Модель сжимаемой жидкости Максвелла

Аннотация

В работе изучена модель вращающейся вязкоупругой баротропной жидкости Максвелла. Доказана теорема об однозначной разрешимости соответствующей начально-краевой задачи. Исследована спектральная задача, ассоциированная с изучаемой системой. Доказаны утверждения о локализации спектра, о существенном и дискретном спектре, об асимптотике спектра.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ В работе изучается модель вязкоупругой баротропной жидкости Максвелла. Первые модели несжимаемых жидкостей, учитывающие предысторию течения и названные впоследствии линейными вязкоупругими жидкостями, были предложены в XIX в. Дж. Максвеллом [22, 23], В. Кельвином [21] и В. Фойгтом [27, 28]. Эти модели были развиты в середине XX в. в значительной степени благодаря работам Дж. Г. Олдройта [24, 25]. Впоследствии эти и более общие модели изучались многими авторами (см., например, [7, 16], а также указанную там литературу). В работах [3, 5, 13, 26] проводится спектральный анализ некоторых моделей вязкоупругих несжимаемых жидкостей (см. также указанную там литературу). В настоящей работе исследуется задача о малых движениях вязкоупругой сжимаемой жидкости Максвелла, заполняющей ограниченную равномерно вращающуюся область. В третьем разделе исследуется вопрос разрешимости соответствующей системы интегродифференциальных уравнений, граничных и начальных условий. При этом соответствующая задача Коши для системы интегродифференциальных уравнений сводится к задаче Коши dξ dt = -Aξ + F(t), ξ(0) = ξ0, Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (проект 14.Z50.31.0037). Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2017 247 в некотором гильбертовом пространстве H. Оператор A представляет из себя некоторую операторную блок-матрицу и является максимальным аккретивным оператором. Отсюда выводится утверждение о разрешимости исходной начально-краевой задачи. В четвертом разделе исследуется задача о спектре оператора A, которая ассоциируется со спектральной задачей для исходной системы интегродифференциальных уравнений. Установлено, что спектр оператора A расположен в правой открытой полуплоскости, а при отсутствии вращения - отделен от мнимой оси. Существенный спектр оператора A в общем случае состоит из конечного количества точек и отрезков на действительной положительной полуоси. Дискретный спектр расположен в некоторой вертикальной полосе, сгущается к бесконечности и имеет степенное асимптотическое распределение. Если система не вращается, то при некоторых условиях на физические параметры системы, дискретный спектр оператора A, лежащий в окрестности действительной оси, - вещественный. 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 1. Модель вязкоупругой сжимаемой жидкости Максвелла. Движение вязкой сжимаемой жидкости Максвелла в ограниченной области Ω ⊂ R3 описывается следующей системой уравнений (см. [6]): ρ ∂v l 1 ρF (в Ω), (2.1) · ∇ � + (v )v ∂t ρ = -∇P� + J1(t)(Δv + 3 ∇divv) + J2(t)∇divv + � ∂ � + div(ρv) = 0 (в Ω), v = 0 (на ∂Ω). (2.2) ∂t � Здесь v = v(t, x) (x := (x1, x2, x3) ∈ Ω) - поле скоростей жидкости, � = � t, x) - плотность жид- ρ ρ( кости, P� = P�(t, x) - давление в жидкости, F = F(t, x) - поле внешних сил, m rt J1(t)u(t, x) := ) l=1 0 m rt μle-bl(t-s)u(s, x) ds, J2(t)u(t, x) := ) l=1 0 ηle-bl(t-s)u(s, x) ds, μl > 0, ηl > 0 (l = 1, m), 0 =: b0 < b1 < b2 < ... < bm. 2. Уравнения малых движений баротропной жидкости Максвелла, заполняющей равномерно вращающуюся область. Пусть сжимаемая жидкость Максвелла занимает ограниченную область Ω ⊂ R3, равномерно вращающуюся вокруг оси, сонаправленной с действием силы тяжести. Обозначим через n единичный вектор, нормальный к границе ∂Ω и направленный вне области Ω. Введем систему координат Ox1x2x3, жестко связанную с областью, таким образом, что ось Ox3 совпадает с осью вращения и направлена против действия силы тяжести, а начало координат находится в области Ω. В этом случае равномерная скорость вращения области запишется в виде ω0e3, где e3 - орт оси вращения Ox3, а ω0 > 0 для определенности. Будем считать, что внешнее стационарное поле сил F0 является гравитационным и действует вдоль оси вращения, т. е. F0 = -ge3, g > 0. Далее будем считать, что сжимаемая жидкость удовлетворяет уравнению состояния баротроп- � ной жидкости: P = a2 ρ, ∞ � где a ∞= const - скорость звука в сжимаемой жидкости. Рассмотрим состояние относительного равновесия жидкости. Из уравнения (2.1) движения сжимаемой жидкости Максвелла, записанного в подвижной системе координат, найдем формулу для градиента стационарного давления: ∇P0 = ρ0( - ω2e3 × (e3 × r) - ge3) = ρ0∇(2-1ω2|e3 × r|2 - gx3), (2.4) 0 0 ∞ где r - радиус-вектор текущей точки области Ω, а ρ0 - стационарная плотность жидкости. Из (2.4) и соотношения P0 = a2 ρ0 заключаем, что стационарная плотность ρ0 является функцией параметра z := 2-1ω2(x2 + x2) - gx3. При этом ρ0 будет постоянной, только если в системе отсутству- 0 1 2 ют вращение и гравитационное поле. Для функции ρ0(z) выполнено также следующее свойство: 0 < α1 � ρ0(z) � α2 < +∞. Представим теперь полное давление и плотность жидкости в виде: P�(t, x) = P0(z) + p(t, x), ρ(t, x) = ρ0(z)+ � t, x), где p(t, x) и � t, x) - это динамическое давление и плотность соответ- � ρ( ρ( ственно, возникающие при малых движениях жидкости относительно стационарного состояния. Осуществим линеаризацию уравнений (2.1), (2.2), записанных в подвижной системе координат, относительно состояния относительного равновесия. Получим задачу о малых движениях баротропной жидкости Максвелла, заполняющей равномерно вращающееся твердое тело: ∂u(t, x) ( a2 ∞ ρ( ∂t - 2ω0(u(t, x) × e3) = -∇ ρ ) � t, x))+ t m + ) r e-bl(t-s) 1 ρ0(z) 0(z (μlΔu(s, x)+ (ηl ) μl + 3 )∇divu(s, x) ds + f (t, x) (в Ω), ∂ρ(t, x) � ∂t l=1 0 + div(ρ0(z)u(t, x)) = 0 (в Ω), u(t, x) = 0 (на ∂Ω), где u(t, x) - поле скоростей жидкости в подвижной системе координат, f (t, x) - малое поле внешних сил, наложенное на гравитационное поле. 0 Осуществим в полученной системе с целью ее симметризации замену a∞ρ- 1/2 ρ( (z)� t, x) = ρ(t, x). В результате получим основную задачу: ∂u(t, x) ( -1/2 ∂t - 2ω0(u(t, x) × e3) = -∇ a∞ρ0 (z)ρ(t, x))+ t m + ) r e-bl(t-s) 1 ρ0(z) (μlΔu(s, x)+ (ηl ) μl + 3 )∇divu(s, x) ds + f (t, x) (в Ω), (2.5) ∂ρ(t, x) ∂t l=1 0 ∞ 0 + a ρ-1/2 (z)div(ρ0(z)u(t, x)) = 0 (в Ω), u(t, x) = 0 (на ∂Ω). (2.6) Для полноты формулировки задачи зададим еще начальные условия: u(0, x) = u0(x), ρ(0, x) = ρ0(x). (2.7) 3. ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ В этом разделе начально-краевая задача (2.5)-(2.7), описывающая малые движения вращающейся сжимаемой вязкоупругой жидкости Максвелла, с помощью специальных операторов сводится к задаче Коши (3.6) для системы дифференциально-операторных уравнений в гильбертовом пространстве. Затем исследуется вопрос разрешимости задачи Коши (3.6). Основное утверждение раздела - теорема 3.1. 1. Операторная формулировка задачи. Введем векторное гильбертово пространство L2(Ω, ρ0) с весом ρ0(z) со скалярным произведением и нормой следующего вида: r (u, v)L2(Ω,ρ0) := Ω r L2(Ω,ρ0) ρ0(z)u(x) · v(x) dΩ, ∓u∓2 = Ω ρ0(z)|u(x)|2 dΩ. 0 0 L2(Ω) Введем скалярное гильбертово пространство L2(Ω) функций, суммируемых со своими квадратами по области Ω, а также его подпространство L2,ρ (Ω) := {f ∈ L2(Ω) | (f, ρ1/2) = 0}. Определим оператор Su(t, x) := i(u(t, x) × e3), D(S) = L2(Ω, ρ0). Верна лемма, доказательство которой подобно доказательству аналогичной леммы о свойствах кориолисова оператора из [9]. Лемма 3.1. Оператор S является самосопряженным и ограниченным в L2(Ω, ρ0): S = S∗, S ∈ L(L2(Ω, ρ0)); более того, ∓S∓L(L2(Ω,ρ0)) = 1. Будем считать далее, что граница ∂Ω области Ω - класса C2. Пусть α > 0, β � 0, γ � 0. Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: 0 (z)(αΔu(x)+ β∇divu(x)) - γ∇1a∞ρ0 (z)div(ρ0(z)u(x))l = v(x) (в Ω), -ρ-1 2 -1 u(x) = 0 (на ∂Ω). (3.1) Эта задача, как известно (см. [18]), имеет единственное обобщенное решение u = A-1(α, β, γ)v для любого v ∈ L2(Ω, ρ0), где оператор A(α, β, γ) является самосопряженным и положительно определенным в L2(Ω, ρ0). Энергетическое пространство HA(α,β,γ) = D(A1/2(α, β, γ)) = {u ∈ W1 2(Ω)| u = 0 (на ∂Ω)} оператора A(α, β, γ) компактно вложено в пространство L2(Ω, ρ0), а значит, оператор A-1(α, β, γ) компактен и положителен в L2(Ω, ρ0). Для любых u, v ∈ HA(α,β,γ) (u, v)A(α,β,γ) = (A1/2(α, β, γ)u, A1/2(α, β, γ)v)L (Ω,ρ ) = αJ (u, v)+ βD(u, v)+ γF(u, v), 2 0 ) r 3 r J (u, v) : = Ω ∇ui(x) · ∇vi(x) dΩ, D(u, v) := i=1 Ω divu(x) divv(x) dΩ, (3.2) r F(u, v) := Ω a 2 ∞ div(ρ0(z)u(x)) div(ρ0(z)v(x)) dΩ. ρ0(z) Кроме того, можно проверить, что нормы в любых двух энергетических пространствах HA(α1,β1,γ1) и HA(α2,β2,γ2) эквивалентны между собой. Определим операторы Al := A(μl, ηl + 3-1μl, 0) (l = 1, m) (напомним, что μl, ηl > 0, l = 1, m), а m m m m также A0 := A(), μl, ),(ηl + 3-1μl), 1), Ab := A(), b-1μl, ), b-1(ηl + 3-1μl), 0). l=1 l=1 1/2 l l=1 l l=1 0 Определим оператор Bu(t, x) := a∞ρ- 1/2 (z)div(ρ0(z)u(t, x)), D(B) := {u ∈ L2(Ω, ρ0)| div(ρ0u) ∈ 1/2 L2(Ω), u · n = 0 (на ∂Ω)}⊃ D(A0 ) = D(Al ) (l = 1, m). Лемма 3.2 (см., например, [6]). Имеют место следующие формулы: -∇ 0 B∗ρ(x) = (a∞ρ- 1/2 (z)ρ(x)), D(B∗) = W 1 2,ρ0 2 (Ω) := W 1 (Ω) ∩ L2,ρ0 (Ω) 2,ρ0 (Ω) ∃ cl > 0 : ∓Bu∓W 1 � cl∓Alu∓L2(Ω,ρ0) ∀ u ∈ D(Al) (l = 0, m). Для l = 1,m определим следующие операторы: Ql := A1/2A-1/2 + -1/2 1/2 l 0 , Ql := A0 Al , QB := BA-1/2, Q+ := A-1/2B∗, QB,b := BA-1/2, Q+ := A-1/2B∗. (3.3) 0 B 0 b B,b b + + + Лемма 3.3. Ql ∈ L(L2(Ω, ρ0)), QB, QB,b ∈ L(L2(Ω, ρ0), L2,ρ0 (Ω)). Операторы Ql , QB, QB,b расширяются по непрерывности до ограниченных операторов Q∗, Q∗ , Q∗ соответственно, при l B B,b этом Q+ = Q∗ | ∗ , Q+ = Q∗ | ∗ , Q+ = Q∗| (l = 1, m). Кроме того, B Q∗ 0 B D(B ) 0 B,b B,b D(B ) ∗ 1/2 l l D(Al ) m ) ∗ m ) 1 ∗ l-1 ∗ ∗ l Ql � ql I (ql > 0, l = 1, m), QBQB + l=1 Ql Ql = I, QB l=1 b Ql Ql l QB = QB,bQB,b. l Доказательство. Доказательство проведем для оператора Ql. Ограниченность Ql следует из равенства D(Al) = D(A0) (l = 1, m). Следовательно, Q∗ ∈ L(L2(Ω, ρ0)). Далее, для любого 1/2 + u ∈ L2(Ω, ρ0) и v ∈ D(Al ) имеем (Qlu, v)L2(Ω,ρ0) = (u, Ql v)L2(Ω,ρ0) = (u, Q∗v)L (Ω,ρ ). Отсюда следует, что Q+ = Q∗| 1/2 , Q+ = Q∗ (l = 1, m). l 2 0 l l D(Al ) l l L2(Ω) Из неравенства Фридрихса ∓u∓2 � cJ (u, u), верного для всех u ∈ HA0 (см. [18, с. 186]), и (3.2) найдем, что (напомним, что z = 2-1ω2(x2 + x2) - gx3) 0 1 2 r F(u, u) � a2 ( min ρ0(z))-1 |∇ρ0(z) · u(x)+ ρ0(z)divu(x)|2 dΩ � ∞ x∈Ω Ω 0 � 2a2 ( min ρ0(z))-1 c max |∇ρ0(z)|2J (u, u)+ max ρ2(z)D(u, u)l =: d1J (u, u)+ d2D(u, u). ∞ x∈Ω x∈Ω x∈Ω Отсюда и из (3.2) для любого u ∈ L2(Ω, ρ0) имеем (Q∗ ) ( ) ( -1/2 -1/2 ) l Qlu, u L2(Ω,ρ0) = Qlu, Qlu L2(Ω,ρ0) = A0 u, A0 u μ Al = = μlJ (A-1/2u, A-1/2 ( l \ -1/2 -1/2 0 0 u)+ ηl + 3 D(A0 u, A0 u) � μl -1/2 -1/2 ( ηl μl \ -1/2 -1/2 � 2 J (A0 u, A0 u)+ 2 + 6 D(A0 u, A0 u)+ + min f μl , ηl μl l + F(A-1/2u, A-1/2u) � q0(A-1/2u, A-1/2u) = q0∓u∓2 , 2d1 2d2 6d2 0 0 l 0 0 A0 l L2(Ω,ρ0) где q0 > 0. Таким образом, оператор Q∗Ql положительно определен. l l Далее, для любых u, v ∈ L2(Ω, ρ0) имеем m ( BQB + ) Ql Ql - I u, v) = l L (Ω,ρ ) Q∗ ∗ 2 0 l=1 m 0 0 = (BA-1/2 -1/2 ) ( -1/2 -1/2 u, BA v) + L2,ρ0 (Ω) m l=1 l A0 u, A0 v)A - (u, v) L2(Ω,ρ0) = = F(A-1/2 -1/2 ) -1/2 -1/2 ( μl \ -1/2 -1/2 l 0 u, A0 v)+ μlJ (A0 u, A0 v)+ ηl + 3 D(A0 u, A0 v) - (u, v)L (Ω,ρ ) = l=1 = (A-1/2 2 0 -1/2 m а значит, Q∗ QB + ), Q∗Ql = I. A0 0 u, A0 v) - (u, v) L2(Ω,ρ0) = 0, B l l=1 1/2 Из плотности множества D(A0 ) в L2(Ω, ρ) и соотношений m ) 1 Q∗Q 1/2 = A A A 1/2 = (A A )∗(A A ) -1/2 -1/2 1/2 -1/2 1/2 -1/2 bl l=1 l l 0 D(A0 ) 1/2 b 0 b 0 D(A0 ) m b 0 D(A0 ) следует, что (A1/2A-1/2)∗(A1/2A-1/2) = ), b-1Q∗Ql » 0. Отсюда, из плотности множества D(B∗) b 0 b 0 l l l=1 в L2,ρ0 (Ω), [8, теорема 5.30, с. 214] и соотношений m 1 -1 Q∗ A A A QB ) bl l Q∗Qll B D(B∗) 0 = BA-1/2 b (A1/2 -1/2 0 b )-11(A1/2 -1/2 0 )∗l-1 -1/2 0 B∗ = D(B∗) l=1 = BA-1/21(A1/2 -1/2 1l∗A-1/2 = QB,bQ∗ m следует, что QB 1 ), b-1Q∗Qll-1Q∗ b = QB,bQ∗ 0 b A0 )- . B∗ D(B∗) B,b D(B∗) l l B l=1 B,b С использованием введенных операторов задачу (2.5)-(2.7) запишем в виде задачи Коши для системы интегродифференциальных уравнений первого порядка в гильбертовом пространстве H0 := L2(Ω, ρ0) ⊕ L2,ρ0 (Ω): t r ⎧ m ⎪⎪ ∗ du ) ⎨ dt + 2ω0iSu - B ρ + e-bl(t-s) Alu(s) ds = f (t), l=1 0 ⎪ (3.4) ⎪⎩ dρ + Bu = 0, (u(0); ρ(0))τ := (u0; ρ0)τ , dt где символ τ обозначает операцию транспонирования. С использованием (3.3) и леммы 3.3 перепишем систему (3.4) в обобщенной форме: ⎧ ⎪ du 1/2f t r m Q e ) bl(t-s) 1/2 l ⎪⎨ dt + 2ω0iSu + A0 ⎪ B - Q∗ ρ + ∗ - l l=1 0 Al u(s) ds = f (t), (3.5) ⎪⎩ dρ + Bu = 0, (u(0); ρ(0))τ := (u0; ρ0)τ . dt Определение 3.1. Решение задачи (3.5) назовем решением начально-краевой задачи (2.5)- (2.7). Элемент ζ(t) := (u(t); ρ(t))τ назовем решением задачи (3.5), если ζ(t) ∈ D(A1/2) ⊕ L2,ρ (Ω) 0 0 при каждом t ∈ R+ := [0, +∞), (u(t); ρ(t))τ ∈ C1(R+; H0), выражение в фигурных скобках при- 1/2 1/2 нимает значения в D(A0 ) и A0 {.. .}∈ C(R+; L2(Ω, ρ0)), (u(0); ρ(0))τ := (u0; ρ0)τ и выполнены уравнения из (3.5) для любого t ∈ R+. 2. Переход к дифференциально-операторному уравнению первого порядка. Теорема о разрешимости. Пусть u(t), ρ(t) - решение задачи (3.5). Тогда с использованием (3.3) получим, что u(t), ρ(t) удовлетворяют также следующей системе ⎧ ⎪ du 1/2f t r m Q ) bl(t-s) 1/2 l ⎪⎨ dt + 2ω0iSu + A0 A1/2 ⎪ B - Q∗ ρ + ∗ l l=1 0 τ e- 0 0 τ QlA0 u(s) ds = f (t), (3.6) B ⎪⎩ dρ + Q dt 0 u = 0, (u(0); ρ(0)) := (u ; ρ ) , Осуществим в системе (3.6) следующие замены: t r vl(t) := 0 0 e-bl(t-s)QlA1/2u(s) ds (l = 1, m). (3.7) Поля vl(t) (l = 1, m) непрерывно дифференцируемы на R+. Продифференцированные соотношения (3.7) и преобразованные уравнения системы (3.6) составляют следующую систему: du f l ⎧ m ⎪ + 2ω iSu + A1/2 - Q∗ ρ + ) Q∗v = f (t), ⎪⎪ ⎨ dt dρ 0 1/2 0 B dvl l l l=1 1/2 (3.8) ⎪ ⎪ dt + QBA0 u = 0, dt - QlA0 u + blvl = 0 (l = 1,m), ⎩⎪ u(0) = u0, ρ(0) = ρ0, vl(0) = 0 (l = 1, m). m Эту систему будем трактовать как задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка в гильбертовом пространстве H := H ⊕ H0, где H0 := L2,ρ0 (Ω) ⊕ ( ⊕l=1 H), H := L2(Ω, ρ0): dt dξ = -Aξ + F(t), ξ(0) = ξ0. (3.9) Здесь ξ := (u; w)τ , w := (ρ; v1; ... ; vm)τ , ξ0 := (u0; w0)τ , w0 := (ρ0; 0; ... ; 0)τ , F(t) := (f (t); 0)τ . Для операторного блока A справедливо следующее представление: ( 0 Q∗\ 0 0 A = diag(A1/2, I) -Q G diag(A1/2, I) + diag(2ω0iS, 0), (3.10) D(A) = {ξ = (u; w)τ ∈H | u ∈ D(A1/2), Q∗w ∈ D(A1/2)}, (3.11) 0 0 где I, I - единичные операторы в H = L2(Ω, ρ0) и H0 соответственно, Дадим следующее Q := ( - QB, Q1,..., Qm)τ , G := diag(0, b1I,..., bmI). Определение 3.2 (см. [10, с. 38]). Сильным решением задачи Коши (3.9) назовем функцию ξ(t) такую, что ξ(t) ∈ D(A) для любого t из R+, Aξ(t) ∈ C(R+; H), ξ(t) ∈ C1(R+; H), ξ(0) = ξ0 и выполнено уравнение из (3.9) для любого t ∈ R+. При доказательстве следующих утверждений используем такой известный факт. Пусть Akl ∈ L(H) (k, l = 1, 2), A-1 ∈ L(H), D1 := A11 - A12A-1A21. Если D-1 ∈ L(H), то существует ( A11 A12 22 \-1 A 22 Г( I A12 -1 22 \( D1 1 0 \( I 0 \ -1 A21 A22 = 0 I ( D-1 0 A22 -1 22 A-1A21 I -1 \ = 1 -D1 A12A22 22 A21D1 A22 1A22 + A21D1 A12lA22 . (3.12) -A-1 -1 -1 -1 -1 Пусть A-1 ∈ L(H), D2 := A22 - A21A-1A12. Если D-1 ∈ L(H), то существует 11 ( A11 A12 A21 A22 \-1 11 Г( I 0 11 I = A21A-1 2 \( A11 0 0 D2 11 A12 \( I A-1 0 I \ -1 ( A-11A11 + A12D-1A21lA-1 -A-1A12D-1 \ = 11 2 11 -D-1 -1 11 2 -1 . (3.13) 2 A21A11 D2 Лемма 3.4. Оператор A максимальный аккретивный. 0 l=1 Доказательство. 1. Прежде всего заметим, что D(A1/2) ⊕ D(B∗) ⊕m (A 1/2 D l 1/2 ) ⊂ D(A), а значит оператор A плотно определен. Действительно, пусть ξ = (u; w)τ ∈ D(A1/2) ⊕ 1D(B∗) ⊕m D(A )l, 1/2 1/2 0 l=1 l т. е. u ∈ D(A0 ), ρ ∈ D(B∗), vl ∈ D(Al ) (l = 1, m). Тогда с использованием леммы 3.3 найдем u ∈ D(A1/2), Q∗w = -Q∗ ρ + m ) Q∗vl = -Q∗ m ρ + ) Q∗ 1/2 vl = 0 B = -A-1/2 l=1 m ) l -1/2 1/2 B D(B∗) -1/2 l=1 l D(Al ) m ) 1/2 1/2 (3.14) 0 B∗ρ + т. е. ξ ∈ D(A) (см. (3.11)). l=1 A0 Al vl = A0 1 - B∗ρ + l=1 Al vll ∈ D(A0 ), 0 Покажем, что оператор A аккретивен. Пусть ξ = (u; w)τ ∈ D(A), тогда u ∈ D(A1/2) и из факторизации (3.10) оператора A симметричной формы и леммы 3.1 получим (( 0 Q∗\(A1/2 \ (A1/2 \\ 2 A Re( ξ, ξ) H = Re -Q G 0 u , w H0 w 0 u = ∓G1/2w∓ H � 0. 2. Докажем, что оператор A максимален и замкнут. Для этого достаточно показать (см. [10, теорема 4.3, с. 109]), что оператор A- λ непрерывно обратим при λ < 0. Положим ξ1 := (u1; w1)τ ∈ D(A), ξ2 := (u2; w2)τ ∈ H. Определим оператор SA := A-1/2SA-1/2. Из (3.10) 0 0 найдем, что уравнение (A- λ)ξ1 = ξ2 можно переписать в векторно-матричной форме: 0 diag(A1/2, I) 0 (2ω0iSA - λA-1 Q∗ \ 0 diag(A1/2 , I) (u1\ = (u2\ . (3.15) -Q G - λ w1 w2 Отсюда видно, что оператор A- λ будет иметь ограниченный обратный оператор, определенный на всем пространстве H, т. е. будет иметь резольвенту Rλ(A) := (A- λ)-1, если средний блок в (3.15) будет непрерывно обратим в H. 0 Введем оператор-функцию L(λ) := -λA-1 + 2ω0iSA + Q∗(G- λ)-1Q. Фиксируем λ < 0. Для любого 0 ◦= u ∈ L2(Ω, ρ0) с использованием леммы 3.3 найдем, что ∓L(λ)u∓ � ∓u∓-1 · |(L(λ)u, u)L (Ω,ρ )| � ∓u∓-1 · Re(L(λ)u, u)L (Ω,ρ ) = 2 0 2 0 = -λ∓u∓-1 · ∓A-1/2u∓ 0 2 + ∓u∓-1 · ((G- λ)-1 Qu, Qu)H0 � 1 2 m 2 l m 0 ∓QB u∓ � - + ) ∓Qlu∓ � ) ql · ∓u∓, (3.16) ∓u∓ λ m 0 l=1 bl - λ - bl λ l=1 ∓[L(λ)]∗u∓ � ... � ) l=1 ql bl - λ · ∓u∓. Следовательно, L-1(λ) ∈ L(L2(Ω, ρ0)) и из (3.12) получим, что -λA-1 + 2ω0iSA Q∗ ( \-1 0 = -Q G - λ Г(I Q∗Rλ(G)\ (L(λ) 0 \( I 0\ -1 = 0 I 0 G- λ = -Rλ(G)Q I ( I 0\ (L-1(λ) 0 = \ (I -Q∗Rλ(G)\ = Rλ(G)Q I 0 Rλ(G) 0 I = ( L-1(λ) -L-1(λ)Q∗Rλ(G) \ ∈ L(H), (3.17) Rλ(G)QL-1(λ) Rλ(G) - Rλ(G)QL-1(λ)Q∗Rλ(G) где Rλ(G) := (G- λ)-1. Отсюда следует, что оператор A замкнут и максимален. Из (3.15), (3.17) получим представление для резольвенты оператора A: / A-1/2 -1 -1/2 -1/2 -1 ∗ \ Rλ(A) = 0 L (λ)A0 -A0 L (λ)Q Rλ(G) (3.18) 0 Rλ(G)QL-1(λ)A-1/2 Rλ(G) - Rλ(G)QL-1(λ)Q∗Rλ(G) при всех λ ∈/ σ(G) ∪ σ(L(λ)), где σ(G), σ(L(λ)) - спектры оператора G и операторного пучка L(λ) соответственно. Следствием леммы 3.4 является следующая теорема о разрешимости задачи (2.5)-(2.7). 0 Теорема 3.1. Пусть u0 ∈ D(A1/2), ρ0 ∈ D(B∗), f (t, x) ∈ C1(R+; L2(Ω, ρ0)). Тогда решение задачи (2.5)-(2.7) (в смысле определения 3.1) существует и единственно. 0 Доказательство. Пусть u0 ∈ D(A1/2), ρ0 ∈ D(B∗), ξ0 := (u0; w0)τ , w0 := (ρ0; 0; ... ; 0)τ . Из (3.14) найдем, что ξ0 ∈ D(A). Из условий теоремы и (3.9) следует, что F(t) ∈ C1(R+; H). Из [10, теорема 4.5, с. 110] следует, что оператор -A порождает сильно непрерывную полугруппу сжимающих операторов. Из [10, теорема 6.5, с. 166] следует, что задача Коши (3.9) имеет единственное сильное (в смысле определения 3.2) решение. Пусть функция ξ(t) - единственное решение задачи Коши (3.9), то есть ξ(t) = (u(t); w(t))τ , где w(t) = (ρ(t); v1(t); ... ; vm(t))τ , причем Aξ(t) ∈ C(R+; H), ξ(t) ∈ C1(R+; H). Тогда u(t), ρ(t) - решение системы (3.6) (или (3.5)) в смысле определения 3.1. 4. ЗАДАЧА О СПЕКТРЕ ВЯЗКОУПРУГОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В этом разделе исследуется спектр операторного блока A (см. (3.10)-(3.11)). Основным утверждением здесь является следующая теорема, доказываемая в леммах 4.1, 4.3-4.8. Теорема 4.1. 1. {0, b1,..., bm}⊂ ρ(A) (леммы 4.1, 4.3). 1. σess(A) = ΛE,1 ∪ ΛE,2 ∪ ΛL ⊂ (0, bm) (см. (4.9), (4.10)). Множество C\σess(A) состоит из регулярных точек и изолированных собственных значений конечной кратности оператора A. Спектр оператора A расположен симметрично относительно действительной оси (лемма 4.4). 2. σ(A) ⊂ λ ∈ C| 0 < Reλ < bm (лемма 4.6). Спектр оператора A имеет две ветви соб- (±i∞) k=1 ственных значений {λk }∞ со следующей асимптотикой (лемма 4.5): λ(±i∞) 1/2 k = ±iλk (A0)(1 + o(1)) (k → +∞), m 1 r μ -3/2 m 3η + 4μ -3/2 \-2/3 λk (A0) = ( 6π2 Ω 0 ρ3/2(z)f2 ) l l bl l=1 0 + a2 ρ (z)+ ) ∞ l=1 l l l 3bl l dΩ k2/3(1 + o(1)). 3. Пусть ω0 = 0, тогда существует β0 > 0 такое, что (лемма 4.7) σ(A) ∩ λ ∈ C| Imλ ◦= 0 ⊂ λ ∈ C| β0 � Reλ < bm/2 . m 4. Пусть ω0 = 0 и существует 0 < ε < b-2 такое, что (см. (3.2)) m (b - λ)2 J (u, u) ) ( 1 l l=1 \ - ε μl m (b - λ)2 + D(u, u) ) ( 1 l l=1 \( · ε ηl μl \ + + 3 + F(u, u) m ( 1 \ λ2 - ε � ∓u 2 ∓L2(Ω,ρ0) при всех u ∈ HA0 и λ ∈ ∪l=1(bl-1, bl) (b0 = 0). Тогда спектр оператора A, лежащий в области {λ ∈ C| Imλ ◦= 0}, сгущается только к бесконечности (лемма 4.8). 1. Вывод основных спектральных задач. Будем разыскивать решения однородного (при F(t) ≡ 0) уравнения (3.9) в виде ξ(t) = exp(-λt)ξ, где λ - спектральный параметр, а ξ - амплитудный элемент. В результате придем к следующей основной спектральной задаче: Aξ = λξ, ξ ∈ D(A) ⊂ H, (4.1) которую будем ассоциировать с задачей о спектре вязкоупругой сжимаемой жидкости Максвелла. Пусть ξ = (u; w)τ ∈ D(A). Осуществив с учетом факторизации (3.10) в спектральной зада- 0 че (4.1) замену искомого элемента diag(A1/2, I)ξ = η =: (z; w)τ , получим спектральную задачу ( -1 ∗ \( \ A(λ)η := где SA = A-1/2SA-1/2 -λA0 + 2ω0iSA Q -Q G - λ z w = 0, η ∈H = L2(Ω, ρ0) ⊕ H0, (4.2) 0 0 . Пусть λ ∈/ {0, b1,..., bm} = σ(G), тогда из (4.2), (3.10) найдем, что 0 L(λ)z : = 1 - λA-1 + 2ω0iSA + Q∗(G- λ)-1Qlz = = - λA-1 + 2ω0iSA - m 1 1 Q∗ QB + ) z Q∗Qll = 0, z ∈ H = L2(Ω, ρ0). (4.3) 0 λ B l=1 bl - λ l Из (3.16) следует, что спектр оператора A и спектр пучка L(λ) (спектры задач (4.1) и (4.3)) совпадают между собой при λ ∈/ σ(G). 2. О существенном и дискретном спектре задачи. Прежде всего установим следующую лемму о точках множества {0, b1,..., bm}. Лемма 4.1. {b1,..., bm}⊂ ρ(A). Точка λ = 0 не является собственным значением оператора A (спектральной задачи (4.1)). Доказательство. Запишем уравнение (A- λ)ξ = ξ0 в виде системы (см. (3.8), (3.10)): ⎧ m ⎪ 2ω iSu + A1/2f - Q∗ ρ + ) Q∗vll - λu = u0, ⎨⎪ 0 0 1/2 B l l=1 (4.4) ⎪ QBA0 u - λρ = ρ0, 1/2 ⎩⎪ -QlA0 u + blvl - λvl = vl0, l = 1, m. 1. Положим в системе (4.4) λ = 0, ξ0 = (u0; ρ0; v10; ... ; vm0)τ = 0 и выразим из третьего уравнения поле vl. С учетом (3.3) найдем, что vl = b-1QlA1/2u = b-1A1/2u (l = 1, m). Используем l 0 l l найденные элементы в первом уравнении системы (4.4); умножим первое уравнение системы скалярно на поле u, а второе - на функцию ρ. После простых преобразований получим систему ⎧ 1/2 m ) 1 1/2 2 B ⎨⎪ 2ω0i(Su, u)L2(Ω,ρ0) - (Q∗ ρ, A0 u)L2(Ω,ρ0) + l=1 b ∓Al u∓L2(Ω,ρ0) = 0, l ⎪ (QBA1/2 1/2 ⎩ 0 u, ρ)L2,ρ (Ω) = (Q∗ ρ, A u) = 0. 0 B 0 m L2(Ω,ρ0) Из этой системы следует, что 2 ), b-1∓A1/2u∓ = 0, а значит, u = 0 в HA = HA . Слеl l l=1 L2(Ω,ρ0) 0 l B довательно, vl = 0 (l = 1, m). Из системы (4.4) (при λ = 0, ξ0 = 0) найдем теперь, что Q∗ ρ = 0. B Отсюда следует, что ρ = 0, так как KerQ∗ = {0}. Таким образом, ξ = 0 и точка λ = 0 не является собственным значением оператора A. 2. Положим теперь в системе (4.4) λ = bq, ξ0 = 0: ⎧ m ⎪ 2ω iSu + A1/2f - Q∗ ρ + ) Q∗vll - bq u = 0, ⎨⎪ 0 0 1/2 B l=1 l 1/2 1/2 (4.5) ⎪ QBA0 u - bqρ = 0, -Qq A0 u = -Aq u = 0, 1/2 ⎩⎪ -QlA0 u + (bl - bq )vl = 0, l = 1, m, l ◦= q. 0 q Последовательно из третьего, второго и четвертого уравнений системы (4.5) найдем, что u = 0, ρ = 0, vl = 0 (l ◦= q). Теперь из первого уравнения (4.5) следует, что A1/2Q∗vq = 0, а значит, vq = 0. Таким образом, ξ = 0 и точка λ = bq не является собственным значением оператора A. 3. Покажем теперь, что bq ∈ ρ(A). Для этого в силу формулы (3.16) достаточно установить, что в некоторой проколотой окрестности точки λ = bq существует L-1(λ) ∈ L(L2(Ω, ρ0)). С использованием леммы 3.3 преобразуем пучок L(λ) в окрестности точки λ = bq следующим образом: m ) = L(λ 1 0 · λA-1 + 2ω0iSA - 1 B λ Q∗ QB + ) l=1,l/=q 1 bl - λ l Q∗Qll + 1 1 bq - λ q Q∗Qq = m 1 = Q∗Qq (I + (bq - λ)1Q∗Qq l-1 - λA-1 + 2ω0iSA - Q∗ QB + ) Q∗Qll\ = bq - λ q q 0 λ B 1 l=1,l/=q bl - λ l =: bq - λ q Q∗Qq (I + Gq (λ)), где Gq (λ) → 0 при λ → bq. Отсюда и из теоремы об обращении оператора, близкого к единичному, следует требуемое утверждение. Всюду далее будем считать, что граница ∂Ω - класса C∞. Приведем известное утверждение об эллиптичности двух специальных краевых задач. Лемма 4.2. 1. Пусть a(x), b(x), c(x) ∈ C(Ω), c(x) ◦=0 (x ∈ Ω). Тогда следующая краевая задача является эллиптической при a(x) ◦= 0 (x ∈ Ω): ( -a(x)Δu(x) - b(x)∇divu(x)+ c(x)∇p(x) = v(x) (в Ω), c(x) divu(x) = q(x) (в Ω), u(x) = g(x) (на ∂Ω). 2. Пусть a(x), b(x) ∈ C(Ω). Тогда следующая краевая задача является эллиптической, если a(x) ◦= 0, a(x)+ b(x) ◦= 0 (x ∈ Ω) и 2a(x)+ b(x) ◦= 0 (x ∈ ∂Ω): -a(x)Δu(x) - b(x)∇divu(x) = v(x) (в Ω), u(x) = g(x) (на ∂Ω). Основываясь на лемме 4.2, докажем следующие два утверждения. Лемма 4.3. 0 ∈ ρ(A). Доказательство. Доказательство A-1 ∈H проведем в несколько шагов. 1. Перепишем оператор A (см. (3.10)) относительно разложения H := L2(Ω, ρ0) ⊕ L2,ρ0 (Ω) ⊕ H�, l=1 где H� := ⊕m L2(Ω, ρ0), в следующем виде: ⎛2ω0iSA -Q∗ Q∗⎞ A = diag(A1/2,I, I� 0 ) ⎝ B � A1/2,I, I� , (4.6) QB 0 0 ⎠ diag( 0 ) -Q� 0 G� где I, I�- единичные операторы в L2(Ω, ρ0) и H� соответственно, Q� := (Q1,..., Qm)τ , Из (3.12) и (4.6) найдем, что G� := diag(b1I,..., bmI). ⎛I 0 B Q�∗G�-1⎞ ⎛Q�∗G�-1Q� + 2ω0iSA -Q∗ 0 ⎞ ) A = diag(A1/2,I, I� ⎝0 I 0 ⎠ ⎝ QB 0 0 ⎠ × 0 0 0 I� 0 0 G� (4.7) ⎛ I 0 0⎞ ) × ⎝ 0 I 0⎠ diag(A1/2,I, I� . -G�-1Q� 0 0 I� m l Из леммы 3.3 следует, что (Q�∗G�-1Q� + 2ω0iSA)-1 = (), b-1Q∗Ql + 2ω0iSA)-1 ∈ L(L2(Ω, ρ0)). l=1 Если существует 1QB (Q�∗G�-1Q� + 2ω0iSA)-1Q∗ l-1 ∈ L(L2,ρ (Ω)), то из (4.7) и (3.13) будет сле- B 0 довать, что A-1 ∈ L(H). m 2. Положим C := Q�∗G�-1Q� = ), b-1Q∗Ql. Из лемм 3.1, 3.3 для любого u ∈ L2(Ω, ρ0) имеем l l l=1 ∓(I + 2ω0iC-1/2SAC-1/2)u∓L (Ω,ρ ) = ∓(I + 2ω0iC-1/2A-1/2SA-1/2C-1/2)u∓L (Ω,ρ ) � 2 0 0 0 2 0 2 � (1 + 2ω0∓C-1/2A-1/2∓ 0 L(L2(Ω,ρ0)) )∓u∓L2(Ω,ρ0). Отсюда, если положить T := (I + 2ω0iC-1/2SAC-1/2)-1, следует, что для любого v ∈ L2(Ω, ρ0) ∓T v∓2 2 � (1 + 2ω0∓C-1/2A-1/2∓ )-2 2 ∓v∓ 2 =: γ∓v∓ . L2(Ω,ρ0) 0 L(L2(Ω,ρ0)) L2(Ω,ρ0) L2(Ω,ρ0) Теперь из соотношения T + T ∗ = 2T ∗T = 2TT ∗ для любого ρ ∈ L2,ρ0 (Ω) имеем ∓QB (Q�∗G�-1Q� + 2ω0iSA)-1Q∗ ρ∓ · ∓ρ∓ = B = ∓QBC-1/2TC-1/2Q∗ L2,ρ0 (Ω) L2,ρ0 (Ω) -1/2 -1/2 ∗ Bρ∓L2,ρ0 (Ω) · ∓ρ∓L2,ρ0 (Ω) � Re(QBC 1 0 (Ω) TC QBρ, ρ)L2,ρ = 2 = ((T + T ∗)C-1/2Q∗ ρ, C-1/2Q∗ ρ) = ∓TC-1/2Q∗ ρ∓L (Ω,ρ ) � 2 B � γ∓C-1/2Q∗ 2 B L2(Ω,ρ0) -1 ∗ B 2 0 Bρ∓L2(Ω,ρ0) = γ(QBC 1 l∗ 0 (Ω) QBρ, ρ)L2,ρ , B ∓ QB (Q�∗G�-1Q� + 2ω0iSA)-1Q∗ ρ∓L2,ρ0 (Ω) · ∓ρ∓L2,ρ0 (Ω) � ··· � γ(QB B C-1Q∗ ρ, ρ) L2,ρ0 (Ω). Отсюда следует, что для доказательства 1QB (Q�∗G�-1Q� + 2ω0iSA)-1Q∗ l-1 ∈ L(L2,ρ (Ω)) достаточно установить, что оператор QBC-1Q∗ m = QB (), blQ∗Ql)-1Q∗ B = QB,bQ∗ 0 (см. лемму 3.3) по- B l B l=1 1 B,b B,b ложительно определен в L2,ρ0 (Ω) или (QB,bQ∗ )- ∈ L(L2,ρ0 (Ω)). 3. Рассмотрим краевую задачу ⎧ m ⎪ ( μ 1 ) l ⎪ 0 ηl μl ) \ -ρ- (z) ⎨ l=1 Δu(x)+ ( bl bl + 3bl ∇divu(x) + -1/2 (4.8) ⎪ 0 ⎪ ⎩ a∞ρ- 1/2 +2ω0i(u(x) × e3)+ ∇(a∞ρ0 (z)ρ(x)) = v(x) (в Ω), (z)div(ρ0(z)u(x)) = q(x) (в Ω), u(x) = 0 (на ∂Ω). Система (4.8) - это система Дуглиса-Ниренберга. Краевая задача, отвечающая главной части системы (4.8), имеет вид (первое уравнение умножено на ρ0(z)) ⎧ m ⎪⎨- ) ( μl Δu(x)+ ( ηl + μl )∇divu(x)\ + a ρ1/2(z)∇ρ(x) = ρ (z)v(x) (в Ω), bl l=1 bl 3bl ∞ 0 0 ρ1/2 a ⎩⎪ ∞ 0 (z)divu(x) = q(x) (в Ω), u(x) = 0 (на ∂Ω) и является эллиптической в силу леммы 4.2. Из [20] следует, что максимальный оператор, являющийся L2-реализацией краевой задачи (4.8), фредгольмов. С использованием операторов Ab, QB,b, Q∗ , SA = A-1/2SA-1/2 краевую задачу (4.8) можно переписать в следующей операторной B,b b b b форме в гильбертовом пространстве H0 := L2(Ω, ρ0) ⊕ L2,ρ0 (Ω): B (u\ = ρ A ( 1/2 b 0\ (I + 2ω0iSAb -Q ∗ B,b A \ ( 1/2 b 0\ (u\ = ρ 0 I QB,b / 0 1/2 0 I 1/2 \ B,b = Ab ((I + 2ω0iSAb )Ab u - Q∗ ρ) QB,bA1/2u (v\ = q , b D(B) = {ζ = (u; ρ)τ ∈ H0 | u - A-1/2(I + 2ω0iSA )-1Q∗ ρ ∈ D(Ab)}. b b B,b Оператор B является максимальным аккретивным оператором, KerB = {0}. Эти факты доказываются по аналогии с соответствующими утверждениями в леммах 3.4 и 4.1. Оператор B∗ также является максимальным аккретивным оператором, KerB∗ = {0}. Отсюда и из фредгольмовости оператора B следует, что существует B-1 ∈ L(H0). B,b 4. Докажем теперь, что существует (QB,bQ∗ 0 )-1 ∈ L(L2,ρ (Ω)). Допустим, что это не верно. +∞ Тогда существует некомпактная последовательность {ρn}n=1 ⊂ L2,ρ0 (Ω) такая, что ∓ρn∓L2,ρ0 (Ω) = 1, 1/2 B,bρ → 0 (n → +∞) в L (Ω). Определим ζ := (A- (I + 2ω iS )-1Q∗ ρ ; ρ )τ , n ∈ N. QB,bQ∗ n +∞ 2,ρ0 1/2 n b 0 Ab -1/2 B,b n n 1 ∗ Тогда {ζn}n=1 ⊂ D(B), так как [A- (I + 2ω0iSA )-1Q∗ ρn] - A (I + 2ω0iSA )- QB,b [ρn ] = 0 ∈ D(Ab). Кроме того, имеем / b -1/2 b -1 ∗ B,b b b \ ( 0 \ ζn --0, Bζn = B Ab (I + 2ω0iSAb ) ρn QB,bρn ∗ = QB,bQB,bρn → 0 (n → +∞), B,b что противоречит B-1 ∈ L(H0). Таким образом, (QB,bQ∗ 0 )-1 ∈ L(L2,ρ (Ω)), и лемма доказана. Определение 4.1. Существенным спектром оператора A (спектральной задачи (4.1)) назовем множество σess(A) := {λ ∈ C | (A- λ) - нефредгольмов}. Для описания существенного спектра задачи определим функции m ϕ(λ) := ) m μl , ψ(λ, x) := ) η 1 ( l 2 μl \ 1 + - a ρ0(z). (4.9) l=1 bl - λ l=1 bl - λ 3 λ ∞ С помощью функций (4.9) определим множества в комплексной плоскости (точнее, на R+) ΛE,1 := λ ∈ C| ϕ(λ) = 0 , ΛE,2 := λ ∈ C| ϕ(λ)+ ψ(λ, x) = 0, x ∈ Ω , ΛL := λ ∈ C| 2ϕ(λ)+ ψ(λ, x) = 0, x ∈ ∂Ω . (4.10) Простые геометрические рассуждения показывают, что множество ΛE,1 состоит ровно из m - 1 различных точек, находящихся на интервале (b1, bm) и разделенных точками bl (l = 2,m - 1). Каждое из множеств ΛE,2, ΛL состоит ровно из m отрезков на интервале (0, bm). Для каждого множества отрезки разделены точками bl (l = 1,m - 1). Если рассматриваемая система не вращается и находится в невесомости (ω0 = 0, g = 0), то ρ0 = const и каждое из множеств ΛE,2, ΛL превращается в набор из m точек. Лемма 4.4. σess(A) = ΛE,1 ∪ ΛE,2 ∪ ΛL ⊂ (0, bm). Множество C\σess(A) состоит из регулярных точек и изолированных собственных значений конечной кратности оператора A. Спектр оператора A расположен симметрично относительно действительной оси. Доказательство. Пусть λ ∈/ ΛE,1 ∪ ΛE,2 ∪ ΛL, λ ∈/ σ(G). Рассмотрим краевую задачу 1 - ρ0(z) m ) l=1 μ l bl - λ 1 Δu(x)+ a2 1 ( bl - λ ηl + μl \ 3 l l ∇divu(x) + (4.11) + λ ∇ ∞ ρ0(z) div(ρ0(z)u(x)) - 2ω0(u(x) × e3) - λu(x) = v(x) (в Ω), u(x) = 0 (на ∂Ω). Из (4.9), (4.10) и леммы 4.2 найдем, что краевая задача (4.11) является эллиптической. Из [20] следует, что оператор, являющийся L2-реализацией краевой задачи (4.11), фредгольмов. С использованием введенных ранее операторов и пучка (4.3) можно проверить, что краевую задачу (4.11) можно переписать в виде A1/2L(λ)A1/2u = v. Таким образом, оператор A1/2L(λ)A1/2 фредгольмов 0 0 0 0 в L2(Ω, ρ0). Из [14, лемма 1, с. 52] следует, что оператор A1/2L(λ)A1/2 фредгольмов как оператор, дей- 0 0 A0 ствующий из HA0 в H∗ A (H∗ 0 - пространство, сопряженное к HA0 относительно скалярного произведения в L2(Ω, ρ0)). Следовательно, оператор L(λ) также фредгольмов в L2(Ω, ρ0). Из [19, теорема 3.1, с. 374] (теорема о произведении фредгольмовых операторов), (3.10) и факторизации (3.12) теперь найдем, что оператор (A1/2 \( -1 ∗ \( 1/2 \ A- λ = 0 0 -λA0 + 2ω0iSA Q 0 I -Q G - λ A0 0 = 0 I (A1/2 \ (I Q∗R (G)\ (L(λ) 0 \( I 0\( 1/2 \ 0 I 0 I 0 G- λ -Rλ(G)Q I 0 I )-1, SA = A-1/2S 0 A-1/2, фредгол 0 ьмов. Сл едовательно, для существе = 0 0 λ где Rλ(G) = (G- λ A0 0 , нного спектра оператора A получаем включение σess(A) ⊂ ΛE,1 ∪ ΛE,2 ∪ ΛL. Множество C\σess(A), очевидно, является связным, а оператор A имеет регулярные точки. Отсюда и из [8, теорема 5.17, с. 296] (теорема об устойчивости индекса и дефекта замкнутого оператора) следует, что множество C\σess(A) состоит из регулярных точек и изолированных собственных значений конечной кратности оператора A. Предположим теперь, что λ ∈/ σess(A), λ ∈ ΛE,1 ∪ ΛE,2 ∪ ΛL. В этом случае получим противоречие, так как регулярные точки (отличные от 0, b1, ··· , bm) и изолированные собственные значения конечной кратности оператора A являются регулярными и изолированными собственными значениями конечной кратности для пучка L(λ). Симметричность расположения спектра оператора A относительно действительной оси следует из самосопряженности пучка L(λ) (см. [11, с. 174]) или из J -самосопряженности оператора A (см. [2, с. 131]). 1. Локализация спектра и асимптотика спектра на бесконечности. Лемма 4.5. Для любого как угодно малого ε > 0 существует R = R(ε) > 0 такое, что весь спектр оператора A принадлежит множеству Λ± ∪ CR, где Λ± := { |argλ ∓ π/2| < ε}, o ε CR := { |λ| < R}. Более того, спектр оператора A имеет две ветви собственных значений i∞) k=1 ε {λk }∞ , расположенных в Λ± \CR, со следующей асимптотикой: λ(±i∞) 1/2 k = ±iλk (A0)(1 + o(1)) (k → +∞), m 1 r μ l-3/2 m 3η + 4μ l-3/2l \-2/3 λk (A0) = ( 6π2 Ω 0 ρ3/2(z)f2 ) l bl l=1 0 + a2 ρ (z)+ ) ∞ l=1 l l 3bl dΩ k2/3(1 + o(1)). Доказательство. 1. Из леммы 4.3 следует, что λ = 0 не является собственным значением оператора A. Преобразуем пучок -λL(λ) (см. (4.3)) при λ ◦= 0 с помощью леммы 3.3 к виду: λ m -λL(λ)z = λ2A-1 - 2ω0iλSA + Q∗ QB - ) z Q∗Qll = 0 B l=1 m b bl - λ l = I + λ2A-1 - 2ω0iλSA - ) z 1. Q∗Qll = 0, z ∈ H = L2(Ω, ρ0). (4.12) 0 l=1 bl - λ l Из оценок работы [17] и A-1 ∈ S (L (Ω,ρ )) найдем, что для π/2 > ε > 0 и R > 0 0 ∞ 2 0 ∓(I - iλA-1/2)-1SA(I + iλA-1/2)-1∓ � 0 0 � ∓(I - iλA-1/2)-1A-1/4(A-1/4 -1/2 -1/4 0 Отсюда и из представления - λL(λ) = (I - iλA-1/2) 0 0 S)∓· ∓(I + iλA0 )-1A0 ∓ = o(λ-1), (4.13) ε λ → ∞, λ ∈/ Λ± ∪ CR. - (I - iλA-1/2)-1f2ω0iλSA+ 0 I 0 m + ) bl ( Q∗Q l(I + iλA-1/2)-1l I + iλA-1/2) l=1 bl - λ l l 0 0 ε следует, что L(λ) непрерывно обратим в C\(Λ± ∪ CR) при достаточно большом R = R(ε) > 0, а ε значит, σ(A) ⊂ Λ± ∪ CR. 1. С помощью оценки, аналогичной (4.13), можно найти, что m ∓(I - λA-1/2)-1f2ω0iλSA + ) 0 l=1 bl Q∗Qll(I + λA-1/2)-1∓→ 0, λ → ∞, λ ∈ Λ±\CR. bl - λ l 0 ε Отсюда, из степенной асимптотики собственных значений λk (A0) оператора A0 и теоремы об асимптотике спектра пучка вида (4.12) (см. [1, 15]) следует, что пучок L(λ) (оператор A) имеет в Λ± (±i∞) 1/2 o \CR две ветви собственных значений λk = ±iλk (A0)(1 + o(1)) (k → +∞). A0 2. Асимптотика собственных значений оператора A0 следует из [4, с. 10]. Точнее, собственные значения оператора A0 имеют асимптотику λk (A0) = C-2/3k2/3(1 + o(1)) (k → +∞), где 1 r r CA0 := 24π3 dΩ 0 ρ3/2(z) Tr fg1|ξ|2I3 + g2(z)ξξ τ l-3/2 dS(ξ), Ω |ξ|=1 m μ m 1 ( μ \ (4.14) ξ := (ξ1; ξ2; ξ3)τ ∈ R3\{0}, g1 := ) l , g2(z) := a2 ρ0(z)+ ) ηl + l , bl l=1 ∞ bl 3 l=1 0 а I3 - единичная матрица в R3. Для вычисления CA введем матрицу Γξ := (|ξ|-1ξ, a⊥, b⊥), состоящую из вектор-столбцов |ξ |-1ξ, a⊥, b⊥. Здесь вектор-столбцы a⊥, b⊥ (|a⊥| = |b⊥| = 1) ортогональны и между собой. Используя формулы Γτ Γξ = I3, Γτ ξξτ Γξ = diag(|ξ|2, 0, 0) =: |ξ|2P1, найдем ξ ξ ξ собственные значения матрицы в фигурных скобках из (4.14): ξ detfg1|ξ|2I3 - λI3 + g2(z)ξξτ l = detΓτ fg1|ξ|2I3 - λI3 + g2(z)ξξτ lΓξ = = detfg1|ξ|2I3 - λI3 + g2(z)|ξ|2P1l = (1g1 + g2(z)l|ξ|2 - λ)(g1|ξ|2 - λ)2 = 0. Следовательно, λ1,2 = g1|ξ|2, λ3 = 1g1 + g2(z)l|ξ|2. Тогда имеем r |ξ|=1 Trfg1|ξ|2I3 + g2(z)ξξτ l -3/2 dS(ξ) = r = |ξ|=1 2g-3/2 f 1 + 1g1 + g2(z)l -3/2 l|ξ|-3 dS(ξ) = 4π 1 f2g-3/2 + 1g1 + g2(z)l -3/2l. Отсюда и из (4.14) следует формула асимптотики собственных значений оператора A0. Из леммы 3.4 следует, что σ(A) ⊂ {λ ∈ C| Reλ � 0}. В следующей лемме уточняется расположение найденных в лемме 4.5 ветвей собственных значений и всего спектра оператора A. Лемма 4.6. σ(A) ⊂ λ ∈ C| 0 < Reλ < bm . Доказательство. Пусть λ ∈ σ(A), λ ∈/ σess(A) ⊂ (0, bm), λ ∈/ σ(G) = {0, b1,..., bm}. Тогда λ, являющееся собственным значением оператора A (см. лемму 4.4), является также собственным значением пучка L(λ) (см. (4.3)), то есть существует 0 ◦= z ∈ L2(Ω, ρ0) такой, что L(λ)z = 0. Умножая последнее равенство скалярно на z, получим уравнение, которому удовлетворяет λ: 1 m q ) l (4.15) -1/2 2 - λp + 2ω0is - λ q0 + l=1 = 0, bl - λ 2 2 2 , s := p := ∓A0 z∓ ∓z∓ (SAz, z) 2 , q0 := ∓z∓ ∓QB z∓ 2 , ql := ∓z∓ ∓Qlz∓ 2 (l = 1, m). ∓z∓ Выделим действительную и мнимую части из (4.15): Reλ m q (b - Reλ) Imλ 2. q Imλ -pReλ - q0 |λ|2 + ) l=1 l l |bl - λ|2 = 0, -pImλ + 2ω0s + q0 |λ|2 + ) l=1 l |bl - λ|2 = 0. (4.16) l Учитывая, что p > 0, ql � q0 > 0 (l = 1, m) (см. лемму 3.3), из (4.16) и леммы 4.3 следует m 0 < Reλ ) m 2 2 ql < Reλ p + q0 + ) m = ql l ) 2 blql 2 � bm m ) ql |bl - λ|2 l=1 |bl - λ| и лемма доказана. |λ| l=1 |bl - λ| l=1 |bl - λ| , l=1 2. Локализация спектра в случае ω0 = 0. В следующих двух утверждениях установим локализацию спектра оператора A в случае, когда в системе отсутствует вращение. Лемма 4.7. Пусть ω0 = 0, тогда существует β0 > 0 такое, что σ(A) ∩ λ ∈ C| Imλ ◦= 0 ⊂ λ ∈ C| β0 � Reλ < bm/2 . Доказательство. Определим в Rm+2 множество параметров уравнения (4.15) (при ω0 = 0): T := (p; q0; q1; ... ; qm)τ ∈ Rm+2| 0 < p � ∓A-1/2∓ , 0 � q0 � ∓QB ∓ , q � ql � ∓Ql∓ (l = 1, m) , 2 2 0 2 0 l l где числа q0 > 0 определены в лемме 3.3. Уравнение (4.15) (при ω0 = 0) имеет m действительных положительных корней и еще два корня - пару комплексно сопряженных чисел либо пару действительных положительных чисел. Рассмотрим ситуацию, когда имеется пара комплексно сопряженных корней. В этом случае обозначим действительные корни уравнения (4.15) через λ(l) = λ(l)(p, q0,..., qm) (l = 1, m). Определим теперь число β0 по следующей формуле: β0 := inf m 1 ) (bl - λ(l)(p, q0, q1,..., qm)) > 0. (4.17) (p;q0;q1;...;qm)∈T 2 l=1 Пусть λ(+i) - комплексное собственное значение оператора A (см. лемму 4.4). Тогда λ(+i) - корень уравнения (4.15) (при ω0 = 0) при некотором z = z(+i). При этом число λ(-i) := λ(+i) также будет корнем уравнения (4.15). Обозначим через λ(l) (l = 1, m) оставшиеся действительные (положительные) корни уравнения (4.15) (при ω0 = 0) и запишем уравнение (4.15) в виде m (-1)mp (λ - λ(+i))(λ - λ(-i)) тт(λ - λ(l)) = 0. (4.18) l=1 С другой стороны, уравнение (4.15) (при ω0 = 0) можно переписать в следующем виде: m m m m λ2p тт(bl - λ)+ q0 тт(bl - λ) - λ ) ql тт (bk - λ) = 0. (4.19) l=1 l=1 l=1 k=1, k/=l Приравнивая коэффициенты при λm+1 в уравнениях (4.18) и (4.19) и учитывая (4.17), теперь найдем, что (b0 := 0) β0 � Reλ(±i) = m 1 2 )(bl - λ(l)) < l=1 m 1 2 )(bl - bl l=1 bm -1) = 2 . m Лемма 4.8. Пусть ω0 = 0 и существует 0 < ε < b-2 такое, что (см. (3.2)) m J (u, u) ) ( 1 (bl - λ)2 \ - ε μl m D + (u, u) ) ( 1 (bl - λ)2 \( - ε ηl μl \ + + 3 (4.20) l=1 m l=1 + F(u, u) ( 1 \ λ2 - ε � ∓u∓ 2 L2(Ω,ρ0) при всех u ∈ HA0 и λ ∈ ∪l=1(bl-1, bl) (b0 = 0). Тогда спектр оператора A, лежащий в области {λ ∈ C| Imλ ◦= 0}, сгущается только к бесконечности (см. лемму 4.5). k k=1 Доказательство. Предположим, что оператор A имеет ветвь собственных значений {λ(+i)}∞ , k стремящихся к положительному числу γ ∈ σess(A). Тогда числа λ(+i) суть корни уравнений (4.15) (при ω0 = 0) при некоторых z = z(+i). При этом числа λ(-i) := λ(+i) также будут собственными k k k (±i) значениями оператора A (см. лемму 4.4). Таким образом, λk будут корнями следующих функций (см. (4.15)): ) 1 m ql,k (4.21) fk (λ) := -λpk + - λ q0,k + l=1 = 0, bl - λ A-1/2z(+i) 2 QB z(+i) 2 Qlz(+i) 2 pk := ∓ 0 k ∓ , q0,k := ∓ k ∓ , ql,k := ∓ k ∓ (l = 1, m). (+i) 2 (+i) 2 (+i) 2 ∓zk ∓ ∓zk ∓ ∓zk ∓ Можно считать, что lim k→∞ p, pk =: � lim k→∞ q0,k =: � , lim q0 k→∞ ql,k ql =: � > 0 (l = 1, m). В противном случае мы ограничимся соответствующими подпоследовательностями. Определим функцию m l 1 q p - � + ) � . f (λ) := -λ� λ q0 l=1 bl - λ k=1 Таким образом, последовательность функций {fk (λ)}∞ сходится (равномерно) к функции f (λ) в каждой замкнутой ограниченной области, не содержащей точек {0, b1,..., bm}. По теореме Гурвица (см. [12, с. 426]) функция f (λ) имеет в точке λ = γ кратный нуль, т. е. f ⊕(γ) = 0. Из (3.3), (3.2) и (4.20) теперь найдем, что (+i) 2 m (+i) 2 l 2 0 = f ⊕(γ) = lim 1 f ⊕ (γ) = lim - ∓A-1/2z(+i)∓ + ∓QB zk ∓ + ) ∓Qlzk ∓ = k k→∞ 0 k k→∞ ∓z(+i) 2 γ2 (bl - γ)2 k ∓ 1 l=1 m μ = lim - ∓A-1/2z(+i) 2 -1/2 (+i) -1/2 (+i) ) l k→∞ ∓z(+i) 2 0 k ∓ + J (A0 zk , A0 zk ) + (bl - γ)2 k ∓ + D(A-1/2 (+i) -1/2 (+i) m ) 1 ( l=1 μl \ 0 zk , A0 zk ) l=1 (bl - γ)2 ηl + 3 + + F(A-1/2 (+i) -1/2 (+i) 1 -1/2 (+i) -1/2 (+i) l 0 0 zk , A0 zk ) γ2 ± ε(A0 zk , A0 zk )A Полученное противоречие доказывает лемму. Автор приносит благодарность проф. Н. Д. Копачевскому за обсуждение работы.