Об энтропийных решениях анизотропных эллиптических уравнений с переменными показателями нелинейностей в неограниченных областях

Аннотация

Для некоторого класса анизотропных эллиптических уравнений второго порядка с переменными показателями нелинейностей и L1-правой частью в произвольных неограниченных областях рассматривается задача Дирихле. Доказаны существование и единственность энтропийных решений в анизотропных пространствах Соболева с переменными показателями.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Пусть Ω - произвольная область пространства Rn = {x = (x1, x2,..., xn)}, Ω < Rn, n ) 2. В работе рассматривается задача Дирихле для уравнения вида n i \(ai(x, ∇u))x i=1 с однородным краевым условием = |u|p0(x)-2u + a(x, u), x ∈ Ω; (1) u ∂Ω = 0. (2) С конца прошлого столетия ведутся активные исследования нелинейных эллиптических уравнений второго порядка n i \(ai(x, u, ∇u))x i=1 - a0(x, u, ∇u) = f (3) с f ∈ L1 и мерами в качестве правых частей. Слабые решения уравнений вида (3) со степенными нелинейностями во всем пространстве Rn с f ∈ L1,loc(Rn) исследовались в работах [14, 21, 23] и др. Существование слабых решений задачи Дирихле в ограниченной области Ω для эллиптических уравнений с правой частью f ∈ L1(Ω) или ограниченной мерой Радона f, соответственно, установлено в работах [19, 20]. Ф. Бенилан, Л. Боккардо, Т. Галле, Р. Гариепи, М. Пьер, Дж. Л. Васкез для эллиптических уравнений со степенными нелинейностями с L1-правой частью в [16] предложили понятие энтропийного решения задачи Дирихле и доказали его существование и единственность. Вместо энтропийного решения, введенного впервые С. Н. Кружковым [7] для уравнений первого порядка, можно рассматривать также ренормализованное решение. Такие решения являются элементами того же функционального класса, которому принадлежат энтропийные решения, но в отличие от Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2017 475 последних удовлетворяют другому семейству интегральных соотношений. В ряде случаев понятия энтропийного и ренормализованного решения эквивалентны. Свойства суммируемости и оценки энтропийных решений задачи Дирихле в ограниченных областях для нелинейного эллиптического уравнения (3) с условием вырождающейся коэрцитивности установлены А. А. Ковалевским [2]. Существование энтропийного решения задачи Дирихле для нелинейных эллиптических уравнений второго порядка с вырождающейся коэрцитивностью и L1правой частью установлено в работе [9] и, в более общем случае, А. А. Ковалевским в [3]. В работе [18] введено понятие локального энтропийного решения для уравнения с p-лапласианом, поглощением и мерой Радона f : Δpu - |u|p0-2u = f, p ∈ (1, n), p < p0. (4) В частности, М. Ф. Биде-Верон для f ∈ L1,loc(Rn) доказала существование локального энтропийного решения уравнения (4) в пространстве Rn. Вопросы существования и единственности ренормализованных и энтропийных решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка с нестепенными нелинейностями и f ∈ L1(Ω) (Ω - ограниченная область) в пространствах Орлича исследовались в работах [8, 17, 27]. Теоремы существования и единственности энтропийных решений задачи Дирихле в произвольных областях для некоторого класса анизотропных эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями доказаны автором в [4, 5]. В настоящее время широко изучаются дифференциальные уравнения и вариационные задачи, связанные с условиями p(x)-роста. Интерес к исследованию был вызван тем фактом, что такие уравнения могут быть использованы для моделирования явлений, возникающих в математической физике. Электрореологические и термореологические жидкости являются двумя примерами физических полей, для которых востребованы такого рода исследования [28]. Другие важные приложения связаны с обработкой изображений и эластичностью. В работах [10, 12, 13, 15, 22, 29, 30] для уравнений с переменными показателями нелинейностей доказаны теоремы существования и единственности ренормализованных и энтропийных решений задачи Дирихле в ограниченных областях Ω. Из наиболее близких работ к представленному здесь результату являются [22, 29]. А именно, в работе [22] Б. К. Бонзи, С. Оуаро рассматривали в ограниченной области Ω ⊂ Rn, n ) 3, задачу Дирихле c граничным условием (2) для изотропного уравнения n i \(ai(x, ∇u))x i=1 n = f + a(u), где ),(ai(x, ∇u))xi - оператор типа p(x)-лапласиана, p : Ω → (1, ∞) - измеримая функция, i=1 a : R → R - непрерывная неубывающая функция. Для f ∈ L1(Ω) доказаны существование и единственность энтропийного решения. С. Оуаро в работе [29] для анизотропного уравнения n i i \(ai(x, ux ))x = f i=1 с f ∈ L1(Ω) доказал существование и единственность энтропийного решения задачи Дирихле в ограниченной области Ω ⊂ Rn, n ) 3, с граничным условием (2). На каратеодориевы функции ai(x, s) : Ω × R → R наложены довольно ограничительные условия. В качестве примера можно взять ai(x, s) = |s|pi(x)-2s, i = 1,..., n. Здесь pi : Ω → [2, n) - непрерывные функции такие, что n + - - p-(n - 1) < p- p-(n - 1) \ 1 pi - pi - 1 p - n i n(p- - 1) < , n - p- i=1 > 1, p - i < , p i - p-(n - 1) где p- = n ( n ), 1/p- \-1 , p- = inf pi(x), p+ = sup pi(x), i = 1,..., n. i i=1 i x∈Ω i x∈Ω Следует отметить, что имеется немало работ по рассматриваемой тематике с краевым условием Неймана, в том числе и нелинейным (см., например, [25]), здесь мы не будем останавливаться на этих результатах. Таким образом, в известных автору публикациях результаты установлены для энтропийных и ренормализованных решений эллиптических задач в ограниченных областях (за исключением работ [16, 18]). В настоящей статье доказаны существование и единственность энтропийных решений задачи Дирихле (1), (2) в анизотропных пространствах Соболева с переменными показателями без предположения ограниченности области Ω для существенно более широкого класса уравнений, чем в работах [22, 29] (см. ниже условия (2.1)-(2.7)). 1. АНИЗОТРОПНОЕ ПРОСТРАНСТВО СОБОЛЕВА С ПЕРЕМЕННЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ Пусть Q < Rn - произвольная область. Обозначим C+(Q) = {p ∈ C(Q) : 1 < p- � p+ < +∞}, где p- = inf p(x), p+ = sup p(x). x∈Q x∈Q Пусть p ∈ C+(Q). Справедливо неравенство Юнга: |zy| � |y|p(x) + |z|pt(x), z, y ∈ R, x ∈ Q, p∗(x) = p(x)/(p(x) - 1), (1.5) кроме того, ввиду выпуклости имеет место неравенство: + |y + z|p(x) � 2p -1(|y|p(x) + |z|p(x)), z, y ∈ R, x ∈ Q. (1.6) Определим лебегово пространство с переменным показателем Lp(·)(Q) как множество измеримых на Q вещественнозначных функций v таких, что: r ρp(·),Q(v) = |v(x)| p(x) dx < ∞. Q Норма Люксембурга в пространстве Lp(·)(Q) определяется равенством ⊕v⊕Lp(·)(Q) = ⊕v⊕p(·),Q = inf ( p(·),Q k > 0 ρ (v/k) � 1 . Ниже будут использоваться обозначения ⊕v⊕p(·),Ω = ⊕v⊕p(·), ρp(·),Ω(v) = ρp(·)(v). Норма пространства Lp(Q) будет обозначаться как ⊕v⊕p,Q, причем ⊕v⊕p,Ω = ⊕v⊕p. Пространство Lp(·)(Q) является сепарабельным рефлексивным банаховым пространством [24]. Для любых u ∈ Lpt(·)(Q), v ∈ Lp(·)(Q) справедливо неравенство Гельдера r pt(·),Q p(·),Q u(x)v(x)dx � 2⊕u⊕ ⊕v⊕ , (1.7) Q а также имеют место следующие соотношения [24]: p- p+ ⊕v⊕p(·),Q - 1 � ρp(·),Q(v) � ⊕v⊕p(·),Q + 1, (1.8) 1/p+ ( )1/p- (ρp(·),Q(v) - 1) � ⊕v⊕p(·),Q � ρp(·),Q(v)+1 . (1.9) Обозначим -→p (·) = (p1(·), p2(·), ..., pn(·)) ∈ (C+(Q))n и определим p+(x) = max pi(x), x ∈ Q. i=1,n H- Анизотропное пространство Соболева с переменными показателями ˚1 →p (·) (Q) определим как по- 0 полнение пространства C∞(Q) по норме ⊕v⊕H˚1 n = \ ⊕vx ⊕ . →-p (·)(Q) i=1 i pi(·),Q H- Пространство ˚1 →p (·) (Q) является рефлексивным банаховым [26]. Пусть / n \-1 ⎧ np(x) ⎨ , p(x) < n, p(x) = n \ 1/pi(x) i=1 , p∗(x) = n - p(x) ⎩ +∞, p(x) ) n, p∞(x) = max{p∗(x), p+(x)}. H- Приведем теорему вложения для пространства ˚1 →p (·) (Q) [26, Теорема 2.5]. Лемма 1.1. Пусть Q - ограниченная область и -→p (·) = (p1(·), p2(·), ..., pn(·)) ∈ (C+(Q))n. Если q ∈ C+(Q) и q(x) < p∞(x) ∀ x ∈ Q, (1.10) →p (·) то имеет место непрерывное и компактное вложение H˚-1 (Q) '→ Lq(·)(Q). W 1 Замечание 1.1. Интересная особенность пространства Соболева c переменным показателем p(·)(Q) заключается в том, что гладкие функции не плотны в нем без дополнительных предположений о степени p(x). Это было отмечено В. В. Жиковым [1] в связи с эффектом Лаврентьева. Однако, если модуль непрерывности показателя p(x) удовлетворяет логарифмическому условию, то гладкие функции плотны в пространстве W 1 p(·) (Q) и нет никакой путаницы в определении пространства Соболева c переменным показателем H˚1 p(·) 0 1. в виде пополнения пространства C∞(Q) по норме ⊕∇ · ⊕p(·),Q. 2. ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ И ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ Пусть -→p (·) = (p0(·), p1(·), ..., pn(·)) ∈ (C+(Ω))n+1. Будем считать, что p+(x) � p0(x) < p∗(x), x ∈ Ω. (2.1) Предполагается, что функции ai(x, s), a(x, s0), i = 1,..., n, входящие в (1), измеримы по x ∈ Ω для s0 ∈ R, s = (s1,..., sn) ∈ Rn, непрерывны по s0 ∈ R, s ∈ Rn для почти всех x ∈ Ω. a, Функция a(x, s0) не убывает по s0 ∈ R. Кроме того, существуют положительные числа � a и i(·) неотрицательные измеримые функции Φi ∈ Lpt (Ω) , i = 1,..., n, такие, что для п.в. x ∈ Ω и любых s, t ∈ Rn справедливы неравенства a(P(x 1/pt (x) |ai(x, s)| � � , s)) i + Φi(x), i = 1,..., n; (2.2) (a(x, s) - a(x, t)) · (s - t) > 0, s ⊗= t; (2.3) a(x, s) · s ) aP(x, s), (2.4) n где P(x, s) = ), |si|pi(x), s · t обозначает скалярное произведение s = (s1,..., sn), t = (t1,..., tn) ∈ i=1 Rn и a(x, s) = (a1(x, s),..., an(x, s)). Кроме того, будем использовать обозначения P∗(x, s) = n i(x) ), |si|pt , P(x, s0, s) = P(x, s) + |s0| p0(x). i=1 Применяя (1.6), из неравенств (2.2) выводим оценки: i(x) ∗ |ai(x, s)|pt � A�P(x, s) + Ψi(x), i = 1,..., n, (2.2 ) с неотрицательными измеримыми функциями Ψi ∈ L1(Ω), i = 1,..., n. Сформулируем дополнительные условия, которые используются в теореме существования. Положим a(x, s0) = a(x, 0) + b(x, s0). Будем считать, что a(x, 0) ∈ L1(Ω), (2.5) sup |s0|�k |b(x, s0)| = Gk (x) ∈ L1,loc(Ω). (2.6) Функция b(x, s0) каратеодориева, неубывающая по s0 ∈ R, b(x, 0) = 0 для п.в. x ∈ Ω, поэтому для п.в. x ∈ Ω, s0 ∈ R справедливо неравенство b(x, s0)s0 ) 0. (2.7) Через L-→p (·)(Ω) обозначим пространство Lp1(·)(Ω) × ... × Lpn(·)(Ω) с нормой ⊕v⊕L→-p (·)(Ω) = ⊕v⊕-→p (·) = ⊕v1⊕p1(·) + ... + ⊕vn⊕pn(·), v = (v1,..., vn) ∈ L-→p (·)(Ω). А через L-→p (·)(Ω) обозначим пространство Lp0(·)(Ω) × L-→p (·)(Ω) с нормой ⊕v⊕L→-p (·)(Ω) = ⊕v0⊕p0(·) + ⊕v⊕-→p (·), v = (v0, v1,..., vn) ∈ L-→p (·)(Ω). -→ Определим пространство Соболева с переменными показателями W˚ 1 p (·) (Ω) как пополнение про- 0 странства C∞(Ω) по норме Определим функцию ⊕ ⊕W˚ 1 v →-p (·)(Ω) · = ⊕v⊕p0( ) + ⊕v⊕H˚1 (Ω). →-p (·) Введем обозначение (u) = { udx. Ω Tk (r) = ⎧ ⎪⎨k при r > k, r при |r| � k, ⎪⎩-k при r < -k. Определение 2.1. Энтропийным решением задачи (1), (2) называется измеримая функция u : Ω → R такая, что 1. A(x) = a(x, u) ∈ L1(Ω); →p (·) 2. Tk (u) ∈ W˚-1 (Ω) при всех k > 0; 0 3. при всех k > 0, ξ(x) ∈ C1(Ω) справедливо неравенство: ((a(x, u)+ |u|p0(x)-2u)Tk (u - ξ)) + (a(x, ∇u) · ∇Tk (u - ξ)) � 0. (2.8) Теорема 2.1. Пусть выполнены условия (2.1)-(2.4) и u1, u2 - энтропийные решения задачи (1),(2), тогда u1 = u2 в Ω. Теорема 2.2. Пусть выполнены условия (2.1)-(2.7), тогда существует энтропийное решение задачи (1), (2). 1. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Все постоянные, встречающиеся ниже в работе, положительны. Пусть χG(x) - характеристическая функция множества G. Из условия 2 определения энтропийного решения следует, что для любого k > 0 ∇Tk (u) = χ{Ω:|u|<k}∇u ∈ L-→p (·)(Ω). (3.1) Отсюда, применяя (2.2∗), устанавливаем, что для любого k > 0 χ{Ω:|u|<k}a(x, ∇u) ∈ L-→p t(·)(Ω). (3.2) Лемма 3.1. Если u - энтропийное решение задачи (1), (2), тогда для всех k > 0 справедливо неравенство r r P(x, u, ∇u)dx+ k |u|p0(x)-1dx � C1k. (3.3) {Ω:|u|<k} {Ω:|u|)k} Доказательство. Согласно неравенству (2.8) и условию 1 для ξ = 0 имеем r r |u|p0(x)-2uTk (u)dx+ r a(x, ∇u) · ∇udx � - a(x, u)Tk (u)dx � k⊕A⊕1. Ω {Ω:|u|<k} Ω Применяя неравенство (2.4), устанавливаем r r k |u|p0(x)-1dx+ r |u|p0(x)dx+ a P(x, ∇u)dx � k⊕A⊕1. {Ω:|u|)k} Отсюда имеем (3.3). {Ω:|u|<k} {Ω:|u|<k} Лемма 3.2. Пусть измеримая функция v : Ω → R такова, что при всех k > 0 имеем Tk v ∈ →p (·) W˚-1 (Ω) и справедливо неравенство тогда r {Ω:|v|)k} |v|p0(x)-1dx � C2, (3.4) meas {Ω : |v| ) k}→ 0, k → ∞; (3.5) |v|p0(x)-1 ∈ L1(Ω). (3.6) Доказательство. Включение (3.6) является очевидным следствием (3.4). Кроме того, из неравенства (3.4) следует отсюда имеем (3.5). kp- 0 -1meas{Ω : |v| ) k} � C2, k ) 1, Замечание 3.1. Если u - энтропийное решение задачи (1), (2), то из лемм 3.1, 3.2 следует meas {Ω : |u| ) k}→ 0, k → ∞; (3.7) |u|p0(x)-1 ∈ L1(Ω). (3.8) Лемма 3.3. Пусть измеримая функция v : Ω → R такова, что при всех k > 0 имеем Tk v ∈ →p (·) W˚-1 (Ω) и справедливо неравенство r r P(x, ∇v)dx+ k |v|p0(x)-1dx � C3k, (3.9) тогда {Ω:|v|<k} {Ω:|v|)k} meas {Ω : P(x, ∇v) ) h}→ 0, h → ∞. (3.10) Доказательство. Положим Φ(k, h) = meas {Ω : |v| ) k, P(x, ∇v) ) h}, k, h > 0. Выше установлено (см. (3.5)), что Φ(k, 0) → 0, k → ∞. Поскольку функция h → Φ(k, h) невозрастающая, то для k, h > 0 справедливы неравенства Отметим, что h 1 r Φ(0, h) � h 0 h 1 r Φ(0, Q)dQ � Φ(k, 0) + h 0 (Φ(0, Q) - Φ(k, Q))dQ. (3.11) Φ(0, Q) - Φ(k, Q) = meas {Ω : |v| < k, P(x, ∇v) ) Q}. Поэтому из (3.9) следует, что r∞ (Φ(0, Q) - Φ(k, Q))dQ = 0 Теперь, из (3.11) получаем неравенство r {Ω:|v|<k} P(x, ∇v)dx � C3k. Φ(0, h) � Φ(k, 0) + C3k/h. Выбирая k так, чтобы Φ(k, 0) < ε, затем выбирая h, добиваемся неравенства Φ(0, h) < 2ε. Тем самым (3.10) установлено. Лемма 3.4. Пусть p ∈ C+(Ω), vm(x), m ∈ N, v - такие функции из Lp( )(Ω), что {vm} ограничена в Lp(·)(Ω) и · vm → v, m → ∞, п.в. в Ω, m∈N · тогда vm --слабо в Lp( )(Ω) при m → ∞. Доказательство леммы 3.4 для ограниченной области проведено в [11], для неограниченной области оно также справедливо. Лемма 3.5. Если u является энтропийным решением задачи (1), (2), то неравенство (2.8) →p (·) справедливо для любой функции ξ ∈ W˚-1 (Ω) ∩ L∞ (Ω). Доказательство. По определению пространства -→ W˚ 1 p (·) (Ω) ∩ L∞ (Ω) существует последователь- 0 ∞ ность ξm ∈ C∞(Ω), ограниченная в L · (Ω), такая, что ∇ξm → ∇ξ в L-→p( )(Ω), ξm → ξ в L p0(·) (Ω) при m → ∞. Отсюда следует сходимость ξm → ξ, ∇ξm → ∇ξ в L1,loc(Ω) при m → ∞, а значит можно выделить подпоследовательность (обозначим ее так же) такую, что ξm → ξ, ∇ξm → ∇ξ п.в. в Ω. Тогда для любого k > 0 имеют место сходимости: Tk (u - ξm) → Tk (u - ξ), ∇Tk (u - ξm) → ∇Tk (u - ξ), m → ∞, п.в. в Ω. (3.12) ∞ Пусть �k = k + sup(⊕ξm⊕ , ⊕ξ⊕∞ ), тогда m∈N k |∇Tk (u - ξm)| � |∇T (u)| + |∇ξm|, x ∈ Ω, m ∈ N. · · Поскольку сходящаяся последовательность ∇ξm ограничена в L-→p( )(Ω), то отсюда, согласно (3.1), следует ограниченность норм ⊕∇Tk (u - ξm)⊕-→p( ), m ∈ N. Применяя (3.12), пользуясь леммой 3.4, при любом k > 0 имеем · ∇Tk (u - ξm) --∇Tk (u - ξ), m → ∞, в L-→p( )(Ω). (3.13) Теперь перейдем к пределу при m →∞ в неравенстве r r (a(x, u)+ |u|p0(x)-2u)Tk (u - ξm)dx+ Ω Ω a(x, ∇u) · ∇Tk (u - ξm)dx � 0. Поскольку a(x, u), |u|p0(x)-2u ∈ L1(Ω) (см. определение 2.1 и (3.8)), то в первом слагаемом, применяя (3.12), согласно теореме Лебега, можно перейти к пределу при m → ∞. Ввиду того, что a(x, ∇u)χ{Ω:|u|<k} ∈ L-→p t(·)(Ω) (см. (3.2)), применяя (3.13), устанавливаем, что второе слагаемое последнего неравенства также имеет предел при k → ∞. Замечание 3.2. В дальнейшем, чтобы избежать громоздкости в рассуждениях, вместо утверждения типа «из последовательности um можно выделить подпоследовательность (обозначим ее так же) сходящуюся п.в. в Ω при m → ∞» будем писать просто «последовательность um выборочно сходится п.в. в Ω при m → ∞». Соответственно, будем использовать термин «выборочно слабо сходится» и т.п. Лемма 3.6. Пусть (X, T , meas) - измеримое пространство такое, что meas(X) < ∞. Пусть γ : X → [0, +∞] - измеримая функция такая, что meas{x ∈ X : γ(x) = 0} = 0. Тогда для любого ε> 0 существует δ > 0 такое, что неравенство r влечет meas Q<ε [19, лемма 2]. γ(x)dx <δ Q 2. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ Рассмотрим при k, h > 0 функцию Tk,h(r) = Tk (r - Th(r)). Очевидно, ⎧ ⎪⎨0 при |r| < h, Tk,h(r) = r - h sign r при h � |r| <k + h, ⎪⎩k sign r при |r| ) k + h. Пусть u - энтропийное решение задачи (1), (2). Зафиксировав k, h > 0, положим в (2.8) ξ = 1 Th(u) ∈ L∞(Ω) ∩ W˚-→p ( )(Ω). Имеем · r r |u|p0(x)-2uTk,h(u)dx+ Ω Ω r r a · ∇Tk,h(u)dx = r = k {Ω:|u|)k+h} |u|p0(x)-1dx+ {Ω:h�|u|<k+h} r |u|p0(x)-2uTk,h(u)+ {Ω:h�|u|<k+h} r a · ∇udx � Применяя (2.4), выводим � - a(x, u)Tk,h(u)dx � k Ω {Ω:h�|u|} |A|dx. r r k |u|p0(x)-1dx+ a r P(x, ∇u)dx � k |A|dx. (4.1) {Ω:|u|)k+h} {Ω:h�|u|<k+h} {Ω:h�|u|} Поскольку A ∈ L1(Ω), то из (3.7) следует, что правая часть в (4.1) стремится к нулю при h → ∞. Доказательство теоремы 2.1. Пусть u1, u2 - энтропийные решения задачи (1), (2). В неравенстве (2.8) для u1 положим ξ = Th(u2), а для u2 положим ξ = Th(u1), h > k. Сложив интегральные неравенства, получим r I(h, k) = r A1 · ∇(u1 - Th(u2))dx+ A2 · ∇(u2 - Th(u1))dx � (4.2) Ω1(h,k) r r � - (A1 + |u1|p0(x)-2u1)Tk (u1 - Th(u2))dx - Ω2(h,k) (A2 + |u2|p0(x)-2u2)Tk (u2 - Th(u1))dx = J (h, k). Ω(h,k) Ω(h,k) Здесь Ai(x) = a(x, ∇ui), Ai(x) = a(x, ui), Ωi(k, h) = {x ∈ Ω : |ui - Th(u3-i)| < k}, i = 1, 2. Множества Ω1(h, k), Ω2(h, k) представляются в виде объединения непересекающихся подмножеств: Ω1(h, k) = Ω12(h, k) ∪ Ω1(h, k) ∪ Ω1(h, k), Ω2(h, k) = Ω12(h, k) ∪ Ω2(h, k) ∪ Ω2(h, k), 1 2 1 2 Ω12(h, k) = {x ∈ Ω : |u1 - u2| < k, |u1| < h, |u2| < h}, Ωi i 3-i(h, k) = {x ∈ Ω : |u - h sign u 3-i | < k, |u 3-i | ) h}, i = 1, 2, Ωi i(h, k) = {x ∈ Ω : |ui - u3-i i | < k, |u | ) h, |u 3-i | < h}, i = 1, 2. Интегралы в левой части (4.2) от функций Ai · ∇(ui - Th(u3-i)), i = 1, 2, по множеству Ω12(h, k) принимают вид: r Ω12(h,k) (A1 - A2) · ∇(u1 - u2)dx = I12(h, k). (4.3) 3-i Интегралы от функций Ai · ∇(ui - Thu3-i) по множествам Ωi (h, k), i = 1, 2, соответственно, благодаря (2.4), неотрицательны: r Ω1 r A1 · ∇u1dx+ 2 A2 · ∇u2dx ) 0. (4.4) 2(h,k) Наконец, пользуясь (2.4), получаем: r Ω1(h,k) r A1 · ∇(u1 - u2)dx+ Ω1 2 A2 · ∇(u2 - u1)dx ) 1(h,k) r r ) - A1 · ∇u2dx - Ω2(h,k) A2 · ∇u1dx = -I1(h, k) - I2(h, k). (4.5) Ω1 1(h,k) 1 2 2 Ω2(h,k) Соединяя (4.3)-(4.5), устанавливаем оценку I(h, k) ) I12(h, k) - I3(h, k), I3(h, k) = I1(h, k)+ I2(h, k). 1 2 Покажем, что I3(h, k) → 0 при h → ∞. Используя (1.5), оценим интеграл 1 |I1(h, k)| � ⊕χ {Ω:h�|u1|<h+k} P∗(x, A1)⊕1 + ⊕χ {Ω:h-k�|u2|<h} P(x, ∇u2)⊕1. 1 Применяя (4.1), (3.2), (3.7), устанавливаем, что I1(h, k) → 0 при h → ∞. Аналогично оценивается 2 интеграл I2(h, k). Очевидно представление: Ω = Ω�12(h) ∪ Ω�1(h) ∪ Ω�2(h), Ω�12(h) = {x ∈ Ω : |u1| < h, |u2| < h}, Ω�i(h) = {x ∈ Ω : |ui| ) h}, i = 1, 2. Для интегралов в правой части неравенства (4.2) от функций -(Ai + |ui|p0(x)-2ui)Tk (ui - Th(u3-i)), i = 1, 2, по множеству s0, имеем: Ω�12(h), ввиду неубывания функций a(x, s0), |s0|p0(x)-2s0 по r J 12(h) = - (a(x, u1) - a(x, u2)+ |u1|p0(x)-2u1 - |u2|p0(x)-2u2)Tk (u1 - u2)dx � 0. Ω� 12(h) Для интегралов от тех же функций по множеству Ω�1(h) получаем оценку: r |J 1(h)| � k Ω� 1(h) (|A1| + |A2| + |u1|p0(x)-1 + |u2|p0(x)-1)dx. (4.6) Аналогичная оценка имеет место для интегралов от тех же функций по множеству Ω�2(h): r |J 2(h)| � k Ω� 2(h) (|A1| + |A2| + |u1|p0(x)-1 + |u2|p0(x)-1)dx. (4.7) Поскольку A1, A2 ∈ L1(Ω), |u1|p0(x)-1, |u2|p0(x)-1 ∈ L1(Ω) и мера множеств Ω�1(h), Ω�2(h) стремится к нулю при h →∞ (см. (3.7)), то из оценок (4.6), (4.7) следует, что lim (|J 1(h)| + |J 2(h)|) = 0. h→∞ Таким образом, предельный переход в (4.2) дает соотношение r lim h→∞ I12(h, k) = lim h→∞ Ω12(h,k) (A1 - A2) · ∇(u1 - u2)dx � 0. Множество Ω12(h, k) при h →∞ сходится к Ω�12(k) = {x ∈ Ω | |u1 - u2| � k}, поэтому при любом k > 0 справедливо неравенство lim h→∞ r I12(h) = (a(x, ∇u1) - a(x, ∇u2) · ∇(u1 - u2)dx � 0. Ω 12(k) Это противоречит условию (2.3), поэтому ∇(u1 - u2) = 0 п.в. в Ω�12(k) при любом k > 0. Отсюда следует, что u1 = u2 п.в. в Ω. Рассмотрим уравнение 3. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ n i \(ai(x, ∇u))x i=1 - a0(x, u) = 0, x ∈ Ω. (5.1) a, Пусть существуют положительные числа � a и измеримые неотрицательные функции φ ∈ L1(Ω), i Φi ∈ Lpt (·) (Ω), i = 0, 1,..., n, такие, что для п.в. x ∈ Ω и любых s = (s0, s) ∈ Rn+1 справедливы неравенства a|s0|p0(x)-1 a(P(x, s))1/pt (x) + Φi(x), i = 1,..., n; (5.2) |a0(x, s0)| � � + Φ0(x), |ai(x, s)| � � i n a0(x, s0)s0 + \ ai(x, s)si ) aP(x, s0, s) - φ(x). (5.3) i=1 Определение 5.1. Обобщенным решением задачи (5.1), (2) назовем функцию u ∈ W˚ 1 (Ω), удовлетворяющую интегральному тождеству →-p (·) v ∈ W- для любой функции ˚ 1 →p (·) В частности, в [6] доказана (a0(x, u)v) + (a(x, ∇u) · ∇v) = 0 (5.4) (Ω). Теорема 5.1. Если выполнены условия (2.3), (5.2), (5.3), (2.1), то существует обобщенное решение задачи (5.1), (2). На основе теоремы 5.1 строится 0 Доказательство теоремы 2.2. Шаг 1. Выберем последовательность функций Am(x) ∈ C∞(Ω) так, чтобы и при этом Рассмотрим уравнение Am(x) → A0(x) = a(x, 0), m → ∞, в L1(Ω) (5.5) ⊕Am⊕1 � ⊕A0⊕1, m ∈ N. (5.6) n i \(ai(x, ∇u))x i=1 0 = am(x, u), m ∈ N, (5.7) 0 c функцией am(x, s0) = Am(x) + bm(x, s0)+ |s0|p0(x)-2s0. Здесь bm(x, s0) = Tm(b(x, s0))χ < m}. Очевидно, что Ω(m) , где |bm(x, s0)| � |b(x, s0)|, x ∈ Ω, s0 ∈ R. (5.8) Кроме того, применяя (2.7), устанавливаем неравенство bm(x, s0)s0 ) 0, x ∈ Ω, s0 ∈ R. (5.9) Обобщенным решением задачи (5.7), (2) является функция um ∈ W˚ 1 (Ω), удовлетворяющая интегральному тождеству -→p (·) ((Am(x) + Tm(b(x, um))χΩ(m) + |um|p0(x)-2um)v) + (a(x, ∇um) · ∇v) = 0, m ∈ N, (5.10) v ∈ W- для любой функции ˚ 1 →p (·) (Ω). 0 Для функций a(x, s), am(x, s0) проверим условия (5.2), (5.3). Очевидно, что 0(·) |bm(x, s0)| = |Tm(b(x, s0))|χΩ(m) � mχΩ(m) ∈ Lpt (Ω), поэтому устанавливаем |am(x, s0)| � |Am(x)| + |bm(x, s0)| + |s0|p0(x)-1 � |s0|p0(x)-1 + Φm(x), Φm ∈ L t (Ω). (5.11) 0 Из (2.2), (5.11) следуют неравенства (5.2). Далее, применяя (1.5), (5.9), выводим 0 0 p0(·) am m m p0(x)-2 p0(x) p0(x) m pt (x) 0 (x, s0)s0 = (A (x) + b (x, s0)+ |s0| s0)s0 ) |s0| - ε|s0| - C(ε)|A | 0 . Отсюда, выбирая ε< 1, получаем неравенство am p0(x) m m 0 (x, s0)s0 ) (1 - ε)|s0| - φ0 (x), φ0 (x) ∈ L1(Ω). (5.12) Соединяя (2.4), (5.12), устанавливаем неравенство (5.3). →p (·) Согласно теореме 5.1 при каждом m ∈ N существует um ∈ W˚-1 (Ω) - обобщенное решение задачи (5.7), (2). Единственность решения задачи (5.7), (2) следует из условия строгой монотонности (2.3) и неубывания функции a(x, s0) по s0 ∈ R. Шаг 2. В (5.10) положив v = Tk,h(um), учитывая (5.9), будем иметь r r a(x, ∇um) · ∇umdx+ k (|bm(x, um)| + |um|p0(x)-1 dx+ (5.13) {Ω:h�|um|<k+h} r ( {Ω:|um|)k+h} r + {Ω:h�|um|<k+h} bm(x, um)+ |um|p0(x)-2um (um - h sign um)dx � k {Ω:|um|)h} |Am|dx. Ввиду (5.9) для h � |um| справедливо неравенство (bm(x, um)+ |um|p0(x)-2um)(um - h sign um) ) 0. Учитывая это, из (5.13) выводим r {Ω:h�|um|<k+h} r ( a(x, ∇um) · ∇umdx+ r + k {Ω:|um|)k+h} |bm(x, um)| + |um|p0(x)-1 dx � k {Ω:|um|)h} |Am|dx. С помощью (2.4), согласно (5.6), последнее неравенство приводится к виду: r r a P(x, ∇um)dx+ k (|bm(x, um)| + |um|p0(x)-1 dx � (5.14) {Ω:h�|um|<k+h} {Ω:|um|)k+h} r � k |Am|dx � k⊕A0⊕1, m ∈ N. {Ω:|um|)h} Теперь в качестве пробной функции в (5.10) возьмем Tk (um). Применяя (5.6), устанавливаем r r a(x, ∇um) · ∇umdx+ k (|bm(x, um)| + |um|p0(x)-1 dx+ {Ω:|um|<k} {Ω:|um|)k} r + |um|p0(x)dx � k⊕Am⊕1 � k⊕A0⊕1. {Ω:|um|<k} Отсюда, используя неравенство (2.4), получаем r r P(x, ∇um)dx+ k (|bm(x, um)| + |um|p0(x)-1 dx+ {Ω:|um|<k} {Ω:|um|)k} r + |um|p0(x)dx � kC1, m ∈ N. (5.15) Из оценки (5.15) имеем r {Ω:|um|<k} r r |Tk (um)|p0(x)dx = Ω {Ω:|um|<k} |um|p0(x)dx+ {Ω:|um|)k} kp0(x)dx � r r � |um|p0(x)dx+ k |um|p0(x)-1dx � kC1, m ∈ N. (5.16) {Ω:|um|<k} Кроме того, из (5.15) следует оценка r {Ω:|um|)k} r {Ω:|um|<k} P(x, ∇um)dx = Ω P(x, ∇Tk (um))dx � C1k, m ∈ N. (5.17) Ввиду произвольности k > 0 из неравенства (5.15) имеем оценку ⊕bm(x, um)⊕1 + ⊕|um|p0(x)-1⊕1 � C1, m ∈ N. (5.18) И наконец, благодаря (5.8), (2.6), устанавливаем: + sup |um|�k (|bm(x, um)| + |um|p0(x)-1) � sup |um|�k + |b(x, um)| + kp0 -1 +1 = (5.19) = Gk (x) + kp0 -1 +1 ∈ L1,loc(Ω), m ∈ N. Шаг 3. Из (5.15), согласно лемме 3.2, имеем: meas (Ω : |um| ) h) → 0, h → ∞, равномерно по m ∈ N. (5.20) Установим сходимость: um → u, m → ∞, п.в. в Ω. (5.21) Пусть ηR(r) = min(1, max(0,R +1 - r)). Из оценки (5.17), применяя (1.6), выводим: r r P(x, ∇(ηR(|x|)Tk (um)))dx � C2 r P(x, ∇um)dx+ C2 P(x, Tk (um)∇ηR(|x|))dx � Ω {Ω:|um|<k} Ω � C3(k, R), m ∈ N. Отсюда, при любых фиксированных k, R > 0 следует ограниченность последовательности {ηR(|x|)Tk (um)}m H˚1 ∈N в H- ˚1 →p (·) (Ω(R + 1)). По лемме 1.1, согласно условию (2.1), пространство 0 · 0 · -→p (·)(Ω(R + 1)) компактно вложено в пространство Lp0(·)(Ω(R + 1)). Таким образом, для любых фиксированных k, R > 0 установлена выборочная сходимость ηR(|x|)Tk (um) → vk в Lp ( )(Ω(R +1)) при m → ∞. Отсюда следует сходимость Tk (um) → vk в Lp ( )(Ω(R)), а также выборочная сходимость Tk (um) → vk почти всюду в Ω(R) при m → ∞ для k ∈ N. Диагональным процессом устанавливается, что найдется измеримая функция u : Ω → R такая, что vk = Tk (u) и um → u п.в. в Ω(R) для любого R> 0. Отсюда следует сходимость (5.21). Из сходимости um → u п.в. в Ω(R) для любого R > 0 следует сходимость по мере, а значит и фундаментальность um по мере: meas {Ω(R) : |um - ul| ) ν}→ 0 при m, l →∞ для любого ν > 0. (5.22) Шаг 4. Из (5.17), (2.2∗) при любом k > 0 имеем оценку: ⊕P∗(x, a(x, ∇um))χ {Ω:|um |<k}⊕1 � C4(k), m ∈ N. (5.23) Из неравенства (5.15), согласно лемме 3.3, имеем: meas {Ω : P(x, ∇um) ) h}→ 0 при h →∞ равномерно по m ∈ N. (5.24) Сначала установим сходимость: ∇um → ∇u, m → ∞, локально по мере. (5.25) Для ν, θ, h, R > 0 рассмотрим множество Eν,θ,h(R) = {Ω(R) : |ul - um| < ν, P(x, ∇ul) � h, P(x, ∇um) � h, |ul| < h, |um| < h, |∇(ul - um)| ) θ}. Поскольку справедливо включение {Ω(R) : |∇(ul - um)| ) θ}⊂ {Ω : P(x, ∇ul) > h}∪ {Ω : P(x, ∇um) > h}∪ ∪{Ω(R) : |ul - um| ) ν}∪ {Ω : |ul| ) h}∪ {Ω : |um| ) h}∪ Eν,θ,h(R), то, в силу (5.20), (5.24), выбором h добьемся неравенств meas {Ω(R) : |∇(ul - um)| ) θ} < (5.26) < 4ε + meas Eν,θ,h(R)+ meas {Ω(R) : |ul - um| ) ν}, m, l ∈ N. По условию монотонности (2.3) и известному факту, что непрерывная функция на компакте достигает наименьшего значения, найдется γ(x) > 0 п.в. в Ω такая, что при P(x, s) � h, P(x, t) � h, |s - t| ) θ справедливо неравенство (a(x, s) - a(x, t)) · (s - t) ) γ(x). (5.27) Введем обозначение Am(x) = am(x, um) = Am(x) + bm(x, um) + |um|p0(x)-2um. Из (5.6), (5.18) 0 0 следует ограниченность последовательности {Am}m N в L (Ω). Запишем (5.10) дважды для um и ul и вычтем из первого второе; получим 0 ∈ 1 r (a(x, um) a(x, ul) r vdx+ (Am Al )vdx = 0. ∇ - ∇ ·∇ Ω 0 - 0 Ω Подставляя пробную функцию v = ηR(|x|)ηh(|ul|)ηh(|um|)Tν (um - ul), устанавливаем соотношение r (a(x, um) a(x, ul) (η ( x )η ( ul )η ( um )T (um ul))dx = ∇ - ∇ Ω r ·∇ R | | h | | h | | ν - = - (Am - Al )ηR(|x|)ηh(|ul|)ηh(|um|)Tν (um - ul)dx � C5ν, m, l ∈ N. (5.28) 0 0 Ω Далее, применяя (5.27), выводим r r γ(x)dx � (a(x, ∇um) - a(x, ∇ul) o ∇(um - ul)dx � Eν,θ,h(R) r � {Ω:|um-ul|<ν} Eν,θ,h(R) ηR(|x|)ηh(|ul|)ηh(|um|)(a(x, ∇um) - a(x, ∇ul))∇(um - ul)dx. (5.29) Соединяя (5.29), (5.28), применяя (1.5), (5.17), (5.23), получаем n r γ(x)dx � \ r |ai(x, ∇um)||Tν (um - ul)|dx+ Eν,θ,h(R) n + \ m i=1 {Ω:|u |<h+1,|x|<R+1} r i=1 r n {Ω:|ul|<h+1,|x|<R+1} |ai(x, ∇ul)||Tν (um - ul)|dx+ + \ ( a (x, um) + a (x, ul) ) ul T (um ul) dx+ i=1 r n | i ∇ {Ω:h<|ul|<h+1,|um|<h+1} | | i ∇ | | xi || ν - | + \ ( a (x, um) + a (x, ul) ) um T (um ul) dx+ C ν � (5.30) i=1 | i ∇ {Ω:h<|um|<h+1,|ul|<h+1} | | i ∇ | | xi || ν - | 5 � ν(3⊕P∗(x, a(x, ∇um))χ {Ω:|um |<h+1}⊕1 + 3⊕P∗(x, a(x, ∇ul))χ {Ω:|ul|<h+1} ⊕1 + + 2⊕P(x, ∇um)χ {Ω:|um |<h+1}⊕1 + 2⊕P(x, ∇ul)χ {Ω:|ul|<h+1} ⊕1 + C6(R)) � C7(R, h)ν. Для произвольного δ > 0 при фиксированных R, h выбором ν из (5.30) устанавливаем неравенство r Eν,θ,h(R) γ(x)dx < δ. Применяя лемму 3.6, для любого ε> 0 выводим meas Eν,θ,h(R) < ε. (5.31) Кроме того, согласно (5.22), можно выбрать m0(ν, R, ε) такое, что meas {Ω(R) : |ul - um| ) ν} < ε, m, l ) m0. (5.32) Соединяя (5.26), (5.31), (5.32), в итоге для любого θ > 0 выводим неравенство meas {Ω(R) : |∇(ul - um)| ) θ} < 6ε, m, l ) m0. Отсюда следует фундаментальность по мере последовательности {∇um}m ∈N на множестве Ω(R) при любом R> 0, это влечет сходимость (5.25), а также выборочную сходимость: ∇um → ∇u, m → ∞, п.в. в Ω. (5.33) Шаг 5. Докажем, что |um|p0(x)-2um → |u|p0(x)-2u, bm(x, um) → b(x, u), m → ∞, в L1,loc(Ω), (5.34) |um|p0(x)-2um → |u|p0(x)-2u, bm(x, um) → b(x, u), m → ∞, п.в. в Ω. (5.35) Из (5.14) при k = h имеем: ( r |bm(x, um)| + |um|p0(x)-1 r dx � r |Am - A0|dx+ |A0|dx, m ∈ N. {Ω:|um|)2h} {Ω:|um|)h} {Ω:|um|)h} Ввиду включения A0 ∈ L1(Ω), сходимости (5.5) и абсолютной непрерывности интегралов в правой части последнего неравенства, учитывая (5.20), для любого ε > 0 можно выбрать достаточно большое h такое, что: r {Ω:|um|)2h} (|bm(x, um)| + |um|p0(x)-1 dx < ε, m ∈ N. (5.36) Из непрерывности b(x, s0) по s0 и сходимости (5.21) следует, что при фиксированном h имеют место сходимости χ{Ω:|um|<2h}|u m|p0(x)-2um → χ{Ω:|u|�2h}|u| p0(x)-2 u, m → ∞, п.в. в Ω, χ m b m {Ω:|u |<2h} (x, um ) → χ{Ω:|u|�2h}b(x, u), m → ∞, п.в. в Ω. Пусть K - произвольное компактное подмножество Ω. Ввиду (5.19), применяя теорему Лебега, устанавливаем сходимости χ{Ω:|um|<2k}|u m|p0(x)-2um → χ{Ω:|u|�2k}|u| p0(x)-2 u, m → ∞, в L1(K), χ m b m {Ω:|u |<2k} (x, um ) → χ{Ω:|u|�2k}b(x, u), m → ∞, в L1(K). Отсюда, учитывая (5.36), получаем (5.34). Из оценки (5.18), ввиду (5.35), согласно теореме Фату заключаем, что b(x, u), |u|p0(x)-2u ∈ L1(Ω), отсюда из (2.5) вытекает справедливость условия 1 определения 2.1. k ∈ -→ Шаг 6. Покажем, что T (u) W˚ 1 p (·) (Ω) для любого k > 0. Соединяя (5.16), (5.17), (1.9) для любого фиксированного k > 0, выводим оценку 1/p- W→1 ⊕ k ⊕ ˚ T um -p (·)(Ω) n i = \ ⊕Dx i · Tk (um)⊕p ( ) n ⎛ r � \ ⎝1+ |Dxi i Tk (um))x ⎞ dx pi(x) | ⎠ i � C8(k), m ∈ N. i=0 i=0 Ω W- Рефлексивность пространства ˚ 1 →p (·) (Ω) W- позволяет выделить слабо сходящуюся в ˚ 1 →p (·) (Ω) подпоследовательность Tk um --v, m → ∞, причем v ∈ W- ˚ 1 →p (·) (Ω). Непрерывность естественного W- отображения ˚ 1 →p (·) (Ω) → L-→p (·)(Ω) влечет слабую сходимость 0 · Tk (um) --, m → ∞, в Lp ( )(Ω). (5.37) Пользуясь сходимостью (5.21), применяя лемму 3.4, для любого фиксированного k > 0 имеем слабую сходимость 0 · Tk (um) --k (u), m → ∞, в Lp ( )(Ω). (5.38) →p (·) Из (5.37), (5.38) следует равенство v = Tk u ∈ W˚-1 (Ω). 0 Шаг 7. Чтобы доказать (2.8), возьмем пробную функцию v = Tk (um - ξ), ξ ∈ C1(Ω), в тождестве (5.10). Получим r r ( a(x, ∇um) · ∇Tk (um - ξ)dx+ Ω Ω bm(x, um)+ |um|p0(x)-2um + Am Tk (um - ξ)dx = Im + J m = 0. m Положим M = k + ⊕ξ⊕∞. Если |u | ) M, то |um - ξ| ) |um | - ⊕ξ⊕∞ ) k, поэтому {Ω : |um - ξ| < k}⊆ {Ω : |um| < M }, что означает r Im = Ω r a(x, ∇um) · ∇Tk (um - ξ)dx = (5.39) = a(x, ∇TM (um)) · (∇TM (um) - ∇ξ)χ m {Ω:|u Ω dx = Im - Im. -ξ|<k} 1 2 Из сходимостей (5.21), (5.33), ввиду непрерывности функции a(x, s) по s, имеем: a(x, ∇TM (um)) · ∇TM (um)χ {Ω:|um -ξ|<k} → a(x, ∇TM (u)) · ∇TM (u)χ {Ω:|u-ξ|�k} , m → ∞, п.в. в Ω. Кроме того, применяя (5.17), (5.23), (1.5), устанавливаем оценку r 1 = {Ω: |um-ξ|<k} Im a(x, ∇TM (um )) · ∇TM (um )dx � C9(k), m ∈ N. Тогда по лемме Фату имеем: r m a(x, ∇TM (u)) · ∇TM (u)χ{Ω:|u-ξ|�k}dx � lim →∞ 1 inf Im. (5.40) Ω Из (5.23) следует ограниченность последовательности норм ⊕P∗(x, a(x, ∇TM (um))χ {Ω:|um -ξ|<k}⊕1 � ⊕P∗(x, a(x, ∇um))χ {Ω:|um |<M }⊕1 � C10 (k), m ∈ N. Применяя лемму 3.4, устанавливаем слабую сходимость: a(x, ∇TM (um))χ {Ω:|um -ξ|<k} --a(x, ∇TM (u))χ {Ω:|u-ξ|�k} , m → ∞, в L-→p t(·) (Ω). 2 Выполняя предельный переход в Im, имеем: lim m→∞ r 2 Im = Ω a(x, ∇TM (u)) · ∇ξχ{Ω:|u-ξ|�k} dx. (5.41) Соединяя (5.39)-(5.41), устанавливаем r lim m→∞ r inf Im ) Ω a(x, ∇TM (u)) · (∇TM (u) - ∇ξ)χ r {Ω:|u-ξ|�k} dx = = Ω Ввиду того, что a(x, ∇u) · ∇(u - ξ)χ{Ω:|u-ξ|�k}dx = Ω a(x, ∇u) · ∇Tk (u - ξ)dx. (5.42) Tk (um - ξ) → Tk (u - ξ), m → ∞, п.в. в Ω; |vTk (um - ξ)| � k|v|∈ L1(Ω), ∀ v ∈ L1(Ω), m ∈ N, согласно теореме Лебега, имеем Tk (um - ξ) ---∗ k (u - ξ), m → ∞, в L∞ (Ω). (5.43) Интеграл J m также разобьем на два слагаемых. Первый интеграл ( r J m 1 = bm Ω (x, um )+ |u m|p0(x)-2um Tk (um - ξ)dx оценивается следующим образом. Рассмотрим возрастающую последовательность {Kl} компакт- ∞ ных подмножеств Ω таких, что l=1 Kl = Ω. Пусть supp ξ ⊂ Kl, l ) l0, vm = um - ξ, v = u - ξ, cm(x, um) = bm(x, um) + |um|p0(x)-2um, c(x, u) = b(x, u) + |u|p0(x)-2u. Тогда, учитывая (5.9), при l ) l0 имеем: r J m 1 = Ω\Kl cm(x, um )Tk (um r )dx+ Kl cm(x, um )Tk (vm r )dx ) Kl cm(x, um )Tk (vm 1 )dx = J lm. Применяя (5.34), (5.43), переходим к пределу при m → ∞, а затем при l → ∞, получим r (b(x, u)+ |u|p0(x)-2u)Tk (u - ξ)dx = lim lim 1 J lm � lim inf J m. (5.44) l→∞ m→∞ Ω m→∞ 1 Используя (5.5), (5.43), выполняя предельный переход при m →∞ во втором интеграле, устанавливаем r J m 2 = Am Ω Tk (um r · ξ)dx → Ω A0Tk (u - ξ)dx. (5.45) Соединяя (5.42), (5.44), (5.45), выводим (2.8).