On Analytic Perturbations of Linear Equations in the Case of Incomplete Generalized Jordan Set

Abstract

Based on the methods of the theory of bifurcations, the problem of perturbation of linear equations by small analytic terms is considered. In contrast to the work of Trenogin [7], the case of an incomplete generalized Jordan set of a linear Fredholm operator acting from one Banach space to another Banach space is studied. A technique is proposed that uses the regularization of the Fredholm operator by a specially constructed finite-dimensional operator.

Full Text

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2. Основные определения и утверждения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3. Необходимое и достаточное условие конечности обобщенной жордановой цепочки . . . 82 4. Аналитические возмущения в линейных уравнениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Возмущение линейного уравнения, аналитически зависящее от нескольких малых па- 84 раметров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 1. ВВЕДЕНИЕ В середине прошлого века В.А. Треногин [1, 7] исследовал задачу возмущения линейных уравнений малым линейным слагаемым Bx = h + εAx, (1.1) где B,A - линейные операторы, действующие из банахова пространства E1 в банахово пространство E2, причем B - фредгольмов оператор с N(B) = span{ϕ1,...,ϕn}, N(B∗) = span{ψ1,...,ψn}, и отвечающими им A-жордановыми цепочками с длинами: (1.2) Если то обобщенный жорданов набор (ОЖН) называется полным. В частности, доказана теорема, утверждающая, что для полноты ОЖН необходимо и достаточно, чтобы существовало число ρ, такое, что для всех ε, удовлетворяющих неравенству 0 < ε < ρ, оператор B - εA был непрерывно обратимым. Далее доказано, что в случае полноты ОЖН уравнение (1.1) имеет единственное решение и определен порядок зависимости решения от параметра ε. Если ОЖН неполный, то, естественно, эта теорема не справедлива, по той же причине не обратим оператор B -εA. Для этого случая В.А. Треногиным был предложен способ пополнения ОЖН. Позже в работе [3] был © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2022 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 80 предложен иной способ пополнения ОЖН, но эти процессы требовали огромных вычислительных выкладок. В данной статье (см. разделы 2 и 3) рассматривается более общий случай - аналитические возмущения с неполным ОЖН. Применяемый здесь метод позволяет обойти сложный процесс пополнения ОЖН, и он основан на методе редукции, разработанном автором (см. [4, 5]). В последнее время появились работы [8-10], посвященные задачам возмущения существенного спектра линейных операторов, действующих в гильбертовых или банаховых пространствах. Там же определены понятия обобщенных жордановых цепочек, которые могут позволять исследовать возмущения в существенном спектре методами, изложенными в нашей статье. В данной работе используются терминология и обозначения работы [1]. 2. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УТВЕРЖДЕНИЯ Пусть E1,E2 - некоторые банаховы пространства, A(t) ∈ L{E1,E2} - оператор-функция, аналитически зависящая от спектрального параметра t ∈ G ⊂ C. Определение 2.1. Точка λ ∈ G называется регулярной точкой оператор-функции A(t), если оператор A(λ) имеет ограниченный обратный A-1(λ) ∈ L{E1,E2}. Совокупность всех регулярных точек ρ(A) называют резольвентным множеством A(t), а A-1(λ) - резольвентой. Определение 2.2. Множество σ(A) = C - ρ(A) называется спектром оператора A(t). Очевидно, что резольвентное множество ρ(A) - открытое множество, а спектр σ(A) - замкнутое множество. Определение 2.3. Точка спектра λ0 называется изолированной, если существует окрестность точки λ0, все точки которой регулярны. Если при некотором λ уравнение A(λ)x = 0 имеет нетривиальное решение x = ϕ, то λ называется собственным значением, а решение ϕ - соответствующим собственным элементом операторфункции A(t). Совокупность всех изолированных собственных значений называется дискретным спектром A(t) и обозначается σp(A). Множество всех собственных элементов, соответствующих собственному значению λ, образуют подпространство, которое называют собственным подпространством оператора A(λ) и обозначают N(A(λ)). Собственное подпространство N∗(A(λ)) оператора A∗(λ) называют дефектным подпространством. Определение 2.4. Точку λ ∈ σp(A) называют фредгольмовой, если оператор A(λ) нормально разрешим и dimN(A(λ)) = dimN∗(A(λ)) < ∞, и нетеровой, если оператор A(λ) нормально разрешим, Пусть λ - фредгольмова точка такая, что. Согласно следствию из теоремы Хана-Банаха существуют системы элементов , биортогональные соответственно к. Тогда проекторы порождают разложения в прямые суммы. Лемма (обобщенная лемма Шмидта, см. [1, гл.VII, §21, с.340, лемма 21.1]). Оператор A˜(λ) = n непрерывно обратим, обратный к нему обозначим как Γ = A˜-1(λ). Справедливы равенства A˜(λ)ϕi = zi, Γzi = ϕi, и A˜∗(λ)ψi = γi, Γ∗γi = ψi. Определение 2.5. Будем говорить, что элементы образуют обобщенную A(λ)-жорданову цепочку (ОЖЦ) длины pi, соответствующую ϕi, если выполнены тождества: , (2.1) где при этом для всех ψl ∈ N∗(A(λ)) выполняется хотя бы для одного функционала ψk ∈ N∗(A(λ)). Элементы называют A(λ)-присоединенными элементами. Так как уравнения (2.1) решаются неоднозначно, то требуется, чтобы . Этим A(λ)-присоединенные элементы ϕ(2)i ,...,ϕi(pi) определяются единственным образом по рекуррентным формулам [6, гл. 1, §2, с. 38, лемма 2.3]: , (2.2) Совокупность элементов называется обобщенным A(λ)-жордановым набором (ОЖН), а число N = p1 + p2 + ... + pn - корневым числом оператора A(λ). Определение 2.6. Говорят, что оператор-функция A(t) имеет в точке λ полный ОЖН, если . (2.3) Согласно определению, ОЖН будет неполным, если хотя бы одна цепочка имеет бесконечную длину или определитель (2.3) равен нулю. Тем не менее, как показано в монографии [1, гл. IX, §30, с. 428, теорема 30.1] (см. также [3]), полнота ОЖН связана с непрерывной обратимостью оператора B - εA. В частности, при равенстве нулю определителя полноты показана схема продолжения жордановых цепочек до полного ОЖН. Следующие утверждения позволяют обойти трудности, связанные с построением полного ОЖН. Как будет показано в следующем разделе, для обратимости возмущенного оператора полнота ОЖН необязательна, а достаточна конечность длин всех цепочек. Определение 2.7. Условие отсутствия общих нулей операторовназовем «условием снятия вырождения». Условие снятия вырождения гарантирует возможность выполнения применяемого далее процесса регуляризации в задаче о возмущении. 3. НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ КОНЕЧНОСТИ ОБОБЩЕННОЙ ЖОРДАНОВОЙ ЦЕПОЧКИ Пусть E1,E2 - банаховы пространства, A(ε) ∈ L(E1,E2) - аналитическая относительно малого параметра ε ∈ C оператор-функция, причем A(0) = B - фредгольмов оператор с N(B) = и неполным ОЖН (3.1) . Пусть - биортогональные системы к нулям и дефектным функционаламсоответственно. Для каждого введем оператор . Несложно убедиться в том, что N(Bi) = {ϕ(1)i }, N∗(Bi) = {ψi(1)}. Рассмотрим возмущенные оператор-функции - малый комплексный параметр. Лемма 3.1. Если для некоторого i ∈ {1,2,... ,n} ОЖЦ конечна, то оператор непрерывно обратим. Доказательство. Пусть ОЖЦимеет конечную длину pi. Уравнениезапишется в виде Так как и согласно обобщенной лемме Шмидта существует и ограничен оператор , то последнее равенство примет вид . (3.2) В силу аналитичности оператор-функции A(ε) в окрестности точки ε = 0 существует предел . Поэтому при оператор существует и ограничен. Тогда (3.2) сводится к системе . (3.3) Подставляя первое во второе в системе (3.3), имеем (3.4) Распишем левую и правую части равенства (3.4) по степеням ε: . Тогда, используя формулы (2.2), можем записать Согласно определению ОЖН, первые pi - 1 слагаемых первой суммы равны нулю, поэтому Пусть qi - номер первого отличного от нуля члена последовательности если, то положим qi = 0. Тогда Из равенства (3.5) следует, что найдется ρ0 такое, что для всех ε, удовлетворяющих условию 0 < , система (3.3), а вместе с ней и уравнение имеет единственное решение для любого h ∈ E2. Теорема 3.1. Для того, чтобы все цепочкибыли конечными, необходимо и достаточно, чтобы существовало число ρ0 такое, что для всех ε, удовлетворяющих неравенству , операторы существовали и были ограниченными. Доказательство. Необходимость следует из леммы, поэтому докажем достаточность. Предположим противное, т. е. пусть для всех ε из круга 0 < |ε| ρo, операторы существуют и ограничены, но для некоторого i цепочка имеет бесконечную длину, т. е. . Если присоединенные элементы выбраны из подпространства, то методом математической индукции находим . Пусть Тогда справедливы неравенства , из которых вытекает, что в круге ряд сходится абсолютно и равномерно. Этот ряд при указанных значениях ε является решением уравнения . Полученное противоречие доказывает теорему. 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЯХ Рассмотрим возмущенное линейное уравнение (4.1) где ε - малый числовой параметр (|ε| < ρ0), E1,E2 - банаховы пространства, B,Ak ∈ L(E1,E2), k = 1,2,... , а B - фредгольмов оператор такой, что . Пусть - биортогональные к ним системы, и пусть - ОЖН с конечными A- ОЖЦ. Если ОЖН полный, то, как известно (см. [1, гл. 9, теорема 31.2]), уравнение (4.1) имеет единственное решение, аналитическое в C. Если ОЖН неполный, то теорема 31.2 в той постановке не справедлива. В этом разделе исследуется такой случай. Сначала приведем два примера, показывающие возможность существования неполных ОЖН. Пример 4.1. В пространстве R3 рассмотрим следующую задачу на собственные значения где (B - λA)x = 0, где . Собственному значению λ0 = 0 соответствуют собственные элементы e2 + e3. Тогда , Такая же картина наблюдается и в случае наличия ОЖЦ конечной длины p1 + p2 + ... + pn. Пример 4.2. Пусть для задачи, рассмотренной в примере 4.1, . Тогда для этой задачи. Так как Ae1 = e3, Ae2 = e3, то для всех i,j = 1,2, что означает существование присоединенных элементов. Таковыми являются . Так как для всех i,j = 1,2. Следовательно, каждая цепочка имеет длину 2, но . Рассмотрим уравнения (4.2) где Теорема 4.1. Пусть фредгольмов оператор B ∈ L(E1,E2) с числом нулей n > 1 имеет неполный ОЖН с A-ОЖЦ конечной длины Тогда каждое уравнение из (4.2) имеет единственное решение yi(ε), которое при условии будет аналитическим в точке ε = 0 и в ее некоторой окрестности, а при условии pi > qi имеет в точке ε = 0 полюс порядка pi -qi. Доказательство. Так как , то в силу обобщенной леммы Шмидта существует и ограничен оператор . Тогда уравнение (4.2) сведется к системе . (4.3) Подставляя первое во второе в системе (4.3), имеем . (4.4) Распишем левую и правую части равенства (4.4) по степеням ε: . Тогда, используя формулы (2.3), можно записать Согласно определению ОЖН, первые pi - 1 слагаемых первой суммы равны нулю, поэтому Пусть qi - номер первого отличного от нуля члена последовательности ; если, то положим qi = 0. Тогда Здесь возможны несколько случаев: 1) если pi > qi, то ξi(ε) имеет при ε = 0 полюс порядка pi - qi; 2) если же или pi < qi < +∞, то ξi(ε) аналитичны в C. Без ограничения общности можно предположить, что. Если это не так, то можно поменять местами нули и дефектные функционалы так, чтобы были справедливы эти неравенства. Согласно предположению, ОЖНнеполный, поэтому в силу формул (2.3) . Предположим, что ранг матрицы определителя полноты равен n - 1. Пусть главным минором, определяющим ранг, является левый верхний минор, т. е. . Без ограничения общности можно предположить, что. Перепишем уравнение (4.1) в виде , где . Согласно теореме 3.1 в силу условия существует число ρ0 такое, что для всех ε из круга 0 < |ε| < ρ0 оператор непрерывно обратим. Поэтому имеем , или . (4.6) Вычислим выражение . Отсюда , или . Введя обозначение, переносим второй член из левой части в правую часть равенства. Обращая оператор, имеем: . Подставляя его в правую сторону в выражении для, получим уравнение для определения: . Применяя к нему равенства (2.3), приходим к уравнению: . (4.7) Так как, то из формул (2.3) следует, что имеет полюс порядка pn -ps в точке ε = 0. Подставляя значение xs в (4.4), имеем , (4.8) Теперь подставим первое уравнение во вторые, и после нескольких преобразований приходим к системе: (4.9) где . Если учесть, что (см. формулы (4.2) и (4.6)), то и . Так как определитель системы (4.9) , то она имеет единственное решение. Теперь определим порядок зависимости коэффициентов ξi от параметра ε. Для этого оценим сопутствующие определители . Тогда , то все ξi, и в том числе решение y, будут непрерывными в точке ε = 0 и в некоторой ее окрестности. В случае pi < qn < pi+1 решение имеет полюс порядка pi+1 - qn, а если p1 > qn, то решение имеет полюс порядка p1 - qn. Этим доказана следующая теорема. Теорема 4.2. Пусть в уравнении (4.1) оператор B фредгольмов с и соответствующим неполным ОЖН , состоящим из A-обобщенных жордановых цепочек конечной длины pi, i = 1,2,...,n, и пусть ранг матрицы определителя полноты равен n - 1. Если yn -решение уравнения (4.2), то уравнение (4.1) имеет решение вида . Если Dpk = 0 и дополнительно выполнено неравенство , то решение y(ε) будет аналитическим при ε = 0 и в некоторой окрестности, и при условии p1 > qn оно имеет в точке ε = 0 полюс порядка p1 - qn. Если pi < qn < pi+1, то решение y(ε) имеет полюс порядка pi+1 - qn. 5. ВОЗМУЩЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ, АНАЛИТИЧЕСКИ ЗАВИСЯЩЕЕ ОТ НЕСКОЛЬКИХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ 5.1. Обобщенные жордановы цепочки. Пусть T(λ): E1 → E2 - оператор-функция, аналитическая в некотором малом полидиске Δ ⊂ Cq, и λ0 - ее изолированная фредгольмова точка такая, что. Пусть- соответствующие биортогональные системы. Тогда проекционные операторы порождают разложения (см. раздел 2). Введем обозначения , α = (α1,...,αq) - мультииндекс, |α| = α1 + ... + αq, α! = α1!...αq!. Определение 5.1. ОЖЦ, отвечающей элементу ϕi ∈ N(B), называется совокупность решений уравнений . (5.1) Уравнения (5.1) имеют решения, если Решения уравнений (5.1) при |α| = p, называем ОПЭ порядка p. Совокупность всех ϕi, i = 1,2,... ,n, и всевозможных ОПЭ к ним назовем ОЖН. Условиями принадлежности подпространству ОЖЦ, тем самым и ОЖН, определяются однозначно. Согласно обобщенной лемме Шмидта ОПЭ можно записать в виде (см. (2.2)) . (5.2) Отметим, что начиная с некоторого номера p0 могут отсутствовать все или только часть ОПЭ порядков p. В последнем случае может оказаться, что ОЖЦ состоит из бесконечного числа элементов. Пример 5.1. , , , ϕ(0) = {-1; 1; 1}, ψ(0) = {-1; 1;-1}, . Выпишем ОПЭ: ϕ(0,n) = {-1; 0; 1}, n = 1,2,... Учитывая это, введем следующие определения. Определение 5.2. Назовем порядком ОЖЦ наибольший из порядков p, для которого существуют все ОПЭ, а длиной- число составляющих ее элементов. Определение 5.3. Бесконечную последовательность мультииндексов {β} назовем регулярной, если вместе с каждым β в нее входят все γ < β. Ясно, что если длина ОЖЦ бесконечна, то существует по крайней мере одна последовательность ОПЭ {ϕ(β)} такая, что нумерующая ее последовательность мультииндексов β является регулярной. Лемма 5.1. Имеет место формула , (5.3) где - всевозможные представления мультииндексов α в виде линейных комбинаций мультииндексов Доказательство. Действительно, для Предположим, что формула (5.3) справедлива для всех β < α. Тогда . Замечание 5.1. Формулы (5.2), (5.3) определяют для каждого ϕi, i = 1,2,... ,n всю последовательность элементов, в том числе с теми индексами α, для которых соответствующие ОПЭ отсутствуют. Элементы этой последовательности удовлетворяют уравнениям , (5.4) где . Будем считать, что ряд, мажорирующий, сходится в полидиске Δ1 = {ε: |εi| < к функции a(ε). Теорема 5.1. Если уравнение (5.5) в некоторой окрестности ε = 0 имеет решение вида , то каждому ϕ ∈ N(B) отвечает ОЖЦ бесконечной длины. Доказательство. Подставляя y(ε) в (5.5), имеем (5.6) Так как yα ∈ D(B), то согласно свойству дефектного функционала ψ выполнено, т. е. , для любого α. Следовательно, все уравнения (5.6) разрешимы. Таким образом, элементу ϕ ∈ N(B) отвечает ОЖЦ {yα} бесконечной длины. Теорема доказана. 5.2. Возмущение линейного уравнения малыми линейными слагаемыми. Рассмотрим уравнение (5.7) где h ∈ E2 - некоторый известный элемент. Если n = 0, то решение уравнения (5.7) в единственно и аналитически зависит от ε (см. [1, с. 432]). В случае n 1 заменим уравнение (5.7) эквивалентной системой , (5.8) Пусть. Тогда система (4.7) заменится следующей: , (5.9) Подставляя значение во второе уравнение и замечая, что , приходим к системе линейных уравнений, определяющей ξi, i = 1,2,... ,n: (5.10) Так как , то учитывая (5.3) и замечание 5.1, имеем (5.11) где (5.12) Для тех индексов α, для которых существует ОПЭ , соответствующий коэффициент равен нулю. Отметим также, что для элементов цепочки {h(Таким образом, решение уравнения (5.11) в окрестностиα)}, принадлежащих E2,∞-n, коэффициенты ε = 0 сводится к определению чиселнулевые. ξi, i = 1,2,... ,n, удовлетворяющих системе линейных уравнений (5.11), т. е. сводится к исследованию особенностей мероморфных функций нескольких переменных. Замечание 5.2. Рассматривая в пространстве Cq отдельные направления a = (a1,...,aq), т. е. полагая εi = λai, придем к результатам, сформулированным в [1]. 5.3. Приложения. Рассмотрим уравнение Bx = h + ε1T10x + ε2T01x, где: a) B, T10 и T01 - операторы примера 5.1. Так как n = 1, то система (5.11) состоит из одного уравнения и ξ = a(h,ε)#b(ε), где ); ⎛ 1 0 0⎞ ⎛1 0 0⎞ ⎛0 0 1⎞ б) B = ⎝-01 01 01⎠, T10 = ⎝00 01 11⎠, T01 = ⎝01 01 00⎠. 1 0 0 ϕ(0) = {0; 1;-1}, ψ(0) = {1; 1; 0}, Γ = ⎛⎝01 10 01⎞⎠, dimN(B) = 1. В этом случае в) Теперь рассмотрим краевые задачи Дирихле (Неймана) для уравнения Лапласа , (5.13) где S - эллипсоид, ξ = arcsinθ cosϕ, η = a(1 - ε1)sinθsinϕ, (5.14) ζ = a(1ϕ, g(S) - аналитическая функция параметров . Разыскивая решение (5.13) в виде соответствующего потенциала, приходим к интегральным уравнениям в пространстве функций, интегрируемых с квадратом по поверхности сферы единичного радиуса, ядра которых зависят от двух параметров ε1 и ε2. Все необходимые подсчеты проведены в [2], где рассмотрена внутренняя задача Дирихле в предположении, что граничная функция g(S) не зависит от ε. В [2] эта задача рассмотрена как пример задачи возмущения линейного уравнения малыми линейными слагаемыми для случая n = 0. Здесь мы отметим только, что для внутренней задачи Дирихле и внешней Неймана соответствующий интегральный оператор B не имеет нулей, а для внешней задачи Дирихле и внутренней Неймана подпространство N(B) одномерно, ϕ(0)(θ,ϕ) = 1.