Об аналитических возмущениях линейных уравнений в случае неполного обобщенного жорданового набора

Аннотация

На основе методов теории бифуркаций рассмотрена задача возмущения линейных уравнений малыми аналитическими слагаемыми. В отличие от работы В.А. Треногина [7], исследован случай неполного обобщенного жорданового набора линейного фредгольмового оператора, действующего из одного банахова пространства в другое банахово пространство. Предложен прием, использующий регуляризацию фредгольмова оператора специальным образом построенным конечномерным оператором.

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2. Основные определения и утверждения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3. Необходимое и достаточное условие конечности обобщенной жордановой цепочки . . . 82 4. Аналитические возмущения в линейных уравнениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Возмущение линейного уравнения, аналитически зависящее от нескольких малых па- 84 раметров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 1. ВВЕДЕНИЕ В середине прошлого века В.А. Треногин [1, 7] исследовал задачу возмущения линейных уравнений малым линейным слагаемым Bx = h + εAx, (1.1) где B,A - линейные операторы, действующие из банахова пространства E1 в банахово пространство E2, причем B - фредгольмов оператор с N(B) = span{ϕ1,...,ϕn}, N(B∗) = span{ψ1,...,ψn}, и отвечающими им A-жордановыми цепочками с длинами: (1.2) Если то обобщенный жорданов набор (ОЖН) называется полным. В частности, доказана теорема, утверждающая, что для полноты ОЖН необходимо и достаточно, чтобы существовало число ρ, такое, что для всех ε, удовлетворяющих неравенству 0 < ε < ρ, оператор B - εA был непрерывно обратимым. Далее доказано, что в случае полноты ОЖН уравнение (1.1) имеет единственное решение и определен порядок зависимости решения от параметра ε. Если ОЖН неполный, то, естественно, эта теорема не справедлива, по той же причине не обратим оператор B -εA. Для этого случая В.А. Треногиным был предложен способ пополнения ОЖН. Позже в работе [3] был © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2022 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 80 предложен иной способ пополнения ОЖН, но эти процессы требовали огромных вычислительных выкладок. В данной статье (см. разделы 2 и 3) рассматривается более общий случай - аналитические возмущения с неполным ОЖН. Применяемый здесь метод позволяет обойти сложный процесс пополнения ОЖН, и он основан на методе редукции, разработанном автором (см. [4, 5]). В последнее время появились работы [8-10], посвященные задачам возмущения существенного спектра линейных операторов, действующих в гильбертовых или банаховых пространствах. Там же определены понятия обобщенных жордановых цепочек, которые могут позволять исследовать возмущения в существенном спектре методами, изложенными в нашей статье. В данной работе используются терминология и обозначения работы [1]. 2. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УТВЕРЖДЕНИЯ Пусть E1,E2 - некоторые банаховы пространства, A(t) ∈ L{E1,E2} - оператор-функция, аналитически зависящая от спектрального параметра t ∈ G ⊂ C. Определение 2.1. Точка λ ∈ G называется регулярной точкой оператор-функции A(t), если оператор A(λ) имеет ограниченный обратный A-1(λ) ∈ L{E1,E2}. Совокупность всех регулярных точек ρ(A) называют резольвентным множеством A(t), а A-1(λ) - резольвентой. Определение 2.2. Множество σ(A) = C - ρ(A) называется спектром оператора A(t). Очевидно, что резольвентное множество ρ(A) - открытое множество, а спектр σ(A) - замкнутое множество. Определение 2.3. Точка спектра λ0 называется изолированной, если существует окрестность точки λ0, все точки которой регулярны. Если при некотором λ уравнение A(λ)x = 0 имеет нетривиальное решение x = ϕ, то λ называется собственным значением, а решение ϕ - соответствующим собственным элементом операторфункции A(t). Совокупность всех изолированных собственных значений называется дискретным спектром A(t) и обозначается σp(A). Множество всех собственных элементов, соответствующих собственному значению λ, образуют подпространство, которое называют собственным подпространством оператора A(λ) и обозначают N(A(λ)). Собственное подпространство N∗(A(λ)) оператора A∗(λ) называют дефектным подпространством. Определение 2.4. Точку λ ∈ σp(A) называют фредгольмовой, если оператор A(λ) нормально разрешим и dimN(A(λ)) = dimN∗(A(λ)) < ∞, и нетеровой, если оператор A(λ) нормально разрешим, Пусть λ - фредгольмова точка такая, что. Согласно следствию из теоремы Хана-Банаха существуют системы элементов , биортогональные соответственно к. Тогда проекторы порождают разложения в прямые суммы. Лемма (обобщенная лемма Шмидта, см. [1, гл.VII, §21, с.340, лемма 21.1]). Оператор A˜(λ) = n непрерывно обратим, обратный к нему обозначим как Γ = A˜-1(λ). Справедливы равенства A˜(λ)ϕi = zi, Γzi = ϕi, и A˜∗(λ)ψi = γi, Γ∗γi = ψi. Определение 2.5. Будем говорить, что элементы образуют обобщенную A(λ)-жорданову цепочку (ОЖЦ) длины pi, соответствующую ϕi, если выполнены тождества: , (2.1) где при этом для всех ψl ∈ N∗(A(λ)) выполняется хотя бы для одного функционала ψk ∈ N∗(A(λ)). Элементы называют A(λ)-присоединенными элементами. Так как уравнения (2.1) решаются неоднозначно, то требуется, чтобы . Этим A(λ)-присоединенные элементы ϕ(2)i ,...,ϕi(pi) определяются единственным образом по рекуррентным формулам [6, гл. 1, §2, с. 38, лемма 2.3]: , (2.2) Совокупность элементов называется обобщенным A(λ)-жордановым набором (ОЖН), а число N = p1 + p2 + ... + pn - корневым числом оператора A(λ). Определение 2.6. Говорят, что оператор-функция A(t) имеет в точке λ полный ОЖН, если . (2.3) Согласно определению, ОЖН будет неполным, если хотя бы одна цепочка имеет бесконечную длину или определитель (2.3) равен нулю. Тем не менее, как показано в монографии [1, гл. IX, §30, с. 428, теорема 30.1] (см. также [3]), полнота ОЖН связана с непрерывной обратимостью оператора B - εA. В частности, при равенстве нулю определителя полноты показана схема продолжения жордановых цепочек до полного ОЖН. Следующие утверждения позволяют обойти трудности, связанные с построением полного ОЖН. Как будет показано в следующем разделе, для обратимости возмущенного оператора полнота ОЖН необязательна, а достаточна конечность длин всех цепочек. Определение 2.7. Условие отсутствия общих нулей операторовназовем «условием снятия вырождения». Условие снятия вырождения гарантирует возможность выполнения применяемого далее процесса регуляризации в задаче о возмущении. 3. НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ КОНЕЧНОСТИ ОБОБЩЕННОЙ ЖОРДАНОВОЙ ЦЕПОЧКИ Пусть E1,E2 - банаховы пространства, A(ε) ∈ L(E1,E2) - аналитическая относительно малого параметра ε ∈ C оператор-функция, причем A(0) = B - фредгольмов оператор с N(B) = и неполным ОЖН (3.1) . Пусть - биортогональные системы к нулям и дефектным функционаламсоответственно. Для каждого введем оператор . Несложно убедиться в том, что N(Bi) = {ϕ(1)i }, N∗(Bi) = {ψi(1)}. Рассмотрим возмущенные оператор-функции - малый комплексный параметр. Лемма 3.1. Если для некоторого i ∈ {1,2,... ,n} ОЖЦ конечна, то оператор непрерывно обратим. Доказательство. Пусть ОЖЦимеет конечную длину pi. Уравнениезапишется в виде Так как и согласно обобщенной лемме Шмидта существует и ограничен оператор , то последнее равенство примет вид . (3.2) В силу аналитичности оператор-функции A(ε) в окрестности точки ε = 0 существует предел . Поэтому при оператор существует и ограничен. Тогда (3.2) сводится к системе . (3.3) Подставляя первое во второе в системе (3.3), имеем (3.4) Распишем левую и правую части равенства (3.4) по степеням ε: . Тогда, используя формулы (2.2), можем записать Согласно определению ОЖН, первые pi - 1 слагаемых первой суммы равны нулю, поэтому Пусть qi - номер первого отличного от нуля члена последовательности если, то положим qi = 0. Тогда Из равенства (3.5) следует, что найдется ρ0 такое, что для всех ε, удовлетворяющих условию 0 < , система (3.3), а вместе с ней и уравнение имеет единственное решение для любого h ∈ E2. Теорема 3.1. Для того, чтобы все цепочкибыли конечными, необходимо и достаточно, чтобы существовало число ρ0 такое, что для всех ε, удовлетворяющих неравенству , операторы существовали и были ограниченными. Доказательство. Необходимость следует из леммы, поэтому докажем достаточность. Предположим противное, т. е. пусть для всех ε из круга 0 < |ε| ρo, операторы существуют и ограничены, но для некоторого i цепочка имеет бесконечную длину, т. е. . Если присоединенные элементы выбраны из подпространства, то методом математической индукции находим . Пусть Тогда справедливы неравенства , из которых вытекает, что в круге ряд сходится абсолютно и равномерно. Этот ряд при указанных значениях ε является решением уравнения . Полученное противоречие доказывает теорему. 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЯХ Рассмотрим возмущенное линейное уравнение (4.1) где ε - малый числовой параметр (|ε| < ρ0), E1,E2 - банаховы пространства, B,Ak ∈ L(E1,E2), k = 1,2,... , а B - фредгольмов оператор такой, что . Пусть - биортогональные к ним системы, и пусть - ОЖН с конечными A- ОЖЦ. Если ОЖН полный, то, как известно (см. [1, гл. 9, теорема 31.2]), уравнение (4.1) имеет единственное решение, аналитическое в C. Если ОЖН неполный, то теорема 31.2 в той постановке не справедлива. В этом разделе исследуется такой случай. Сначала приведем два примера, показывающие возможность существования неполных ОЖН. Пример 4.1. В пространстве R3 рассмотрим следующую задачу на собственные значения где (B - λA)x = 0, где . Собственному значению λ0 = 0 соответствуют собственные элементы e2 + e3. Тогда , Такая же картина наблюдается и в случае наличия ОЖЦ конечной длины p1 + p2 + ... + pn. Пример 4.2. Пусть для задачи, рассмотренной в примере 4.1, . Тогда для этой задачи. Так как Ae1 = e3, Ae2 = e3, то для всех i,j = 1,2, что означает существование присоединенных элементов. Таковыми являются . Так как для всех i,j = 1,2. Следовательно, каждая цепочка имеет длину 2, но . Рассмотрим уравнения (4.2) где Теорема 4.1. Пусть фредгольмов оператор B ∈ L(E1,E2) с числом нулей n > 1 имеет неполный ОЖН с A-ОЖЦ конечной длины Тогда каждое уравнение из (4.2) имеет единственное решение yi(ε), которое при условии будет аналитическим в точке ε = 0 и в ее некоторой окрестности, а при условии pi > qi имеет в точке ε = 0 полюс порядка pi -qi. Доказательство. Так как , то в силу обобщенной леммы Шмидта существует и ограничен оператор . Тогда уравнение (4.2) сведется к системе . (4.3) Подставляя первое во второе в системе (4.3), имеем . (4.4) Распишем левую и правую части равенства (4.4) по степеням ε: . Тогда, используя формулы (2.3), можно записать Согласно определению ОЖН, первые pi - 1 слагаемых первой суммы равны нулю, поэтому Пусть qi - номер первого отличного от нуля члена последовательности ; если, то положим qi = 0. Тогда Здесь возможны несколько случаев: 1) если pi > qi, то ξi(ε) имеет при ε = 0 полюс порядка pi - qi; 2) если же или pi < qi < +∞, то ξi(ε) аналитичны в C. Без ограничения общности можно предположить, что. Если это не так, то можно поменять местами нули и дефектные функционалы так, чтобы были справедливы эти неравенства. Согласно предположению, ОЖНнеполный, поэтому в силу формул (2.3) . Предположим, что ранг матрицы определителя полноты равен n - 1. Пусть главным минором, определяющим ранг, является левый верхний минор, т. е. . Без ограничения общности можно предположить, что. Перепишем уравнение (4.1) в виде , где . Согласно теореме 3.1 в силу условия существует число ρ0 такое, что для всех ε из круга 0 < |ε| < ρ0 оператор непрерывно обратим. Поэтому имеем , или . (4.6) Вычислим выражение . Отсюда , или . Введя обозначение, переносим второй член из левой части в правую часть равенства. Обращая оператор, имеем: . Подставляя его в правую сторону в выражении для, получим уравнение для определения: . Применяя к нему равенства (2.3), приходим к уравнению: . (4.7) Так как, то из формул (2.3) следует, что имеет полюс порядка pn -ps в точке ε = 0. Подставляя значение xs в (4.4), имеем , (4.8) Теперь подставим первое уравнение во вторые, и после нескольких преобразований приходим к системе: (4.9) где . Если учесть, что (см. формулы (4.2) и (4.6)), то и . Так как определитель системы (4.9) , то она имеет единственное решение. Теперь определим порядок зависимости коэффициентов ξi от параметра ε. Для этого оценим сопутствующие определители . Тогда , то все ξi, и в том числе решение y, будут непрерывными в точке ε = 0 и в некоторой ее окрестности. В случае pi < qn < pi+1 решение имеет полюс порядка pi+1 - qn, а если p1 > qn, то решение имеет полюс порядка p1 - qn. Этим доказана следующая теорема. Теорема 4.2. Пусть в уравнении (4.1) оператор B фредгольмов с и соответствующим неполным ОЖН , состоящим из A-обобщенных жордановых цепочек конечной длины pi, i = 1,2,...,n, и пусть ранг матрицы определителя полноты равен n - 1. Если yn -решение уравнения (4.2), то уравнение (4.1) имеет решение вида . Если Dpk = 0 и дополнительно выполнено неравенство , то решение y(ε) будет аналитическим при ε = 0 и в некоторой окрестности, и при условии p1 > qn оно имеет в точке ε = 0 полюс порядка p1 - qn. Если pi < qn < pi+1, то решение y(ε) имеет полюс порядка pi+1 - qn. 5. ВОЗМУЩЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ, АНАЛИТИЧЕСКИ ЗАВИСЯЩЕЕ ОТ НЕСКОЛЬКИХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ 5.1. Обобщенные жордановы цепочки. Пусть T(λ): E1 → E2 - оператор-функция, аналитическая в некотором малом полидиске Δ ⊂ Cq, и λ0 - ее изолированная фредгольмова точка такая, что. Пусть- соответствующие биортогональные системы. Тогда проекционные операторы порождают разложения (см. раздел 2). Введем обозначения , α = (α1,...,αq) - мультииндекс, |α| = α1 + ... + αq, α! = α1!...αq!. Определение 5.1. ОЖЦ, отвечающей элементу ϕi ∈ N(B), называется совокупность решений уравнений . (5.1) Уравнения (5.1) имеют решения, если Решения уравнений (5.1) при |α| = p, называем ОПЭ порядка p. Совокупность всех ϕi, i = 1,2,... ,n, и всевозможных ОПЭ к ним назовем ОЖН. Условиями принадлежности подпространству ОЖЦ, тем самым и ОЖН, определяются однозначно. Согласно обобщенной лемме Шмидта ОПЭ можно записать в виде (см. (2.2)) . (5.2) Отметим, что начиная с некоторого номера p0 могут отсутствовать все или только часть ОПЭ порядков p. В последнем случае может оказаться, что ОЖЦ состоит из бесконечного числа элементов. Пример 5.1. , , , ϕ(0) = {-1; 1; 1}, ψ(0) = {-1; 1;-1}, . Выпишем ОПЭ: ϕ(0,n) = {-1; 0; 1}, n = 1,2,... Учитывая это, введем следующие определения. Определение 5.2. Назовем порядком ОЖЦ наибольший из порядков p, для которого существуют все ОПЭ, а длиной- число составляющих ее элементов. Определение 5.3. Бесконечную последовательность мультииндексов {β} назовем регулярной, если вместе с каждым β в нее входят все γ < β. Ясно, что если длина ОЖЦ бесконечна, то существует по крайней мере одна последовательность ОПЭ {ϕ(β)} такая, что нумерующая ее последовательность мультииндексов β является регулярной. Лемма 5.1. Имеет место формула , (5.3) где - всевозможные представления мультииндексов α в виде линейных комбинаций мультииндексов Доказательство. Действительно, для Предположим, что формула (5.3) справедлива для всех β < α. Тогда . Замечание 5.1. Формулы (5.2), (5.3) определяют для каждого ϕi, i = 1,2,... ,n всю последовательность элементов, в том числе с теми индексами α, для которых соответствующие ОПЭ отсутствуют. Элементы этой последовательности удовлетворяют уравнениям , (5.4) где . Будем считать, что ряд, мажорирующий, сходится в полидиске Δ1 = {ε: |εi| < к функции a(ε). Теорема 5.1. Если уравнение (5.5) в некоторой окрестности ε = 0 имеет решение вида , то каждому ϕ ∈ N(B) отвечает ОЖЦ бесконечной длины. Доказательство. Подставляя y(ε) в (5.5), имеем (5.6) Так как yα ∈ D(B), то согласно свойству дефектного функционала ψ выполнено, т. е. , для любого α. Следовательно, все уравнения (5.6) разрешимы. Таким образом, элементу ϕ ∈ N(B) отвечает ОЖЦ {yα} бесконечной длины. Теорема доказана. 5.2. Возмущение линейного уравнения малыми линейными слагаемыми. Рассмотрим уравнение (5.7) где h ∈ E2 - некоторый известный элемент. Если n = 0, то решение уравнения (5.7) в единственно и аналитически зависит от ε (см. [1, с. 432]). В случае n 1 заменим уравнение (5.7) эквивалентной системой , (5.8) Пусть. Тогда система (4.7) заменится следующей: , (5.9) Подставляя значение во второе уравнение и замечая, что , приходим к системе линейных уравнений, определяющей ξi, i = 1,2,... ,n: (5.10) Так как , то учитывая (5.3) и замечание 5.1, имеем (5.11) где (5.12) Для тех индексов α, для которых существует ОПЭ , соответствующий коэффициент равен нулю. Отметим также, что для элементов цепочки {h(Таким образом, решение уравнения (5.11) в окрестностиα)}, принадлежащих E2,∞-n, коэффициенты ε = 0 сводится к определению чиселнулевые. ξi, i = 1,2,... ,n, удовлетворяющих системе линейных уравнений (5.11), т. е. сводится к исследованию особенностей мероморфных функций нескольких переменных. Замечание 5.2. Рассматривая в пространстве Cq отдельные направления a = (a1,...,aq), т. е. полагая εi = λai, придем к результатам, сформулированным в [1]. 5.3. Приложения. Рассмотрим уравнение Bx = h + ε1T10x + ε2T01x, где: a) B, T10 и T01 - операторы примера 5.1. Так как n = 1, то система (5.11) состоит из одного уравнения и ξ = a(h,ε)#b(ε), где ); ⎛ 1 0 0⎞ ⎛1 0 0⎞ ⎛0 0 1⎞ б) B = ⎝-01 01 01⎠, T10 = ⎝00 01 11⎠, T01 = ⎝01 01 00⎠. 1 0 0 ϕ(0) = {0; 1;-1}, ψ(0) = {1; 1; 0}, Γ = ⎛⎝01 10 01⎞⎠, dimN(B) = 1. В этом случае в) Теперь рассмотрим краевые задачи Дирихле (Неймана) для уравнения Лапласа , (5.13) где S - эллипсоид, ξ = arcsinθ cosϕ, η = a(1 - ε1)sinθsinϕ, (5.14) ζ = a(1ϕ, g(S) - аналитическая функция параметров . Разыскивая решение (5.13) в виде соответствующего потенциала, приходим к интегральным уравнениям в пространстве функций, интегрируемых с квадратом по поверхности сферы единичного радиуса, ядра которых зависят от двух параметров ε1 и ε2. Все необходимые подсчеты проведены в [2], где рассмотрена внутренняя задача Дирихле в предположении, что граничная функция g(S) не зависит от ε. В [2] эта задача рассмотрена как пример задачи возмущения линейного уравнения малыми линейными слагаемыми для случая n = 0. Здесь мы отметим только, что для внутренней задачи Дирихле и внешней Неймана соответствующий интегральный оператор B не имеет нулей, а для внешней задачи Дирихле и внутренней Неймана подпространство N(B) одномерно, ϕ(0)(θ,ϕ) = 1.