О неравенстве Гельдера в лебеговых пространствах с переменным порядком суммируемости

Аннотация

В статье вводится новый вариант определения квази-нормы (в частности, нормы) в лебеговых пространствах с переменным порядком суммируемости и с его помощью доказывается аналог неравенства Гельдера для таких пространства, более общий и более точный по сравнению с известными ранее.

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение 472 2. Основные результаты 474 3. Примеры 479 Список литературы 480 1. ВВЕДЕНИЕ В последние три десятилетия проявляется значительный интерес к изучению лебеговых пространств с переменным порядком суммируемости, представляющих интерес как с точки зрения развития теории функциональных пространств (см., например, [1, 6-8, 10, 11, 13, 14, 16, 17]), так и с точки зрения применений к теории дифференциальных и интегральных уравнений (см., например, [2, 4, 12, 15]). Историю вопроса и подробное изложение теории лебеговых пространствах с переменным порядком суммируемости можно найти в книгах [9, 12]. Одной из первых работ в этом направлении была статья [5]. Всюду в этой статье Ω ⊂ Rn - это измеримое по Лебегу множество, а p, q : Ω → (0, ∞] - измеримые по Лебегу функции. В случае, когда p :Ω → (0, ∞), стандартное определение лебеговых пространств с переменным порядком суммируемости Lp(·)(Ω) имеет следующий вид: f ∈ Lp(·)(Ω), если f :Ω → C, f измерима по Лебегу на Ω и |f (x)| p(x) ±f ±Lp(·) (Ω) = inf λ> 0: λ Ω dx � 1 < ∞. (1.1) { ∈ ∞} ∈ В случае, когда p :Ω → [1, ∞], О. Ковачик и Й. Ракосник [13, с. 593] дополнили это определение и дали следующее определение. Пусть Ω = x Ω : p(x) = . Тогда f LKR(Ω), если ∞ p(·) f :Ω → C, f измерима по Лебегу на Ω и KR ±f ±Lp( )(Ω) = inf λ> 0: |f (x)| p(x) λ dx + f λ � 1 < ∞. (1.2) · Ω\Ω∞ ∞ ∞ L (Ω ) © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 472 О НЕРАВЕНСТВЕ ГЕЛЬДЕРА В ЛЕБЕГОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С ПЕРЕМЕННЫМ ПОРЯДКОМ СУММИРУЕМОСТИ 473 Отметим, что LKR(Ω) = Lp( )(Ω \ Ω ) ∩ L (Ω ), это нормированное пространство с нормой p(·) ±f ±Lp( ) (Ω) и KR · · ∞ ∞ ∞ max { f ±Lp( )(Ω\Ω � � ±f ± ), ±f ±L (Ω ) KR � ±f ±L (Ω Ω ) + ±f ±L (Ω ). (1.3) ± · ∞ ∞ ∞ Lp(·) (Ω) p(·) \ ∞ ∞ ∞ В частности, если p :Ω → [1, ∞), то KR · ±f ±Lp( )(Ω) = ±f ±Lp(·)(Ω\Ω∞ ), (1.4) а если p(x)= ∞ для любых x ∈ Ω, то KR · ±f ±Lp( ) (Ω) = ±f ±L∞(Ω∞). (1.5) В [13, с. 594-595] доказан приводимый ниже вариант неравенства Гельдера для пространств Lp(·)(Ω). Пусть Ω1 = {x ∈ Ω : p(x) = 1}, Ω∗ = Ω \ (Ω1 ∪ Ω∞); p∗ = ess inf p(x), p∗ = ess sup p(x), x∈Ω∗ если meas Ω∗ > 0, и p∗ = p∗ = 1, если meas Ω∗ = 0. Считается также, что Теорема 1.1. Пусть p :Ω → [1, ∞]. Тогда 1 = 0. ∞ x∈Ω∗ 1. KR KR · |f (x)g(x)|dx � Kp(·)±f ±Lp(·)(Ω)±g±Lpt ( )(Ω) (1.6) Ω для любых f ∈ Lp(·)(Ω), g ∈ Lpt(·)(Ω), где K(1) 1 1 p p(·) = ±χΩ1 ±L∞(Ω) + ±χΩ∗ ±L∞ (Ω) + ±χΩ∞ ±L∞ (Ω) + ∗ - p∗ , (1.7) χG обозначает характеристическую функцию множества G, а p!(·) - показатель, сопряженp(x) - ный к p(·): p!(x) = p(x) p(x)= ∞. 1 , если 1 < p(x) < ∞, p!(x) = ∞, если p(x) = 1, и p!(x) = 1, если В [9, с. 27-28] неравенство (1.6) доказано с немного большей постоянной K(2) 1 1 - p(·) = ±χΩ1 ±L∞ (Ω) + ±χΩ∞ ±L∞ (Ω) + ±χΩ∗ ±L∞ (Ω) 1+ p p (1.8) вместо K(1) , где p = ess inf p(x), p = ess sup p(x). (Если meas Ω1 = meas Ω = 0, то K(2) = K(1) , p(·) x∈Ω x∈Ω ∞ p(·) p(·) а если meas Ω1 > 0 или meas Ω∞ > 0, то может оказаться, что p < p∗ или p > p∗, и тогда K(2) (1) p(·) > Kp(·).) Таким образом, 1 - 1 � K(1) � K(2) � 4. Если p :Ω → (1, ∞), то K(2) = K(1) 1 1 =1 + - и p∗ p∗ p(·) p(·) p(·) p(·) p p неравенство (1.6) принимает вид |f (x)g(x)|dx � Ω - 1+ 1 1 ±f KR ±g KR . (1.9) · · p p ±Lp( )(Ω) ±Lpt( )(Ω) В [9, с. 28-29] также доказано приводимое далее следствие из неравенства (1.6) (с K(2) p(·) вместо K(1) ). p(·) p(x)q(x) Следствие 1.1. Пусть p, q :Ω → [1, ∞], для любых x ∈ Ω p(x) � q(x), r(x)= q(x) , если - p(x) p(x) < q(x) < ∞, r(x)= 1, если p(x) < q(x)= ∞, и r(x)= ∞, если p(x)= q(x). Тогда KR (3) KR KR ±fg±Lp(·) (Ω) � Kp(·),q(·)±f ±Lq(·) (Ω)±g±Lr(·) (Ω) (1.10) для любых f ∈ Lq(·)(Ω) и g ∈ Lr(·)(Ω), где K(3) (2) p(·),q(·) = Ks(·) + 1, (1.11) 474 В. И. БУРЕНКОВ, Т. В. ТАРАРЫКОВА а s(x) = q(x) p(x) , если p(x) < ∞, q(x) < ∞, s(x) = 1, если p(x) = q(x), и s(x) = ∞, если p(x) < ∞, q(x)= ∞. Целью данной работы является введение нового варианта определения квази-нормы (в частности, нормы) в пространствах Lp(·)(Ω) и доказательство с его помощью более общих и более точных аналогов неравенства Гельдера для этих пространств по сравнению с неравенствами (1.6) и (1.10). 2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ p(·) В данной статье, в отличие от [13], мы будем пользоваться определением (1.1) пространств Lp(·)(Ω) и в случае, когда p : Ω → (0, ∞], считая, что a∞ = 0 для 0 � a < 1, 1∞ = 1, a∞ = ∞ для a > 1 и что интеграл по множеству нулевой лебеговой меры равен 0 для любой функции ϕ :Ω → [0, ∞]. Соответственно, для p :Ω → (0, ∞] мы говорим, что f ∈ LBT (Ω). если f :Ω → C, f измерима по Лебегу на Ω и ±f ±Lp( )(Ω) = inf BT · λ> 0: |f (x)| p(x) dx λ < ∞. (2.1) Отметим, что LBT (Ω) = Lp( )(Ω\Ω )∩L (Ω Ω ), это квази-нормированное пространство с квазиp(·) BT · ∞ ∞ ∞ BT KR нормой ±f ±Lp( )(Ω) (нормой, если p(x) � 1 на Ω). Таким образом, пространства Lp(·)(Ω) и Lp(·) (Ω) совпадают как· множества. Мы также будем пользоваться следующим обозначением. Для любого измеримого по Лебегу множества G ⊂ Ω и λ> 0 в частности, ρλ(p(·), f, G)= G |f (x)| p(x) λ dx, ρλ(p(·), f, Ω∞)= |f (x)| ∞ λ dx. G∞ Если ±f ±L∞(Ω) < ∞, то для любого λ > ±f ±L∞(Ω) неравенство некотором подмножестве Gλ ⊂ Ω∞ полной меры и |f (x)| < 1 выполняется на λ ρλ(p(·), f, Ω∞)= |f (x)| ∞ λ dx = 0, Gλ а при λ < ±f ±L∞ (Ω) существует такое подмножество Hλ ⊂ Ω положительной меры, что |f (x)| > λ для любых x ∈ Hλ и ρλ(p(·), f, Ω) = Ω В этих обозначениях |f (x)| p(x) λ dx � Hλ |f (x)| ∞ λ dx = ∞. · BT ±f ±Lp( )(Ω) = inf{λ > 0: ρλ(p(·), f, Ω) � 1}. Лемма 2.1. Пусть p : Ω → (0, ∞]. Тогда для любой функции f ∈ LBT (Ω) = Lp( )(Ω \ Ω ) ∩ L∞(Ω∞) справедливо равенство BT p(·) · ∞ Доказательство. · ±f ±Lp( ) (Ω) = max{±f ±Lp(·) (Ω\Ω∞), ±f ±L∞ (Ω∞)}. (2.2) 1. Пусть σ : (0, ∞) → (0, ∞) - невозрастающая функция и λ0 > 0. Если σ(λ0) � 1, то {λ � λ0 : σ(λ) � 1} = [λ0, ∞), {λ > λ0 : σ(λ) � 1} = (λ0, ∞), а если σ(λ0) > 1, то λ0 ∈/ {λ � λ0 : σ(λ) � 1} и {λ � λ0 : σ(λ) � 1} = {λ > λ0 : σ(λ) � 1}. О НЕРАВЕНСТВЕ ГЕЛЬДЕРА В ЛЕБЕГОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С ПЕРЕМЕННЫМ ПОРЯДКОМ СУММИРУЕМОСТИ 475 В обоих случаях inf{λ � λ0 : σ(λ) � 1} = inf{λ > λ0 : σ(λ) � 1}. (2.3) 2. Как отмечено выше, если λ < ±f ±L∞(Ω∞), то Ω∞ |f (x)| ∞ λ dx = ∞, а если λ > ±f ±L∞(Ω∞), то |f (x)| ∞ λ Ω∞ dx = 0, поэтому с учетом равенства (2.3) имеем BT J ±f ±Lp( ) (Ω) = inf λ> 0: · |f (x)| p(x) λ dx + |f (x)| ∞ λ 1 dx � = λ = inf J = inf J � ±f ±L∞ ±f ±L (Ω∞) : (Ω ) : Ω\Ω∞ Ω\Ω∞ |f (x)| p(x) λ |f (x)| p(x) Ω∞ dx + Ω∞ dx + |f (x)| ∞ λ |f (x)| ∞ 1 dx � = 1 dx � = λ > ∞ ∞ λ Ω\Ω∞ λ Ω∞ f (x)| p(x) λ> = inf J ±f ±L∞ (Ω∞) : | λ Ω\Ω∞ dx � 1 = = inf{λ > ±f ±L∞(Ω∞ ) : ρλ(p(·), f, Ω \ Ω∞) � 1}. 3. Пусть ±f ±Lp(·)(Ω\Ω∞ ) � ±f ±L∞(Ω∞). Тогда ρλ(p(·), f, Ω\Ω∞) � 1 для любого λ> ±f ±L а значит, и для любого λ> ±f ±L∞ (Ω∞). Поэтому {λ > ±f ±L∞(Ω∞ ) : ρλ(p(·), f, Ω \ Ω∞) � 1} = (±f ±L∞ (Ω∞), ∞) p(·) (Ω\Ω∞), и согласно п. 2 ±f ±Lp( ) (Ω) = ±f ± ∞ ∞ . (2.4) BT L (Ω ) · 4. Пусть ±f ±Lp(·)(Ω\Ω∞ ) > ±f ±L∞ (Ω∞). Тогда ρλ(p(·), f, Ω\Ω∞) > 1 для любого λ< ±f ±L и с учетомравенства (2.3) p(·) (Ω\Ω∞), {λ> ±f ±L∞ (Ω∞) : ρλ(p(·), f, Ω \ Ω∞) � 1} = = {λ � ±f ±Lp(·)(Ω\Ω∞ ) : ρλ(p(·), f, Ω \ Ω∞) � 1} = = {λ > ±f ±Lp(·)(Ω\Ω∞ ) : ρλ(p(·), f, Ω \ Ω∞) � 1} = (±f ±Lp(·) (Ω\Ω∞ ), ∞). Поэтому согласно п. 2 ±f ±Lp( )(Ω) = ±f ± p(·) \ ∞ . (2.5) BT L (Ω Ω ) · Равенства (2.4) и (2.5) означают, что выполняется равенство (2.2). Замечание 2.1. Если p(x)= ∞ для любых x ∈ Ω, то согласно (2.2) ±f ±Lp( )(Ω) = ±f ± ∞ . (2.6) BT L (Ω) · ±Lp(·)(Ω) · Замечание 2.2. Пусть p :Ω → [1, ∞]. Тогда ±f BT является нормой на Lp( )(Ω), эквивалент- ±Lp(·) (Ω) ной норме ±f KR . Действительно, согласно (1.3) и (2.2) 1 KR BT KR 2 ±f ±Lp(·)(Ω) � ±f ±Lp(·)(Ω) � ±f ±Lp(·)(Ω). (2.7) Замечание 2.3. Пусть Ω = Ω1 ∪ Ω∞, Ω1 ∩ Ω∞ = 0, meas Ω1 < ∞, meas Ω∞ > 0, a1, a2 � 0; p(x)= 1, f (x)= a1 на Ω1; p(x)= ∞, f (x)= a∞ на Ω∞. Тогда KR J a1 a∞ · ±f ±Lp( )(Ω) = inf λ > 0: Ω1 dx + λ λ � 1 = L∞(Ω∞) = inf{λ > 0: a1 meas Ω1 + a∞ � λ} = a1 meas Ω1 + a∞ 476 В. И. БУРЕНКОВ, Т. В. ТАРАРЫКОВА и · BT ±f ±Lp( ) (Ω) = max{±f ±L1 (Ω1 ), ±f ±L∞ (Ω∞)} = max{a1 meas Ω1, a∞}. Если a1, a∞ > 0, то BT KR · ±f ±Lp( )(Ω) < ±f ±L p(·) (Ω), KR BT причем если a1 meas Ω1 = a∞, то ±f ±Lp( ) (Ω) = 2±f ±L (Ω) и левое неравенство в (2.7) обращается в равенство. · p(·) Если же a1 =0 или a∞ = 0, то правое неравенство в (2.7) обращается в равенство. Пусть Ω ⊂ Rn - измеримое множество, α, X, Y - неотрицательные измеримые на Ω функции, α(x) � 1, α = ess inf α(x), α = ess sup α(x). X(x) dx � 1, Ω Y (x) dx � 1, Ω x∈Ω x∈Ω В приводимых ниже рассуждениях мы будем часто пользоваться следующим простым неравенством: (α(x)X(x)+ (1 - α(x))Y (x)) dx � 1+ α - α. (2.8) Ω При α(x)=0 или α(x)=1 может встретиться произведение 0 · ∞. В этом случае мы считаем, что 0 ·∞ = 0. Если Ω1 и Ω2 - не пересекающиеся измеримые по Лебегу подмножества Ω, X(x)= 0 на Ω \ Ω1, Ω1 X(x) dx = 1; Y (x)=0 на Ω \ Ω2, Ω2 Y (x) dx = 1, и α(x)= α на Ω1, α(x)= α на Ω2, то неравенство (2.8) обращается в равенство. Теорема 2.1. Пусть Ω ⊂ Rn - измеримое по Лебегу множество; p, q : Ω → (0, ∞] - измеримые по Лебегу функции такие, что · для любых x ∈ Ω 0 < p(x) � q(x) � ∞; p(x)q(x) • r(x) = q(x) - p(x) , если p(x) < q(x) < ∞, r(x) = p(x), если p(x) < q(x) = ∞, и r(x) = ∞, если p(x)= q(x); · m = ess inf x∈Ω Если p > 0, то p(x) q(x) , M = ess sup x∈Ω BT p(x) q(x) , p= ess inf p(x). x∈Ω 1 p BT BT · ±fg±Lp( ) (Ω) � (1 + M - m) для любых f ∈ LBT (Ω) и g ∈ LBT (Ω). ±f ±L q(·) (Ω)±g±L r(·) (Ω) (2.9) q(·) Доказательство. r(·) Шаг 1. Пусть сначала 0 < p(x) < q(x) < ∞ для любых x ∈ Ω, при этом Ω∗ = Ω. Воспользуемся неравенством Юнга где a, b � 0, s > 1 и s! = s s . Пусть - 1 ab � BT as bst + , s s! BT · λ> ±f ±Lq( ) (Ω), μ > ±g±L r(·) (Ω). (2.10) Полагая s = q(x) , a = |f (x)| p(x) и b = |g(x)| p(x), получим, что s! = q(x) r(x) = и p(x) λ μ q(x) - p(x) p(x) |f (x)| |g(x)| p(x) � p(x) |f (x)| q(x) + p(x) |g(x)| r(x). λ · μ q(x) λ 1 - q(x) μ О НЕРАВЕНСТВЕ ГЕЛЬДЕРА В ЛЕБЕГОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С ПЕРЕМЕННЫМ ПОРЯДКОМ СУММИРУЕМОСТИ 477 Следовательно, |f (x)g(x)| p(x) dx � 1 - p(x) |f (x)| q(x) + p(x) |g(x)| r(x) dx. (2.11) λμ q(x) λ Ω Ω q(x) μ Согласно (2.10) и определению пространств LBT (Ω) и LBT (Ω) имеем Ω В силу неравенства (2.8) с q(·) |f (x)| q(x) dx � 1, λ Ω r(·) |g(x)| r(x) dx � 1. μ α(x)= p(x) q(x) )= , X(x |f (x)| q(x) λ , Y (x)= |g(x)| μ r(x) из неравенства (2.11) следует, что |f (x)g(x)| p(x) dx � 1+ M λμ Ω - m. Значит, поскольку (1 + M - m)- p(x) p � (1 + M - m)-1 для почти всех x ∈ Ω, |f (x)|·|g(x)| p(x) 1 dx � 1 |f (x)|·|g(x)| p(x) dx � 1 p Ω (1 + M - m) λμ и (1 + M - m) λμ Ω 1 BT p · ±fg±Lp( )(Ω) � (1 + M - m) λμ. (2.12) Взяв инфимум по всем рассматриваемым λ и μ, получим неравенство (2.9). Шаг 2. Пусть теперь 0 < p(x) � q(x) < ∞ для любых x ∈ Ω, G1 = {x ∈ Ω : p(x) < q(x)}, G2 = {x ∈ Ω : p(x) = q(x)} и выполняются неравенства (2.10). Согласно неравенству (2.8) с Ω, замененным на G1, и с учетом того, что для почти всех x ∈ G2 согласно равенству (2.6) BT BT · |g(x)| � ±g±L∞(G2 ) = ±g±Lr( )(G2 ) � ±g±L r(·) (Ω), (2.13) следовательно, |g(x)| < 1, получим, что μ |f (x)g(x)| p(x) dx = |f (x)g(x)| p(x) dx + |f (x)| p(x) |g(x)| p(x) dx � λμ λμ λ μ Ω G1 G2 p(x) |f (x)| q(x) + p(x) |g(x)| r(x) dx + p(x) |f (x)| q(x) dx � q(x) λ G1 1 - q(x) μ q(x) λ � G2 p(x) |f (x)| q(x) + 1 p(x) |g(x)| r(x) dx. (2.14) � q(x) λ Ω - q(x) μ Далее, используя неравенство (2.8), с учетом неравенств (2.10), как в шаге 1, получим неравенство (2.12) и, значит, и неравенство (2.9). Шаг 3. Пусть далее 0 < p(x) � q(x) � ∞ и p(x) < ∞ для любых x ∈ Ω, G3 = {x ∈ Ω, q(x) < ∞}, G4 = {x ∈ Ω, q(x) = ∞} и выполняются неравенства (2.10). Согласно неравенству (2.14) с Ω, замененным на G3, и с учетом того, что для почти всех x ∈ G4 согласно равенству (2.6) BT BT · |f (x)| � ±f ±L∞(G4 ) = ±f ±Lq( )(G4 ) � ±f ±L q(·) (Ω), (2.15) следовательно, |f (x)| < 1, получим, что λ |f (x)g(x)| p(x) dx = |f (x)g(x)| p(x) dx + |f (x)| p(x) |g(x)| p(x) dx � λμ λμ λ μ Ω G3 G4 478 В. И. БУРЕНКОВ, Т. В. ТАРАРЫКОВА p(x) |f (x)| q(x) + p(x) |g(x)| r(x) dx + p(x) |g(x)| r(x) dx � � q(x) λ G3 1 - q(x) μ 1 - q(x) μ G4 p(x) |f (x)| q(x) + 1 p(x) |g(x)| r(x) dx. (2.16) � q(x) λ Ω - q(x) μ Далее, используя неравенство (2.8), с учетом неравенств (2.10), как в шаге 1, получим неравенство (2.12) и, значит, неравенство (2.9). Шаг 4. Пусть, наконец, 0 < p(x) � q(x) � ∞ для любых x ∈ Ω, G5 = {x ∈ Ω, p(x) < ∞}, G6 = {x ∈ Ω, p(x) = q(x) = ∞} и выполняются неравенства (2.10). Согласно неравенству (2.16) с Ω, замененным на G5, и с учетомтого, что на G6 q(x)= r(x)= ∞ и что согласно равенству (2.15) с G4, замененным на G5, и (2.13) с G2, замененным на G6, для почти всех x ∈ G6 BT BT получим, что · |f (x)| � ±f ±Lq (Ω), |g(x)| � ±g±Lr( ) (Ω), |f (x)g(x)| p(x) dx � λμ G6 G6 и ±f ±Lq (Ω) λ · ±g±Lr (Ω) ∞ dx =0 μ |f (x)g(x)| p(x) dx = λμ Ω G5 p(x) |f (x)| q(x) + |f (x)g(x)| p(x) dx � λμ p(x) |g(x)| r(x) dx � � q(x) λ G5 1 - q(x) μ p(x) |f (x)| q(x) + p(x) |g(x)| r(x) dx � q(x) λ Ω 1 - q(x) μ (здесь, в дополнение к принятым ранее соглашениям, мы считаем, что ∞ = 1). Далее, используя неравенство (2.8), с учетомнеравенств (2.10), как в шаге 1, получим нер∞авенство (2.12) и, значит, неравенство (2.9). Отметим некоторые частные случаи неравенства (2.9). Если 1 � p(x) � ∞ для любого x ∈ Ω, то 1 1 BT BT - |f (x)g(x)| dx � Ω · · 1+ p p ±f ±Lp( )(Ω)±g±Lpt ( )(Ω). (2.17) Если в теореме 1.1 meas Ω1 > 0 или meas Ω∞ > 0 и meas Ω∗ > 0, то постоянная в неравенстве (2.17) меньше постоянной в неравенстве (1.6), которая в этом случае равна 3+ 1 p∗ 1 - p∗ . Если же в теореме 1.1 meas Ω1 = meas Ω∞ = 0, meas Ω∗ > 0, то p∗ = p, p∗ = p и постоянная в неравенстве (2.17) совпадает с постоянной в неравенстве (1.6), принимающем вид (1.9), но и в этом случае неравенство (2.17) точнее неравенства (2.12), так как согласно неравенству (2.7) BT BT KR KR ±f ±Lp( )(Ω)±g±Lpt ( )(Ω) � ±f ±Lp( ) (Ω)±g±L t (Ω). · · · c p (·) c Если 0 < p(x) � ∞ для любого x ∈ Ω, c � 1, c! = - ∞ , если c > 1, c! = , если c = 1, то 1 BT BT BT в частности, · ±fg±Lp( ) (Ω) � ±f ±L cp(·) · (Ω)±g±Lct p( )(Ω), (2.18) BT BT BT · ±fg±Lp( ) (Ω) � ±f ±L 2p(·) (Ω)±g±L 2p(·) (Ω), (2.19) BT BT BT · ±fg±Lp( ) (Ω) � ±f ±L p(·) ∞ (Ω)±g±L (Ω). (2.20) О НЕРАВЕНСТВЕ ГЕЛЬДЕРА В ЛЕБЕГОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С ПЕРЕМЕННЫМ ПОРЯДКОМ СУММИРУЕМОСТИ 479 Если meas Ω < ∞, 0 < p(x) � q(x) � ∞ и p > 0, то 1 где при r > 0, r < ∞ ±f ±Lp( )(Ω) � (1 + M - m) BT p · ±1±Lr( ) (Ω)±f ±Lq( ) BT BT · · (Ω), (2.21) ±1±Lr( ) (Ω) � r BT ((meas Ω) 1 , если meas Ω � 1, 1 · (meas Ω) r , если meas Ω > 1. Действительно, пусть meas Ω � 1. Так как 1 r(x) � 1 r при 0 <λ � 1, то λ λ J 1 r J 1 r(x) 0 <λ � 1: Ω и λ dx � 1 ⊂ 0 <λ � 1: λ Ω dx � 1 ±1±Lr( ) (Ω) � inf BT J · 0 <λ � 1: Ω 1 r(x) λ 1 dx � � � inf J0 <λ � 1: 1 r dx � 1 r � = inf {0 <λ � 1: λ � (meas Ω) 1 1 = (meas Ω) r . λ Ω Аналогично рассматривается случай, когда meas Ω > 1. 3. ПРИМЕРЫ 1. Пусть Ω1, Ω2 - не пересекающиеся измеримые по Лебегу множества конечной меры, Ω = Ω1 ∪ Ω2, 0 < p1, p2 < ∞, 0 � a1, a2 < ∞, В этом случае 1 ∈ 1 (a , если x Ω , ϕ(x)= a2, если x ∈ Ω2, p(x)= (p1, если x ∈ Ω1, p2, если x ∈ Ω2. ±ϕ±Lp( ) (Ω) = inf BT λ> 0: · Ω |ϕ(x)| p(x) λ dx � 1 = 0: = inf Jλ> a1 p1 λ meas Ω1 + a2 p2 λ 1 meas Ω2 � = λ∗, где λ∗ - единственный положительный корень уравнения 1 p1 1 p2 где t1 λ + t2 λ - 1= 0, (3.1) t1 = ap1 meas Ω1, t2 = ap2 meas Ω2. (3.2) 1 2 2. Пусть в примере 1 p1 = 2, p2 = 1, тогда (3.1) - квадратное уравнение и BT 1 2 ±ϕ±Lp(·) (Ω) = 2 t2 + 4t1 + t2 . В этом случае p!(x)= 2, если x ∈ Ω1, и p!(x)= ∞, если x ∈ Ω2. Пусть 0 < b1, b2 < ∞ и 1 ∈ 1 (b , если x Ω , ψ(x)= Согласно формуле (2.2) b2, если x ∈ Ω2. где ±ψ± pt( ) = max BT L (Ω) · J ±b1±L2 (Ω1 ), ±b2±L∞ (Ω2 ) = max / b J 1 meas Ω1, b2 = max{τ1, τ2}, τ1 = b1/meas Ω1, τ2 = b2. 480 В. И. БУРЕНКОВ, Т. В. ТАРАРЫКОВА Кроме того, |ϕ(x)ψ(x)| dx = a1b1 meas Ω1 + a2b2 meas Ω2 = √t1 τ1 + t2τ2. Ω Пусть C > 0. Рассмотрим для определенной выше функции p(x) неравенство BT BT |f (x)g(x)| dx � C±f ±Lp( )(Ω)±g±Lpt ( )(Ω), (3.3) · · Ω выполняющееся для любых f ∈ LBT (Ω) и g ∈ LBT (Ω). В этом случае p = 1, p = 2 и согласно q(·) r(·) неравенству (2.17) C � 1,5. С другой стороны, выбирая в (3.3) f = ϕ и g = ψ, имеем C � sup (/ 2(√t1 τ1 + t2τ2) ) = sup 2(√t1 + t2) / 2(1 + ξ) = max / = 1,25. 2 t1 ,t2,τ1 ,τ2 >0 t2 + 4t1 + t2 max{τ1, τ2} 2 t1 ,t2>0 t2 + 4t1 + t2 ξ>0 ξ2 +4+ ξ Отметим еще, что согласно неравенству (2.7) из неравенства (2.17) следует, что для рассматриваемой функции p(x) KR KR |f (x)g(x)| dx � 1,5 ±f ±Lp( ) (Ω)±g±Lpt ( )(Ω) · · Ω для любых f ∈ Lp(·)(Ω) и g ∈ Lpt(·)(Ω), в то время как из неравенства (1.6) следует только, что это неравенство выполняется с постоянной 2 (вместо 1,5). В заключение, авторы благодарят рецензента за тщательное чтение статьи и ряд замечаний, которые были учтены авторами.