Smoothness of Solutions to the Damping Problem for Nonstationary Control System with Delay

Abstract

We consider the damping problem for a nonstationary control system described by a system of differential-difference equations of neutral type with smooth matrix coefficients and several delays. This problem is equivalent to the boundary-value problem for a system of second-order differential-difference equations, which has a unique generalized solution. It is proved that the smoothness of this solution can be violated on the considered interval and is preserved only on some subintervals. Sufficient conditions for the initial function are obtained to ensure the smoothness of the generalized solution over the entire interval.

Full Text

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 14 Постановка задачи 15 Вариационная и краевая задачи 15 Свойства разностных операторов 18 Гладкость обобщенных решений на подынтервалах 20 Список литературы 22 ВВЕДЕНИЕ Впервые задача об успокоении системы управления с последействием рассматривалась Н. Н. Красовским [5]. Поведение системы управления описывалось системой линейных дифферен- циально-разностных уравнений запаздывающего типа с постоянными коэффициентами и постоян- ным запаздыванием. В работах [9, 15] задача Н. Н. Красовского об успокоении системы управления с последействием была обобщена на случай, когда уравнение, описывающее управляемую систе- му, содержит также старшие члены с запаздыванием, т. е. имеет нейтральный тип. Многомерная система управления с постоянными матричными коэффициентами исследовалась в [7, 12], а много- мерная нестационарная система управления нейтрального типа рассматривалась в [1, 2]. Системы управления с последействием запаздывающего типа изучались в [6, 8]. Отметим также работы, посвященные исследованию систем нейтрального типа с малыми коэффициентами при членах с запаздыванием [13, 14]. Настоящая работа посвящена исследованию гладкости обобщенных решений краевых задач для систем дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа, к которым сводится задача об успокоении многомерных нестационарных систем управления нейтрального типа, рассмотренная в [1, 2]. Гладкость обобщенных решений этих краевых задач может нарушаться внутри интервала при сколь угодно гладкой начальной функции. Однако, как показано в данной статье, гладкость решений сохраняется на некоторых подынтервалах. Публикация подготовлена при поддержке гранта РФФИ № 20-31-90119. © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2022 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 14 ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ОБ УСПОКОЕНИИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ 15 Статья построена следующим образом. В первом разделе содержится введение, а второй раздел посвящен постановке задачи об успокоении многомерной системы управления с последействием. В третьем разделе излагается связь между вариационной задачей, описывающей модель успокоения системы управления с последействием нейтрального типа, и краевой задачей для системы диф- ференциально-разностных уравнений второго порядка. В том же разделе сформулирована теорема об однозначной разрешимости рассматриваемой краевой задачи. Доказательство результатов, из- ложенных в третьем разделе, можно найти в работе [1]. В четвертом разделе содержатся свойства разностных операторов на конечном интервале. В пятом разделе изучается гладкость обобщенных решений на подынтервале. Отметим, что вопросы гладкости обобщенных решений второй краевой задачи для дифференциально-разностных уравнений рассматривались в работах [10, 11]. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим линейную систему управления, описываемую системой дифференциально-разност- ных уравнений M M '\" Am(t)y!(t - mτ )+ '\" Bm(t)y(t - mτ )= u(t), 0 < t < T. (2.1) m=0 m=0 ij Здесь y(t) = (y1(t),... , yn(t))T - неизвестная вектор-функция, описывающая состояние систе- мы, u(t) = (u1(t),... , un(t))T - вектор-функция управления, Am(t) = {am(t)}i,j=1,...,n, Bm(t) = {bm(t)}i,j=1,...,n - матрицы порядка n × n с элементами am(t), bm(t), которые являются веществен- ij ij ij ными непрерывно дифференцируемыми функциями на Предыстория системы задается начальным условием R, τ = const > 0 - запаздывание. y(t)= ϕ(t), t ∈ [-Mτ, 0]. (2.2) Здесь ϕ(t)= (ϕ1(t),... , ϕn(t))T - некоторая вектор-функция. Рассмотрим задачу о приведении системы (2.1) с начальным условием (2.2) в положение равно- весия при t ?: T. Для этого мы найдем такое управление u(t), 0 < t < T, что: y(t)= 0, t ∈ [T - Mτ, T ], (2.3) где T > (M + 1)τ. Будем искать управление, доставляющее минимум функционалу энергии T r |u(t)|2dt → min, 0 . n где | | - евклидова норма в R минимуме функционала . Таким образом, в силу (2.1) мы получаем вариационную задачу о r T M M 2 J (y) := '\" Am(t)y!(t - mτ )+ '\" Bm(t)y(t - mτ ) dt → min. (2.4) 0 m=0 m=0 ВАРИАЦИОННАЯ И КРАЕВАЯ ЗАДАЧИ В этом разделе мы приведем без доказательства ряд результатов из [1, 2], необходимых нам в дальнейшем для изучения гладкости обобщенных решений. Для того, чтобы установить взаимосвязь между вариационной задачей (2.4), (2.2), (2.3) и соот- ветствующей краевой задачей для системы дифференциально-разностных уравнений, введем неко- торые вспомогательные обозначения для различных вещественных функциональных пространств. Обозначим через C(R) пространство непрерывных и ограниченных на R функций с нормой: ||x(t)||C(R) = sup |x(t)|. t∈R 16 А. Ш. АДХАМОВА Пусть Ck(R),k ∈ N, - пространство непрерывных и k раз непрерывно дифференцируемых функ- ций на R, ограниченных на R вместе со всеми производными вплоть до k-го порядка, с нормой || || x(t) Ck (R) = max 0 i k sup |x(i)(t)|. t∈R 2 Обозначим через W k(a, b) пространство абсолютно непрерывных на [a, b] функций, имеющих производную k-го порядка из L2(a, b) со скалярным произведением 2 (a,b) (v, w)W k k b = '\" r v(i)(t)w(i)(t)dt. i=0 a Пусть W˚ k(a, b)= {w ∈ W k (a, b): w(i)(a)= w(i)(b)= 0,i = 0,... ,k - 1}. 2 2 Введем пространства вектор-функций n n n Ln тт k,n тт k k,n тт ˚ k 2 (a, b)= i=1 L2(a, b), W2 (a, b)= i=1 W2 (a, b), W˚2 (a, b)= i=1 W2 (a, b), со скалярными произведениями (v, w)Ln n = '\"(v ,w ) , 2 (a,b) i i=1 n '\" i L2 (a,b) W k,n (v, w) = 2 (a,b) где v = (v1,... , vn)T , w = (w1,... , wn)T . i=1 2 (a,b) (vi, wi)W k , Покажем, что вариационная задача (2.2)-(2.4) эквивалента краевой задаче для системы диффе- ренциально-разностных уравнений второго порядка. Пусть y ∈ W 1,n(-Mτ, T ) - решение вариационной задачи (2.2)-(2.4), где ϕ ∈ W 1,n(-Mτ, 0). 2 2 Введем пространства 2 L = {v ∈ Ln(-Mτ, T ): v(t)= 0, t ∈ (-Mτ, 0) ∪ (T - Mτ, T )}, 2 W = {v ∈ W 1,n(-Mτ, T ): v(t)= 0, t ∈ (-Mτ, 0) ∪ (T - Mτ, T )}. Мы будем часто отождествлять пространство L c Ln(0,T -Mτ ), а пространство W с W˚ 1,n(0,T - 2 2 Mτ ), не оговаривая этого специально. 2 Пусть v ∈ W - произвольная фиксированная функция. Тогда функция y + sv ∈ W 1,n(-Mτ, T ) и удовлетворяет краевым условиям (2.2), (2.3) для всех s ∈ R. Обозначим J (y + sv)= F (s). Поскольку J (y + sv) ?: J (y), s ∈ R, мы имеем dF ds s=0 = 0, (3.1) r T M M \T B(y, v) := '\" Am(t)y!(t - mτ )+ '\" Bm(t)y(t - mτ ) × 0 m=0 m=0 M '\" × l=0 M Al(t)v!(t - lτ )+ '\" l=0 \ Bl(t)v(t - lτ ) dt. (3.2) Из равенства (3.1) следует, что Обозначим T r B(y, v)= 0, v ∈ W . (3.3) Bm,l(y, v)= 0 (Am(t)y!(t - mτ )+ Bm(t)y(t - mτ ))T (Al(t)v!(t - lτ )+ Bl(t)v(t - lτ )) dt. (3.4) ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ОБ УСПОКОЕНИИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ 17 Проведем преобразование слагаемых, полученных при раскрытии скобок в правой части (3.4). В слагаемых, содержащих v(t - lτ ) или v!(t - lτ ), сделаем замену переменной ξ = t - lτ. Получим T -lτ r Bm,l(y, v)= -lτ (Am(ξ + lτ )y!(ξ + (l - m)τ )+ Bm(ξ + lτ ) × × y(ξ + (l - m)τ ))T (Al (ξ + lτ )v!(ξ)+ Bl(ξ + lτ )v(ξ))dξ. Возвращаясь к старой переменной t, полагая t = ξ, и учитывая, что v(t)=0 при t ∈ (-Mτ, 0) ∪ (T - Mτ, T ), имеем T -Mτ r Bm,l(y, v)= 0 (Am(t + lτ )y!(t + (l - m)τ )+ Bm(t + lτ ) × × y(t + (l - m)τ ))T (Al(t + lτ )v!(t)+ Bl(t + lτ )v(t))dt. (3.5) Из (3.2), (3.4) и (3.5) следует, что B(y, v)= T -Mτ r '\" M {(Am(t + lτ )y!(t + (l - m)τ ))T (Al (t + lτ )v!(t)) + 0 l,m=0 + [(Am(t + lτ )y!(t + (l - m)τ ))T Bl(t + lτ ) - ((Bm(t + lτ )y(t + (l - m)τ ))T Al (t + lτ ))! + + (Bm(t + lτ )y(t + (l - m)τ ))T Bl(t + lτ )]v(t)}dt. (3.6) Из (3.6) и определения обобщенной производной следует, что M '\" AT ! 1,n l,m=0 l (t + lτ )Am(t + lτ )y (t + (l - m)τ ) ∈ W2 (0,T - Mτ ). (3.7) 2 Подставляя (3.6) в (3.3), в силу (3.7) мы можем произвести интегрирование по частям. Посколь- ку v ∈ W˚ 1,n(0,T - Mτ ) - произвольная функция, мы получим M ARy := -( '\" l,m=0 M l AT (t + lτ )Am(t + lτ )y!(t + (l - m)τ ))! + M + '\" l,m=0 l BT (t + lτ )Am(t + lτ )y!(t + (l - m)τ ) - ( '\" l,m=0 M l AT (t + lτ )Bm(t + lτ )y(t + (l - m)τ ))! + + '\" l,m=0 l BT (t + lτ )Bm(t + lτ )y(t + (l - m)τ )=0 (t ∈ (0,T - Mτ ). (3.8) 2 Таким образом, вектор-функция y ∈ W 1,n(-Mτ, T ) удовлетворяет системе дифференциально- разностных уравнений (3.8) почти всюду на интервале (0,T - Mτ ). 2 Определение 3.1. Вектор-функция y ∈ W 1,n(-Mτ, T ) называется обобщенным решением зада- чи (3.8), (2.2), (2.3), если выполняется условие (3.7), y(t) почти всюду на (0,T -Mτ ) удовлетворяет системе уравнений (3.8), а также краевым условиям (2.2), (2.3). Очевидно, следующее определение обобщенного решения эквивалентно определению 3.1. 2 Определение 3.2. Вектор-функция y ∈ W 1,n(-Mτ, T ) называется обобщенным решением за- дачи (3.8), (2.2), (2.3), если она удовлетворяет интегральному тождеству B(y, v)= T -Mτ r M l '\" (AT (t + lτ )Am(t + lτ )y!(t + (l - m)τ ))T v!(t)dt + 0 l,m=0 18 А. Ш. АДХАМОВА T -Mτ r + M l '\" {(BT (t + lτ )Am(t + lτ )y!(t + (l - m)τ ))T - 0 l,m=0 l - ((AT (t + lτ )Bm(t + lτ )y(t + (l - m)τ ))!)T + l 2 + (BT (t + lτ )Bm(t + lτ )y(t + (l - m)τ ))T }v(t)dt =0 (3.9) для всех v ∈ W˚ 1,n(0,T - Mτ ) и краевым условиям (2.2), (2.3). 2 Таким образом, мы доказали, что если вектор-функция y ∈ W 1,n(-Mτ, T ) является ре- шением вариационной задачи (2.2)-(2.4), то она будет обобщенным решением краевой зада- чи (3.8), (2.2), (2.3). 2 Справедливо и обратное утверждение: если вектор-функция y ∈ W 1,n(-Mτ, T ) является обоб- щенным решением краевой задачи (3.8), (2.2), (2.3), то она будет решением вариационной зада- чи (2.2)-(2.4), см. [1]. Таким образом, справедливо следующее утверждение. 2 Теорема 3.1. Пусть ϕ ∈ W 1,n(-Mτ, 0). Функционал (2.4) с краевыми условиями (2.2), (2.3) достигает минимума на некоторой функции тогда и только тогда, когда она является обоб- щенным решением краевой задачи (3.8), (2.2), (2.3). Имеет место следующий результат, см. [1]. Лемма 3.1. Пусть detA0(t) /= 0, t ∈ R. Тогда для всех w ∈ W 2 2 (0,T -Mτ ) J0(w) ?: c1||w||W 1,n , (3.10) где c1 > 0 - постоянная, не зависящая от w, T r J0(v) := 0 M ('\" Ak (t)v!(t - kτ ))!dt. (3.11) k=0 Используя лемму 3.1, можно доказать следующее утверждение, см. [1]. 2 Теорема 3.2. Пусть detA0(t) /= 0, t ∈ R. Тогда для любой вектор-функции ϕ ∈ W 1,n(-Mτ, 0) 2 существует единственное обобщенное решение y ∈ W 1,n(-Mτ, T ) краевой задачи (3.8), (2.2), (2.3), при этом ||y||W 1,n c||ϕ|| 1,n , (3.12) 2 (-Mτ,T ) где c > 0 - постоянная, не зависящая от ϕ. W2 (-Mτ,0) СВОЙСТВА РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ Положим d := T - Mτ. Пусть d = (N + θ)τ, где N ∈ N, 0 < θ 1. Введем некоторые дополнительные обозначения. Если 0 < θ < 1, обозначим Q1s = ((s - 1)τ, (s - 1 + θ)τ ), s = 1,... ,N + 1 и Q2s = ((s - 1 + θ)τ, sτ ), s = 1,... , N. Если θ = 1, обозначим Q1s = ((s - 1)τ, sτ ), s = 1,... ,N + 1. Таким образом, мы имеем два семейства непересекающихся интервалов, если 0 < θ < 1, и одно семейство, если θ = 1; причем каждые два интервала одного семейства получаются друг из друга сдвигом на некоторое число. Не ограничивая общности, будем предполагать M = N. Введем оператор R : Ln(0, d) → Ln(0, d) по формуле 2 2 M (Rx)(t)= '\" l,m=0 l AT (t + lτ )Am(t + lτ )x(t + (l - m)τ ). (4.1) Лемма 4.1. Оператор R : Ln(0, d) → Ln(0, d) самосопряженный, т. е. для любых x, y ∈ L2(R) выполняется равенство 2 2 2 (R) (Rx, y)Ln 2 = (x, Ry)Ln (R). ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ОБ УСПОКОЕНИИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ 19 2 Доказательство. Действительно, при любых x, y ∈ Ln(R), делая замену t! = t + (l - m)τ, получим +∞ M r 2 (R) (Rx, y)Ln = ( '\" -∞ l,m=0 l AT (t + lτ )Am(t + lτ )x(t + (l - m)τ ))y(t)dt = +∞ M r = x(t!)( '\" -∞ l,m=0 m AT (t! + mτ )Al(t! + mτ )y(t! + (m - l)τ ))dt! . Обозначая t! через t и меняя местами индексы l, m, имеем +∞ M r (Rx, y)Ln = x(t)( '\" AT (t + lτ )Am(t + lτ )y(t + (l - m)τ ))dt = (x, Ry) n . 2 (R) -∞ l l,m=0 L2 (R) Запишем оператор R в виде где (Ry)(t) := M '\" s=-M Cs(t)y(t + sτ ), (4.2) Cs(t) := '\" l,m:l-m=s l AT (t + lτ )Am(t + lτ ) (4.3) - матрица порядка n × n с элементами cij (t) (i, j = 1,... , n). По построению cij (t) - непрерывно s s дифференцируемые функции на R. Обозначим Q := (0, d). Введем ограниченные операторы IQ : Ln(Q) → Ln(R) и PQ : Ln(R) → 2 2 2 Ln 2 (Q) следующим образом: (IQx)(t) = x(t), (t ∈ (0, d)), (IQx)(t) = 0 (t ∈/ (0, d)) и (PQy)(t) = y(t), (t ∈ (0, d)). Обозначим RQ = PQRIQ. Из леммы 4.1 вытекает следующий результат. Лемма 4.2. Оператор RQ : Ln(Q) → Ln(Q) ограниченный и самосопряженный. 2 2 Пусть Pα : Ln(Q) → Ln(J Qαs) - оператор ортогонального проектирования Ln(Q) на Ln(J Qαs), 2 2 2 2 s s где Ln(J Qαs) = {y ∈ Ln(Q) : y(t) = 0,t ∈ (0, d)\ J Qαs}, α = 1, 2, если θ < 1; α = 1 и Pα - 2 2 s s единичный оператор, если θ = 1. Очевидно следующее утверждение. 2 Лемма 4.3. Ln(J Qαs) - инвариантное подпространство оператора RQ. s 2 Введем оператор Uα : L2(J Qαs) → LN (α)(Qα1) по формуле s (Uαy)k (t)= y(t + k - 1),t ∈ Qα1, (4.4) где k = 1,... ,N (α); N (α) = M + 1, если α = 1; N (α)= M, если α = 2. Введем теперь изометрический изоморфизм гильбертовых пространств 2 U α : Ln(J Qαs) → LnM 2 (Qα1) по формуле где s (U αy)(t)= ((Uαy1)T ,... , (Uαyn)T )T (t), (4.5) 2 y = (y1,... , yn)T ∈ Ln(0, d), (Uαyj )(t)= ((Uαyj )1(t),... , (Uαyj )M (t))T . Для каждого α = 1, 2 рассмотрим блочную матрицу }i,j=1 Rα(t)= {Rαij (t) n . (4.6) Здесь R1ij - квадратные матрицы порядка (M + 1) × (M + 1) с элементами r1ij ij kl = cl-k (t + k - 1), k, l = 1,... ,M + 1, (4.7) 20 А. Ш. АДХАМОВА R2ij - квадратные матрицы порядка M × M с элементами r2ij ij kl = cl-k (t + k - 1), k, l = 1,... , M. (4.8) Лемма 4.4. Оператор RQα = U αRQU -1 : LnN (α)(Qα1) → LnN (α)(Qα1) является оператором α 2 2 умножения на симметричную матрицу Rα(t). Доказательство. Пусть V ∈ LnN (α)(Qα1). Обозначим v = U -1V ∈ Ln(J Qsl). В силу форму- 2 α 2 l лы (4.4) и определения оператора RQ мы имеем 1 α V ) (t)= (U R v) (t)= (RQαV )(i-1)N (α)+k (t)= (U αRQU - (i-1)N (α)+k n = '\" '\" Cij α Q (i-1)N (α)+k j=1 s s (t + k - 1)vj (t + k - 1+ s) (t ∈ Qα1). (4.9) Здесь мы суммируем по s таким, что 1 k + s N (α). Пусть l := k + s. Тогда из (4.9) и (4.8) следует, что n N (α) n N (α) (RQαV )(i-1)N (α)+k (t)= '\" '\" l-k Cij (t + k - 1)vj (t + l - 1) = '\" '\" kl - rαij (t)V(j 1)N (α)+l (t). j=1 l=1 j=1 l=1 2 Таким образом, мы доказали, что оператор RQα является умножением на матрицу Rα в про- странстве LnN (α)(Qα1). Отсюда из леммы 4.2 следует симметричность матрицы Rα. ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ НА ПОДЫНТЕРВАЛАХ Как известно [3, 4, 15], гладкость обобщенных решений краевых задач для дифференциаль- но-разностных уравнений нейтрального типа может нарушаться внутри интервала, на котором определено решение. С другой стороны, гладкость обобщенных решений сохраняется на некоторых подынтервалах. 2 2 Теорема 5.1. Пусть detA0(t) /= 0, t ∈ R, и пусть ϕ ∈ W 2,n(-Mτ, 0). Тогда обобщенное реше- ние задачи (3.8), (2.2), (2.3) y ∈ W 1,n(-Mτ, T ) обладает следующей гладкостью на подынтервалах интервала (0, d): 2 • y ∈ W 2,n((j - 1)τ, jτ ) (j = 1,... ,M + 1), если θ = 1; • y ∈ W 2,n((j - 1)τ, (j - 1+ θ)τ ) (j = 1,... ,M + 1) и y ∈ W 2,n((j - 1+ θ)τ, jτ ) (j = 1,... ,M ), 2 2 если θ < 1. Доказательство. По теореме о продолжении функций в пространстве Соболева для любой вектор-функции ϕ ∈ W 2,n 2,n 2 (-Mτ, 0) существует Φ ∈ W2 (-Mτ, T ) такая, что Φ(t) = ϕ(t) при t ∈ (-Mτ, 0), Φ(t)=0 при t ∈ (T - Mτ, T ) и ||Φ||W 2,n k1||ϕ|| 2,n , (5.1) 2 (-Mτ,T ) где константа k1 > 0 не зависит от ϕ. W2 (-Mτ,0) Введем вектор-функцию x(t) = y(t) - Φ(t) ∈ W 1,n(-Mτ, 0). Поскольку Φ ∈ W 2,n(-Mτ, T ), в 2 2 силу (3.7) x(t) удовлетворяет условию M '\" AT ! 1,n l,m=0 l (t + lτ )Am(t + lτ )x (t + (l - m)τ ) ∈ W2 (0,T - Mτ ). (5.2) Таким образом, вектор-функция x(t) удовлетворяет почти всюду на интервале (0,T - Mτ ) си- стеме дифференциально-разностных уравнений и краевым условиям 0 ARx := - '\" l,m=0 -(RQx!)!(t)= F (t), t ∈ (0,T - Mτ ) (5.3) x(0) = x(T - Mτ )= 0. (5.4) ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ОБ УСПОКОЕНИИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ 21 Здесь F (t) := -ARΦ - M '\" l,m=0 l BT (t + lτ )Am(t + lτ )y!(t + (l - m)τ )+ M +( '\" l,m=0 l AT (t + lτ )Bm(t + lτ )y(t + (l - m)τ ))! - M '\" - BT (t + lτ )Bm(t + lτ )y(t + (l - m)τ ) ∈ Ln(0,T - Mτ ). l 2 l,m=0 Повторяя в обратном порядке выкладки раздела 3, сделанные при выводе системы диффе- ренциально-разностных уравнений (3.8) из интегрального тождества (3.3), в силу леммы 3.1 мы получим неравенство (A0 w, w) = J0(w) ?: c1||w 2 (5.5) || 2 W 1,n R Ln (0,T -Mτ ) n 2 (0,T -Mτ ) 0 для любых w ∈ C∞,n(0,T - Mτ ) := 0 Тl C∞(0,T - Mτ ). j=1 Будем предполагать, что supp w ⊂ J Qαs. Обозначим Wα = J w. Тогда из равенства (4.5) и s s лемм 4.2, 4.4 следует, что 2 LnN (α) -((RαW ! )!, Wα) ?: c1||Wα|| . (5.6) α 2 (Qα1 ) 2 (Qα1 ) W 1,nN (α) 2 Из (5.3) и формулы Лейбница следует, что вектор-функция Uαx ∈ W 1,nN (α)(Qα1) удовлетворяет почти всюду в Qα1 системы дифференциальных уравнений -Rα(t)(Uαx)!!(t)= F0(t) (t ∈ Qα1), (5.7) где F0(t)= F (t) - R! (t)(Uαx)!(t) ∈ LnN (α)(Qα1). α 2 Таким образом, чтобы доказать утверждение теоремы, достаточно убедиться, что detR0(t) /= 0 2 W 2,n для всех t ∈ Qα1, поскольку тогда из (5.7) мы получим Uαx ∈ W 2,nN (α)(Qα1), т. е. y = x - Φ ∈ 2 (Qα1), s = 1,... ,N (α). Для доказательства того, что detR0(t) /=0 для всех t ∈ Qα1, мы используем неравенство (5.5). Пусть t0 ∈ Qα1 - произвольная точка. Выберем t1 и r так, что [t1-r, t1+r] ⊂ Qα1∩(t0-δ, t0+δ), 0 где δ > 0 будет определено ниже. Предположим, что Wα ∈ C∞,nN (α)(t1 - r, t1 + r). Из (5.6) следует, что где ||W (Qα1 ) b1 + b2 ?: k2||Wα 2 1,nN (α) 2 , (5.8) α LnN (α) b1 = (Rα(t0)W ! ,W ! ) , α 2 (t1 -r,t1+r) α LnN (α) b2 = ((Rα(t) - Rα(t0))W ! ,W ! ) . α 2 (t1 -r,t1+r) Поскольку коэффициенты матрицы Rα(t) равномерно непрерывны на [0,T - Mτ ], мы имеем 2 (t1 -r,t1+r) |b2| ε(δ)||Wα ||W 1,nN (α) , где ε(δ) → 0 при δ → 0. Выберем δ > 0 так, что ε(δ) < k2/2. Тогда из (5.8) мы получим (Rα(t0)W ! ,W ! ) 2 k2 α LnN (α) ?: ||Wα|| . 2 α 2 (t1 -r,t1+r) 2 W 1,nN (α)(t1 -r,t1+r) 0 Получим теперь соответствующую оценку для функции Vα ∈ C∞,nN (α)(-R, R), где κ = R/r > 1. Сделаем замену переменной η = κ(t - t1). Обозначим Vα(η) = Wα(t(η)). Тогда из последнего неравенства мы получим LnN (α) (Rα(t0)V ! (η),V ! (η)) = κ-1(Rα(t0)W ! (t),W ! (t)) ?: 2 α α 2 (-R,R) α α LnN (α)(t1 -r,t1+r) 22 А. Ш. АДХАМОВА k2 1 ! 2 2 k ! 2 LnN (α) 2 || α || ?: κ- W (t) = 2 (t1 -r,t1+r) 2 ||Vα(η)|| 2 LnN (α)(-R,R) . (5.9) 0 Предположим, что Vα = vαY, где vα ∈ C∞(-R, R), Y ∈ CnN (α). Пусть функция vα продолжена нулем в R\(-R, R). Тогда, используя преобразование Фурье, из (5.9) в силу теоремы Планшереля мы получим r 2 k2 r 2 2 Здесь 2 (Rα(t0)ξ2Y, Y )|vˆα(ξ)| dξ ?: R R r ξ2|Y | |vˆα(ξ)| dξ. (5.10) vˆα(ξ)= (2π)-1/2 R - преобразование Фурье функции vα(η). vα(η)e-iξη dη 0 Поскольку C∞(R) всюду плотно в L2(R), из (5.10) следует, что (Rα(t0)Y, Y ) ?: 2 k2 2 |Y | . Таким образом, симметрическая матрица Rα(t0) положительно определена для любого t0 ∈ Qα1. Следовательно, detR0(t) /=0 для всех t ∈ Qα1.