Устранение изолированных особенностей обобщенных квазиизометрий на римановых многообразиях

Аннотация

Для отображений с неограниченной характеристикой получены теоремы об устранении изолированных особенностей на римановых многообразиях. Установлено, что отображение, удовлетворяющее определенному модульному неравенству, характеристика квазиконформности которого имеет мажоранту конечного среднего колебания в заданной изолированной особой точке, имеет предел в этой точке.

Полный текст

1. ВВЕДЕНИЕ Хорошо известная из общего курса комплексного анализа теорема об устранении изолированной особенности утверждает, что ограниченная аналитическая функция ϕ : D \ {z0} → C области D \ {z0}⊂ C имеет предел в точке z0 (см. [12, теорема 1 ×, § 6, п. 24, гл. II]). Этот результат обобщен в n-мерном пространстве для отображений с ограниченным искажением (см. [18, следствие 4.5] и [20, теорема 2.9, гл. III], см. также [4, 5]). Несколько позднее были получены и другие обобщения, в частности, установленные вторым автором данной статьи [9, 10]. В последних работах речь идет об аналогах теоремы Сохоцкого-Вейерштрасса для так называемых кольцевых Q-отображений, т. е. отображений, в основе определения которых лежит свойство контролируемого искажения модуля семейств кривых. Здесь функция Q отвечает за «испорченность» искажения модуля и предполагается, вообще говоря, неограниченной. В то же время содержательность результатов для указанных отображений имеет место, как правило, в случае слабого роста функции Q в окрестности фиксированной изолированной точки, например, особенностей логарифмического типа, функций конечного среднего колебания и т.п. (см. там же). Стоит отметить, что аналитические функции отвечают Q ≡ 1, а отображения с ограниченным искажением- Q ≡ const. Большая часть известных ныне классов отображений также являются кольцевыми Q-отображениями при не очень сильных ограничениях на характеристику квазиконформности, гладкость отображений и меру их множества точек ветвления [8]. Чтобы подытожить упомянутые результаты, мы покажем в настоящей заметке, что аналог теоремы об устранении изолированной особенности для кольцевых Q-отображений справедлив также на римановых многообразиях при практически тех же ограничениях на функцию Q, а не только в евклидовом n-мерном пространстве. Здесь также участвуют некоторые ограничения на сами многообразия, которые будут оговорены ниже. Перейдем к определениям и формулировкам основных результатов. Следующие понятия могут быть найдены, например, в [12, 17]. Напомним, что n-мерным топологическим многообразием Mn называется хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную некоторому открытому множеству в Rn. Картой на многообразии Mn будем называть пару (U, ϕ), где U - открытое подмножество пространства Mn Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2017 266 и ϕ - соответствующий гомеоморфизм множества U на открытое множество в Rn. Если P ∈ U и ϕ(P ) = (x1,..., xn) ∈ Rn, то соответствующие числа x1,..., xn называются локальными координатами точки P. Гладким многообразием называется само множество Mn вместе с соответствующим набором карт (Uα, ϕα), так что объединение всех Uα по параметру α дает все Mn и, кроме того, отображение, осуществляющее переход от одной системы локальных координат к другой, принадлежит классу C∞. Напомним, что римановой метрикой на гладком многообразии Mn называется положительно определенное гладкое симметричное тензорное поле gij типа (0, 2). В частности, компоненты римановой метрики в различных локальных координатах (U, x) и (V, y), U ∩ V ⊕= ∅, взаимосвязаны посредством тензорного закона kl где g× × ∂xi ∂xj gkl(y) = gij (x(y)) ∂yk ∂yl , 1. - компоненты римановой метрики в системе координат (V, y), а gij (x) - в системе координат (U, x). Римановым многообразием будем называть гладкое многообразие вместе с римановой метрикой на нем. Длину гладкой кривой γ = γ(t), t ∈ [t1, t2], соединяющей точки γ(t1) = P1 ∈ Mn и γ(t2) = P2 ∈ Mn, и n-мерный объем (меру объема) v области A на римановом многообразии определим согласно соотношениям t2 / r dγi dγj r ; 1 n l(γ) := t1 gij (γ(t)) dt dt, v(A) = dt A det(gij ) dx ... dx . (1.1) Ввиду положительной определенности тензора G = (gij (x)) имеем det gij > 0. Геодезическим расстоянием между точками P1 и P2 ∈ Mn будем называть наименьшую длину всех кусочногладких кривых в Mn, соединяющих точки P1 и P2. Геодезическое расстояние между точками P1 и P2 будем обозначать символом d(P1, P2) (всюду далее d обозначает геодезическое расстояние, если не оговорено противное). В частности, (открытым) шаром B(P0, r) с центром в точке P0 ∈ Mn и радиусом r > 0 на римановом многообразии Mn мы будем называть следующее множество: B(P0, r) = {P ∈ Mn | d(P, P0) < r} . Так как риманово многообразие, вообще говоря, не предполагается связным, расстояние между любыми точками многообразия, вообще говоря, может быть не определено. Хорошо известно, что любая точка P риманова многообразия Mn имеет окрестность U э P (называемую далее нормальной окрестностью точки P ) и соответствующее координатное отображение ϕ : U → Rn, так что геодезические сферы с центром в точке P и радиусом r, лежащие в окрестности U, переходят при отображении ϕ в евклидовы сферы того же радиуса, а пучок геодезических кривых, исходящих из точки P, переходит в пучок радиальных отрезков в Rn (см. [17, леммы 5.9 и 6.11], см. также комментарии на с. 77 там же). Локальные координаты ϕ(P ) = (x1,..., xn) в этом случае называются нормальными координатами точки P. Стоит отметить, что в случае связного многообразия Mn открытые множества метрического пространства (Mn, d) порождают топологию исходного топологического пространства Mn (см. [17, лемма 6.2]). Заметим, что в нормальных координатах тензорная матрица G = (gij ) в точке P - всегда единичная (а в силу непрерывности функций gij в точках, близких к P, эта матрица сколь угодно близка к единичной; см. [17, пункт (c) предложения 5.11]). Пусть X и Y - два топологических пространства. Отображение f : X → Y называется открытым, если f (U ) открыто в Y для любого открытого множества U ⊂ X, и дискретным, если для каждой точки P ∈ Y все точки множества f -1(P ) имеют попарно непересекающиеся окрестности. Пусть (X, d, μ) - произвольное метрическое пространство, наделенное мерой μ и B(P0, r) = {P ∈ X | d(P, P0) < r}. Следующее определение может быть найдено, например, в [6, раздел 4]. Будем говорить, что интегрируемая в B(P0, r) функция ϕ : D → R, где D - область в X, имеет конечное среднее колебание в точке P0 ∈ D, пишем ϕ ∈ FMO(P0), если lim sup ε→0 1 μ(B(P0, ε)) r |ϕ(P ) - ϕε| dμ(P ) < ∞, B(P0, ε) 1 r 0 где ϕε = μ(B(P , ε)) B(P0, ε) ϕ(P ) dμ(P ). ∗ ∗ Всюду далее (если не оговорено противное) Mn и Mn - римановы многообразия с геодезическими расстояниями d и d∗, соответственно. Кривой γ мы называем непрерывное отображение отрезка [a, b] (открытого интервала (a, b), либо полуоткрытого интервала вида [a, b) или (a, b]) в Mn, γ : [a, b] → Mn. Под семейством кривых Γ подразумевается некоторый фиксированный набор кривых γ, а если f : Mn → Mn - произвольное отображение, то f (Γ) = {f ◦ γ|γ ∈ Γ} . Длину произвольной кривой γ : [a, b] → Mn, лежащей на многообразии Mn, можно определить как точную n-1 верхнюю грань сумм ), d(γ(ti), γ(ti+1)) по всевозможным разбиениям a � t1 � ... � tn � b. i=1 Следующие определения в случае пространства Rn могут быть найдены, например, в [21, разделы 1-6, гл. I], см. также [15, гл. I]. Борелева функция ρ : Mn → [0, ∞] называется допустимой для семейства Γ кривых γ в Mn, если линейный интеграл по натуральному параметру s каждой l(γ) (локально спрямляемой) кривой γ ∈ Γ от функции ρ удовлетворяет условию Г ρ(γ(s))ds � 1. 0 В этом случае мы пишем ρ ∈ adm Γ. Пусть p � 1 - фиксированное действительное число, тогда p-модулем семейства кривых Γ называется величина r Mp(Γ) = inf ρ∈adm Γ Mn ρp(x) dv(x). (Здесь и далее v означает меру объема, определенную в (1.1). При этом, если adm Γ = ∅, то полагаем Mp(Γ) = ∞, см. [21, раздел 6, с. 16] или [15, с. 176].) Свойства модуля в некоторой мере аналогичны свойствам меры Лебега m в Rn : 1. p-модуль пустого семейства кривых равен нулю, Mp(∅) = 0; 2. p-модуль обладает свойством монотонности относительно семейств кривых: Γ1 ⊂ Γ2 ⇒ Mp(Γ1) � Mp(Γ2); 3. p-модуль обладает свойством полуаддитивности: ∞ Mp 1 Γi i=1 ∞ � \ Mp(Γi) (1.2) i=1 (см. [21, теорема 6.2, гл. I] в Rn или [15, теорема 1] в случае более общих пространств с мерами). Говорят, что семейство кривых Γ1 минорируется семейством Γ2, пишем Γ1 > Γ2, если для каждой кривой γ ∈ Γ1 существует подкривая, которая принадлежит семейству Γ2. В этом случае Γ1 > Γ2 ⇒ Mp(Γ1) � Mp(Γ2) (1.3) (см. [21, теорема 6.4, гл. I] или [15, свойство (c)] в случае более общих пространств с мерами). Следующее определение для случая Rn может быть найдено, например, в монографии [19, ∗ раздел 7.1, гл. 7]. Пусть Mn и Mn - римановы многообразия, n � 2, D - область в Mn, x0 ∈ D, Q : D → [0, ∞] - измеримая относительно меры объема v функция и число r0 > 0 таково, что замкнутый шар B(x0, r0) лежит в некоторой нормальной окрестности U точки x0. Пусть также 0 < r1 < r2 < r0, A = A(r1, r2, x0) = {x ∈ Mn : r1 < d(x, x0) < r2}, Si = S(x0, ri), i = 1, 2, - геодезические сферы с центром в точке x0 и радиусов r1 и r2 соответственно, а Γ (S1, S2, A) обозначает семейство всех кривых, соединяющих S1 и S2 внутри области A. Зафиксируем p � 1 ∗ и условимся называть отображение f : D → Mn отображением в точке x0 ∈ D, если соотношение r ∗ (или f : D \ {x0} → Mn) кольцевым (p, Q)- Mp (f (Γ (S1, S2, A))) � A Q(x) · ηp(d(x, x0)) dv(x) (1.4) выполнено в кольце A для произвольных r1, r2, указанных выше, и для каждой измеримой функции η : (r1, r2) → [0, ∞] такой, что r2 r η(r)dr � 1. (1.5) r1 Отображения типа кольцевых (p, Q)-отображений были предложены к изучению О. Мартио и изучались им совместно с В. Рязановым, У. Сребро и Э. Якубовым, см. [19], а также [1, 14]. Пусть (X, d, μ) - метрическое пространство с метрикой d, наделенное локально конечной борелевской мерой μ. Следуя [16, раздел 7.22], будем говорить, что борелева функция ρ : X → [0, ∞] является верхним градиентом функции u : X → R, если для всех спрямляемых кривых γ, соединяющих точки P и Q из X, выполняется неравенство |u(P ) - u(Q)| � Г ρ ds, где, как обычно, γ Г ρ ds обозначает линейный интеграл от функции ρ по кривой γ. Будем также говорить, что в γ указанном пространстве X выполняется (1; p)-неравенство Пуанкаре, если найдутся постоянные C � 1 и τ > 0 такие, что для каждого шара B ⊂ X, произвольной ограниченной непрерывной функции u : X → R и любого ее верхнего градиента ρ выполняется следующее неравенство: ⎛ 1 r 1 r p ⎞1/p μ(B) B 1 r |u - uB |dμ(P ) � C · (diam B) ⎝ μ(τB) τB ρ dμ(P )⎠ , где uB := μ(B) B udμ(P ) и τB - шар полученный из B изменением радиуса в τ раз. Стоит заметить, что в пространстве Rn указанное неравенство выполнено для произвольного 1 � p < ∞ (см. комментарии на с. 610 в [13]). Метрическое пространство (X, d, μ) назовем Q�-регулярным по Альфорсу при некотором Q� � 1, если при каждом P0 ∈ X, некоторой постоянной C � 1 и произвольного R < diam X выполняется 1 RQ � μ(B(P0, R)) � CRQ . C Заметим, что локально римановы многообразия являются n-регулярными по Альфорсу (см. [1, лемма 5.1]). Следует также заметить, что если риманово многообразие Q�-регулярно по Альфорсу, то Q� = n (см. рассуждения на с. 61 в [16] о совпадении Q� с хаусдорфовой размерностью пространства X, а также [1, лемма 5.1] о совпадении топологической и хаусдорфовых размерностей областей риманова многообразия). Справедлива следующая ∗ Теорема 1.1. Пусть n � 2, p ∈ (n - 1, n], Mn - связно, является n-регулярным по Альфорсу, M кроме того, в n ∗ выполнено (1; p)-неравенство Пуанкаре. Пусть также D - область в Mn, BR ⊂ Mn - некоторый фиксированный шар радиуса R такой, что BR - компакт в Mn, K ⊂ ∗ ∗ ∗ M Mn - некоторый континуум, f : D \ {x0} → BR \ K - открытое дискретное кольцевое (p, Q)отображение в точке x0 ∈ D. Предположим, что Q ∈ FMO(x0). Тогда f имеет непрерывное продолжение f : D → BR (непрерывность понимается в смысле геодезического расстояния d∗ в n). ∗ Благодарности. Авторы выражают благодарность В. И. Рязанову и Р Р. Салимову за полезные советы и постоянное внимание к работе. Работа первого автора выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 16-01-00378) и Программы поддержки ведущих научных школ РФ (грант № НШ-7962.2016.1). Всюду далее 1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ S(x0, r) = {x ∈ Mn | d(x, x0) = r}, A(x0, r1, r2) = {x ∈ Mn | r1 < d(x, x0) < r2}, d(A) - геодезический диаметр множества A ⊂ Mn. Далее, если не оговорено противное, граница ∂D области D ⊂ Mn и замыкание D области D понимаются в смысле геодезического расстояния d. Перед тем, как мы приступим к изложению вспомогательных результатов и основной части данного раздела, дадим еще одно важное определение (см. [20, раздел 3, гл. II]). Пусть D - область риманова многообразия Mn, n � 2, f : D → Mn - отображение, β : [a, b) → Mn - некоторая ∗ ∗ кривая и x ∈ f -1 (β(a)) . Кривая α : [a, c) → D, c � b, называется максимальным поднятием кривой β при отображении f с началом в точке x0, если (1) α(a) = x0; (2) f ◦ α = β|[a, c); (3) если c < c× � b, то не существует кривой α× : [a, c×) → D, такой что α = α×|[a, c) и f ◦ α = β|[a, c∗). Имеет место следующее ∗ Предложение 2.1. Пусть Mn и Mn - римановы многообразия, n � 2, D - область в Mn, f : D → Mn - открытое дискретное отображение, β : [a, b) → Mn - кривая и точка x0 ∈ ∗ ∗ f -1 (β(a)) . Тогда кривая β имеет максимальное поднятие при отображении f с началом в точке x0. ∗ ∗ Доказательство. Зафиксируем точку x0 ∈ Mn и рассмотрим f (x0) ∈ Mn. Поскольку точка f (x0) принадлежит многообразию Mn, найдется окрестность V этой точки, гомеоморфная множеству ψ(V ) ⊂ Rn. В силу непрерывности отображения f найдется окрестность U точки x0 такая, что f (U ) ⊂ V. С другой стороны, не ограничивая общности, можно считать, что U гомеоморфна открытому множеству ϕ(U ) в Rn. Можно также считать, что ϕ(U ) и ψ(V ) являются областями в Rn, тогда f ∗ = ψ ◦ f ◦ ϕ -1 - открытое дискретное отображение между областями ϕ(U ) и ψ(V ) в Rn. Для таких отображений существование максимальных поднятий локально вытекает из соответствующего результата Рикмана в n-мерном евклидовом пространстве (см. [20, шаг 2 доказательства теоремы 3.2 гл. II]). Отсюда вытекает локальное существование максимальных поднятий и на многообразиях. Глобальное существование максимальных поднятий может быть установлено аналогично доказательству шага 1 указанной выше теоремы. ∗ Пусть Mn и Mn - римановы многообразия. Пусть A - открытое подмножество многообразия Mn, n � 2, а C - компактное подмножество A. Конденсатором будем называть пару множеств E = (A, C) . Пусть ΓE - семейство всех кривых вида γ : [a, b) → A таких, что γ(a) ∈ C и |γ|∩ (A \ F ) ⊕= ∅ для произвольного компакта F ⊂ A. При p � 1 p-емкостью конденсатора E называется следующая величина: capp E = Mp(ΓE ). Справедливо следующее утверждение (см. [13, предложение 4.7]). Предложение 2.2. Пусть X - Q�-регулярное по Альфорсу метрическое пространство с мерой, в котором выполняется (1; p)-неравенство Пуанкаре так, что Q� - 1 < p � Q�. Тогда для произвольных континуумов E и F, содержащихся в шаре B(x0, R), и некоторой постоянной C > 0 выполняется неравенство 1 min{diam E, diam F } Mp(Γ(E, F, X)) � C · R1+p . -Q Доказательство следующего утверждения для пространства Rn и p = n, сформулированного ранее даже в несколько более общей форме в терминах весового модуля, может быть найдено, например, в работе [9, лемма 5.1]. ∗ Лемма 2.1. Пусть n � 2,p � 1,D - область в Mn,f : D\{x0}→ Mn - кольцевое (p, Q)-отображение в точке x0 ∈ D. Предположим, что найдутся ε0 > 0 и измеримая по Лебегу функция ψ : (0, ε0) → [0, ∞] со следующим свойством. Для любого ε2 ∈ (0, ε0] найдется ε1 ∈ (0, ε2] такое, что 0 < I(ε, ε2) := ε2 r ψ(t)dt < ∞ (2.1) ε при всех ε ∈ (0, ε1) и, кроме того, при ε → 0 r ε<d(x,x0)<ε0 Q(x) · ψp(d(x, x0)) dv(x) = o (Ip(ε, ε0)) . (2.2) Если Γ - семейство всех кривых γ : (0, 1) → D \ {x0} таких, что γ(tk ) → x0 для некоторой последовательности tk → 0, γ(t) ⊕≡ x0, то Mp (f (Γ)) = 0. loc В частности, условие (2.1) автоматически выполнено, как только функция ψ ∈ L1 (0, ε0) удовлетворяет условию: ψ(t) > 0 при почти всех t ∈ (0, ε0). Доказательство. Можно считать, что шар B(x0, ε0) лежит в нормальной окрестности точки x0. Заметим, что ∞ Γ > 1 i=1 Γi, (2.3) где Γi - семейство таких кривых αi : (0, 1) → Mn, что αi(1) ∈ {0 < d(x, x0) = ri < ε0}, где ri - некоторая последовательность такая, что ri → 0 при i →∞ и αi(tk ) → x0 при k →∞ для той же самой последовательности tk → 0 при k → ∞. Зафиксируем i � 1. По соотношению (2.1) леммы найдется такое ε1 ∈ (0, ri], что I(ε, ri) > 0 при всех ε ∈ (0, ε1). Заметим, что при указанных ε > 0 функция η(t) = ( ψ(t)/I(ε, ri), t ∈ (ε, ri), 0, t ∈ R \ (ε, ri) удовлетворяет условию нормировки вида (1.5) в кольце A(x0, ε, ri) = {x ∈ Rn | ε< d(x, x0) < ri} и, следовательно, ввиду соотношения (1.4) (поскольку f является кольцевым (p, Q)-отображением в точке x0) Mp (f (Γ (S(x0, ε), S(x0, ri), A(x0, ε, ri)))) � r A(x0,ε,ri) Q(x) · ηp(d(x, x0)) dv(x) � Fi(ε), (2.4) где F (ε) = 1 i (I(ε, ri))p r ε<d(x,x0)<ε0 Q(x) ψp (d(x, x0)) dv(x). Принимая во внимание (2.2), получим, что Fi(ε) → 0 при ε → 0. Заметим, что при каждом ε ∈ (0, ε1) Γi > Γ (S(x0, ε), S(x0, ri), A(x0, ε, ri)) . (2.5) Таким образом, при каждом фиксированном i = 1, 2,... из (2.4) и (2.5) получаем, что Mp(f (Γi)) � Fi(ε) → 0 (2.6) при ε → 0 и каждом фиксированном i ∈ N. Однако, левая часть неравенства (2.6) не зависит от ε и, следовательно, Mp(f (Γi)) = 0. Наконец, из (2.3) и свойства полуаддитивности p-модуля (1.2) вытекает, что Mp(f (Γ)) = 0. Основным техническим утверждением, позволяющим получать результаты об устранимых особенностях открытых дискретных кольцевых (p, Q)-отображений в наиболее общей ситуации, является следующая лемма. ∗ Лемма 2.2. Пусть n � 2, n - 1 < p � n, Mn - связно, является n-регулярным по Альфор- M су, кроме того, в n ∗ выполнено (1; p)-неравенство Пуанкаре. Пусть также D - область в Mn, BR ⊂ Mn - некоторый фиксированный шар радиуса R такой, что BR - компакт в Mn, ∗ ∗ f : D \ {x0} → BR \ K - открытое дискретное кольцевое (p, Q)-отображение в точке x0 ∈ D n (K ⊂ BR - некоторый фиксированный континуум). Предположим, что существует ε0 > 0 и измеримая по Лебегу функция ψ : (0, ε0) → [0, ∞] со следующим свойством: для любого ε2 ∈ (0, ε0] найдется ε1 ∈ (0, ε2] такое, что при всех ε ∈ (0, ε1) выполнено соотношение (2.1) и, кроме того, при ε → 0 выполнено соотношение (2.2). Тогда f имеет непрерывное продолжение f : D → BR (непрерывность понимается в смысле геодезического расстояния d∗ в M∗ ). Доказательство. Можно считать, что B(x0, ε0) лежит в нормальной окрестности U точки x0. В частности, B(x0, ε0) - компакт в U. Предположим противное, а именно, что отображение f j не может быть продолжено по непрерывности в точку x0. Поскольку BR - компакт, то предельное множество C(f, x0) непусто. Тогда найдутся две последовательности xj и x ×, принадлежащие j B(x0, ε0)\{x0} , xj → x0, x × → x0, такие, что d∗ j (f (xj ), f (x ×) � a> 0 для всех j ∈ N. Не ограниj чивая общности рассуждений, можно считать, что xj и x × лежат внутри шара B(x0, ε0). Полагаем j rj = max Jd(xj, x0), d(x ×, x0) . Заметим, что при достаточно малых rj множество B(x0, rj ) \ {x0} является связным ввиду определения риманова многообразия Mn . В таком случае соединим точки j xj и x × замкнутой кривой, лежащей в B(x0, rj ) \ {x0} . Обозначим эту кривую символом Cj и рассмотрим конденсатор Ej = (B(x0, ε0) \ {x0} , Cj ) . В силу открытости и непрерывности отображения f пара f (Ej ) также является конденсатором. Рассмотрим семейства кривых ΓEj и Γf (Ej ). Пусть Γ ∗ - семейство всех максимальных поднятий семейства кривых Γf (E ) при отображении f j j с началом в Cj, лежащих в B(x0, ε0) \ {x0} . Заметим, что Γ ∗ ⊂ ΓE . Поскольку Γf (E ) > f (Γ ∗), мы получим: j j j j Mp (Γf (E ) � Mp f (Γ∗) � Mp f (ΓE ) . (2.7) j j j Заметим, что семейство ΓEj может быть разбито на два подсемейства: 1 ΓEj = ΓEj ∪ ΓEj2 , (2.8) 1 где ΓEj - семейство всех кривых α : [a, c) → B(x0, ε0) \ {x0} с началом в Cj таких, что найдется tk ∈ [a, c) : α(tk ) → x0 при tk → c - 0; ΓEj2 - семейство всех кривых α : [a, c) → B(x0, ε0) \ {x0} с началом в Cj таких, что найдется tk ∈ [a, c) : dist (α(tk ), ∂B(x0, ε0)) → 0 при tk → c - 0. В силу соотношений (2.7) и (2.8), j j1 Mp (Γf (E ) � Mp(f (ΓE 2 )) + Mp(f (ΓEj )). (2.9) 1 Заметим, что Mp(f (ΓEj )) = 0 ввиду леммы 2.1. Кроме того, заметим, что при достаточно больших ( ( 1 ( 1 J m ∈ N, ΓEj2 > Γ S(x0, rj ),S 1 x0, ε0 - m ,A x0, rj, ε0 - m . Рассмотрим теперь кольцо Aj = x ∈ m Mn | rj < d(x, x0) < ε0 - и семейство функций j 0 ( ψ(t)/I(r , ε - 1 , t ∈ (rj, ε0 - 1 ), Имеем: ηj (t) = m m m 0, t ∈ R \ (rj, ε0 - 1 ). m ε0- 1 r rj ηj (t)dt = 1 r , ε 1 I j 0 - m m ε0- 1 r rj ψ(t)dt = 1. Таким образом, по определению кольцевого (p, Q)-отображения в точке x0 и условию (2.9) мы получаем, что Mp(f (ΓEj )) � 1 m I(rj, ε0 - 1 )p r rj<d(x,x0)<ε0 Q(x) ψp (d(x, x0)) dv(x), откуда, переходя к пределу при m → ∞, получим соотношение 1 r Mp(f (ΓEj )) � S(rj ) := I(r ,ε )p Q(x) ψp (d(x, x0)) dv(x). j 0 rj<d(x,x0)<ε0 В силу условия (2.2), S(rj ) → 0 при j → ∞. Тогда ввиду (2.7) получаем, что j Mp (Γf (E ) → 0, j → ∞. (2.10) ∗ С другой стороны, рассмотрим семейство кривых Γf (Ej ) для конденсатора f (Ej ). Заметим, что подсемейство неспрямляемых кривых семейства Γf (Ej ) имеет нулевой модуль и что оставшееся подсемейство, состоящее из всех спрямляемых кривых семейства Γf (Ej ), состоит из кривых β : [a, b) → f (D \ {x0}), имеющих предел при t → b (здесь учтено, что BR - компакт в Mn). Заметим, что указанный предел принадлежит множеству ∂f (A), где A := B(x0, ε0) \ {x0} . Из сказанного следует, что Mp(Γf (Ej )) = Mp(Γ(f (Cj ), ∂f (A),f (A))). (2.11) M Поскольку многообразие n ∗ ∗ связно, семейство кривых Γ(K, f (Cj ), Mn) непусто. Кроме то- ∗ го, ввиду [2, теорема 1, § 46, п. I] произвольная кривая γ, соединяющая K и f (Cj ) в Mn, ∗ имеет подкривую, соединяющую ∂f (A) и f (Cj ) в f (A). Иными словами, Γ(K, f (Cj ), Mn) > Γ(∂f (A),f (Cj ),f (A)). Ввиду предложения 2.2 и того, что d∗ ния, мы получим: j (f (xj ), f (x ×) � a> 0 для всех j ∈ N ввиду предположе- ∗ Mp(Γ(f (Cj ), ∂f (A),f (A))) � Mp(Γ(f (Cj ), ∂f (A), Mn)) � ∗ 1 � Mp(Γ(f (Cj ), K, Mn)) � C min{diam f (Cj ), diam K} § R1+p-n � δ > 0. (2.12) ∗ Однако, неравенства (2.11) и (2.12) противоречат (2.10). Полученное противоречие опровергает предположение, что f не имеет предела при x → x0 в Mn. 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ Доказательство теоремы 1.1 сводится к утверждению леммы 2.2. Выберем в этой лемме 1 0 < ψ(t) = что t t ln 1 n/p . На основании [11, предложение 3] для указанной функции будем иметь, r r Q(x) · ψp(d(x, x0)) dv(x) = Q(x) dv(x) ( n = O d(x, x0) ln 1 ( 1 ln ln ε ε<d(x,x0)<ε0 ε<d(x,x0)<ε0 d(x,x0) 1 t при ε → 0. Заметим также, что при указанных выше ε выполнено ψ(t) � t ln 1 , поэтому I(ε, ε0) := ε0 r ψ(t) dt � ln ε ln 1 o . Тогда выполнено соотношение (2.2). Таким образом, все условия леммы 2.2 ε ln 1 0 выполнены и, значит, необходимое заключение вытекает из этой леммы. D Элементом площади гладкой поверхности H на римановом многообразии Mn будем называть выражение вида αβ dA = ;det g∗ du1 ... dun-1, αβ где g∗ - риманова метрика на H, порожденная исходной римановой метрикой gij согласно соотношению ∗ ∂xi ∂xj gαβ (u) = gij (x(u)) ∂uα ∂uβ . (3.1) Здесь индексы α и β меняются от 1 до n - 1, а x(u) обозначает параметризацию поверхности H такую, что ∇ux ⊕= 0. Справедливо следующее утверждение. ∗ Теорема 3.1. Пусть n � 2, p ∈ (n - 1, n], Mn - связно, является n-регулярным по Альфор- M су, кроме того, в n ∗ выполнено (1; p)-неравенство Пуанкаре. Пусть также D - область в Mn, BR ⊂ Mn - некоторый фиксированный шар радиуса R такой, что BR - компакт в Mn, ∗ ∗ ∗ K ⊂ Mn - некоторый континуум, f : D \ {x0} → BR \ K - открытое дискретное кольцевое (p, Q)-отображение в точке x0 ∈ D. Если при некотором δ(x0) > 0 выполняется равенство δ(x0) r dr n-1 1 = ∞, (3.2) x0 (r) o r p-1 q p-1 1 где qx0 (r) := rn-1 r S(x0,r) Q(x) dA, то f имеет непрерывное продолжение f : D → BR (непрерыв- n ность понимается в смысле геодезического расстояния d∗ в M∗ ). Доказательство. Достаточно показать, что условие (3.2) влечет выполнение условия (2.2) леммы 2.1. Можно считать, что B(x0, δ(x0)) лежит в нормальной окрестности точки x0. Рассмотрим функцию ⎧ 1 ⎨⎪ n-1 1 , t ∈ (r1, r2), x0 (t) ψ(t) = ⎪⎩ t p-1 q p-1 0, t ∈/ (r1, r2). Заметим теперь, что требование вида (2.1) выполняется при ε0 = δ(x0) и всех достаточно малых ε. Далее установим неравенство r ε<d(x,x0)<δ(x0) Q(x)ψp(d(x, x0)) dv(x) � C · δ(x0) r o t n-1 p-1 dt 1 x0 q p-1 (t) (3.3) при некоторой постоянной C > 0. Для этого покажем, что к левой части соотношения (3.3) применим аналог теоремы Фубини. Рассмотрим в окрестности точки x0 ∈ S(z0, r) ⊂ Rn локальную систему координат z1,..., zn, n - 1 базисных векторов которой взаимно ортогональны и лежат в плоскости, касательной к сфере в точке x0, а последний базисный вектор перпендикулярен этой плоскости. Пусть r, θ1,..., θn-1 - указанные координаты точки x = x(θ) в Rn. Заметим, что n - 1 приращений переменных z1,..., zn-1 вдоль сферы при фиксированном r равны dz1 = rdθ1,..., dzn-1 = rdθn-1, а приращение переменной zn по r равно dzn = dr. В таком случае det dv(x) = ; gij (x)rn-1 drdθ1 ... dθn-1. Рассмотрим параметризацию сферы S(0, r) x = x(θ), θ = (θ1,..., θn-1), θi ∈ (-π, π]. Заметим, что ∂xα/∂θβ = r при α = β и ∂xα/∂θβ = 0 при α ⊕= β, α, β = 1,...,n - 1. Тогда в обозначениях αβ соотношения (3.1) имеем: g∗ (θ) = gαβ (x(θ))r2, ; Заметим, что 1 r dA = p det gαβ (x(θ))rn-1dθ1 ... dθn-1. n-1 1 = Q(x)ψ (d(x, x0)) dA = x0 (r) r p-1 q p-1 S(x0,r) r = ψp(r)rn-1 · Π ; det gαβ (x(θ))Q(x(θ)) dθ1 ... dθn-1, (3.4) где Π = (-π, π]n-1 - прямоугольная область изменения параметров θ1,..., θn-1. Напомним, что в нормальной системе координат геодезические сферы переходят в обычные сферы того же радиуса с центром в нуле, а пучок геодезических, исходящих из точки многообразия, переходит в пучок радиальных отрезков в Rn (см. [17, леммы 5.9 и 6.11]), так что кольцу {x ∈ Mn | ε < d(x, x0) < δ(x0)} соответствует та часть Rn, в которой r ∈ (ε, δ(x0)). Согласно сказанному выше, применяя классическую теорему Фубини (см., например, [7, раздел 8.1, гл. III]), δ(x0) r ε<d(x,x0)<δ(x0) r Q(x)ψp(d(x, x0)) dv(x) = ε r ; det gij (x)Q(x)ψp(r)rn-1 dθ1 ... dθn-1dr. (3.5) Π Поскольку в нормальных координатах тензорная матрица gij сколь угодно близка к единичной в окрестности данной точки, то C2 det gαβ (x) � det gij (x) � C1 det gαβ (x). Учитывая сказанное и сравнивая (3.4) и (3.5), приходим к соотношению (3.3). Но тогда также r ε<d(x,x0)<δ(x0) Q(x)ψp(d(x, x0))dv(x) = o(Ip(ε, δ(x0))) ввиду соотношения (3.2). Утверждение теоремы следует теперь из леммы 2.2.