Asymptotic Analysis of Boundary-Value Problems for the Laplace Operator with Frequently Alternating Type of Boundary Conditions

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

This work, which can be considered as a small monograph, is devoted to the study of twoand three-dimensional boundary-value problems for eigenvalues of the Laplace operator with frequently alternating type of boundary conditions. The main goal is to construct asymptotic expansions of the eigenvalues and eigenfunctions of the considered problems. Asymptotic expansions are constructed on the basis of original combinations of asymptotic analysis methods: the method of matching asymptotic expansions, the boundary layer method and the multi-scale method. We perform the analysis of the coefficients of the formally constructed asymptotic series. For strictly periodic and locally periodic alternation of the boundary conditions, the described approach allows one to construct complete asymptotic expansions of the eigenvalues and eigenfunctions. In the case of nonperiodic alternation and the averaged third boundary condition, sufficiently weak conditions on the alternation structure are obtained, under which it is possible to construct the first corrections in the asymptotics for the eigenvalues and eigenfunctions. These conditions include in consideration a wide class of different cases of nonperiodic alternation. With further, very serious weakening of the conditions on the structure of alternation, it is possible to obtain two-sided estimates for the rate of convergence of the eigenvalues of the perturbed problem. It is shown that these estimates are unimprovable in order. For the corresponding eigenfunctions, we also obtain unimprovable in order estimates for the rate of convergence.

About the authors

D. I. Borisov

Institute of Mathematics with Computer Center of the Ufa Science Center of the Russian Academy of Sciences; Bashkir State University; Bashkir State Pedagogical University named after M. Akmullah; University of Hradec Kra´love´

Author for correspondence.
Email: borisovdi@yandex.ru
Ufa, Russia; Hradec Kra´love´, Czech Republic

References

  1. Бабич В. М., Кирпичникова Н. Я. Метод пограничного слоя. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1974.
  2. Бахвалов Н. C., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. - М.: Наука, 1984.
  3. Беляев А. Г., Чечкин Г. А. Усреднение смешанной краевой задачи для оператора Лапласа в случае, когда «предельная» задача неразрешима// Мат. сб. - 1995. - 186, № 4. - С. 47-60.
  4. Беляев А. Ю., Чечкин Г. А. Усреднение операторов с мелкомасштабной структурой// Мат. заметки. - 1999. - 65, № 4. - С. 496-510.
  5. Бирман М. Ш., Суслина Т. А. Периодические дифференциальные операторы второго порядка. Пороговые свойства и усреднения// Алгебра и анализ. - 2003. - 15, № 5. - С. 1-108.
  6. Бирман М. Ш., Суслина Т. А. Пороговые аппроксимации резольвенты факторизованного самосопряженного семейства с учетом корректора// Алгебра и анализ. - 2005. - 17, № 5. - С. 69-90.
  7. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1974.
  8. Борисов Д. И. О двупараметрической асимптотике в одной краевой задаче для Лапласиана// Мат. заметки. - 2001. - 70, № 4. - С. 520-534.
  9. Борисов Д. И. Двупараметрические асимптотики собственных чисел Лапласиана с частым чередованием граничных условий// Вестн. молод. учен. Сер. прикл. мат. мех. - 2002. - № 1. - С. 32-52.
  10. Борисов Д. И. О Лапласиане с часто и непериодически чередующимися граничными условиями// Докл. РАН. - 2002. - 383, № 4. - С. 443-445.
  11. Борисов Д. И. О краевой задаче в цилиндре с частой сменой типа граничных условий// Мат. сб. - 2002. - 193, № 7. - С. 37-68.
  12. Борисов Д. И. О сингулярно возмущенной краевой задаче для Лапласиана в цилиндре// Дифф. уравн. - 2002. - 38, № 8. - С. 1071-1078.
  13. Борисов Д. И. Асимптотики и оценки собственных элементов Лаплаcиана с частой непериодической сменой граничных условий// Изв. РАН. Сер. Мат. - 2003. - 67, № 6. - С. 23-70.
  14. Борисов Д. И. Асимптотики и оценки скорости сходимости в трехмерной краевой задаче с частой сменой граничных условий// Сиб. мат. ж. - 2004. - 45, № 2. - С. 274-294.
  15. Борисов Д. И. О задаче с частым непериодическим чередованием краевых условий на быстро осциллирующих множествах// Журн. выч. мат. и мат. физ. - 2006. - 46, № 2. - С. 284-294.
  16. Борисов Д. И., Гадыльшин Р. Р. О спектре Лапласиана с часто меняющимся типом граничных условий// Теор. мат. физ. - 1999. - 118, № 3. - С. 347-353.
  17. Борисов Д. И., Шарапов Т. Ф. О резольвенте многомерных операторов с частой сменой краевых условий в случае третьего усредненного условия// Пробл. мат. анализа. - 2015. - 83.- С. 3-40.
  18. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. - М.: Мир, 1967.
  19. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. Ч. 1. - М.: ИЛ, 1949.
  20. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром// Усп. мат. наук. - 1957. - 12, № 5. - С. 3-122.
  21. Гадыльшин Р. Р. Спектр эллиптических краевых задач при сингулярном возмущении граничных условий// В сб.: «Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений». - Уфа: БНЦ УрО АН СССР, 1988. - С. 3-15.
  22. Гадыльшин Р. Р. Об асимптотике собственных значений для периодически закрепленной мембраны// Алгебра и анализ. - 1998. - 10, № 1. - С. 3-19.
  23. Гадыльшин Р. Р. О краевой задаче для Лапласиана с быстро осциллируюшими граничными условиями// Докл. РАН. - 1998. - 362, № 4. - С. 456-459.
  24. Гадыльшин Р. Р. Асимптотики собственных значений краевой задачи с быстро осциллирующими граничными условиями// Дифф. уравн. - 1999. - 35, № 4. - С. 540-551.
  25. Гадыльшин Р. Р. Системы резонаторов// Изв. РАН. Сер. Мат. - 2000. - 64, № 3. - С. 51-96.
  26. Гадыльшин Р. Р. Осреднение и асимптотики в задаче о часто закрепленной мембране// Журн. выч. мат. и мат. физ.- 2001.- 41, № 12. - С. 1857-1869.
  27. Гадыльшин Р. Р. О модельном аналоге резонатора Гельмгольца в усреднении// Тр. МИАН. - 2002. - 236.- С. 79-86.
  28. Гадыльшин Р. Р. Об аналогах резонатора Гельмгольца в теории усреднения// Мат. сб. - 2002. - 193, № 11. - С. 43-70.
  29. Гадыльшин Р. Р., Чечкин Г. А. Краевая задача для Лапласиана с быстро меняющимся типом граничных условий в многомерной области// Сиб. мат. ж. - 1999. - 40, № 2. - С. 271-287.
  30. Градштейн И. C., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Физматгиз, 1963.
  31. Доронина Е. И., Чечкин Г. А. Об усреднении решений эллиптического уравнения второго порядка с непериодическими быстро меняющимися граничными условиями// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат. Мех. - 2001. - № 1. - С. 14-19.
  32. Доронина Е. И., Чечкин Г. А. О cобственных колебаниях тела с большим количеством непериодически расположенных концентрированных масс// Тр. МИАН. - 2002. - 236. - С. 158-166.
  33. Егер В., Олейник О. А., Шамаев А. С. О задаче усреднения для уравнения Лапласа в частично перфорированной области// Докл. РАН. - 1993. - 333, № 4. - С. 424-427.
  34. Жиков В. В. Об усреднении нелинейных вариационных задач в перфорированных областях// Докл. РАН. - 1995. - 345, № 2. - С. 156-160.
  35. Жиков В. В. Об одном расширении и применении метода двухмасштабной сходимости// Мат. сб. - 2000. - 191, № 7. - С. 31-72.
  36. Жиков В. В. О спектральном методе в теории усреднения// Тр. МИАН. - 2005. - 250.- С. 95-104.
  37. Жиков В. В. Об операторных оценках в теории усреднения// Докл. РАН. - 2005. - 403, № 3. - С. 305-308.
  38. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. - М.: Физматлит, 1993.
  39. Жиков В. В., Рычаго М. Е. Усреднение нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в перфорированных областях// Изв. РАН. Сер. Мат. - 1997. - 61, № 1. - С. 70-88.
  40. Ильин А. М. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. I. Двумерный случай// Мат. сб. - 1976. - 99, № 4. - С. 514-537.
  41. Ильин А. М. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. II. Область с малым отверстием// Мат. сб. - 1977. - 103(145), № 2. - С. 265-284.
  42. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. - М.: Наука, 1989.
  43. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. - М.: Мир, 1972.
  44. Козлов С. М., Пятницкий А. Л. Усреднение на фоне исчезающей вязкости// Мат. сб. - 1990. - 181, № 6. - С. 813-832.
  45. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. - М.: Мир, 1979.
  46. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. - М.: Наука, 1973.
  47. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области. - Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1981.
  48. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач в областях с малыми отверстиями// Изв. АН СССР. Сер. Мат. - 1984. - 48,№ 2. - С. 347- 371.
  49. Марченко В. А., Хруслов Е. Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. - Киев: Наукова думка, 1974.
  50. Мельник Т. А., Назаров С. А. Асимптотика решения спектральной задачи Неймана в области типа «густого гребня»// Тр. сем. им. И. Г. Петровского. - 1996. - 19. - С. 138-174.
  51. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. - М.: Наука, 1976.
  52. Мовчан А. Б., Назаров С. А. Влияние малых неровностей поверхности на напряженное состояние тела и энергетический баланс при росте трещины// Прикл. мат. мех. - 1991. - 55, № 5. - С. 819-828.
  53. Найфе А. Х. Методы возмущений. - М.: Мир, 1986.
  54. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. - М.: Наука, 1991.
  55. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. - М.: Изд-во МГУ, 1990.
  56. Олейник О. А., Чечкин Г. А. О краевых задачах для эллиптических уравнений с быстро меняющимся типом граничных условий// Усп. мат. наук. - 1993. - 48, № 6(294). - С. 163-165.
  57. Олейник О. А., Чечкин Г. А. Об одной задаче граничного усреднения для системы теории упругости// Усп. мат. наук. - 1994. - 49, № 4. - С. 114.
  58. Олейник О. А., Шамаев А. С. Об усреднении решений краевой задачи для уравнения Лапласа в частично перфорированной области с условиями Дирихле на границе полостей// Докл. РАН. - 1994. - 337, № 2. - С. 168-171.
  59. Пастухова С. Е. О характере распределения поля температур в перфорированном теле с заданным его значением на внешней границе в условиях теплообмена на границе полостей по закону Ньютона// Мат. сб. - 1996. - 187, № 6. - С. 85-96.
  60. Перес М. Е., Чечкин Г. А., Яблокова Е. И. О cобственных колебаниях тела с «легкими» концентрированными массами на поверхности// Усп. мат. наук. - 2002. - 57, № 6. - С. 195-196.
  61. Планида М. Ю. О сходимости решений сингулярно возмущенных краевых задач для Лапласиана// Мат. заметки. - 2002. - 71, № 6. - С. 867-877.
  62. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. - М.: Мир, 1984.
  63. Скрыпник И. В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. - М.: Наука, 1990.
  64. Скрыпник И. В. Асимптотика решений нелинейных эллиптических краевых задач в перфорированных областях// Мат. сб. - 1993. - 184, № 10. - С. 67-90.
  65. Чечкин Г. А. О краевых задачах для эллиптического уравнения второго порядка с осциллирующими граничными условиями// В сб.: «Неклассические дифференциальные уравнения в частных производных». - Новосибирск: ИМ СОАН СССР, 1988. - С. 95-104.
  66. Чечкин Г. А. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий// Мат. сб. - 1993. - 184, № 6. - С. 99-150.
  67. Чечкин Г. А. Полное асимптотическое разложение решения краевой задачи с быстро меняющимися граничными условиями в слое// Усп. мат. наук. - 1993. - 48, № 4. - С. 218-219.
  68. Чечкин Г. А. Асимптотическое разложение решения краевой задачи с быстро меняющимся типом граничных условий// Тр. сем. им. И. Г. Петровского. - 1996. - 19. - С. 323-337.
  69. Шапошникова Т. А. Усреднение краевой задачи для бигармонического уравнения в области, содержащей тонкие каналы малой длины// Мат. сб. - 2001. - 192, № 10. - С. 131-160.
  70. Шарапов Т. Ф. О резольвенте многомерных операторов с частой сменой краевых условий в случае усредненного условия Дирихле// Мат. сб. - 2014. - 205, № 10. - С. 125-160.
  71. Шарапов Т. Ф. О резольвенте многомерных операторов с частой сменой краевых условий: критический случай// Уфимск. мат. ж. - 2016. - 8, № 2. - С. 66-96.
  72. Barenbaltt G. I., Bell J. B., Crutchfiled W. Y. The thermal explosion revisited// Proc. Natl. Acad. Sci. USA. - 1998. - 95, № 23. - С. 13384-13386.
  73. Bensoussan A., Lions J. L., Papanicolau G. Asymptotic analysis for periodic structures. - Amsterdam- New-York-Oxford: North Holland, 1978.
  74. Borisov D. I. The asymptotics for the eigenelements of the Laplacian in a cylinder with frequently alternating boundary conditions// C. R. Acad. Sci. Paris. Se´r. IIb.- 2001.- 329, № 10. - С. 717-721.
  75. Borisov D. I. On a model boundary value problem for Laplacian with frequently alternating type of boundary condition// Asymptot. Anal. - 2003. - 35, № 1. - С. 1-26.
  76. Borisov D., Bunoiu R., Cardone G. On a waveguide with frequently alternating boundary conditions: homogenized Neumann condition// Ann. Henri Poincare´. - 2010. - 11, № 8. - С. 1591-1627.
  77. Borisov D., Bunoiu R., Cardone G. Homogenization and asymptotics for a waveguide with an infinite number of closely located small windows// J. Math. Sci. (N.Y.). - 2011. - 176, № 6. - С. 774-785.
  78. Borisov D., Bunoiu R., Cardone G. Waveguide with non-periodically alternating Dirichlet and Robin conditions: homogenization and asymptotics// Z. Angew. Math. Phys. - 2013. - 64, № 3. - С. 439-472.
  79. Borisov D., Cardone G. Homogenization of the planar waveguide with frequently alternating boundary conditions// J. Phys. A: Math. Gen. - 2009. - 42, № 36. - 365205.
  80. Borisov D., Cardone G., Durante T. Homogenization and uniform resolvent convergence for elliptic operators in a strip perforated along a curve// Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. - 2016. - 146, № 6. - С. 1115-1158.
  81. Borisov D., Cardone G., Faella L., Perugia C. Uniform resolvent convergence for a strip with fast oscillating boundary// J. Differ. Equ. - 2013. - 255, № 12. - С. 4378-4402.
  82. Brillard A., Lobo M., Pe´ rez M. E. Homoge´ne´isation de frontie`res par line´aire// Mode´l. Math. Anal. Nume´r.- 1990.- 24, № 1. - С. 5-26. e´pi-convergence en e´lasticite´
  83. Chechkin G. A., Doronina E. I. On asymptotics of spetrum of boundary value problem with nonperiodic rapidly alternating boundary conditions// Funct. Differ. Equ. - 2001. - 8, № 1-2. - С. 111-122.
  84. Damlamian A. Le proble`me de la passoire de Neumann// Rend. Semin. Mat. Univ. Politec. Torino. - 1985. - 43. - С. 427-450.
  85. Damlamian A., Li T. (Li D.) Boundary homogenization for ellpitic problems// J. Math. Pures Appl. - 1987. - 66, № 4. - С. 351-361.
  86. Damlamian A., Li T. (Li D.) Homoge´ne´isation sur le bord pour les proble`mes elliptiques// C. R. Acad. Sci. Paris. Se´r. I. Math. - 1984. - 299, № 17. - С. 859-862.
  87. Da´ vila J. A nonlinear elliptic equation with rapidly oscillating boundary conditions// Asymptot. Anal. - 2001. - 28, № 3-4. - С. 279-307.
  88. Filo J. A note on asymptotic expansion for a periodic boundary condition// Arch. Math. (Brno). - 1998. - 34, № 1. - С. 83-92.
  89. Filo J., Luckhaus S. Asymptotic expansion for a periodic boundary condition// J. Differ. Equ. - 1995. - 120, № 1. - С. 133-173.
  90. Filo J., Luckhaus S. Homogenization of a boundary condition for the heat equation// J. Eur. Math. Soc. - 2000. - 2, № 3. - С. 217-258.
  91. Friedman A., Huang Ch., Yong J. Effective permeability of the boundary of a domain// Commun. Part. Differ. Equ. - 1995. - 20, № 1-2. - С. 59-102.
  92. Gadyl’shin R. R. Asymptotics of minimum eigenvalue for a circle with fast oscillating boundary conditions// C. R. Acad. Sci. Paris. Se´r. I. Math. - 1996. - 323, № 3. - С. 319-323.
  93. Gadyl’shin R. R. On an analog of the Helmholtz resonator in the averaging theory// C. R. Acad. Sci. Paris. Se´r. I. Math. - 1999. - 329, № 12. - С. 1121-1126.
  94. Gadyl’shin R. R. Eigenvalues and scattering frequencies for domain with narrow appendixes and tubes// C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. IIb. - 2001. - 329, № 10. - С. 723-726.
  95. Griso G. Error estimate and unfolding for periodic homogenization// Asymptot. Anal. - 2004. - 40, № 34. - С. 269-286.
  96. Griso G. Interior error estimate for periodic homogenization// Anal. Appl. - 2006. - 4, № 1. - С. 61-79.
  97. Ja¨ ger W., Oleinik O. A., Shamaev A. S. Asymptotics of solutions of the boundary value problem for the Laplace equation in a partially perforated domain with boundary conditions of the third kind on the boundaries of the cavities// Trans. Moscow Math. Soc. - 1997. - С. 163-196.
  98. Kratzer A., Franz W. Transzendte funcktionen. - Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft, 1960.
  99. Kenig C. E., Lin F., Shen Z. Convergence rates in L2 for elliptic homogenization problems// Arch. Ration. Mech. Anal. - 2012. - 203, № 3. - С. 1009-1036.
  100. Lobo M., Pe´ rez M. E. Asymptotic behaviour of an elastic body with a surface having small stuck regions// RAIRO Model. Math. Anal. Numer. - 1988. - 22, № 4. - С. 609-624.
  101. Lobo M., Pe´ rez M. E. Boundary homogenization of certain elliptic problems for cylindrical bodies// Bull. Sci. Math. - 1992. - 116, Ser. 2. - С. 399-426.
  102. Lobo M., Pe´ rez M. E. On vibrations of a body with many concentrated masses near the boundary// Math. Models Methods Appl. Sci. - 1993. - 3, № 2. - С. 249-273.
  103. Lobo M., Pe´ rez M. E. Vibrations of a membrane with many concentrated masses near the boundary// Math. Models Methods Appl. Sci. - 1995. - 5, № 5. - С. 565-585.
  104. Oleinik O. A., Chechkin G. A. Solutions and eigenvalues of the boundary value problems with rapidly alternating boundary conditions for the system of elasticity// Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl. - 1996. - 7, № 1. - С. 5-15.
  105. Ovseevich A. I., Pyatnitskii A. I., Shamaev A. S. Asymptotic behavior of solutions to a boundary value problem with small parameter// Russ. J. Math. Phys. - 1996. - 4, № 4. - С. 487-498.
  106. Rybalko V. Vibrations of elastic system with a large number of tiny heavy inclusions// Asymptot. Anal. - 2002. - 32, № 1. - С. 27-62.
  107. Zhikov V. V., Pastukhova S. E. On operator estimates for some problems in homogenization theory// Russ. J. Math. Phys. - 2005. - 12, № 4. - С. 515-524.

Copyright (c) 2021 Contemporary Mathematics. Fundamental Directions

License URL: https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.en

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies