К проблеме малых движений системы из двух вязкоупругих жидкостей в неподвижном сосуде

Аннотация

В данной работе изучается проблема малых движений двух вязкоупругих несжимаемых жидкостей модели Олдройта, заполняющих неподвижный сосуд. С помощью применения операторного подхода исходная начально-краевая задача приведена к задаче Коши для дифференциальнооператорного уравнения в некотором гильбертовом пространстве, доказана теорема о корректной разрешимости проблемы на произвольном промежутке времени. Выведено уравнение для нормальных колебаний гидросистемы (обобщенный операторный пучок С. Г. Крейна).

Полный текст

1. ВВЕДЕНИЕ 1. О модели вязкоупругой жидкости. В данной работе изучается проблема малых движений вязкоупругих несжимаемых жидкостей модели Олдройта (см., например, [10]). В этой модели связь между тензором вязких напряжений и удвоенным тензором скоростей деформаций в вязкоупругой жидкости описывается не простейшим законом Гука, а линейным дифференциальным соотношением, где фигурируют производные первого порядка по времени как у тензора вязких напряжений, так и у тензора скоростей деформаций. Некоторые исследователи (см., например, [7, 14, 15], а также [9, 13]) рассматривают так называемую обобщенную модель Олдройта, когда упомянутая выше связь описывается линейным дифференциальным соотношением порядка m ;? 1. Тогда при естественном условии, что если в начальный момент времени тензор скорости деформации и его производные по времени вплоть до порядка m - 1 равны нулю, то эти же условия выполнены и для тензора вязких напряжений, получается связь между этими тензорами в любой момент времени с помощью интегрального оператора Вольтерра. Этот переход от дифференциальной связи к интегральной описан, например, в [13, c. 316-318]. 3 Пусть _u(t, x) = \ uk (t, x)_ek - поле скоростей в вязкоупругой жидкости, τkl(_u) := k=1 ∂uk + ∂xl ∂ul , ∂xk kl (k, l = 1, 2, 3) - удвоенный тензор скоростей деформаций, а σ× - тензор вязких напряжений. Тогда связь между ними описывается соотношением σ× = μI0(t)τ, (1.1) Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2018 547 548 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ где μ > 0 - коэффициент динамической вязкой жидкости, а m rt I0(t)τ := τ (t)+ \ αj j=1 0 e-βj (t-s)τ (s)ds, (1.2) где αj и βj - положительные константы, характеризующие вязкоупругую жидкость. Если αj = 0, j = 1,..., m, то отсюда получаем модель обычной вязкой несжимаемой жидкости, а из (1.1) - закон Гука. Отметим еще следующий факт: интегральный оператор Вольтерра из (1.1) является обратимым интегральным оператором второго рода, причем обратный оператор также является интегральным оператором Вольтерра. 2. Об истории вопроса и содержании данной работы. Одними из первых работ, связанных с применением методов функционального анализа к исследованию проблемы малых движений и нормальных колебаний вязкоупругой жидкости в частично заполненном сосуде, являются работы А. И. Милославского [7, 14, 15]. В них для обобщенной модели Олдройта (m > 1) применен операторный подход, развивающий построения, проведенные ранее С. Г. Крейном и его учениками применительно к задаче о малых колебаниях вязкой жидкости в частично заполненном сосуде. Исследования А. И. Милославского отражены, в частности, в главе 8 монографии [13]. Случай полного заполнения полости вязкоупругой жидкостью рассмотрен в [9], а также в [13, п. 7.1]. В данной работе, которая является продолжением исследований из [3], изучается проблема малых движений системы из двух вязкоупругих несмешивающихся жидкостей, полностью заполняющих неподвижный сосуд. Для простоты взята модель Олдройта (m = 1), хотя все построения можно провести и для обобщенной модели Олдройта (m > 1) по той же схеме. Аналогичный подход можно применить и к случаю, когда сосуд заполнен не двумя, а системой из произвольного числа несмешивающихся вязкоупругих жидкостей обобщенной модели Олдройта. Изложение в данной работе проведено по следующей схеме. После введения в разделе 2 дается постановка начально-краевой задачи о малых движениях системы из двух несмешивающихся вязкоупругих жидкостей, полностью заполняющих неподвижный сосуд и находящихся в однородном гравитационном поле, действующем вертикально вниз. Для классического решения задачи выведен закон баланса полной энергии. Это позволяет в разделе 3 осуществить выбор функциональных гильбертовых пространств, в которых естественно изучать поставленную проблему. Далее в разделе 4 приводится вывод формул для ортопроекторов, непосредственно связанных с указанными пространствами. После этого в разделе 5 осуществлен операторный подход к исследуемой задаче, позволяющий привести проблему к задаче Коши для интегро-дифференциального уравнения в некотором гильбертовом пространстве. Затем в разделе 6 осуществлен переход к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в ортогональной сумме гильбертовых пространств. После подробного изучения свойств операторной матрицы, отвечающей возникшей системе уравнений (факторизация, аккретивность, замыкание) в разделе 7 доказываются теоремы о сильной разрешимости полученной задачи Коши на конечном интервале времени. На этой основе доказана также теорема о существовании обобщенного решения исходной начально-краевой задачи. Наконец, для проблемы нормальных колебаний гидросистемы получено уравнение (операторный пучок), обобщающее соответствующие уравнения как для проблемы с двумя обычными вязкими жидкостями (пучок С. Г. Крейна), так и для задачи о колебаниях одной вязкой жидкости. 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ЗАКОН БАЛАНСА ПОЛНОЙ ЭНЕРГИИ 1. Классическая постановка задачи. Будем считать, что две вязкоупругие жидкости модели Олдройта заполняют произвольный сосуд Ω ⊂ R3 и в состоянии равновесия под действием гравитационного поля занимают области Ω1 и Ω2, соответственно, с горизонтальной границей раздела Γ. Обозначим через S1 и S2 те части границы ∂Ω, которые примыкают к первой и второй жидкостям, соответственно. Введем декартову систему координат Ox1x2x3 таким образом, чтобы ось Ox3 была направлена вверх, т. е. против действия однородного гравитационного поля, а начало координат O находилось на Γ. Тогда ускорение гравитационного поля _g = -g_e3, g > 0, а в состоянии покоя поля давлений К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ В НЕПОДВИЖНОМ СОСУДЕ 549 в жидкостях выражаются по законам P0,k (x3)= p0 - ρk gx3, k = 1, 2, (2.1) где ρk - плотности жидкостей, а p0 - давление на границе раздела Γ, т. е. при x3 = 0. Рассмотрим малые движения системы из двух жидкостей, близкие к состоянию покоя. Пусть _uk (t, x) - поля малых скоростей, а pk (t, x) - отклонения полей давлений от их равновесных значений (см. (2.1)). Для простоты рассматриваем вязкоупругие жидкости модели Олдройта, когда в (1.1) m = 1. Кроме того, полагаем, что на исследуемую гидродинамическую систему дополнительно к гравитационному полю действует малое поле внешних сил f_ = f_(t, x), x ∈ Ω. Тогда линеаризованные уравнения движения жидкостей имеют следующий вид (см., например, [13, c. 318, 342-343]): ∂_uk ∂t ρk = -∇pk + μk ±_vk + ρk f_k (t, x), div _uk =0 (в Ωk ), (2.2) t r _vk (t, x)= _uk (t, x)+ αk 0 e-βk (t-s)_uk (s, x)ds =: I0,k (t)_uk , k = 1, 2, (2.3) где μk > 0 - динамические вязкости жидкостей, αk ;? 0, βk > 0 - коэффициенты, характеризующие свойства вязкоупругости жидкостей модели Олдройта, f_k (t, x) := f_(t, x)|x∈Ωk , а ± - трехмерный оператор Лапласа. Для вязких жидкостей, как известно, на твердых стенках Sk сосуда должны выполняться условия прилипания, т. е. _uk = _0 (на Sk ), k = 1, 2, (2.4) а на границе раздела Γ - условие непрерывности полей скоростей: _u1(t, x)= _u2(t, x), x ∈ Γ. (2.5) Будем описывать малые перемещения границы раздела между жидкостями с помощью функции вертикального отклонения x3 = ζ(t, x1, x2), (x1, x2) ∈ Γ. (2.6) Тогда на Γ должно выполняться кинематическое условие ∂ζ ∂t = _u1 · _n =: γn,1_u1 = _u2 · _n =: γn,2_u2, _n = _e3, (2.7) а символом γn,k обозначена операция взятия нормального следа на Γ, т. е. следа нормальной компоненты поля скорости. Заметим еще, что из условия сохранения объема каждой из жидкостей имеем интегральную связь r ζdΓ= 0. (2.8) Γ Сформулируем теперь динамические условия на Γ. Они состоят в том, что на движущейся границе раздела векторное поле напряжений при переходе от одной жидкости к другой изменяется непрерывно. Линеаризация этого условия и его снос на Γ приводят к следующим соотношениям: на Γ касательные напряжения (т. е. вдоль Γ) изменяются непрерывно, а нормальное напряжение (т. е. вдоль оси Ox3) компенсируется гравитационным скачком давлений. Имеем μ1τj3(_v1)= μ2τj3(_v2), _vk = I0,k (t)_uk , k = 1, 2, j = 1, 2; [-p1 + μ1τ33(_v1)] - [-p2+ μ2τ33(_v2)] = -g(ρ1 - ρ2)ζ (на Γ). (2.9) Наконец, для искомых функций _uk (t, x), pk (t, x), k = 1, 2, и ζ(t, x1, x2) необходимо еще задать начальные условия: _uk (0, x)= _u0 (x), x ∈ Ωk , _u0(x) ≡ _u0(x), x ∈ Γ, k 1 2 ζ(0, x)= ζ0(x), x ∈ Γ. (2.10) 550 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ 2. Закон баланса полной энергии. Будем считать, что задача (2.2)-(2.10) имеет классической решение, и выведем закон баланса полной энергии гидросистемы. Предварительно выпишем формулы Грина для векторных полей скоростей в областях Ω1 и Ω2, соответственно. Для дважды непрерывно дифференцируемых полей они имеют следующий вид: 3 ⎛ ⎞ 1 r \ μ1E1(_η1, _u1) := 2 μ1 Ω1 ⎝ j,l=1 τjl(_η1)τjl(_u1)⎠ dΩ1 = r r = _η1 · (-μ1±_u1 + ∇p1)dΩ1 + Ω1 Γ 3 \ η1,j (μ1τj,3(_u1) - p1δj3)dΓ, j=1 (2.11) div_η1 = div_u1 =0 (в Ω1), _η1 = _u1 ≡ _0 (на S1), 3 ⎛ ⎞ 1 r \ μ2E2(_η2, _u2) := 2 μ2 Ω2 ⎝ j,l=1 τjl(_η2)τjl(_u2)⎠ dΩ2 = r r = _η2 · (-μ2±_u2 + ∇p2)dΩ2 - Ω2 Γ 3 \ η2,j (μ2τj,3(_u2) - p2δj3)dΓ, j=1 (2.12) div_η2 = div_u2 =0 (в Ω2), _η2 = _u2 ≡ _0 (на S2). (В этих формулах учтено, что направление внешней нормали на Γ для области Ω1 будет _n1 = _e3, а для Ω2 - соответственно, _n2 = -_n1 = -_e3.) Умножим обе части (2.2) слева на _uk , проинтегрируем по Ωk и сложим результаты; будем иметь (для вещественнозначных полей): 2 r \ ρk _uk · ∂_u 2 r k dΩk = - \ 2 r _uk · ∇pk dΩk + \ μk 2 r _uk · (±_vk )dΩk + \ ρk _uk · f_k dΩk . ∂t k=1 Ωk k=1Ωk k=1 Ωk k=1 Ωk Используя формулы Грина (2.11), (2.12), а также граничные условия задачи (2.2)-(2.10), отсюда получаем соотношение ⎧ 1 d ⎪⎨ 2 r ⎫ ⎬⎪ 2 2 r \ ρk |_uk |2 dΩk = - \ μk Ek (_uk , _vk )+ \ ρk _uk · f_k dΩk + Ωk 2 dt ⎪⎩k=1 ⎭⎪ k=1 r 3 k=1 Ωk + \ uk,j (μ1τj3(_u1) - μ2τj3(_u2) - (p1 - p2)δj3) dΓ. Γ j=1 Учитывая еще соотношения (2.8) и (2.9), окончательно приходим к выводу, что ⎧ 1 d ⎪⎨ 2 r ⎫ r ⎪⎬ 2 2 r \ ρk |_uk |2 dΩk + g(ρ1 - ρ2) |ζ|2 dΓ = - \ μk Ek (_uk , _vk )+ \ ρk _uk · f_k dΩk . (2.13) Ωk 2 dt ⎪⎩k=1 Γ ⎪⎭ k=1 k=1 Ωk Это тождество есть закон баланса полной энергии системы в дифференциальной форме. Здесь в фигурных скобках стоит удвоенная полная (кинетическая плюс потенциальная) энергия гидросистемы, а справа - мощность диссипативных вязкоупругих сил и мощность дополнительных внешних сил, действующих на систему. После интегрирования (2.13) по t в пределах от 0 до t получаем закон баланса полной энергии в интегральной форме, т. е. на произвольном отрезке времени (0, t). К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ В НЕПОДВИЖНОМ СОСУДЕ 551 3. ВЫБОР ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ 1. Предварительные соображения. Будем исследовать задачу (2.2)-(2.10) методами теории операторов, действующих в гильбертовых пространствах (см. [4, 12, 13]). Тождество (2.13) показывает, что поля скоростей в данной задаче следует считать элементами векторного пространства пар функций со скалярным произведением _u = {_u1; _u2}, _u ∈ L_ 2(Ω), (3.1) (_u, _v)L 2(Ω) := 2 \ k=1 ρk (_uk , _vk )L 2(Ωk ) := 2 \ k=1 r ρk _uk · _vk dΩk . Ωk Точнее говоря, следует выбирать (см. [4]) лишь элементы J _uk ∈ J_0,Sk (Ωk ) := _uk ∈ L_ 2(Ωk ): div_uk =0 (в Ωk ), γn,k_uk := _uk · _nk =0 (на Sk ) , где _nk - внешняя нормаль к ∂Ωk . Такие поля отвечают конечной кинетической энергии системы. Заметим, что пространство L_ 2(Ωk ) со скалярным произведением r (_uk , _vk )L 2(Ωk ) := Ωk имеет ортогональное разложение (см. [4]) _uk · _vk dΩk причем L_ 2(Ωk )= J_0,Sk (Ωk ) ⊕ G_ 0,Γ(Ωk ), (3.2) G_ 0,Γ(Ωk ) := Jw_ k = ∇ϕk ∈ L_ 2(Ωk ): ϕk =0 (на Γ) , (3.3) J_0,Sk (Ωk )= J_0(Ωk ) ⊕ G_ h,Sk (Ωk ), (3.4) J J_0(Ωk )= ⎧ _vk ∈ L_ 2(Ωk ): div_vk =0 (в Ωk ), γn,k_vk =0 (на ∂Ωk ) , (3.5) ⎫ k (Ω )= G_ h,S k ⎨ ⎩ w_ k = ∇Φk ∈ L_ 2(Ωk ): ±Φk =0 (в Ωk ), ∂Φk ∂nk r =0 (на Sk ), Γ ⎬ Φk d Γ=0 ⎭ . (3.6) Будем далее обозначать подпространство пар из L_ 2(Ω), у которых компоненты являются элементами из J_0,Sk (Ωk ), через J_0,S (Ω), т. е. k J_0,S (Ω) := J{_u1; _u2}∈ L_ 2(Ω) : _uk ∈ J_0,S Тогда в силу (3.2)-(3.6) будем иметь 2 (Ωk ), k = 1, . (3.7) L_ 2(Ω) = J_0,S (Ω) ⊕ G_ 0,Γ(Ω), J_0,S (Ω) = J_0(Ω1) ⊕ J_0(Ω2) ⊕ G_ h,S1 (Ω1) ⊕ G_ h,S2 (Ω2), (3.8) G_ 0,Γ(Ω) = G_ 0,Γ(Ω1) ⊕ G_ 0,Γ(Ω2). Далее, с конечной потенциальной энергией системы связано пространство L2(Γ) скалярных функций, заданных на Γ, с квадратом нормы ||ζ|| 2 r L2(Γ) := Γ |ζ|2dΓ. Точнее говоря, ввиду условия (2.8) далее будем считать, что вертикальные отклонения границы раздела жидкостей ζ ∈ L2,Γ := L2(Γ) 8 {1Γ}, где 1Γ - функция, тождественно равная 1 на Γ. Введем еще пространства векторных полей с конечной скоростью диссипации энергии в жидко- J сти: J_1 0,Sk (Ωk ) := _uk ∈ H_ 1(Ωk ): div_uk =0 (в Ωk ), _uk = _0 (на Sk ) . 552 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ Здесь скалярное произведение определяется по формуле (см. (2.11), (2.12)) k k J 1 (_u , _v ) 0,Sk (Ωk ) := Ek (_uk , _vk ), (3.9) а на множестве пар (3.1) - по формуле J 1 (_u, _v) 0,S (Ω) 2 := \ μk Ek (_uk , _vk ), k=1 J_1 1 1 0,S1 0,S2 0,S (Ω) := J_ (Ω1) ⊕ J_ (Ω2). 0,S Отметим, что J_1 k (Ωk ) плотно вложено в J_0,Sk (Ωk ) и имеет место неравенство Корна: J 1 (Ωk ) ||_uk ||2 0,Sk H 1(Ωk ) ;? c˜k ||_uk ||2 J 0,S (Ωk ) ;? ck ||_uk ||2 k 0,Sk , ck > 0, ∀_uk ∈ J_1 (Ωk ), а метрика, порожденная скалярным произведением (3.9), эквивалентна стандартной метрике пространства 0,Sk H_ 1(Ωk ). Отсюда следует, что (J_1 (Ωk ); J_0,Sk (Ωk ) - гильбертова пара пространств. 0,Sk Обозначим через Ak : J_1 (Ωk ) → J 1 ( _ 0,Sk ∗ (Ωk ) оператор этой гильбертовой пары. Тогда будем иметь соотношения k k J 1 (_u , _v ) 0,Sk (Ωk ) k = (A1/2 k _uk , A1/2 k (Ω ) _vk )J 0,S k k (Ω ) = _uk , Ak_vk )J 0,S k 0,Sk , ∀_uk , _vk ∈ J_1 (Ωk ). (3.10) Здесь косыми скобками обозначено значение функционала, стоящего на втором месте, на элементе, стоящем на первом месте. Таким образом, возникают оснащенные гильбертовы пространства 0,Sk (Ωk ) ⊂→⊂→ J0,Sk (Ωk ) ⊂→⊂→ (J0,Sk (Ωk )) , k = 1, 2, (3.11) J_1 1 ∗ причем вложения, обозначаемые символом ⊂→⊂→, компактные. 0,S Введем, наконец, пространство J_1 (Ω) пар векторных полей (3.1) со скалярным произведением J 1 (_u, _v) 0,S (Ω) 2 := \ μk (_uk , _vk )J 1 k=1 0,Sk (Ωk ) 2 = \ μk Ek (_uk , _vk ). (3.12) k=1 Из приведенных построений очевидно, что J_1 _ ( 0,S (Ω); J0,S (Ω) - гильбертова пара пространств, причем оператор A этой пары имеет вид A = (μ1A1; μ2A2), (3.13) а формулы (3.10), (3.12) порождают соотношения J 1 (_u, _v) 0,S (Ω) = (A1/2 _u, A1/2 _v)J 0,S (Ω) 2 = \ k=1 μk Ek (_uk , _vk )= 2 = \ μk (A1/2_uk , A1/2_vk ) = _u, A_v) = (3.14) k k=1 k J0,Sk (Ωk ) J0,S (Ω) 2 = \ _uk , μk Ak_vk )J 1 (Ω ), ∀_u = {_u1; _u2}, _v = {_v1; _v2}∈ J_ (Ω). k=1 0,Sk k 0,S К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ В НЕПОДВИЖНОМ СОСУДЕ 553 2. Выбор функциональных пространств, порожденных задачей. Кинематическое условие (2.7) показывает, что в данной задаче элементы _uk , составляющие пару (3.1), не могут быть произвольными: для них нормальные компоненты на Γ должны совпадать, т. е. γn,1_u1 = γn,2_u2 (на Γ). Совокупность таких пар _u = {_u1; _u2} ∈ через J_0,S,Γ(Ω), т. е. J_0,S (Ω) образует подпространство, которое обозначим J_1 J_0,S,Γ(Ω) := {_u = {_u1; _u2}∈ J_0,S (Ω) : γn,1_u1 = γn,2_u2 (на Γ)}. (3.15) Далее, условие (2.5) показывает также, что на Γ все векторное поле для пары _u = {_u1; _u2} ∈ 0,S (Ω) изменяется непрерывно, т. е. γ1_u1 = γ2_u2 (на Γ), где γk - операция(оператор) взятия полного следа векторного поля _uk из области Ωk на границу Γ. 0,S Такие пары векторных полей образуют подпространство в пространстве J_1 (Ω), которое обо- 0,S,Γ значим через J_1 (Ω), т. е. J_1 0,S,Γ(Ω) := _u = {_u1; _u2}∈ J_1 J 0,S (Ω) : γ1_u1 = γ2_u2 (на Γ) . (3.16) Это подпространство плотно вложено в J_0,S,Γ(Ω) и потому - гильбертова пара пространств. J_1 _ ( 0,S,Γ(Ω); J0,S,Γ(Ω) (3.17) Обозначим через A˜ оператор гильбертовой пары (3.17). Очевидно, он является сужением опе- 0,S ратора A из (3.13) с J_1 (Ω) на J_0,S,Γ(Ω), и для него в силу (3.14) выполнены тождества 2 J 1 (_u, _v) 0,S,Γ(Ω) = (A˜1/2 _u, A˜1/2 _v)J 0,S,Γ 0,S,Γ (Ω) = \ μk Ek (_uk ; _vk )= _u, A˜_v)J k=1 (Ω) 0,S,Γ , ∀_u, _v ∈ J_1 (Ω). (3.18) Отметим еще, что оснащения (3.11) порождают оснащение из которого следует, что J_1 _ 0,S (Ω) ⊂→⊂→ J0,S (Ω) ⊂→⊂→ _1 ( ∗ J0,S (Ω) , (3.19) J_1 _ 0,S,Γ(Ω) ⊂→⊂→ J0,S,Γ(Ω) ⊂→⊂→ J (Ω) ( _1 ∗ 0,S,Γ . (3.20) Будем далее считать, что область Ω, составленная из двух областей Ω1 и Ω2, имеет липшицеву границу. При этом ∂Ω1 = S1 ∪ Γ, ∂Ω2 = S2 ∪ Γ, где Sk - липшицевы куски ∂Ωk , имеющие также липшицевы границы ∂Sk : ∂S1 = ∂S2 = ∂Γ. Такие предположения позволяют использовать обобщенные формулы Грина для оператора Лапласа в случае как скалярных полей, заданных в Ωk , так и в случае векторных полей скоростей (см. [2]). 4. ВЫВОД ФОРМУЛ ДЛЯ ОРТОПРОЕКТОРОВ 1. Первая формула. Получим сначала закон действия ортопроектора P0 := P0,S,Γ : J_0,S (Ω) → J_0,S,Γ(Ω) (4.1) (см. (3.7), (3.8), (3.15)). Для этого выясним, каково ортогональное дополнение в J_0,S (Ω) к подпространству J_0,S,Γ(Ω). Учтем структуру (3.8) подпространства J_0,S (Ω) и заметим, что для элементов из J_0(Ω1) и J_0(Ω2) нормальные компоненты полей равны нулю на всей границе. Отсюда получаем, что J_0,S,Γ(Ω) имеет структуру J_0,S,Γ(Ω) = J_0(Ω1) ⊕ J_0(Ω2) ⊕ G_ h,S,Γ(Ω), 554 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ G_ h,S,Γ(Ω) = J ( 1 _u = ρ1 ∇ϕ1; 1 ρ ∇ϕ2 2 : ±ϕk =0 (в Ωk ), ∂ϕk =0 (на S 1 ∂ϕ1 1 ∂ϕ2 ), = (на Γ), _n = _e , ∂nk r k ρ1 ∂n ρ2 ∂n 3 (4.2) Γ ( 1 1 ϕk dΓ=0 ⊂ G_ h,S1 (Ω1) ⊕ G_ h,S2 (Ω2). Пусть _u = ρ1 G_ h,S2 (Ω2). Тогда ∇ϕ1; ρ ∇ϕ2 2 ∈ G_ h,S,Γ(Ω), а _v = {∇ψ1; ∇ψ2} ортогональна _u в G_ h,S1 (Ω1) ⊕ r ρ1 ∇ψ1 · Ω1 1 ρ ∇ϕ1 1 r dΩ1 + ρ2 Ω2 ∇ψ2 · 1 ρ ∇ϕ2 2 dΩ2 = 0. (4.3) Воспользуемся теперь обобщенными формулами Грина для оператора Лапласа и скалярных полей (см. [2]). В рассматриваемом случае для липшицевых областей Ω1 и Ω2 они имеют следующий вид: r ∇ψ1 · ∇ϕ1dΩ1 = ψ1, (-±ϕ1))L2(Ω1) + γ1ψ1, ∂ϕ1 ∂n )L2(Γ), (4.4) Ω1 r ∇ψ2 · ∇ϕ2dΩ2 = ψ2, (-±ϕ2))L2(Ω1) - γ2ψ2, ∂ϕ2 ∂n )L2(Γ), (4.5) Ω2 ∀ψk , ϕk ∈ H1(Ωk ), γk ψk := ψk |Γ ∈ H1/2 := H1/2(Γ) ∩ L2,Γ, ∂ϕk ˜ -1/2 Γ Γ 1/2 1 ∗ (4.6) ∂n ∈ HΓ := (HΓ )∗, _n = _e3, ±ϕk ∈ (HΓ(Ωk )) , k = 1, 2. Γ Поясним смысл обозначений в (4.4)-(4.6). Прежде всего, слева в этих формулах стоит скалярное произведение функций из H1(Ωk ): Γ(Ωk ) (ψk , ϕk )H1 r := ∇ψk · ∇ϕk dΩk , Ωk r r ϕk dΓ= Γ Γ ψk dΓ= 0. (4.7) Γ Соответствующая норма эквивалентна стандартной норме H1(Ωk ), а H1(Ωk ) - подпространство пространства H1(Ωk ) коразмерности 1. Далее, γk - операторы следа скалярных функций, заданных в Ωk , на границе Γ ⊂ ∂Ωk . Согласно теореме Гальярдо (см. [11]), следы γk ψk ∈ H1/2(Γ) и Γ удовлетворяют условиям нормировки (4.7). Как известно, см. [1, 16], множество H1/2 плотно в L2,Γ и имеет место оснащение H1/2 -1/2 ( 1/2 ∗ Γ ⊂→⊂→ L2,Γ ⊂→⊂→ H˜Γ := HΓ . Γ Здесь символом ˜ обозначен класс функций из H1/2, продолжимых нулем на всю границу ∂Ωk в классе H-1/2(∂Ωk ) (см. [1, 8]). В частности, в формулах Грина (4.4), (4.5) производные по нормали Γ ∂ϕk /∂n ∈ H˜ -1/2, так как в силу постановки задачи (см. (3.6), (4.2)) должны быть выполнены условия Неймана ∂ϕk /∂nk =0 (на Sk ). Отметим еще, что имеется также оснащение Γ(Ωk ) ⊂→⊂→ L2(Ωk ) ⊂→⊂→ (HΓ) , H1 1 ∗ Γ и потому ±ϕk ∈ (H1)∗ , а косыми скобками в (4.4), (4.5) обозначены значения функционалов, стоящих на втором месте, на элементе, стоящем на первом месте. Возвращаясь к тождеству (4.3) и используя (4.4), (4.5), будем иметь соотношение (с учетом свойств (4.2) для ϕk ) r r 1 ∂ϕ1 ∇ψ1 · ∇ϕ1dΩ1 + Ω1 Ω2 ρ ∇ψ2 · ∇ϕ2dΩ2 =0= ρ1γ1ψ1 - ρ2γ2ψ2, 1 ∂n )L2(Γ). К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ В НЕПОДВИЖНОМ СОСУДЕ 555 Отсюда в силу свойства 1Γ, ∂ϕ1 ∂n )L2,Γ =0 получаем, что ρ1γ1ψ1 - ρ2γ2ψ2 = const =0 (на Γ), где использовано также свойство нормировки (4.7) для ψk , k = 1, 2. Итогом проведенных рассмотрений является следующее утверждение. Gh,S,Γ Лемма 4.1. Элементы из ( _ (Ω) ⊥ образуют множество ⊥ (G_ h,S,Γ(Ω) ( = {∇ψ1; ∇ψ2} : ±ψk =0 (в (Ωk )), ∂ψk ∂nk =0 (на Sk ),k = 1, 2, 1/2 (4.8) ψ := ρ1γ1ψ1 = ρ2γ2ψ2 ∈ HΓ . Опираясь на представление (4.8), получим закон действия ортопроектора P0 из (4.1). Для любого _u = {_u1; _u2}∈ J_0,S (Ω) должно быть P0_u = {_u1; _u2}- {∇ψ1; ∇ψ2}∈ J_0,S,Γ(Ω), и потому γn,1(P0_u)1 = γn,2(P0_u)2 ⇒ γn,1_u1 - ∂ψ1 ∂n |Γ = γn,2_u2 - ∂ψ2 ∂n |Γ, _n = _e3. Значит, для ψ1 и ψ2 должно выполняться условие ∂ψ1 ∂n - ∂n n,1 1 n,2 2 ∂ψ2 = γ _u - γ _u (на Γ). Таким образом, для определения пары функций {ψ1; ψ2} возникает следующая задача сопряжения: ∂ψk ±ψk =0 (в Ωk ), ∂nk =0 (на Sk ), k = 1, 2, (4.9) ψ := ρ1ψ1 = ρ2ψ2, ∂ψ1 ∂n - ∂n n,1 1 n,2 2 ∂ψ2 = γ _u - γ _u (на Γ). Найдем решение задачи (4.9), опираясь на свойства решений задач Неймана в областях Ωk : ±ψk =0 (в Ωk ), ∂ψk =0 (на S ), ∂n k ∂ψk = ζ (на Γ), ∂n k r ζk dΓ= 0. Γ Используя известные результаты разрешимости таких задач в областях Ωk с липшицевыми границами, разбитыми на липшицевы куски (см. [1, 2, 8, 16]), сформулируем итоговые утверждения, основанные на формулах Грина (4.4), (4.5). k Γ ψk |Γ ∈ H˜ -1/2 1. Слабое решение ψk |Ω ∈ H1(Ωk ) существует и единственно тогда и только тогда, когда Γ . В этом случае ψ1 = V1ζ1, ψ2 = -V2ζ2, Vk ∈ L(H˜ -1/2; H1(Ωk )), (4.10) при этом ∂ψ1 ∂ψ1 Γ Γ -1/2 1/2 и аналогично γ1ψ1 = γ1V1 ∂n =: C1 ∂n , C1 ∈ L(H˜Γ ; HΓ ), (4.11) ∂ψ2 ∂ψ2 -1/2 1/2 γ2ψ2 = -γ2V2 ∂n =: -C2 ∂n , C2 ∈ L(H˜Γ ; HΓ ). (4.12) 2. Операторы Ck (их называют операторами Стеклова) обладают свойствами положительности: ∂ψk k Ck ∂n , ∂ψk r ∂n )L2,Γ = Ωk 2 |∇ψk | dΩk , _n1 = _e3, _n2 = -_e3, k = 1, 2. Они отображают H˜ -1/2 на H1/2, и потому существуют обратные операторы Γ Γ C-1 1/2 -1/2 k ∈ L(HΓ ; H˜Γ ), которые также обладают свойством положительности. 556 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ Учитывая эти свойства, вернемся к задаче (4.9) и будем считать, в силу уравнений и краевых условий этой задачи, что имеются связи (4.11), (4.12), а тогда ∂ψ1 = C-1 -1 -1 ∂ψ2 -1 -1 -1 ∂n ∂n 1 γ1ψ1 = ρ1 C1 ψ, = -C2 γ2ψ2 = ρ2 C2 ψ. Подставляя эти соотношения во второе условие на Γ из (4.9), приходим к уравнению для нахождения функции ψ: (ρ-1 -1 -1 -1 1 C1 + ρ2 C2 )ψ = γn,1_u1 - γn,2_u2. (4.13) Из свойств положительности операторов C-1 и C-1 следует, что оператор ρ-1C-1 + ρ-1C-1 также 1 2 1 1 2 2 положителен и отображает H1/2 на H˜ -1/2. Поэтому существует обратный оператор Γ Γ (ρ-1 -1 -1 -1 -1 1/2 1/2 1 C1 + ρ2 C2 ) Γ ∈ L(H˜ - ; HΓ ). Далее, ввиду ортогональных разложений (3.2)-(3.6) и описаний подпространств G_ h,Sk (Ωk ) приходим к выводу, что для любого поля _u = {_u1; _u2}∈ J_0,S (Ω) имеют место свойства Γ γn,k_uk ∈ H˜ -1/2, k = 1, 2, и потому правая часть в (4.13) есть элемент этого пространства. Следовательно, уравнение (4.13) однозначно разрешимо и ψ = (ρ-1C-1 + ρ-1C-1 -1 1/2 1 1 2 2 ) (γn,1_u1 - γn,2_u2) ∈ HΓ . Зная значение ψ, теперь решаем задачи Зарембы ∂ψk 1 ±ψk =0 (в Ωk ), 1/2 ∂nk k =0 (на Sk ), k = 1, 2, γk ψk = ρ- ψ (на Γ). Γ Так как ψ ∈ HΓ , то каждая из этих задач имеет единственное решение из H1(Ωk ), и тогда можно считать, что ∇ψk = ρ-1Gk (γk ψk )= ρ-1Gk ψ, k k 1/2 Gk ∈ L(HΓ ; G_ h,Sk (Ωk )), k = 1, 2. (4.14) Проведенные рассуждения приводят к следующему выводу. Лемма 4.2. Ортопроектор P0,S,Γ : J_0,S (Ω) → J_0,S,Γ(Ω) действует по следующему закону: для любого _u = {_u1; _u2}∈ J_0,S (Ω) P0,S,Γ_u = _u - 1 Jρ-1G1 (ρ-1C-1 + ρ-1C-1)- (γn,1_u1 - γn,2_u2); 1 1 1 2 2 (4.15) 2 G2(ρ1 C1 + ρ2 C2 ) (γn,1_u1 - γn,2_u2)� . ρ-1 -1 -1 -1 -1 -1 (Если _u ∈ J_0,S,Γ_u, то, очевидно, P0,S,Γ_u = _u, как это и следует из (4.15).) Замечание 4.1. Имеет место тождество (ρ-1 -1 -1 -1 -1 -1 1 C1 + ρ2 C2 ) = ρ2C2(ρ1C1 + ρ2C2) ρ1C1. Замечание 4.2. Так как для Gk выполнены свойства (4.14), то 1/2 ∇ψ := {∇ψ1; ∇ψ2} =: Gψ : HΓ → G_ h,S (Ω) ⊂ G_ h,S1 (Ω1) ⊕ G_ h,S2 (Ω2). 2. Вторая формула. Получим теперь закон действия ортопроектора P1 := P 1 0,S,Γ : J _1 0,S (Ω) → J _1 0,S,Γ (Ω) (4.16) (см. (3.12), (3.16)). Рассуждения проведем по тому же плану, который был реализован в пункте 4.1 0,S для скалярных полей (потенциалов скоростей), однако теперь для векторных полей из J_1 (Ω). Найдем сначала ортогональное дополнение 0,S (Ω) 8 J_ (Ω). J_1 1 0,S,Γ Для этого понадобится обобщенная формула Грина μk Ek (_ηk , _uk )= _ηk , [-μk P0,Sk ±_uk + ∇p˜k ])L 2(Ωk )- К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ В НЕПОДВИЖНОМ СОСУДЕ 557 - { γk ηk,1, μk τ13(_uk ))L2(Γ) + γk ηk,2, μk τ23(_uk ))L2(Γ)- (4.17) + γk ηk,3, [-p˜k + μk τ33(_uk )])L2(Γ)� (-1) k-1 0,Sk , ∀_ηk , _uk ∈ J_1 (Ωk ) (см. [2]). (Здесь учтено, что на Γ имеем _n1 = _e3, _n2 = -_e3.) В (4.17) слева стоит скалярное 0,S произведение в J_1 k (Ωk ) (см. (3.9)); далее, в первом слагаемом справа P0,Sk - ортопроектор на J_0,Sk (Ωk ), а выражение -μk P0,Sk (Ωk )±_uk + ∇p˜k ∈ 0,Sk ∗ (J_1 (Ωk ) 0,Sk (после замыкания на гладких функциях _uk ∈ J_1 1/2 (Ωk ) ∩ H_ 2(Ωk )), -1/2 ∇p˜k ∈ G_ h,Sk (Ωk ), μk τj3(_uk ) ∈ H- (Γ), j = 1, 2, -p˜k + μk τ33(_uk ) ∈ HΓ . 0,S,Γ Предположим теперь, что _η ∈ J_1 0,S (Ω), а _u ∈ J 1 (Ω) и ортогонален _η. Тогда, опираясь на (3.18) и (4.17), будем иметь тождество 2 k μ1E1(_η1, _u1)+ μ2E2(_η2, _u2)= \ _ηk , [-μk P0,S ±_uk + ∇p˜k ])L 2(Ωk )- k=1 - γ1η1,1, [μ1τ13(_u1) - μ2τ13(_u2)])L2(Γ) - γ1η1,2, [μ1τ23(_u1) - μ2τ23(_u2)])L2(Γ)- - γ1η1,3[(-p˜1 + μ1τ33(_u1)) - (-p2 + μ2τ33(_u2))])L2(Γ) = 0. Отсюда, пользуясь обычными приемами вариационного исчисления, приходим к следующему выводу. 0,S,Γ Лемма 4.3. Ортогональное дополнение (J_1 (Ω) ⊥ к подпространству J _1 0,S,Γ (Ω) в про- 0,S странстве J_1 0,S (Ω) состоит из слабых решений _v = (_v1; _v2) ∈ J_1 (Ω) краевых задач μ1τj3(_v1) - μ2τj3(_v2)=0 (на Γ), j = 1, 2, [(-p˜1 + μ1τ33(_v1)) - (-p˜2 + μ2τ33(_v2))]=0 (на Γ). -μ1P0,S1 ±_v1 + ∇p˜1 = _0, div_v1 =0 (в Ω1), _v1 = _0 (на S1), -μ2P0,S2 ±_v2 + ∇p˜2 = _0, div_v2 =0 (в Ω2), _v2 = _0 (на S2), (4.18) Опираясь на (4.18), выведем формулу действия ортопроектора P1 из (4.16). Если _u - любой 0,S элемент из J_1 (Ω), то должно быть P1_u = P1{_u1; _u2} = {_u1; _u2}- {_v1; _v2}, (4.19) где {_v1; _v2} - решение задачи (4.18) с дополнительным условием на Γ, которое сейчас получим. Именно, должно выполняться свойство γ1(P1_u)1 = γ2(P1_u)2 (на Γ), откуда с учетом (4.19) получаем, что γ1_v1 - γ2_v2 = γ1_u1 - γ2_u2 =: ϕ_ ∈ H _˜ 1/2 Γ := H˜ 1/2(Γ)(+˙ )H˜ 1/2(Γ)(+˙ )H˜ 1/2 Γ . (4.20) Таким образом, для нахождения _v = {_v1; _v2} возникает векторная задача Стеклова (4.18), (4.20). Переходя к ее решению, будем считать, что на Γ задано векторное поле 3 3 1/2 Γ ψ_ := {-p˜1δj3 + μ1τj3(_u1)}j=1 ={-p˜2δj3 + μ3τj3(_u2)}j=1 ∈ H_ - := (4.21) Γ := (H˜ 1/2(Γ))∗(+˙ )(H˜ 1/2(Γ))∗(+˙ )(H˜ 1/2)∗. Тогда из (4.18) возникает две независимые задачи (их называют вторыми вспомогательными задачами С. Г. Крейна) в областях Ω1 и Ω2: -μk P0,Sk ±_vk + ∇p˜k = _0, div_vk =0 (в Ωk ), _vk = _0 (на Sk ), -p˜k δj3 + μk τj3(_vk )= (ψ_)j =: ψj , j = 1, 2, 3, k = 1, 2. 558 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ Для существования слабого решения этих задач необходимо и достаточно (в областях Ωk с липшицевыми ∂Ωk ), чтобы выполнялось условие (4.21). Эти решения, с использованием формул Грина (4.17), определяются из следующих тождеств: μ1E1(_η1, _v1)= γ1_η1, ψ_)L (Γ), ∀_η1 ∈ J_ 1 2 0,S1 (Ω1), (4.22) μ2E2(_η2, _v2)= - γ2_η2, ψ_)L (Γ), ∀_η2 ∈ J_ 1 2 0,S2 (Ω2), (4.23) L_ 2(Γ) := L2(Γ) ⊕ L2(Γ) ⊕ L2,Γ. Каждая из задач (4.22), (4.23) имеет единственное слабое решение, и тогда можно считать, что μ1_v1 = V1ψ_, μ2_v2 = -V2ψ_, Vk ∈ L(H_ -1/2; J_1 (Ωk )), k = 1, 2. (4.24) Введем еще операторы Стеклова Γ 0,Sk Ck := γk Vk , k = 1, 2, Ck ∈ L(H_ -1/2; _˜ 1/2), (4.25) Γ HΓ переводящие (векторные) данные Неймана в (векторные) данные Дирихле. Тогда из (4.24), (4.25) и (4.20) получаем связь 1 C1 + μ2 C2)ψ_ = ϕ_. (4.26) (μ-1 -1 Здесь снова, как и в п. 4.1, операторы Ck из (4.25) обладают свойствами положительности: Ck ψ_k , ψ_k )L 2(Γ) = Ek (_vk , _vk ), Γ при этом Ck отображает H_ -1/2 на HΓ _˜ 1/2. Поэтому существует ограниченный оператор C-1 _˜ 1/2 1/2 Γ k ∈ L(H- ; H_ Γ ). Отсюда следует, что существует ограниченный обратный положительный оператор (μ-1 -1 -1 _˜ 1/2 1/2 1 C1 + μ2 C2) Γ ∈ L(H- ; H_ Γ ), поэтому уравнение (4.26) однозначно разрешимо и ψ_ = (μ-1C1 + μ-1C2)-1ϕ_. 1 2 Тогда в силу (4.24) и (4.20) имеем _v1 = μ-1V1(μ-1C1 + μ-1C2)-1(γ1_u1 - γ2_u2), 1 1 2 _v2 = -μ-1V2(μ-1C1 + μ-1C2)-1(γ1_u1 - γ2_u2). 2 1 2 Итогом проведенных рассуждений является следующее утверждение. Лемма 4.4. Ортопроектор P1 действует по закону P1_u = _u - {μ-1V1(μ-1C1 + μ-1C2)-1(γ1_u1 - γ2_u2); -μ-1V2(μ-1C1 + μ-1C2)-1(γ1_u1 - γ2_u2)}, 1 1 2 2 1 2 где Vk и Ck - операторы, определенные в (4.24), (4.25). (Если _u = {_u1; _u2}∈ J_0,S,Γ(Ω), то, очевидно, P1_u = _u.) 1. ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАТОРНОГО ПОДХОДА. ПЕРЕХОД К ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 1. Вспомогательные краевые задачи. Перепишем исходную задачу (2.2)-(2.10) в виде пар соотношений для искомых объектов; тогда уравнения (2.2) принимают вид ( ∂_u1 ∂_u2 ( 1 1 J _ _ - ; ∂t ∂t ρ = ∇p1; 1 ρ ∇p2 2 + {ν1±_v1; ν2±_v2} + f1; f2 , (5.1) νk = μk /ρk , |Ωk f_k = f_ , k = 1, 2. Дальнейшая цель состоит в том, чтобы перейти от (5.1) к уравнению в гильбертовом пространстве J_0,S,Γ(Ω). К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ В НЕПОДВИЖНОМ СОСУДЕ 559 Для этого применим сначала слева ортопроекторы P0,Sk на подпространства J_0,Sk (Ωk ), k = 1, 2, на первую и вторую составляющие. Будем иметь: ∂ ( 1 1 J _˜ _˜ ∂t {_u1; _u2} = - 1 2 ρ ∇p˜1; ρ ∇p˜2 + {ν1P0,S1 ±_v1; ν2P0,S2 ±_v2} + f1; f2 , (5.2) _vk = I0,k (t)_uk , _˜ = P f , k = 1, 2. fk 0,Sk _k Это соотношение - связь между элементами в J_0,S (Ω). Теперь применим еще слева в (5.2) ортопроектор P0 = P0,S,Γ : J_0,S1 (Ω1) ⊕ J_0,S2 (Ω2)= J_0,S (Ω) → J_0,S,Γ(Ω). Это дает соотношение ∂ ( 1 1 J _˜ _˜ ∂t {_u1; _u2} = -P0 1 2 ρ ∇p˜1; ρ ∇p˜2 + P0 {ν1P0,S1 ±_v1; ν2P0,S2 ±_v2} + P0 f1; f2 . (5.3) Отметим еще одно обстоятельство. Так как в (5.3) ∇p˜k ∈ G_ h,Sk (Ωk ) (см. (3.6)), то Г p˜k dΓ = 0, Γ k = 1, 2. Используя еще соотношения r Γ τ33(_uk )dΓ= 0, k = 1, 2, см. [4, c. 115], получаем, что в граничном условии (2.9) на Γ можно pk |Γ заменить на p˜k |Γ = γk p˜k , k = 1, 2. Учитывая эти факты, представим решение исходной начально-краевой задачи в виде суммы пар векторных полей. Именно, будем считать, что ( 1 1 ρ ρ P0 ∇p˜1; 1 2 ∇p˜2 ( 1 1 ρ ρ = ∇p11; 1 2 ∇p12 ( 1 1 ρ ρ + ∇p21; 1 2 ∇p22 , и потребуем, чтобы наборы {_v1; _v2}, ( 1 1 ρ ρ ∇p11; 1 2 ∇p12 были решениями первой вспомогательной задачи ( 1 1 -P0{ν1P0,S1 ±_v1; ν2P0,S2 ±_v2} + 1 2 ρ ∇p11; ρ ∇p12 = {F_1; F_2} := ∂ ( 1 1 _˜ _˜ = - ∂t {_u1; _u2}- 1 2 ρ ∇p21; ρ ∇p22 + P0{f1; f2}, (5.4) _uk = _0 (на Sk ), k = 1, 2; {-p˜1δj3 + μ1τj3(_v1)}j=1-{-p˜2δj3 + μ2τj3(_v2)}j=1 = _0 (на Γ), 3 3 { а набор 1 ρ1 1 ρ ∇p21; 2 ∇p22} - решением второй вспомогательной задачи для потенциалов (задачи Стеклова): ±p2k =0 (в Ωk ), ∂p2k ∂nk =0 (на Sk ), k = 1, 2, (5.5) 1 ∂p21 = 1 , p ∂p22 21 - p22 = g(ρ1 - ρ2)ζ (на Γ). ρ 1 ∂n ρ 2 ∂n Рассмотрим сначала задачу (5.5). Введем функции ϕk , k = 1, 2, которые являются решениями вспомогательной задачи ±ϕk =0 (в Ωk ), ∂ϕk ∂nk =0 (на Sk ), r ϕk dΓ= 0, k = 1, 2, Γ (5.6) ∂ϕ1 = ∂ϕ2 , ρ γ ϕ § ρ γ ϕ = (ρ § ρ )ζ (на Γ). ∂n ∂n 1 1 1 2 2 2 1 2 560 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ Обозначим ψ := ∂ϕ1 ∂n Γ = ∂ϕ2 ∂n Γ, r ψdΓ= 0. Γ Тогда, как и в (4.9)-(4.12), будем иметь γ1ϕ1 = C1ψ, γ2ϕ2 = -C2ψ, и последнее условие на Γ приводит к связи (ρ1C1 + ρ2C2)ψ = (ρ1 - ρ2)ζ. Отсюда, учитывая, что ρ1C1 + ρ2C2 ∈ L(H˜ -1/2; H1/2) Γ Γ Γ является положительным оператором и действует на H1/2, получаем: ψ = (ρ1 - ρ2)(ρ1C1 + ρ2C2)-1ζ, и потому ϕ1 = (ρ1 - ρ2)V1(ρ1C1 + ρ2C2)-1ζ, ϕ2 = -(ρ1 - ρ2)V2(ρ1C1 + ρ2C2)-1ζ. (5.7) Таким образом, доказано следующее утверждение. Лемма 5.1. Задача (5.6) имеет (единственное) слабое решение тогда и только тогда, когда выполнено условие Это решение дается формулами (5.7). Γ ζ ∈ H1/2. Опираясь на эту лемму, введем оператор G по закону Γ Gζ := {∇ϕ1; ∇ϕ2}∈ G_ h,S,Γ(Ω), G ∈ L(H1/2; G_ h,S,Γ(Ω)) (5.8) (определение G_ h,S,Γ(Ω) см. в (4.2)), а также общий оператор нормального следа γˆn_u := γn,1_u1 = γn,2_u2, _u = {_u1; _u2}∈ J_0,S,Γ(Ω). (5.9) Лемма 5.2. Имеет место соотношение G∗ = (ρ1 - ρ2)γˆn, 1/2 Γ γˆn ∈ L(J_0,S,Γ(Ω); H˜ -1/2). (5.10) Доказательство. Пусть ζ ∈ HΓ , _η = {_η1; _η2}∈ J_0,S,Γ(Ω). Тогда r (Gζ, _η)L 2(Ω) = ρ1 Ω1 r 1 1 2 ∇ϕ1 · _η¯ dΩ + ρ Ω2 2 2 ∇ϕ2 · _η¯ dΩ = = ... = ρ1 γ1ϕ1, γn,1_η1)L2(Γ) - ρ2 γ2ϕ2, γn,2_η2)L2(Γ) = = |γn,1_η1 = γn,2_η2 = γˆn_η| = ρ1γ1ϕ1 - ρ2γ2ϕ2, γˆn_η)L2(Γ) = = (см. последнее условие (5.6))= (ρ1 - ρ2)ζ, γˆn_η)L2(Γ) = ζ, (ρ1 - ρ2)γˆn_η)L2(Γ). Отсюда и следует утверждение леммы. С помощью оператора G из (5.8), функций ϕ1 и ϕ2 из (5.6) и из (5.5) получаем, что в задаче (5.5) p21|Ω1 = gρ1ϕ1, p22|Ω2 = gρ2ϕ2, ( 1 ρ 1∇ p21; 1 ρ ∇p22 2 = gGζ. (5.11) К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ В НЕПОДВИЖНОМ СОСУДЕ 561 2. Переход к задаче Коши для интегро-дифференциального уравнения. Опираясь на полученные в п. 5.1 выводы, рассмотрим теперь вспомогательную задачу (5.4). Предварительно воспользуемся тождествами, следующими из (4.17). Имеем μ1E1(_η1, _v1)+ μ2E2(_η2, _v2)= _η1, P0,S1 (-μ1±_v1)+ ∇p˜1)L 2(Ω1)+ + _η2, P0,S2 (-μ2±_v2)+ ∇p˜2)L 2(Ω2) + γ1η1,1, [μ1τ13(_v1) - μ2τ13(_v2)])L2(Γ)+ + γ1η1,2, [μ1τ23(_v1) - μ2τ23(_v2)])L2(Γ) + γ1η1,3, [(-p˜1 + μ1τ33(_v1)) - (-p˜2 + μ2τ33(_v2))])L2(Γ), 0,S,Γ ∀_η = {_η1; _η2}∈ J_1 0,S (Ω), _v = {_v1; _v2}∈ J_1 (Ω). (5.12) 0,S,Γ Так как _η = P0_η, _η ∈ J_1 (Ω) ⊂ J_0,S,Γ(Ω), P0 : J_0,S (Ω) → J_0,S,Γ(Ω) - ортопроектор (см. (4.15)), то (5.12) можно переписать в виде 0,S (Ω) μ1E1(_η1, _v1)+ μ2E2(_η2, _v2)= (_η, _v)J 1 = k }k=1 J0,S (Ω) = _η, P0{P0,S (-νk ±_vk )+ ∇p˜k 2 ) + 3 (5.13) 2 + \ γ1η1,j , [(-p˜1δj3 + μ1τj3(_v1)) - (-p˜2δj3 + μ2τj3(_v2))])L (Γ), j=1 приспособленном к формулировке обобщенного решения вспомогательной задачи (5.4). Определение 5.1. Назовем обобщенным решением задачи (5.4) такую функцию _v(t)= {_v1(t); _v2(t)} = {I0,1(t)_u1(t); I0,2(t)_u2(t)} переменной t со значениями в J_0,S (Ω), для которой выполнено тождество, следующее из (5.13): J 1 (_η, _v(t)) 0,S (Ω) = (_η, - d_u dt J0,S (Ω) 0,S,Γ - gGζ + p_(t)) , ∀_η ∈ J_1 (Ω). (5.14) Здесь использовано обозначение (5.8) и последняя формула (5.11), а производные ∂/∂t заменены на d/dt (для функций переменной t со значениями в гильбертовом пространстве) и p_(t) := P0{f_1; f_2}. (5.15) Перейдем от (5.14) к интегро-дифференциальному уравнению в пространстве J_0,S,Γ(Ω). Так как J 1 (_η, _v(t)) 0,S (Ω) J = (P1_η, _v(t)) 1 0,S (Ω) J = (_η, P1_v(t)) 1 0,S (Ω) == (A˜1/2 _η, A˜1/2 P1_v(t))J 0,S,Γ (Ω) , (5.16) где J_1 0,S,Γ A˜ - оператор гильбертовой пары (J_1 (Ω); J_0,S,Γ(Ω)), см. (3.16)-(3.20), P1 : J _1 0,S (Ω) → 0,S,Γ(Ω) - ортопроектор, то тождество (5.14) с учетом (5.16) равносильно соотношению ˜ d_u AP1_v(t)= - dt - gGζ + p_(t), если правая часть - функция t со значениями в J_0,S,Γ(Ω). Теорема 5.1. Исходная начально-краевая задача (2.2)-(2.10) о малых движениях двух вязкоупругих жидкостей равносильна (после отделения тривиальных соотношений) задаче Коши d_u dt = -A˜P1(I0(t)_u) - gGζ + p_(t), dζ (5.17) = γˆn_u, _u(0) = _u0, ζ(0) = ζ0, dt для системы двух уравнений, из которых первое является интегро-дифференциальным уравнением первого порядка, t r }k=1 _v(t)= I0(t)_u(t)= {_uk 2 + {αk 0 }k=1, (5.18) e-βk (t-s) uk (s)ds 2 а второе - дифференциальным уравнением первого порядка. Решение _u(t) = {_u1(t); _u2(t)}, ζ(t) является функцией t со значениями в соответственно. J_0,S,Γ(Ω) и L2,Γ, 562 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ Замечание 5.1. Если жидкости невязкоупругие, то αk = 0 (k = 1, 2) и _v(t) ≡ _u(t). Эта задача разобрана в [13, п. 8.6, c. 133-140]. 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЗАДАЧИ К СТАНДАРТНОМУ ВИДУ 1. Переход к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведем задачу (5.17) к более симметричному виду, воспользовавшись формулой (5.10). Осуществим в (5.17) замену искомой функции по формуле Тогда приходим к задаче Коши η = (g(ρ1 - ρ2)1/2)ζ. (6.1) d_u dt dη = -A˜P1(I0(t)_u) - (g/(ρ1 - ρ2))1/2Gη + p_(t) (6.2) dt = (g/(ρ1 - ρ2)1/2G∗_u), _u(0) = _u0, η(0) = η0. Дальнейшее рассмотрение связано с выделением в задаче (6.2) операторной матрицы, отвечающей системе вязкоупругих жидкостей, изучению свойств этой матрицы, ее расширению (путем замыкания) до максимального аккретивного оператора. Параллельно будет осуществлен переход к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Введем в (6.2) новую искомую функцию t 1/2 r βk (t-s) 2 1 1 0,S1 0,S2 w_ (t) := {αk e- 0 _uk (s)ds}k=1 ∈ J_ (Ω1) ⊕ J_ (Ω2)= J_0,S (Ω), (6.3) см. (5.18), а также операторы 2 α1/2 := {α1/2} 2 , β := {βk } , (6.4) действующие в J_0,S (Ω). Тогда k k=1 k=1 dw_ 1/2 t 1/2 r βk (t-s) 2 1/2 dt = {αk _uk - βk [αk e- 0 _uk (s)ds]}k=1 = α _u - βw_ . (6.5) C учетом (6.3)-(6.5) задачу (6.2) можно переписать в виде задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка: d_u dt dw_ = -A˜(_u + P1α1/2w_ ) - (g/(ρ1 - ρ2))1/2G_η + p_(t), - = α1/2_u βw_ , _u(0) = _u0, dt dη w_ (0) = _0, (6.6) = (g/(ρ1 - ρ2))1/2G∗_u, η(0) = η0, p_(t) := P0{P0,S f_1; P0,S f_2}. dt 1 2 Коротко эту задачу можно записать в виде A - dz = ˜z + p(t), z(0) = z0, dt ⎛ A˜ A˜P1α1/2 (g/(ρ1 - ρ2))1/2G ⎞ ⎛ _u ⎞ ⎛ p_(t) ⎞ ˜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ _ ⎠ A= -α1/2P1 β 0 -(g/(ρ1 - ρ2))1/2G∗ 0 0 , z = w_ η , p(t)= 0 . 0 К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ В НЕПОДВИЖНОМ СОСУДЕ 563 2. Дополнительная симметризация. Осуществим в (6.6) еще одну замену w_ = A-1/2ψ_, Тогда из второй строчки (6.6) имеем соотношение d ψ_ ∈ J_0,S (Ω). 1 - (A-1/2ψ_)= α1/2P _u βA-1/2ψ_, (6.7) dt и если _u(t) - непрерывная по t функция со значениями в J _1 0,S,Γ (Ω), а ψ_(t) - со значениями в 0,S J_0,S (Ω), то правая часть в (6.7) непрерывна по t со значениями в J_1 (Ω) = D(A1/2). Поэтому к обеим частям в (6.7) можно применить оператор A d_u 1/2 . В итоге вместо (6.6) возникает задача Коши dt dψ_ dt dη = -(A˜_u + A˜P1α1/2A-1/2ψ_) - bGη + p_(t), = A1/2α1/2P1_u - A1/2βA-1/2ψ_, _u(0) = _u0, ψ_(0) = _0, (6.8) dt = bG∗_u, η(0) = (g(ρ1 - ρ2))1/2ζ0, b := (g/(ρ1 - ρ2))1/2 > 0. Эта система снова коротко переписывается в виде dy где операторная матрица -A = y + p(t), y(0) = y0, y = (_u; ψ_; η)τ , (6.9) dt ⎛ A˜ A˜P1α1/2A-1/2 bG ⎞ A := ⎝ -A1/2α1/2P1 A1/2βA-1/2 0 -bG∗ 0 0 ⎠ (6.10) задана на области определения D(A)= D(A˜) ⊕ D2 ⊕ D(G) (6.11) и действует в пространстве J_0,S,Γ(Ω) ⊕ J_0,S (Ω) ⊕ L2,Γ. Здесь D2 := {ψ_ ∈ J_0,S (Ω) : P1α1/2A-1/2ψ_ ∈ D(A˜)}. (6.12) 0,S,Γ Замечание 6.1. Оператор P1α1/2A-1/2 переводит пространство J_0,S (Ω) в J_1 (Ω) = D(A˜1/2) ⊃ D(A˜), причем D(A˜) плотно в D(A˜1/2). Изучим теперь общие свойства оператора A из (6.10), (6.11). Лемма 6.1. Операторная матрица A допускает факторизацию в виде произведения трех матриц с симметричным окаймлением средней матрицы: ⎛ A˜1/2 0 0 ⎞⎛ I A˜1/2P1α1/2A-1/2 bA˜-1/2G ⎞⎛ A˜1/2 0 0 ⎞ A=⎝ 0 I 0 ⎠⎝ -A1/2α1/2P1A˜-1/2 A1/2βA-1/2 0 ⎠⎝ 0 I 0 ⎠. (6.13) 0 0 I Лемма 6.2. Операторы -bG∗A˜-1/2 0 0 0 0 I A˜1/2P1α1/2A-1/2 : J_0,S (Ω) → J_0,S,Γ(Ω), A1/2α1/2P1A˜-1/2 : J_0,S,Γ(Ω) → J_0,S (Ω) (6.14) ограничены и взаимно сопряжены. Доказательство. Ограниченность этих операторов проверяется непосредственно. Например, для оператора A˜1/2P1α1/2A-1/2 имеем свойства 0,S A-1/2 ∈ L(J_0,S (Ω); J_1 0,S (Ω)), α1/2 ∈ L(J_1 (Ω)), 0,S P1 ∈ L(J_1 (Ω); J _1 0,S,Γ (Ω)) (см. лемму 4.3), _ A ∈ L(J ˜1/2 _1 0,S,Γ (Ω); J0,S,Γ(Ω)), и потому имеет место первое свойство ограниченности в (6.14). Второе свойство из (6.14) проверяется аналогично. 564 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ Проверим теперь свойство взаимной сопряженности этих операторов. Для любых _u ∈ J_0,S,Γ(Ω), ψ_ ∈ J_0,S (Ω) имеем J (A˜1/2P1α1/2A-1/2ψ_, _u) 0,S,Γ 0,S,Γ(Ω) = (Ω) = (P1α1/2A-1/2ψ_, A˜-1/2_u)J 1 = (α1/2A-1/2ψ_, P1A˜-1/2_u)J 1 -1/2 _ 1/2 ˜-1/2 _ 1/2 1/2 ˜-1/2 0,S (Ω) = (A ψ, α P1A J 1 _u) 0,S (Ω) = (ψ, A α P1A _u)J 0,S (Ω). Здесь при выводе были использованы свойства (3.14) и (3.18) для операторов A и A˜, а также 0,S свойство самосопряженности оператора α1/2 в J_1 (Ω), которое проверяется непосредственно. Замечание 6.2. Из определения оператора β (см. (6.4)) и структуры оператора A (см. (3.13)) следует, что A1/2βA-1/2 = β. Лемма 6.3. Справедливо соотношение A˜-1/2G = (G∗A˜-1/2)∗| D(G) , (6.15) причем замыкание по непрерывности оператора A˜-1/2G совпадает с (G∗A˜-1/2)∗. Доказательство. Убедимся сначала, что оператор G∗A˜-1/2 : J_0,S,Γ(Ω) → L2,Γ ограничен и даже 0,S,Γ компактен. Действительно, A˜-1/2 ∈ L(J_0,S,Γ(Ω); J_1 (Ω)), а оператор G∗ = (ρ1 - ρ2)γˆn, согласно 0,S,Γ определению γˆn (см. (5.9)) и теореме Гальярдо [11], ограничено действует из J_1 (Ω) ⊂ H_ 1(Ω) 1/2 1/2 на H˜Γ ⊂ HΓ ⊂→⊂→ L2,Γ. Пусть теперь η ∈ D(G), _u ∈ J_0,S,Γ(Ω). Тогда (A Gη, _u) ˜-1/2 J0,S,Γ(Ω) J0,S,Γ(Ω) = (Gη, A˜-1/2_u) 1/2 = (η, G∗A˜-1/2_u)L 2,Γ . Отсюда и следует (6.15), и из плотности D(G) ≡ HΓ (см. (5.8)) в L2,Γ получаем, что оператор A˜-1/2G ограничен (и даже компактен) на плотном множестве и поэтому допускает расширение путем замыкания до оператора A˜-1/2G = (G∗A˜-1/2)∗. 3. ТЕОРЕМЫ О КОРРЕКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ 1. Свойства основной операторной матрицы. Опираясь на приведенные выше свойства коэффициентов операторной матрицы A (см. (6.10)-(6.13) и леммы 6.1-6.3), установим общие свойства этой матрицы. Лемма 7.1. Операторная матрица (6.10) является аккретивной в пространстве J_0,S,Γ(Ω) ⊕ J_0,S (Ω) ⊕ L2,Γ =: H, т. е. Re(Ay, y)H ;? 0, ∀y ∈ D(A) ⊂ H. Доказательство. В силу факторизации (6.13) достаточно убедиться, что средний множитель ⎛ I A˜1/2P1α1/2A-1/2 bA˜-1/2G ⎞ J0 := ⎝ -A1/2α1/2P1A˜-1/2 β 0 ⎠ -bG∗A˜-1/2 0 0 обладает свойством аккретивности на множестве D(J0) := J_0,S,Γ(Ω) ⊕ J_0,S (Ω) ⊕ D(G). Имеем J ˜-1/2 1/2 -1/2 _ Re (J0y, y)H = Re (_u, _u)J 0,S,Γ(Ω) + (A P1α A ψ, _u)J 0,S,Γ(Ω)+ J0,S,Γ(Ω) +b(A˜-1/2Gη, _u) J0,S (Ω) - (A1/2α1/2P1A˜-1/2_u, ψ_) 0,S + (βψ_, ψ_)J (Ω)- (7.1) -b(G∗A˜-1/2_u, η)L 2,Γ = ||_u|| 2 J 0,S,Γ(Ω) 0,S + (βψ_, ψ_)J (Ω) ;? 0. Здесь при выводе были использованы свойства взаимной сопряженности операторов из леммы 6.2 (второе и четвертое слагаемые справа), а также утверждение леммы 6.3 (третье и шестое слагаемые). К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ В НЕПОДВИЖНОМ СОСУДЕ 565 Введем операторную матрицу Тогда для Ja из (7.1) имеем Ja := J0 + a diag(0; 0; I), a > 0. (7.2) Re(J y, y)H = ||_u||J 2 a 0,S,Γ 0,S (Ω) + (βψ_, ψ_)J (Ω) 2 + a||η||L 2,Γ H ;? c||y||2 , c > 0, (7.3) так как β - положительно определенный оператор (см. (6.4), βk > 0, k = 1, 2). Из (7.2), (7.3) следует, что операторная матрица A из (6.13) принимает вид A = diag(A˜1/2; I; I)Jadiag(A˜1/2; I; I) - a diag(0; 0; I) =: Aa - a diag(0; 0; I). (7.4) При этом оператор Aa представлен в виде произведения трех сомножителей, каждый из которых имеет ограниченный обратный. Поэтому Aa допускает расширение путем замыкания среднего сомножителя, и в итоге возникает максимальный равномерно аккретивный оператор. Aa Лемма 7.2. Замыкание ¯ оператора Aa представляется в виде ¯ ˜ ¯ ˜ Aa = diag(A1/2; I; I)Jadiag(A1/2; I; I), ⎛ ¯ Ja = ⎝ I -A1/2α1/2P1 A˜-1/2 A˜1/2P1α1/2A-1/2 b(G∗A˜-1/2)∗ ⎞ β 0 ⎠ , Ja где ¯ -bG∗A˜-1/2 0 a - равномерно аккретивный оператор, для которого выполнено свойство (7.3) (с заме- Ja ной Ja → ¯ ). При этом D( ¯ )= Aa Jy = (_u; ψ_; η)τ : _u ∈ D(A˜1/2), A˜1/2_u + A˜-1/2P1α1/2A-1/2ψ_+ Aa +b(G∗A˜-1/2)∗η ∈ D(A˜1/2) , R( ¯ )= H, (7.5) Aa и оператор ¯ Aa действует на D( ¯ ) по закону ¯ ⎛ A˜1/2(A˜1/2_u + A˜1/2α1/2P1A-1/2ψ_ + b(G∗A˜-1/2)∗η) ⎞ Aay = ⎝ -A1/2α1/2P1_u + βψ_ -bG∗_u + aη ⎠ . (7.6) 2. Теорема о разрешимости задачи Коши. Вернемся к задаче (6.9)-(6.13) и перепишем ее с учетом (7.4) в виде dy dt = -(Aa - aP3)y + p(t), y(0) = y0 = (_u0; _0; η0)τ , y = (_u; ψ_; η)τ , P3 := diag(0; 0; I). (7.7) Рассмотрим также аналогичную задачу с замкнутым максимальным аккретивным оператором: dy Aa dt = -( ¯ - aP3)y + p(t), y(0) = y0. (7.8) Теорема 7.1. Пусть в исходной начально-краевой задаче (2.2)-(2.10) выполнены условия _u0 = {_u0; _u0}∈ D(A˜) ⊂ D(A˜1/2)= J_1 (Ω), ζ0 = H1/2, 1 2 0,S,Γ Γ (7.9) f_k (t, x) ∈ C1([0,T ]; L_ 2(Ωk )), k = 1, 2. Aa Тогда задача Коши (7.8) имеет единственное сильное решение y(t) на отрезке [0,T ], т. е. y(t) ∈ C([0,T ]; D( ¯ )), dy/dt ∈ C([0,T ]; H), выполнено уравнение (7.8) при любом t ∈ [0,T ] и начальное условие y(0) = y0. Aa Доказательство. Так как согласно лемме 7.2 оператор ¯ является максимальным равномер- Aa но аккретивным оператором, а ¯ - aP3 - максимальным аккретивным оператором, то оператор -( Aa ¯ - aP3) является генератором сжимающей полугруппы, действующей в гильбертовом пространстве H = J_0,S,Γ(Ω) ⊕ J_0,S (Ω) ⊕ L2,Γ. Поэтому для разрешимости задачи (7.8) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия (см. [6, c. 166]): y0 = (_u0; ψ_0; η0)τ ∈ D( ¯ - aP )= D( ¯ ), p(t)= (p_(t); _0; 0)τ ∈ C1([0,T ]; H). (7.10) Aa 3 Aa 566 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ Проверим, что условия (7.9) являются достаточными для выполнения соотношений (7.10). В самом деле, если выполнены условия (7.9) для f_k (t, x), то P0,Sk f_k ∈ C 1 ([0,T ]; J_0,Sk (Ωk )), k = 1, 2, а _ _ 1 _ _ τ потому P0{P0,S1 f1; P0,S2 f2} = p_(t) ∈ C ([0,T ]; J0,S,Γ(Ω)) (см. (5.15)). Поэтому p(t)= (p_(t); 0; 0) ∈ C1([0,T ]; H), т. е. последнее условие в (7.10) выполнено. Далее, если выполнены условия (7.9) для _u0 и ζ0, то при ϕ_0 = _0 имеем свойство A˜1/2_u0 + _0+ bA˜-1/2Gη0 ∈ D(A˜1/2) (7.11) Γ (см. (7.5)), так как по лемме 6.3 (G∗A˜-1/2)∗| (g(ρ1 - ρ2))1/2ζ0 ∈ H1/2 (см. (6.1)). D(G) Γ = A˜-1/2G, D(G) = H1/2 (см. (5.8)) и η0 = Таким образом, при выполнении условий (7.9) имеют место условия (7.10). Значит, задача (7.8) имеет единственное сильное решение на отрезке [0,T ]. Теорема 7.2. При выполнении условий (7.9) задача (7.7) также имеет единственное сильное решение на отрезке [0,T ]. Aa Доказательство. Если выполнены условия (7.9), то по теореме 7.1 задача (7.8) имеет сильное решение на отрезке [0,T ]. Это означает, согласно закону (7.6) для оператора ¯ , что имеют место три уравнения d_u dt dψ_ = -A˜1/2(A˜1/2_u + A˜1/2P1α1/2A-1/2ψ_ + b(G∗A˜-1/2)∗η)+ p_(t), 1 - = A1/2α1/2P _u βψ_, _u(0) = _u0, dη dt dt = bG∗_u, η(0) = (g(ρ1 - ρ2))1/2ζ0, ψ_(0) = _0, где все слагаемые являются непрерывными функциями t ∈ [0,T ] со значениями в J_0,S,Γ(Ω), J_0,S (Ω) и L2,Γ, соответственно. При исследовании задачи Коши (6.8)-(6.12) возможен еще один подход, связанный с факторизацией операторной матрицы (6.10) по Шуру-Фробениусу. Лемма 7.3. Операторная матрица A из (6.10) допускает факторизацию вида ⎛ A˜ A˜P1α1/2A-1/2 bG ⎞ A = ⎝ -A1/2α1/2P1 A1/2βA-1/2 0 ⎠ = -bG∗ 0 0 ⎛ I 0 0 I 0 ⎠ ⎝ 0 β + QQ∗ bQQ+ 1 ⎠ ⎝ 0 I 0 ⎠ , (7.12) 0 I 0 bQ1Q∗ b2Q1Q+ 1 0 0 I = ⎝ -QA˜-1/2 -bQ1A˜-1/2 ⎞ ⎛ A˜ 0 0 ⎞ ⎛ I 1 A˜-1/2Q∗ bA˜-1/2Q+ ⎞ Q∗ := A˜1/2P1α1/2A-1/2 ∈ L(J_0,S (Ω); J_0,S,Γ(Ω)), Q1 := G∗A˜-1/2 ∈ L(J_0,S,Γ(Ω); H˜ 1/2 ⊂ H1/2), Γ Γ (7.13) Q = A1/2α1/2P1A˜-1/2 ∈ L(J_0,S,Γ(Ω); J_0,S (Ω)), Q+ -1/2 1/2 1 1 = A˜ 0,S,Γ G ∈ L(HΓ ; J_ (Ω)). A Замыкание ¯ операторной матрицы A представляется в виде ⎛ I 0 0 ¯ ⎝ ˜ ⎞ ⎛ A˜ ⎠ ⎝ 0 0 ⎞ ⎛ I 1 ⎠ ⎝ 1 A˜-1/2Q∗ bA˜-1/2Q∗ ⎞ ⎠ A = -QA-1/2 I 0 0 β + QQ∗ βQQ∗ 0 I 0 , (7.14) -bQ1A˜ 0 I 0 bQ1Q b Q1Q1 0 0 I -1/2 ∗ 2 ∗ Q∗ ¯+ 1 := Q1 (см. (6.15)), и этот оператор действует на области определения D( ¯)= {y = (_u; ψ_; η)τ : _u + A˜-1/2Q∗ψ_ + bA˜-1/2Q∗η ∈ D(A˜)}, A 1 К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ В НЕПОДВИЖНОМ СОСУДЕ 567 совпадающей, очевидно, с (7.5), по закону (сравн. с (7.6)) 1 ¯ ⎛ A˜(_u + A˜-1/2Q∗ψ_ + bA˜-1/2Q∗η) ⎞ Ay = ⎝ -A1/2α1/2P1_u + βψ_ -bG∗_u A ⎠ , y ∈ D( ¯). Доказательство. Факторизация (7.12), (7.13) проверяется непосредственно. Далее, по лемме 6.2 получаем, что операторы Q и Q∗ взаимно сопряжены, а из леммы 6.3 имеем связи Q+ ∗ ¯+ ∗ 1 = Q1|D(G), Q1 = Q1. Замечание 7.1. Из леммы 7.3 следует, что крайние сомножители в (7.14) обратимы и равны сумме единичного и компактного оператора, а средний множитель - квазидиагональный самосопряженный неотрицательный оператор, так как β + QQ∗ βQQ∗ ψ_ ψ_ = (βψ, ψ) + Q∗ψ + bQ∗η 2 ;? 0. (7.15) 1 1 bQ1Q∗ b2Q1Q∗ η · η _ _ J 0,S (Ω) || _ 1 ||J 0,S,Γ (Ω) Рассмотрим теперь, как и выше, задачу Коши с замкнутым оператором из (7.14): dy dt = -(J - F1)A0(J + F2)y + p(t), y(0) = y0, (7.16) ⎛ F1 = ⎝ 0 0 0 ⎞ 0 0 ⎠ , F2 = F∗ ∈ S∞(H), A0 := d 1 iag(A˜; A00), (7.17) 0 0 QA˜-1/2 1 bQ∗A˜-1/2 где A00 - матричный ограниченный неотрицательный оператор из (7.15). Теорема 7.3. Пусть в задаче Коши (7.16) выполнены первые два условия (7.9), а условия для f_k (t, x) заменены менее ограничительными: f_k (t, x) ∈ Cδ ([0,T ]; L_ 2(Ωk )), k = 1, 2, 0 < δ � 1. (7.18) Тогда задача (7.16) имеет единственное сильное решение y(t) на отрезке [0,T ]. Доказательство. Осуществим в задаче (7.16) замену искомой функции: (J + F2)y(t) =: w(t). (7.19) Тогда для w(t) возникает задача Коши dw где учтено, что dt = -(J + F2)(J - F1)A0w + p(t), w(0) = w0, (7.20) (J + F2)-1 = (J - F2), (J + F2)p(t)= p(t). В задаче (7.20) оператор -A0 является самосопряженным неотрицательным оператором и потому генератором аналитической полугруппы операторов, действующих в пространстве H. Так как операторы Fk из (7.17) - компактные, то оператор -(J + F2)(J - F1)A0 также является генератором полугруппы, аналитической в секторе, содержащем положительную полуось. Значит, уравнение (7.20) является абстрактным параболическим, и для его сильной разрешимости требуется выполнение условий w(0) ∈ D(A0)= D(A˜) ⊕ J_0,S (Ω) ⊕ L2,Γ, p(t) ∈ Cδ ([0,T ]; H), 0 < δ � 1. (7.21) Однако при выполнении первых двух условий (7.9), как и при доказательстве теоремы 7.1, можно проверить (см. (7.11)), что w(0) ∈ D(A0). Далее, при выполнении условий (7.18) аналогично убеждаемся, что для p(t) выполнено условие (7.21). Значит, задача Коши (7.20) имеет на отрезке [0,T ] единственное сильное решение w(t) ∈ C1([0,T ]; H) ∩ C([0,T ]; D(A0)). 568 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ Отсюда, возвращаясь от (7.20) к задаче Коши (7.16) путем обратной замены (7.19), приходим к выводу, что задача (7.16) имеет единственное сильное решение на отрезке [0,T ]. 3. О существовании обобщенного решения исходной начально-краевой задачи. Напомним (теорема 5.1), что исходная начально-краевая задача равносильна (после отделения тривиальных соотношений) задаче Коши (5.17). Определение 7.1. Будем говорить, что исходная начально-краевая задача (2.2)-(2.10) имеет обобщенное решение {_u(t); ζ(t)} на отрезке [0,T ], если выполнены следующие условия: 1. _u(t) ∈ C1([0,T ]; J_0,S,Γ(Ω)); 2. _v(t)= I0(t)_u(t) (см. (5.18)) обладает свойством P1_v(t) ∈ C([0,T ]; D(A˜)); Γ 3. ζ(t) ∈ C1([0,T ]; H1/2); Γ 1. для любого t ∈ [0,T ] выполнена система уравнений (5.17), где все слагаемые в первом уравнении - элементы из C([0,T ]; J_0,S,Γ(Ω)), а во втором - элементы из C([0,T ]; H1/2); 2. выполнены начальные условия (5.17). Теоремы 7.1 либо 7.3 позволяют доказать существование обобщенного решения исследуемой начально-краевой задачи. Теорема 7.4. Пусть выполнены условия теорем 7.1 либо 7.3. Тогда задача (2.2)-(2.10) имеет единственное обобщенное решение на отрезке [0,T ] (в смысле определения 7.1). Доказательство. Если условия теоремы 7.1 либо 7.3 выполнены, то каждая из задач (7.8) либо (7.16) имеет сильное решение на отрезке [0,T ]. В частности, для задачи (7.8) получаем, что справедлива система уравнений d_u dt dψ_ 1 = -A˜1/2(A˜1/2_u + Q∗ψ_ + bQ∗η)+ p(t), - = QA˜1/2_u βψ_, _u(0) = _u0, dt dη ψ_(0) = _0, (7.22) dt = bQ1A˜1/2_u, η(0) = (g(ρ1 - ρ2))1/2ζ0. Здесь в первом уравнении все слагаемые - элементы из C([0,T ]; J_0,S,Γ(Ω)), во втором - из C([0,T ]; J_0,S (Ω)), а в третьем - из C([0,T ]; H˜ 1/2), H˜ 1/2 ⊂ H1/2. Поясним утверждения о последних двух свойствах. Γ Γ Γ 0,S,Γ Из второго уравнения имеем ϕ_(t) := QA˜1/2_u = A1/2α1/2P1_u = A1/2α1/2_u для _u ∈ J_1 (Ω) = D(A˜1/2), причем ϕ_(t) ∈ C([0,T ]; J_0,S,Γ(Ω)). Отсюда в силу свойств α1/2 и A1/2 (см. (6.4), (3.13)) получаем, что _u(t) ∈ C([0,T ]; D(A˜1/2)). Тогда Q1A˜1/2_u = G∗_u = (ρ1 - ρ2)γˆn_u, и потому эта функция - элемент из C([0,T ]; H˜ 1/2), H˜ 1/2 ⊂ H1/2. Γ Γ Из третьего уравнения (7.22) имеем t r η(t)= (g(ρ1 - ρ2))1/2ζ(t)= η0 + b 0 Γ t r Q1A˜1/2_u(s)ds = (g(ρ1 - ρ2))1/2ζ0 + b 0 t G∗_u(s)ds = Тогда (лемма 6.3) r = g(ρ1 - ρ2)1/2[ζ0 + 0 Γ γˆn_u(s)ds] ∈ C1([0,T ]; H˜ 1/2). t bQ∗η(t)= bQ+η(t)= gA˜-1/2Gζ(t)= gA˜-1/2(Gζ0 + r Gγˆ _u(s)ds) C([0,T ]; (A˜1/2)), 1 1 и потому в (7.22) n ∈ D 0 1 A˜1/2(A˜1/2_u + Q∗ψ_ + bQ∗η)= A˜1/2(A˜1/2_u + Q∗ψ_)+ bGζ. К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ В НЕПОДВИЖНОМ СОСУДЕ 569 Далее, из второго уравнения (7.22) получаем t t и потому ψ_(t)= A1/2w_ (t)= r 0 e-β(t-s)QA˜1/2_u(s)ds = r 0 e-β(t-s)A1/2α1/2P1_u(s)ds, t r Q∗ψ_ = A˜1/2P1α1/2A-1/2 0 Отсюда следует, что t r e-β(t-s)A1/2α1/2P1_u(s)ds = A˜1/2 0 t P1αe-β(t-s)P1_u(s)ds. r A˜1/2_u + Q∗ψ_ = A˜1/2(_u(t)+ 0 P1αe-β(t-s)P1_u(s)ds)= A˜1/2P1I0(t)_u(t). Таким образом, при выполнении условий теоремы задача Коши для системы уравнений (7.22) преобразована в задачу Коши (5.17): d_u dt = -A˜P1(I0(t)_u) - gGζ + p(t), dζ = γˆn_u, _u(0) = _u0, ζ(0) = ζ0, dt т. е., согласно определению 7.1, исходная задача (2.2)-(2.10) имеет обобщенное решение {_u(t); ζ(t)} на отрезке [0,T ]. 4. К задаче о нормальных колебаниях гидросистемы. Рассмотрим теперь постановку задачи о малых нормальных движениях исследуемой гидросистемы, т. е. о таких решениях однородной задачи (7.22), которые зависят от t по закону (_u(t); ψ_(t); η(t))τ = (_u; ψ_; η)τ e-λt, где λ ∈ C - комплексный декремент затухания, а (_u; ψ_; η)τ - амплитудный элемент. Тогда для отыскания амплитудных элементов возникает спектральная задача 1 A˜1/2(A˜1/2_u + Q∗ψ_ + bQ∗η)= λ_u, В случае λ =0 приходим к соотношениям -QA˜1/2_u + βψ_ = λψ_, -bQ1A˜1/2_u = λη. (7.23) 1 A˜1/2(A˜1/2_u + Q∗ψ_ + bQ∗η)= _0, βψ_ = QA˜1/2_u, bQ1A˜1/2_u = _0. Из первой связи с учетом второй и третьей получаем (7.24) (A˜1/2_u, A˜1/2_u) + (Q∗β-1QA˜1/2_u, A˜1/2_u) + (bQ∗η, A˜1/2_u) = ||A˜1/2_u||2 + J0,S,Γ(Ω) + ||β-1/2QA˜1/2_u||2 + (η, bQ1A˜1/2_u)L J0,S,Γ(Ω) 1 = ||A˜1/2_u||2 J0,S,Γ(Ω) + ||β-1/2QA˜1/2_u||2 J 0,S,Γ(Ω) = 0, J 0,S (Ω) 2,Γ J 0,S,Γ(Ω) J 0,S (Ω) откуда следует, что _u = _0, а потому и ψ_ = β-1QA˜1/2_u = _0. Далее, из (7.24) имеем 1η = A˜ (G A ) η = (G ) η =: G¯η = Gη = 0, A˜1/2Q∗ 1/2 ∗ ˜-1/2 ∗ ∗ ∗ Γ так как G - ограниченный оператор из H1/2 на G_ h,S,Γ(Ω) (см. (5.8)). Отсюда и из леммы 5.1 (см. также (5.6)) получаем, что η = 0. Таким образом, задача (7.24) имеет лишь тривиальное решение, т. е. λ =0 не является собственным значением задачи (7.23). 570 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ Опираясь на этот факт, преобразуем при λ /= 0 задачу (7.23) к спектральной проблеме для одного искомого элемента, исключив ψ_ и η (при условии λ∈/ σ(β)). Имеем ψ_ = (β - λI)-1QA˜1/2_u, η = -λ-1bQ1A˜1/2_u, и тогда _u является собственным элементом задачи 1 _u + A˜-1/2Q∗(β - λI)-1QA˜-1/2_u = λA˜-1_u + b2λ-1A˜-1/2Q∗Q1A˜1/2_u. Осуществляя еще здесь замену приходим к спектральной проблеме A˜1/2_u =: ϕ_ ∈ J_0,S,Γ(Ω), 1 L(λ)ϕ_ := (I + Q∗(β - λI)-1Q - λA˜-1 - b2λ-1Q∗Q1)ϕ_ = _0 (7.25) в пространстве J_0,S,Γ(Ω) для операторного пучка L(λ). В этом пучке Q∗(β - λI)-1Q = A˜1/2P1α(β - λI)-1P1A˜-1/2 · оператор-функция, принимающая ограниченные значения из L(J_0,S,Γ(Ω)), A˜-1 - положительный компактный оператор, действующий в J_0,S,Γ(Ω), а 1Q1 = A˜ (G¯G )A˜ Q∗ -1/2 ∗ -1/2 · неотрицательный компактный оператор, действующий в J_0,S,Γ(Ω). Исследование спектральной проблемы (7.25) будет проведено в другой работе. 8. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ В работе [5] получены формулы для ортопроекторов P0 и P1 (см. раздел 4) в случае, когда неподвижный сосуд заполнен не двумя, а тремя несмешивающимися вязкоупругими жидкостями. Это позволяет применить операторный подход к проблеме малых движений системы из трех вязкоупругих жидкостей, находящихся в полностью заполненном неподвижном сосуде, свести проблему к задаче Коши вида (7.8) и доказать теорему о сильной разрешимости исходной задачи на произвольном промежутке времени. Кроме того, как уже упоминалось во введении, переход от интегро-дифференциального уравнения первого порядка (см. (6.2)) к системе дифференциальных уравнений первого порядка, осуществленный в пункте 6.1 для модели Олдройта вязкоупругих жидкостей (m = 1), можно осуществить также и для жидкостей обобщенной модели Олдройта (m > 1) с помощью аналогичных приемов. Наконец, имея формулы для ортопроекторов P0 и P1 для проблемы малых движений системы из произвольного числа несмешивающихся вязкоупругих жидкостей, заполняющих неподвижный контейнер, можно с помощью примененного в данной работе подхода доказать теорему о сильной разрешимости задачи о малых движениях гидросистемы на произвольном отрезке времени. При этом для нахождения формул действия ортопроекторов P0 и P1 возникают скалярные и векторные задачи сопряжения, описанные в случае трех жидкостей в работе [5]. Автор благодарит Е. В. Семкину за сотрудничество, связанное с исследованием обсуждаемых здесь проблем.