2.1. Функцию g(x,λ), определенную для всех x ∈ [0, 1] и λ ∈ D, где D ⊂ C есть некоторое множество такое, что , будем называть порождающей (или производящей) функцией для системы с.п.ф. оператора L, соответствующих тем с.з., которые лежат в D, если функции являются с.п.ф. оператора L, соответствующими с.з. λν кратности sν + 1. Здесь τν определяется условием . Очень просто это определение выглядит в случае простых с.з. Хорошо известно (см. [12]), что в случае простых с.з. все с.ф. оператора L однократны. В этом случае функция g(x,λ) будет порождающей или производящей для системы с.ф. оператора L, соответствующих тем с.з., которые лежат в D, если система {g(x,λν)}λν∈D является системой с.ф. оператора L. Рассмотрим следующие порождающие функции для с.п.ф. оператора L (см. [12, с. 84]): (2.1) Эти функции являются целыми функциями по λ, линейно независимыми при x ∈ [0, 1] и λ /∈ Λ. В этом случае, очевидно, можно взять D = C и тогда Λ ⊂ D. Предположим, что функция f¯∈ L2[0, 1] (f¯обозначает комплексно-сопряженную функцию к f; исходная функция берется в таком виде, чтобы далее не ставить знак комплексного сопряжения) ортогональна системе с.п.ф. оператора L. Введем функции которые также являются целыми аналитическим функциями по λ. На основании этой ортогональности и определения 2.1 можно заметить, что с.з. λν, имеющее кратность sν + 1, является нулем кратности не менее sν + 1 этих функций. Рассмотрим отношения Это, вообще говоря, мероморфные функции, полюсами которых могут быть только нули Δ(λ). В силу вывода, сделанного в предыдущем абзаце, полюсы функций Gj(λ) являются устранимыми, т. е. Gj(λ) являются на самом деле целыми аналитическими функции по λ. Для каждой области Sk, k = 0,2n - 1, рассмотрим также другую ф.с.р. уравнения или, что то же самое, уравнения, а именно, систему решений yk1(x,ρ), yk2(x,ρ), , построенную в [12, c. 58-59] или, в более общем случае, в [13-15]. В каждой области Sk системыполучаются друг из друга в результате умножения на невырожденные матрицы, т. е. существуют матрицы Ak(ρ) такие, что |Ak(ρ)|(≡ и . Следовательно, , где строятся по тем же формулам, что и gj(x,λ), Gj(λ), Δ(ρ), но только вместо ф.с.р. {yj(x,λ)} используются ф.с.р.. Таким образом, (2.2) А так как в левой части стоит целая функция по λ, а следовательно, и по ρ, то функции справа продолжимы во всю комплексную плоскость как целые функции по ρ. Таким образом, при фиксированном j функция представляет из себя целую аналитическую функцию по ρ ∈ C, причем, как нетрудно заметить, конечной степени (см. определение в [10, с. 113]), не зависящую от индекса k. Обозначим ее как. Определение 2.2. Будем говорить, что целая аналитическая функция конечной степени F(ρ) обладает свойством (α) (или кратко F(ρ) ∈ (α)), если в ρ-плоскости существуют по крайней мере три луча, исходящих из начала, каждые два соседних из которых имеют между собой угол, меньший π, и на которых функция F(ρ) имеет не более чем степенной рост. Для указанных случаев 1◦-4◦ или (случаи 1◦-3◦), или , (случай 4◦). Отсюда по принципу Фрагмена-Линделефа сразу следует, что Gj(ρ) ≡ Pj(ρ) - полином по ρ. А так как справедлива альтернатива (см., например, [2, с. 49]): либо система с.п.ф. оператора L полна в L2[0, 1], либо имеет бесконечный дефект, то можно считать, что Pj(ρ) ≡ 0, откуда следует, что. Отсюда известными стандартными рассуждениями (см., например, [26] или [1, 2]) выводим, что f(x) = 0 п.в. на [0, 1], тем самым устанавливая полноту системы с.п.ф. оператора L во всех этих случаях. Если же оператор L сильно нерегулярен и не порожден полураспадающимися краевыми условиями, будем иметь, вообще говоря, что (. Следовательно, воспользоваться вышеизложенной схемой доказательства с использованием порождающих функций вида (2.1) в этом случае не удается, т. е. традиционная система порождающих функций в данном случае не подходит для установления полноты системы с.п.ф. Исследуя конкретные примеры, удалось обнаружить (см. [32]), что даже если для любого можно подобрать функции или, что то же самое, в.ф. Γ(ρ) = (γ1(ρ),γ2(ρ),...,γn(ρ))T такие, что G(ρ,Γ(ρ)) ∈ (α), где , или, с учетом формул (2.2), , причем для функции . (2.3) Очевидно, функции (2.3) являются решениями уравнения при ρ ∈ Sk, k = 0,2n - 1. Будем называть решение вида (2.3) специальным параметрическим решением (с.п.р.) уравнения в области Sk, k = 0,2n - 1. Предложенная идея оказалась плодотворной и позволяет доказать полноту и в некоторых сильно нерегулярных случаях. Таким образом, для решения вопроса о полноте системы с.п.ф. оператора L необходимо научиться строить такие в.ф. Γ(ρ), для которых будет иметь место включение, или, по-другому, целая функция конечной степени по крайней мере на 3-х лучах раствора меньше π имеет не более чем степенной рост. Доказательство основного результата данной работы о полноте системы с.ф. простейшего оператора L0 проводится по рассмотренной в данном разделе схеме, суть которой составляет метод построения требуемых в.ф. Γ(ρ) для простейшего оператора L0. Причем необходимые в.ф. Γ(ρ) удалось построить не сразу для всех нераспадающихся сильно нерегулярных краевых условий вида (2), а для каждого конкретного множества сильно нерегулярных нераспадающихся краевых условий. Для этого потребовалось предварительно провести соответствующую классификацию краевых условий (2) по степени их нерегулярности и дать соответствующее аналитическое описание краевых условий для каждого подслучая. 3. Классификация дифференциальных операторов. Множества NRkj Далее будем рассматривать обыкновенный дифференциальный оператор 5-го порядка L0 в пространстве L2[0, 1], порожденный дифференциальным выражением (1) и двухточечными двучленными граничными условиями (2). В этом случае в качестве ф.с.р. {ykj(x,ρ)}5j=1 уравнения, о которой шла речь в предыдущем разделе, можно взять систему , одинаковую для всех , где, как и раньше,. Очевидно, это можно сделать, так как функции eρωjx суть целые аналитические функции по ρ. Обозначим , где. Положим ⎛v1j⎞ ⎛ α1 ⎞ Vj = ⎜ ⎜⎜⎝vvvv2435jjjj⎟⎠⎟⎟ := ⎜⎜⎝⎜⎜αααα4532ωωωωjjj32j4⎟⎟⎟⎠⎟, Wj = , Δ0 = |V1 V2 V3 V4 V5|(:= det(V1 V2 V3 V4 V5)), Δ1 = |W1 V2 V3 V4 V5|, Δ2 = |V1 W2 V3 V4 V5|, ..., Δ12 = |W1W2V3V4V5|, Δ13 = |W1V2W3V4V5|, ..., Δ12345 = |W1 W2 W3 W4 W5|. Отметим на плоскости (см. рис. 1-3) все точки ), ..., ω1 + ω2 + ω3 + ω4 + ω5(= 0) (для краткости на рисунке цифрой j обозначается точка ωj, суммой 1 + 2 обозначается точка ω1 + ω2 и т. д.). Обозначим множество таких точек через Ω. Рис. 1 Пусть M0 - выпуклая оболочка отмеченных точек, т. е. M0 = convΩ. Очевидно, M0 является правильным 10-угольником с центром в начале координат и с вершинами в точках σ010 = ω1 + ω2, σ020 = ω2 + ω3, ..., σ050 = ω5 + ω1, σ011 = ω1 + ω2 + ω3, σ021 = ω2 + ω3 + ω4, ..., σ051 = ω5 + ω1 + ω2. Обозначим через M00 и M01 выпуклые оболочки точек, соответственно. Очевидно, M00 и M01 суть правильные 5-угольники с центром в начале координат и с вершинами в точках σ00j, j = 1,5, и σ01j, j = 1,5, соответственно, которые перемежаются друг с другом. Рис. 2 Рис. 3 Если удалить вершины многоугольника M0 и обозначить через M1 выпуклую оболочку оставшихся точек, то легко заметить, что многоугольник M1 будет, как и M0, правильным 10-угольником с центром в начале координат и с вершинами в точках σ110 = ω1, σ120 = ω2, ..., σ150 = ω5, σ111 = ω1 + ω2 + ω3 + ω4, σ121 = ω2 + ω3 + ω4 + ω5, ..., σ151 = ω5 + ω1 + ω2 + ω3, которые лежат на тех же самых лучах, исходящих из начала координат, что и вершины многоугольника M0 (правильный многоугольник M1 выделен жирной линией на рис. 1). Обозначим через M10 и M11 выпуклые оболочки точек, соответственно. Очевидно, M10 и M11 суть правильные 5-угольники с центром в начале координат и с вершинами в точках, соответственно, которые также перемежаются друг с другом (правильные многоугольники M10 и M11 выделены жирными линиями на рис. 2 и 3 соответственно). Если удалить вершины многоугольников M0 и M1 и обозначить через M2 выпуклую оболочку оставшихся точек, то легко заметить, что многоугольник M2 будет, как и M0 и M1, правильным 10-угольником с центром в начале координат и с вершинами в точках σ210 = ω1 + ω3, σ220 = ω2 + ω4, ..., σ250 = ω5 + ω2, σ211 = ω1 + ω2 + ω4, σ221 = ω2 + ω3 + ω5, ..., σ251 = ω5 + ω1 + ω3, которые лежат на тех же самых лучах, исходящих из начала координат, что и вершины многоугольников M0 и M1. Нетрудно показать, что многоугольник M1 лежит строго внутри многоугольников M0, M00 и M01. А многоугольник M2 - строго внутри многоугольников M1, M10 и M11. Подсчитаем характеристический определитель оператора L0. Так как в случае оператора L0 имеется единая во всей комплексной плоскости ф.с.р., образованная целыми аналитическими функциями по ρ, то определители не будут зависеть от номера k (с точностью до знака). Далее будем рассматривать следующий определитель, который так же, как и определитель Δ(λ), будем называть характеристическим определителем оператора L0: Лемма 3.1. Справедливы следующие равенства: Δ12 = Δ23 = Δ34 = Δ45 = Δ15, Δ123 = Δ234 = Δ345 = Δ145 = Δ125, Δ1 = Δ2 = Δ3 = Δ4 = Δ5, Δ1234 = Δ2345 = Δ1345 = Δ1245 = Δ1235, Δ13 = Δ24 = Δ35 = Δ14 = Δ25, Δ124 = Δ235 = Δ134 = Δ245 = Δ135. Доказательство. Докажем, например, что Δ23 = Δ12. Остальные случаи доказываются аналогично. Так как, очевидно,, то справедливы следующие равенства: . Лемма доказана. На основании этой леммы и представления (3.1) получим Отметим на рисунке точки ω1 + ω2, ω2 + ω3, ..., ω5 + ω1, если , точки ω1 + ω2 + ω3, ω2 +ω3 +ω4, ..., ω5 +ω1 +ω2, если , и т. д. Пусть -выпуклая оболочка отмеченных точек. Очевидно, является многоугольником, симметричным относительно начала координат и инвариантным относительно поворота на угол 2π/5. Вид этого многоугольника характеризует степень вырожденности характеристического определителя. Будем далее также называть этот многоугольник характеристическим многоугольником оператора L0. Возможны следующие случаи: . Здесь. Это регулярный по Биркгофу случай. Множество операторов L0, обладающих данным свойством, будем обозначать NR0 и кратко писать L0 ∈ NR0. . Здесь . Это первый из двух слабо нерегулярных случаев. Множество операторов L0, обладающих данным свойством, будем обозначать NR00 и кратко писать L0 ∈ NR00 . . Здесь . Это второй из двух слабо нерегулярных случаев. Множество операторов L0, обладающих данным свойством, будем обозначать NR10 и кратко писать L0 ∈ NR10 . . Здесь (см. рис. 1). Это первый из четырех возможных сильно нерегулярных случаев. Множество операторов L0, обладающих данным свойством, будем обозначать NR1 и кратко писать L0 ∈ NR1 . . Здесь (см. рис. 2). Это второй из четырех возможных сильно нерегулярных случаев. Множество операторов L0, обладающих данным свойством, будем обозначать NR01 и кратко писать L0 ∈ NR01 . . Здесь (см. рис. 3). Это третий из четырех возможных сильно нерегулярных случаев. Множество операторов L0, обладающих данным свойством, будем обозначать NR11 и кратко писать L0 ∈ NR11 . (2) Δ1 = Δ12 = Δ123 = Δ1234 = 0. Здесь . Множество операторов L0, обладающих данным свойством, будем обозначать NR2 и кратко писать L0 ∈ NR2 . Это четвертый из четырех возможных сильно нерегулярных случаев, который содержит все оставшиеся сильно нерегулярные случаи, если они есть (далее будет показано, что все операторы из этого множества - вырожденные). 4. Вспомогательные результаты Рассмотрим следующую матрицу: , а также транспонированную к ней матрицу . Очевидно, справедливо и, следовательно, векторы Y1,Y2,...,Y5 и векторы Z1,Z2,...,Z5 образуют базисы в C5. Введем векторы α = (α1,α2,...,α5)T , β = (β1,β2,...,β5)T и разложим эти векторы по системе Z1,Z2,...,Z5: α = αˆ1Z1 + αˆ2Z2 + ... + αˆ5Z5 = ΩT α,ˆ β = βˆ1Z1 + βˆ2Z2 + ... + βˆ5Z5 = ΩTβ,ˆ (4.1) где αˆ = (αˆ1,αˆ2,...,αˆ5)T и βˆ = (βˆ1,βˆ2,...,βˆ5)T . Так как, то соответствия между α и αˆ и между β и βˆ взаимно однозначны. Обозначим для краткости ω := ω1. Введем функцию Mod5(j) := mod5(j), если и Mod5(j) := 5, если j = 5s, где j,s ∈ Z, а modn(j) - стандартная функция из алгебры. Лемма 4.1. Имеют место следующие равенства для: Vj = a1Yj + a2YMod5(j+1) + ··· + a5YMod5(j+4) = ΩVˆj, Wj = b1Yj + b2YMod5(j+1) + ··· + b5YMod5(j+4) = ΩWˆ j, где и Vˆj = (aMod5(2-j),aMod5(3-j),...,aMod5(6-j))T , - - - т. е. ⎛a1⎞ ⎛a5⎞ ⎛a4⎞ ⎛a3⎞ ⎛a2⎞ a2 a1 a5 a4 a3 Vˆ1 = ⎜⎜a3⎟⎟, Vˆ2 = ⎜⎜a2⎟⎟, Vˆ3 = ⎜⎜a1⎟⎟, Vˆ4 = ⎜⎜a5⎟⎟, Vˆ5 = ⎜⎜a4⎟⎟; ⎜a4⎟ ⎜a ⎟ ⎜a2⎟ ⎜a1⎟⎠ ⎜⎝a5⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ ⎝ a5 a4 a3 a2 a1 ⎛b1⎞ ⎛b5⎞ ⎛b4⎞ ⎛b3⎞ ⎛b2⎞ b2 b1 b5 b4 b3 Wˆ1 = ⎜⎜b3⎟⎟, Wˆ2 = ⎜⎜b2⎟⎟, Wˆ3 = ⎜⎜b1⎟⎟, Wˆ 4 = ⎜⎜b5⎟⎟, Wˆ 5 = ⎜⎜b4⎟⎟. Доказательство. Справедливо представление где ⎛ 1 ω1 ω12 ω13 ω T ⎜⎜ωjj2 ωω32ωωjj2 ωω3222ωωjj2 ωω3233ωωj2j ΩjΩ = ⎜ 3 ω4ωj3 ω42ωj3 ω43ωj3 ⎜ωj ⎝ 4 ω5ωj4 ω52ωj4 ω53ωj4 ωj ω14 ⎞ ω24ωj⎟ ω3444ωωjj23⎟⎟⎟⎠ = (X1j,X2j,X3j,X4j,X5j). ω ω54ωj4 Wˆj = (bMod5(2 j),bMod5(3 j),...,bMod5(6 j))T , С учетом введенных обозначений имеем: ω1 = ω, ω2 = ω3, ω3 = ω5, ω4 = ω7, ω5 = ω9, т. е. (2j-1)πi πi ωj = e 5 = (e 5 )2j-1 = ω2j-1. Тогда Yj = (1,ωj,ωj2,ωj3,ωj4)T = (1,ω2j-1,ω4j-2,ω6j-3,ω8j-4)T и, следовательно, вектор Xkj можно записать в виде: . Отсюда X11 = Y1; X21 = ωY2; X31 = ω2Y3; X41 = ω3Y4; X51 = ω4Y5; X12 = Y2; X22 = ωY3; X32 = ω2Y4; X42 = ω3Y5; X52 = ω4Y1; X13 = Y3; X23 = ωY4; X33 = ω2Y5; X43 = ω3Y1; X53 = ω4Y2; X14 = Y4; X24 = ωY5; X34 = ω2Y1; X44 = ω3Y2; X54 = ω4Y3; X15 = Y5; Таким образом, X25 = ωY1; X35 = ω2Y2; X45 = ω3Y3; X55 = ω4Y4. Vj = αˆ1X1j + αˆ2X2j + αˆ3X3j + αˆ4X4j + αˆ5X5j, что дает V1 = αˆ1Y1 + (αˆ2ω)Y2 + (αˆ3ω2)Y3 + (αˆ4ω3)Y4 + (αˆ5ω4)Y5 = ⎛a1⎞ a2 = a1Y1 + a2Y2 + a3Y3 + a4Y4 + a5Y5 = Ω⎜⎜a3⎟⎟ = ΩVˆ1, ⎜⎝a4⎟⎠ a5 ⎛a5⎞ a1 V2 = a1Y2 + a2Y3 + a3Y4 + a4Y5 + a5Y1 = Ω⎜⎜a2⎟⎟ = ΩVˆ2, ⎜⎝a3⎟⎠ a4 ··· ⎛a2⎞ a3 V5 = a1Y5 + a2Y1 + a3Y2 + a4Y3 + a5Y4 = Ω⎜⎜a4⎟⎟ = ΩVˆ5. ⎜⎝a5⎟⎠ a1 Аналогично, Wj = βˆ1X1j + βˆ2X2j + βˆ3X3j + βˆ4X4j + βˆ5X5j, что дает W1 = βˆ1Y1 + (βˆ2ω)Y2 + (βˆ3ω2)Y3 + (βˆ4ω3)Y4 + (βˆ5ω4)Y5 = ⎛b1⎞ b2 = b1Y1 + b2Y2 + b3Y3 + b4Y4 + b5Y5 = Ω⎜⎜b3⎟⎟ = ΩWˆ 1, ⎜⎝b4⎟⎠ b5 ⎛b5⎞ b1 W2 = b1Y2 + b2Y3 + b3Y4 + b4Y5 + b5Y1 = Ω⎜⎜b2⎟⎟ = ΩWˆ 2, ⎜⎝b3⎟⎠ b4 ··· ⎛b2⎞ b3 W5 = b1Y5 + b2Y1 + b3Y2 + b4Y3 + b5Y4 = Ω⎜⎜b4⎟⎟ = ΩWˆ 5. ⎜⎝b5⎟⎠ b1 Таким образом, лемма доказана. Очевидны равенства Δ12 = |W1 W2 V3 V4 V5| = |ΩWˆ 1 ΩWˆ 2 ΩVˆ3 ΩVˆ4 ΩVˆ5| = = detΩ|Wˆ 1 Wˆ2 Vˆ3 Vˆ4 Vˆ5| = θ|Wˆ 1 Wˆ 2 Vˆ3 Vˆ4 Vˆ5| = θΔˆ 12, (4.2) Δ123 = |W1 W2 W3 V4 V5| = θ|Wˆ 1 Wˆ 2 Wˆ3 Vˆ4 Vˆ5| = θΔˆ 123, (4.3) Δ1 = |W1 V2 V3 V4 V5| = θ|Wˆ 1 Vˆ2 Vˆ3 Vˆ4 Vˆ5| = θΔˆ 1, (4.4) Δ1234 = |W1 W2 W3 W4 V5| = θ|Wˆ 1 Wˆ 2 Wˆ3 Wˆ 4 Vˆ5| = θΔˆ 1234, (4.5) где , Замечание 4.1. Из этих равенств следует, что при классификации операторов L0 по степени их нерегулярности, которая была проведена в конце раздела 3, вместо определителей Δ12,Δ123,Δ1,Δ1234 можно использовать определители Δˆ 12,Δˆ 123,Δˆ 1,Δˆ 1234. Далее для определенности будем рассматривать только случай. Случай, когда , можно свести к предыдущему случаю заменой Очевидно, что при такой замене свойство полноты системы с.ф. в пространстве L2[0, 1] сохраняется. Тогда, не нарушая общности, можно считать, что β1 = β2 = ... = β5 = 1. На основании формулы (4.1) в силу единственности разложения вектора по базису отсюда следует, что βˆ1 = 1, βˆ2 = ... = βˆ5 = 0, т. е. b1 = 1, b2 = b3 = b4 = b5 = 0. Таким образом, в этом случае будем иметь: ⎛1⎞ 0 Wˆ1 = ⎜⎜0⎟⎟, ⎜0⎟⎠ ⎝ 0 ⎛0⎞ 1 Wˆ2 = ⎜⎜0⎟⎟, ⎜0⎟⎠ ⎝ 0 ..., ⎛0⎞ 0 Wˆ5 = ⎜⎜0⎟⎟. ⎜0⎟⎠ ⎝ 1 С учетом этого получим . (4.6) 5. Аналитическое описание множеств NRkj Множества NRkj можно описать и аналитически. Это описание будет существенно использоваться в дальнейшем. Следующая лемма очевидна. Лемма 5.1. L0 ∈ NR0 тогда и только тогда, когда , где , . Доказательство. Следует с очевидностью из определения множества NR0 и замечания 4.1. Следующие две леммы описывают аналитически два имеющихся слабо нерегулярных случая для оператора L0. Лемма 5.2. L0 ∈ NR00 тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих трех альтернативных условий: 1) при некотором значении где; 2) 3). Доказательство. Из определения множества NR00 и замечания 4.1 имеем L0 ∈ NR00 в том и только том случае, если . Для указанных здесь определителей будем далее использовать формулы (4.6). Из алгебры известно, что если Δˆ 123 = 0, то столбцы этого определителя линейно зависимы. Следовательно, существует такой вектор , что . (5.1) Если γ1 = 0, тогда и, следовательно, Отсюда получим a5 = a1 = 0. (5.2) . (5.3) Отсюда и из (5.2) получаем утверждение 2) леммы. Если же, то, деля (5.1) на γ1, получим , (5.4) где s = -γ2/γ1. Здесь возможны два случая: . Если в (5.4) , то получим θ11(s) = θ21(s) = 0. (5.5) Так как в рассматриваемом случае , то вычитая из 1-го столбца этого определителя 2-й столбец, умноженный на s, а из 2-го столбца - 3-й, также умноженный на s, получим с учетом (5.5) . (5.6) Отсюда и из (5.5) следует утверждение 1) леммы. Если же в (5.4) s = 0, то получим a1 = a2 = 0, (5.7) а из условия аналогично (5.3) получим . Отсюда и из (5.7) получаем утверждение 3) леммы. Непосредственным подсчетом соответствующих определителей легко установить, что каждое из трех условий 1)-3) влечет утверждение L0 ∈ NR00 . Таким образом, лемма полностью доказана. Лемма 5.3. L0 ∈ NR10 тогда и только тогда, когда и при некоторых значениях , выполняется условие θ12(t,s) = θ22(t,s) = θ32(t,s) = 0, (5.8) где θ12(t,s) = a1 - ta5 - sa4, θ22(t,s) = a2 - ta1 - sa5, θ32(t,s) = a3 - ta2 - sa1. Доказательство. Из определения множества NR10 и замечания 4.1 имеем L0 ∈ NR10 в том и только том случае, когда . Для указанных здесь определителей, как и в предыдущей лемме, используем формулы (4.6). Так как по условию Δˆ 12 = 0, то столбцы этого определителя линейно зависимы. Следовательно, существует такой вектор , что . Так как . Следовательно, деля на γ1, получим , где. Отсюда следует утверждение (5.8) леммы. Непосредственным подсчетом соответствующих определителей легко установить, что условия (5.8) и влекут утверждение L0 ∈ NR10 . Таким образом, лемма полностью доказана. Следующие три леммы описывают имеющиеся для оператора L0 три сильно нерегулярных случая. Лемма 5.4. L0 ∈ NR1 тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих двух условий: 1) при некотором значении = 0; 2) при некотором значении . Доказательство. Из определения множества NR1 и замечания 4.1 имеем L0 ∈ NR1 в том и только том случае, если . Для указанных здесь определителей, как и в предыдущих леммах, используем формулы (4.6). Из условия Δˆ 123 = 0 следует, что найдется такой вектор , для которого выполняется соотношение (5.1). Так как . Поэтому , (5.9) где. То есть . (5.10) Преобразуем определитель Δˆ 12 точно также, как это было сделано выше в доказательстве леммы 5.2 (см. формулу (5.6)), а именно: из 1-го столбца вычтем 2-й столбец, умноженный на s, из 2-го столбца вычтем 3-й, умноженный на s, затем на основании (5.10) получим . Следовательно, либо θ31(s) = 0, либо θ51(s) = 0, либо a5 = 0. Но в данном случае a5 не может быть равным нулю, иначе a1 = 0 (см. формулу (5.9)), поэтому с учетом (5.10) возможны только следующие случаи: а) = 0; б) = 0; в) . Рассмотрим случай а). Преобразуем следующим образом: из 1-го столбца вычтем 2-й столбец, умноженный на s, из 2-го столбца вычтем 3-й столбец, умноженный на s, из 3-го столбца вычтем 4-й столбец, умноженный на s. Затем в соответствии с рассматриваемым случаем а) занулим соответствующие элементы полученного определителя. Получим . Отсюда следует, в частности, что. То есть мы получили выполнение условия 1). Рассмотрим случай б). Преобразуем Δˆ 1 аналогично случаю а), получим . Отсюда следует, в частности, что. То есть мы получили условие 2). Рассмотрим случай в). Преобразуем Δˆ 1 аналогично случаям а) и б), получим . Получили противоречие, которое показывает, что случай в) не может иметь места. Таким образом, мы доказали, что если L0 ∈ NR1, то выполняется условие 1) или условие 2). Непосредственным подсчетом соответствующих определителей легко установить, что из условия 1) или из условия 2) вытекает утверждение L0 ∈ NR1 . Тем самым лемма доказана. Лемма 5.5. L0 ∈ NR01 тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий: 1) = 0; 2) = 0; 3) . Доказательство. Из определения множества NR01 и замечания 4.1 имеем L0 ∈ NR01 в том и только том случае, когда . Для указанных здесь определителей опять используем формулы (4.6). Докажем необходимость условий леммы. Из Δˆ 1234 = 0 следует, что a1 = 0. Так как a1 = 0, то 0 = Δˆ 123 = -a2a5, т. е. либо a2 = 0, либо a5 = 0. Следовательно, возможны следующие случаи: а) = 0; б) = 0; в) a5 = a1 = a2 = 0. Рассмотрим последовательно все эти случаи. В случае а): 0 = Δˆ 12 = a3a25 =⇒ a3 = 0 =⇒ Δˆ 1 = a4a35, а так как , то будет , и, тем самым, получаем утверждение 1) леммы. В случае б): 0 = Δˆ 12 = a4a22 =⇒ a4 = 0 =⇒ Δˆ 1 = a3a32, а так как , то будет , и, тем самым, получаем утверждение 3) леммы. В случае в) из условия 0 = Δˆ 12 никаких новых условий не получаем, так как оно выполняется автоматически. Далее, условие дает, а это и есть условие 2) леммы. Достаточность каждого из условий 1)-3) проверяется непосредственным подсчетом соответствующих определителей. Таким образом, лемма доказана. Лемма 5.6. L0 ∈ NR11 тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих четырех условий: 1) при некотором = 0; 2) при некотором = 0; 3) при некотором = 0; 4) при s ∈ C таком, что s5 = 1: a1 = p, a2 = ps, a3 = ps2, a4 = ps3, a5 = ps4, где p ∈ C \ {0} - любое число. Доказательство. Пусть L0 ∈ NR11 . Воспользуемся далее определением множества NR11, замечанием 4.1 и формулами (4.6). Тогда . Следовательно, существует вектор такой, что . (5.11) Так как , то из (5.11) сразу следует, что. А это влечет существование такого, что . (5.12) Воспользуемся теперь тем, что Δˆ 12 = 0. Получим . (5.13) Учитывая, что в случае будет иметь место свойство и (5.13) получим, что возможны только следующие альтернативы: а) = 0; б) = 0; в) . Рассмотрим отдельно каждый случай. Пусть выполняется условие а). Воспользуемся равенством нулю определителя Δˆ 1: , а так как, то отсюда следует, что θ41(s) = 0, и, тем самым, получаем условие 1) леммы. Пусть выполняется условие б). В этом случае опять воспользуемся равенством нулю определителя Δˆ 1: , а так как, то отсюда получим θ41(s) = 0, что дает условие 3) леммы. Пусть выполняется условие в). Равенство нулю определителя Δˆ 1 в данном случае выполняется автоматически: , и ничего нового не дает. Здесь возможны два подслучая: = 0; в.2) θ41 = 0. В подслучае в.1) сразу получаем утверждение 2) леммы. Пусть имеет место подслучай в.2). В этом подслучае получим однородную линейную алгебраическую систему , относительно неизвестных a1,a2,...,a5. Она имеет решение только тогда, когда определитель системы равен нулю. Преобразуем определитель следующим образом: - Полагаем a1 = p, a2 = sp, a3 = s2p, a4 = s3p, a5 = s4p, где p ∈ C \ {0} - любое число, а s- корень уравнения s5 = 1. Тем самым получаем условие 4) леммы. Таким образом, получены все условия леммы 1)-4). Тем самым необходимость условий леммы доказана. Достаточность условий 1)-4) проверяется непосредственно путем подсчета соответствующих определителей. Лемма доказана. Наконец, в последней лемме описывается оставшийся случай множества NR2. Лемма 5.7. L0 ∈ NR2 тогда и только тогда, когда оператор L0 -вырожденный, т. е. такой оператор, у которого либо нет с.з., либо все λ ∈ C являются его с.з. Доказательство. Пусть L0 ∈ NR2 . Тогда в соответствии с определением множества NR2 и замечанием 4.1 будем иметь Δˆ 1 = Δˆ 12 = Δˆ 123 = Δˆ 1234 = 0. (5.14) Используем далее формулы (4.6). Из этих формул и соотношений (5.14) легко получаем 0 = Δˆ 1234 = a1. Далее, так как a1 = 0, то , и либо a2 = 0, либо a5 = 0. Поэтому, имеем следующие возможные случаи: 1) a1 = a2 = 0; 2) a5 = a1 = 0; 3) a5 = a1 = a2 = 0. Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно. Пусть имеет место случай 1). Тогда , откуда следует, что либо a3 = 0, либо a5 = 0. Таким образом, возможны следующие подслучаи: а) a1 = a2 = a3 = 0; б) a5 = a1 = a2 = 0; в) a5 = a1 = a2 = a3 = 0. Рассмотрим каждый из этих подслучаев отдельно. Пусть имеет место подслучай а). Тогда , откуда следует, что либо a4 = 0, либо a5 = 0. Таким образом, получаем три условия (i) a1 = a2 = a3 = a4 = 0; (ii) a5 = a1 = a2 = a3 = 0; (iii) a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = 0. Пусть теперь имеет место подслучай б). Тогда , откуда следует, что либо a3 = 0, либо a4 = 0. Таким образом, получаем еще одно условие, которого не было выше: (iv) a4 = a5 = a1 = a2 = 0. Наконец, если имеет место подслучай в), то равенство Δˆ 1 = 0 выполняется автоматически и ничего дополнительного не получаем. Пусть теперь имеет место случай 2). Тогда , откуда следует, что либо a2 = 0, либо a4 = 0. Таким образом, возможны следующие подслучаи: а) a5 = a1 = a2 = 0; б) a4 = a5 = a1 = 0; в) a4 = a5 = a1 = a2 = 0. Рассмотрим каждый из этих подслучаев отдельно. Пусть имеет место подслучай а). Тогда , откуда следует, что либо a3 = 0, либо a4 = 0. Здесь опять получаем либо случай (ii), либо (iv), либо (iii). Пусть имеет место подслучай б). Тогда , откуда следует, что либо a2 = 0, либо a3 = 0. Здесь получаем еще одно условие, которого не было ранее: (v) a3 = a4 = a5 = a1 = 0. Таким образом, установлено, что соотношение (5.14) приводит к выполнению одного из условий (i)-(v). Непосредственной проверкой убеждаемся, что при каждом условии (i)-(v) выполняются соотношения (5.14), а также равны нулю еще не найденные определители в (3.2), вычисленные с учетом замечания 4.1 и аналогично формулам (4.6), а именно, определители . В результате в формуле (3.2) для определителя в скобках останутся только следующие слагаемые: , причем последний определитель или равен нулю, или равен некоторой ненулевой константе. Отсюда следует утверждение доказываемой леммы. Лемма доказана. 6. Доказательство теоремы полноты Итак, рассмотрим оператор 5-го порядка L0, определяемый дифференциальным выражением (1) и краевыми условиями (2). В соответствии с разделом 1 (см. пункты , пункт 2◦ для оператора L0 не реализуется), разделом 3 (см. пункты (0), (00), (01), (1), (10), (11), (2)), а также в силу леммы 5.7 для полного доказательства теоремы 1 осталось рассмотреть случаи только сильно нерегулярных операторов L0 из множеств NR1, NR01 и NR11 . Если для операторов L0 из этих множеств будет доказана полнота системы их с.ф. в пространстве L2[0, 1], то тем самым теорема 1 будет полностью доказана. Для полноты картины и лучшего понимания сути используемого метода доказательства полноты системы с.ф. заодно докажем полноту системы с.ф. и для множеств NR0, NR00, NR10, несмотря на то, что эта полнота уже хорошо известна и доказана различными другими методами. 6.1. Анализ специального параметрического решения. Исследование полноты системы с.ф. в данной статье проводится для дифференциального оператора L0, порожденного простейшим дифференциальным выражением (1). Поэтому, как было отмечено в начале раздела 3, в ρ-плоскости существует единая ф.с.р. {eρωjx}5j=1 уравнения. Следовательно, с.п.р. , вычисляемое по формуле (2.3), не будет зависеть от номера k сектора Sk, которому принадлежит ρ (с точностью до знака). Будем далее рассматривать в качестве с.п.р. функцию , для которой имеет место следующее представление: . (6.1) Таким образом, при фиксированном x ∈ [0, 1] функцияявляется целой аналитической функцией от ρ конечной степени. Как было отмечено в разделе 3, по тем же самым соображениям и функция также не зависит от номера k (с точностью до знака). Эта функция была обозначена как и определена формулой (3.1). Таким образом, функция также есть целая аналитическая функция по ρ конечной степени. В соответствии со схемой доказательства полноты (см. раздел 2), необходимо найти такую в.ф. Γ(ρ) = (γ1(ρ),γ2(ρ),... ,γ5(ρ))T , что . Будем искать в.ф. Γ(ρ) в виде Γ(ρ) = (γ1,ργ2,ρ2γ3,...,ρ4γ5)T , (6.2) где. Обозначим далее Γ = (γ1,γ2,γ3,...,γ5)T . (6.3) Тогда на основании формул (6.1)-(6.3) и определения векторов Vj и Wj, введенных в разделе 3, получим представление , (6.4) где для определителя справа используется удобное в дальнейшем блочное представление. Запишем функциюподробно. Для краткости будем использовать следующие обозначения: , ..., где верхний индекс обозначает позицию, на которой находится вектор Γ, а нижние индексы обозначают позиции, на которых находятся векторы Wj. Имеет место следующее представление: . По аналогии с характеристическим многоугольником оператора L0 введем характеристический многоугольник функции, или, короче, характеристический многоугольник M(Γ) вектора Γ (или, что то же самое, характеристический многоугольник M(Γ)ˆ вектора Γˆ) следующим образом. Каждому отличному от нуля коэффициенту Xij...ks (Γ) в выражении выше для соотнесем две точки множества Ω, а именно, ωi+ωj+···+ωk и ωi+ωj+···+ωk+ωs. Множество всех таких точек обозначим как Ω(Γ). Так как тогда и только тогда, когда , то, очевидно, Ω(Γ) = Ω(Γ)ˆ . Положим по определению M(Γ)(= M(Γ)) :=ˆ convΩ(Γ). Анализируя выражение для , можно заметить, что «плохими» слагаемыми (с точки зрения выполнения условия) являются слагаемые с коэффициентами ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ (i) X21 X51 X231 X251 X341 X451 X2341 X3451 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ (ii) X32 X12 X342 X132 X452 X152 X3452 X1452 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ (iii) X43 X23 X453 X243 X153 X123 X1453 X1253 (6.5) ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ (iv) X54 X34 X154 X354 X124 X234 X1254 X1234 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ (v) X15 X45 X125 X145 X235 X345 X1235 X2345 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ Причина разбиения этих коэффициентов на пять групп (i)-(v) и смысл стрелок будут понятны из дальнейшего изложения. Введем вектор Γ = Ωˆ -1Γ = (γˆ1,γˆ2,...,γˆ5)T . Далее будем писать X21(Γ), X51(Γ), ..., чтобы подчеркнуть, какой вектор Γ используется. Аналогично будем обозначать Xˆ21(Γ)ˆ , Xˆ51(Γ)ˆ , ..., где коэффициенты строятся по тем же формулам, что и коэффициенты , но только вместо векторов Vj, Wj, Γ используются векторы Vˆj, Wˆ j, Γˆ. Кроме того, введем оператор S циклического сдвига вверх . Лемма 6.1. Для любого вектора Γˆ справедливы равенства (см. стрелки в таблице (6.5)): Xˆ32(Γ) =ˆ Xˆ21(SΓ)ˆ , Xˆ12(Γ) =ˆ Xˆ51(SΓ)ˆ , ..., Xˆ1452 (Γ) =ˆ Xˆ3451 (SΓ)ˆ ; Xˆ43(Γ) =ˆ Xˆ32(SΓ)ˆ , Xˆ23(Γ) =ˆ Xˆ12(SΓ)ˆ , ..., Xˆ1253 (Γ) =ˆ Xˆ1452 (SΓ)ˆ ; Xˆ54(Γ) =ˆ Xˆ43(SΓ)ˆ , Xˆ34(Γ) =ˆ Xˆ23(SΓ)ˆ , ..., Xˆ1234 (Γ) =ˆ Xˆ1253 (SΓ)ˆ ; Xˆ15(Γ) =ˆ Xˆ54(SΓ)ˆ , Xˆ45(Γ) =ˆ Xˆ34(SΓ)ˆ , ..., Xˆ2345 (Γ) =ˆ Xˆ1234 (SΓ)ˆ ; Xˆ21(Γ) =ˆ Xˆ15(SΓ)ˆ , Xˆ51(Γ) =ˆ Xˆ45(SΓ)ˆ , ..., Xˆ3451 (Γ) =ˆ Xˆ2345 (SΓ)ˆ . Доказательство. Докажем, например, равенство Xˆ32(Γ) =ˆ Xˆ21(SΓ)ˆ . Остальные равенства доказываются аналогично. Имеем . Преобразуем данный определитель, переставляя 1-й столбец последовательно со 2-м, 3-м, ..., 5-м столбцом. Получим . Преобразуем полученный определитель, последовательно переставляя 1-ю строку со 2-й, 3-й, ..., 5-й строкой. Получим . Лемма доказана. Справедлива следующая лемма. Лемма 6.2. При всех ρ ∈ C\(σ ∪ {0}), где σ = {ρ ∈ C| - ρ5 ∈ Λ0} (Λ0 есть множество с.з. оператора L0), функции, линейно независимы по x при x ∈ [0, 1] тогда и только тогда, когда линейно независимы векторы (или, что эквивалентно, векторы . Доказательство. Докажем необходимость. Пусть функции, линейно независимы по x при фиксированном ρ ∈ C\{0} на отрезке Предположим противное, а именно, что векторы , линейно зависимы, т. е. существует ненулевой вектор (α1,α2,...,α5) такой, что, или, что эквивалентно,. Тогда на основании (6.4) для всех =1 x ∈ [0, 1] . А так как по предположению функции , линейно независимы по x при x ∈ [0, 1], то из последнего соотношения получим, что = α5 = 0. А это противоречит предположению. Следовательно, векторы Γj(ρ), j = 1,5, линейно независимы. Необходимость доказана. Докажем теперь достаточность. Пусть векторы , линейно независимы при фиксированном ρ ∈ C\(σ ∪{0}). Предположим противное, а именно, что функции, линейно зависимы по x при x ∈ [0, 1]. Таким образом, существует ненулевой вектор (α1,α2,...,α5) такой, что . Отсюда получим для любого ... 0 Так как ρ ∈ C\(σ ∪ {0}), то . Следовательно, , или . (6.6) А с учетом того, что система векторов , по предположению линейно независима, то из (6.6) будем иметь α1 = α2 = ··· = α5 = 0. Но это противоречит сделанному предположению. Следовательно, функции , линейно независимы по x при x ∈ [0, 1]. Тем самым достаточность доказана. Лемма доказана. Далее потребуется следующая лемма. Лемма 6.3. Если существуют линейно независимые векторы , такие, что для некоторой функции f ∈ L2[0, 1] выполняются тождества , (6.7) то f(x) = 0 для п.в. x ∈ [0, 1]. Доказательство. Так как векторы , линейно независимы, то по лемме 6.2 функции , суть линейно независимые решения уравнения y(5) + ρ5y = 0 для всех ρ ∈ C\(σ ∪ {0}). Но ввиду того, что функция eρω1x есть решение этого же уравнения, из (6.7) получим . А так как слева от знака равенства стоит целая аналитическая функция по ρ, то из предыдущего равенства сразу следует . Полагая теперь в последнем равенстве ρω1 = 2kπi, k ∈ Z, и пользуясь хорошо известным фактом, что система полна в L2[0, 1], в результате получаем, что f(x) = 0 для п.в. x ∈ [0, 1]. Лемма доказана. 6.2. Доказательство полноты системы собственных функций. Как было отмечено в начале раздела 6, доказательство полноты системы с.ф. оператора L0 будем проводить для всех возможных случаев, т. е. когда оператор L0 принадлежит множествам NR0, NR00, NR10, NR1, NR01, NR11. В каждом из этих случаев идея доказательства одинаковая, но рассуждения различны. Рассмотрим последовательно все эти случая. 6.2.1. Полнота для множеств операторов NR0, NR00, NR10. Пусть оператор L0 принадлежит любому из множеств NR0, NR00 или NR10. Эти множества описаны, соответственно, в леммах 5.1- 5.3. Во всех этих случаях, как следует из определения этих множеств в конце раздела 3, характеристический многоугольник M(Γ) функции при любом векторе будет лежать внутри многоугольника (см. рис. 1), а следовательно, G(ρ;Γ(ρ)) ∈ (α). Если взять любые линейно независимые векторы , то будем иметь . В соответствии со схемой доказательства полноты (см. раздел 2), получаем . Воспользовавшись теперь леммой 6.3, отсюда получим, что f(x) = 0 для п.в. x ∈ [0, 1]. Тем самым полнота в пространстве L2[0, 1] системы с.ф. оператора L0, принадлежащего любому из множеств NR0, NR00 или NR10, полностью доказана. 6.2.2. Полнота для множества операторов NR1. Предположим, что L0 ∈ NR1 . Тогда по лемме 5.4 выполняется одно из условий 1)-2). Так как рассуждения для каждого из условий аналогичны, далее будем считать для определенности, что выполняется условие 1), т. е. , (6.8) где, как и в лемме 5.2, используются обозначения θ11(s) = a1 - sa5, θ21(s) = a2 - sa1, θ31(s) = a3 - sa2, θ41(s) = a4 - sa3, θ51(s) = a5 - sa4. (6.9) Из (6.8)-(6.9) следует, что при произвольных элементы a1, a2, a3 можно выразить через a5, а именно: a1 = sa5, a2 = sa1 = s2a5, a3 = sa2 = s2a1 = s3a5. (6.10) Докажем следующую лемму. Лемма 6.4. В случае, когда L0 ∈ NR1, справедливы следующие утверждения: = 0; = 0; = 0; = 0; 11( ) = ˆ1 - 5 = 0. И всегда Xˆ231 (Γ) = 0ˆ без каких-либо условий на вектор Γˆ. Доказательство. . Рассмотрим последовательно все «плохие» определители из первой строчки таблицы (6.5). Начнем по порядку с определителя Xˆ21(Γ)ˆ . Выполняя стандартные действия над строками и столбцами определителя и пользуясь соотношениями (6.8), последовательно получим , где равенство с точкой означает равенство с точностью до знака. Так как по условию, . Аналогично, . Так как по условию , то получим Xˆ51(Γ) = 0ˆ ⇐⇒ δ41(s) = γˆ4 - sγˆ3 = 0. Убедимся теперь, что определитель Xˆ231 (Γ)ˆ тождественно равен нулю при выполнении условия (6.8). Преобразовывая определитель аналогично предыдущему, получим . Для определителя Xˆ251 (Γ)ˆ аналогично получим По условию. Следовательно, Xˆ251 (Γ) = 0ˆ ⇐⇒ δ41(s) = γˆ4 - sγˆ3 = 0. Рассмотрим далее определитель Xˆ341 (Γ)ˆ . Аналогично предыдущему и с учетом (6.10) имеем . По условию. Следовательно, Xˆ341 (Γ) = 0ˆ ⇐⇒ δ21(s) = γˆ2 - sγˆ1 = 0. Рассмотрим теперь определитель Xˆ451 (Γ)ˆ . Имеем . По условию. Следовательно, Xˆ451 (Γ) = 0ˆ ⇐⇒ δ31(s) = γˆ3 - sγˆ2 = 0. Для определителя Xˆ2341 (Γ)ˆ аналогично получим . По условию. Следовательно, Xˆ2341 (Γ) = 0ˆ ⇐⇒ δ11(s) = γˆ1 - sγˆ5 = 0. Наконец, рассмотрим последний определитель из первой строки таблицы (6.5), т. е. определитель Xˆ3451 (Γ)ˆ . Имеем . Следовательно, так как. Из полученных утверждений вытекает справедливость доказываемой леммы. Лемма доказана. В соответствии с леммой 6.4 «плохие» коэффициенты группы (i) в таблице (6.5) будут равны нулю, если потребовать δ11(s) = δ21(s) = δ31(s) = δ41(s) = δ51(s) = 0. (6.11) Это приводит к однородной системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров γˆ1, γˆ2, ...γˆ5 ⎧ γˆ1 - sγˆ5 = 0 ⎪⎪⎪⎨ γγˆˆ23 -- ssγγˆˆ12 = 0= 0 с определителем. ⎪⎪⎪⎩ γγˆˆ45 -- ssγγˆˆ34 = 0= 0 Эта система имеет решение только тогда, когда ее определитель равен нулю, т. е. s5 = 1 или , где εj - различные корни 5-й степени из 1. В каждом из этих случаев решением этой системы с точностью до умножения на константу будут векторы Γˆ0j = (1,εj,ε2j,ε3j,ε4j)T , . Следовательно, в случае s5 = 1 имеется пять линейно независимых решений системы (6.11), нормированных условием γˆ1 = 1. Обозначим . Лемма 6.5. Для каждого справедливо свойство. Доказательство. Зафиксируем любое. По построению, в силу леммы 6.4 и условий (6.11), при Γ =ˆ Γˆ0j все коэффициенты группы (i) в таблице (6.5) обратятся в нуль. Имеет место равенство ⎛ εj ⎞ ⎛ 1 ⎞ ε2 ε SΓˆ0j = ⎜⎜⎜ εj3j4 ⎟⎟⎟⎟ = εj ⎜⎜⎜⎜ εε2j3jj ⎟⎠⎟⎟⎟ = εjΓˆ0j. ⎜ εj ⎠ ⎝ 4 ⎝ 1 εj В силу этого равенства, лемм 6.1 и 6.4 коэффициенты группы (ii) таблицы (6.5) также равны нулю. В самом деле, имеем, например, для Xˆ32(Γˆ0j): Xˆ32(Γˆ0j) = Xˆ21(SΓˆ0j) = εjXˆ21(Γˆ0j) = 0. Аналогично можно показать, что коэффициенты группы (iii) таблицы (6.5) также равны нулю. В самом деле, имеем, например, для Xˆ43(Γˆ0j): Xˆ43(Γˆ0j) = Xˆ32(SΓˆj0) = εjXˆ32(Γˆ0j) = εjXˆ21(SΓˆj0) = ε2jXˆ21(Γˆ0j) = 0. И так далее, аналогично для остальных групп коэффициентов (iv)-(v). Следовательно, все «плохие» коэффициенты функции на векторах Γ0j обратятся в нуль. Таким образом, характеристический многоугольник функции будет лежать внутри многоугольника (см. рис. 1), а следовательно,. Лемма доказана. Рассмотрим теперь случай, когда. В этом случае ищем вектор Γˆ из условия выполнения всех равенств нулю справа в утверждениях (α)-(ε) леммы 6.4, кроме одного. Также получим пять линейно независимых векторов Γˆ1j (с точностью до умножения на отличную от нуля константу): . При этом имеют место следующие утверждения: 1◦) для Γˆ11 не выполняется равенство (ε), т. е. , а все остальные коэффициенты группы (i) таблицы (6.5) равны нулю (); 2◦) для Γˆ12 не выполняется равенство (α), т. е. , а все остальные коэффициенты группы (i) таблицы (6.5) равны нулю ( δ11(s) = 0); 3◦) для Γˆ13 не выполняется равенство (β), т. е., а все остальные коэффициенты группы (i) таблицы (6.5) равны нулю (); 4◦) для Γˆ14 не выполняется равенство (γ), т. е. , а все остальные коэффициенты группы (i) таблицы (6.5) равны нулю ( δ31(s) = 0); 5◦) для Γˆ15 не выполняется равенство (δ), т. е. , а все остальные коэффициенты группы (i) таблицы (6.5) равны нулю ( Очевидно, справедливы соотношения , откуда следует линейная независимость векторов . Лемма 6.6. Для каждого справедливо свойство. Доказательство. Рассуждения проведем только для случая j = 1. Остальные случаи рассматриваются аналогично. Очевидно, SΓˆ11 = Γˆ15, SΓˆ12 = Γˆ11, SΓˆ13 = Γˆ12, SΓˆ14 = Γˆ13, SΓˆ15 = Γˆ14. Выясним, какие коэффициенты из таблицы (6.5) на векторе Γ11 не равны нулю. По построению в силу леммы 6.4 и утверждения 1◦) выше имеем. Далее, используя соотношения (6.5), леммы 6.1 и 6.4, будем иметь = 0; = 0; = 0; = 0; = 0; Следовательно, все коэффициенты из таблицы (6.5) на векторе Γ11 обращаются в нуль, кроме коэффициентов X2341 (Γ11), X235 (Γ11), X2345 (Γ11), X234 (Γ11), X23(Γ11), X243 (Γ11), X32(Γ11). В этом случае нетрудно получить, что характеристический многоугольник функции есть многоугольник M(Γ11), вершинами которого являются точки: ω2; ω1 + ω2 + ω3 + ω5; ω1; ω1 +ω2 + ω4 + ω5; ω5; ω1 + ω3 +ω4 + ω5; ω4; ω2 + ω3 + ω4 + ω5; ω2 + ω3 + ω4; ω2 + ω3 (см. на рис. 1 неправильный многоугольник, выделенный жирной линией). Сравнивая многоугольники , получим утверждение леммы, т. е. что . Аналогично рассматриваются случаи j = 2,3,4,5. Лемма доказана. Замечание 6.1. В качестве трех лучей, исходящих из начала координат, на которых функция (т. е. при j = 1) имеет не более чем степенной рост, можно взять лучи (см. рис. 1): (0,ω1 + ω2 + ω3), (0,ω1 + ω5), (0,ω3/2 + ω4 + ω5). При остальных j = 2,3,4,5 аналогично можно подобрать три луча, исходящих из начала, угол между которыми меньше π и на которых функции имеют не более чем степенной рост. Геометрически это будут картинки, аналогичные рис. 1, но повернутые на углы, кратные 2π/5. Таким образом, в случаях получили по пять линейно независимых векторов , для которых . В соответствии со схемой доказательства полноты (см. раздел 2), получаем . (6.12) Воспользовавшись теперь леммой 6.3, из (6.12) получим, что f(x) = 0 для п.в. x ∈ [0, 1] и в случае s5 = 1, и в случае . Тем самым полнота системы с.ф. оператора L0 ∈ NR1 в пространстве L2[0, 1] полностью доказана. 6.2.3. Полнота для множества операторов NR01. Предположим, что L0 ∈ NR01. Тогда по лемме 5.5 выполняется одно из условий 1)-3). Так как рассуждения для каждого из случаев аналогичны, далее рассмотрим для определенности только случай 1), т. е. . (6.13) Докажем следующую лемму. Лемма 6.7. В случае, когда L0 ∈ NR01, справедливы следующие утверждения: (α) (β) (γ) (δ) Xˆ3451 (Γ) = 0ˆ Xˆ451 (Γ) = 0ˆ Xˆ51(Γ) =ˆ Xˆ251 (Γ) = 0ˆ Xˆ21(Γ) = 0ˆ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ γˆ2 = 0; γˆ3 = 0; γˆ4 = 0; γˆ5 = 0. И всегда X231 (Γ) = 0ˆ , X341 (Γ) = 0ˆ , X2341 (Γ) = 0ˆ без каких-либо условий на вектор Γˆ. Доказательство. Рассмотрим последовательно все «плохие» определители из первой строчки таблицы (6.5). Начнем по порядку с определителя Xˆ21(Γ)ˆ . Выполняя стандартные действия над строками и столбцами определителя и пользуясь соотношениями (6.13), последовательно получим , где, как и до этого, равенство с точкой означает равенство с точностью до знака. Так как по условию . Аналогично . Так как по условию . Убедимся теперь, что при выполнении условия (6.13) определитель Xˆ231 (Γ)ˆ равен нулю. Имеем . Рассмотрим определитель Xˆ251 (Γ)ˆ : . Так как по условию . Рассмотрим определитель Xˆ341 (Γ)ˆ . Аналогично предыдущему имеем . Рассмотрим определитель Xˆ451 (Γ)ˆ . Имеем . Так как по условию . Рассмотрим определитель Xˆ2341 (Γ)ˆ . Имеем . Наконец, рассмотрим последний определитель из первой строки таблицы (6.5), т. е. определитель Xˆ3451 (Γ)ˆ . Имеем . Так как по условию Из полученных утверждений вытекает справедливость доказываемой леммы. В соответствии с леммой 6.7 «плохие» коэффициенты группы (i) в таблице (6.5) будут равны нулю, если потребовать γˆ2 = γˆ3 = γˆ4 = γˆ5 = 0, а компонента γˆ1 может быть любым комплексным числом. Но так как , то должно быть. Для удобства полагаем γˆ1 = 1. То есть получим . Другие подходящие векторы Γˆ, линейно независимые между собой и с вектором Γˆ1, можно найти из условия выполнения всех равенств нулю справа в утверждениях (α)-(δ) леммы 6.7, кроме одного. Нетрудно установить, что такими векторами будут векторы (в которых полагаем γˆ1 = 0, ввиду произвольности γˆ1 и наличия другой отличной от нуля компоненты вектора Γˆ, который должен быть отличен от нулевого вектора) . При этом справедливы утверждения: 1◦) для Γˆ2 не выполняется равенство (α), т. е., а все остальные коэффициенты группы (i) таблицы (6.5) равны нулю (здесь); 2◦) для Γˆ3 не выполняется равенство (β), т. е. , а все остальные коэффициенты группы (i) таблицы (6.5) равны нулю (здесь); 3◦) для Γˆ4 не выполняется равенство (γ), т. е. , а все остальные коэффициенты группы (i) таблицы (6.5) равны нулю (здесь); 4◦) для Γˆ5 не выполняется равенство (δ), т. е. , а все остальные коэффициенты группы (i) таблицы (6.5) равны нулю (здесь Лемма 6.8. Для каждого справедливо свойство. Доказательство. Рассуждения для определенности проведем только для случая j = 2. Остальные случаи рассматриваются аналогично, но выкладки немного длиннее. Очевидно, SΓˆ1 = Γˆ5, SΓˆ2 = Γˆ1, SΓˆ3 = Γˆ2, SΓˆ4 = Γˆ3, SΓˆ5 = Γˆ4. (6.14) Выясним, какие коэффициенты из таблицы (6.5) на векторе Γˆ2 не равны нулю. По построению в силу леммы 6.7 и утверждения 2◦) выше имеем. Далее, используя соотношения (6.13), леммы 6.7 и 6.1, будем иметь ) = . Далее, используя утверждения 3◦)-4◦) и лемму 6.1, аналогично получим = 0; = 0; . Следовательно, все коэффициенты из таблицы (6.5) на векторе Γ2 обращаются в нуль, кроме коэффициентов X3451 (Γ2), X345 (Γ2), X34(Γ2), X354 (Γ2), X43(Γ2). В этом случае нетрудно заметить, что характеристический многоугольник функции G(ρ;Γ2(ρ)) или, что то же самое, многоугольник M(Γ2) содержится в выпуклой оболочке точек: ω1; ω2; ω3; ω3+ω4; ω3+ω4+ω5; ω3+ω4+ω5+ω1; ω5 (см. на рис. 2 неправильный многоугольник, выделенный жирной линией). Сравнивая многоугольник , получим утверждение леммы, т. е. что . Аналогично рассматриваются случаи j = 1,3,4,5. Лемма доказана. Замечание 6.2. В качестве трех лучей, исходящих из начала координат, на которых функция (т. е. при j = 2) имеет не более чем степенной рост, можно взять лучи (см. рис. 2): (0,ω1 +ω2 +ω5/2), (0,ω4 +ω5), (0,ω3 +ω4 +ω2/2). При остальных j = 1,3,4,5 аналогично можно подобрать три луча, исходящих из начала, угол между которыми меньше π и на которых функции имеют не более чем степенной рост. Геометрически это будут картинки, аналогичные рис. 2, но повернутые на углы, кратные 2π/5. Таким образом, в рассматриваемом случае NR01 получили пять линейно независимых векторов , для которых. В соответствии со схемой доказательства полноты (см. раздел 2), получаем . Воспользовавшись теперь леммой 6.3, отсюда получим, что f(x) = 0 для п.в. x ∈ [0, 1]. Тем самым полнота системы с.ф. оператора L0 ∈ NR01 в пространстве L2[0, 1] полностью доказана. 6.2.4. Полнота для множества операторов NR11. Предположим, что L0 ∈ NR11 . Тогда по лемме 5.6 выполняется одно из условий 1)-4). Так как рассуждения для каждого из условий аналогичны, далее будем считать, что выполняется условие 1), т. е. , (6.15) где, как и раньше, обозначено θ11(s) = a1-sa5, θ21(s) = a2-sa1, θ31(s) = a3-sa2, θ41(s) = a4-sa3, θ51(s) = a5 - sa4. Из (6.15) следует, что при произвольных элементы a1, a2, a3, a4 можно выразить через a5, а именно: a1 = sa5, a2 = sa1 = s2a5, a3 = sa2 = s2a1 = s3a5, a4 = sa3 = s2a2 = s3a1 = s4a5. (6.16) Докажем следующую лемму. Лемма 6.9. В случае, когда L0 ∈ NR11, справедливы следующие утверждения: (α) (β) (γ) (δ) Xˆ2341 (Γ) = 0ˆ Xˆ341 (Γ) =ˆ Xˆ3451 (Γ) = 0ˆ Xˆ451 (Γ) = 0ˆ Xˆ51(Γ) = 0ˆ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ δˆ11 = 0; δˆ21 = 0; δˆ31 = 0; δˆ41 = 0. И всегда X21(Γ) = 0ˆ , X231 (Γ) = 0ˆ , X251 (Γ) = 0ˆ без каких-либо условий на вектор Γˆ. Доказательство. Рассмотрим последовательно все «плохие» определители из первой строчки таблицы (6.5). Начнем по порядку с определителя Xˆ21(Γ)ˆ . Выполняя стандартные действия над строками и столбцами определителя и пользуясь соотношениями (6.15), последовательно получим . Аналогично получим , где, как и раньше, равенство с точкой означает равенство с точностью до знака. Так как по условию . Убедимся, что при условиях (6.15) определитель Xˆ231 равен 0. Имеем . Рассмотрим далее определитель Xˆ251 . Учитывая здесь еще и соотношения (6.16), получим . Аналогично предыдущему имеем для определителя Xˆ341 : . Так как по условию . Рассмотрим теперь определитель Xˆ451 . Имеем . Так как по условию . Аналогично получим для определителя Xˆ2341 : . Так как по условию . Наконец, рассмотрим последний определитель из первой строки таблицы (6.5), т. е. определитель Xˆ3451 . Имеем . Так как по условию , следовательно Xˆ2341 = 0 ⇐⇒ δˆ11 = 0. Из полученных условий вытекает справедливость доказываемой леммы. Лемма доказана. В соответствии с доказанной леммой 6.9 «плохие» коэффициенты группы (i) в таблице (6.5) будут равны нулю, если потребовать δˆ11 = δˆ21 = δˆ31 = δˆ41 = 0. (6.17) Получим однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно γˆ1, γˆ2, ..., γˆ5: , (6.18) Эта система совместна и имеет очевидное решение ⎛ s ⎞ s2 Γ =ˆ ⎜⎜ s3 ⎟⎟γˆ5, ⎜ s4 ⎟⎠ ⎝ 1 где s и γˆ5 - произвольные числа. Полагая последовательно , где, как и раньше, εj суть различные корни 5-й степени из 1, получим следующие линейно независимые решения системы (6.18): . Обозначим . Лемма 6.10. Для каждого справедливо свойство. Доказательство. Зафиксируем любое. По построению, в силу леммы 6.9 и условий (6.17), при Γ =ˆ Γˆ0j все коэффициенты группы (i) в таблице (6.5) обратятся в нуль. Имеет место равенство ⎛ εj ⎞ ⎛ 1 ⎞ ε2 ε SΓˆ0j = ⎜⎜⎜ εj3j4 ⎟⎟⎟⎟ = εj ⎜⎜⎜⎜ εε2j3jj ⎟⎠⎟⎟⎟ = εjΓˆ0j. ⎜ εj ⎠ ⎝ 4 ⎝ 1 εj В силу этого равенства, лемм 6.1 и 6.9 коэффициенты группы (ii) таблицы (6.5) также равны нулю. В самом деле, имеем, например, для Xˆ32(Γˆ0j): Xˆ32(Γˆ0j) = Xˆ21(SΓˆ0j) = εjXˆ21(Γˆ0j) = 0. Аналогично можно показать, что коэффициенты группы (iii) таблицы (6.5) также равны нулю. В самом деле, имеем, например, для Xˆ43(Γˆ0j): Xˆ43(Γˆ0j) = Xˆ32(SΓˆj0) = εjXˆ32(Γˆ0j) = εjXˆ21(SΓˆj0) = ε2jXˆ21(Γˆ0j) = 0. И так далее, аналогично можно показать, что коэффициенты групп (iv)-(v) таблицы (6.5) также равны нулю. Следовательно, все «плохие» коэффициенты функции на векторах Γ0j обратятся в нуль. Таким образом, характеристический многоугольник функции будет лежать внутри многоугольника (см. рис. 3), а следовательно,. Ввиду произвольности, лемма полностью доказана. В соответствии со схемой доказательства полноты (см. раздел 2), получаем . (6.19) Воспользовавшись теперь леммой 6.3, из (6.19) получим, что f(x) = 0 для п.в. x ∈ [0, 1]. Тем самым полнота системы с.ф. оператора L0 ∈ NR11 в пространстве L2[0, 1] полностью доказана. Таким образом, ввиду замечания в начале раздела 6, основная теорема статьи, а именно, теорема 1, полностью доказана.

Об авторах

В. С. Рыхлов

Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Автор, ответственный за переписку.
Email: RykhlovVS@yandex.ru
Саратов, Россия

Список литературы