In this paper, we study the scalar conjugation problem, which models the problem of small oscillations of two viscoelastic fluids filling a fixed vessel. An initial-boundary value problem is investigated and a theorem on its unique solvability on the positive semiaxis is proven with semigroup theory methods. The spectral problem that arises in this case for normal oscillations of the system is studied by the methods of the spectral theory of operator functions (operator pencils). The resulting operator pencil generalizes both the well-known S. G. Kreyn’s operator pencil (oscillations of a viscous fluid in an open vessel) and the pencil arising in the problem of small motions of a viscoelastic fluid in a partially filled vessel. An example of a two-dimensional problem allowing separation of variables is considered, all points of the essential spectrum and branches of eigenvalues are found. Based on this two-dimensional problem, a hypothesis on the structure of the essential spectrum in the scalar conjugation problem is formulated and a theorem on the multiple basis property of the system of root elements of the main operator pencil is proved.
В работе изучается скалярная задача сопряжения, моделирующая проблему малых колебаний двух вязкоупругих жидкостей, заполняющих неподвижный сосуд. Исследуется начальнокраевая задача и методами теории полугрупп доказывается теорема о ее однозначной разрешимости на положительной полуоси. Возникающая при этом спектральная проблема для нормальных колебаний системы исследуется методами спектральной теории оператор-функций (операторных пучков). Полученный операторный пучок обобщает как известный операторный пучок С. Г. Крейна (колебания вязкой жидкости в открытом сосуде), так и пучок, возникающий в задаче о малых движениях вязкоупругой жидкости в частично заполненном сосуде. Рассмотрен пример двумерной задачи, допускающей разделение переменных, найдены все точки существенного спектра и ветви собственных значений. На основе этой двумерной задачи сформулирована гипотеза о структуре существенного спектра в скалярной задаче сопряжения и доказана теорема о кратной базисности системы корневых элементов основного операторного пучка.