Об обобщенных решениях второй краевой задачи для дифференциально-разностных уравнений с переменными коэффициентами

Аннотация

В работе рассматривается вторая краевая задача для дифференциально-разностного уравнения второго порядка с переменными коэффициентами на интервале (0,d). Исследован вопрос существования обобщенного решения. Получены условия на правую часть уравнения, обеспечивающие гладкость обобщенных решений на всем интервале (0,d).

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 576 1. Разностные операторы на интервале Q 577 2. Некоторые сведения из вариационной теории краевых задач 580 3. Разрешимость второй краевой задачи для дифференциально-разностного уравнения . . 581 4. Гладкость обобщенных решений второй краевой задачи для дифференциально-разностного уравнения на подынтервалах 583 5. Гладкость обобщенных решений второй краевой задачи для дифференциально-разностного уравнения на интервале целой длины 585 Список литературы 593 ВВЕДЕНИЕ Обобщенные решения первой краевой задачи для функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа на конечном интервале впервые рассматривались в работах [2, 3]. Было показано, что решения такой задачи обладают целым рядом принципиально новых свойств. Например, гладкость обобщенных решений может нарушаться во внутренних точках интервала даже при бесконечно дифференцируемой правой части. В работах [4, 15] были получены условия на правые части уравнения, обеспечивающие гладкость обобщенных решений первой краевой задачи для дифференциально-разностных уравнений на всем интервале. Вопрос о нахождении таких условий в случае второй краевой задачи является открытым. В работах [10, 14] в случаях как первой, так и второй краевых задач были получены условия на коэффициенты дифференциально-разностного уравнения, при выполнении которых гладкость обобщенных решений дифференциально-разностного уравнения сохраняется на всем интервале для любой правой части. Краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений возникают во многих важных приложениях, в частности, в задаче об успокоении системы управления с последействием [6, 8, 11, 12, 15]. Первый автор был поддержан РФФИ, грант № 20-01-00288. © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 576 ОБ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯХ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 577 В настоящей работе исследуется вопрос о разрешимости второй краевой задачи для дифференциально-разностных уравнений с переменными коэффициентами на интервале (0, d), а также получены условия на правую часть уравнения, при выполнении которых гладкость обобщенных решений сохраняется на всем интервале (0, d). Рассматривается задача - RQu× × = f (x), x ∈ Q, (1) (RQu×)(0) = (RQu×)(d)= 0. (2) Здесь Q = (0, d), d = n+θ, n ∈ N, 0 < θ � 1, f ∈ L2(Q) - комплекснозначная функция, разностный оператор RQ будет определен позже. Статья построена следующим образом. В разделе 1 описываются разностные операторы RQ, действующие на интервале Q. В разделе 2 излагаются некоторые известные результаты из вариационной теории абстрактных краевых задач, необходимые в дальнейшем. В разделе 3 исследуется вопрос существования обобщенного решения задачи (1), (2). Разделы 4 и 5 посвящены гладкости обобщенных решений задачи (1), (2). В дальнейшем в неравенствах через c, ci и kj будем обозначать положительные постоянные, которые не зависят от функций, входящих в неравенства, если не оговорены другие условия на эти константы. 1. РАЗНОСТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ НА ИНТЕРВАЛЕ Q Введем операторы R : L2(R) → L2(R), IQ : L2(Q) → L2(R) и PQ : L2(R) → L2(Q) следующим образом: n (Ru)(x)= '\" j=-n aj (x)u(x + j), (1.3) (IQv)(x)= v(x), x ∈ Q; (IQv)(x)= 0, x ∈ R \ Q; (1.4) (PQv)(x)= v(x), x ∈ Q; (1.5) где aj (x) ∈ C∞(R) - комплекснозначные функции. Сдвиги аргументов x 1→ x + j оператора R могут отображать точки интервала Q в R \ Q. С учетом этих отображений краевые условия для уравнения (1) следует задавать не только на границе Q, но и на множестве R\Q. Для рассмотрения однородных краевых условий вводится оператор IQ, который является оператором продолжения нулем функции из L2(Q) в R \ Q. Для изучения дифференциально-разностного уравнения не на всем множестве R, а только лишь на интервале Q = (0, d), вводится оператор PQ, являющийся оператором сужения функции из L2(R) на Q. Введем также оператор RQ : L2(Q) → L2(Q) по формуле RQ = PQRIQ. (1.6) Q Лемма 1.1. I∗ Q = PQ, P ∗ = IQ, т. е. для всех u ∈ L2(Q), v ∈ L2 (R) имеем (IQu, v)L2 (R) = (u, PQv)L2 (Q) . Доказательство следует из (1.4), (1.5). Лемма 1.2. Операторы R : L2(R) → L2(R), RQ : L2(Q) → L2(Q) ограниченные; n (R∗u)(x)= '\" j=-n Q aj (x - j)u(x - j), R∗ = PQR∗IQ. Доказательство следует из леммы 1.1. Лемма 1.3. Если оператор R : L2(R) → L2(R) самосопряженный, то самосопряженным является и оператор RQ : L2(Q) → L2(Q). Доказательство следует из лемм 1.1 и 1.2. Введенные операторы используются для изучения краевой задачи (1), (2). Рассмотрим разбиение интервала Q = (0, d) на подынтервалы, которые образуются из этого интервала выбрасыванием орбит его концов, порождаемых группой целочисленных сдвигов. Другими словами, указанные подынтервалы являются связными компонентами множества 578 А. Л. СКУБАЧЕВСКИЙ, Н. О. ИВАНОВ (0, d) \ ({j}n ∪ {d - j}n). В зависимости от значения θ получим один или два класса непересе- 1 1 кающихся подынтервалов. Если θ = 1, то получим один класс непересекающихся подынтервалов Q1k = (k - 1, k) при k = 1,... ,n + 1; если же 0 < θ < 1, то мы рассматриваем два класса непересекающихся подынтервалов: Q1k = (k - 1,k - 1+ θ) при k = 1,... ,n +1 и Q2k = (k - 1+ θ, k) при k = 1,... , n. Отметим, что все подынтервалы одного класса получаются друг из друга сдвигом на некоторое целое число. Пример 1.1. Пусть d = 2. Тогда n = 1, θ = 1. Получим один класс подынтервалов Q11 = (0, 1) и Q12 = (1, 2) (рис. 1). РИС. 1. θ =1 Пример 1.2. Пусть d = e. Тогда n = 2, θ = e - 2. Получим два класса подынтервалов Q11 = (0,e - 2), Q12 = (1,e - 1), Q13 = (2, e) и Q21 = (e - 2, 1), Q22 = (e - 1, 2) (рис. 2). РИС. 2. θ = e - 2 Через L2( J Qsk\ обозначим подпространство функций из L2(Q), равных нулю вне J Qsk, k k k = 1,... ,N (s), где N (1) = n + 1, N (2) = n; s = 1, 2, если 0 < θ < 1; s = 1, если θ = 1. Очевидно, L2( J Q1k \ = L2(Q), если θ = 1. Обозначим через Ps : L2(Q) → L2( J Qsk\ оператор k k ортогонального проектирования функций на L2( J Qsk\ в пространстве L2(Q). k Очевидно, L2(Q)= � L2( I Qsk\. (1.7) s k Заметим, что при θ =1 оператор P1 : L2(Q) → L2( J Q1k \ является единичным оператором. Здесь, k как и ранее, Q1k = (k - 1, k) при k = 1,... ,n + 1. Из определений введенных операторов и подынтервалов вытекает следующая лемма. Лемма 1.4. Пространство функций L2( J Qsk\ есть инвариантное подпространство опеk ратора RQ. Построим изоморфизм гильбертовых пространств 2 Us : L2( I Qsk\ → LN (Qs1), k определив вектор-функцию (Usu)(x) следующим равенством: (Usu)k (x)= u(x + k - 1), x ∈ Qsk, k = 1,... ,N ; (1.8) N LN 2 (Qs1)= ТТ k=1 L2(Qs1), ОБ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯХ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 579 где N = n +1 при s = 1; N = n при s = 2. Обозначим через Rs = Rs(x), x ∈ Qs1, матрицу порядка N (s) × N (s) с элементами rs ij (x)= aj-i(x + i - 1), x ∈ R; i, j = 1,... ,N (s). (1.9) Таким образом, матрица R1 = R1(x) имеет вид ⎛ ⎜ R1 = ⎜ a0(x) a1(x) ... an(x) a-1(x + 1) a0(x + 1) ... an-1(x + 1) . . . ⎞ ⎟ ⎟ , x ∈ R, ⎜ .. ⎝ ... . . . . ⎟ ⎠ a-n(x + n) a-n+1(x + n) ... a0(x + n) а матрица R2 = R2(x) имеет вид ⎛ ⎜ R2 = ⎜ a0(x) a1(x) ... an-1(x) a-1(x + 1) a0(x + 1) ... an-2(x + 1) . . . ⎞ ⎟ ⎟ , x ∈ R. ⎜ .. ⎝ ... . . . . ⎟ ⎠ a-n+1(x + n - 1) a-n+2(x + n - 1) ... a0(x + n - 1) Очевидно, матрица R2 может быть получена из матрицы R1 вычеркиванием последней строки и последнего столбца. В дальнейшем будем рассматривать матрицы R1(x) при x ∈ Q11, а R2(x) при x ∈ Q21. Лемма 1.5. Оператор RQs = UsRQU -1 : LN (Qs1) → LN (Qs1) является оператором умножеs 2 2 ния на квадратную матрицу Rs(x). Доказательство. Положим V ∈ LN (Qs1) и обозначим u = U -1V ∈ L2( J Qsk \ В силу (1.8) 2 s . k и (1.9) получим 1 (RQsV )i (x)= UsRQU - V (x)= (UsRQu) (x)= (RQu) (x + i - 1) = s i i N N ij = '\" al (x + i - 1)u(x + i - 1+ l)= '\" rs (x) (Usu)j ij (x)= '\" rs (x)Vj (x), x ∈ Qs1. l j=1 j=1 Здесь u(x + i - 1+ l)=0 при x + i - 1+ l ∈/ (0, d). Пусть A : H → H - ограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H. Назовем оператор A положительным (неотрицательным), если (Ax, x) > 0 ((Ax, x) ): 0) для всех x ∈ H, x ±= 0. Назовем оператор A положительно определенным, если (Ax, x) > c1(x, x) для всех x ∈ H. В случае оператора умножения на эрмитову матрицу в конечномерном пространстве понятия положительного и положительно определенного операторов совпадают. Q Лемма 1.6. Оператор RQ + R∗ : L2(Q) → L2(Q) является положительно определенным тоs гда и только тогда, когда матрицы Rs(x)+ R∗(x) положительно определены для всех x ∈ Qs1, если θ = 1; s = 1, 2, если 0 < θ < 1; R∗(x) - эрмитово сопряженные матрицы. s = 1, s s Определение 1.1. Будем говорить, что дифференциально-разностное уравнение (1) удовлетворяет условию сильной эллиптичности, если матрицы Rs(x)+ R∗(x) положительно определены для всех x ∈ Qs1, s = 1, если θ = 1; s = 1, 2, если 0 < θ < 1. Очевидно, условие сильной эллиптичности для уравнения (1) эквивалентно выполнению неравенства 1 Re(RsY, Y ) ): c1Y 2 (1.10) для всех x ∈ Qs1, s и Y ∈ CN (s), где s = 1, 2, если 0 < θ < 1, и s = 1, если θ = 1; c > 0 не зависит от x и Y ; (·, ·) и 1·, ·1 - скалярное произведение и норма в CN (s) соответственно. Далее будем предполагать, что уравнение (1) удовлетворяет условию сильной эллиптичности. 580 А. Л. СКУБАЧЕВСКИЙ, Н. О. ИВАНОВ Замечание 1.1. По своим свойствам и методам исследования краевые задачи для обыкновенных функционально-дифференциальных уравнений находятся значительно ближе к краевым задачам для эллиптических дифференциальных уравнений, чем к краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [15]). Например, если RQ - оператор умножения на вещественную гладкую функцию k(x) ±= 0, то уравнение (1) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение, соответствующий дифференциальный оператор будет самосопряженным, а его спектр - вещественным, дискретным и полуограниченным. Если же коэффициенты оператора RQ - вещественные числа, а матрицы Rs (s = 1, 2) симметричные, невырожденные, но не знакоопределенные, то соответствующий дифференциально-разностный оператор в уравнении (1) будет самосопряженным, а его спектр вещественным и дискретным, но не будет полуограниченным (см. [15, пример 23.2]). Таким образом, термин «сильно эллиптическое дифференциально-разностное уравнение» представляется оправданным. Определение 1.2. Краевую задачу (1), (2) будем называть второй краевой задачей для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения. 2 W k Пусть W k(Q) - пространство Соболева комплекснозначных функций из L2(Q), имеющих все обобщенные производные вплоть до k-ого порядка из L2(Q). Скалярное произведение для u, v ∈ 2 (Q) вводится по формуле 2 (Q) (u, v)W k k = '\" d r u(i)v(i)dx. i=0 0 2 Лемма 1.7. Пусть det Rs(x) ±= 0 при x ∈ Qs1, s = 1, 2, если 0 < θ < 1, и det R1(x) ±= 0 при x ∈ Q11, если θ = 1. Тогда оператор RQ : L2(Q) → L2(Q) имеет ограниченный обратный. Пусть, кроме того, w ∈ W k(Qsj ) (s = 1, 2; j = 1,... ,N (s), если 0 < θ < 1, и s = 1, j = 1,... , n+1, R если θ = 1). Тогда 2 Q -1w ∈ W k(Qsi) и 1R-1 Q w1W k � c0 N (s) '\" 1w1 k , (1.11) где c0 > 0 не зависит от w. 2 (Qsi ) j=1 W2 (Qsj ) Доказательство аналогично доказательству леммы 2.12 из [15, гл. 1, §2]. 2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВАРИАЦИОННОЙ ТЕОРИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ Ниже мы изложим некоторые определения и результаты, содержащиеся в [9, гл. 2, §9]. Пусть V и H - гильбертовы пространства, причем V непрерывно и плотно вложено в H. Пространство H совпадает со своим антидвойственным, и если V × антидвойственно к V, то поскольку V плотно в H, можно отождествить H с подпространством пространства V ×. Таким образом, V ⊂ H ⊂ V ×. Обозначим через (·, ·) скалярное произведение в H, а через |·| норму в H. Если f ∈ V ×, а v ∈ V, то действие антилинейного функционала f на v мы обозначим через (f, v⊗ . В случае f ∈ H, v ∈ V мы имеем (f, v⊗ = (f, v). Обозначим через (·, ·)V и 1· 1V скалярное произведение в пространстве V и норму в V соответственно. Пусть b(u, v) - полуторалинейная непрерывная форма в V × V. Определение 2.1. Полуторалинейная непрерывная форма b(u, v) в V × V называется V -эллиптической, если 1V Re b(u, u) ): α1u 2 (2.1) для любого u ∈ V, где α > 0 не зависит от u. Рассмотрим следующую задачу: найти элемент u ∈ V такой, что b(u, v)= (f, v⊗ (2.2) для любого v ∈ V, где f ∈ V ×. ОБ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯХ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 581 В силу непрерывности полуторалинейной формы b(u, v) в V × V мы можем представить ее в виде b(u, v)= (Au, v⊗ , u, v ∈ V, (2.3) где A : V → V × - линейный ограниченный оператор. Тогда задача нахождения решения u ∈ V, удовлетворяющего тождеству (2.2), эквивалентна линейному операторному уравнению вида Au = f. (2.4) Отметим, что в случае краевых задач для сильно эллиптических дифференциальных уравнений абстрактные задачи (2.2) и (2.4) служат эквивалентными определениями обобщенных решений. В разделе 3 мы используем эти формулировки для определения обобщенных решений второй краевой задачи для дифференциально-разностного уравнения. Лемма 2.1. Пусть полуторалинейная форма b(u, v) является V -эллиптической. Тогда для любого f ∈ V × существует единственное решение u ∈ V тождества (2.2), при этом 1u1V � c01f 1V × , (2.5) где c0 > 0 не зависит от f. Наряду с задачей о нахождении решения тождества (2.2) рассмотрим следующую задачу: найти элемент u ∈ V такой, что для любого v ∈ V, где λ ∈ C задано. b(u, v)+ λ(u, v)= (f, v⊗ (2.6) Определение 2.2. Полуторалинейная непрерывная форма b(u, v) в V × V называется V -коэрцитивной, если существуют константы λ0 ∈ R и α > 0 такие, что для любого u ∈ V. Из леммы 2.1 вытекает | Re b(u, u)+ λ0|u 2 1V ): α1u 2 (2.7) Следствие 2.1. Пусть полуторалинейная форма b(u, v) является V -коэрцитивной. Тогда при λ ∈ C таком, что Re λ ): λ0, для любого f ∈ V × существует единственное решение u ∈ V тождества (2.6), при этом где cλ > 0 не зависит от f. 1u1V � cλ1f 1V × , (2.8) Эквивалентное изложение абстрактного подхода к исследованию краевых задач для сильно эллиптических дифференциальных уравнений можно найти также в [5, гл. VI]. 3. РАЗРЕШИМОСТЬ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ Введем в W 1(0, d) × W 1(0, d) полуторалинейную форму по формуле 2 2 2 bR(u, v)= RQu×, v× L (0,d) . Лемма 3.1. Существует постоянная c1 > 0 такая, что выполнено неравенство |bR(u, v)| � c11u1W 1 1v1 1 , u, v ∈ W 1(0, d), (3.1) 2 (0,d) W2 (0,d) 2 2 где c1 > 0 не зависит от u и v. При этом для каждого c3 > 0 существует c2 > 0 такое, что для любой функции u ∈ W 1(0, d) выполнено неравенство типа Гординга 2 2 2 (0,d) Re bR(u, u)+ c31u1L2 (0,d) ): c21u1W 1 . (3.2) 2 Доказательство. В силу ограниченности оператора RQ : L2(0, d) → L2(0, d) (лемма 1.2) и неравенства Коши-Буняковского получим неравенство (3.1). Покажем, что для u ∈ W 1(0, d) выполняется оценка L (0,d) Re RQu×, u× 2 2 ): c1u×1L (0,d). 2 582 А. Л. СКУБАЧЕВСКИЙ, Н. О. ИВАНОВ Используя введенный по формуле (1.8) изоморфизм Us и неравенство (1.10), получим 2 Re RQu×, u× L (Q) = Re '\" s Rs(UsPsu)×, (UsPsu)× \ LN ): 2 (Qs1 ) ): c '\" (U P u)×, (U P u)×\ s s s s s LN 2 (Qs1 ) = c1u× 2 1L2 (Q) . (3.3) Из (3.3) следует неравенство (3.2). Замечание 3.1. Из неравенства (3.3) следует, что 2 1 2 Re bR(u, u) ): c1u×1L (0,d), u ∈ W2 (0, d). В силу леммы 3.1 полуторалинейная форма bR(u, v), u, v ∈ W 1(Q), является W 1(Q)-коэрцитив- 2 2 2 ной, при этом для любого λ0 > 0 существует α > 0 такое, что неравенство (2.7) выполняется при всех u ∈ W 1(Q). Дадим теперь определение обобщенного решения задачи (1), (2), предполагая, что f ∈ L2(Q). 2 2 Определение 3.1. Функцию u ∈ W 1(Q) будем называть обобщенным решением задачи (1), (2), если для всех v ∈ W 1(Q) выполняется интегральное тождество bR(u, v)= (f, v)L2 (Q). (3.4) Из раздела 2 следует, что форму bR(u, v) можно представить в виде 2 bR(u, v)= (ARu, v⊗ , u, v ∈ W 1(Q), (3.5) где AR : W 1(Q) → (W 1(Q))× - линейный ограниченный оператор. Таким образом, можно дать 2 2 следующее определение обобщенного решения задачи (1), (2), эквивалентное определению (3.1). 2 Определение 3.2. Функцию u ∈ W 1(Q) будем называть обобщенным решением задачи (1), (2), если ARu = f. (3.6) Теорема 3.1. Если уравнение (1) удовлетворяет условию сильной эллиптичности, то вторая краевая задача (1), (2) разрешима тогда и только тогда, когда d r f (x)dx = 0, (3.7) 0 2 при этом существует единственное обобщенное решение u ∈ W 1(Q) задачи (1), (2), удовлетворяющее условию d r u(x)dx = 0. (3.8) 0 Доказательство. 1. Рассмотрим операторное уравнение (AR + λ0I)u = f, (3.9) где Re λ0 > 0. Введем неограниченный оператор AR : L2(Q) ⊃ D(AR) → L2(Q) с областью определения 2 D(AR)= {u ∈ W 1(Q): ARu ∈ L2(Q)� , действующий по формуле ARu = ARu, u ∈ D(AR). 2 В силу W 1(Q)-коэрцитивности формы bR(u, v), следствия 2.1 и непрерывности вложения L2(Q) 2 в W 1(Q) × существует ограниченный обратный оператор (AR + λ0I)-1 : L2(Q) → L2(Q), при этом 2 (Q) 1u1W 1 � k11f 1L2 (Q) . (3.10) 2 Таким образом, спектр оператора AR принадлежит множеству Re λ ): 0. Кроме того, в силу компактности вложения W 1(Q) в L2(Q) и оценки (3.10) оператор (AR + λ0I)-1 : L2(Q) → L2(Q) ОБ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯХ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 583 компактный. Поэтому в силу теоремы 6.29 из [5, гл. III, §6] спектр σ(AR) состоит из изолированных собственных значений конечной кратности, а оператор R(λ, AR): L2(Q) → L2(Q) компактный при λ ∈/ σ(AR). 1. Определим сопряженную форму b∗ 1 R(u, v)= bR(v, u), u, v ∈ W2 (Q). Аналогично тождеству (2.3) мы получаем b∗ 1 R(u, v)= (A�R u, v⊗, u, v ∈ W2 (Q), (3.11) где A�R : W 1(Q) → W 1(Q) × - линейный ограниченный оператор. 2 2 Введем неограниченный оператор A�R : L2(Q) ⊃ D(A�R) → L2(Q) с областью определения 2 D(A�R)= {u ∈ W 1(Q): A�Ru ∈ L2(Q)}, действующий по формуле A�Ru = A�Ru, u ∈ D(A�R). Из определений операторов AR и A�R следует, что (ARu, v)L2 (Q) = bR(u, v)= b∗ (v, u)= (u, A�Rv)L (Q), u ∈ D(AR),v ∈ D(A�R). R Следовательно, A�R ⊂ A∗ R 2 и AR ⊂ (A�R)∗. Аналогично части 1 доказательства можно показать, что спектр σ(A�R) состоит из изолированных собственных значений конечной кратности. Таким образом, в силу леммы 13 из [1, гл. XIV, R §6] следует, что A�R = A∗ . 2. Докажем, что оператор AR фредгольмов и ind AR = 0. Напомним, что оператор AR называется фредгольмовым, если он замкнут, имеет замкнутый в L2(Q) образ R(AR), а его ядро N (AR) и коядро R(AR)⊥ конечномерны, при этом по определению ind AR = dim N (AR) - codim R(AR). Пусть λ0 < 0. Тогда λ0 ∈ ρ(AR). Как показано выше, оператор (AR - λ0I)-1 : L2(Q) → L2(Q) - компактный. Поэтому оператор AR(AR - λ0I)-1 = I + λ0(AR - λ0I)-1 является каноническим фредгольмовым оператором с нулевым индексом. Следовательно, оператор AR фредгольмов и ind AR = 0. R 4. Если v ∈ N (AR) и w ∈ N (A∗ ), то в силу (3.3), (3.5) и (3.11) v×(x) = w×(x) = 0 почти 2 всюду на (0, d). Следовательно, v(x) ≡ const и w(x) ≡ const почти всюду на (0, d). Для существования решения задачи (1), (2) необходимо и достаточно, чтобы (f, w)L2 (Q) = 0, при этом существует единственное обобщенное решение u ∈ W 1(Q) задачи (1), (2), удовлетворяющее условию d Г u(x)dx = 0. 0 Из доказательства теоремы 3.1 вытекает Следствие 3.1. Пусть уравнение (1) удовлетворяет условию сильной эллиптичности. Тогда оператор AR фредгольмов, ind AR = 0, dim N (AR)= 1 и 1 ∈ N (AR). 3. ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ НА ПОДЫНТЕРВАЛАХ Докажем, что гладкость обобщенных решений задачи (1), (2) сохраняется на подынтервалах Qsk. 2 2 Теорема 4.1. Пусть выполняется условие сильной эллиптичности (1.10), u ∈ W 1(0, d) - решение операторного уравнения (3.9) c Re λ0 > 0 и f ∈ L2(0, d). Тогда u ∈ W 2(Qsk) (s = 1, 2; k = 1,... ,N (s), N (1) = n + 1, N (2) = n, если 0 < θ < 1; s = 1; k = 1,... ,n + 1, если θ = 1), при этом справедлива оценка 1u1W 2 2 (Qsj ) � c41f 1L2 (0,d) . (4.1) Доказательство. Подставляя bR(u, v)= (RQu×, v×)L2 (0,d) в интегральное тождество bR(u, v)+ λ0(u, v)L2 (0,d) = (f, v)L2 (0,d), 584 А. Л. СКУБАЧЕВСКИЙ, Н. О. ИВАНОВ получим где f0 = f - λ0u. В силу (3.10) d r RQu×v×dx = 0 d r f0vdx, (4.2) 0 1f01L2 (0,d) � c11f 1L2(0,d). (4.3) Пусть s - фиксированное число. В интегральном тождестве (4.2) предположим, что v ∈ C∞( J Qsk\ 0 , а в случае 0 < θ < 1 положим дополнительно, что v(x) = 0 при x ∈/ k J Qsk. Из k равенства (1.8) и леммы 1.5 вытекает, что r R U P u×,U v× dx = r (U P f ,U v) dx, Qs1 s s s s Qs1 s s 0 s W 1,N где (·, ·) - скалярное произведение в CN , N = N (s). Следовательно, вектор-функция UsPsu ∈ 2 (Qs1) является обобщенным решением системы N обыкновенных дифференциальных уравнений - RsUsPsu× × (x)= (UsPsf0) (x), x ∈ Qs1, (4.4) N где W 1,N (Qs1)= ТТ W 1(Qs1). 2 2 j=1 Поскольку UsPsf0 ∈ LN (Qs1), то RsUsPsu× ∈ W 1,N (Qs1). Из неравенства (1.10) следует, что 2 2 det Rs 1. ±= 0, x ∈ Qs1, при этом по условию элементы матрицы Rs(x) - бесконечно дифференцируемые функции. Таким образом, UsPsu× ∈ W 1,N (Qs1) и UsPsu ∈ W 2,N (Qs1), т. е. u ∈ W 2(Qsk ), k = 1,... ,N (s). 2 2 2 Применяя формулу Лейбница к левой части равенства (4.4), имеем Rs(x)UsPsu××(x)= F (x), x ∈ Qs1, (4.5) где F (x)= UsPsf0(x) - R× (x)UsPsu×(x) ∈ LN (Qs1). s 2 Из неравенств (4.3) и (3.10) следует, что 1F 1LN � c21f 1L (Q). (4.6) 2 (Qs1 ) 2 Поскольку det Rs(x) ±= 0, x ∈ Qs1, из (4.5) и (4.6) следует, что 1u××1L2 (Qsj ) � c31f 1L2(Q). (4.7) Наконец, из неравенств (4.7) и (3.10) вытекает оценка (4.1). Из теоремы 4.1 следует, что обобщенное решение u(x) задачи (1), (2) также обладает соответствующей гладкостью на подынтервалах Qsk. Однако, поскольку в силу теоремы 3.1 это решение не является единственным, оценка (4.1) уже не имеет места. Таким образом, мы получаем следующий результат. 2 2 Следствие 4.1. Пусть выполняется условие сильной эллиптичности (1.10), а u ∈ W 1(0, d) - решение операторного уравнения (3.6), т. е. функция u является обобщенным решением задачи (1), (2), где f ∈ L2(0, d). Тогда u ∈ W 2(Qsk) (s = 1, 2; k = 1,... ,N (s), N (1) = n + 1, N (2) = n, если 0 < θ < 1; s = 1; k = 1,... ,n + 1, если θ = 1). Докажем теперь, что, если u(x) - обобщенное решение задачи (1), (2), то уравнение (1) выполняется почти всюду на (0, d), и справедливы краевые условия (2). 2 1 Следствие 4.2. Пусть имеет место неравенство (1.10), а u ∈ W 1(0, d) - обобщенное решение задачи (1), (2), где f ∈ L2(0, d). Тогда RQu× ∈ W2 (0, d), уравнение (1) удовлетворяется почти всюду на (0, d), при этом выполняются краевые условия (2). ОБ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯХ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 585 Доказательство. 0 1. Полагая, что в интегральном тождестве (3.4) v ∈ C∞(0, d), и используя определение обобщенной производной в пространстве распределений D×(0, d), получим (-(RQu×)×, v) = (f, v)L2 (0,d). 0 Поскольку f ∈ L2(0, d), а v ∈ C∞(0, d) - произвольная функция, имеем -(RQu×)×(x)= f (x) (4.8) почти всюду на (0, d) и (RQu×)× ∈ L2(0, d), т. е. 2 RQu× ∈ W 1(0, d). (4.9) 2 2. Положим теперь, что в интегральном тождестве (3.4) v ∈ W 1(0, d) - произвольная функция. Из (4.9) следует, что RQu× ∈ C[0, d]. Тогда, интегрируя по частям левую часть равенства (3.4), получим d d r r - (RQu×)×vdx + (RQu×)(d)v(d) - (RQu×)(0)v(0) = 0 0 fvdx. Отсюда и из (4.8) вытекает равенство (RQu×)(d)v(d) - (RQu×)(0)v(0) = 0. (4.10) 2 Поскольку v ∈ W 1(0, d) - произвольная функция, тождество (4.10) влечет за собой выполнение равенств (RQu×)(0) = (RQu×)(d)= 0. 5. ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ НА ИНТЕРВАЛЕ ЦЕЛОЙ ДЛИНЫ Для того, чтобы сформулировать результат о гладкости обобщенных решений на интервале целой длины d = n + 1, докажем вначале вспомогательные результаты, а перед этим введем некоторые обозначения. Рассмотрим блочную матрицу R1 порядка (n + 2) × (2n + 2) вида R1 R1 = ( � |R�2\ , где R�1, R�2 - матрицы порядка (n + 2) × (n + 1), которые имеют вид R�1 = R1(0) \ , 0 R�2 = 0 \ R1(1) , при этом 0 обозначает нулевую строку длины n + 1. Другими словами, ⎛ ⎜ a0(0) a1(0) ... an(0) 0 0 ... 0 a-1(1) a0(1) ... an-1(1) a0(1) a1(1) ... an(1) ⎜ ⎜ a-2(2) a-1(2) ... an-2(2) a-1(2) a0(2) ... an-1(2) ⎜ ⎜ ... ... ... ... ... ... ... ... ⎜ ⎝ a-n(n) a -n+1(n) ... a0(n) a -n+1(n) a-n+2(n) ... a1(n) ⎞ ⎟ ⎟ . ⎟ R1 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 0 0 ... 0 a-n(n + 1) a-n+1(n + 1) ... a0(n + 1) Обозначим через R1 (R2) матрицу порядка (n + 2) × (2n + 1), полученную из матрицы R1 вычер- 1 1 R0 киванием первого (последнего) столбца соответственно, а через 1 матрицу порядка (n + 2) × 2n, полученную из R1 вычеркиванием первого и последнего столбцов. Замечание 5.1. Первые n +1 столбцов матрицы R1 используются для описания линейных комбинаций правых производных решения в точках 0, 1,... , n, а последние n +1 столбцов матрицы R1 - для описания линейных комбинаций левых производных решения в точках 1, 2,... ,n + 1. Первая строка матрицы R1 задает линейную комбинацию значений правых производных в точках 0, 1,... , n, соответствующую краевому условию (RQu×)(0) = 0, а последняя строка этой матрицы 586 А. Л. СКУБАЧЕВСКИЙ, Н. О. ИВАНОВ задает линейную комбинацию значений левых производных в точках 1, 2,... ,n + 1, соответствующую краевому условию (RQu×)(d)= 0, см. (5.26). Строки матрицы R1 с номерами 2,... ,n задают равенства (RQu×)(i + 0) = (RQu×)(i - 0), i = 1,... , n, вытекающие из уравнения (1) и условия f ∈ L2(0, d), см. (5.18). Матрицы R1, R2 и R0 используются для подсчета числа линейно независи- 1 1 1 мых функций, которым должна быть ортогональна правая часть уравнения (1), чтобы обеспечить выполнение равенств u×(i + 0) = u×(i - 0), i = 1,... , n, т. е. гладкость обобщенных решений на всем интервале. Будем предполагать далее, что выполняется условие n '\" (|ak (0)| + |a-k (n + 1)|) ±= 0. (5.1) k=1 Замечание 5.2. Из условий (1.10), (5.1) следует, что рассматриваемое дифференциально-разностное уравнение (1) является уравнением нейтрального типа в точке x = 0 + 0 или в точке x = n +1 - 0. Действительно, из (1.10) следует, что a0(0) ±= 0, (5.2) a0(n + 1) ±= 0. (5.3) Из (5.1) следует существование числа m, 1 � m � n, такого, что либо am(0) ±= 0, (5.4) либо a-m(n + 1) ±= 0. (5.5) Пусть, например, выполнено неравенство (5.4). Обозначим через M, m � M � n, наибольшее число такое, что aM (0) ±= 0. Тогда в точке x = 0 + 0 уравнение (1) с точностью до производных первого порядка примет вид aM (0)u××(x + M )+ ··· + a0(0)u×× (x)+ ··· = f (x). (5.6) Сделаем замену переменных x + M = y. Тогда уравнение (5.6) примет канонический вид в точке y = M +0 aM (0)u×× (y)+ ··· + a0(0)u×× (y - M )+ ··· = f (y - M ). (5.7) 2 Поскольку aM (0) ±= 0 и в силу (5.2) a0(0) ±= 0, то уравнение (5.6) имеет нейтральный тип в точке x = 0 + 0 (см. [13, гл. II]). В случае выполнения неравенства (5.5) аналогично можно показать, что уравнение (1) имеет нейтральный тип в точке x = n +1 - 0. В силу теоремы 4.1 u ∈ W 2(Q1k ), k = 1,... ,n + 1. Поскольку мы рассматриваем уравнение (1) в достаточно малой правой полуокрестности точки x = 0, наши рассуждения являются обоснованными. 1 Лемма 5.1. Пусть выполнены условия (1.10) и (5.1). Тогда rank R1 = n +2 и rank R0 ): n + 1. Доказательство. 1. Докажем, что rank R1 = n+2. Рассмотрим минор Mn+2 порядка n+2 матрицы R1, составленный из первого столбца этой матрицы, а также (n + 2)-го, ... , (2n + 2)-го столбцов. В силу условия (1.10) Mn+2 = a0(0) det R1(1) ±= 0. Следовательно, rank R1 = n + 2. 1 2. Докажем теперь справедливость неравенства rank R0 ): n + 1. В силу условия (5.1) либо R0 выполняется неравенство (5.4), либо справедливо неравенство (5.5). Кроме того, в силу (1.10) det R2(1) ±= 0. Тогда (n + 1)-ая строка матрицы порядка (n + 1) × n, полученной из матрицы R1(1) вычеркиванием последнего столбца, равна нетривиальной линейной комбинации строк матрицы R2(1) порядка n × n. С другой стороны, (n + 2)-ая строка матрицы порядка (n + 2) × n, полученная из матрицы R�1 вычеркиванием первого столбца, является нулевой. Следовательно, она равна тривиальной линейной комбинации строк матрицы R2(1). Таким образом, (n + 2)-ая строка матрицы 1 1 не может быть равна линейной комбинации второй, третьей, ... , (n + 1)-ой строк этой матрицы. Это означает, что rank R0 ): n + 1. ОБ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯХ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 587 Рассмотрим матричное уравнение R1Φ= 0, (5.8) T где Φ := (ϕ0, ϕ1,... , ϕn, -ψ1, -ψ2,... , -ψn+1)T . Обозначим H1 := (a0(0), a-1(1),... , a-n(n), 0) и H2 := (0, an(1),... , a1(n), a0(n+1))T . Перенося в уравнении (5.8) члены ϕ0H1 и -ψn+1H2 в правую часть, получим R0 1Φ0 где Φ0 := (ϕ1,... , ϕn, -ψ1,... , -ψn)T . = -ϕ0H1 + ψn+1H2, (5.9) 1 В формулировке следующего вспомогательного результата мы будем предполагать, что rank R0 = n + 1, при этом rank R1 = rank R2 = n + 2. Обозначим через P 0 оператор ортогонального проек- 1 1 R1 тирования в Cn+2 на R(R0), т. е. на образ оператора умножения на матрицу R0. В силу условия 1 rank R0 = n+1 1 1 коразмерность R(R0) равна 1. Поэтому ненулевые векторы (I -P 1 0 )H1 и (I -P 0 )H2 R1 R1 линейно зависимы. Таким образом, существует число 0 ±= αH ∈ C такое, что (I - PR0 )H2 = αH (I - PR0 )H1, (5.10) 1 1 при этом в силу (1.10) a0(0) ±= 0 и a0(n + 1) ±= 0. Следовательно, векторы H1 и H2 линейно независимы. В силу теоремы Кронекера-Капелли система уравнений (5.9) совместна тогда и только тогда, когда ϕ0 = αHψn+1, (5.11) поскольку это равенство эквивалентно тому, что rank R0 = rank Re = n + 1, где Re - расширенная 1 1 1 матрица системы (5.9). Итак, мы получили следующий результат. 1 Лемма 5.2. Пусть выполнены условия (1.10) и (5.1). Пусть, кроме того, rank R0 = n + 1, при 1 этом rank R1 1 = rank R2 = n + 2. Тогда система уравнений (5.9) совместна тогда и только тогда, когда справедливо равенство (5.11). 2 Докажем теперь, что в случае ортогональности правой части уравнения (1) в пространстве L2(0, d) конечному числу некоторых линейно независимых функций существует обобщенное решение задачи (1), (2), принадлежащее пространству W 2(0, d), т. е. обладающее соответствующей гладкостью. Предположим, что выполняются следующие условия: n '\" k=1 |a-k (k)| ±= 0, n '\" k=1 |ak (n +1 - k)| ±= 0. (5.12) Замечание 5.3. Если коэффициенты ak (x) не зависят от x, то условие (5.1) следует из условий (5.12). Обозначим через G1 = G1(x) (G2 = G2(x)) j-й столбец матрицы порядка n × (n + 1), полуj j j j ченной из матрицы R1 = R1(x) вычеркиванием первой (последней) строки (j = 1,... ,n + 1). Из условий (5.12) следует, что G1(0) ±=0 и G2 (1) ±= 0. 1 Из следствий 4.1, 4.2 вытекает, что n+1 D(AR) = {u ∈ W 1(0, d): RQu× ∈ W 1(0, d), u ∈ W 2(Q1k ), k = 1,... ,n + 1, 2 2 2 (5.13) Пусть A0 (RQu×)(0) = (RQu×)(d)= 0� . : W 2(0, d) ⊃ D(A0 ) → L2(0, d) - ограниченный оператор с областью определения R 2 R ) = {u ∈ W (0, d): RQu ∈ W (0, d), (RQu )(0) = (RQu )(d)= 0� , действующий по формуле R D(A0 0 2 × 1 × × 2 2 0 ARu = ARu, u ∈ D(AR). Из (5.13) получим D(A0 )= D(AR) ∩ W 2(0, d). (5.14) R 2 Теорема 5.1. Пусть выполнены условия (1.10) и (5.1), а θ = 1. Предположим, что столбцы G1(0), G2 (1) линейно независимы. Тогда оператор A0 : W 2(0, d) ⊃ D(A0 ) → L2(0, d) 1 n+1 R 2 R R0 1 2 фредгольмов, 1 ∈ N (A0 ) и dim N (A0 ) = 1. Если к тому же rank = rank R = rank R , то R R 1 1 1 codim R(A0 )= 3; если же rank R0 < max {rank R1, rank R2� , то codim R(A0 )= 2. R 1 1 1 R 588 А. Л. СКУБАЧЕВСКИЙ, Н. О. ИВАНОВ Доказательство. R 1. Очевидно, функция u(x) ≡ 1 принадлежит D(A0 ). В силу следствия 3.1 выполнено 1 ∈ N (AR) и m N (AR) = 1. Таким образом, поскольку D(A0 ) ⊂ D(AR), мы заключаем, что пространство di R R N (A0 ) одномерно и состоит из констант. 2. Из части 1 доказательства теоремы 3.1 следует, что операторное уравнение (AR + λ0I)u = f (Re λ0 > 0) (5.15) имеет единственное решение uf ∈ D(AR) для любого f ∈ L2(0, d). В силу (5.14) это решение uf R принадлежит D(A0 ) тогда и только тогда, когда R Таким образом, N (A0 2 uf ∈ W 2(0, d). (5.16) + λ0I)= {0} , а условие принадлежности правой части уравнения (5.15) R образу R(A0 + λ0I) выражается соотношением (5.16). Перепишем это соотношение в виде условий ортогональности правой части уравнения (5.15) некоторым функциям из L2(0, d). По условию θ = 1. Тогда d = n + 1 и разбиение интервала (0, d) состоит из одного семейства подынтервалов Q1k = (k - 1, k), k = 1,... ,n + 1. В силу (5.13) и теоремы вложения uf ∈ W 2(Q1k ) ⊂ C1(Q ), k = 1,... ,n + 1. Поэтому определены значения производной u× (x) на 2 1k f концах подынтервалов Q1k. Обозначим ϕk = u× (k + 0), k = 0,... , n; ψk = u× (k - 0), k = 1,... ,n + 1. f f Условие (5.16) можно переписать в виде f (k + 0) = uf (k - 0), k = 1,... , n, т. е. u× × ϕk = ψk, k = 1,... , n. (5.17) С другой стороны, поскольку u ∈ D(AR), из (5.13) следует, что (RQu× )(k + 0) = (RQu× )(k - 0), k = 1,... , n. (5.18) f f В силу равенств (1.8) и леммы 1.5 соотношения (5.18) примут вид '\" r1 n+1 i+1,j (0)ϕj-1 = j=1 n+1 '\" j=1 i,j r1 (1)ψj , i = 1,... , n. (5.19) i,j Из равенств (1.9) следует, что r1 (1) = r 1 i+1,j+1 (0). Равенства (5.19) можно переписать следующим образом: r1 1 n '\" 1 1 n '\" 1 i+1,1(0)ϕ0 - ri,n+1(1)ψn+1 = j=1 (ri,j (1)ψj - ri+1,j+1(0))ϕj = j=1 ri,j (1)(ψj - ϕj ), i = 1,... , n. (5.20) Если выполняются равенства (5.17), из (5.20) следует, что ϕ0G1(0) - ψn+1G2 (1) = 0. (5.21) 1 n+1 По условию столбцы G1(0) и G2 (1) линейно независимы. Следовательно, т. е. 1 n+1 ϕ0 = 0, ψn+1 = 0, × uf (0 + 0) = 0, (5.22) × uf (n +1 - 0) = 0. (5.23) Таким образом, из условия (5.16) вытекает справедливость равенств (5.22), (5.23). С другой стороны, из равенств (5.22), (5.23), равенств (5.20) и невырожденности матрицы R2(1) (см. (1.10)) следуют равенства (5.17), т. е. условие (5.16). ОБ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯХ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 589 2 В силу теоремы вложения C1(Q1j ) ⊂ W 2(Q1j ), j = 1,n + 1. Таким образом, из неравенства (4.1) следует, что u× (0 + 0) и u× (n +1 - 0) являются линейными ограниченными функционалами, зависящими от f f ∈ L2 f (0, d). По теореме Рисса об общем виде функционала в гильбертовом пространстве существуют (определенные единственным образом) функции g1, g2 ∈ L2(0, d) такие, что × uf (0 + 0) = (f, g1)L2 (0,d), × uf (n +1 - 0) = (f, g2)L2 (0,d). Следовательно, равенства (5.22), (5.23) примут вид (5.24) (f, gi)L2 (0,d) = 0, i = 1, 2. (5.25) 3. Исследуем теперь, при каких условиях функции g1, g2 линейно независимы (то есть R codim R(A0 + λ0I) = 2) и при каких условиях они линейно зависимы, но |g1(x)| + |g2(x)| ±=0 R на множестве положительной меры (т. е. codim R(A0 + λ0I)= 1). Для этого вначале перепишем равенство (RQu×)(0) = (RQu×)(d)= 0 (5.26) в виде '\" r1 n+1 1,j (0)ϕj-1 = 0, (5.27) '\" r1 j=1 n+1 n+1,j (1)ψj = 0. (5.28) j=1 В силу (5.13) функция u ∈ W 1(0, d) такая, что u ∈ W 2(Q1k ), k = 1,... ,n + 1, принадлежит 2 2 D(AR) тогда и только тогда, когда выполняются равенства (5.19), (5.27) и (5.28), которые можно переписать в виде матричного уравнения (5.8). 1 3a. Рассмотрим случай rank R0 1 = rank R1 1 = rank R2. Докажем, что функции g1, g2 линейно независимы. Пусть α1g1 + α2g2 = 0, где α1, α2 ∈ C, т. е. α1(f, g1)L2 (0,d) + α2(f, g2)L2 (0,d) = 0 для любого f ∈ L2(0, d). Докажем, что тогда α1 = α2 = 0. Для того, чтобы установить справедливость последних равенств, достаточно показать, что существуют функции f1, f2 ∈ L2(0, d), обладающие свойством где δij - символ Кронекера. (fj, gi)L2 (0,d) = δij, (5.29) Докажем, например, что существует функция f1 ∈ L2(0, d) такая, что (f1, g1)L2 (0,d) = 1 и (f1, g2)L2 (0,d) = 0. Другими словами, нужно построить функцию f1 ∈ L2(0, d), для которой u× ϕ0 = 1, u× (n +1 - 0) := ψ�n+1 = 0. (5.30) f1 (0 + 0) := � f1 Введем 2n-мерный вектор Φ0 := (ϕ1,... , ϕn, -ψ1,... , -ψn)T с неизвестными координатами. По- ϕ0 лагая в (5.9) ϕ0 = � =1 и ψn+1 = ψ�n+1 =0 (см. (5.30)), получим 1 R0Φ0 = -H1, (5.31) T 0 2 где H1 = (a0(0), a-1(1),... , a-n(n), 0) . Из условия rank R1 = rank R1 и теоремы Кронекера- Капелли следует, что система уравнений (5.31) разрешима. Обозначим через Φ� 0 := ( � , ... , � , ψ1, ... , -ψn)T решение системы (5.31). ϕ1 ϕn - � � Докажем, что существует функция f1 ∈ L2(0, d) такая, что решение уравнения (5.15) uf1 удовлетворяет условию (5.30) и u× (j + 0) = � , u× (j - 0) = ψ�j , j = 1,... , n. Введем функцию f1 ϕj f1 ⎧ n n 1 '\" ϕ ⎪ j J ( \ ⎪⎨j=0 w(x) := (x - j) � ξ(x - j), x ∈ j=0 j, j + , 2 n+1 ⎪'\"(x - j)ψjξ(x - j), x ∈ ( n+1 J 1 \ - ,j , � ⎪⎩j=1 j j=1 2 590 А. Л. СКУБАЧЕВСКИЙ, Н. О. ИВАНОВ 0 где ξ ∈ C∞(R) - вещественнозначная функция, 0 � ξ(x) � 1, ξ(x) = 1, x ∈ [-1/8, 1/8], supp ξ ⊂ ϕ0 = 1, ψ�n+1 = 0, а числа � ,... , � , ψ� ,... , ψ� удовлетворяют системе линейных [-1/4, 1/4], � ϕ1 ϕn 1 n алгебраических уравнений (5.31). По построению w ∈ D(AR). Положим f1 := (AR + λ0I)w. Тогда, полагая uf1 := w, получим равенства (5.30). Аналогично, используя условие rank R0 = rank R1, можно построить функцию f2 ∈ L2(0, d), для которой 1 1 u× × f2 (0 + 0) = 0, uf2 (n +1 - 0) = 1. Таким образом, мы доказали, что в случае rank R0 = rank R1 = rank R2 оператор A0 + λ0I фред- R гольмов, dim N (A0 R + λ0I)=0 и codim R(A0 1 1 1 R + λ0I)= 2. 3b. Заметим, что в силу леммы 5.1 помимо изученного в пункте 3a случая возможен лишь случай rank R0 = n +1 < max {rank R1, rank R2� = n + 2. 1 1 1 Пусть вначале rank R0 = n + 1, при этом либо rank R1 = n + 2, rank R2 = n + 1, либо rank R1 = 1 1 1 1 1 n + 1, rank R2 1 = n + 2. Не ограничивая общности, будем предполагать, что rank R2 = n + 2, 1 rank R1 = n + 1. Тогда в силу теоремы Кронекера-Капелли система линейных алгебраических f1 уравнений (5.9) несовместна, если для некоторого f1 ∈ L2(0, d) выполняются равенства u× (0+0) = (f1, g1) ±= 0, т. е. для указанного f1 ∈ L2(0, d) и λ0 > 0 уравнение (5.15) не имеет решения f1 uf1 ∈ D(AR) такого, что u× (0 + 0) ±= 0. Таким образом, для λ0 > 0 и всех f ∈ L2(0, d) мы имеем f (0 + 0) = 0, т. е. g = 0. С другой стороны, rank R1 = n +1 = rank R0. Поэтому (f, g1)L2 (0,d) = u× 1 1 1 в силу теоремы Кронекера-Капелли система уравнений (5.9) совместна для любых f ∈ L2(0, d). Аналогично части 3a доказательства можно показать, что существует функция f2 ∈ L2(0, d) такая, 0 f2 что (f2, g2)L2 (0,d) = u× (n +1 - 0) = ψ�n+1 = 1, т. е. g2 ±= 0. Таким образом, оператор AR + λ0I R фредгольмов, dim N (A0 R + λ0I)=0 и codim R(A0 + λ0I)= 1. Точно так же рассматривается случай rank R2 = n + 1, rank R1 = n + 2. 1 1 3c. Пусть теперь rank R0 = n + 1, при этом rank R1 = rank R2 = n + 2. В силу леммы 5.2 си- 1 1 1 стема уравнений (5.9) совместна для любой f ∈ L2(0, d) тогда и только тогда, когда справедливо равенство (5.11). Аналогично части 3a доказательства можно показать, что существует функция f2 f2 ∈ L2(0, d) такая, что u× (n+1-0) = (f2, g2)L2 (0,d) = 1. Таким образом, уравнение (5.15) разреши- 2 мо тогда и только тогда, когда g1 = αHg2 ±= 0. При этом uf ∈ W 2(0, d) в том и только в том случае, ( 0 0 когда f, g2)L2 (0,d) = 0. Следовательно, оператор AR + λ0I фредгольмов, dim N (AR + λ0I)=0 и R codim R(A0 + λ0I)= 1. R 4. Остается доказать фредгольмовость оператора A0 и свойства его индекса. Действительно, A0 0 0 R = AR + λ0I - λ0I. Таким образом, оператор AR является суммой фредгольмова оператора A0 2 2 R + λ0I : W2 (0, d) → L2(0, d) и компактного оператора -λ0I : W2 (0, d) → L2(0, d). Поэтому в силу [7, теорема 16.4] оператор A0 : W 2(0, d) → L2(0, d) является фредгольмовым и ind A0 = R ind(A0 R 2 R + λ0I). R С другой стороны, в силу пункта 1 доказательства пространство N (A0 ) одномерно и состоит из констант. Поэтому codim R(A0 )= codim R(A0 +λ0I)+1. Следовательно, если rank R0 = rank R1 = R R 1 1 rank 1, то codim R(AR)= 3, а если rank R1 < max {rank R1, rank R1� , то codim R(AR )= 2. R2 0 0 1 2 0 Пример 5.1. Рассмотрим оператор RQ : L2(0, 3) → L2(0, 3), где Q = (0, 3), (Ru)(x) = a0u(x)+ a1u(x + 1) + a-1u(x - 1) + a2u(x + 2) + a-2u(x - 2), ai ∈ R, i = 0, ±1, ±2. Тогда n = 2, θ = 1, а матрица R1 имеет вид Следовательно, G1 = (a ⎛ a0 a1 a2⎞ R1 = ⎝a-1 a0 a1⎠ . a-2 a-1 a0 ,a )T и G2 = (a ,a )T . Матрица R определяется по формуле 1 -1 -2 ⎛ a0 a1 a2 0 0 R1 = ⎜a-1 a0 a1 a0 a1 3 2 1 ⎜a a a a 1 0 ⎞ . a2⎟ a a ⎟ ⎝ -2 -1 0 -1 0 1⎠ 0 0 0 a-2 a-1 a0 ОБ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯХ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 591 Будем предполагать, что оператор RQ удовлетворяет условию (1.10), а столбцы G1 и G2 линейно 1 3 независимы. Докажем, что тогда rank R0 = rank R1 = rank R2 = 4. (5.32) 1 1 1 1 Заметим, что, поскольку коэффициенты aj постоянные, из линейной независимости столбцов G1 3 и G2 следует выполнение условия (5.1). Очевидно, R0 ⎛ a1 a2 0 0 ⎞ ⎜ a0 a1 a0 a1 ⎟ 1 = ⎜a a a a ⎟ . ⎝ -1 0 -1 0 ⎠ 0 0 a-2 a-1 Матрица R1(R2) порядка 4 × 5 получается из матрицы R1 вычеркиванием первого (последнего) 1 1 столбца. Поэтому для доказательства равенств (5.32) достаточно показать, что 1 det R0 ±= 0. Действительно, det R0 = (a1a · a2)(a a · a a )= - det a0 a1\ det a-1 a2\ . 1 -1 0 1 -1 2 -2 a-1 a0 a-2 a1 Из условия (1.10) следует, что матрица 2a0 a1 + a-1\ a1 + a-1 2a0 положительно определена. Поэтому a0 a1\ С другой стороны, det a-1 a0 ±= 0. a-1 a2\ det a-2 a1 ±= 0, поскольку столбцы этой матрицы G1 = (a ,a )T и G2 = (a ,a )T по условию линейно независимы. 1 -1 -2 3 2 1 Таким образом, в силу теоремы 5.1 оператор A0 : W 2(0, 3) ⊃ D(A0 ) → L2(0, 3) фредгольмов, R 2 R 1 ∈ N (A0 ) и dim N (A0 )= 1, при этом codim R(A0 )= 3. Следовательно, ind A0 = -2. R R R R Замечание 5.4. Остается открытым вопрос: всегда ли в случае θ = 1 при выполнении усло- 1 вия (1.10) и линейной независимости столбцов G1 3 и G2 справедливо равенство (5.32) или есть примеры, когда равенство (5.32) не выполняется? Далее в этом разделе мы будем предполагать, что столбцы G1(0) и G2 (1) линейно зависимы. 1 n+1 В силу условий (5.12) G1(0) ±= 0, G2 (1) ±=0 и существует такое 0 ±= α ∈ C, что 1 n+1 G2 1 n+1(1) = αG1(0). (5.33) Теорема 5.2. Пусть выполнены условия (1.10), (5.1) и (5.12). Предположим, что столбцы G1 2 0 2 0 1(0) и Gn+1(1) линейно зависимы. Тогда оператор AR : W2 (0, d) ⊃ D(AR) → L2(0, d) фредгольмов, 1 ∈ N (A0 ) и dim N (A0 )= 1, при этом справедливы следующие утверждения: R R 1. Если rank R0 = rank R1 или rank R0 = rank R2, то codim R(A0 )= 2. 1 1 1 1 R 2. Если nk R0 = n + 1, rank R1 = rank R2 = n +2 и α ±= αH (см. (5.11)), то codim R(A0 )= 2. ra 1 1 1 R 3. и rank R0 = n + 1, rank R1 = rank R2 = n +2 и α = αH, то codim R(A0 )= 1. Есл 1 1 1 R Доказательство. R 1. Аналогично части 1 доказательства теоремы 5.1 мы заключаем, что пространство N (A0 ) одномерно и состоит из констант. 592 А. Л. СКУБАЧЕВСКИЙ, Н. О. ИВАНОВ R 2. Из части 1 доказательства теоремы 3.1 следует также, что операторное уравнение (5.15) имеет единственное решение uf ∈ D(AR) для любого f ∈ L2(0, d). В силу (5.14) это решение uf принадлежит D(A0 ) тогда и только тогда, когда R Таким образом, N (A0 2 uf ∈ W 2(0, d). (5.34) + λ0I)= {0} , а условие принадлежности правой части уравнения (AR + λ0I)u = f (5.35) R образу R(A0 + λ0I) выражается соотношением (5.34). Перепишем это соотношение в виде условий ортогональности правой части уравнения (5.35) некоторым функциям из L2(0, d). Сохраняя обозначения, введенные в доказательстве теоремы 5.1, для любого решения uf ∈ D(AR) уравнения (5.35) получим следующие равенства (см. (5.20)): r1 1 n '\" 1 1 n '\" 1 i+1,1(0)ϕ0 - ri,n+1(1)ψn+1 = j=1 (ri,j (1)ψj - ri+1,j+1(0))ϕj = j=1 ri,j (1)(ψj - ϕj ), i = 1,... , n. (5.36) Если выполняются равенства (5.17), из (5.36) следует, что ϕ0G1(0) - ψn+1G2 (1) = 0. (5.37) 1 В силу (5.12) и (5.33) G1(0) ±= 0, G2 n+1 1. ±= 0 и существует такое 0 ±= α ∈ C, что G2 (1) = 1 n+1 n+1 αG1(0). Таким образом, из (5.37) получим (ϕ0 - αψn+1)G1(0) = 0, т. е. 1 1 ϕ0 = αψn+1. (5.38) Другими словами, из условий (5.12) и (5.33) следует, что для получения решения уравнения (5.35), удовлетворяющего условию гладкости (5.34), правая часть уравнения (5.35) должна удовлетворять равенству (f, g)L2 (0,d) = 0, (5.39) f где g = g1 - αg2, а функции g1 и g2 определяются равенствами (f, g1)L2 (0,d) = u× (0 + 0) = ϕ0 и f (f, g2)L2 (0,d) = u× (n +1 - 0) = ψn+1. Обратно, пусть выполняется равенство (5.39). Тогда ϕ0 - αψn+1 = 0, т. е. ϕ0G1(0) = αψn+1G1(0) = ψn+1G2 (1). 1 1 n+1 Следовательно, справедливо равенство (5.37). Отсюда и из (5.36) в силу невырожденности матрицы R2(1) следует (5.17). Таким образом, если столбцы G1(0) и G2 (1) линейно зависимы, то 1 n+1 соотношение (5.34) выполняется тогда и только тогда, когда функция f ортогональна в L2(0, d) функции g = g1 - αg2 ∈ L2(0, d). 3. Рассмотрим вопрос о том, когда g ±= 0. Из доказательства теоремы 5.1 следует, что условия (5.18), (5.26) можно переписать в виде матричного уравнения (5.8). 3a. Рассмотрим случай, когда rank R0 = rank R1 или rank R0 = rank R2. Не ограничивая общно- 1 1 1 1 сти, будем предполагать, что rank R0 = rank R2. Докажем, что g ±= 0. 1 1 Для этого достаточно доказать существование функции ∈ L (0, d) такой, что (f ,g ) =1 f0 2 0 1 L2 (0,d) ( = 0, т. е. (f , g) = 1. Другими словами, достаточно построить функцию и f0, g2)L2 (0,d) 0 L2 (0,d) f0 ∈ L2(0, d), для которой u× ϕ0 = 1, u× (n +1 - 0) := ψ�n+1 = 0. (5.40) f0 (0 + 0) := � f0 T Введем 2n-мерный вектор Φ0 := (ϕ1,... , ϕn, -ψ1,... , -ψn)T с неизвестными координатами. Обозначим H1 := (a0(0), a-1(1),... , a-n(n), 0) получим � . Полагая в (5.9) ϕ0 = ϕ0 = 1 и ψn+1 = ψ�n+1 = 0, R0 0 1Φ = -H1. (5.41) 1 Из условия rank R0 1 = rank R2 и теоремы Кронекера-Капелли следует, что система уравнений (5.41) разрешима. Обозначим через Φ� 0 := ( � ,... , � , -ψ� ,... , -ψ� )T решение системы (5.41). ϕ1 ϕn 1 n Докажем, что существует функция f0 ∈ L2(0, d) такая, что при f = f0 решение уравнения (5.35) uf0 удовлетворяет условию (5.40) и u× (j + 0) = � , u× (j - 0) = ψ�j , j = 1,... , n. f0 ϕj f0 ОБ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯХ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 593 Введем функцию ⎧ n n 1 '\" ϕ ⎪ j J ( \ ⎪⎨j=0 w(x) := (x - j) � ξ(x - j), x ∈ j=0 j, j + , 2 n+1 ⎪'\"(x - j)ψjξ(x - j), x ∈ ( n+1 J 1 \ - ,j , � ⎪⎩j=1 j j=1 2 0 где ξ ∈ C∞(R) - вещественнозначная функция, 0 � ξ(x) � 1, ξ(x) = 1, x ∈ [-1/8, 1/8], supp ξ ⊂ ϕ0 = 1, ψ�n+1 = 0, а числа � ,... , � , ψ� ,... , ψ� удовлетворяют системе линейных [-1/4, 1/4], � алгебраических уравнений (5.41). ϕ1 ϕn 1 n По построению w ∈ D(AR). Положим f0 := (AR + λ0I)w. Полагая uf0 := w, получим ра- 1 венства (5.40). Таким образом, мы доказали, что в случае rank R0 1 = rank R2 выполняется со- R отношение g ±= 0. Следовательно, оператор A0 R + λ0I фредгольмов, dim N (A0 + λ0I) = 0 и R codim R(A0 + λ0I)= 1. 3b. Пусть теперь nk R0 = n +1 и при этом rank R1 = rank R2 = n + 2. В силу леммы 5.2 ra 1 1 1 2 система уравнений (5.9) совместна для любой f ∈ L2(0, d) тогда и только тогда, когда справедливо равенство (5.11). С другой стороны, uf ∈ W 2(0, d) в том и только в том случае, когда выполняется равенство (5.38). Рассмотрим вначале случай α ±= αH . В силу (5.24) условие (5.38) можно записать в виде (f, g)L2 (0,d) = ϕ0 -αψn+1 = u× (0+0)-αu× (n+1-0) = 0. Докажем, что g ±= 0. Для этого достаточно f f доказать существование функции f1 ∈ L2(0, d) такой, что (f1, g1)L2 (0,d) = αH и (f1, g2)L2 (0,d) = 1. Другими словами, достаточно построить функцию f1 ∈ L2(0, d), для которой u× ϕ0 = αH, u× (n +1 - 0) := ψ�n+1 = 1. (5.42) f1 (0 + 0) := � f1 Тогда (f1, g)L2 (0,d) = (f1, g1 - αg2)L2 (0,d) = (f1, g1 - αH g2)L2 (0,d) + (f1, (αH - α)g2)L2 (0,d) = (αH - α)(f1, g2)L2 (0,d) = αH - α ±= 0. Введем 2n-мерный вектор Φ0 := (ϕ1,... , ϕn, -ψ1,... , -ψn)T с неизвестными координатами. По- ϕ0 лагая в (5.9) ϕ0 = � = αH и ψn+1 = ψ�n+1 = 1, получим R0 0 1Φ = -αHH1 + H2. (5.43) Из условия (5.11) и леммы 5.2 следует, что система уравнений (5.43) разрешима. Обозначим через Φ�0 := ( � ,... , � , -ψ� ,... , -ψ� )T решение системы (5.43). ϕ1 ϕn 1 n Аналогично части 3a можно доказать существование функции f1 ∈ L2(0, d) такой, что при f = f1 решение уравнения (5.35) uf1 удовлетворяет условию (5.42) и u× (j + 0) = � , u× (j - 0) = ψ�j , j = f1 ϕj f1 Следовательно, g ±= 0. Таким образом оператор A0 +λ0I фредгольмов, dim N (A0 +λ0I)=0 1,... , n. R и codim R(A0 R R + λ0I)= 1. Рассмотрим, наконец, случай α = αH. В этом случае для любой f ∈ L2(0, d) решение урав- 2 нения (5.35) uf удовлетворяет системе уравнений (5.9). Поэтому в силу леммы 5.2 и равенства α = αH справедливо равенство (5.38), которое гарантирует, что uf ∈ W 2(0, d) для любых R f ∈ L2(0, d). Таким образом, оператор A0 R + λ0I имеет ограниченный обратный (A0 + λ0I)-1 : L2(0, d) → D(A0 ). Следовательно, dim N (A0 + λ0I)=0 и R(A0 + λ0I)= L2(0, d). R R R R 4. Доказательство свойств оператора A0 следует из [7, теорема 16.4] и следствия 3.1. Авторы благодарят рецензентов за ряд замечаний, способствовавших улучшению работы.