Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental Directions2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2414810.22363/2413-3639-2020-66-1-1-155Research ArticleOn Large-Time Behavior of Solutions of Parabolic EquationsDenisovVasiliy N.vdenisov2008@yandex.ruM.V. Lomonosov Moscow State University15122020661115506072020Copyright © 2020, Contemporary Mathematics. Fundamental Directions2020<p>We study the stabilization of solutions of the Cauchy problem for second-order parabolic equations depending on the behavior of the lower-order coefficients of equations at the infinity and on the growth rate of initial functions. We also consider the stabilization of solution of the first boundary-value problem for a parabolic equation without lower-order coefficients depending on the domain <em>Q </em>where the initial function is defined for <em>t </em>=0<em>.</em></p>
<p>In the first chapter, we study sufficient conditions for uniform in <em>x </em>on a compact <em>K </em>⊂R<em><sup>N </sup></em>stabilization to zero of the solution of the Cauchy problem with divergent elliptic operator and coefficients independent of <em>t </em>and depending only on <em>x. </em>We consider classes of initial functions:</p>
<ol>
<li>bounded in R<em><sup>N</sup></em><em>,</em></li>
<li>with power growth rate at the infinity in R<em><sup>N</sup></em><em>,</em></li>
<li>with exponential order at the infinity.</li>
</ol>
<p>Using examples, we show that sufficient conditions are sharp and, moreover, do not allow the uniform in R<em><sup>N </sup></em>stabilization to zero of the solution of the Cauchy problem.</p>
<p>In the second chapter, we study the Cauchy problem with elliptic nondivergent operator and coefficients depending on <em>x </em>and <em>t. </em>In different classes of growing initial functions we obtain exact sufficient conditions for stabilization of solutions of the corresponding Cauchy problem uniformly in <em>x </em>on any compact <em>K </em>in R<em><sup>N</sup></em><em>. </em>We consider examples proving the sharpness of these conditions.</p>
<p>In the third chapter, for the solution of the first boundary-value problem without lower-order terms, we obtain necessary and sufficient conditions of uniform in <em>x </em>on any compact in <em>Q </em>stabilization to zero in terms of the domain R<em><sup>N </sup></em>\ <em>Q </em>where <em>Q </em>is the definitional domain of the initial function for <em>t </em>=0<em>. </em>We establish the power estimate for the rate of stabilization of the solution of the boundary-value problem with bounded initial function in the case where R<em><sup>N </sup></em>\ <em>Q </em>is a cone for <em>t </em>=0<em>.</em></p>[Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Факториал Пресс, 2005.][Алхутов Ю.А. Устранимые особенности решений параболических уравнений второго порядка// Мат. заметки. - 1991. -50, № 5. - С. 9-17.][Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. - М.: ИЛ, 1954.][Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. - М.: ИЛ, 1949.][Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1971.][Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. - М.: Мир, 1987.][Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. - М.: Наука, 1989.][Гущин А.К. О равномерной стабилизации решений второй смешанной задачи для параболического уравнения// Мат. сб. - 1982. -119, № 4. - С. 451-507.][Гущин А.К. О зависимости поведения при больших значениях времени решения параболического уравнения от данных задачи// В сб.: «Качественная теория дифференциальных уравнений». - Новосибирск: Наука, 1988. - С. 72-82.][Гущин А.К., Михайлов В.П. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения// Дифф. уравн. - 1971. -7, № 2. - С. 297-311.][Гущин А.К., Михайлов В.П., Муравей А.Л. О стабилизации решений нестационарных граничных задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных// Динам. сплош. среды. - 1975. - № 23. - С. 57-90.][Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с коэффициентом младшего порядка и растущей начальной функцией// Тр. сем. им. И. Г. Петровского. - 2003. -23. - С. 125-148.][Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшим коэффициентом// Дифф. уравн. - 2003. -39, № 4. - С. 506-515.][Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшим коэффициентом и с полиномиально растущей начальной функцией// Тр. конф. «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы». - М.: Физматлит, 2003. - С. 293-245.][Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшими коэффициентом и растущей начальной функцией// Докл. РАН. - 2004. -397, № 4. - С. 439-441.][Денисов В.Н. О поведении решений параболических уравнений при больших значениях времени// Усп. мат. наук. - 2005. -60, № 4. - С. 145-212.][Денисов В.Н. Необходимые и достаточные условия стабилизации решения задачи Дирихле для уравнения теплопроводности// Докл. РАН. - 2006. -407, № 2. - С. 163-166.][Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшим коэффициентом// Фундам. и прикл. мат. - 2006. -12, № 4. - С. 79-97.][Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшим коэффициентом и с экспоненциально растущей начальной функцией// Тр. МИАН. - 2008. -261. - С. 97-106.][Денисов В.Н. Условия стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения в классах растущих начальных функций// Тр. конф. «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология». - М.: Физматлит, 2008. - С. 118-32.][Денисов В.Н. Достаточные условия стабилизации решения задачи Коши для недивергентного параболического уравнения с младшими коэффициентами// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2010. -36. - С. 61-71.][Денисов В.Н. О необходимых и достаточных условиях стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшими коэффициентами// Докл. РАН. - 2010. -433, № 4. - С. 452-454.][Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для недивергентного параболического уравнения с младшим коэффициентом в классах растущих начальных функций// Докл. РАН. - 2010. -430, № 5. - С. 586-588.][Денисов В.Н. Стабилизация решения задачи Коши для недивергентного параболического уравнения с растущими младшими коэффициентами// Тр. МИАН. - 2010. -270. - С. 97-109.][Денисов В.Н. Необходимые и достаточные условия стабилизации решения первой краевой задачи для параболического уравнения// Тр. сем. им. И. Г. Петровского. - 2013. -29. - С. 248-280.][Денисов В.Н. Стабилизация решения задачи Коши для недивергентного параболического уравнения с растущими младшими коэффициентами// Дифф. уравн. - 2013. -49, № 5. - С. 1-14.][Денисов В.Н., Жиков В.В. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений// Мат. заметки. - 1985. -37, № 6. - С. 834-850.][Денисов В.Н., Муравник А.Б. О стабилизации решения задачи Коши для квазилинейных параболических уравнений// Дифф. уравн. - 2002. -38, № 3. - С. 351-355.][Денисов В.Н., Репников В.Д. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений// Дифф. уравн. - 1984. -20, № 1. - С. 20-41.][Дрожжинов Ю.Н. Стабилизация решений обобщенной задачи Коши для ультрапараболического уравнения// Изв. АН СССР. Сер. Мат. - 1969. -33, № 2. - С. 368-378.][Жиков В.В. О стабилизации решений параболических уравнений// Мат. сб. - 1977. -104, № 4. - С. 597-616.][Жиков В.В. Асимптотическое поведение и стабилизация решений параболических уравнений второго порядка с младшими членами// Тр. Моск. мат. об-ва. - 1983. -46. - С. 69-98.][Житомирский Я.И. Задача Коши для параболических систем линейных уравнений в частных производных с растущими коэффициентами// Изв. вузов. Сер. Мат. - 1959. - № 1. - С. 55-74.][Ильин А.М. О поведении решения задачи Коши для параболического уравнения при неограниченном возрастании времени// Усп. мат. наук. - 1961. -16, № 2. - С. 115-121.][Ильин А.М. Об одном достаточном условии стабилизации решения параболического уравнения// Мат. заметки. - 1985. -37. - С. 851-856.][Ильин А.М., Клашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа// Усп. мат. наук. - 1962. -17, № 3. - С. 3-146.][Ильин А.М., Хасьминский Р.З. Асимптотическое поведение решений параболических уравнений и эргодическое свойство неоднородных диффузионных процессов// Мат. сб. - 1963. -60, № 3. - С. 368- 392.][Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений// Усп. мат. наук. - 1960. -15, № 2. - С. 97-154.][Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Ч. 1, 2. - М.: МГУ, 2005.][Кайзер В., Мюллер Б. Устранимые множества для уравнения теплопроводности// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат. Мех. - 1973. - № 5. - С. 26-32.][Кожевникова Л.М. Классы единственности решений первой смешанной задачи для параболического уравнения ut = Au с квазиэллиптическим оператором A в неограниченных областях// Мат. сб. - 2007. -198, № 1. - С. 59-101.][Кондратьев В.А., Ландис Е.М. Качественная теория дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка// В сб.: «Дифференциальные уравнения с частными производными». - М.: ВИНИТИ, 1988. - С. 99-215.][Красносельский М.А., Соболевский П.Е. О неотрицательной собственной функции первой краевой задачи для эллиптического уравнения// Усп. мат. наук. - 1961. -16, № 1. - С. 197-199.][Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха// Усп. мат. наук. - 1948. -3, № 1. - С. 3-95.][Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. - М.: Наука, 1973.][Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. - М.: Наука, 1967.][Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. - М.: Наука, 1973.][Ландис Е.М. Необходимые и достаточные условия регулярности граничной точки для задачи Дирихле для уравнения теплопроводности// Докл. АН СССР. - 1969. -185, № 3. - С. 517-520.][Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. - М.: Наука, 1971.][Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. - М.: Наука, 1966.][Мукминов Ф.Х. Стабилизация решения первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка// Мат. сб. - 1980. -111, № 4. - С. 503-521.][Мукминов Ф.Х. О равномерной стабилизации решений первой смешанной задачи для параболического уравнения// Мат. сб. - 1990. -131, № 11. - С. 1486-1509.][Порпер Ф.О., Эйдельман С.Д. Теоремы об асимптотической близости решений многомерных параболических уравнений второго порядка// Усп. мат. наук. - 1980. -35, № 1. - С. 211-212.][Репников В.Д. О равномерной стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений// Докл. АН СССР. - 1964. -157, № 3. - С. 532-535.][Репников В.Д., Эйдельман С.Д. Необходимые и достаточные условия установления решения задачи Коши// Докл. АН СССР. - 1966. -167, № 2. - С. 298-301.][Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т. 1. - М.: ИЛ, 1953.][Смирнова Г.Н. Задача Коши для параболических уравнений, вырождающихся на бесконечности// Мат. сб. - 1966. -70, № 4. - С. 591-604.][Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. - М.: Мир, 1974.][Тихонов А.Н. Об уравнении теплопроводности для нескольких переменных// Бюлл. МГУ. Мат. и мех. - 1938. -1, № 9. - С. 1-49.][Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1983.][Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. - М.: Мир, 1968.][Харди Г. Расходящиеся ряды. - М.: Факториал Пресс, 2006.][Харди Г.Г., Литтлвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. - М.: ИЛ, 1948.][Хасьминский Р.З. Эргодические свойства возвратных диффузионных процессов и стабилизация решений задачи Коши для параболических уравнений// Теор. вер. и ее прилож. - 1960. -5, № 2. - С. 196-214.][Черемных Ю.Н. Об асимптотике решений параболических уравнений// Изв. АН СССР. Сер. Мат. - 1959. -23, № 6. - С. 913-924.][Эванс Л.К. Уравнения с частными производными. - Новосибирск: Тамара Рожковская, 2003.][Эйдельман С.Д. Параболические системы. - М.: Наука, 1964.][Эйдельман С.Д., Порпер Ф.О. О поведении решений параболических уравнений второго порядка с диссипацией// Дифф. уравн. - 1971. -7, № 9. - С. 1684-1695.][Aronson D.G. Bounds for the fundamental solution of a parabolic equations// Bull. Am. Math. Soc. - 1967. -73, № 6. - С. 890-896.][Aronson D.G. Non-negative solutions of linear parabolic equations// Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (3). - 1968. -22, № 4. - С. 607-694.][Denisov V.N. On the behaviour of solutions of parabolic equations for large values of time// Russ. Math. Surv. - 2005. -60, № 4. - С. 721-790.][Evans L.C., Gariepy R.F. Wiener criterion for the heat equation// Arch. Ration. Mech Anal. - 1982. - 78, № 4. - С. 193-194.][Friedman A. Convergence of solutions of parabolic equations to a steady state// J. Math. Mech. - 1956. - 8, № 1. - С. 57-76.][Friedman A. Asymptotic behaviour of solutions of parabolic equations of any order// Acta Math. - 1961. - 106, № 1-2. - С. 1-43.][Fulks W. A note on the steady state solutions of the heat equations// Proc. Am. Math. Soc. - 1956. -7, № 5. - С. 766-771.][Gariepy R., Ziemer W.P. Thermal capacity and boundary regularity// J. Differ. Equ. - 1982. -45. - С. 374-388.][Gilbarg D., Serrin J. On isolated singularities of solutions of second order elliptic differential equations// J. Anal. Math. - 1956. -4. - С. 309-340.][Giorgi E. Sulla differenziabilita e l’analiticit` a delle estremali degli integrali multipli regolari// Mem. Acad.` Sci. Torino. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. - 1957. -3. - С. 25-43.][Kamin S. On stabilization of solutions of the Cauchy problem for parabolic equations// Proc. R. Soc. Edinb. Sect. A. - 1976. -76. - С. 43-53.][Krzyza˙ nski M.´ Sur l’allure asymptotique des solutions d’equation du type parabolique// Bull. Acad. Pol.´ Sci. Cl. III - 1956. - № 4. - С. 247-251.][Lanconelli E. Sur problema di Dirichlet per l’equasione del calibre// Ann. Mat. Pura Appl. - 1973. - 77. - С. 83-114.][Lieberman G.M. Second Order Parabolic Differential Equations. - Singapore: World Scientific, 1996.][Littman W., Stampacchia G., Wainberger N.F. Regular points for elliptic equations with discontinuous coefficients// Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. - 1963. -17. - С. 43-77.][Meyers N., Serrin J. The exterior Dirichlet problem for second order elliptic partial differential equations// J. Math. Mech. - 1960. -9, № 4. - С. 513-538.][Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations// Am. J. Math. - 1958. -80, № 4. - С. 531-954.][Osada H. Diffusion processes with generator of generalized divergence forms// J. Math. Kyoto Univ. - 1987. -72. - С. 597-619.][Pinchover Y. On uniqueness and nonuniqueness of the positive Cauchy problem for parabolic equations with unbounded coefficients// Math. Z. - 1996. -223. - С. 566-586.][Stampacchia G. Le probleme de Dirichlet pour les equations elliptiques du second ordre a coefficients discontinuous// Ann. Inst. Fourier. - 1965. -15, № 1. - С. 189-258.][Watson N.A. Thermal capacity// Proc. London Math. Soc. - 1978. -37. - С. 372-662.][Zang Qi.S. Gaussian bounds for the fundamental solutions of ∇(A∇u)+B∇u-ut = 0// Manuscripta Math. - 1997. -93. - С. 381-390.][Ziemer W.P. Behavior at the boundary of solutions of quazilinear parabolic equations// J. Differ. Equ. - 1980. -35. - С. 291-305.]