Спектральный анализ дифференциальных операторов высших порядков с условиями разрыва во внутренней точке

Аннотация

Исследуются дифференциальные операторы высших порядков на конечном интервале с условиями разрыва внутри интервала. Установлены свойства спектральных характеристик и доказаны теоремы о разложении и о полноте корневых функций для этого класса операторов.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Рассмотрим краевую задачу L для дифференциального уравнения n-2 fy(x) := y(n)(x)+ \ pj (x)y(j)(x) = λy(x), 0 < x < T, (1.1) j=0 с краевыми условиями y(ν-1)(0) = y(ν-1)(T ) = 0, ν = 1, m, (1.2) и условиями разрыва во внутренней точке a ∈ (0,T ): ν y(ν-1)(a + 0) = \ aνjy(j-1)(a - 0), ν = 1, n. (1.3) j=1 j Здесь n = 2m, pj (x) - комплекснозначные функции, p(ν)(x) абсолютно непрерывны при ν = 0,j - 1, x ∈ [0,T ], и aνj - комплексные числа, aνν /= 0. Таким образом, условия разрыва порождаются матрицей перехода A =[aνj ]ν,j=1,n, где aνj = 0 при ν < j и det A /= 0. Пусть функции ϕj (x, λ), j = 1, n, являются решениями уравнения (1.1), удовлетворяющими условиям разрыва (1.3) и начальным условиям ϕ(ν-1) j (0, λ) = δνj, ν = 1, n, (1.4) где δνj - символ Кронекера. Ясно, что det[ϕ(ν-1) j (x, λ)]ν,j=1,n = η(x), (1.5) где η(x) := 1 при x < a и η(x) := det A при x > a. Обозначим j Δ(λ) := det[ϕ(ν-1)(T, λ)] j=m+1,n; ν=1,m . (1.6) Работа выполнена при поддержке Минобрнауки РФ (проект 1.1660.2017/PCh) и Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 16-01-00015, 17-51-53180). Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2017 362 Функция Δ(λ) является целой по λ порядка 1/n; ее нули {λl}l?:0 (с учетом кратностей) совпадают с собственными значениями краевой задачи L вида (1.1)-(1.3). Функция Δ(λ) называется характеристической функцией краевой задачи L. Пусть {ϕl(x)}l?:0 - система собственных и присоединенных функций (корневых функций) задачи L. Краевые задачи с условиями разрыва внутри интервала часто встречаются в математике, механике, физике, геофизике и других областях естествознания. Как правило, такие задачи связаны с разрывными или негладкими свойствами среды. Например, разрывные задачи возникают в электронике при конструировании параметров неоднородных линий передач с желаемыми техническими характеристиками [2, 3]. Разрывные задачи возникают также при изучении проводимости одномерных разрывных сред [11, 13]. Краевые задачи с условиями разрыва внутри интервала возникают также в геофизических моделях структуры Земли [7, 12]. Прямые и обратные спектральные задачи для дифференциальных операторов без разрывов изучены достаточно подробно (см. [1, 4, 8, 9, 15] и библиографию в них). Наличие разрывов вносит существенные качественные изменения в исследование операторов. Разрывные краевые задачи для операторов Штурма-Лиувилля рассматривались в [5, 6, 10, 13, 14] и других работах. Краевые задачи для дифференциальных операторов высших порядков с условиями разрыва внутри интервала еще не изучались. В данной статье в разделе 2 изучаются свойства спектральных характеристик краевой задачи L. В разделе 3 доказываются теоремы о разложении и о полноте корневых функций задачи L. 2. СВОЙСТВА СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК Пусть λ = ρn. Обозначим Sk0 = {ρ : arg ρ ∈ k0π , n (k0 +1)π n }, k0 = -n, n - 1. n В каждом секторе Sk0 корни Rk, k = 1, n, уравнения R чтобы - 1 = 0 могут быть занумерованы так, Re (ρR1) < Re (ρR2) < ... < Re (ρRn), ρ ∈ Sk0 . Ясно, что Rk = exp(iπωk /m), где ωk - перестановка чисел 0, 1,...,n - 1. Известно [4, Ch. 1], что в каждом секторе Sk0 существует фундаментальная система решений (ФСР) B = {yk (x, ρ)}k=1,n уравнения (1.1) такая, что y(ν-1) k (x, ρ) = (ρRk ) ν-1 exp(ρRkx)[1], ρ ∈ Sk0 , |ρ|→ ∞, k, ν = 1, n, x ∈ [0,T ], (2.1) где [1] = 1 + O(ρ-1). Функции y(ν-1)(x, ρ) являются аналитическими по ρ ∈ Sk , |ρ| >ρ , при k 0 ∗ каждом x ∈ [0,T ] и непрерывными при x ∈ [0,T ], ρ ∈ Sk0 , |ρ| ?: ρ∗. При |ρ|→ ∞, ρ ∈ Sk0 , det[y(ν-1) k (x, ρ)]k,ν=1,n = ρ n(n-1)/2 k k,ν=1,n det[Rν-1] [1]. Изучим асимптотическое поведение функций ϕj (x, λ) при достаточно больших |ρ|. Обозначим J- := {x : x ∈ [0, a - 0]}, J+ := {x : x ∈ [a + 0,T ]}. Используя ФСР B, получаем n jk ϕj (x, λ) = \ A± (ρ)yk (x, ρ), x ∈ J±. (2.2) Согласно (1.4) имеем n \ A- k=1 (ν-1) k=1 jk (ρ)yk (0, ρ) = δνj, ν = 1, n. Решая эту линейную алгебраическую систему по правилу Крамера и используя (2.1), вычисляем A- jk (ρ) = αjkρ 1-j k 0 [1], αjk := R1-j/n, ρ ∈ Sk , |ρ|→ ∞. (2.3) Подставляя (2.3) в (2.2) и используя (2.1), выводим n ϕ(ν-1) 1 \ ν-j j (x, λ) = n k=1 (ρRk ) exp(ρRkx)[1], x ∈ [0, a - 0], ρ ∈ Sk0 , |ρ|→ ∞. (2.4) Обозначим n 1 γ0 \ Rs j-1 Учитывая (1.3), получаем ks := n A+ j=1 n \ R ajj . k + - где γ+ 0 -1 jk (ρ) = s=1 γks(ρ)Ajs(ρ), (2.5) + ks(ρ) = (γks + O(ρ )) exp(ρ(Rs - Rk )a), ρ ∈ Sk0 , |ρ|→ ∞, det[γks(ρ)]k,s=1,n ≡ det A. (2.6) Из (2.3), (2.5) и (2.6) вытекает, что 1 n A+ \ 1-j 0 -1 jk (ρ) = nρj-1 s=1 Rs (γks + O(ρ )) exp(ρ(Rs - Rk )a), ρ ∈ Sk0 , |ρ|→ ∞. (2.7) Подставляя (2.7) в (2.2) и используя (2.1), получаем при x ∈ [a + 0,T ], ρ ∈ Sk0 , |ρ|→ ∞: ϕ(ν-1) n 1 \ ν-1 n \ 1-j 0 -1 j (x, λ) = nρj-1 k=1 (ρRk ) exp(ρRk (x - a)) s=1 Rs (γks + O(ρ )) exp(ρRsa). (2.8) Отметим, что (2.8) следует также из (1.3) и (2.4). Обозначим Δkν (λ) := (-1)k+ν det[ϕ(μ-1)(T, λ)] , k = 1,n - 1, ν = k, n. (2.9) j ν=1,n-k, j=k,n\ν Функции Δkν (λ) являются целыми по λ порядка 1/n, и их нули {λlkν }l?:0 (с учетом кратностей) совпадают с собственными значениями краевых задач Lkν для уравнения (1.1) с условиями разрыва (1.3) и с краевыми условиями y(μ-1)(0) = y(ξ-1)(T ) = 0, μ = 1,k - 1, ν; ξ = 1,n - k. Функции Δkν (λ) называются характеристическими функциями для краевых задач Lkν. В частности, Lmm = L. Из (1.6) и (2.9) вытекает, что Δmm(λ) = Δ(λ), λlmm = λl. Ввиду (2.9) и (2.2) имеем Δkk (λ) = \ 1:(s1<...<sn-k :(n Из (2.7) следует, что n μ,sj det[A+ (ρ)] μ=k+1,n, j=1,n-k sj · det[y(ν-1)(T, ρ)] j,ν=1,n-k . A+ \ + + 1-j 0 -1 jk (ρ) = s=1 αjs(ρ)bsk (ρ), αjs(ρ) = αjsρ , bsk (ρ) = (γks + O(ρ )) exp(ρ(Rs - Rk )a). Учитывая (2.1), вычисляем при k = 1,n - 1, ρ ∈ Sk0 , |ρ|→ ∞: n 1 \ 0 -1 01 -1 Δkk (λ) = ρσk exp ρT Rj j=k+1 (Δk + O(ρ )) + (Δk + O(ρ )) exp(ρ(Rk - Rk+1)a) +(Δ10 + O(ρ-1)) exp(ρ(Rk - Rk+1)(T - a)) + (Δ1 + O(ρ-1)) exp(ρ(Rk - Rk+1)T ) , (2.10) k k где σk = n(n - 1)/2 - k(k - 1)/2 - (n - k)(n - k - 1)/2, Δ0 0 0 0 01 0 1 01 10 1 0 10 1 1 1 1 k = θkαk Γk, Δk = θkαk Γk , Δk = θkαk Γk , Δk = θkαk Γk, θ0 ν 1 ν k = det[Rj ]j=k+1,n, ν=0,n-k-1, θk = det[Rj ]j=k,n\k+1,ν=o,n-k-1, α0 1 k = det[αjν ]j,ν=k+1,n αk = det[αjν ]j=k+1,n, ν=k,n\k+1, Γ0 0 01 0 k = det[γjν ]j,ν=k+1,n, Γk = det[γjν ]j=k+1,n, ν=k,n\k+1, Γ10 0 1 0 k = det[γjν ]j=k,n\k+1,ν=k+1,n, Γk = det[γjν ]j,ν=k,n\k+1. Ясно, что θ0θ1 /= 0, α0 α1 /= 0. Будем предполагать, что Γ0 /= 0 при k = 1,n - 1. Это условие k k k k k называется условием регулярности склейки. Контрпример в конце статьи показывает важность условия регулярности для спектрального анализа дифференциальных операторов с условиями разрыва внутри интервала. Если A = E (E - единичная матрица), то условие регулярности всегда выполняется. Отметим, что (2.10) следует также из (2.8) и (2.9). Используя (2.10), известным методом (см., например, [4]) получены следующие свойства характеристических функций Δkk (λ): 1. При ρ ∈ Sk0 , |ρ|→ ∞: 1 Δkk (λ) = O ρσk exp ρT n \ j=k+1 Rj . lkk 1. Пусть λlkk = ρn . Обозначим Gδ,k := {ρ : |ρ - ρlkk | ?: δ, ∀l}. Тогда n |Δkk (λ)| ?: C |ρ|σk | exp ρT \ j=k+1 Rj |, ρ ∈ Sk0 ∩ Gδ,k . (2.11) 2. Существуют положительные числа rN → ∞ такие, что при достаточно малом δ > 0 окружности |ρ| = rN лежат в Gδ := n Gδ,k при всех N. k Аналогично, используя (2.9), получаем 1 Δkν (λ) = O exp ρT n \ Rj ρ ∈ Sk , |ρ|→ ∞, (2.12) где σkν := σk + k - ν. ρσkν , 0 j=k+1 Пусть Φk (x, λ), k = 1,n - решения уравнения (1.1), удовлетворяющие условиям разрыва (1.3) и краевым условиям Φ(ν-1) (ξ-1) k (0, λ) = δνk, ν = 1, k, Φk (T, λ) = 0, ξ = 1,n - k. (2.13) Функции Φk (x, λ) называются решениями типа Вейля. Обозначим k Mkν (λ) := Φ(ν-1)(0, λ). Функции Mkν (λ) называются функциями типа Вейля, а матрица M (λ) = [Mkν (λ)]k,ν=1,n называется матрицей типа Вейля. Очевидно, что Mkν (λ) ≡ δkν при k ?: ν и det M (λ) ≡ 1. Из (1.4), (1.5) и (2.13) вытекает, что n Φk (x, λ) = ϕk (x, λ)+ \ Mkν (λ)ϕν (x, λ), Mkν (λ) = Δkν (λ) , (2.14) ν=k+1 det[Φ(ν-1) Δkk (λ) В силу (2.11)-(2.12) вычисляем k (x, λ)]ν,k=1,n = η(x), (2.15) Используя ФСР B, имеем 0 |Mkν (λ)| :( C|ρ|ν-k, ρ ∈ Sk n ∩ Gδ. jk Φj (x, λ) = \ B± (ρ)yk (x, ρ), x ∈ J±. (2.16) Учитывая (1.3) и (2.13), получаем n \ B- k=1 (ν-1) k=1 n jk (ρ)yk (0, ρ) = δνj, ν = 1, j, \ B+ (ν-1) k=1 jk (ρ)yk (T, ρ) = 0, ν = 1,n - j, n B+ \ + - jk (ρ) = s=1 γks(ρ)Bjs(ρ). Эти соотношения образуют линейную алгебраическую систему с определителем Dj (ρ) = D0ρm(n-1)Δjj (λ), D0 /= 0. j j Решая эту систему по правилу Крамера и используя (2.1), (2.6) и (2.11), получаем при ρ ∈ Sk0 ∩Gδ : |B- (ρ)| :( C|ρ|1-j, k = 1, j, |B- (ρ)| :( C|ρ|1-j exp(ρ(Rj - Rk )a), k = j, n, jk jk |B+ (ρ)| :( C|ρ|1-j exp(ρ(Rj - Rk )a), k = 1, j, |B+ (ρ)| :( C|ρ|1-j exp(ρ(Rj - Rk )T ), k = j, n. jk jk Подставляя эти соотношения в (2.16) и используя (2.1), находим (ν-1) 0 |Φj (x, λ)| :( C|ρ|ν-j | exp(ρRjx)|, ρ ∈ Sk Рассмотрим дифференциальное уравнение ∩ Gδ, x ∈ [0,T ], j, ν = 1, n. (2.17) Тогда n-2 f∗z(x) := z(n)(x)+ \(-1)j (pj (x)z(x))(j) = λz(x). (2.18) j=0 n-2 j f∗z(x) = z(n)(x)+ \ p∗(x)z(j)(x), j=0 j где функции p∗(ν)(x), ν = 0,j - 1 являются абсолютно непрерывными при x ∈ [0,T ]. Используя интегрирование по частям, мы находим где T · r fy(x) z(x) dx = T 0 0 T r < y(x), z(x) > + 0 \ n-1 y(x) · f∗z(x) dx, < y(x), z(x) >:= n-ν-1 Lνj (x)y(ν)(x)z(j)(x), ν,j=0 s! Lνj (x) := \ Cjp(s-j) (x), ν + j :( n - 1, Cj := , s=j s s+ν+1 s j!(s - j!) νs и Lνj (x) := 0 при ν + j > n - 1. Обозначим Uνs(y) := y(ν-1)(sT ), s = 0,T, ν = 1, n. Определим линейные формы U ∗ (z) из соотношения < y(x), z(x) >|x=sT = n \(-1) ν=1 n-ν n-ν+1,s U ∗ (z)Uνs(y). kj k,j=1,n Введем матрицу A∗ = [a∗ ] из соотношения < y(x), z(x) >|x=a+0=< y(x), z(x) >|x=a-0, 1 kj kk где y(x) удовлетворяет (1.3). Тогда a∗ = 0 при k < j и a∗ = (an-k+1,n-k+1)- . Определим условия разрыва для f∗ следующим образом: ν νj z(ν-1)(a + 0) = \ a∗ z(j-1)(a - 0), ν = 1, n. (2.19) j=1 l Пусть {λ∗}l?:0 - собственные значения краевой задачи L∗ для уравнения (2.18) с условиями разрыва (2.19) и краевыми условиями νs(z) = 0, s = 0,T, ν = 1, m. Тогда λl = λl, l ?: 0. Обозначим U ∗ 1 ∗ (ν) ∗ ϕk (x, λ) := η(x) det[ϕj (x, λ)]ν=0,n-2; j=1,n\n-k+1, (2.20) 1 (ν) Φ∗ k (x, λ) = η(x) det[Φj (x, λ)]ν=0,n-2; j=1,n\n-k+1. (2.21) Учитывая (1.4), (1.5), (2.13) и (2.15), нетрудно проверить, что функции ϕ∗(x, λ) и Φ∗(x, λ) являk k ются решениями уравнения (2.18) и удовлетворяют условиям разрыва (2.19) и краевым условиям ν0(ϕk ) = δνk, ν = 1, n, Uν0(Φk ) = δνk, ν = 1, k, UξT (Φk ) = 0, ξ = 1,n - k. U ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Из (2.21) следует, что n \(-1)k-1Φ(n-1) ∗ n \ k-1 ∗(n-1) k=1 n-k+1(x, λ)Φk (x, λ) ≡ 1, k=1 (-1) Φn-k+1(x, λ)Φk (x, λ) ≡ 1. (2.22) Аналогично (2.17) имеем j |Φ∗(ν-1) 0 j (x, λ)| :( C|ρ|ν-j | exp(ρR∗x)|, ρ ∈ Sk j ∩ Gδ, x ∈ [0,T ], R∗ = -Rn -j+1. (2.23) 3. ТЕОРЕМЫ О РАЗЛОЖЕНИИ И О ПОЛНОТЕ 1. Теорема о разложении. Обозначим ⎧ n - n ⎪⎨ \( 1)k-1ϕ g(x, t, λ) = k=1 k -k+1(x, λ)ϕ∗(t, λ), x ?: t, (3.1) ⎪⎩ 0 x < t, и построим функцию G(x, t, λ) по формуле (-1)m G(x, t, λ) = ϕm+1(x, λ) ... ϕn(x, λ) g(x, t, λ) ϕm+1(T, λ) ... ϕn(T, λ) g(T, t, λ) ... ... ... ... . (3.2) Δ(λ) (m-1) (m-1) ∂m-1 ϕm+1 (T, λ) ... ϕn (T, λ) ∂xm-1 g(x, t, λ)|x=T Функция G(x, t, λ) называется функцией Грина для краевой задачи L. В силу (3.2) функция G(x, t, λ) является мероморфной по λ с полюсами в точках λ = λl, где {λl}l?:0 - нули функции Δ(λ). Для оценки функции Грина нам потребуется другое ее представление с помощью решений типа Вейля. Лемма 3.1. Справедливо соотношение ⎧ n - ⎪ ⎪ \ (-1)k-1Φn k+1 k (x, λ)Φ∗(t, λ), x ?: t, m G(x, t, λ) = ⎨ k=m+1 ⎪ ⎪ \(-1)k Φn k -k+1(x, λ)Φ∗(t, λ), x < t. (3.3) ⎩ k=1 Доказательство. Согласно (3.1) и (2.20) имеем 1 g(x, t, λ) = η(t) j det[ϕj (t, λ),..., ϕ(n-2)(t, λ), ϕj (x, λ)] j=1,n , x ?: t. Учитывая (2.14) и (1.6), получаем 1 g(x, t, λ) = η(t) j det[Φj (t, λ),..., Φ(n-2)(t, λ), Φj (x, λ)] j=1,n , x ?: t, (3.4) j Δ(λ) = det[Φ(ν-1)(T, λ)] j=m+1,n, ν=1,m , (3.5) (-1)m G(x, t, λ) = Φm+1(x, λ) ... Φn(x, λ) g(x, t, λ) Φm+1(T, λ) ... Φn(T, λ) g(T, t, λ) ... ... ... ... . (3.6) Δ(λ) (m-1) (m-1) ∂m-1 Φm+1 (T, λ) ... Φn (T, λ) Из (2.21) и (3.4) вытекает, что ∂xm-1 g(x, t, λ)|x=T n g(x, t, λ) = \(-1)k-1Φn k=1 k -k+1(x, λ)Φ∗(t, λ), x ?: t. (3.7) В (3.6) мы подставляем (3.7) и (3.5), если x ?: t, и (3.5) и соотношение g(x, t, λ) = 0, если x < t. Разлагая числитель в (3.6) по первой строке и учитывая (2.13), приходим к (3.3). Лемма 3.1 доказана. Теорема 3.1. Пусть функция f (x) является абсолютно непрерывной на [0, a] и [a, T ], f (0) = f (T ) = 0 и f (a + 0) = a11f (a - 0). Тогда lim 1 r max Y (x, λ) dλ f (x) = 0, (3.8) где N →∞ 0:(x:(T 2πi - N |λ|=rn T r Y (x, λ) = 0 G(x, t, λ)f (t) dt. (3.9) Отметим, что по теореме о вычетах интеграл в (3.8) равен частичной сумме ряда Фурье для f (x) по собственным и присоединенным функциям краевой задачи L, и следовательно, теорема 3.1 дает достаточные условия для разложения f (x) в равномерно сходящийся ряд по собственным и присоединенным функциям краевой задачи L (см. следствие 3.1). Доказательство. Подставляя (3.3) в (3.9), получаем n Y (x, λ) = \ (-1)k-1Φn x r -k+1(x, λ) k f (t)Φ∗(t, λ) dt k=m+1 m + \(-1)k Φn k=1 T r -k+1(x, λ) x 0 k f (t)Φ∗(t, λ) dt. Пусть для определенности x ?: a; для случая x < a рассуждения аналогичны. Так как функции ∗ Φk (x, λ) являются решениями уравнения (2.18), то 1 Y (x, λ) = n \ (-1)k-1Φn r a k+1(x, λ) r x n-2 + f (t) Φ∗(n)(t, λ)+ \ p∗(t)Φ∗(j)(t, λ) dt λ k=m+1 - k j k 0 a j=0 T m 1 + \(-1)k Φn r k+1(x, λ) n-2 f (t) Φ∗(n)(t, λ)+ \ p∗(t)Φ∗(j)(t, λ) dt. λ - k k=1 x j k j=0 Выполним здесь интегрирование по частям в главных слагаемых с n-ми производными. Используя (2.22) и условия f (0) = f (T ) = 0, получаем где Y (x, λ) = f (x) λ 4 1 + \ Fk (x, λ), (3.10) λ k=1 F1(x, λ) := f (a - 0)Φ∗(n-1)(a - 0, λ) - f (a + 0)Φ∗(n-1)(a + 0, λ), F2(x, λ) := k n \ (-1)k Φn r a - k+1(x, λ) k x k + r f t(t)Φ∗(n-1)(t, λ) dt, k=m+1 m F3(x, λ) := \(-1)k-1Φn k=1 n 0 T r -k+1(x, λ) x a x r r a k f t(t)Φ∗(n-1)(t, λ) dt, n-2 F4(x, λ) := \ (-1)k-1Φn k+1(x, λ) + f (t) \ p∗(t)Φ∗(j)(t, λ) dt k=m+1 - j k 0 a j=0 m + \(-1)k Φn T r k+1(x, λ) n-2 f (t) \ p∗(t)Φ∗(j)(t, λ) dt. - k=1 j k x j=0 Так как Φ∗(n-1)(a + 0, λ) = a∗ Φ∗(n-1)(a - 0, λ), f (a + 0) = a11f (a - 0), и a∗ = (a11)-1, то k nn k nn F1(x, λ) ≡ 0. (3.11) Учитывая (2.17) и (2.23), вычисляем |F4(x, λ)| :( C|ρ|-1, ρ ∈ Gδ, x ∈ [0,T ]. (3.12) Для F2(x, λ) и F3(x, λ) имеем в виду (2.17) и (2.23): T r |Fk (x, λ)| :( C0 0 |g(t)| dt, k = 2, 3, ρ ∈ Gδ, x ∈ [0,T ], где g(t) := f t(t) ∈ L(0,T ), C0 > 0. Если функция g(t) абсолютно непрерывна на [0,T ], то интегрирование по частям дает |Fk (x, λ)| :( C|ρ|-1 k = 2, 3, ρ ∈ Gδ, x ∈ [0,T ]. В общем случае, когда g(t) ∈ L(0,T ), зафиксируем ε > 0 и выберем абсолютно непрерывную функцию gε(x) такую, что T r ε 0 |gε(x) - g(x)| dx < 2C . 0 Представим Fk (x, λ) как сумму двух слагаемых Fk (x, λ) = Fk (x, λ; gε)+ Fk (x, λ; g - gε), относящихся к функциям gε и g - gε соответственно. Тогда o C |Fk (x, λ)| :( 2 + |ρ| , и следовательно, |Fk (x, λ)| < ε для достаточно больших |ρ|. Это дает max x∈[0,T ] |Fk (x, λ)| = o(1), |ρ|→ ∞, ρ ∈ Gδ, k = 2, 3. (3.13) Из (3.10)-(3.13) вытекает, что max Y (x, λ) - f (x) = o 1 , |ρ|→ ∞, ρ ∈ G , δ x∈[0,T ] λ λ и следовательно, верно (3.8). Теорема 3.1 доказана. l Пусть {ϕ∗(x)}l?:0 - корневые функции краевой задачи L∗ такие, что T r l ϕk (x)ϕ∗(x) dx = δkl. 0 Следствие 3.1. Пусть функция f (x) является абсолютно непрерывной на [0, a] и [a, T ], f (0) = f (T ) = 0 и f (a + 0) = a11f (a - 0). Тогда ∞ f (x) = \ alϕl(x), al = l=0 T r l f (t)ϕ∗(t) dt, 0 где ряд сходится «со скобками»: ∞ \ := lim l=0 N →∞ \ . N |λl|<rn 2. Теорема о полноте. Теорема 3.2. Система {ϕl(x)}l?:0 корневых функций краевой задачи L полна в L2(0,T ). Доказательство. Пусть f (x) ∈ L2(0,T ) и T r Рассмотрим функцию f (x)ϕl(x) dx = 0, l ?: 0. (3.14) 0 T r Z(x, λ) := 0 G∗(x, t, λ)f (t) dt, где G∗(x, t, λ) = G(t, x, λ). В силу (3.3) имеем f∗Z - λZ = f (x). (3.15) Используя (3.14), известным методом (см. [4, Ch. 1]) нетрудно проверить, что при каждом фиксированном x функция Z(x, λ) является целой по λ. С другой стороны, из (3.3), (2.17) и (2.23) вытекает, что |Z(x, λ)| :( C|ρ|1-n, ρ ∈ Gδ, x ∈ [0,T ], и следовательно, Z(x, λ) ≡ 0. Учитывая (3.15), получаем f (x) = 0 п.в. на (0,T ). Теорема 3.2 доказана. Рассмотрим контрпример, показывающий важность условия регулярности. Для этого рассмотрим следующую краевую задачу: -ytt = λy, 0 < x < π, λ = ρ2, y(0) = y(π) = 0, y(k)(a + 0) = (-1)k y(k)(a - 0), k = 0, 1, a = 3π/4. (3.16) Для этой задачи условие регулярности не выполняется, а характеристическая функция имеет вид Δ(λ) = ρ-1 sin ρ(2a - π). l Собственные значения λl = ρ2 краевой задачи (3.16) суть ρl = 2l, l ?: 1, а собственные функции имеют вид ( sin 2lx, x :( 3π/4, yl(x) = (-1)l-1 sin 2lx, x > 3π/4. Система функций {yl(x)}l?:1 не является полной в L2(0, π).