Гладкость решений задачи об успокоении нестационарной системы управления с последействием

Аннотация

Рассматривается задача об успокоении нестационарной системы управления, описываемой системой дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа с гладкими матричными коэффициентами и несколькими запаздываниями. Эта задача эквивалентна краевой задаче для системы дифференциально-разностных уравнений второго порядка, которая имеет единственное обобщенное решение. Доказано, что гладкость этого решения может нарушаться на рассматриваемом интервале и сохраняется лишь на некоторых подынтервалах. Получены достаточные условия на начальную функцию, обеспечивающие гладкость обобщенного решения на всем интервале.

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 14 Постановка задачи 15 Вариационная и краевая задачи 15 Свойства разностных операторов 18 Гладкость обобщенных решений на подынтервалах 20 Список литературы 22 ВВЕДЕНИЕ Впервые задача об успокоении системы управления с последействием рассматривалась Н. Н. Красовским [5]. Поведение системы управления описывалось системой линейных дифферен- циально-разностных уравнений запаздывающего типа с постоянными коэффициентами и постоян- ным запаздыванием. В работах [9, 15] задача Н. Н. Красовского об успокоении системы управления с последействием была обобщена на случай, когда уравнение, описывающее управляемую систе- му, содержит также старшие члены с запаздыванием, т. е. имеет нейтральный тип. Многомерная система управления с постоянными матричными коэффициентами исследовалась в [7, 12], а много- мерная нестационарная система управления нейтрального типа рассматривалась в [1, 2]. Системы управления с последействием запаздывающего типа изучались в [6, 8]. Отметим также работы, посвященные исследованию систем нейтрального типа с малыми коэффициентами при членах с запаздыванием [13, 14]. Настоящая работа посвящена исследованию гладкости обобщенных решений краевых задач для систем дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа, к которым сводится задача об успокоении многомерных нестационарных систем управления нейтрального типа, рассмотренная в [1, 2]. Гладкость обобщенных решений этих краевых задач может нарушаться внутри интервала при сколь угодно гладкой начальной функции. Однако, как показано в данной статье, гладкость решений сохраняется на некоторых подынтервалах. Публикация подготовлена при поддержке гранта РФФИ № 20-31-90119. © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2022 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 14 ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ОБ УСПОКОЕНИИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ 15 Статья построена следующим образом. В первом разделе содержится введение, а второй раздел посвящен постановке задачи об успокоении многомерной системы управления с последействием. В третьем разделе излагается связь между вариационной задачей, описывающей модель успокоения системы управления с последействием нейтрального типа, и краевой задачей для системы диф- ференциально-разностных уравнений второго порядка. В том же разделе сформулирована теорема об однозначной разрешимости рассматриваемой краевой задачи. Доказательство результатов, из- ложенных в третьем разделе, можно найти в работе [1]. В четвертом разделе содержатся свойства разностных операторов на конечном интервале. В пятом разделе изучается гладкость обобщенных решений на подынтервале. Отметим, что вопросы гладкости обобщенных решений второй краевой задачи для дифференциально-разностных уравнений рассматривались в работах [10, 11]. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим линейную систему управления, описываемую системой дифференциально-разност- ных уравнений M M '\" Am(t)y!(t - mτ )+ '\" Bm(t)y(t - mτ )= u(t), 0 < t < T. (2.1) m=0 m=0 ij Здесь y(t) = (y1(t),... , yn(t))T - неизвестная вектор-функция, описывающая состояние систе- мы, u(t) = (u1(t),... , un(t))T - вектор-функция управления, Am(t) = {am(t)}i,j=1,...,n, Bm(t) = {bm(t)}i,j=1,...,n - матрицы порядка n × n с элементами am(t), bm(t), которые являются веществен- ij ij ij ными непрерывно дифференцируемыми функциями на Предыстория системы задается начальным условием R, τ = const > 0 - запаздывание. y(t)= ϕ(t), t ∈ [-Mτ, 0]. (2.2) Здесь ϕ(t)= (ϕ1(t),... , ϕn(t))T - некоторая вектор-функция. Рассмотрим задачу о приведении системы (2.1) с начальным условием (2.2) в положение равно- весия при t ?: T. Для этого мы найдем такое управление u(t), 0 < t < T, что: y(t)= 0, t ∈ [T - Mτ, T ], (2.3) где T > (M + 1)τ. Будем искать управление, доставляющее минимум функционалу энергии T r |u(t)|2dt → min, 0 . n где | | - евклидова норма в R минимуме функционала . Таким образом, в силу (2.1) мы получаем вариационную задачу о r T M M 2 J (y) := '\" Am(t)y!(t - mτ )+ '\" Bm(t)y(t - mτ ) dt → min. (2.4) 0 m=0 m=0 ВАРИАЦИОННАЯ И КРАЕВАЯ ЗАДАЧИ В этом разделе мы приведем без доказательства ряд результатов из [1, 2], необходимых нам в дальнейшем для изучения гладкости обобщенных решений. Для того, чтобы установить взаимосвязь между вариационной задачей (2.4), (2.2), (2.3) и соот- ветствующей краевой задачей для системы дифференциально-разностных уравнений, введем неко- торые вспомогательные обозначения для различных вещественных функциональных пространств. Обозначим через C(R) пространство непрерывных и ограниченных на R функций с нормой: ||x(t)||C(R) = sup |x(t)|. t∈R 16 А. Ш. АДХАМОВА Пусть Ck(R),k ∈ N, - пространство непрерывных и k раз непрерывно дифференцируемых функ- ций на R, ограниченных на R вместе со всеми производными вплоть до k-го порядка, с нормой || || x(t) Ck (R) = max 0 i k sup |x(i)(t)|. t∈R 2 Обозначим через W k(a, b) пространство абсолютно непрерывных на [a, b] функций, имеющих производную k-го порядка из L2(a, b) со скалярным произведением 2 (a,b) (v, w)W k k b = '\" r v(i)(t)w(i)(t)dt. i=0 a Пусть W˚ k(a, b)= {w ∈ W k (a, b): w(i)(a)= w(i)(b)= 0,i = 0,... ,k - 1}. 2 2 Введем пространства вектор-функций n n n Ln тт k,n тт k k,n тт ˚ k 2 (a, b)= i=1 L2(a, b), W2 (a, b)= i=1 W2 (a, b), W˚2 (a, b)= i=1 W2 (a, b), со скалярными произведениями (v, w)Ln n = '\"(v ,w ) , 2 (a,b) i i=1 n '\" i L2 (a,b) W k,n (v, w) = 2 (a,b) где v = (v1,... , vn)T , w = (w1,... , wn)T . i=1 2 (a,b) (vi, wi)W k , Покажем, что вариационная задача (2.2)-(2.4) эквивалента краевой задаче для системы диффе- ренциально-разностных уравнений второго порядка. Пусть y ∈ W 1,n(-Mτ, T ) - решение вариационной задачи (2.2)-(2.4), где ϕ ∈ W 1,n(-Mτ, 0). 2 2 Введем пространства 2 L = {v ∈ Ln(-Mτ, T ): v(t)= 0, t ∈ (-Mτ, 0) ∪ (T - Mτ, T )}, 2 W = {v ∈ W 1,n(-Mτ, T ): v(t)= 0, t ∈ (-Mτ, 0) ∪ (T - Mτ, T )}. Мы будем часто отождествлять пространство L c Ln(0,T -Mτ ), а пространство W с W˚ 1,n(0,T - 2 2 Mτ ), не оговаривая этого специально. 2 Пусть v ∈ W - произвольная фиксированная функция. Тогда функция y + sv ∈ W 1,n(-Mτ, T ) и удовлетворяет краевым условиям (2.2), (2.3) для всех s ∈ R. Обозначим J (y + sv)= F (s). Поскольку J (y + sv) ?: J (y), s ∈ R, мы имеем dF ds s=0 = 0, (3.1) r T M M \T B(y, v) := '\" Am(t)y!(t - mτ )+ '\" Bm(t)y(t - mτ ) × 0 m=0 m=0 M '\" × l=0 M Al(t)v!(t - lτ )+ '\" l=0 \ Bl(t)v(t - lτ ) dt. (3.2) Из равенства (3.1) следует, что Обозначим T r B(y, v)= 0, v ∈ W . (3.3) Bm,l(y, v)= 0 (Am(t)y!(t - mτ )+ Bm(t)y(t - mτ ))T (Al(t)v!(t - lτ )+ Bl(t)v(t - lτ )) dt. (3.4) ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ОБ УСПОКОЕНИИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ 17 Проведем преобразование слагаемых, полученных при раскрытии скобок в правой части (3.4). В слагаемых, содержащих v(t - lτ ) или v!(t - lτ ), сделаем замену переменной ξ = t - lτ. Получим T -lτ r Bm,l(y, v)= -lτ (Am(ξ + lτ )y!(ξ + (l - m)τ )+ Bm(ξ + lτ ) × × y(ξ + (l - m)τ ))T (Al (ξ + lτ )v!(ξ)+ Bl(ξ + lτ )v(ξ))dξ. Возвращаясь к старой переменной t, полагая t = ξ, и учитывая, что v(t)=0 при t ∈ (-Mτ, 0) ∪ (T - Mτ, T ), имеем T -Mτ r Bm,l(y, v)= 0 (Am(t + lτ )y!(t + (l - m)τ )+ Bm(t + lτ ) × × y(t + (l - m)τ ))T (Al(t + lτ )v!(t)+ Bl(t + lτ )v(t))dt. (3.5) Из (3.2), (3.4) и (3.5) следует, что B(y, v)= T -Mτ r '\" M {(Am(t + lτ )y!(t + (l - m)τ ))T (Al (t + lτ )v!(t)) + 0 l,m=0 + [(Am(t + lτ )y!(t + (l - m)τ ))T Bl(t + lτ ) - ((Bm(t + lτ )y(t + (l - m)τ ))T Al (t + lτ ))! + + (Bm(t + lτ )y(t + (l - m)τ ))T Bl(t + lτ )]v(t)}dt. (3.6) Из (3.6) и определения обобщенной производной следует, что M '\" AT ! 1,n l,m=0 l (t + lτ )Am(t + lτ )y (t + (l - m)τ ) ∈ W2 (0,T - Mτ ). (3.7) 2 Подставляя (3.6) в (3.3), в силу (3.7) мы можем произвести интегрирование по частям. Посколь- ку v ∈ W˚ 1,n(0,T - Mτ ) - произвольная функция, мы получим M ARy := -( '\" l,m=0 M l AT (t + lτ )Am(t + lτ )y!(t + (l - m)τ ))! + M + '\" l,m=0 l BT (t + lτ )Am(t + lτ )y!(t + (l - m)τ ) - ( '\" l,m=0 M l AT (t + lτ )Bm(t + lτ )y(t + (l - m)τ ))! + + '\" l,m=0 l BT (t + lτ )Bm(t + lτ )y(t + (l - m)τ )=0 (t ∈ (0,T - Mτ ). (3.8) 2 Таким образом, вектор-функция y ∈ W 1,n(-Mτ, T ) удовлетворяет системе дифференциально- разностных уравнений (3.8) почти всюду на интервале (0,T - Mτ ). 2 Определение 3.1. Вектор-функция y ∈ W 1,n(-Mτ, T ) называется обобщенным решением зада- чи (3.8), (2.2), (2.3), если выполняется условие (3.7), y(t) почти всюду на (0,T -Mτ ) удовлетворяет системе уравнений (3.8), а также краевым условиям (2.2), (2.3). Очевидно, следующее определение обобщенного решения эквивалентно определению 3.1. 2 Определение 3.2. Вектор-функция y ∈ W 1,n(-Mτ, T ) называется обобщенным решением за- дачи (3.8), (2.2), (2.3), если она удовлетворяет интегральному тождеству B(y, v)= T -Mτ r M l '\" (AT (t + lτ )Am(t + lτ )y!(t + (l - m)τ ))T v!(t)dt + 0 l,m=0 18 А. Ш. АДХАМОВА T -Mτ r + M l '\" {(BT (t + lτ )Am(t + lτ )y!(t + (l - m)τ ))T - 0 l,m=0 l - ((AT (t + lτ )Bm(t + lτ )y(t + (l - m)τ ))!)T + l 2 + (BT (t + lτ )Bm(t + lτ )y(t + (l - m)τ ))T }v(t)dt =0 (3.9) для всех v ∈ W˚ 1,n(0,T - Mτ ) и краевым условиям (2.2), (2.3). 2 Таким образом, мы доказали, что если вектор-функция y ∈ W 1,n(-Mτ, T ) является ре- шением вариационной задачи (2.2)-(2.4), то она будет обобщенным решением краевой зада- чи (3.8), (2.2), (2.3). 2 Справедливо и обратное утверждение: если вектор-функция y ∈ W 1,n(-Mτ, T ) является обоб- щенным решением краевой задачи (3.8), (2.2), (2.3), то она будет решением вариационной зада- чи (2.2)-(2.4), см. [1]. Таким образом, справедливо следующее утверждение. 2 Теорема 3.1. Пусть ϕ ∈ W 1,n(-Mτ, 0). Функционал (2.4) с краевыми условиями (2.2), (2.3) достигает минимума на некоторой функции тогда и только тогда, когда она является обоб- щенным решением краевой задачи (3.8), (2.2), (2.3). Имеет место следующий результат, см. [1]. Лемма 3.1. Пусть detA0(t) /= 0, t ∈ R. Тогда для всех w ∈ W 2 2 (0,T -Mτ ) J0(w) ?: c1||w||W 1,n , (3.10) где c1 > 0 - постоянная, не зависящая от w, T r J0(v) := 0 M ('\" Ak (t)v!(t - kτ ))!dt. (3.11) k=0 Используя лемму 3.1, можно доказать следующее утверждение, см. [1]. 2 Теорема 3.2. Пусть detA0(t) /= 0, t ∈ R. Тогда для любой вектор-функции ϕ ∈ W 1,n(-Mτ, 0) 2 существует единственное обобщенное решение y ∈ W 1,n(-Mτ, T ) краевой задачи (3.8), (2.2), (2.3), при этом ||y||W 1,n c||ϕ|| 1,n , (3.12) 2 (-Mτ,T ) где c > 0 - постоянная, не зависящая от ϕ. W2 (-Mτ,0) СВОЙСТВА РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ Положим d := T - Mτ. Пусть d = (N + θ)τ, где N ∈ N, 0 < θ 1. Введем некоторые дополнительные обозначения. Если 0 < θ < 1, обозначим Q1s = ((s - 1)τ, (s - 1 + θ)τ ), s = 1,... ,N + 1 и Q2s = ((s - 1 + θ)τ, sτ ), s = 1,... , N. Если θ = 1, обозначим Q1s = ((s - 1)τ, sτ ), s = 1,... ,N + 1. Таким образом, мы имеем два семейства непересекающихся интервалов, если 0 < θ < 1, и одно семейство, если θ = 1; причем каждые два интервала одного семейства получаются друг из друга сдвигом на некоторое число. Не ограничивая общности, будем предполагать M = N. Введем оператор R : Ln(0, d) → Ln(0, d) по формуле 2 2 M (Rx)(t)= '\" l,m=0 l AT (t + lτ )Am(t + lτ )x(t + (l - m)τ ). (4.1) Лемма 4.1. Оператор R : Ln(0, d) → Ln(0, d) самосопряженный, т. е. для любых x, y ∈ L2(R) выполняется равенство 2 2 2 (R) (Rx, y)Ln 2 = (x, Ry)Ln (R). ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ОБ УСПОКОЕНИИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ 19 2 Доказательство. Действительно, при любых x, y ∈ Ln(R), делая замену t! = t + (l - m)τ, получим +∞ M r 2 (R) (Rx, y)Ln = ( '\" -∞ l,m=0 l AT (t + lτ )Am(t + lτ )x(t + (l - m)τ ))y(t)dt = +∞ M r = x(t!)( '\" -∞ l,m=0 m AT (t! + mτ )Al(t! + mτ )y(t! + (m - l)τ ))dt! . Обозначая t! через t и меняя местами индексы l, m, имеем +∞ M r (Rx, y)Ln = x(t)( '\" AT (t + lτ )Am(t + lτ )y(t + (l - m)τ ))dt = (x, Ry) n . 2 (R) -∞ l l,m=0 L2 (R) Запишем оператор R в виде где (Ry)(t) := M '\" s=-M Cs(t)y(t + sτ ), (4.2) Cs(t) := '\" l,m:l-m=s l AT (t + lτ )Am(t + lτ ) (4.3) - матрица порядка n × n с элементами cij (t) (i, j = 1,... , n). По построению cij (t) - непрерывно s s дифференцируемые функции на R. Обозначим Q := (0, d). Введем ограниченные операторы IQ : Ln(Q) → Ln(R) и PQ : Ln(R) → 2 2 2 Ln 2 (Q) следующим образом: (IQx)(t) = x(t), (t ∈ (0, d)), (IQx)(t) = 0 (t ∈/ (0, d)) и (PQy)(t) = y(t), (t ∈ (0, d)). Обозначим RQ = PQRIQ. Из леммы 4.1 вытекает следующий результат. Лемма 4.2. Оператор RQ : Ln(Q) → Ln(Q) ограниченный и самосопряженный. 2 2 Пусть Pα : Ln(Q) → Ln(J Qαs) - оператор ортогонального проектирования Ln(Q) на Ln(J Qαs), 2 2 2 2 s s где Ln(J Qαs) = {y ∈ Ln(Q) : y(t) = 0,t ∈ (0, d)\ J Qαs}, α = 1, 2, если θ < 1; α = 1 и Pα - 2 2 s s единичный оператор, если θ = 1. Очевидно следующее утверждение. 2 Лемма 4.3. Ln(J Qαs) - инвариантное подпространство оператора RQ. s 2 Введем оператор Uα : L2(J Qαs) → LN (α)(Qα1) по формуле s (Uαy)k (t)= y(t + k - 1),t ∈ Qα1, (4.4) где k = 1,... ,N (α); N (α) = M + 1, если α = 1; N (α)= M, если α = 2. Введем теперь изометрический изоморфизм гильбертовых пространств 2 U α : Ln(J Qαs) → LnM 2 (Qα1) по формуле где s (U αy)(t)= ((Uαy1)T ,... , (Uαyn)T )T (t), (4.5) 2 y = (y1,... , yn)T ∈ Ln(0, d), (Uαyj )(t)= ((Uαyj )1(t),... , (Uαyj )M (t))T . Для каждого α = 1, 2 рассмотрим блочную матрицу }i,j=1 Rα(t)= {Rαij (t) n . (4.6) Здесь R1ij - квадратные матрицы порядка (M + 1) × (M + 1) с элементами r1ij ij kl = cl-k (t + k - 1), k, l = 1,... ,M + 1, (4.7) 20 А. Ш. АДХАМОВА R2ij - квадратные матрицы порядка M × M с элементами r2ij ij kl = cl-k (t + k - 1), k, l = 1,... , M. (4.8) Лемма 4.4. Оператор RQα = U αRQU -1 : LnN (α)(Qα1) → LnN (α)(Qα1) является оператором α 2 2 умножения на симметричную матрицу Rα(t). Доказательство. Пусть V ∈ LnN (α)(Qα1). Обозначим v = U -1V ∈ Ln(J Qsl). В силу форму- 2 α 2 l лы (4.4) и определения оператора RQ мы имеем 1 α V ) (t)= (U R v) (t)= (RQαV )(i-1)N (α)+k (t)= (U αRQU - (i-1)N (α)+k n = '\" '\" Cij α Q (i-1)N (α)+k j=1 s s (t + k - 1)vj (t + k - 1+ s) (t ∈ Qα1). (4.9) Здесь мы суммируем по s таким, что 1 k + s N (α). Пусть l := k + s. Тогда из (4.9) и (4.8) следует, что n N (α) n N (α) (RQαV )(i-1)N (α)+k (t)= '\" '\" l-k Cij (t + k - 1)vj (t + l - 1) = '\" '\" kl - rαij (t)V(j 1)N (α)+l (t). j=1 l=1 j=1 l=1 2 Таким образом, мы доказали, что оператор RQα является умножением на матрицу Rα в про- странстве LnN (α)(Qα1). Отсюда из леммы 4.2 следует симметричность матрицы Rα. ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ НА ПОДЫНТЕРВАЛАХ Как известно [3, 4, 15], гладкость обобщенных решений краевых задач для дифференциаль- но-разностных уравнений нейтрального типа может нарушаться внутри интервала, на котором определено решение. С другой стороны, гладкость обобщенных решений сохраняется на некоторых подынтервалах. 2 2 Теорема 5.1. Пусть detA0(t) /= 0, t ∈ R, и пусть ϕ ∈ W 2,n(-Mτ, 0). Тогда обобщенное реше- ние задачи (3.8), (2.2), (2.3) y ∈ W 1,n(-Mτ, T ) обладает следующей гладкостью на подынтервалах интервала (0, d): 2 • y ∈ W 2,n((j - 1)τ, jτ ) (j = 1,... ,M + 1), если θ = 1; • y ∈ W 2,n((j - 1)τ, (j - 1+ θ)τ ) (j = 1,... ,M + 1) и y ∈ W 2,n((j - 1+ θ)τ, jτ ) (j = 1,... ,M ), 2 2 если θ < 1. Доказательство. По теореме о продолжении функций в пространстве Соболева для любой вектор-функции ϕ ∈ W 2,n 2,n 2 (-Mτ, 0) существует Φ ∈ W2 (-Mτ, T ) такая, что Φ(t) = ϕ(t) при t ∈ (-Mτ, 0), Φ(t)=0 при t ∈ (T - Mτ, T ) и ||Φ||W 2,n k1||ϕ|| 2,n , (5.1) 2 (-Mτ,T ) где константа k1 > 0 не зависит от ϕ. W2 (-Mτ,0) Введем вектор-функцию x(t) = y(t) - Φ(t) ∈ W 1,n(-Mτ, 0). Поскольку Φ ∈ W 2,n(-Mτ, T ), в 2 2 силу (3.7) x(t) удовлетворяет условию M '\" AT ! 1,n l,m=0 l (t + lτ )Am(t + lτ )x (t + (l - m)τ ) ∈ W2 (0,T - Mτ ). (5.2) Таким образом, вектор-функция x(t) удовлетворяет почти всюду на интервале (0,T - Mτ ) си- стеме дифференциально-разностных уравнений и краевым условиям 0 ARx := - '\" l,m=0 -(RQx!)!(t)= F (t), t ∈ (0,T - Mτ ) (5.3) x(0) = x(T - Mτ )= 0. (5.4) ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ОБ УСПОКОЕНИИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ 21 Здесь F (t) := -ARΦ - M '\" l,m=0 l BT (t + lτ )Am(t + lτ )y!(t + (l - m)τ )+ M +( '\" l,m=0 l AT (t + lτ )Bm(t + lτ )y(t + (l - m)τ ))! - M '\" - BT (t + lτ )Bm(t + lτ )y(t + (l - m)τ ) ∈ Ln(0,T - Mτ ). l 2 l,m=0 Повторяя в обратном порядке выкладки раздела 3, сделанные при выводе системы диффе- ренциально-разностных уравнений (3.8) из интегрального тождества (3.3), в силу леммы 3.1 мы получим неравенство (A0 w, w) = J0(w) ?: c1||w 2 (5.5) || 2 W 1,n R Ln (0,T -Mτ ) n 2 (0,T -Mτ ) 0 для любых w ∈ C∞,n(0,T - Mτ ) := 0 Тl C∞(0,T - Mτ ). j=1 Будем предполагать, что supp w ⊂ J Qαs. Обозначим Wα = J w. Тогда из равенства (4.5) и s s лемм 4.2, 4.4 следует, что 2 LnN (α) -((RαW ! )!, Wα) ?: c1||Wα|| . (5.6) α 2 (Qα1 ) 2 (Qα1 ) W 1,nN (α) 2 Из (5.3) и формулы Лейбница следует, что вектор-функция Uαx ∈ W 1,nN (α)(Qα1) удовлетворяет почти всюду в Qα1 системы дифференциальных уравнений -Rα(t)(Uαx)!!(t)= F0(t) (t ∈ Qα1), (5.7) где F0(t)= F (t) - R! (t)(Uαx)!(t) ∈ LnN (α)(Qα1). α 2 Таким образом, чтобы доказать утверждение теоремы, достаточно убедиться, что detR0(t) /= 0 2 W 2,n для всех t ∈ Qα1, поскольку тогда из (5.7) мы получим Uαx ∈ W 2,nN (α)(Qα1), т. е. y = x - Φ ∈ 2 (Qα1), s = 1,... ,N (α). Для доказательства того, что detR0(t) /=0 для всех t ∈ Qα1, мы используем неравенство (5.5). Пусть t0 ∈ Qα1 - произвольная точка. Выберем t1 и r так, что [t1-r, t1+r] ⊂ Qα1∩(t0-δ, t0+δ), 0 где δ > 0 будет определено ниже. Предположим, что Wα ∈ C∞,nN (α)(t1 - r, t1 + r). Из (5.6) следует, что где ||W (Qα1 ) b1 + b2 ?: k2||Wα 2 1,nN (α) 2 , (5.8) α LnN (α) b1 = (Rα(t0)W ! ,W ! ) , α 2 (t1 -r,t1+r) α LnN (α) b2 = ((Rα(t) - Rα(t0))W ! ,W ! ) . α 2 (t1 -r,t1+r) Поскольку коэффициенты матрицы Rα(t) равномерно непрерывны на [0,T - Mτ ], мы имеем 2 (t1 -r,t1+r) |b2| ε(δ)||Wα ||W 1,nN (α) , где ε(δ) → 0 при δ → 0. Выберем δ > 0 так, что ε(δ) < k2/2. Тогда из (5.8) мы получим (Rα(t0)W ! ,W ! ) 2 k2 α LnN (α) ?: ||Wα|| . 2 α 2 (t1 -r,t1+r) 2 W 1,nN (α)(t1 -r,t1+r) 0 Получим теперь соответствующую оценку для функции Vα ∈ C∞,nN (α)(-R, R), где κ = R/r > 1. Сделаем замену переменной η = κ(t - t1). Обозначим Vα(η) = Wα(t(η)). Тогда из последнего неравенства мы получим LnN (α) (Rα(t0)V ! (η),V ! (η)) = κ-1(Rα(t0)W ! (t),W ! (t)) ?: 2 α α 2 (-R,R) α α LnN (α)(t1 -r,t1+r) 22 А. Ш. АДХАМОВА k2 1 ! 2 2 k ! 2 LnN (α) 2 || α || ?: κ- W (t) = 2 (t1 -r,t1+r) 2 ||Vα(η)|| 2 LnN (α)(-R,R) . (5.9) 0 Предположим, что Vα = vαY, где vα ∈ C∞(-R, R), Y ∈ CnN (α). Пусть функция vα продолжена нулем в R\(-R, R). Тогда, используя преобразование Фурье, из (5.9) в силу теоремы Планшереля мы получим r 2 k2 r 2 2 Здесь 2 (Rα(t0)ξ2Y, Y )|vˆα(ξ)| dξ ?: R R r ξ2|Y | |vˆα(ξ)| dξ. (5.10) vˆα(ξ)= (2π)-1/2 R - преобразование Фурье функции vα(η). vα(η)e-iξη dη 0 Поскольку C∞(R) всюду плотно в L2(R), из (5.10) следует, что (Rα(t0)Y, Y ) ?: 2 k2 2 |Y | . Таким образом, симметрическая матрица Rα(t0) положительно определена для любого t0 ∈ Qα1. Следовательно, detR0(t) /=0 для всех t ∈ Qα1.