О некоторых задачах, порожденных полуторалинейной формой

Аннотация

На базе обобщенной формулы Грина для полуторалинейной несимметрической формы для оператора Лапласа рассмотрены спектральные несамосопряженные задачи, как близкие к классическим, так и другие, которые встречаются при исследовании задач гидродинамики, дифракции, задач с поверхностной диссипацией энергии. Устанавливаются свойства решений этих задач. Изучаются также начально-краевые задачи, порождающие исследованные спектральные задачи, доказываются теоремы о корректной разрешимости этих задач на произвольном промежутке времени.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Данная работа является подробным изложением докладов авторов на международных конференциях в Абрау-Дюрсо и Ласпи-Батилимане (см. [22, 23], а также [17, гл. 6]). Исходным толчком, побудившим авторов заняться исследованиями спектральных и начально-краевых задач в липшицевых областях, стали работы М. С. Аграновича (см. [1, 2, 37, 38]) и его лекции в ежегодной Крымской осенней математической школе в Батилимане. Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2017 278 Общие подходы, которые применялись при исследовании этих задач, побуждали рассматривать их на базе абстрактной формулы Грина для тройки гильбертовых пространств или полуторалинейных форм, а также на базе соответствующих обобщенных формул Грина для конкретных пространств, возникающих в задачах математической физики (см. [10, 11, 14, 16, 17]). В данной работе рассматриваются несамосопряженные спектральные и начально-краевые задачи, порожденные обобщенной формулой Грина для оператора Лапласа. Общие построения, проведенные здесь, могут быть применены и к другим задачам, в частности, к задачам гидродинамики, теории упругости, дифракции и т. д., а также для аналогичных абстрактных задач, порожденных абстрактной формулой Грина для полуторалинейных форм. В первом разделе напоминаются общие положения, связанные с выводом абстрактной формулы Грина для ограниченных и равномерно аккретивных полуторалинейных форм. Во втором разделе формулируется постановка задачи на базе обобщенной формулы Грина для оператора Лапласа. Рассматриваются слабые решения полной краевой задачи Неймана-Ньютона, приводится общая формула для ее решения (см. (2.32)) с помощью операторов двух вспомогательных краевых задач. В третьем разделе рассматриваются несамосопряженные спектральные задачи, близкие к классическим задачам Дирихле, Неймана-Ньютона, Стеклова, Стефана. Для этих задач доказываются теоремы о структуре спектра, свойствах корневых (собственных и присоединенных) функций, о локализации спектра в комплексной области. Наконец, аналогичные вопросы исследуются для других классов возмущенных спектральных задач. Это задачи С. Крейна, Аграновича, Чуешова. В четвертом разделе изучаются начально-краевые задачи, порожденные полуторалинейной формой для оператора Лапласа и порождающие спектральные задачи третьего раздела. Для этих задач доказываются теоремы существования сильных по времени решений, указываются классы функций, в которых выполняются уравнения и граничные условия задачи. Данная работа написана при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 1421-00066, выполняемый в Воронежском университете). 52. ОБ АБСТРАКТНОЙ ФОРМУЛЕ ГРИНА ДЛЯ ТРОЙКИ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ И ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 1. Формула Грина для тройки гильбертовых пространств. Пусть F и E - гильбертовы пространства со скалярными произведениями (·, ·)F и (·, ·)E соответственно, причем F плотно вложено в E, т. е. F - плотное линейное подмножество в E и существует константа a > 0 такая, что u E � a u F ∀ u ∈ F. (1.1) Говорят, что пространства F и E с указанными свойствами образуют гильбертову пару (F ; E), и обозначают это символом F '→ E. По любой паре (F ; E) единственным образом определяется порождающий оператор A гильбертовой пары, который обладает следующими свойствами: (u, v)F = (A1/2u, A1/2v)E = ∓u, Av⊕E ∀ u, v ∈ F. (1.2) Здесь ∓u, Av⊕E - значение функционала Av ∈ F ∗ на элементе u ∈ F, D(A) = F, R(A) = F ∗. Пусть теперь {E, (·, ·)E }, {F, (·, ·)F }, {G, (·, ·)G} - сепарабельные гильбертовы пространства с введенными в них скалярными произведениями. Будем считать, что для этой тройки пространств выполнены следующие условия: 1◦. Плотность вложения: F '→ E, ||u||E � a||u||F ∀ u ∈ F. 2◦. На F задан оператор γ, называемый оператором следа и действующий из F в G, причем γ : F → R(γ) =: G+ '→ G, ||γu||G � b||u||F ∀ u ∈ F. 3◦. Ядро оператора γ ker γ =: N '→ E, u E � c u F ∀ u ∈ F. Типичным примером, когда выполнены условия 1◦-3◦, является тройка пространств E = L2(Ω), F = H1(Ω), G = L2(Γ), Γ := ∂Ω, где Ω ⊂ Rm - область с липшицевой границей. При этом 0 γu := u|Γ ∀ u ∈ H1(Ω), ker γ = H1(Ω). (1.3) Теорема 1.1 (см. [16]). Пусть для тройки пространств E, F и G (с введенными на них скалярными произведениями) и для оператора следа γ выполнены условия 1◦-3◦. Тогда существуют абстрактное дифференциальное выражение Lu ∈ F ∗ и абстрактная производная по внешней нормали ∂u ∈ (G+)∗ такие, что имеет место абстрактная формула Грина (аналог первой формулы Грина для оператора Лапласа) (η, u)F = ∓η, Lu⊕E + ∓γη, ∂u⊕G ∀ η, u ∈ F. (1.4) При этом ∂u по элементам u ∈ F и Lu ∈ F ∗ определяются однозначно. Замечание 1.1. В приложениях дифференциальное выражение Lu ∈ F ∗, как правило, определено из физического смысла задачи, а тогда и производная по внешней нормали ∂u ∈ (G+)∗ также определена однозначно. Обсуждение этой задачи см. в [42], а также в [16]. Замечание 1.2. Классическим примером, когда в качестве дифференциального выражения выбрано Lu := u - Δu, u ∈ H1(Ω), является обобщенная формула Грина для оператора Лапласа (Ω ⊂ Rm - область с липшицевой границей): r (η, u)H1(Ω) := Ω ∂u (ηu¯ + ∇η · ∇u¯) dΩ = ∓η, u - Δu⊕L2(Ω) + ∓γη, ∂n ⊕L2(Γ) ∀ η, u ∈ H1(Ω), (1.5) ∂n u - Δu ∈ (H1(Ω))∗, γη ∈ H1/2(Γ), ∂u = ∂u ∈ H-1/2(Γ). 2. Полуторалинейные ограниченные формы. Функцию Φ(η, u) : F × F → C, определенную на комплексном гильбертовом пространстве F, называют полуторалинейной формой, если она линейна по η и антилинейна по u: Φ(c1η1 + c2η2, u) = c1Φ(η1, u)+ c2Φ(η2, u), Φ(η, c1u1 + c2u2) = c¯1Φ(η, u1)+ c¯2Φ(η, u2). Простейшим примером полуторалинейной формы на F является скалярное произведение (η, u)F . Полуторалинейная форма называется ограниченной на F, если |Φ(η, u)| � c1 η F · u F ∀ η, u ∈ F, c1 > 0. (1.6) Будем далее считать, что имеется гильбертова пара пространств (F ; E), а потому имеет место и оснащение F '→ E '→ F ∗. Каждой ограниченной форме Φ(η, u) однозначно отвечает линейный ограниченный оператор A : F → F ∗, с помощью которого форма допускает представление Φ(η, u) = ∓η, Au⊕E ∀ η, u ∈ F, A F →F ∗ � c1. (1.7) Форма Φ∗(η, u) := Φ(u, η) (1.8) называется сопряженной к форме Φ(η, u). Если выполнено условие Φ∗(η, u) = Φ(η, u) ∀ η, u ∈ F, (1.9) то форма Φ(η, u) называется эрмитовой или симметрической. Сопряженной форме Φ∗(η, u) однозначно отвечает сопряженный ограниченный оператор A∗ : F → F ∗: Φ∗(η, u) = ∓η, A∗u⊕E. (1.10) Эрмитовой (симметрической) форме отвечает самосопряженный оператор, действующий из F на F ∗: Φ(η, u) = ∓η, Au⊕E = Φ∗(η, u) = Φ(u, η) = ∓u, Aη⊕E ∀ η, u ∈ F. (1.11) Для простейшего примера ограниченной полуторалинейной формы Φ0(η, u) = (η, u)F получаем, что оператором этой формы является оператор A гильбертовой пары (F ; E), который самосопряжен в смысле определения (1.11), причем норма этого оператора равна единице. Форма Φ(η, u) и отвечающий ей оператор A называются равномерно аккретивными (сильно коэрцитивными) в пространстве F, если F Re Φ(u, u) = Re ∓u, Au⊕E � c2 u 2 , c2 > 0 ∀ u ∈ F. (1.12) (Это соотношение иногда называют также усиленным неравенством Гординга.) Равномерно аккретивная форма является ограниченной снизу: F |Φ(u, u)| � c2 u 2 c2 > 0 ∀ u ∈ F. (1.13) Лемма 1.1 (Лакс, Мильграм, см., например, [42]). Ограниченный на F равномерно аккретивный оператор A : F → F ∗, отвечающий форме Φ(η, u), имеет ограниченный обратный оператор A-1 : F ∗ → F, →F A-1 F ∗ 2 � c-1. (1.14) Пусть ограниченная и равномерно аккретивная форма Φ(η, u) является несимметрической: Φ(η, u) = Φ∗(η, u). (1.15) Введем в рассмотрение симметрические формы: 1 ΦR(η, u) := 2 l Φ(η, u)+ Φ∗(η, u) R = Φ∗ (η, u), (1.16) 1 ΦI (η, u) := 2i l Φ(η, u) - Φ∗(η, u) I = Φ∗(η, u), называемые вещественной и мнимой частями формы Φ(η, u), так как Φ(η, u) = ΦR(η, u)+ iΦI (η, u). (1.17) Для ΦR(η, u) имеем неравенства F c2 u 2 F0 � ΦR(u, u) = Re Φ(u, u) =: u 2 F � c1 u 2 ∀ u ∈ F. (1.18) Отсюда следует, что в пространстве F можно ввести норму u F0 , эквивалентную норме u F , а также соответствующее скалярное произведение. Тогда возникает гильбертова пара пространств (F0; E). Обозначим через A0 оператор гильбертовой пары. Для него имеем тождество 1/2 1/2 (η, u)F0 = (A0 η, A0 u)E = ∓η, A0u⊕E ∀ η, u ∈ F0 = F. (1.19) Для ΦI (η, u) в силу предыдущего имеем оценку |ΦI (η, u)| � |Φ(η, u)| � c1 η F · u F � c1c-1 η F u F = 2 0 0 (1.20) = c1c-1 A1/2η E · A1/2u E ∀ η, u ∈ F0 = F. 2 0 0 Отсюда в силу симметричности ΦI (η, u) выводится (см. [16, 25]), что ΦI (η, u) = (QA1/2η, A1/2u)E = (A1/2η, QA1/2u)E , 0 0 0 0 (1.21) откуда следует представление ∀ η, u ∈ F, Q = Q∗ ∈ L(E), A = A1/2 1/2 а также 0 0 (I - iQ)A0 , A ∈ L(F0,F ∗), (1.22) A-1 = A-1/2 -1/2 0 0 (I - iQ)-1A0 , A-1 ∈ L(F ∗, F0). (1.23) 3. Абстрактная формула Грина для полуторалинейных форм. Представление (1.22) для оператора A формы Φ(η, u) позволяет получить обобщение обсуждавшегося в пункте 1.1 варианта, когда имелась тройка пространств E, F и G, а также оператор следа γ. Именно, теперь можно рассмотреть случай, когда вместо пространства F с введенным на нем скалярным произведением (η, u)E = Φ0(η, u) имеется форма Φ(η, u), удовлетворяющая в пространстве F общим условиям (1.6) и (1.12). Соответствующую формулу Грина назовем абстрактной формулой Грина для полуторалинейной формы Φ(η, u). Итак, пусть выполнены условия 1◦-3◦, а также условия (1.6) и (1.12). Тогда для пространства F0 = F с нормой (1.18) и соответствующим скалярным произведением Φ0(η, u) := (η, u)F0 = ΦR(η, u) (1.24) имеет место абстрактная формула Грина Φ0(η, u) = ∓η, L0u⊕E + ∓γη, ∂0u⊕G ∀ η, u ∈ F0. (1.25) При этом F0 = N0 ⊕ M0, N0 = ker γ, M0 := ker L0, (1.26) 0 а L0u и ∂0u - абстрактное дифференциальное выражение и производная по внешней нормали, причем ∂0u однозначно определяется по u ∈ F0 и выбранному L0u ∈ F ∗. Наша цель - получить такую формулу Грина для формы Φ(η, u), которая бы имела вид, близкий к (1.25), и при Q → 0 (см. (1.21), (1.22)), когда Φ(η, u) → Φ0(η, u) = ΦR(η, u), переходила бы в формулу (1.25). Иными словами, желательно получить формулу Грина с непрерывной зависимостью от Q = Q∗ ∈ L(E). При таком построении теперь вместо ортогонального разложения (1.26) для несимметрической формы Φ(η, u) следует воспользоваться прямым разложением F0 = N0 ⊕ M0 = N (+)M, N = N0 = ker γ, M := ker L, (1.27) где Lu - дифференциальное выражение, отвечающее форме Φ(η, u). Теорема 1.2 (см. [16]). Пусть выполнены условия 1◦-3◦ пункта 1.1, а также условия (1.6) и (1.12). Пусть, кроме того, подпространства N и M из (1.27) выбраны таким образом, чтобы Φ(η, u) = 0 ∀ η ∈ N = N0 = ker γ ∀ u ∈ M = ker L. (1.28) Тогда имеет место следующая формула Грина: Φ(η, u) = ∓η, Lu⊕E + ∓γη, ∂u⊕G ∀ η, u ∈ F0 = F, (1.29) 0 Lu ∈ F ∗, ∂u ∈ (G+)∗, 0 причем ∂u определяется по элементам u ∈ F0 и Lu ∈ F ∗ однозначно. Замечание 1.3. При доказательстве теоремы 1.2 в [16] установлено также, что при Q → 0 (см. (1.22)) дифференциальное выражение Lu переходит в L0u из (1.25), а потому и ∂u переходит в ∂0u. Кроме того, подпространство M из (1.27) переходит в M0 = ker L0, а прямая сумма из (1.27) переходит в ортогональную сумму подпространств N0 и M0. Заметим еще, что при условии (1.28) косые проекторы на подпространства (1.27) однозначно выражаются через ортопроекторы из (1.26) и при Q → 0 переходят в них. 53. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ, ПОРОЖДЕННЫЕ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНОЙ НЕСИММЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМОЙ НА ОСНОВЕ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА 1. Формула Грина для невозмущенной задачи. Рассмотрим тройку гильбертовых пространств E = L2(Ω), F = H1(Ω), G = L2(Γ), Γ := ∂Ω, и обычный оператор следа γu := u |Γ, где Ω ⊂ Rm - область с липшицевой границей. Тогда, как было установлено выше, в этом случае имеет место следующая обобщенная формула Грина, порожденная оператором Лапласа: r (η, u)H1(Ω) := Ω ∂u (ηu¯ + ∇η · ∇u¯) dΩ = ∓η, u - Δu⊕L2(Ω) + ∓γη, ∂n ⊕L2(Γ) ∀ η, u ∈ H1(Ω), (2.1) ∂n u - Δu ∈ (H1(Ω))∗, γη ∈ H1/2(Γ), ∂u ∈ H-1/2(Γ). (2.2) Здесь слева в (2.1) стоит скалярное произведение в H1(Ω), и оно является симметрической полуторалинейной формой в H1(Ω) : Φ0(η, u) := (η, u)H1(Ω). На основе этой формулы Грина можно исследовать слабые решения классических краевых задач для оператора Лапласа, т. е. задачи Дирихле, Неймана и другие, а также соответствующие спектральные и начально-краевые задачи. Целью дальнейших рассмотрений является исследование подобных задач в несимметрическом случае, когда вместо скалярного произведения (η, u)H1(Ω) = Φ0(η, u) имеется полуторалинейная несимметрическая форма Φε(η, u), определенная на пространстве H1(Ω), ограниченная на нем и являющаяся равномерно аккретивной. Параметр ε ∈ R будет введен для удобства дальнейших рассмотрений, причем все изучаемые задачи при ε → 0 будут переходить в задачи, отвечающие соответствующим невозмущенным задачам. Отметим еще, что в (2.1) дифференциальное выражение имеет вид L0u = u -Δu, а производная по внешней нормали ∂0u := (∂u/∂n)Γ. 2. О формуле Грина для возмущенной задачи. Рассмотрим дифференциальное выражение m Lεu := u - Δu + ε , ck k=1 ∂u ∂xk , ck ∈ R, k = 1, m, ε ∈ R, (2.3) а также соответствующую обобщенную формулу Грина для полуторалинейной формы. Как было видно из предыдущих рассмотрений, и дифференциальное выражение, и вид полуторалинейной формы можно выбирать неоднозначно, а краевые, спектральные и начально-краевые задачи затем формулировать на основе этой выбранной формулы Грина. При дальнейшем рассмотрении задач, основываясь на тождествах r ∂u¯ η ∂xk Ω r dΩ = - Ω ∂η ∂xk r u¯dΩ+ Γ cos(_n---, _ek )ηu¯ dΓ ∀ η, u ∈ H1(Ω) (2.4) и учитывая вид Lεu из (2.3), на основе формулы (2.1) приходим к выводу, что имеет место следующая обобщенная формула Грина для полуторалинейной формы: m Φε(η, u) := (η, u)H1(Ω) + 2ε , ck η, ∂u ∂η l - ,u = k=1 ∂xk L2(Ω) 1 ∂xk L2(Ω) (2.5) = ∓η, Lεu⊕L2(Ω) + ∓γη, ∂εu⊕L2(Γ) ∀ η, u ∈ H m (Ω), ∂εu := ∂0u - εσγu, σ := , ck cos(_n---, _ek ), ∂εu ∈ H-1/2(Γ), (2.6) k=1 где Lεu ∈ (H1(Ω))∗ - дифференциальное выражение (2.3), а ∂0u := (∂u/∂n)Γ. Все дальнейшие задачи будем формулировать на базе этой формулы Грина. Отметим еще, что Lεu = L0u + L1u, где L1u - дифференциальное выражение первого порядка, в то время как L0u = u - Δu - дифференциальное выражение второго порядка. Проверим, что полуторалинейная форма Φε(η, u) из (2.5) ограничена в H1(Ω) и равномерно аккретивна. Имеем ∂u ∂η ∂u η, ∂xk - L2(Ω) ,u ∂xk L2(Ω) k � η L2(Ω) · ∂x L2(Ω)+ (2.7) Поэтому ∂η k + ∂x L2(Ω) · u L2(Ω) � 2 η H1(Ω) · u H1(Ω). ( m \ , Φε(η, u) � c˜1 η H1(Ω) · u H1(Ω), c˜1 = 1+ 4|ε| k=1 |ck | , (2.8) т. е. Φε(η, u) ограничена в H1(Ω). Далее, сопряженная форма имеет вид m Φ∗(η, u) = Φ(u, η) = (η, u)H1(Ω) - 2ε , ck η, k=1 ∂u ∂xk L2(Ω) ∂η - ∂xk ,u L2(Ω) l . (2.9) Отсюда и из (2.5) получаем, что 1 l 2 ε Re Φε(u, u) = 2 Φε(u, u)+ Φ∗(u, u) = (u, u) H1(Ω) = u H1(Ω) , (2.10) т. е. Φε(u, u) равномерно аккретивна в H1(Ω) с константой c2 = 1. Тогда из общей теории таких полуторалинейных форм следует, во-первых, что форме Φε(η, u) однозначно отвечает оператор Aε : H1(Ω) → (H1(Ω))∗, связанный с формой соотношениями Φε(η, u) = ∓η, Aεu⊕L2(Ω) ∀ η, u ∈ H 1(Ω), Aεu ∈ (H 1(Ω))∗, (2.11) а во-вторых, этот оператор имеет ограниченный обратный A-1 o : (H 1(Ω))∗ 1 → H (Ω) (2.12) (теорема Лакса-Мильграма). Заметим еще, что пространство L2(Ω) имеет оснащение H1(Ω) '→'→ L2(Ω) '→'→ (H1(Ω))∗ (2.13) (с компактными вложениями левых пространств в правые). Отметим, наконец, что связь оператора Aε, отвечающего форме Φε(η, u), и оператора A0, отвечающего невозмущенной форме Φ0(η, u) = (η, u)H1(Ω), будет выяснена ниже. 3. Краевые задачи, порожденные несимметрической формой. Рассмотрим теперь краевые задачи, отвечающие формуле Грина (2.5), (2.6) и связанные с дифференциальным выражением Lεu из (2.3). 1◦. Первая краевая задача Неймана-Ньютона. Эта задача соответствует уравнению Пуассона для дифференциального выражения Lεu и однородному условию Неймана-Ньютона (аналог первой вспомогательной задачи С. Крейна): Lεv = f (в Ω), ∂εv = 0 (на Γ), (2.14) m Lεv := v - Δv + ε , ck k=1 ∂v ∂xk , ∂εv := ∂0v - εσγv. (2.15) Будем изучать слабые решения этой задачи, считая, что искомая функция v ∈ H1(Ω), и используя формулу Грина (2.5). Определение 2.1. Слабым решением задачи (2.14), (2.15) назовем такую функцию v = vε(x) ∈ H1(Ω), для которой выполнено тождество Φε(η, v) = ∓η, f ⊕L2(Ω) ∀ η ∈ H 1(Ω). (2.16) Теорема 2.1. Задача (2.14), (2.15) имеет слабое решение v = vε ∈ H1(Ω) тогда и только тогда, когда выполнено условие Это решение выражается формулой f ∈ (H1(Ω))∗. (2.17) ε vε = A-1f, Aε ∈L (H1(Ω); (H1(Ω))∗), (2.18) где Aε - оператор полуторалинейной формы Φε(η, u) (см. (2.11)). Доказательство. Заметим сначала, что правая часть в (2.16) является линейным ограниченным функционалом в H1(Ω) тогда и только тогда, когда выполнено условие (2.17). Далее, любой линейный ограниченный функционал относительно η ∈ H1(Ω) выражается не только в виде скалярного произведения (η, v∗)H1(Ω) (теорема Ф. Рисса), но также и в виде Φε(η, vε), т. е. существует единственный элемент vε ∈ H1(Ω), для которого выполнено тождество (2.16), если f ∈ (H1(Ω))∗. Однако в силу свойства (2.11) тогда будем иметь Φε(η, vε) = ∓η, Aεvε⊕L2(Ω) = ∓η, f ⊕L2(Ω) ∀ η ∈ H 1(Ω). (2.19) Отсюда получаем, что Aεvε = f, и так как Aε имеет ограниченный обратный (см. (2.12)), приходим к выводу, что имеет место формула (2.18), где Aε - оператор полуторалинейной формы Φε(η, u). 2◦. Вторая краевая задача Неймана-Ньютона. В этой задаче имеем однородное уравнение в Ω и неоднородное условие Неймана-Ньютона на Γ = ∂Ω: Lεw = 0 (в Ω), ∂εw = ψ (на Γ). (2.20) Определение 2.2. Слабым решением задачи (2.20) назовем такую функцию w = wε ∈ H1(Ω), для которой выполнено тождество Φε(η, w) = ∓γη, ψ⊕L2(Γ) ∀ η ∈ H 1(Ω). (2.21) Теорема 2.2. Задача (2.20) имеет слабое решение w ∈ H1(Ω) тогда и только тогда, когда выполнено условие Это решение дается формулой ψ ∈ H-1/2(Γ). (2.22) h,ε w = wε = Vεψ, Vε ∈L (H-1/2(Γ); H1 (Ω)), (2.23) H1 h,ε(Ω) := {w ∈ H 1(Ω) : Lεw = 0} = ker Lε. (2.24) Доказательство. Проверим, что правая часть в (2.21) является линейным ограниченным функционалом в H1(Ω) (относительно η) тогда и только тогда, когда выполнено условие (2.22). Действительно, из теоремы Гальярдо (см. [41]) имеем оценку γη H1/2(Γ) � c1 η H1(Ω) ∀ η ∈ H1(Ω). (2.25) Поэтому 1 . (2.26) 2 ∓γη, ψ⊕ L (Γ)� γη H1/2(Γ) · ψ H-1/2(Γ) � (c1 ψ H-1/2(Γ)) · η H (Ω) Здесь при выводе был использован также факт наличия оснащения H1/2(Γ) '→'→ L2(Γ) '→'→ H-1/2(Γ), (2.27) который имеет место для областей Ω ⊂ Rm с липшицевой границей Γ = ∂Ω. Итак, поскольку правая часть в (2.21) - линейный ограниченный функционал в H1(Ω), то найдется единственный элемент w = wε ∈ H1(Ω) такой, что этот функционал имеет вид Φε(η, wε), т. е. выполнено тождество (2.21). Решение wε находится однозначно по элементу ψ, поэтому wε = Vεψ, где Vε - линейный ограниченный оператор, действующий из H-1/2(Γ) в H1(Ω). h,ε Покажем, что область значений оператора Vε дает все пространство H1 (Ω) из (2.24). В самом 0 деле, из общей теории абстрактной формулы Грина для полуторалинейных форм, а также из (2.5) при η ∈ H1(Ω) = ker γ следует, что Φε(η, wε) = 0 тогда и только тогда, когда Lεwε = 0, т. е. h,ε wε ∈ H1 (Ω) = ker Lε. Иными словами, имеет место прямое разложение H1(Ω) = H1(Ω)(+)H1 (Ω). (2.28) 0 h,ε Однако при η ∈ H1(Ω) из (2.21) имеем Φε(η, wε) = 0, и тогда Lεwε = 0, т. е. wε ∈ H1 (Ω). 0 h,ε Значит, оператор Vε, wε = Vεψ, действует из H-1/2(Γ) на H1 h,ε (Ω) ограниченным образом, т. е. h,ε имеет место свойство Vε ∈L (H-1/2(Γ); H1 (Ω)). 3◦. Полная краевая задача Неймана-Ньютона. Эта задача отвечает неоднородному уравнению Пуассона в Ω и неоднородному условию Неймана-Ньютона на Γ = ∂Ω: Lεu = f (в Ω), ∂εu = ψ (на Γ), (2.29) Определение 2.3. Слабым решением задачи (2.29) назовем такую функцию u ∈ H1(Ω), для которой выполнено тождество Φε(η, u) = ∓η, f ⊕L2(Ω) + ∓γη, ψ⊕L2(Γ) ∀ η ∈ H следующее из формулы Грина (2.5) и уравнений (2.29). 1(Ω), (2.30) Опираясь на решения задачи (2.14), (2.15), а также задачи (2.20), приходим к следующему выводу. Теорема 2.3. Задача (2.29) имеет слабое решение u = uε ∈ H1(Ω) тогда и только тогда, когда выполнены условия (2.17) и (2.22): f ∈ (H1(Ω))∗, ψ ∈ H-1/2(Γ). (2.31) При этом оно представляется в виде ε uε = vε + wε = A-1f + Vεψ, (2.32) ε где A-1 и Vε - операторы, описанные в теоремах 2.1 и 2.2 соответственно. Доказательство. Введем функции vε и wε как слабые решения задач (2.14), (2.15) и (2.20). Опираясь на формулировки их слабых решений (см. (2.16), (2.21)), получим с учетом (2.30) для u˜ε := vε + wε тождество Φε(η, u˜ε) = ∓η, f ⊕L2(Ω) + ∓γη, ψ⊕L2(Γ) =: Φε(η, uε) ∀ η ∈ H Отсюда следует, что 1(Ω). (2.33) Φε(η, uε - u˜ε) = 0 ∀ η ∈ H1(Ω), и потому uε = u˜ε := vε + wε, т. е. имеет место формула (2.32). Таким образом, слабое решение полной краевой задачи Неймана-Ньютона есть сумма слабых решений задач пунктов 1◦ и 2◦, разобранных выше. 4◦. Однородная задача Дирихле для уравнения Пуассона. Рассмотрим теперь задачу m Lεu := u - Δu + ε , ck k=1 ∂u ∂xk = f (в Ω), γu := u|Γ = 0 (на Γ) (2.34) 0 Будем разыскивать ее слабое решение, считая, что искомая функция u = uε(x) ∈ H1(Ω), H1 0 (Ω) := {u ∈ H 1(Ω) : γu = 0 (на Γ)}. (2.35) 0 Для функций из H1(Ω) формула Грина (2.5) принимает вид 1 Φ0,ε(η, u) = ∓η, Lεu⊕L2(Ω) ∀ η, u ∈ H0 (Ω). (2.36) 0 0 При этом сужение Φ0,ε(η, u) полуторалинейной формы Φε(η, u) с H1(Ω) на H1(Ω) ⊂ H1(Ω) обладает теми же общими свойствами, которыми она обладала на всем H1(Ω): после такого сужения Φ0,ε(η, u) снова является ограниченной и равномерно аккретивной формой в H1(Ω). Отметим еще, что пространство L2(Ω) имеет оснащение H1 1 ∗ 0 (Ω) '→'→ L2(Ω) '→'→ (H0 (Ω)) . (2.37) Из этих свойств следует, что форме Φ0,ε(η, u) отвечает оператор A0,ε ∈ L(H1(Ω); (H1(Ω))∗), 0 0 который дает связь, аналогичную (2.11): 1 Φ0,ε(η, u) = ∓η, A0,εu⊕L2(Ω) ∀ η, u ∈ H0 (Ω). (2.38) 0 Определение 2.4. Слабым решением задачи (2.34) назовем такую функцию u = u0,ε ∈ H1(Ω), для которой выполнено тождество 1 следующее из (2.36) и (2.34). Φ0,ε(η, u) = ∓η, f ⊕L2(Ω) ∀ η ∈ H0 (Ω), (2.39) 0 Теорема 2.4. Задача (2.34) имеет слабое решение u = uε ∈ H1(Ω) тогда и только тогда, когда выполнено условие: В этом случае 0 f ∈ (H1(Ω))∗. (2.40) uε = A-1f, A-1 ∈L ((H1(Ω))∗; H1(Ω)). (2.41) 0,ε 0,ε 0 0 0 H1 Доказательство. Оно в точности повторяет доказательство теоремы 2.1 с заменами H1(Ω) 1→ 0 (Ω), Aε 1→ A0,ε и с учетом того факта, что правая часть в (2.39) является линейным ограниченным функционалом относительно η в H1(Ω) тогда и только тогда, когда выполнено условие (2.40). При этом вместо (2.11) используется формула (2.38). 54. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, ПОРОЖДЕННЫЕ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНОЙ ФОРМОЙ В этом разделе изучаются несамосопряженные спектральные задачи, порожденные полуторалинейной формой Φε(η, u) из (2.5), а также разобранными в пункте 2.3 краевыми задачами и некоторыми новыми задачами. 0. Спектральная задача Дирихле. Если в краевой задаче Дирихле (2.34) положить f = λu, то придем к задаче m Lεu := u - Δu + ε , ck k=1 ∂u ∂xk = λu (в Ω), u = 0 (на Γ = ∂Ω). (3.1) Здесь снова ck ∈ R, k = 1, m, ε ∈ R, а λ ∈ C - спектральный параметр. Исследование этой задачи будем проводить методами теории самосопряженных и несамосопряженных операторов, действующих в гильбертовом пространстве, в данном случае - в комплексном пространстве L2(Ω). При этом для простоты изложения будем считать границу области Γ = ∂Ω принадлежащей классу C2, т. е. дважды непрерывно дифференцируемой. Введем в рассмотрение оператор A0, действующий в L2(Ω) по закону 0 A0u := u - Δu, u ∈ D(A0) := H1(Ω) ∩ H2(Ω). (3.2) Опираясь на известные методы (см. [12, 32, 33]), можно доказать, что оператор A0, заданный на области определения D(A0) из (3.2), является неограниченным самосопряженным положительно определенным оператором, действующим в L2(Ω). При этом его квадратичная форма 2 r 2 2 2 0 (Ω) (A0u, u)L2(Ω) = u H1 = Ω (|∇u| + |u| )dΩ � u L2(Ω) ∀ u ∈ D(A0). (3.3) 0 0 После замыкания по норме H1(Ω) из (3.3) получаем, что энергетическое пространство HA оператора A0 совпадает с H1(Ω) = D(A1/2), т.е 0 0 1/2 2 2 2 1 0 (Ω) A0 u L2(Ω) = u H1 � u L2(Ω) ∀ u ∈ H0 (Ω) = HA0 . (3.4) 0 Так как H1(Ω) компактно вложено в L2(Ω) (см. (2.37)), то по основной теореме о спектре (см. [33]) k=1 получаем, что оператор A0 имеет дискретный положительный спектр {λk (A0)}∞ , состоящий из положительных конечнократных собственных значений λk (A0) � 1, имеющих предельную точку k=1 λ = +∞. При этом система его собственных элементов {uk (A0)}∞ образует ортогональный базис 0 как в L2(Ω), так и в H1(Ω): 0 (Ω) (uk, ul)L2(Ω) = δk,l, (uk, ul)H1 = λk (A0)δk,l, k, l = 1, 2,.... (3.5) Отметим еще, что собственные значения λk (A0) имеют асимптотическое поведение λk (A0) = dmk2/m[1 + o(1)], dm > 0, k → ∞, Ω ⊂ Rm. (3.6) В частности, при m = 3 (трехмерное пространство) имеем известную классическую асимптотику Вейля (см. [1]): |Ω| -2/3 2/3 λk (A0) = 6π2 k [1 + o(1)] (k → ∞). (3.7) Опишем теперь в операторной форме свойства второго слагаемого слева в уравнении (3.1). Введем в рассмотрение оператор m B0u := i , ck k=1 J ∂u ∂xk , ck ∈ R, (3.8) u ∈ D(B0) := u ∈ H1(Ω) : u = 0 (на Γ) = H1(Ω) = D(A1/2) ⊃ D(A0). (3.9) 0 0 Можно убедиться, используя прием интегрирования по частям, что (B0u, v)L2(Ω) = i m r , ck ∂u r v¯ dΩ = ∂x ( m u i , ∂v ck ∂x \ dΩ = k=1 Ω k 1 Ω k=1 k (3.10) = (u, B0v)L2(Ω) ∀ u, v ∈ H0 (Ω) = D(B0). 0 Отсюда следует, что B0 - неограниченный самосопряженный оператор, действующий в L2(Ω) и заданный на области определения D(B0) = D(A1/2). После введения операторов A0 и B0 задачу (3.1) можно в операторной форме переписать в виде 0 0 (A0 - iεB0)u = λu, u ∈ D(A0) ⊂ D(A1/2) = H1(Ω) = D(B0) ⊂ L2(Ω), (3.11) где свойства операторов A0 и B0 уже описаны выше. Таким образом, возникла несамосопряженная спектральная задача на собственные значения для оператора A0 - iεB0. Преобразуем задачу (3.11) к виду, для которого можно использовать известные теоремы М. В. Келдыша (см. [9, п. 5.8]). Прежде всего отметим, что оператор A0 - iεB0 имеет нулевое ядро. В самом деле, если (A0 - iεB0)u0 = 0, u0 ∈ D(A0), то отсюда выводим, в силу свойств A0 и B0, что 0 2 H1(Ω) (A0u0, u0)L (Ω) = u0 2 = 0 ⇒ u0 = 0. Значит, оператор A0 - iB0 имеет обратный. Действительно, из определения (3.8), (3.9) оператора 0 B0 и определения нормы в H1(Ω) ⊂ H1(Ω) легко выводится неравенство 0 (Ω) B0u L2(Ω) � c0 u H1 0 = c0 A1/2 1 u L2(Ω) ∀u ∈ H0 (Ω). (3.12) После замены u = A-1/2v, v ∈ L2(Ω), отсюда получаем, что B0A-1/2 : L2(Ω) → L2(Ω) - ограни- 0 0 ченный оператор. Опираясь на эти факты, осуществим в (3.11) замену искомого элемента: A1/2 0 u = v, v ∈ L2(Ω). (3.13) Тогда вместо (3.11) возникает спектральная задача (I - iεC0)v = λA-1v, C0 := A-1/2(B0A-1/2) = C∗ ∈ S (L (Ω)). (3.14) 0 0 0 0 ∞ 2 Здесь оператор I - iεC0 в силу самосопряженности C0 имеет ограниченный обратный оператор, и потому задача (3.14) равносильна задаче на собственные значения (I + T (ε))A-1v = μv, μ = λ-1, 0 ∞ I + T (ε) := (I - iεC0)-1, T (ε) ∈ S (L2(Ω)). (3.15) Отметим, наконец, что в силу асимптотической формулы (3.6) имеем свойство A-1 0 ∈ Sp, p > m/2, (3.16) и потому к задаче (3.15) применимы теоремы М. В. Келдыша (см. [9, c. 314-320]). Отсюда получаем такой вывод. Теорема 3.1. Задача (3.11), а потому и исходная задача (3.1) имеют дискретный спектр, состоящий из конечнократных собственных значений λk, k = 1, 2,..., расположенных в правой полуплоскости и имеющих предельную точку λ = ∞. Для любого δ > 0 все собственные значения этой задачи, кроме, быть может, конечного их числа, лежат в секторе |arg λ| < δ. 1 Система корневых (собственных и присоединенных) элементов задачи (3.11) полна в энергетическом пространстве HA0 = H0 (Ω) оператора A0. Собственные значения λk задачи (3.11) имеют асимптотическое поведение λk = λk (A0)[1 + o(1)], k → ∞, (3.17) где λk (A0), в свою очередь, имеют асимптотическое поведение (3.6). Доказательство. В задаче (3.15) оператор Z := (I + T (ε))A-1 = (I - iεC0)-1A-1 полный, т. е. 0 0 0 ker Z = {0}, поскольку Z обратим и Z-1 = A0(I-iεC0). Далее, для A-1 выполнено свойство (3.16), A причем 0 -1 - положительный оператор. Поэтому к уравнению (3.15) применима первая теорема М. В. Келдыша. Согласно утверждениям этой теоремы приходим к следующим выводам. k=1 1◦. Система корневых (собственных и присоединенных) элементов {vk }∞ этой задачи полна в L2(Ω). 2◦. Все собственные значения μk этой задачи конечнократны и для любого δ > 0 расположены, кроме, быть может, конечного их числа, в угле |arg μ| < δ. Кроме того, все они находятся в правой комплексной полуплоскости и имеют предельную точку μ = 0. Отсюда для задачи (3.14), а потому и для задач (3.11), (3.1) получаем, что они имеют дискретk=1 ный спектр {λk }∞ , расположенный в правой комплексной полуплоскости и имеющий предельную точку λ = ∞. При этом из условия |arg μ| < δ следует условие |arg λ| < δ, так что при любом δ > 0 собственные значения λk, кроме, быть может, конечного числа, лежат в угле |arg λ| < δ. k=1 Наконец, из полноты системы корневых элементов {vk }∞ задачи (3.15) в силу замены (3.13) следует свойство полноты системы корневых элементов uk = A-1/2vk , k = 1, 2,..., uk ∈ D(A1/2) = 0 0 H1 0 (Ω) = HA0 , т. е. в энергетическом пространстве HA0 оператора A0. Вернемся теперь к задаче (3.14), переписанной в виде 0 L(λ)v := (I - iεC0 - λA-1)v = 0, v ∈ L2(Ω), (3.18) т. е. к задаче на собственные значения для линейного относительно λ операторного пучка L(λ). 1 Так как здесь C0 = C∗ ∈ S∞(L2(Ω)), A- - полный положительный компактный оператор, соб- 0 0 ственные значения которого в силу (3.6) имеют степенную асимптотику собственных значений λk (A-1) = d-1k-2/m[1 + o(1)], k → ∞, (3.19) 0 m то к пучку (3.18) применима теорема Маркуса-Мацаева (см., например, [29], а также [30]), из которой следует, что асимптотика собственных значений λk в задаче (3.18) такая же, как в задаче для укороченного пучка: 0 L0(λ)v := (I - λA-1)v = 0. (3.20) Отсюда и следует асимптотическая формула (3.17). Отметим, наконец, что расположение собственных значений λk в правой комплексной полуплоскости следует также из (3.18) при λ = λk, v = vk : 1 -1 (v, v)L2(Ω) - Re λ(A- v, v)L (Ω) = 0, A > 0, k = 1, 2,.... (3.21) 0 2 0 Наличие степенной асимптотики собственных значений оператора A0 (см. (3.6)), а также свой- 0 ство ограниченности оператора B0A-1/2 : L2(Ω) → L2(Ω) позволяет установить более сильные утверждения о свойствах решений спектральной задачи (3.14). Теорема 3.2. Спектр задачи (3.18) расположен в параболической области Λε 0 := J Re λ � λ1(A0) : |Im λ|2 � ε2 B0A-1/2 2 § Re λ , (3.22) 0 а корневые элементы этой задачи образуют базис Абеля-Лидского порядка α > m/2 в пространстве H1(Ω). Доказательство. Для любого собственного значения λ и отвечающего ему элемента v задачи (3.14) имеем соотношение (3.21), откуда следует, что 2 1/2 2 Re λ = v L2(Ω) = A0 u L2(Ω) � λ (A ), v = A1/2u. (3.23) A-1/2 0 v L2(Ω) Далее, из (3.14) следует также соотношение -1/2 u 2 1 0 L2(Ω) -1/2 0 -1/2 2 и потому -ε(Cv, v)L2(Ω) = -ε(A0 (B0A0 )v, v)L2(Ω) = (Imλ) A0 v L2(Ω), 2 | Imλ|· A-1/2v � |ε| B0A-1/2 · v · A-1/2v . (3.24) 0 L2(Ω) 0 L2(Ω) 0 L2(Ω) Отсюда и из (3.23) получаем связь: | Imλ| � ε B0A-1/2 · v / A-1/2v = |ε| B A-1/2 (Reλ)1/2. 0 L2(Ω) 0 L2(Ω) 0 0 Поэтому спектр задачи (3.18) расположен в параболической области (3.22). Осуществим теперь в задаче (3.14) замену искомого элемента по формуле (I - iεC0)v =: w. (3.25) Тогда это уравнение преобразуется к виду A-1 0 (I + T (ε))w = μw, μ = λ-1 . (3.26) 0 Здесь I + T (ε) - оператор из (3.15), T (ε) ∈ S∞(L2(Ω)), а асимптотика собственных значений компактного положительного оператора A-1, как следует из (3.19), такова: λk (A-1) ∼ d-1k-p, p = 2/m, k → ∞. (3.27) 0 m k=1 Поэтому согласно утверждению из [38, c. 292] корневые элементы {wk }∞ , wk = (I - iεC0)vk, задачи (3.26), отвечающие корневым элементам vk задачи (3.14), образуют базис Абеля-Лидского k=1 порядка α > p-1 = m/2. Однако при замене (3.25) базис {wk }∞ k=1 переходит в базис {vk }∞ , и k=1 потому корневые элементы {vk }∞ задачи (3.14) также образуют базис Абеля-Лидского порядка α > m/2 в пространстве L2(Ω). Отсюда с учетом замены (3.13) приходим к выводу, что в задаk=1 че (3.11) корневые элементы {uk }∞ 0 , uk = A-1/2vk , образуют базис Абеля-Лидского порядка 1 1/2 α > m/2 в энергетическом пространстве HA0 = H0 (Ω) = D(A0 ) оператора A0. 1. Спектральная задача Неймана-Ньютона. Так называют спектральную задачу вида Lεv = λv (в Ω), ∂εv = 0 (на Γ), (3.28) где Lεv и ∂εv - дифференциальное выражение и производная по нормали, определенные по формулам (2.3), (2.6): m Lεv := v - Δv + ε , ck k=1 ∂v ∂xk m , ck ∈ R, k = 1, m, ε ∈ R, (3.29) ∂εv := ∂0v - εσγv, σ = , ck cos(_n---, _ek ), ∂0v := (∂v/∂n)Γ. (3.30) k=1 В задаче (3.28) спектральный параметр λ ∈ C входит в уравнение. Наряду с (3.28)-(3.30) рассмотрим также невозмущенную спектральную задачу Неймана: ∂v L0v := v - Δv = λv (в Ω), ∂0v := ( ∂n )Γ = 0 (на Γ). (3.31) Как известно, эта задача равносильна уравнению Av = λv, (3.32) v ∈ D(A) = ∈ ∂v ( v H2(Ω) : = 0 (на Γ) ∂n ⊂ D(A1/2) = H1(Ω) '→'→ L2(Ω). (3.33) k=1 При этом оператор A имеет дискретный положительный спектр {λk (A)}∞ с предельной точкой ∞ λ = +∞ и систему собственных элементов {vk (A)}k=1, образующих ортогональный базис как в L2(Ω), так и в H1(Ω): (vk, vj )L2(Ω) = δkj, (vk, vj )H1(Ω) = λk (A)δkj, k, j = 1, 2,.... (3.34) Кроме того, известно, что собственные значения λk (A) невозмущенной задачи Неймана (3.31) имеют такое же асимптотическое поведение, как собственные значения невозмущенной задачи Дирихле (см. (3.6), (3.7)): λk (A) = dmk2/m[1 + o(1)], dm > 0, k → ∞, d3 = |Ω| -2/3 6π2 . (3.35) Прежде чем исследовать задачу (3.28)-(3.30), найдем операторную связь между решениями v = vε возмущенной задачи Lεv = f (в Ω), ∂εv = 0 (на Γ) (3.36) и решениями v = v0 невозмущенной задачи L0v = f (в Ω), ∂0v = 0 (на Γ) (3.37) с одной и той же заданной функцией f. Перепишем задачу (3.36) в виде m L0v = -ε , ck k=1 ∂v ∂xk + f =: -εBv + f (в Ω), ∂0v = εσγv (на Γ). (3.38) Воспользуемся теперь формулой для решения полной краевой задачи Неймана-Ньютона из пункта 2.3, т. е. формулой (2.32), рассмотренной, однако, при ε = 0: v = v1 + v2 = A-1f + V ψ, (3.39) где v1 = A-1f - решение задачи а v2 = Vψ - решение задачи L0v1 = f, ∂0v1 = 0 ⇔ Av1 = f, (3.40) L0v2 = 0, ∂0v2 = ψ. (3.41) Получение таких формул для слабых решений описаны в пункте 2.3 (см. задачи 1◦-3◦). Для задачи (3.38) тогда будем иметь связь v = A-1(-εBv + f )+ V (εσγv). (3.42) Здесь A - оператор гильбертовой пары (H1(Ω); L2(Ω)), свойства которого описаны выше, V : h H-1/2(Γ) → H1(Ω) - оператор задачи (3.41), а v = vε - решение задачи (3.36). Из (3.42) получаем соотношение [I + ε(A-1B - V σγ)]vε = A-1f = v0, (3.43) где v0 - решение невозмущенной задачи (3.37), vε ∈ H1(Ω) = D(A1/2). Поэтому в (3.43) можно сделать замену vε = A-1/2ηε, ηε ∈ L2(Ω). (3.44) Более того, из (3.43) видно, что в этом уравнении все слагаемые принадлежат D(A1/2). Поэтому после замены (3.44) и действия слева оператором A1/2 получаем соотношение для ηε: [I + ε(A-1/2BA-1/2 - (A1/2V )σ(γA-1/2))]ηε = η0 := A1/2v0 = A-1/2f. (3.45) Изучим теперь общие свойства операторных коэффициентов из (3.45). Лемма 3.1. Оператор B, определенный соотношением m Bv := , ck k=1 ∂v ∂xk , D(B) = H1(Ω), (3.46) является линейным ограниченным оператором, действующим из H1(Ω) в L2(Ω). Доказательство. Оно основано на элементарном неравенстве 1 ∂v 12 r ∂v 2 2 1 1 1 = dΩ � v H1(Ω) ∀ v ∈ H (Ω). (3.47) 1 ∂xk 1L2(Ω) ∂xk Ω В качестве следствия из этой леммы получаем такой вывод: оператор BA-1/2 ∈ L(L2(Ω)), (3.48) так как A-1/2 ∈ L(L2(Ω); H1(Ω)). Отсюда, в свою очередь, приходим к выводу, что A-1/2(BA-1/2) является компактным оператором, действующим в L2(Ω). Рассмотрим теперь свойства второго оператора из (3.45), т. е. оператора (A1/2V )σ(γA-1/2). Прежде всего заметим, что m σ = σ(x) := , ck cos(_n---, _ek ), x ∈ Γ (3.49) k=1 - это непрерывная вещественнозначная функция, заданная на гладкой (даже дважды непрерывно дифференцируемой) поверхности Γ. Далее, легко убедиться, что операторы γA-1/2 : L2(Ω) → H1/2(Γ) '→'→ L2(Γ), A1/2V : L2(Γ) → L2(Ω) (3.50) взаимно сопряжены и компактны. В самом деле, для слабого решения задачи (3.41) имеем тождество (w, v2)H1(Ω) = ∓γw, ψ⊕L2(Γ) ∀ w ∈ H откуда имеем при w = A-1/2η соотношение 1(Ω) ∀ ψ ∈ H -1/2 (Γ) ⊃ L2(Γ), (3.51) (A-1/2η, V ψ)H1(Ω) = (A1/2(A-1/2η), A1/2(V ψ))L (Ω) = (η, (A1/2V )ψ)L (Ω) = 2 2 = ((γA-1/2)η, ψ)L (Γ) ∀ η ∈ L2(Ω) ∀ ψ ∈ L2(Γ). Из полученных фактов приходим к следующему выводу. Лемма 3.2. Оператор 2 (3.52) Qσ := (A1/2V )σ(γA-1/2) : L2(Ω) → L2(Ω) (3.53) является компактным самосопряженным оператором. Следствием из лемм 3.1 и 3.2 является такое утверждение: оператор S := A-1/2(BA-1/2) - Qσ (3.54) является компактным оператором, действующим в L2(Ω). Таким образом, связь (3.43)-(3.45) между решениями возмущенной и невозмущенной задач (3.36) и (3.37) дается соотношением A-1/2(I + εS)A1/2vε = v0, (3.55) где S - компактный оператор из (3.54). В дальнейшем будем считать, что оператор I + εS обратим; так будет, по крайней мере, если выполнено условие Тогда будем иметь |ε|· S < 1. (3.56) ∞ (I + εS)-1 = I + T (ε), T (ε) ∈ S и потому решение задачи (3.36) дается формулой (L2(Ω)), (3.57) 0 vε = A-1/2(I + εS)-1A1/2v0 = A-1/2(I + εS)-1A-1/2f. (3.58) При ε = 0 из (3.58) получаем, очевидно, vε = v0 = A-1f. Вернемся теперь на основе связи (3.58) к рассмотрению исходной спектральной задачи (3.28). Сравнивая ее с (3.36), видим, что ее решение v = vε можно получить по формуле (3.58) при f = λvε. Отсюда приходим к уравнению vε = λA-1/2(I + εS)-1A-1/2vε. (3.59) Снова осуществляя замену (3.44), получаем спектральную задачу (I + εS)-1A-1ηε = μηε, μ = λ-1, ηε = A1/2vε, (3.60) ∞ (I + εS)-1 = I + T (ε), T (ε) ∈ S (L2(Ω)), (3.61) 0 которая имеет в точности такой же вид, как задача (3.15), возникшая в задаче Дирихле (3.1). Более того, оператор A в (3.60) и оператор A0 в (3.15) имеют идентичные свойства в пространствах H1(Ω) и H1(Ω) соответственно и одинаковую асимптотику собственных значений (см. (3.6), (3.7) и (3.35)). Поэтому для задачи (3.60), (3.61) имеют место те же общие выводы, которые были установлены в пункте 3.1 для решений спектральной задачи (3.1). Отличием в задаче (3.59) является лишь то обстоятельство, что оператор S не является кососамосопряженным, а лишь компактным оператором, действующим в L2(Ω) (см. (3.54) и леммы 3.1 и 3.2). Теорема 3.3. Задача (3.28) имеет дискретный спектр, состоящий из конечнократных собk=1 ственных значений {λk }∞ с предельной точкой λ = ∞. При любом δ > 0 все собственные значения этой задачи, кроме, быть может, конечного их числа, расположены в секторе |arg λ| < δ. Система корневых элементов задачи (3.28) полна в энергетическом пространстве HA = H1(Ω) оператора A. Собственные значения λk имеют асимптотическое поведение λk = λk (A)[1 + o(1)] = dmk2/m[1 + o(1)] (k → ∞). Корневые элементы задачи (3.28) образуют в пространстве H1(Ω) также базис Абеля- Лидского порядка α > m/2. Уточним теперь расположение спектра задачи (3.28). Теорема 3.4. Пусть в задаче (3.28) выполнено условие cε := 1 - |ε| ( BA-1/2 · A-1/2 + Qσ > 0, (3.62) где оператор BA-1/2введен в (3.46), (3.48), а Qσ -в (3.53). Тогда спектр этой задачи расположен в правой полуплоскости в параболической области J ( Λε := Re λ � cελ1(A) : |Imλ| � ε ε BA-1/2 · c-1/2 (Re λ)1/2 . (3.63) Доказательство. Перепишем уравнение (3.60) при ηε = η в виде λA-1η = (I + εS)η =r I + ε(A-1/2(BA-1/2) - Qσ ) l η. (3.64) Отсюда получаем соотношение 2 2 (Re λ + i Im λ) A-1/2η L (Ω) = η L (Ω)+ 2 2 (3.65) +ε r ((BA-1/2)η, A-1/2η)L (Ω) - (Qση, η)L (Ω) l . 2 2 σ Вычисляя вещественную и мнимую части, будем иметь (с учетом свойства Q∗ = Qσ ) 2 2 r -1/2 -1/2 l Re λ A-1/2η L (Ω) = η L (Ω) + ε Re ((BA )η, A η)L (Ω) - (Qση, η)L (Ω) , 2 2 2 2 2 ( 2 Im λ A-1/2η L (Ω) = ε Im (BA-1/2)η, A-1/2η . L2(Ω) Из первого равенства получаем 2 r ( 2 Re λ A-1/2η L (Ω) � 1 - |ε| BA-1/2 · A-1/2 + l 2 2 (3.66) откуда следует, что Re λ � cελ1(A) > 0 и + Qσ η L2(Ω) =: cε η L2(Ω), η L2(Ω) 2 A-1/2η L (Ω) Из второго равенства с учетом (3.67) имеем �( Re λ/cε 1/2 . (3.67) |Im λ| � |ε|· BA-1/2 · η L (Ω) / A-1/2η L (Ω) � |ε|· BA-1/2 · (Re λ/cε)1/2, 2 2 т. е. все собственные значения λ задачи (3.28) расположены в параболической области (3.63). 2. Спектральная задача Стеклова. Так называют спектральную задачу (возмущенная задача) Lεw = 0 (в Ω), ∂εw = λ γw (на Γ), (3.68) в которой спектральный параметр λ не входит в уравнение, но входит в краевое условие. Как и в пункте 3.2, рассмотрим наряду с (3.68) невозмущенную спектральную задачу ∂w L0w := w - Δw = 0 (в Ω), ∂0w := ∂n = λ γw (на Γ). (3.69) Эту задачу можно трактовать как невозмущенную вторую краевую задачу Неймана-Ньютона, т. е. в рассуждениях пункта 2.3, случай 2◦, считать, что ε = 0, ψ = λγw (см. (2.20)) Тогда согласно теореме 2.2 получаем, что ее решение дается формулой (2.23): h w = w0 = Vψ = λV γw0, V ∈L (H-1/2(Γ); H1(Ω)), (3.70) H1 J h (Ω) = = 0 w ∈ H1(Ω) : L0w . Осуществим в (3.70) замену вида (3.44): w0 = A-1/2η0, η0 ∈ L2(Ω) (3.71) и подействуем слева оператором A1/2. Тогда приходим к спектральной задаче вида η = λCη, C := (A1/2V )(γA-1/2) = C∗ � 0, (3.72) C ∈ S∞(L2(Ω)). В самом деле, согласно формулам (3.50)-(3.52) получаем, что A1/2V и γA-1/2 взаимно сопряжены и компактны. Отсюда приходим к следующим выводам 1◦. Задача (3.72), а вместе с ней и исходная невозмущенная задача (3.69) имеют дискретный положительный спектр {λ-1(C)}∞ , состоящий из конечнократных собственных значений с преk дельной точкой λ = +∞. k=1 k=1 2◦. Собственные элементы {ηk }∞ образуют ортогональный базис в подпространстве h L2,h(Ω) :=J η ∈ L2(Ω) : η = A1/2w, w ∈ H1(Ω) , (3.73) ортогональном подпространству 0 L2,0(Ω) :=J ξ ∈ L2(Ω) : ξ = A1/2v, v ∈ H1(Ω) = ker C. (3.74) k 3◦. Собственные значения λ-1(C) суть последовательные минимумы вариационного отношения 2 η L2(Ω) = w 2 H1(Ω) 2 , w ∈ h H1(Ω). (3.75) (Cη, η)L2(Ω) γw L2(Γ) 4◦. Асимптотическое поведение собственных значений λk (C) таково: λk (C) = d˜mk-1/(m-1)[1 + o(1)] k → ∞, Ω ⊂ Rm, ( |Γ| 1/2 1/2 (3.76) 3 λk (C) = 12π k- [1 + o(1)], k → ∞, Ω ⊂ R . Заметим, что асимптотические формулы (3.76) следуют из результатов работы [7]. Опираясь на установленные факты, рассмотрим теперь свойства решений возмущенной спектральной задачи Стеклова (3.68). Предварительно установим, как и в пункте 3.2, связь решений соответствующих возмущенной и невозмущенной краевых задач: Lεw = 0 (в Ω), ∂εw = ψ (на Γ), (3.77) L0w = 0 (в Ω), ∂0w = ψ (на Γ). (3.78) Решение задачи (3.78), как упомянуто выше, имеет вид (3.70). Переходя теперь к задаче (3.77), перепишем ее в виде L0w = -εBw (в Ω), ∂0w = εσγw + ψ. (3.79) Тогда, используя снова формулу (2.32) при ε = 0, будем иметь 0 w = A-1(-εBw)+ V (εσγw + ψ), (3.80) откуда получаем уравнение для w = wε: r I + ε(A-1B - V σγ) l wε = Vψ = w0. (3.81) Осуществляя здесь замену wε = A-1/2ηε, ηε ∈ L2(Ω), (3.82) и действуя слева оператором A1/2 (это можно сделать), приходим, как и в пункте 3.2, к связи вида (I + εS)ηε = (A1/2V )ψ = A1/2w0 =: η0, (3.83) где S - компактный оператор, введенный в (3.54). Будем далее предполагать, что выполнено условие (3.56). Тогда получаем связь (с учетом (3.81)) между решениями возмущенной и невозмущенной задач (3.68), (3.69): wε = A-1/2(I + εS)-1A1/2w0 = A-1/2(I + εS)-1(A1/2V )ψ. (3.84) Она имеет такой же вид, как и в пункте 3.2 (см. (3.58)). (При ε = 0 получаем из (3.84) wε = w0, как и должно быть.) Опираясь на представление (3.84), вернемся к спектральной возмущенной задаче (3.68). Из (3.77) и (3.68) видно, что в (3.84) следует взять ψ = λγwε. Тогда будем иметь спектральную задачу wε = λA-1/2(I + εS)-1(A1/2V )γwε, (3.85) которая при замене (3.82) переходит в задачу на собственные значения (I + εS)ηε = λCηε, (3.86) являющуюся возмущением самосопряженной спектральной задачи (3.72). Свойства оператора C и свойства решений задачи (3.72) описаны выше (см. 1◦-4◦). Очевидно, задача (3.86) равносильна задаче (I + εS)-1Cη = μη, μ = λ-1, η = ηε ∈ L2(Ω), (3.87) т. е. задаче на собственные значения слабо возмущенного компактного неотрицательного оператора. Поэтому к задаче (3.87), как и выше, можно применить теоремы М. В. Келдыша. Некоторым затруднением, однако, здесь является то обстоятельство, что оператор C в (3.87) и (3.86) не является полным: он имеет нетривиальное и притом бесконечномерное ядро (см. (3.73), (3.74)). Опираясь на ортогональное разложение L2(Ω) = L2,0(Ω) ⊕ L2,h(Ω) (3.88) (см. (3.73), (3.74)) и вводя ортопроекторы P0 и Ph на эти подпространства, представим искомый элемент ηε = η в виде η = P0η + Phη =: η0 + ηh. (3.89) Подставим это разложение в (3.86) и подействуем на обе части этого уравнения операторами P0 и Ph. Учитывая еще, что L2,0(Ω) = ker C, будем иметь η0 + εP0SP0η0 + εP0SPhηh = 0, (3.90) ηh + εPhSP0η0 + εPhSPhηh = λ(PhCPh)ηh. (3.91) Здесь для простоты записи символом PhSP0 обозначено сужение оператора PhS на подпространство L2,0(Ω) (с областью значений L2,h(Ω)); другие такие же символы понимаются аналогично. В уравнении (3.90) оператор I0 + εP0SP0 ограниченно обратим в силу условия (3.56). Тогда, находя η0 из (3.90) и подставляя его в (3.91), получим уравнение для ηh = Phη: h (Ih + Th(ε))ηh = λChηh, Ch := PhCPh = C∗ > 0 (в L2,h(Ω)), (3.92) ∞ Th(ε) := εPhSPh - ε2(PhSP0)(I0 + εP0SP0)-1(P0SPh) ∈ S (L2,h (Ω)). (3.93) Убедимся, что в уравнении (3.92) оператор Ih + Th(ε) ограниченно обратим. В самом деле, для доказательства этого факта достаточно проверить, что ker (Ih + Th(ε)) = {0}, т.е уравнение (Ih + Th(ε))ηh = 0 имеет лишь тривиальное решение. Однако из этого уравнения путем обратных замен приходим к системе уравнений (3.90), (3.91) с правыми частями, равными нулю, т. е. к соотношению (I + εS)η = 0. Поскольку I + εS обратим, то η = 0, а потому и ηh = Phη = 0. Отсюда следует, что задача (3.92), (3.93) равносильна спектральной задаче (Ih + Th(ε))-1Chηh = μηh, ηh ∈ L2,h(Ω), μ = λ-1, (3.94) т. е. задаче на собственные значения слабо возмущенного самосопряженного полного положительного компактного оператора. Заметим еще, что в силу (3.76) имеем асимптотическую формулу λk (Ch) = λk (C) = d˜mk-1/(m-1)[1 + o(1)] (k → ∞), Ω ∈ Rm, (3.95) для ненулевых собственных значений оператора C, т. е. для собственных значений λk (Ch) оператора Ch : L2,h(Ω) → L2,h(Ω). Поэтому Ch ∈ Sp(L2,h(Ω)), p > m - 1. (3.96) Следствием установленных фактов является такой результат. k=1 Теорема 3.5. Спектральная задача Стеклова (3.68) имеет дискретный спектр {λk }∞ , расположенный в правой полуплоскости и состоящий из конечнократных собственных значений λk с предельной точкой λ = ∞. При любом δ > 0 все собственные значения λk, кроме, быть может, конечного их числа, расположены в секторе |arg λ| < δ. Система корневых (собственных k=1 и присоединенных) элементов {ηε,k }∞ k=1 ство L2,h(Ω), т. е. система {ηε,h,k }∞ задачи (3.86) после проектирования на подпространкорневых элементов задачи (3.92), является полной в k=1 L2,h(Ω). Поэтому система корневых элементов {wε,h,k }∞ h , wε,h,k = A-1/2ηε,h,k , полна в H1(Ω). Собственные значения λk задачи (3.68) имеют асимптотическое поведение k -1 λk = λ-1(Ch)[1 + o(1)] = d˜m k1/(m-1)[1 + o(1)] (k → ∞), Ω ∈ Rm. (3.97) k=1 Кроме полноты, система корневых элементов {wε,h,k }∞ ∞ , отвечающая собственным значени- 1 ям {λk }k=1, образует базис Абеля-Лидского порядка α > m - 1 в пространстве Hh (Ω). Доказательство. Оно проводится точно так же, как и в теоремах 3.2 и 3.3. Проверим лишь, что все собственные значения λ задачи (3.68) расположены в открытой правой полуплоскости. В самом деле, для решений задачи (3.86) при ηε = η имеем соотношение Поэтому 2 2 L2(Ω) (Re λ)(Cη, η)L (Ω) = Re ((I + εS)η, η)L (Ω) � (1 - |ε| S ) η 2 . η 2 - | | · Re λ � (1 ε S ) L2(Ω) (Cη, η)L2(Ω) 1 � (1 - |ε| S ) · λ-1(C) > 0, (3.98) так как 1 - |ε| S > 0 (см. (3.56)). 3. Спектральная задача Стефана. Рассмотрим теперь возмущенную спектральную задачу в случае, когда спектральный параметр входит линейным образом и в уравнение, и в краевое условие: Lεu = λu (в Ω), ∂εu = λ γu (на Γ). (3.99) Эту задачу называют возмущенной спектральной задачей Стефана. Как и ранее, наряду с (3.99) рассмотрим сначала невозмущенную спектральную задачу Стефана: ∂u L0u := u - Δu = λu (в Ω), ∂0u := ∂n = λ γu (на Γ). (3.100) Эта задача равносильна уравнению, которое получается из общей формулы (2.32) при ε = 0 и f = λu, ψ = λ γu : u = A-1(λu)+ V (λ γu), u ∈ H1(Ω). (3.101) После замены вида (3.82), т. е. u = A-1/2η, η ∈ L2(Ω), приходим к невозмущенной спектральной задаче η = λ(A-1 + C)η, η ∈ L2(Ω), (3.102) где C = (A1/2V )(γA-1/2) = C∗ � 0 - оператор, свойства которого были описаны в пункте 3.3. Так как A-1 > 0 и компактен в L2(Ω), то оператор A-1 + C положителен и компактен в этом пространстве. Отсюда приходим к следующим выводам. 1◦. Задача (3.102), а вместе с ней и исходная невозмущенная задача Стефана (3.100) имеют k=1 дискретный положительный спектр {λk }∞ k , λk = λ-1(A-1 + C), с предельной точкой λ = +∞. k=1 2◦. Собственные элементы {ηk }∞ задачи (3.102) образуют ортогональный базис в пространстве L2(Ω) и базис по форме ((A-1 + C)η, η)L (Ω). Поэтому собственные элементы {uk }∞ зада- 2 k=1 2 L2(Ω) чи (3.100) образуют ортогональный базис в H1(Ω) и по квадратичной форме u 2 + γu L2(Γ): (uk, ul)L2(Ω) + (γuk, γul)L2(Γ) = δk,l, (uk, ul)H1(Ω) = λkδk,l. (3.103) 3◦. Собственные значения λk задачи (3.102) и (3.100) суть последовательные минимумы вариационного отношения " η 2 L2(Ω) 2 -1/2 2 2 u H 1(Ω) = 2 2 , A-1/2η = u ∈ H1(Ω). (3.104) A-1/2η L (Ω) + γA η L (Γ) u L (Ω) + γu L (Γ) 2 2 2 2 4◦. Собственные значения λk имеют асимптотическое поведение k -1 λk = λ-1(C)[1 + o(1)] = d˜m k1/(m-1)[1 + o(1)] (k → ∞), Ω ∈ Rm, m � 3, (3.105) где dm - константы из (3.76). Нетрудно установить свойства 1◦-3◦, здесь поясним лишь вывод асимптотической формулы (3.105). Из асимптотических формул (3.35) для λk (A) и (3.76) для λk (C) получаем, что m λk (A-1) ∼ d-1k-2/m, λk (C) ∼ d˜mk-1/(m-1),k → ∞. (3.106) Так как m - 1 � m/2 при m � 3, то согласно лемме Фань Цюй (см. [9, с. 52]) отсюда следует, что λk (A-1 + C) ∼ d˜mk-1/(m-1),k → ∞, m � 3, т. е. асимптотическое поведение собственных значений λk (A-1 + C) такое же, как и собственных значений λk (C), и потому имеет место формула (3.105). На основе установленных фактов перейдем к рассмотрению возмущенной задачи Стефана. Снова пользуясь общей формулой (2.32) уже при ε = 0, f = λu, ψ = λγu, будем иметь ε u = A-1(λu)+ Vε(λ γu), u ∈ H1(Ω). (3.107) Используя еще связь (3.58) между Aε и A, а также (3.84) для Vε и V, получим соотношение u = A-1/2(I + εS)-1A1/2(λu)+ A-1/2(I + εS)-1(A1/2V )(λ γu), (3.108) которое после замены u = A-1/2η, η ∈ L2(Ω), приводит к спектральной задаче (I + εS)η = λ(A-1 + C)η, η ∈ L2(Ω), (3.109) равносильной исходной возмущенной спектральной задаче (3.99). Эта задача, в свою очередь, равносильна задаче (I + εS)-1(A-1 + C)η = μη, μ = λ-1. (3.110) Таким образом, задача Стефана (3.99) так же, как и задача Стеклова (3.68) (см., в частности, (3.87)), приведена к задаче на собственные значения слабо возмущенного компактного положительного оператора. Так как A-1 + C > 0, то эта задача проще задачи (3.87), поскольку в (3.110) оператор A-1 + C полный, т. е. имеет тривиальное ядро, и потому здесь не требуется, как это было для задачи Стеклова, проводить дополнительное проектирование на ядро основного оператора задачи. k=1 Теорема 3.6. Спектральная задача Стефана (3.99) имеет дискретный спектр {λk }∞ , состоящий из конечнократных собственных значений с предельной точкой λ = ∞. При любом δ > 0 все собственные значения этой задачи, кроме, быть может, конечного их числа, расположены в секторе |arg λ| < δ. Система корневых элементов задачи (3.99) полна в H1(Ω), L2(Ω) + γu а также по форме u 2 2 L2(Γ) . Собственные значения λk имеют асимптотическое поведение λk = λ-1(A-1 + C)[1 + o(1)] = d-1k1/(m-1)[1 + o(1)] (k → ∞), Ω ∈ Rm. (3.111) k m Теорема 3.7. Корневые элементы задачи (3.99) образуют базис Абеля-Лидского порядка α > m - 1 в пространстве H1(Ω). Если выполнено условие (3.62), т. е. cε := 1 - |ε| ( BA-1/2 · A-1/2 + Qσ > 0, (3.112) то спектр задачи (3.99) расположен в правой полуплоскости, в параболической области Λε 1 := J Re λ � cελ-1(A-1 + C) : |Im λ| � (|ε| BA-1/2 )(Reλ/cε)1/2 . (3.113) Доказательство. Свойство базисности по Абелю-Лидскому следует из асимптотической формулы (3.105) и соответствующего утверждения из [38, с. 292]. Локализация спектра в комплексной плоскости доказывается так же, как аналогичное утверждение в теореме 3.4. Именно, из уравнения (3.109) имеем соотношения 2 Re λ((A-1+C)η, η)L (Ω) �r 1 - |ε| BA-1/2 · A-1/2 - l 2 2 - |ε|· Qσ · η L2(Ω) =: cε η L2(Ω), 2 |Im λ| � |ε| BA-1/2 · A-1/2η L (Ω) · η L (Ω) / ( A-1/2η + C 2 1/2η 2 2 2 1/2 2 L2(Ω) 1/2 L2(Ω) � � |ε| BA-1/2 · η L (Ω) / ( A-1/2 + C η . 2 Из первого соотношения имеем неравенства L2(Ω) L2(Ω) L2(Ω) Re λ � cε η 2 / ( A-1/2η 2 L2(Ω) + C 1/2 2 η L2(Ω) 1 � cελ-1 (A-1 + C), а отсюда и из второго неравенства получаем, что |Im λ| � |ε| BA-1/2 · (Re λ/cε)1/2, т. е. спектр задачи (3.99) расположен в области Λε из (3.113). 4. Другие классы возмущенных спектральных задач. Опираясь на построения, проведенные в пункте 3.4, рассмотрим еще три класса возмущенных спектральных задач, встречающихся в приложениях. 1◦. Спектральная задача С. Крейна. Она возникла при исследовании нормальных (собственных) колебаний тяжелой вязкой жидкости в открытом сосуде и состоит в нахождении нетривиальных решений следующей задачи: Lεu = λu (в Ω), λ ∂εu = γu (на Γ). (3.114) Здесь спектральный параметр λ линейно входит в уравнение и краевое условие, причем в краевом условии он стоит при ∂εu. Заметим сначала, что при λ = 0 задача (3.114) имеет лишь тривиальное решение. В самом деле, из формулы Грина (2.5) при η = u получаем, что при Lεu = 0 и γu = 0 будет H1(Ω) 0 = Φε(u, u) � c2 u 2 , c2 > 0, u ∈ H1(Ω), (3.115) и потому u = 0. Отметим теперь, что от спектральной задачи Стефана (3.99) задача С. Крейна (3.114) отличается лишь тем, что в граничном условии на Γ вместо λ (в задаче Стефана) следует писать λ-1 (в задаче С. Крейна). Учитывая этот факт и повторяя все выкладки, которые были проведены в пункте 3.4 для задачи Стефана, приходим к выводу, что задача С. Крейна равносильна уравнению (3.109) с заменой λ на λ-1 во втором слагаемом справа. Это дает спектральную задачу (I + εS)η = λA-1η + λ-1Cη, η ∈ L2(Ω), (3.116) равносильную возмущенной задаче С. Крейна (3.114). Задачи вида (3.116) достаточно подробно исследованы (см. [19, 24, 26]). Поэтому сейчас приведем лишь основной результат, относящийся к случаю, когда операторный пучок L(λ) := I - λ(I + εS)-1A-1 - λ-1(I + εS)-1C, (3.117) отвечающий задаче (3.116), допускает спектральную факторизацию. Достаточным условием для этого является условие 4 (I + εS)-1 2 · A-1 · C < 1. (3.118) Подробная процедура исследования описана, например, в [13, c. 82-86]. Именно, при выполнении условия (3.118) имеет место факторизация M (λ) := λL(λ) = λI - (I + εS)-1C - λ2(I + εS)-1A-1 = = Y -1(I - λY (I + εS)-1A-1)(λI - Y (I + εS)-1C), где оператор Y обратим и является решением уравнения (3.119) Y = I + (I + εS)-1A-1Y (I + εS)-1CY. (3.120) При этом оператор-функция I - λY (I + εS)-1A-1 обратима при 2 (1 ± /1 - 4 (I + εS)-1 · A-1 · C ) (3.121) |λ| < r+, r± := - + ∞ , 0 < r < r < , 2 (I + εS)-1 · A-1 а спектр оператора Z := Y (I + εS)-1C лежит в круге σ(Z) ⊂ {λ : |λ| � r-}. (3.122) Таким образом, при | λ |� r- задача (3.116) сводится к задаче (I + Φ)Cη = λη, η ∈ L2(Ω), (3.123) I +Φ := (I + (I + εS)-1A-1Y (I + εS)-1CY )(I + εS)-1, Φ ∈ S∞(L2(Ω)). (3.124) Здесь оператор I + Φ, очевидно, обратим, а оператор C � 0, как и в задаче (3.87), имеет ядро ker C = L2,0(Ω), т. е. подпространство из ортогонального разложения (3.88): L2(Ω) = L2,0 ⊕ L2,h(Ω). (3.125) Вводя, как и в пункте 3.3, ортопроекторы P0 и Ph на эти подпространства, представляя η в виде (3.89), т. е. η = P0η + Phη = η0 + ηh, и исключая η0, приходим к уравнению (Ih + PhΦPh)Chηh = ληh, Ch = PhCPh. (3.126) Здесь Ch - полный оператор в L2,h(Ω), он положителен, компактен и имеет степенную асимптотику (3.95). Отсюда, как и в пункте 3.3, получаем результат, аналогичный теореме 3.5. 0 ∞ Теорема 3.8. В области | λ |� r- задача (3.126) имеет дискретный спектр {λk }k=1, расположенный в правой полуплоскости и состоящий из конечнократных собственных значеk ний λ0 k с предельной точкой λ = 0. При любом δ > 0 все собственные значения λ0 , кроме, быть может, конечного их числа, расположены в секторе |arg λ| < δ. Система корневых элементов {η0}∞ задачи (3.123) после проектирования на подпространство L2,h(Ω), т. е. k k=1 k,h , η система {η0 } ∞ k=1 0 k,h k = Phη0, является полной в L2,h(Ω). Поэтому система корневых элементов {u0 }∞ , u0 = A-1/2η0 , полна в H1(Ω). Собственные значения λ0 задачи (3.126), k,h k=1 k,h k,h h k т. е. собственные значения задачи (3.116) при | λ |� r-, имеют асимптотическое поведение (см. (3.97)) 0 λk = λk (C)[1 + o(1)] = d˜mk -1/(m-1) 0 [1 + o(1)] (k → ∞). (3.127) ∞ Кроме полноты, система корневых элементов {uk,h}k=1, отвечающая собственным значениям {λ0 }∞ , образует базис Абеля-Лидского порядка α > m - 1 в пространстве H1(Ω). k k=1 h Аналогичный подход можно применить при исследовании спектральной задачи в окрестности бесконечно удаленной точки. Именно, в пучке L(λ) (см. (3.117)) осуществим замену λ = μ-1. Возникает пучок L�(μ) := I - μ(I + εS)-1C - μ-1(I + εS)-1A-1, который при условии (3.118) также допускает факторизацию в виде μL�(μ) = X-1(I - μX(I + εS)-1C)(μI - X(I + εS)-1A-1), (3.128) X = I + (I + εS)-1CX(I + εS)-1A-1X, (3.129) причем первая оператор-функция в (3.128) обратима при |μ| < r˜+ = 1/r-, оператор X также обратим, а спектр второй оператор-функции лежит в области |μ| � r˜- = 1/r+. Таким образом, возникает спектральная задача - Z�η := X(I + εS)-1)A-1η = μη, |μ| � r˜ . (3.130) Здесь упрощающим обстоятельством является тот факт, что A-1 - положительный и притом компактный оператор, и потому ker A-1 = {0}. Поэтому для задачи (3.130), в отличие от (3.123) не нужно проводить процедуру проектирования на подпространство L2,h(Ω). Теорема 3.9. В области | λ |� r+ задача (3.116) имеет дискретный спектр {λ∞}∞ , распоk k=1 ложенный в правой комплексной полуплоскости и состоящий из конечнократных собственных значений λ∞ с предельной точкой λ = ∞. При любом δ > 0 все собственные значения λ∞, кроk k ме, быть может, конечного их числа, расположены в секторе |arg λ| < δ. Система корневых элементов {η∞}∞ задачи (3.130) является полной в пространстве L2(Ω). Поэтому систеk k=1 ма корневых элементов {u∞}∞ , u∞ := A-1/2η∞, полна в H1(Ω). Собственные значения λ∞ k k=1 k k k задачи (3.114) при | λ |� r+ имеют асимптотическое поведение (3.35): λ∞ k = λk (A)[1 + o(1)] = dmk 2/m [1 + o(1)], dm > 0 (k → ∞). (3.131) Кроме полноты, система корневых элементов {u∞}∞ , отвечающая собственным значениk k=1 ∞ ∞ 1 ям {λk }k=1, образует базис Абеля-Лидского порядка α > m/2 в пространстве H (Ω). Таким образом, спектр задачи (3.114) при условии (3.118) имеет две ветви, он расположен в секторах комплексной плоскости C, описанных в теоремах 3.8 и 3.9, а корневые функции обладают приведенными выше свойствами. Отметим еще, что асимптотические формулы (3.127) и (3.131) сохраняются и в случае, когда условие (3.118) может быть не выполнено (см. [29]). 2◦. Спектральная задача Аграновича. Эта задача возникла в теории дифракции (см. [38]) и состоит в нахождении нетривиальных решений задачи Lεu + λu = 0 (в Ω), ∂εu = μ γu (на Γ), (3.132) где λ и μ - комплексные параметры. Здесь по отношению к задаче Стефана (3.99) следует сделать замены λ 1→ -λ в уравнении и λ 1→ μ в граничном условии. Поэтому, исходя из уравнения (3.109) и осуществляя указанные замены, приходим к выводу, что задача (3.132) равносильна спектральной задаче (I + εS)η = -λA-1η + μCη, η ∈ L2(Ω). (3.133) Отсюда получаем две разновидности спектральных задач: одна - при фиксированном λ ∈ C и спектральном параметре μ, а другая - при фиксированном μ ∈ C и спектральном параметре λ. Рассмотрим сначала второй вариант, т. е. будем считать, что λ - спектральный параметр, и перепишем уравнение (3.133) в виде (I + εS - μC)η = -λA-1η. (3.134) Будем далее полагать, что фиксированный параметр μ не совпадает с теми исключительными значениями μj, для которых оператор I + εS - μC необратим, т. е. задача (I + εS)η = μCη (3.135) имеет нетривиальное решение. Отсюда следует (см. пункт 3.3, уравнение (3.86)), что исклюj=1 чительные значения {μj }∞ образуют спектр задачи Стеклова (3.68) и имеют асимптотическое поведение (3.97) (см. теорему 3.5). Тогда (3.134) можно переписать в виде (I + εS - μC)-1A-1η = (-λ-1)η, η ∈ L2(Ω), (3.136) которое с точностью до обозначений совпадает с финальным уравнением (3.60) задачи Неймана- Ньютона (3.28), см. пункт 3.2. Поэтому аналогично утверждениям теоремы 3.3 приходим к следующему выводу. Теорема 3.10. Пусть фиксированный параметр μ в задаче (3.134) не совпадает с какойлибо точкой спектра задачи Стеклова (3.135). Тогда задача (3.134) имеет дискретный k=1 спектр, состоящий из конечнократных собственных значений {λk }∞ с предельной точкой λ = ∞. При любом δ > 0 все собственные значения этой задачи, кроме, быть может, конечного их числа, расположены в секторе |π-arg λ| < δ. Система корневых элементов задачи (3.132) полна в пространстве H1(Ω), а собственные значения имеют асимптотическое поведение λk = -λk (A)[1 + o(1)] = -dmk2/m[1 + o(1)] (k → ∞). (3.137) Корневые элементы задачи (3.132) образуют в пространстве H1(Ω) также базис Абеля- Лидского порядка α > m/2. Рассмотрим теперь другой вариант, когда в уравнении (3.133) μ является спектральным, а λ - фиксированным параметром, и перепишем это уравнение в виде (I + εS + λA-1)η = μCη, η ∈ L2(Ω). (3.138) Напомним (см. пункт 3.5), что здесь C - компактный неотрицательный оператор, причем ker C = L2,0(Ω). Уравнение (3.138) является обобщением задачи (3.86), возникшей в задаче Стеклова (пункт 3.3), и рассуждениями, проведенными для задачи Стеклова (теорема 3.5), а также при доказательстве теоремы 3.10, получаем такой вывод. Теорема 3.11. Пусть в задаче (3.138) фиксированный параметр λ не совпадает с какойj=1 либо точкой -λj, где {λj }∞ - спектр задачи Неймана-Ньютона (пункт 3.2, уравнение k=1 (3.64)). Тогда задача (3.138) имеет дискретный спектр {μk }∞ , состоящий из конечнократных собственных значений с предельной точкой μ = ∞. При любом δ > 0 все собственные значения этой задачи, кроме, быть может, конечного их числа, расположены в секторе |arg μ| < δ. Система корневых элементов задачи (3.132) после проектирования на подпространство H1(Ω) полна в H1(Ω), а собственные значения μk имеют асимптотическое h h поведение (см. (3.95)) μk = λ-1(C)[1 + o(1)] = d˜-1k1/(m-1)[1 + o(1)], k → ∞. k m Кроме того, указанные проекции корневых элементов (3.132) образуют в подпространстве H1 h (Ω) базис Абеля-Лидского порядка α > m - 1. 3◦. Спектральная задача Чуешова. Данная задача возникла при исследовании динамических систем с поверхностной диссипации энергии и восходит к И. Д. Чуешову, который изучал начальнокраевые нелинейные задачи (см. [39, 40]). Соответствующая спектральная задача приводит к задаче Lεu + λ2u = 0 (в Ω), ∂εu = λα γu (на Γ), (3.139) где α > 0 - параметр, характеризующий интенсивность поверхностной диссипации энергии. Снова сравнивая уравнения задач (3.139) и (3.99), видим, что в данной задаче следует сделать замены λ 1→ -λ2 в уравнении и λ 1→ αλ в краевом условии. Отсюда получаем, что задача (3.139) равносильна спектральной задаче (I + εS)η = -λ2A-1η + αλCη, η ∈ L2(Ω). (3.140) Эта задача, даже в невозмущенном случае, когда ε = 0, до сих пор недостаточно исследована. В частности, при ε = 0, α = 0 задача (3.140) имеет дискретный спектр, расположенный на мнимой 1/2 оси, при этом собственные значения λ± = ±iλ (A) определяются через спектр задачи Неймана. k k При возрастании параметра α, как показывают конкретные примеры (плоская задача), спектр {λ±(α)}∞ сдвигается с мнимой оси в правую полуплоскость и при некотором (или некоторых) k k=1 критическом значении α∗ > 0 уходит в бесконечно удаленную точку. При дальнейшем возрастании α спектр {λ±(α)}∞ начинает двигаться влево и при α = +∞ снова попадает на мнимую ось, k k=1 1/2 однако теперь в точки λ±(+∞) = ±iλ (A0), где A0 - оператор невозмущенной спектральной k k задачи Дирихле (пункт 3.1). Вопрос о свойствах спектра и системы корневых элементов задачи (3.140) как в невозмущенном случае, так и в возмущенном (ε = 0) до сих пор остается открытым. 1. О НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ, ПОРОЖДЕННЫХ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНОЙ ФОРМОЙ И ПОРОЖДАЮЩИХ СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ Каждая из разобранных выше в разделе 3 спектральных задач порождается начально-краевой задачей, которая получается формальной заменой в спектральных задачах λ 1→ -d/dt и учитывает наличие заданных функций в уравнениях и краевых условиях. 1. Возмущенные классические начально-краевые задачи. 1◦. Начально-краевая задача Дирихле. Она состоит в решении уравнения (см. (3.1)) ∂u + Lεu = f (t) (в Ω), γu = 0 (на Γ), u(0) = u0. (4.1) ∂t Повторяя преобразования, проделанные в пункте 3.1, приходим к выводу, что задача (4.1) равносильна задаче Коши (см. (3.11)) du dt + (A0 - iεB0)u = f (t), u(0) = u0, (4.2) где u = u(t) - искомая функция переменной t со значениями в L2(Ω). Свойства оператора A0 -iεB0 описаны в пункте 3.1. Из этих свойств следует, что оператор B0 вполне подчинен оператору A0, уравнение (4.2) как в невозмущенном варианте (ε = 0), так и в возмущенном (ε = 0) является абстрактным параболическим уравнением, а полугруппа U(t), отвечающая ее генератору -(A0 - iεB0), является аналитической в секторе, содержащем положительную полуось. Отсюда получаем следующий результат (см. [25, теоремы 7.2, 6.7]). Теорема 4.1. Пусть в задаче (4.1) выполнены условия f (t, x) ∈ Cγ ([0,T ]; L2(Ω)), 0 <γ � 1, 0 u0(t, x) ∈ H1(Ω) ∩ H2(Ω) = D(A0), x ∈ Ω. (4.3) Тогда задача (4.2), а вместе с ней и задача (4.1) имеют сильное решение u(t, x) ∈ C1([0,T ]; L2(Ω)) ∩ C([0,T ]; D(A0)), (4.4) и для этого решения все слагаемые в (4.2) являются непрерывными функциями t ∈ [0,T ] со значениями в L2(Ω). 2◦. Начально-краевая задача Неймана-Ньютона. Эта задача порождена задачей (3.28) и имеет вид 0 ∂v ∂t + Lεv = f (в Ω), ∂εv = ψ (на Γ), v(0) = v . (4.5) Повторяя преобразования из пункта 3.2 и отправляясь от уравнения (I + εS)η = λA-1η, η = A1/2v, следующего из (3.60), приходим к выводу, что задача (4.5) равносильна задаче Коши A-1 dη + (I + εS)η = A-1/2f + A1/2V ψ, η(0) = η0 := A1/2v0, (4.6) dt в гильбертовом пространстве L2(Ω). Определения и свойства операторных коэффициентов из (4.5) описаны в пункте 3.2. Осуществим в (4.6) замену A-1η(t) =: w(t). (4.7) Тогда вместо (4.6) возникает задача Коши dw + (I + εS)Aw = A-1/2f (t)+ A1/2V ψ(t), w(0) = w0 = A-1/2v0. (4.8) dt Здесь снова в силу компактности S оператор -(I + εS)A является генератором аналитической полугруппы и так же, как в предыдущем варианте 1◦, приходим к следующему выводу. Теорема 4.2. Пусть в задаче Неймана-Ньютона (4.5) выполнены условия v0(x) ∈ H1(Ω), f (t, x) ∈ Cγ ([0,T ]; (H1(Ω))∗), ψ(t, x) ∈ Cγ ([0,T ]; H-1/2(Γ)), 0 <γ � 1. (4.9) Тогда задача (4.8) имеет сильное по переменной t решение w(t) ∈ C1([0,T ]; L2(Ω)) ∩ C([0,T ]; D(A)). Соответственно исходная задача (4.5) имеет сильное по переменной t решение, у которого ∈ ∈ v(t, x) C([0,T ]; H1(Ω)), ∂v C([0,T ]; (H1(Ω))∗). (4.10) ∂t При этом в уравнении в Ω все слагаемые являются непрерывными функциями переменной t ∈ [0,T ] со значениями в (H1(Ω))∗, а в граничном условии - со значениями в H-1/2(Γ). Доказательство. Если выполнены условия (4.9), то, как следует из рассмотрений пункта 2.3, правая часть в (4.8) принадлежит Cγ ([0,T ]; L2(Ω)), а w0 ∈ D(A). Поэтому (снова см. [25]) задача Коши (4.8) имеет сильное решение, у которого все слагаемые в уравнении (4.8) принадлежат C([0,T ]; L2(Ω)). Отсюда с учетом связей Aw(t) = η(t) = A1/2v(t) получаем, что v(t) ∈ C([0,T ]; D(A1/2)) = C([0,T ]; H1(Ω)). Далее, из свойства dw/dt ∈ C([0,T ]; L2(Ω)) следует, что dv/dt = A1/2dw/dt ∈ C([0,T ]; (H1(Ω))∗). Возвращаясь от (4.6) к уравнению для v(t) = A-1/2η(t), перепишем его в виде - - v = A-1( εBv + f dv )+ V (ψ + εσγv) =: v dt 1 откуда согласно общей формуле (2.32) приходим к выводу, что dv + v2, Отсюда следует, что L0v1 = -εBv + f - dt (в Ω), ∂0v1 = 0 (на Γ), L0v2 = 0 (в Ω), ∂0v2 = εσγv + ψ (на Γ). dv L0v = L0v1 + L0v2 = -εBv + f - dt (в Ω), ∂0v = ∂0v1 + ∂0v2 = εσγv + ψ (на Γ), и потому для v = v(t) выполнены уравнения (4.5). Так как по доказанному dv/dt ∈ C([0,T ]; (H1(Ω))∗), то в уравнении в Ω из (4.5) все слагаемые из C([0,T ]; (H1(Ω))∗). Далее, из свойства v(t) ∈ C([0,T ]; H1(Ω)) следует, что ∂0v ∈ C([0,T ]; H-1/2(Γ)), и потому в граничном условии на Γ все слагаемые из C([0,T ]; H-1/2(Γ)). 3◦. Начально-краевая задача Стеклова. Спектральная задача Стеклова (3.68) порождается начально-краевой задачей вида Lεw = 0 (в Ω), ∂ γw + ∂εw = ψ(t) (на Γ), w(0) = w0 ∂t . (4.11) Повторяя теперь преобразования из пункта 3.3, приходим к выводу, что задача (4.11) равносильна задаче Коши C dη + (I + εS)η = A1/2V ψ, η(0) = η0 := A1/2w0 (4.12) dt в гильбертовом пространстве L2(Ω). Воспользуемся далее тем фактом, что C - компактный неотрицательный оператор, причем L2(Ω) = L2,0(Ω) ⊕ L2,h(Ω), ker C = L2,0(Ω), (4.13) и снова, как и в пункте 3.3, проведем преобразования, связанные с проектированием в (4.12) на подпространства (4.13), считая, что η = η0 + ηh. Вводя еще новую искомую функцию vh(t) := Chηh(t), Ch = PhCPh, (4.14) приходим к задаче Коши в подпространстве L2,h(Ω) (см. (3.92)): dvh + (I dt h + Th h (ε)C-1vh = A1/2V ψ(t), vh h (0) = v0 = Ch PhA1/2w0. (4.15) Здесь Th(ε) - компактный оператор, действующий в L2,h(Ω) (см. (3.93)), причем Ih + Th(ε) обратим. Теорема 4.3. Пусть в задаче (4.11) выполнены условия ψ(t) ∈ Cγ ([0,T ]; H-1/2(Γ)), 0 <γ � 1, w(0) = w0 ∈ H1(Ω). (4.16) Тогда задача (4.15) имеет единственное сильное решение vh(t), для которого все слагаемые в (4.15) являются непрерывными функциями t ∈ [0,T ] со значениями в L2,h(Ω) и выполнено начальное условие. Далее, при условиях (4.16) задача (4.11) имеет единственное сильное реh,ε шение w(t) ∈ C([0,T ]; H1 (Ω)), для которого выполнено граничное условие на Γ, причем в этом 1/2 условии все слагаемые являются элементами из C([0,T ]; H- (Γ)). Доказательство. Уравнение (4.15) является абстрактным параболическим, а оператор -(Ih + h Th(ε))C-1 является генератором аналитической полугруппы операторов, действующей в L2,h(Ω). Кроме того, при условии (4.16) функция A1/2V ψ(t) ∈ Cγ ([0,T ]; L2,h(Ω)), так как V ∈ L(H-1/2(Γ); H1(Ω)), A1/2 ∈ L(H1(Ω); L2,h(Ω)). Наконец, если w0 ∈ H1(Ω), то A1/2w0 ∈ h h L2(Ω), PhA1/2w0 ∈ L2,h(Ω), v0 = ChPhA1/2w0 ∈ D(C-1), R(C-1) = L2,h(Ω). h h h Из этих свойств следует, что задача (4.15) имеет единственное сильное решение vh(t) на отрезке [0,T ], причем для этого решения все слагаемые в уравнении (4.15) являются элементами из h C([0,T ]; L2,h(Ω)) и выполнено начальное условие vh(0) = v0 . Вернемся теперь от задачи (4.15) к задаче (4.12) в пространстве L2(Ω), проведя преобразования, обратные тем, которые были выше проделаны при переходе от (4.12) к (4.15). Тогда приходим к выводу, что существует единственное решение η(t) задачи Коши (4.12), у которого все слагаемые в уравнении (4.12) являются элементами из C([0,T ]; L2(Ω)). Так как оператор (I + εS) обратим, то отсюда получаем (см. второе слагаемое), что η(t) ∈ C([0,T ]; L2(Ω)). Осуществляя еще переход от задачи (4.12) к исходной задаче (4.11), приходим к выводу, что h,ε функция w(t) ∈ C([0,T ]; H1(Ω)), Lεw = 0, т. е. w(t) ∈ C([0,T ]; H1 (Ω)). Отсюда следует, что ∂εw ∈ C([0,T ]; H-1/2(Γ)) и выполнено граничное условие на Γ в (4.11), причем в этом соотношении все слагаемые являются непрерывными функциями переменной t со значениями в H-1/2(Γ). 4◦. Начально-краевая задача Стефана. Задача (3.99) порождается следующей задачей: ∂u ∂t + Lεu = f (t) (в Ω), ∂ γu + ∂εu = ψ(t) (на Γ), u(0) = u0. (4.17) ∂t Она интересна тем, что здесь производная ∂/∂t входит не только в уравнение, но и в краевое условие. Осуществляя в задаче (4.17) те же преобразования, которые в пункте 3.4 были проделаны для задачи (3.99), получаем, что задача (4.17) равносильна задаче Коши (A-1 + C) dη + (I + εS)η = A-1/2f + A1/2V ψ, η(0) = η0 := A1/2u0 (4.18) dt в гильбертовом пространстве L2(Ω). Эта задача обобщает задачу Стеклова (4.12). Здесь, в отличие от (4.12), оператор A-1 + C компактный и положительный, и потому в (4.18) не требуется проводить дополнительное проектирование. Вводя новую искомую функцию по формуле (A-1 + C)η(t) =: v(t), (4.19) получаем из (4.18) задачу Коши dv + (I + εS)(A-1 + C)-1v = A-1/2f + A1/2V ψ(t), dt v(0) = (A-1 + C)η0 = (A-1 + C)A1/2u0. (4.20) Теорема 4.4. Пусть в задаче (4.17) выполнены условия u0 ∈ H1(Ω), f (t) ∈ Cγ ([0,T ]; (H1(Ω))∗), ψ(t) ∈ Cγ ([0,T ]; H-1/2(Γ)), 0 <γ � 1. (4.21) Тогда задача (4.20), а вместе с ней и задача (4.18) имеют единственное сильное решение v(t) ∈ C([0,T ]; D((A-1 +C)-1)) и соответственно η(t) ∈ C([0,T ]; L2(Ω)). При этом в (4.20) и (4.18) все слагаемые являются элементами из C([0,T ]; L2(Ω)). Далее, при сформулированных условиях исходная задача Стефана (4.17) имеет единственное сильное решение u(t) ∈ C([0,T ]; H1(Ω)), для которого все слагаемые в уравнении (4.17) являются элементами из C([0,T ]; (H1(Ω))∗), а в граничном условии - элементами из C([0,T ]; H-1/2(Γ)). Доказательство. Если выполнены условия (4.21), то в уравнении (4.20) правая часть принадлежит Cγ ([0,T ]; L2(Ω)), а v0 ∈ D((A-1 + C)-1). При этом оператор -(I + εS)(A-1 + C)-1 является генератором аналитической полугруппы операторов, действующей в L2(Ω). Отсюда следует, что задача (4.20) имеет единственное сильное решение из C([0,T ]; D((A-1 + C)-1)), а потому задача (4.18) - единственное сильное решение η(t) ∈ C([0,T ]; L2(Ω)) (см. замену (4.19)), причем в (4.20) и (4.18) все слагаемые являются элементами из C([0,T ]; L2(Ω)). Вернемся теперь в (4.18) к искомой функции u(t) = A-1/2η(t) ∈ C([0,T ]; H1(Ω)) (4.22) и подействуем слева оператором A-1/2. Учитывая еще формулы (3.54) и (3.53) для S, придем к соотношению u = A-1(-εBu - du - f (t)) + V (εσγu - d γu + ψ(t)) =: u + u . (4.23) Равенство dt dt 1 2 du u1 = A-1(-εBu - равносильно условиям (см. (3.31), (3.32)) du dt - f (t)) (4.24) L0u1 = -εBu - dt - f (t) (в Ω), ∂0u1 = 0 (на Γ). (4.25) Соответственно равенство равносильно условиям d u2 = V (εσγu - dt (γu)+ ψ(t)) (4.26) d L0u2 = 0 (в Ω), ∂0u2 = εσγu - dt (γu)+ ψ(t) (на Γ). (4.27) Отсюда приходим к связям du L0(u1 + u2) = L0u = -εBu - dt - f (t) (в Ω), d ∂0(u1 + u2) = ∂0u = -εσγu - dt (γu)+ ψ(t) (на Γ), откуда получаем соотношения (4.28) du dt + Lεu = f (t) (в Ω), d dt (γu)+ ∂εu = ψ(t) (на Γ), (4.29) т. е. уравнения (4.17) исходной задачи Стефана. Из (4.22) следует, что L0u ∈ C([0,T ]; (H1(Ω))∗); кроме того, из свойства B ∈ L(H1(Ω); L2(Ω)) (лемма 3.1) получаем, что -εBu ∈ C([0,T ]; L2(Ω)) ⊂ C([0,T ]; (H1(Ω))∗). Поэтому в (4.29) все слагаемые в первом уравнении являются элементами из C([0,T ]; (H1(Ω))∗). Аналогичным образом, опираясь на свойство ∂εu ∈ C([0,T ]; (H-1/2(Γ)), следующее из (4.22), устанавливаем, что все слагаемые во втором уравнении (4.29) являются элементами из C([0,T ]; (H-1/2(Γ))). 2. Некоторые неклассические начально-краевые задачи математической физики. Здесь будут рассмотрены начально-краевые задачи, порождающие спектральные задачи Крейна, Аграновича и Чуешова (см. пункт 3.5). 1◦. Начально-краевая задача С. Крейна. Эта задача порождает спектральную задачу (3.114), если считать, что u(t) отвечает полю скорости в вязкой жидкости, а w(t) - полю смещений частиц жидкости от состояния равновесия, причем u(t) = dw/dt. Тогда приходим к задаче d2w dw d ⎫ dt2 + Lε dt = f (t) (в Ω), o ⎬ ∂ w + γw = ψ(t) (на Γ),⎪ dt (4.30) w(0) = w0, dw (0) = u(0) = u0. ⎪⎭ dt 2 Снова повторяя преобразования из пункта 3.4, получаем, что задача (4.30) равносильна задаче Коши A-1 d η dη 1/2 1/2 ⎫ dt2 + (I + εS) dt + Cη = A- f (t)+ A V ψ(t),⎪⎬ (4.31) η := A1/2w, η(0) = A1/2w0, dη (0) = A1/2u0 ⎪⎭ dt в гильбертовом пространстве L2(Ω). Эту задачу, в свою очередь, можно преобразовать в задачу Коши для системы двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка в пространстве L2(Ω) ⊕ L2(Γ). С этой целью перепишем задачу (4.30) в виде (см. 3◦ из пункта 2.3) dw dw d2w ⎫ L0 dt = -εB dt + f - dt2 (в Ω), ⎪⎬ (4.32) dw dw ⎪⎭ ∂0 dt = εσγ dt - γw + ψ (на Γ) и воспользуемся формулой (2.32) при ε = 0: - dw = A-1( εB dw dt dt + f - d2w dt2 dw )+ V (εσγ dt - γw + ψ). (4.33) Возникает дифференциально-операторное уравнение второго порядка 2 A-1 d w 1 dw 1 которое после замены dt2 + [I + ε(A- B - V σγ)] dt + V γw = A- f + V ψ, (4.34) w(t) = A-1/2η(t) (4.35) и действия слева оператором A1/2 (это можно сделать) переходит в уравнение 2 A-1 d η dη 1/2 1/2 dt2 + (I + εS) dt + Cη = A- f + A V ψ, (4.36) C = (A1/2V )(γA-1/2) = (γA-1/2)∗(γA-1/2). Перейдем теперь от (4.36) к системе двух дифференциальных уравнений следующим образом. Осуществим в (4.36) замены Тогда, используя связь η(t) = Av(t), - dξ = i(γA-1/2)η(t), ξ(0) = 0. (4.37) dt d2ξ dt2 = -i(γA- 1/2) dη , dt dξ - (0) = i(γA- dt 1/2 )η(0), (4.38) приходим вместо (4.36) к следующей системе уравнений и начальных условий: d2v dv 1/2 dξ 1/2 1/2 dt2 + (I + εS)A dt + i(γA- )∗ = A- dt f + A V ψ, (4.39) d2ξ dt2 + i(γA- 1/2 dv )A = 0, dt dv (0) = A- dt 1/2 u0, 0 dξ - (0) = iγw , dt в которых присутствуют лишь производные от искомых функций. Осуществляя еще здесь замену d v t v1(t) , (4.40) dt ξ = e ξ1(t) получим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка в пространстве L2(Ω) ⊕ L2(Γ): d v1 + I + εS + A- i(γA ) A 0 v1 1 i(γA-1/2 -1/2 ∗ 0 I ξ1 = dt ξ1 ) I (4.41) = e-t A-1/2f (t)+ A1/2V ψ(t) 0 , v1(0) = A-1/2u0, ξ1(0) = -iγw0. Теорема 4.5. Пусть в задаче (4.30) выполнены условия w0 ∈H1(Ω), u0 ∈ H1(Ω), f (t) ∈ Cγ ([0,T ]; (H1(Ω))∗), ψ(t) ∈ Cγ ([0,T ]; H-1/2(Γ)), 0 <γ � 1. (4.42) Тогда существует единственное решение этой задачи w(t) ∈ C1([0,T ]; H1(Ω)), для которого все слагаемые в уравнении (4.30) являются непрерывными функциями t ∈ [0,T ] со значениями в (H1(Ω))∗, а в граничном условии на Γ - непрерывными функциями t со значениями в H-1/2(Γ). Доказательство. Оно проводится по схеме, уже использованной при доказательстве теоремы 4.4. Заметим сначала, что уравнение (4.41) снова абстрактное параболическое, так как оператор diag(A; I) самосопряжен и положительно определен на области определения D(A) ⊕ L2(Γ), и этот оператор умножается на операторную матрицу, имеющую структуру единичного плюс компактного оператора, действующего в L2(Ω) ⊕ L2(Γ). Действительно, S и A-1 - компактные операторы в L2(Ω), а γA-1/2 ∈ L(L2(Ω); H1/2(Γ)), H1/2(Γ) '→'→ L2(Γ). Если выполнены условия (4.42), то в правой части A-1/2f (t)+ A1/2V ψ(t) ∈ Cγ ([0,T ]; L2(Ω)), 0 <γ � 1, v1(0) = A-1/2u0 ∈ D(A), ξ1(0) = -iγw0 ∈ H1/2(Γ) ⊂ L2(Γ). Поэтому при условиях (4.42) задача Коши (4.41) имеет единственное решение (v1(t); ξ1(t))τ на отрезке [0,T ], причем все слагаемые (4.41) являются непрерывными функциями t со значениями в L2(Ω) ⊕ L2(Γ). Отсюда, согласно замене (4.40), получаем, что для функции (v(t); ξ(t))τ справедливы уравнения задачи (4.39), где все слагаемые - элементы из C([0,T ]; L2(Ω)) либо C([0,T ]; L2(Γ)) соответственно. Далее, из (4.37)-(4.39) тогда следует, что для функции η(t) справедливо уравнение (4.36), где все слагаемые - элементы из C([0,T ]; L2(Ω)). Отсюда в силу замены (4.35) получаем, что справедливо уравнение (4.34), где все слагаемые - элементы из C([0,T ]; H1(Ω)). Переписывая это уравнение в виде (4.33), приходим к выводу, что функция dw/dt дает решение задачи (4.32), т. е. исходной задачи (4.30). При этом dw/dt = A-1/2dη/dt ∈ C([0,T ]; H1(Ω)), следовательно, -εBdw/dt ∈ C([0,T ]; L2(Ω)), L0dw/dt ∈ C([0,T ]; (H1(Ω))∗). Значит, все слагаемые в уравнении (4.30) в Ω - элементы из C([0,T ]; (H1(Ω))∗). Аналогично, опираясь на свойства σγdw/dt ∈ C([0,T ]; H-1/2(Γ)), γw ∈ C1([0,T ]; H1/2(Γ)), убеждаемся, что все слагаемые в граничном условии из (4.30) - элементы из C([0,T ]; H-1/2(Γ)). 2◦. Начально-краевые задачи Аграновича. Эти две задачи порождают спектральную задачу (3.116) в следующих вариантах. 1. Если параметр μ ∈ C фиксирован и задан, то начально-краевая задача, отвечающая задаче Аграновича (3.116), формулируется следующим образом: dv + Lεv = f (t) (в Ω), ∂εv = μ γv + ψ(t) (на Γ), v(0) = v0. (4.43) dt По постановке она близка к начально-краевой задаче Неймана-Ньютона (4.5). Снова отправляясь от преобразований пункта 3.2, приходим к выводу, что задача (4.43) равносильна задаче Коши - A-1 dη + (I + εS μC)η = A-1/2f + A1/2V ψ, η(0) = η0 := A1/2v0, (4.44) dt которая рассматривается в пространстве L2(Ω), обобщает задачу (4.5) и при μ = 0 совпадает с ней. Так как в (4.44) C - компактный оператор, то уравнение (4.44) - абстрактное параболическое. Поэтому для первой начально-краевой задачи (4.43) справедливы утверждения теоремы 4.2 при выполнении условий (4.9). 2. Второй вариант соответствует ситуации, когда в спектральной задаче (3.116) параметр λ фиксирован и задан. Тогда возникает начально-краевая задача Lεw + λw = 0 (в Ω), d γw + ∂εw = ψ(t) (на Γ), w(0) = w0 dt , (4.45) близкая к начально-краевой задаче Стеклова (3.125). Повторяя преобразования пункта 3.3, получаем, что задача (4.45) равносильна задаче Коши dη C + (I + εS + λA-1)η = A1/2V ψ(t), η(0) = η0 := A1/2w0, (4.46) dt обобщающей задачу (4.12) и при λ = 0 совпадающей с ней. От задачи (4.46), как и в пункте 3.3, можно перейти путем проектирования на подпространство L2,h(Ω) к задаче Коши вида (4.15) с компактным оператором Th(ε; λ), учитывающим дополнитель- ∞ ное слагаемое λA-1 ∈ S (L2(Ω)). Отсюда следует, что для исходной второй начально-краевой задачи Аграновича справедливы утверждения теоремы 4.3 при выполнении условий (4.16). 3◦. Начально-краевая задача Чуешова. Спектральная задача Чуешова (3.139) порождается начально-краевой задачей d2u d ⎫ dt2 + Lεu = f (t) (в Ω), αdtγu + ∂εu = ψ(t) (на Γ),⎪⎬ (4.47) u(0) = u0, du (0) = u1. ⎪⎭ dt Повторяя, как и в задаче (4.31), переход от (4.31) к задаче (4.43), приходим к выводу, что задача (4.47) равносильна задаче Коши 2 A-1 d η dη 1/2 1/2 ⎫ dt2 + αC dt + (I + εS)η = A- f (t)+ A V ψ(t),⎪⎬ (4.48) η(0) = η0 := A1/2u0, dη (0) = η1 := A1/2u1. ⎪⎭ dt Задачу (4.48) можно преобразовать в задачу Коши для системы двух интегродифференциальных уравнений первого порядка путем следующих преобразований. Перепишем (4.48) в виде 2 A-1/2 d -1/2 dη -1/2 dt dt2 (A η)+ αC + (I + ε(S2 - S1))η = A f (t), (4.49) учитывающем выражение для оператора S, см. пункт 3.2. Будем здесь считать, что выполнено условие 1 |ε|( S1 + S2 ) < 1, S1 = S∗ = (A1/2V )σ(γA-1/2), S2 := A-1/2(BA-1/2). (4.50) Тогда оператор I - εS1 » 0 и потому также Iε := (I - εS1)1/2 » 0. Введем далее новую искомую функцию w(t) соотношениями dw -iIεη(t) =: , w(0) = 0, (4.51) dt и будем считать, что η(t) и dw/dt дифференцируемы по t. Тогда вместо задачи Коши для уравнения (4.49) приходим к задаче A-1/2 0 d2 A-1/2 0 η l αC iIε d η A-1/2f (t) - εS2η(t) 0 I dt2 0 I w + iIε 0 dt w = 0 , (4.52) η A1/2u0 d η A1/2u1 w (0) = 0 , dt w , = t=0 -iIεA1/2u0 в которой слева стоят лишь производные от искомых функций. Осуществляя еще здесь замену d η(t) A1/2 0 η1(t) (4.53) dt w(t) = 0 I w1(t) и действуя слева оператором diag (A1/2; I), приходим к задаче Коши для интегродифференциального уравнения первого порядка в L2(Ω) ⊕ L2(Ω): d η1 + ( A1/2 0 αC iIε A1/2 0 η1 = dt w1 t 0 I iIε 0 0 I w1 (4.54) f (t)+ Bu0 r B 0 η1(s) η1(0) u1 = 0 - ε 0 0 0 w1(s) dS, w1(0) = -iIεA1/2u0. Изучим теперь свойства операторных матриц в этом уравнении. Лемма 4.1. Операторная матрица A в фигурных скобках в (4.54) является максимальным аккретивным оператором, действующим в L2(Ω) ⊕ L2(Ω) и заданным на области определения D(A) = {(η1; w1)τ : η1 ∈ D(A1/2), αCA1/2η1 + iIεw1 ∈ D(A1/2)}. (4.55) Доказательство. Свойство аккретивности этой операторной матрицы следует из неравенства 2 Re(A(η1; w1)τ , (η1; w1)τ )L (Ω) L (Ω) = α(CA1/2η1, A1/2η1)L Ω = α γη1 � 0, (4.56) 2 ⊕ 2 2 L2(Γ) так как C = (A1/2V )(γA-1/2) = (γA-1/2)∗(γA-1/2). Далее, эта операторная матрица обратима и A-1/2 0 0 -iI-1 A-1/2 0 A-1 = 0 I -Ii-1 ε αI-1CI-1 0 I . (4.57) o ε ε Так как здесь все операторные матрицы ограничены и потому A-1 задана на всем пространстве L2(Ω) ⊕ L2(Ω), то область значений A совпадает со всем пространством L2(Ω) ⊕ L2(Ω). Значит, аккретивный оператор A является максимальным аккретивным. То, что его область определения имеет вид (4.55), проверяется непосредственно. Следствием леммы 4.1 является такое утверждение: оператор (-A) является генератором сжимающей C0-полугруппы операторов, действующей в L2(Ω) ⊕ L2(Ω). Отметим еще одно обстоятельство в задаче (4.54): оператор B := diag (B; 0) задан на области определения D(B) = D(B) ⊕ L2(Ω) = H1(Ω) ⊕ L2(Ω) = D(A1/2) ⊕ L2(Ω) (4.58) и потому (см. (4.55)) D(B) ⊃ D(A). (4.59) Наконец, далее понадобится еще одно утверждение, которое является простейшим вариантом теоремы 1.3.2 из [15, с. 23]. Лемма 4.2. Пусть в задаче Коши для интегродифференциального уравнения t du r dt = A0u + 0 G(t, s)A1u(s)ds + f (t), u(0) = u0, (4.60) выполнены следующие условия: 1◦. Оператор A0 является генератором C0-полугруппы, действующей в гильбертовом пространстве H. 2◦. Выполнено включение D(A0) ⊂ D(A1). 3◦. Оператор-функции G(t, s), ∂G(t, s)/∂t непрерывны по своим переменным при 0 � s � t � T и принимают значения из L(H). 4◦. Выполнены условия f (t) ∈ C1([0,T ]; H), u0 ∈ D(A0). Тогда задача Коши (4.60) имеет единственное сильное решение u(t) на отрезке [0,T ], т. е. u(t) ∈ C1([0,T ]; H) ∩ C([0,T ]; D(A0)); (4.61) при этом все слагаемые в уравнении (4.60) являются непрерывными функциями t ∈ [0,T ] и u(0) = u0. Итогом рассмотрения задачи Чуешова (4.47) является следующее утверждение. Теорема 4.6. Пусть в задаче (4.47) выполнены следующие условия: f (t) ∈ C1([0,T ]; L2(Ω)), u0, u1 ∈ H1(Ω) = D(A1/2), (4.62) и условие согласования начальных данных αCA1/2u1 + (I - εS1)A1/2u0 ∈ D(A1/2). (4.63) Тогда существует единственное сильное решение задачи (4.47), т. е. такая функция u(t) ∈ C2([0,T ]; L2(Ω)), (4.64) для которой выполнено уравнение в Ω из (4.47), где все слагаемые являются элементами из C([0,T ]; L2(Ω)), и граничное условие на Γ, где все слагаемые - элементы из C([0,T ]; H1/2(Γ)). Доказательство. Если выполнены условие (4.50) и условия (4.62), (4.63) для u0 и u1, то в задаче (4.54) (η1(0); w1(0))τ ∈ D(A) (см. (4.55)). Кроме того, в этой задаче (f (t) + Bu0; 0)τ ∈ C1([0,T ]; L2(Ω) ⊕ L2(Ω)). Наконец, оператор (-A) является генератором сжимающей C0-полугруппы (лемма 4.1) и выполнено условие (4.59). Поэтому задача (4.47) является частным случаем задачи (4.60) при H = L2(Ω) ⊕ L2(Ω), A0 = -A, A1 = B, G(t, s) ≡ diag(I; I). Отсюда по лемме 4.2 приходим к выводу, что при выполнении условий (4.62), (4.63) задача (4.54) имеет единственное сильное решение (η1(t); w1(t))τ ∈ C1([0,T ]; L2(Ω) ⊕ L2(Ω)) ∩ C([0,T ]; H1(Ω) ⊕ L2(Ω)), (4.65) для которого все слагаемые в (4.54) - элементы из C([0,T ]; L2(Ω) ⊕ L2(Ω)). Осуществляя теперь обратную замену (4.53) и действуя оператором diag(A-1/2; I), получаем из (4.54), что справедливо уравнение (4.52), где η(t) ∈ C2([0,T ]; (H1(Ω))∗) ∩ C1([0,T ]; L2(Ω)), w(t) ∈ C2([0,T ]; L2(Ω)) ∩ C1([0,T ]; L2(Ω)) = C2([0,T ]; L2(Ω)). (4.66) Исключая переменную w(t) (см. (4.51)), приходим к уравнению (4.49) для функции η(t). Наконец, осуществляя еще исходную замену u(t) = A-1/2η(t), приходим к дифференциальному уравнению для функции u(t), которое удобно переписать в виде 2 u = A-1(f - d u - εBu)+ V (εσγu - α d (γu)). (4.67) dt2 dt Отсюда с помощью приема, который уже встречался при доказательстве теоремы 4.2, получаем, что для функции u(t) выполнены соотношения d2u d L0u = f - dt2 - εBu (в Ω), ∂0u = εσγu - αdt (γu) (на Γ), (4.68) откуда следует, что выполнены уравнение и краевое условие задачи (4.47). Из свойств (4.66) для η(t) после проведенной замены получаем, что u(t) ∈ C2([0,T ]; L2(Ω)) ∩ C1([0,T ]; H1(Ω)). (4.69) Отсюда следует, что правая часть в уравнении (4.68) является элементом из C([0,T ]; L2(Ω)), и тогда в уравнении (4.47) все слагаемые - элементы из C([0,T ]; L2(Ω)). В граничном условии на Γ из (4.47) соответственно имеем d а также свойство ∈ α (γu) C([0,T ]; H1/2(Γ)), dt εσγu ∈ C1([0,T ]; H-1/2(Γ)). Поэтому в граничном условии на Γ в (4.47) оба слагаемых - элементы из C([0,T ]; H1/2(Γ)).