Асимптотический анализ краевых задач для оператора Лапласа с частой сменой типа граничных условий

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 1. Введение 15 Глава 2. Двумерная задача с локально периодическим чередованием граничных условий: усредненное условие Дирихле 20 Постановка задачи и основные результаты главы 20 Формальное построение асимптотических разложений для произвольной области 23 Модельная задача для пограничного слоя 27 Непрерывность и оценки коэффициентов формальных асимптотик 31 Обоснование асимптотик в случае простого предельного собственного значения 34 Случай кратного предельного собственного значения 36 Глава 3. Задача в круге с периодическим чередованием граничных условий: усредненное третье краевое условие 39 Постановка задачи и основные результаты главы 39 Формальное построение асимптотик в случае n = 0 41 Формальное построение асимптотик в случае n > 0 49 Обоснование 53 Приложение 59 Глава 4. Двумерная краевая задача с непериодическим чередованием граничных условий: усредненное третье краевое условие 60 Постановка задачи и основные результаты главы 60 Формальное построение асимптотических разложений 62 Формальное асимптотическое решение 67 © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 14 АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА 15 Обоснование 75 Глава 5. Двумерная задача с непериодическим чередованием граничных условий: неулуч- шаемые оценки 78 Постановка задачи и основные результаты главы 78 Вспомогательное утверждение в случае усредненного краевого условия Дирихле 80 Оценки собственных значений возмущенной задачи 87 Глава 6. Трехмерная задача с периодическим чередованием граничных условий 89 Постановка задачи и основные результаты главы 89 Сходимость 92 Формальное построение асимптотик в случае усредненного условия Дирихле 97 Формальное построение асимптотик в случае усредненного третьего краевого условия . 102 23. Обоснование 109 Глава 7. Трехмерная задача с непериодическим чередованием граничных условий: неулуч- шаемые оценки 111 Вспомогательные утверждения 113 Доказательство оценок 116 Список литературы 120 ГЛАВА 1 ВВЕДЕНИЕ Краевые задачи с различного рода сингулярными возмущениями - объект исследований многих ученых. Подобный интерес объясняется тем, что, с одной стороны, сингулярно возмущенные кра- евые задачи часто возникают как математические модели в различных приложениях, а с дру- гой стороны - наличием у этих задач большого числа разнообразных свойств, интересных с ма- тематической точки зрения. Примерами такого рода задач могут служить краевые задачи для уравнений с малым параметром при старшей производной, с быстро осциллирующими коэффи- циентами, задачи в области с вырезанным множеством малой меры, задачи со сменой гранич- ного условия на малом участке границе, задачи с частой сменой граничных условий, с кон- центрированными массами, задачи в областях с быстро осциллирующей границей, в перфори- рованных областях, в областях с тонкими отростками и многие другие, см., например, моногра- фии [1, 2, 18, 38, 42, 45, 47, 49, 53, 55, 62, 63, 73], статьи [25, 33-35, 39-41, 44, 48, 50, 52, 58, 59, 94, 97, 105] и списки литературы в цитированных работах. Один из классов задач в теории граничного усреднения, который достаточно активно исследо- вался - это задачи с частой сменой типа граничных условий. Постановки задач с такого рода кра- евыми условиями в общих чертах выглядят следующим образом. Выбирается область с достаточно гладкой границей, в которой рассматривается эллиптическое уравнение. На границе области вы- деляется подмножество, состоящее из большого числа непересекающихся частей малой меры. Как правило, это подмножество зависит от одного или нескольких характерных малых параметров, при стремлении которых к нулю расстояние между отдельными компонентами этого подмножества и мера каждой отдельной компоненты стремятся к нулю. На этом подмножестве задается граничное условие одного типа (например, условие Дирихле), в то время как на оставшейся части границы задается граничное условий другого типа (например, условие Неймана). Пример двумерной обла- сти с описанным разбиением границы приведен на рис. 1. Цель исследований - описать поведение решений, когда характерные малые параметры стремятся к нулю. Интересны также задачи, в ко- торых описанная смена краевых условий задается не на всей границе, а лишь на фиксированной ее части, в то время как на остальной части границы ставится одно из классических краевых условий. Одной из самых простых физических моделей, описываемой краевой задачей с частой сменой граничных условий, является задача о мембране, часто закрепленной на малых участках границы. 16 Д. И. БОРИСОВ Вопросы усреднения эллиптических краевых задач с частой сменой граничных условий ис- следовались достаточно широко (см., например, [3, 4, 65, 66, 72, 82, 84-87, 91, 100, 101]). Основ- ной целью этих работ было определение вида предельных (усредненных) задач при минимальном наборе требований к структуре чередования граничных условий, т. е. к поведению множеств с разными краевыми условиями. В [85, 86] рассматривалось уравнение Лапласа в ограниченной области с частой сменой граничных условий Дирихле и Неймана. Рассматривалось чередование граничных условий, имеющее непериодическую структуру, но дополнительно предполагалось, что части границы с разными граничными условиями имеют одинаковый порядок малости. В рабо- тах [3, 65, 66, 82, 84, 91, 100, 101] для линейных эллиптических задач с чередованием первого кра- евого условия со вторым либо третьим краевым условием были получены усредненные задачи и приведены достаточно простые условия, определяющие зависимость типа усредненной задачи от структуры чередования. Случай, когда подмножество границы с граничным условием Дирихле имеет периодическую структуру, исследовался в [66, 82, 84, 100, 101]. Сходимость в непериодиче- ском случае изучалась в [4, 65, 91]. Отметим, что ограничения на структуру чередования граничных условий, гарантирующие вывод усредненных задач, в работах [3, 65, 82, 84, 91, 100, 101] были сфор- мулированы в терминах расстояний между отдельными частями границы с условием Дирихле, а также в терминах мер этих частей. В [66] ограничения на структуру чередования давалось в тер- минах минимального собственного значения некоторой модельной краевой задачи на подходящей ячейке периодичности. При некоторых дополнительных предположениях это условие было перепи- сано в терминах расстояний и мер. В [3] была рассмотрена краевая задача для уравнения Лапласа с частым чередованием граничных условий Дирихле и Неймана весьма общей непериодической структуры. Также было исследовано чередование, описываемое на основе вероятностного подхода. Были получены достаточно общие условия, гарантирующие сходимость решения рассматриваемой задачи. Краевые задачи для нелинейных эллиптических уравнений с частой сменой типа гранич- ных условий рассматривались в [72, 87]. В [72] численно решалась задача, являющаяся моделью химической задачи о тепловом взрыве газа в результате экзотермической реакции в длинном ци- линдрическом сосуде. Смена граничных условий возникала вследствие того, что теплоизолирован- ные части стенок сосуда часто и периодически чередовались с идеально проводящими участками. Результаты, полученные численно в [72], в целом хорошо согласуются с результатами цитирован- ных выше работ [3, 65, 82, 84, 91, 100, 101]. Численные результаты [72] позднее были теоретически подтверждены в [87], где рассматривалось усреднение некоторого класса нелинейных уравнений, в который уравнение из [72] входило как частный случай. В [87] вопрос о сходимости решений нели- нейной задачи фактически был сведен к аналогичному вопросу для некоторой линейной задачи. Сходимость же последней может быть установлена на основе результатов [3, 65, 82, 84, 91, 100, 101]. Основные результаты, полученные при изучении сходимости задач с частой сменой типа гра- ничного условия (как периодической, так и непериодической), кратко можно сформулировать сле- дующим образом. Краевые эллиптические задачи с частой сменой типа граничного условия при достаточно общих предположениях сходятся к задачам с классическими граничными условиями. Тип граничного условия в усредненной задаче зависит от соотношения мер частей границы с разными типами краевых условий и распределения их вдоль границы в исходной возмущенной задаче. Помимо определения вида усредненных задач для задач с частой сменой граничных условий, важен и актуален также вопрос об оценках скорости сходимости решений возмущенных задач к решениям усредненных. Для эллиптических задач с периодической сменой краевых условий такого рода оценки были получены в работах [3, 29, 66]. Оценки для непериодического чередования были установлены в [31, 56, 57, 83, 104]. Сравнительно недавно появились работы, в которых строились асимптотические разложения решений эллиптических краевых задач с периодической структурой чередования граничных усло- вий [16, 22-24, 26, 67, 68, 92]. Отметим, что факт периодичности при получении асимптотик ис- пользовался по существу. В [67, 68] была рассмотрена краевая задача для уравнения Пуассона в многомерном слое, ограниченном двумя гиперплоскостями. Периодическое чередование граничных условий Дирихле и Неймана задавалось на одной из гиперплоскостей, причем части границы с краевым условием Дирихле стягивались к точкам. Также дополнительно предполагалось, что ме- ры частей границы с разными типами граничных условий имеют одинаковый порядок малости. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА 17 РИС. 1. Двумерная область с разбиением границы на малые части с быстрым чере- дованием краевых условий. На множестве Γε задается краевое условие Неймана, на множестве γε - краевое условие Дирихле. Для решения рассматриваемой задачи было получено полное асимптотическое разложение. В ра- ботах [16, 22-24, 26, 92] изучалась краевая задача на собственные значения оператора Лапласа в ограниченной двумерной области с периодическим и локально периодическим чередованием гра- ничных условий. В [92] для единичного круга со строго периодической сменой граничных условий были формально построены первые члены асимптотических разложений минимального собствен- ного значения в случае усредненных первой, второй и третьей краевых задач. В [22] для случая круга со строго периодическим чередованием и усредненной задачи Дирихле были получены пол- ные асимптотические разложения собственных значений в дополнительном предположении, что части границы с разными граничными условиями имеют одинаковый порядок малости. В отсут- ствии этого предположения в [22] для произвольной области и чередования, сводимого к строго периодическому конформной заменой переменных, были получены первые члены асимптотических разложений собственных значений, сходящихся к простым собственным значениям задачи Дирих- ле. В работе [24] вновь были рассмотрены случай круга со строго периодической сменой краевых условий и случай произвольной области с чередованием, сводимым к строго периодическому кон- формной заменой переменных, но уже в предположении усредненной задачи Неймана. Отношение длин частей границы с условием Дирихле и Неймана задавалось явной модельной функцией. Для круга были построены полные асимптотические разложения собственных значений, для произ- вольной области - первые члены асимптотик собственных значений, сходящихся к простым пре- дельным собственным значениям. Также было доказано, что в случае круга собственные значения возмущенной задачи, сходящиеся к предельным двукратным собственным значениям, сами име- ют кратность два. В работах [16, 23, 26] для произвольной области с чередованием граничных условий, сводимого к периодическому некоторой гладкой заменой переменных, были построены первые члены асимптотических разложений собственных значений, сходящихся к простым пре- дельным собственным значениям. Были рассмотрены случаи усредненных первой [23], второй [23] и третьей краевых задач [16, 26]. В работах [88-90] были рассмотрены краевые задачи для параболического уравнения с частым чередованием первого и третьего краевых условий. Чередование задавалось по пространственным переменным. Дополнительно предполагалось, что меры частей границы с разными граничными 18 Д. И. БОРИСОВ условиями имеют одинаковый порядок малости, что при усреднении приводило к граничному условию Дирихле. В [88, 89] - для периодической, а в [90] - для почти периодической смены граничных условий в различных нормах были оценены скорости сходимости и построены первые члены асимптотических разложений решений рассматриваемых задач. К задачам с частой сменой типа граничных условий близки задачи в областях с мелкозерни- стой границей. Постановка таких задач в общих чертах выглядит следующим образом. Уравнение рассматривается в неограниченной области. Краевое условие ставится на границе множества, со- стоящего из большого количества непересекающихся малых областей, расположенных близко друг к другу. Изучается поведение решения, когда число областей неограниченно возрастает, а рассто- яния между ними и их размеры стремятся к нулю. Вопросы усреднения таких задач изучались достаточно подробно (см., например, [49, 63, 64]). Асимптотические разложения решений таких задач с периодической структурой граничных условий были построены в [27, 28, 93]. Достаточно близки к задачам с частой сменой граничных условий и задачи с большим ко- личеством концентрированных масс. Здесь обычно рассматриваются уравнения на собственные значения, где при спектральном параметре стоит весовая функция. Граничные условия задаются часто чередующимися. Упомянутая весовая функция зависит от характерного малого параметра (малых параметров) и равномерно по нему (по ним) ограничена всюду в области за исключе- нием малых окрестностей, расположенных вдоль границы близко друг к другу. В этих окрест- ностях весовая функция имеет порядок обратной степени малого параметра - линейного разме- ра окрестности. Усреднению такого рода задач посвящено достаточно много работ (см., напри- мер, [32, 60, 102, 103, 106]). Работам по усреднению задач со многими массами предшествовали исследования задач с одной концентрированной массой (см. [55] и содержащийся в монографии обзор литературы). Настоящая работа, которую уместно рассматривать как небольшую монографию, посвящена исследованию двух- и трехмерных краевых задач на собственные значения оператора Лапласа с частым чередованием типа граничных условий. Основу монографии составляют статьи авто- ра [8-16, 74, 75], вышедшие в 1998-2006 гг. Изучается чередование, имеющее как периодическую, так и непериодическую структуру. Основной целью является получение асимптотических разло- жений собственных значений и собственных функций рассматриваемых задач. Асимптотические разложения выводятся по следующей схеме. Вначале строятся формальные асимптотические реше- ния. При этом используются оригинальные комбинации методов асимптотического анализа: метод согласования асимптотических разложений [42], метод пограничного слоя [20] и метод многих масштабов [7]. Этот этап также включает в себя анализ коэффициентов формально построенных асимптотических рядов. Формальное построение завершается доказательством того, что построен- ные асимптотические ряды являются формальным асимптотическим решением. Это означает, что частичные суммы данных рядов удовлетворяют исходной возмущенной задаче с точностью до невя- зок малого порядка, причем порядок малости должен увеличиваться при увеличении числа членов в частичных суммах. На следующем этапе формально построенные асимптотики строго обосно- вываются, т. е. выводятся оценки для разности между истинными собственными значениями и собственными функциями и формально построенными асимптотическими рядами. Для строго периодического и локально периодического чередования краевых условий описанный подход позволяет строить полные асимптотические разложения собственных значений и собствен- ных функций. Естественно возникает вопрос о том, как устроены аналогичные асимптотики в случае непериодического чередования. Понятно, что в самой общей постановке задачи с непе- риодическим чередованием можно надеяться лишь на получение результатов о сходимости, как это было сделано в цитированных выше работах. Поэтому задачу об определении асимптоти- ческих разложений в непериодическом случае уместно ставить следующим образом: при каких максимально слабых условиях на структуру чередования возможно построить первые поправки в асимптотиках для собственных значений и собственных функций рассматриваемых задач? Как оказалось, при такой постановке вопроса важным оказывается тип усредненного краевого условия. В случае, когда усреднение приводит к предельному условию Дирихле, расширить эти результаты на непериодический случай не удается. Зато в случае усредненного условия Неймана или третьего краевого условия первые поправки в асимптотиках удается построить при весьма слабых условиях АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА 19 на структуру чередования, которые включают в рассмотрение широкий класс различных случаев непериодического чередования. Дальнейшее изучение случаев непериодического чередования проводится в рамках поиска от- вета на следующий вопрос: насколько можно ослабить условия на структуру чередования, чтобы гарантировать вместе с тем наличие неулучшаемых по порядку оценок скорости сходимости? Ре- зультаты здесь оказываются весьма изящными: чередование может иметь произвольную структуру, лишь бы участки с граничным условием Дирихле можно было оценить с двух сторон в смысле вложения множеств парой периодических или локально периодических чередований. В этом слу- чае на основании комбинации принципа минимакса и известных результатов об асимптотиках для периодического чередования удается получить двусторонние оценки скорости сходимости соб- ственных значений возмущенной задачи к предельным собственным значениям. При этом данные оценки скорости сходимости неулучшаемые по порядку. Более того, на основе применения под- ходящего принципа максимума удается оценить и скорость сходимости собственных проекторов; здесь полученные оценки вновь оказываются неулучшаемыми по порядку. Описанные результаты соответствуют состоянию дел на 2006 г. С тех пор в теории усредне- ния возникло новое направление исследований - изучение равномерной резольвентной сходимо- сти для сингулярно возмущенных операторов и доказательство оценок скорости сходимости. Речь идет об усилении классических результатов о сходимости решений задач в теории усреднении и привлечения аппарата спектральной теории неограниченных операторов. Это направление было инициировано пионерскими работами для операторов с быстро осциллирующими коэффициента- ми, см. [5, 6, 36, 37, 95, 96, 99, 107], а также последующие работы этих авторов. Указанные работы мотивировали аналогичные исследования в теории граничного усреднения. Для задач с частой сменой краевых условий, а также для задач с быстро осциллирующей границей и перфорацией вдоль заданной линии была доказана серия результатов о равномерной резольвентной сходимости к усредненным операторам и об оценках скорости сходимости [17, 70, 71, 76-81], что дало новый свежий взгляд на задачи граничного усреднения. Несмотря на это, результаты, представленные в данной монографии, не потеряли своей важности и актуальности. Это связано с тем, что аппа- рат асимптотического анализа, используемый при построении асимптотик, не связан с методами теории усреднения и спектральной теории неограниченных операторов и ориентирован именно на построение асимптотических разложений. Поэтому методы и подходы, представленные в насто- ящей работе, могут эффективно использоваться для построения асимптотических разложений в других задачах граничного усреднения, включая случаи возмущений непериодической структуры. В частности, это было успешно продемонстрировано в работах [17, 70, 71] для многомерных задач с частой сменой краевых условий. ε Прежде чем перейти к основному содержанию, сделаем несколько замечаний об используемых обозначениях. В каждой из глав используются свои обозначения, которые, как правило, не связаны с обозначениями в других главах. Если используется одинаковое обозначение, то это оговаривается отдельно. В формальных построениях асимптотик будут использоваться различные пограничные слои и внутренние разложения. Они будут строиться в терминах характерных растянутых перемен- ных, которые мы обычно будем обозначать через ξ (для пограничных слоев) и ς (для внутренних разложений). Определение этих переменных зависит от постановки задачи, но эту зависимость в обозначениях мы не будем подчеркивать. Сами пограничные слои, внутренние разложения, а так- же внешние разложения мы также будем всюду обозначать одними и теми же символами вида ψbl ε (пограничный слой), ψin ε (внутреннее разложение) и ψex (внешнее разложение), несмотря на то, что эти ряды будут своими для каждой из рассматриваемых задач. Коэффициенты пограничных слоев и внутренних разложений также будем обозначать соответственно буквами v и w, каждый раз подразумевая, что эти величины свои для каждой из задач. Кроме того, будут встречаться одинаковые обозначения различных вспомогательных величин, которые определяются каждый раз в зависимости от задачи, но вместе с тем несут одну и ту же идейную нагрузку. Всюду, где могут возникнуть двусмысленности, мы будем оговаривать, о каких именно величинах идет речь. 20 Д. И. БОРИСОВ ГЛАВА 2 ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА С ЛОКАЛЬНО ПЕРИОДИЧЕСКИМ ЧЕРЕДОВАНИЕМ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ: УСРЕДНЕННОЕ УСЛОВИЕ ДИРИХЛЕ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ГЛАВЫ Первая глава посвящена изучению двумерной краевой задачи с периодическим и локально пери- одическим чередованием граничных условий. Постановка задачи следующая. Пусть x = (x1, x2) - декартовы координаты, ω - произвольная ограниченная односвязная область в 2 с гладкой грани- R цей, s - натуральный параметр кривой ∂ω, а S - длина этой кривой, s ∈ [0, S). Точки границы ∂ω будем описывать с помощью натурального параметра, фиксировав направление обхода (против ча- совой стрелки) и произвольно выбрав точку на ∂ω, которой соответствует значение s = 0. Точкам границы, которым соответствуют s, близкие к S или к нулю, для удобства изложения сопоставим дополнительно значения (s - S) и (S + s). Обозначим: N » 1 - натуральное число, ε = 2N -1 - малый положительный параметр. Для j sε каждого значения N на границе ∂ω зададим подмножество γε, состоящее из N открытых непе- ресекающихся связных частей границы (см. рис. 1). Множество γε вводится следующим образом. Для каждого значения N задаются точки xε ∈ ∂ω, j = 0,... ,N - 1, соответствующие значениям натурального параметра j ∈ [0, S), причем расстояние между любыми двумя соседними точка- ми, измеренное вдоль границы ∂ω, есть величина порядка ε. Далее, пусть заданы два набора из N функций каждый: aj (ε) и bj (ε), j = 0,... ,N - 1, где функции aj и bj - неотрицательны и ограничены. Множество γε определяется следующим образом: N -1 γε = j I γε,j, γε,j = {x : -εaj (ε) < s - sε < εbj (ε)}. j=0 Без ограничения общности будем считать, что γε,j не пересекаются. Рассматривается сингулярно возмущенная краевая задача на собственные значения: -Δψε = λεψε, x ∈ ω, (1.1) ∂ψε ∈ ε ψε = 0, x ∈ γε, = 0, x Γ , (1.2) ∂ν где ν - внешняя нормаль к границе ∂ω, Γε = ∂ω \γε. Целью является построение асимптотических разложений собственных элементов этой задачи при ε → 0, или, эквивалентно, N → ∞. N Положим aN (ε) = a0(ε), bN (ε) = b0(ε), sε 0 = sε. На множество γε наложим следующее условие. (C1). Существует функция θ = θ(s), заданная на границе множества ω, принимающая значе- ния на отрезке [0, 2π], удовлетворяющая условиям θ(0) = 0, θ(S) = 2π, θ1 ∈ C∞(∂ω), 0 < c1 � θ1(s) � c2, (1.3) где c1, c2 - некоторые константы, не зависящие от s, и θ(sε - εaj (ε)) = θ(sε)+ επj - εa(ε), j 0 (1.4) θ(sε + εaj (ε)) = θ(sε)+ επj + εb(ε), j 0 для всех j = 0,... ,N - 1, где a(ε) и b(ε) - ограниченные неотрицательные функции. Условие (C1) имеет простую геометрическую интерпретацию. Оно означает, что границу ∂ω можно гладко отобразить на окружность единичного радиуса так, что при этом отображении мно- жество γε перейдет в строго периодическое множество, см. (1.4). Чередование граничных условий, имеющее подобную структуру, будем называть локально периодическим. В данной главе мы рассматриваем локально периодическое чередование граничных условий в случае, когда усреднение в задаче (1.1), (1.2) приводит к краевому условию Дирихле. Согласно [65, АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА 21 66, 91], такая ситуация имеет место при выполнении равенства lim ε ln η(ε) = 0, (1.5) ε→0 где η(ε) = (ε)+ b(ε) . 2 Отметим еще, что согласно [65, 66] собственные значения задачи (1.1), (1.2) сходятся к собственным значениям задачи Дирихле с сохранением совокупной кратности. Первым основным результатом главы является следующая теорема. Теорема 1.1. Пусть выполнены условие (C1) и равенство (1.5). Тогда для каждого простого собственного значения задачи -Δψ0 = λ0ψ0, x ∈ ω, ψ0 = 0, x ∈ ∂ω (1.6) существует единственное собственное значение λε задачи (1.1), (1.2), сходящееся к λ0 при o → 0. Собственное значение λε простое и имеет двупараметрическую асимптотику ∞ λε = λ0 + '\" εjλj (η), (1.7) j=1 π π где λj (η) непрерывны по η ∈ 0, 2 , λj 2 = 0, j ?: 1, ∂ψ0 2 ds λ1(η) = K1 ln sin η, K1 = ∂ν ∂ω , (1.8) θ1 λ2(η) = K2 ln2 sin η, K2 = ∂ψ0 ∂ψ11 ds , (1.9) ∂ν ∂ν θ1 ∂ω j- 5 λj (η) = Kj lnj η + O(| ln η| 2 ), η → 0, (1.10) ψ0 нормирована в L2(ω), ψ11 - ортогональное ψ0 в L2(ω) решение краевой задачи 1 ∂ψ0 ∈ -Δψ11 = λ0ψ11 + K1ψ0, x ∈ ω, ψ11 = θ1 , x ∂ω, (1.11) ∂ν Kj, j ?: 3 - некоторые константы. Асимптотика соответствующей собственной функции ψε 2 в норме W 1(ω) имеет вид (5.11). Условие (1.5), непрерывность λj (η) и формулы (1.10) обеспечивают асимптотичность ряда (1.7), несмотря на наличие сингулярностей у λj (η) при η → 0. Отметим также, что существует достаточ- но широкий класс функций η(ε), стремящихся к нулю при ε → 0 и удовлетворяющих одновременно условию (1.5), например, η = εα, α > 0, η = e-1/εα , 0 < α < 1 и др. Условие непересечения множеств γε,j и неотрицательность функций a(ε) и b(ε) влекут неравен- ство: 0 < η < π . При η = π множество γ совпадает со всей границей ∂ω, и в силу теоремы 1.1 2 2 ε все члены асимптотики (1.7) обращаются в нуль. Подчеркнем, что для коэффициентов асимптотики (1.7) при j ?: 3 не удается получить явных формул типа (1.8), (1.9). Как было показано в [8], даже в случае единичного круга и θ(s) ≡ s уже коэффициент λ3 имеет нетривиальный вид, а именно: где λ3(a) = K3 ln3 sin a + Φ1(a) ln sin a + Φ2(a), K3 = - π 0 2 λ2 + 3 4 3 λ0, Φ1, Φ2 ∈ C∞[0, 2], Φ1(0) = Φ1 (0) = 0, Φ11(0) /= 0. 1 1 При отсутствии кратных собственных значений у задачи (1.6) теоремой 1.1 исчерпываются все собственные значения задачи (1.1), (1.2). Более того, наличие кратных собственных значений у задачи (1.6) для произвольной области - ситуация не слишком частая. Поэтому случай кратного предельного собственного значения будет изучен на примере единичного круга с центром в нуле со строго периодическим чередованием граничных условий. Хорошо известно, что на единичном 22 Д. И. БОРИСОВ круге задача (1.6) имеет двукратные собственные значения, которыми являются квадраты нулей функций Бесселя Jn целого порядка n > 0; соответствующие собственные функции имеют вид ψ± 0 (x) = Jn jλ0r Υ±(nθ), Υ+(t) = cos(t), Υ-(t) = sin(t), Jn jλ0 = 1. Здесь (r, θ) - полярные координаты, соответствующие x. Основной результат, полученный в описанных условиях, выглядит следующим образом. Теорема 1.2. Пусть выполнены условие (C1) и равенство (1.5), ω - единичный круг с цен- тром в нуле, θ(s) ≡ s. Тогда для каждого двукратного собственного значения λ0 задачи (1.6) существует единственное собственное значение λε задачи (1.1), (1.2), сходящееся к λ0 при π o → 0. Собственное значение λε двукратное и имеет асимптотику (1.7), где λj (η) ∈ C , , 0 π 2 λj = 0, j ?: 1, 2 λ1(η) = 2λ0 ln sin η, λ2(η) = 2λ0 ln2 sin η, (1.12) j- 5 λj (η) = K�j lnj η + O(| ln η| 2 ), η → 0, (1.13) K�j - некоторые константы. Асимптотики соответствующих собственных функций в норме W 1 2 (ω) имеют вид (6.7). Отметим, что асимптотики из теорем 1.1, 1.2 для случая единичного круга и η = const были получены в работе [22]. В случае переменного η и произвольной области в [23] был формально получен первый член (1.8). Обоснование этого первого члена было проведено в [22] для частно- го случая, когда чередование граничных условий может быть сведено к строго периодическому конформной заменой переменных. Вопрос о полных асимптотиках в случае переменного η остал- ся открытым. Решение этого вопроса существенно более сложное, чем при η = const, так как необходимо выяснить характер зависимости коэффициентов от параметра η, что представляет со- бой совершенно самостоятельную и нетривиальную задачу. Решение этой задачи и, в частности, доказательство формул (1.10), (1.13) составляет самую сложную и ключевую часть данной главы. Коэффициенты рядов (1.7), (1.12) имеют логарифмические особенности при η → 0. Вме- сте с тем, эти ряды обладают свойством асимптотичности благодаря условию (1.5) и форму- лам (1.8), (1.9), (1.10), (1.13). Отметим еще, что формула (1.8) была формально получена в ра- боте [23] при некоторых дополнительных ограничениях. Соотношения (1.12) были выведены в [22] для постоянного η; там же была обоснована формула (1.8) для η, стремящегося к нулю не бо- лее чем степенным образом, и множества γε, являющегося образом периодического подмножества единичной окружности при конформном отображении. Сформулированные теоремы 1.1, 1.2 составляют основные результаты главы. Доказательство этих теорем состоит из нескольких этапов; опишем их подробнее. В разделе 2 формально стро- ятся асимптотические разложения для собственного значения λε и соответствующей собственной функции ψε в условиях теоремы 1.1. Данное построение проводится на основе комбинации метода пограничного слоя и метода многих масштабов. Эти методы применяются для формального постро- ения асимптотики собственной функции. Пограничный слой, который строится на основе метода составных разложений, позволяет учесть микроструктуру граничных условий (1.2). В результате формального построения для функций пограничного слоя выводится рекуррентная система крае- вых задач, зависящих от параметра η. Эта зависимость носит сингулярный характер при η → 0, что требует дополнительного нетривиального исследования этих задач. Такое исследования проводит- ся в разделе 3, где изучается зависимость от параметра η решения модельной задачи. Упомянутые краевые задачи для функций пограничного слоя являются частными случаями данной модельной задачи. В разделе 4 на основе результатов раздела 3 выясняется зависимость функций погранич- ного слоя от параметра η и устанавливается характер сингулярностей этих функций при η → 0. На основе полученных результатов доказывается, что формальные асимптотики, построенные в разделе 2, являются формальным асимптотическим решением исходной задачи. Под формальным асимптотическим решением понимаются формально построенные асимптотические ряды, если при подстановке частичных сумм этих рядов вместо λε и ψε в задачу (1.1), (1.2) получаем равен- ства в уравнении и граничных условиях с точностью до достаточно малой невязки. Более того, АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА 23 порядок малости этой невязки должен неограниченно расти при увеличении числа членов в ча- стичных суммах. Вместе с тем, наличие формальных асимптотических решений еще не означает, что они дают асимптотики истинных собственных элементов задачи (1.1), (1.2). Поэтому необхо- димо провести обоснование формальных асимптотических решений и получить оценки остатков в построенных асимптотических рядах. Такое обоснование формально построенных асимптотик проводится в разделе 5, что завершает доказательство теоремы 1.1. Раздел 6 посвящен доказатель- ству теоремы 1.2. Оно проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 1.1: формальное построение асимптотик, исследование характера зависимости пограничного слоя от параметра η, обоснование асимптотик. Результаты данной главы были опубликованы в [8, 9]. ФОРМАЛЬНОЕ ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ В этом разделе будут формально построены асимптотики собственных элементов зада- чи (1.1), (1.2) в условиях теоремы 1.1. Ключевым моментом данного построения является ис- пользование пограничного слоя в окрестности границы ∂ω с целью удовлетворения граничных условий (1.2). Пограничный слой строится с использованием метода многих масштабов. Всюду в разделе считаем выполненными условия теоремы 1.1. Так как собственное значение λ0 простое, то из [65, 66, 91] следует, что к нему сходится одно собственное значение λε задачи (1.1), (1.2), и это собственное значение - простое. Асимптотику собственного значения λε будем строить в виде ряда (1.7). Асимптотику соот- ветствующей собственной функции ψε, сходящейся к ψ0, строим как сумму двух разложений: внешнего разложения и пограничного слоя. Внешнее разложение будем строить в виде: ψex ∞ '\" j ε (x, η) = ψ0(x)+ Пограничный слой строится следующим образом: j=1 ε ψj (x, η). (2.1) ψbl ∞ '\" j o (ξ, s, η) = Здесь ξ = (ξ1, ξ2) - растянутые переменные, j=1 ε vj (ξ, s, η). (2.2) ξ1 = 0 θ(s) - θ(sε ) o - (ε) - a(ε) 2 , ξ2 = θ1(s)τ ε , (2.3) где τ - расстояние от точки до границы, измеренное в направлении внутренней нормали. Выбор переменных ξ будет пояснен ниже, в замечании 2.1. Целью формального построения является определение коэффициентов λj и функций ψj и vj. Функции vj согласно методу пограничного слоя будем искать экспоненциально убывающими при ξ2 → +∞. Построение начнем с пограничного слоя. Следуя методу пограничного слоя, потребуем, чтобы сумма внешнего разложения (2.1) и пограничного слоя (2.2) асимптотически удовлетворяла гра- ничным условиям из (1.2). Такое требование с учетом определения переменных ξ и условия (C1) приводит к граничным условиям для функций vj : где vj = Aj, ξ ∈ γ(η), ∂vj ∂ξ2 = Bj, ξ ∈ Γ(η), (2.4) γ(η) = {ξ : |ξ1 - πj| < η, ξ2 = 0, j ∈ Z} , ( Γ(η) = ξ : ξ1 - π < 1 j + π - η, ξ2 = 0, j ∈ , 2 2 Z 1 ∂ Aj = Aj (s, η) = -ψj (x, η), Bj = Bj (s, η) = θ1(s) ∂ν ψj-1(x, η), x ∈ ∂ω. 24 Д. И. БОРИСОВ Выведем уравнения для функций vj. В переменных (s, τ ) оператор Лапласа выглядит следующим образом: 1 ∂ ∂ 1 ∂ 1 ∂ Δx = H ∂τ H ∂τ + H ∂s H ∂s, H = H(s, τ ) = 1 - τ k(s), (2.5) - где k(s) = (r11(s), ν(s)) R 2 , r(s) - вектор-функция, задающая кривую ∂ω, а ν = ν(s) - внешняя нормаль к ∂ω. Подставляя теперь (1.7), (2.2), (2.5) в (1.1), умножая обе части полученного ра- венства на H2, переходя к переменным ξ и собирая коэффициенты при одинаковых степенях ε, получаем уравнения: Δξvj = Fj, ξ2 > 0, (2.6) 1 ∂ ∂ θ11 ∂ ∂2 ε Fj = θ1 2 1+ 2ξ2 ∂ξ k ∂ξ2 - θ1 ∂ξ1 1 - 2 ∂ξ ∂s vj-1 - θ 1 ( ( 11 2 2 2\ ∂2 θ111 + θ11 ∂ ∂ +2 ξ2 ∂ + k1ξ2 ∂2 \ + vj-2 + - (θ1)2 ξ2 2 θ1 + k ∂ξ2 θ1 θ1 ∂s ∂ξ2 ∂ξ1 ∂s2 2 i j-i-3 j-4 m+1 m 1 + '\" ai ξ2k '\" λ v '\" ξ2 k k θ11 ∂ ∂ ∂ + kξ + v , i=0 где обозначено (θ1)2 θ1 p=0 p j-i-p-2 - i=0 (θ1)i+3 ξ2 θ1 ∂ξ2 2 ∂ξ1 ∂s j-i-3 a1 = a3 = -1, a2 = 2, v-1 = v0 = 0, k = k(s). При получении уравнений (2.6) умножение на H2 оправдано, так как пограничный слой опре- деляется лишь в некоторой малой окрестности ∂ω, а функция H2 не имеет нулей при достаточно малых τ. Если при выводе уравнений для vj не умножать на H2, то правые части уравнений для vj будут записываться по-другому; вместе с тем, можно доказать, что они совпадают с правыми частями уравнений (2.6). Выбор в пользу уравнений (2.6) связан в первую очередь с тем, что они более удобны для дальнейших исследований. Замечание 2.1. Благодаря условию (C1) и описанному выше выбору переменной ξ1 краевые задачи для vj периодичны по ξ1. Периодичность по существу будет использована при исследовании этих задач, что и объясняет определение ξ1. Переменная ξ2 выбиралась так, чтобы получить уравнения Пуассона для vj. Это привело к наличию множителя θ1 в определении ξ2. Отметим, что s входит в задачи (2.4), (2.6) как параметр. Исследуем разрешимость этих задач. Для этого определим следующие функциональные пространства. Пусть V(η) - пространство π- периодических по ξ1 функций из C∞({ξ : ξ2 ?: 0,ξ /= (±η + πj, 0),j ∈ Z}), имеющих при ξ2 → +∞ дифференцируемую асимптотику ∞ v(ξ) = '\" e-2pξ2 (Pp(ξ2) cos(2pξ1)+ Qp(ξ2) sin(2pξ1)) , (2.7) p=1 где Pp, Qp - полиномы. Обозначим через V+(η) (V-(η)) подпространство V(η), состоящее из чет- ных (нечетных) по ξ1 функций, J π p Vp = V ∩ Hp(Π), V± = V± ∩ Hp(Π), Π = ξ : |ξ1| < 2 , ξ2 > 0 . Здесь и всюду далее все функциональные пространства предполагаются состоящими из веще- ственных функций. Введем в рассмотрение функцию: X(ξ, η) = Re ln sin z + / sin2 z - sin2 η - ξ2, (2.8) 1 где z = ξ1 +iξ2 - комплексная переменная. Легко видеть, что X ∈ V+(η) - гармоническая функция, удовлетворяющая граничным условиям: X = ln sin η, ξ ∈ γ(η), ∂X ∂ξ2 = -1, ξ ∈ Γ(η). (2.9) АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА 25 Функция v1 строится явно: v1 = -B1X. (2.10) Решить краевые задачи (2.4), (2.6) для j ?: 2 явно не удается, однако можно доказать разрешимость этих задач. Для этого понадобится следующая вспомогательная Лемма 2.1. Пусть F ∈ V0(η), A, B = const . Тогда задача Δξv = F, ξ2 > 0, v = A, ξ ∈ γ(η), ∂v ∂ξ2 = B, ξ ∈ Γ(η), (2.11) однозначно разрешима в пространстве V1(η), если и только если где X� = X + ξ2 - ln sin η. X� F dξ = π(A + B ln sin η), (2.12) Π 0 Доказательство. Функцию F представим в виде суммы F = F + + F -, где F ± ∈ V±(η), и рассмотрим задачу Δξv = F, ξ ∈ Π, v = A, ξ ∈ γ(η) ∩ ∂Π, ∂v ∂ξ2 = B, ξ ∈ Γ(η) ∩ ∂Π, ∂v ∂ξ1 π = 0, ξ1 = ± 2 . (2.13) z Сделаем комплексную замену переменной в этой задаче: � = eiz . Тогда получим краевую задачу в полукруге с квадратично интегрируемой правой частью. Однозначная разрешимость такой задачи следует из общей теории обобщенных решений эллиптических уравнений. Также стандартными методами выясняется асимптотика решения в нуле, который является образом бесконечности при замене переменных. Возвращаясь теперь к переменным ξ и продолжая v+ периодически по ξ1 с + периодом π, видим, что v+ = v+ � + C, C = const, v+ � π ∈ V (η). Аналогичные факты устанавливаются для решения v- задачи (2.13) с правой частью F - и с заменой граничных условий при ξ1 = ± 2 на однородное граничное условие Дирихле. Сумма функций v± и дает решение задачи (2.11), имеющее вид v = � + C, C = const, � ∈ V(η). Критерием обращения константы C в нуль (т. е. критерием v v принадлежности v ∈ V(η)), как было установлено в [22, лемма 3.1], является равенство (2.12). Лемма доказана. Ниже мы покажем, что Fj ∈ V0(η). Условия разрешимости (2.12) дают краевые условия для функций ψj : 1 ∂ψj-1 1 - ψj = θ1 ln sin η ∂ν π Π X� Fj dξ, x ∈ ∂ω, (2.14) Уравнения для ψj легко получаются стандартной подстановкой (1.7), (2.1) в (1.1) и вычислением коэффициентов при одинаковых степенях ε: j -Δψj = λ0ψj + '\" λpψj-p, x ∈ ω. (2.15) p=1 Умножая обе части этих уравнений на ψ0 и интегрируя по частям по ω, с учетом нормировки ψ0 получаем условия разрешимости задач (2.14), (2.15): j-1 2 λj + '\" λp(ψj-p, ψ0)L (ω) = ln sin η ∂ψj-1 ∂ν ∂ψ0 ds 1 ∂ν θ1 - π ∂ψ0 ∂ν X� Fj dξ ds. p=1 ∂ω ∂ω Π Решения задач (2.14), (2.15) определены с точностью до слагаемого Cψ0, C = const . Для опре- деленности предполагается, что все функции ψj, j ?: 1, ортогональны ψ0 в L2(ω). Такой выбор функций ψj в силу только что полученных условий разрешимости задач (2.14), (2.15) дает формулы для коэффициентов ряда (1.7): ∂ψj-1 ∂ψ0 ds 1 ∂ψ0 λj = ln sin η ∂ω ∂ν ∂ν θ1 - π ∂ω ∂ν X� Fj dξ ds. (2.16) Π 26 Д. И. БОРИСОВ Из (2.15) для j = 1 следует: 1 ∂ψ0 ∈ ψ1 = θ1 ln sin η, x ∂ω, (2.17) ∂ν а из (2.16) с учетом равенства F1 = 0 вытекает (1.8). Докажем (1.9). Прямыми вычислениями проверяем, что 1 2 k ∂ θ11 ∂ 2 ∂B1 ∂X v + . F2 = 2 Δξ ξ2 θ1 ∂ξ2 - (θ1)2 ∂ξ1 1 θ1 ∂s ∂ξ1 Второе слагаемое в данном равенстве нечетно по ξ1, а потому, интегрируя по частям, получаем: 1 2 k ∂ θ11 ∂ X� F2 dξ = 2 Π Π X� Δξ ξ2 θ1 ∂ξ2 v1 - (θ1)2 ∂ξ1 dξ = 0. (2.18) Из граничного условия (2.17) следует, что ψ1(x, η) = ψ11(x) ln sin η, где ψ11 - решение задачи (1.11). Отсюда и из (2.16), (2.18) выводим (1.9). Лемма 2.2. Задачи (2.4), (2.6), (2.14), (2.15), (2.16) разрешимы, функции vj, ψj и Fj предста- вимы в виде сумм M1j M1j

Об авторах

Д. И. Борисов

Институт математики с ВЦ УФИЦ РАН; Башкирский государственный университет; Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы; University of Hradec Kra´love´

Автор, ответственный за переписку.
Email: borisovdi@yandex.ru
450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, д. 112; 450000, г. Уфа, ул. Заки Валиди, д. 32; 450000, г. Уфа, ул. Октябрьской революции, д. 3а; Czech Republic, 50003, Hradec Kra´love´, Rokitanskeho, 62

Список литературы