Reductional Method in Perturbation Theory of Generalized Spectral E. Schmidt Problem

Abstract

In this a paper perturbations of multiple eigenvalues of E. Schmidt spectral problems is considered. At the usage of the reductional method suggested in the articles [10, 11] the investigation of the multiple E. Schmidt perturbation eigenvalues is reduced to the investigation of perturbation of simple ones. At the end, as application of the obtained results the problem about the boundary perturbation for the system of two Sturm-Liouville problems with E. Schmidt spectral parameter is considered.

Full Text

ВВЕДЕНИЕ В начале XX века в цикле работ, посвященных линейным и нелинейным интегральным уравне- ниям, Э. Шмидт ввел понятия [16] собственных значений λk оператора B : H → H в гильбертовом пространстве H с учетом их кратности и собственных элементов {uk }∞, {vk }∞, удовлетворяющих соотношениям 1 1 Buk = λkvk, B∗vk = λkuk. Это позволило расширить теорию Гильберта-Шмидта о несимметричных вполне непрерывных операторах в произвольных сепарабельных гильбертовых пространствах [13, 17-19]. В работе [9] упомянуты некоторые физические приложения спектральных задач Э. Шмидта; в публикации [7] представлена модификация двух версий теорем Гамильтона-Кэли-Аржаных [1, 2, 14] о матрич- ных спектральных задачах Э. Шмидта, полиномиально зависящих от спектрального параметра, с модификацией соответствующих характеристических многочленов. В монографиях [3, 6] были изу- чены нелинейные задачи о распространении электромагнитных волн в волноводах и резонаторах в нелинейной среде, по сути являющиеся после линеаризации спектральными задачами Э. Шмидта. Пусть E1, E2 - это вещественные банаховы пространства с плотным вложением E1 ⊂ E2 ⊂ H, H - гильбертово пространство, а B ∈ L(E1, E2) - замкнутый линейный оператор. Пусть также λ0 ∈ R - это n-кратная фредгольмова точка следующей невозмущенной спектральной задачи Э. Шмидта с соответствующими собственными элементами (ϕi0, ψi0): Bϕi0 = A(λ0, 0)ψi0, B∗ψi0 = A∗(λ0, 0)ϕi0. Это можно переписать в матричном виде в случае прямой суммы двух гильбертовых пространств H = H+˙ H: B (λ0, 0) Φi0 = ( B -A(λ0, 0) \ -A∗(λ0, 0) B∗ Φi0, Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2019 72 где Φi0 = (ϕi0, ψi0)T , а (ϕi0, ψi0)T - транспонированный вектор-столбец. Здесь рассматривается следующая возмущенная спектральная задача Э. Шмидта: Bϕ (ε)= A (λ(ε), ε) ψ(ε), B∗ψ (ε)= A∗ (λ(ε), ε) ψ(ε), т. е. необходимо определить бифуркационные собственные значения Э. Шмидта λ = λ (ε) = λ0 + μ (ε) с соответствующими собственными векторами (ϕ (ε) ,ψ (ε))T = Φ(ε), где μ(ε) → 0 при ε → 0, а [A(λ0 + μ, ε) - A(λ0, 0)] = ), i+j 1 Aijμiεj аналитически зависит от двух малых параметров μ и ε в виде ряда по степеням малого параметра ε. В прямой сумме H = H+˙ H со скалярным произведением ±Φ, Ψ) = /( ϕ1 ϕ2 \ , ( ψ1 ψ2 \\ = ±ϕ1, ψ1) + ±ϕ2, ψ2) поставленная задача может быть переписана в следующей матричной форме: ⎡ ⎤ B (λ, ε)Φ ≡ [B (λ0, 0) -A (μ(ε), ε)] Φ ≡ ⎣B (λ0, 0) - ) i+j 1 μiεj Aij ⎦ Φ ≡ ( B -A(λ0, 0) \( ϕ(ε) \ ) i j ( 0 Aij \( ϕ(ε) \ =0 (1.1) ≡ -A∗(λ0, 0) B∗ ψ(ε) A 0 - μ ε ∗ i+j 1 ij ψ(ε) с сопряженной задачей ⎡ ⎤ B∗ (λ, ε)Ψ ≡ [B∗ (λ0, 0) -A (μ, ε)] Ψ ≡ ⎣B∗ (λ0, 0) - ) i+j 1 ij μiεj A∗ ⎦ Ψ ≡ ( B∗ -A(λ0, 0) \( ϕ(ε) \ ) i j ( 0 Aij \( ϕ(ε) \ = 0. (1.2) ≡ -A∗(λ0, 0) B ψ(ε) A 0 - μ ε ∗ i+j 1 ij ψ(ε) Важно отметить самосопряженность исходной задачи Э. Шмидта, т. е. A (λ0)= λ0I. В этой работе с помощью редукционного метода, предложенного в работах [10, 11], исследова- ние кратных возмущенных собственных значений Э. Шмидта сводится к изучению возмущения некратных собственных значений. В качестве приложения к полученным результатам в разделе 4 будет рассмотрена задача о краевом возмущении для системы из двух задач Штурма-Лиувилля со спектральным параметром Э. Шмидта. Всюду далее будут использованы терминология, обозначения и определения, схожие с таковыми в монографиях [4, 15] и работах [8, 12, 20]. ВОЗМУЩЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И РЕДУКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ Введение понятия биортогональных систем для элементов нуль-пространства и подпространства n n дефекта N (B- A(λ0, 0)) = span {Φk0}k=1 , ±Φk0, Γs0) = δks, N ∗(B∗ - A∗(λ0, 0)) = span {Ψk0}k=1 , ±Zk0, Ψs0) = δks на основании обобщенной леммы Шмидта [15] позволяет определить регуляриза- тор n B� (λ0, 0) = B(λ0, 0) + ) /·, Γ(1) Z(1), Γ(1) = Γk0, Z(1) = Zk0, k=1 k0 k0 k0 k0 -1 который непрерывно обратим, а Γ = rB� (λ0, 0)l k0 - замкнут [15]. Заметим, что ΓZ(1) k0 = Φ(1), Γ∗Γ(1) (1) (1) (1) (1) (1) k0 = Ψk0 , B� Φs0 = Zs0 , B� ∗Ψs0 = Γs0 . Выбором этой биортогональной системы мож- но расширить пространство H в прямых суммах H = Hn+H∞-n, Hn = N (B- A(λ0, 0)) и H = H2,n+˙ H2,∞-n, H2,n = span k0 . Z(1) n k=1 1 ˙ 1 1 Пусть элементы нуль-пространства и подпространства дефекта отвечают полным биканониче- ским A (μ, 0)- и A∗ (μ, 0)-жордановым множествам с цепочками Жордана с длинами p1 � p2 � ... � pn. Это означает, что справедливы соотношения 1 σ-1 B(λ0, 0)Φ(σ) = ) As0Φk0(σ-s), As0 = d A (μ, 0) , (2.1) k0 s=1 s! dμs σ-1 B∗(λ0, 0)Ψ(σ) = ) A∗ Ψ(σ-s),σ = 1, pj,j = 1,n (2.2) и равенства j0 pk s=1 s0 j0 \l As0Φk0(pk +1-s), Ψ(1) det ) j0 = δkj, k,j = 1, n, (2.3) s=1 ps \l det Φk0, ) A∗ Ψ(ps+1-δ) = δks, (2.4) s=0 s0 s0 без ограничения общности. Здесь δks - это символ Кронекера. Жордановы цепочки определяются однозначно из условия принадлежности их элементов допол- нительным подпространствам Φ(s) ∈ H∞-k, Ψ(s) ∈ H2, n,s = 2,p ,k = 1, n. k0 1 k0 ∞- k Жордановы множества, удовлетворяющие соотношениям (2.1)-(2.4), называются биканониче- скими [8]. Более того, если предположить, что построенные жордановы множества удовлетворяют условиям биортогональности /Φ(1) p0 (l) = δks · δjl, /Z(1), Ψ(l) = δil · δks, B� Φ(l) = ) As0Z(p0+1-s) k0 , Γs k0 s0 s0 s=1 s0 , то биортогональные системы (2.1) можно выбрать в таком виде, что s0 = Γ(l) ps+l ) k=1 ∗ Ak0 Ψ , Z = ) (ps+2-l+k) (j) s k0 s=1 Φ (pk +2-j-s) Aso k0 . (2.5) Определение 2.1. Условие, при котором у операторов B и A(λ0, 0) отсутствуют общие нули, далее будет называться устранением вырожденности (условие УВ). Согласно редукционному методу для разрешения поставленной задачи (1.1) для всех i = 1,n необходимо ввести регуляризации Bi (λ, ε)= B (λ, ε)+ ) / , Γ(1) Z(1). (2.6) j0 j0 j/=i Для этих регуляризаций справедлив следующий результат [10, 11]. Теорема 2.1. Пусть выполнено условие УВ. Если собственные значения λi(ε) = λ0 + μi(ε) задачи (1.2) имеют соответствующие собственные элементы Φi(ε)= (ϕi(ε), ψi(ε))T и элемен- T ты дефекта Ψi(ε) = (ϕi(ε), ψi(ε)) , то для всех i = 1,n и достаточно малого ε собственное значение λi(ε) является простым (некратным) собственным значением регуляризованной за- дачи (2.6) с соответствующими собственным вектором и функционалом дефекта вида Φ˜ i(ε)= Φi(ε)+ ) cisΦs(ε), s/=i Ψ˜ i(ε)= Ψi(ε)+ ) disΨs(ε). (2.7) s/=i Доказательство этой теоремы известно [10] и приведено здесь для полноты картины. Доказательство. Если λi(ε) - это собственное значение регуляризации (2.6), то для соответству- ющего собственного элемента вида (2.7) будем иметь 0= Bi (λ, ε) Φ˜ i(ε)= B (λi(ε), ε)+ ), / , Γ(1) Z(1) l l Φi(ε)+ ), cisΦs(ε) = j0 j0 j/=i s/=i = B (λi(ε), ε) Φi(ε)+ ), cij B (λi(ε), ε) Φj (ε)+ j/=i + ), /Φi(ε), Γ(1) Z(1) + ), ), cis /Φs(ε), Γ(1) Z(1) = j/=i j0 j0 j/=i s/=i j0 j0 = ), cij B (λi(ε), ε) Φj (ε)+ ), /Φi(ε), Γ(1) Z(1) + ), ), cis /Φs(ε), Γ(1) Z(1), или j/=i j/=i j0 j0 j/=i s/=i j0 j0 0= ) cij B (λi(ε), ε) Φj (ε)+ ) /Φi(ε), Γ(1) Z(1) + ) ) cis / (ε), Γ(1) Z(1). j/=i j/=i j0 j0 Φs j/=i s/=i j0 j0 После применения функционалов ψk0, k /= i, получим ) cis r/Φs(ε), Γ(1) Z(1) + ±B (λi(ε), ε) Φs(ε), Ψk0)l = - /Φi(ε), Γ(1) Z(1), k /= i. (2.8) Здесь s/=i j0 j0 j0 j0 B (λi(ε), ε) Φs = B (λi(ε), ε) Φi + B (λi(ε), ε) (Φs - ϕi)= B (λi(ε), ε) (Φs - Φi) . Затем в силу расширений Φs(ε)= Φs0 + εΦs1 + ε2Φs2 + ··· и B (λi(ε), ε)= B (λ0; 0) + O(ε) из [16] будем иметь Φi Так как / B (λi(ε), ε) (Φs - Φi)= (B (λ0; 0) + O(ε)) (Φs0 - Φi0 + O(ε)) = O(ε). k0 , Γ(1) = 1 + O(ε), определитель системы (2.8) не равен нулю, следовательно, она имеет единственное решение. Воспользуемся той же схемой для сопряженного уравнения i 0= B∗(λi(ε), ε)Ψ� i(ε). (2.9) Тогда 0= B∗ (λi(ε); ε)+ ), /Z(1), · Γ(1) l l Ψi(ε)+ ), disΨs(ε) = j0 j0 j/=i s/=i = B∗ (λi(ε); ε) Ψi(ε)+ ), disB∗ (λi(ε); ε) Ψs(ε)+ s/=i = ), dis s/=i + ), / Z(1) j0 , Ψi(ε) j/=i B∗ (λi(ε); ε) Ψs(ε)+ ), /Z(1), Ψs(ε) Γ(1) + ), /Z(1), Ψi(ε) Γ(1). j0 j0 j0 j0 j/=i j/=i j0 Γ(1) + ), ), dis j/=i s/=i j0 /Z(1), Ψs(ε) l Γ = (1) j0 Применяя элементы Φk0,k /= i к обеим частям последнего равенства, получаем Z(1) ) dis r/ / ∗ l / (1) s/=i j0 , Ψs(ε) + Φk0, B (λi(ε); ε) Ψs(ε) = - Zk0 , Ψi(ε) , k /= i. (2.10) Здесь в силу расширений Ψs(ε)= Ψs0 + O(ε) и B∗ (λi(ε); ε)= B∗ (λi, 0) + O(ε) будем иметь B∗ (λi(ε), ε) (Ψs - Ψi)= (B∗ (λ0; 0) + O(ε) (Ψs0 - Ψi0 + O(ε)) = O(ε), откуда следует, что определитель системы не равен нулю, что доказывает единственность ее решения. Замечание 2.1. Аналогично доказывается, что все собственные значения операторов (2.6) так- же являются собственными значениями оператора A(t; ε). ВОЗМУЩЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Пример отсутствия обобщенных жордановых цепочек det [Aj0Φi0, Ψj0] /= 0,i = 1, n. В данном случае, не ограничивая общности, можно предположить ±Aj0Φi0, Ψi0) /= 0. Пусть Φ˜ i(ε) - это собственный элемент оператора B- A(λ0 + μi(ε), ε), отвечающий собственному значению λi. Тогда регуляризованное [B- A(μ, ε)]Φ˜ i(ε)=0 уравнение Bi (λ, ε) Φ�i(ε)=0 дает [B- A(λ0, 0)]Φ˜ i(ε)= A(μi(ε), ε)Φ˜ i(ε)+ Hi(λi(ε), ε)Φ˜ i(ε) - )±Φ˜ i(ε), Γj0)Zj0, (3.1) j/=i где A (μi(ε), ε) = A (λ0) -A (μi(ε), ε) , Hi (λi(ε), ε) = A (λi(ε), 0) -A (λi(ε), ε) . После применения -1 оператора Шмидта Γ = rB� (λ0, 0)l последнее уравнение (3.1) сводится к эквивалентной системе 1 B˜ (λ0)Φ˜i(ε)= A (μi(ε)) Φ˜i(ε)+ Hi (λi(ε); ε) Φ˜ i(ε)+ ξiZi0, ξi = ±Φ˜ i(ε), Γi0), (3.2) откуда следует Φ˜i(ε)= ξi rI - ΓA (μi(ε)) - ΓHi (λi(ε); ε)l- Φi0. (3.3) Подстановка Φ˜ i(ε) во второе уравнение (3.2) дает i-ое уравнение ветвления (УрВ) для соб- ственного значения λ0: 1 ±rA (μi(ε)) + Hi (λi(ε); ε)l rI - ΓA (μi(ε)) - ΓHi (λi(ε); ε)l- Φi0, Ψi0) = 0. (3.4) В силу аналитической зависимости оператора A(λ0 + μi(ε), ε) - A(λ0, 0) от μ и ε в окрестности точки (λ0, 0) после расширения (3.3) в степенном ряде будем иметь ∞ ∞ i ε ) ) Lsliμs l = 0, (3.5) где Lsli = ) s=1 l=0 ±As l s l s l i0 i0 (s,l)=(s1,l1)+···+(sk ,lk ) 1 1 ΓA 2 2 ... ΓA k k Φ , Ψ ) . Коэффициент L10 = ±A10Φi0, Ψi0) отличен от нуля. Следовательно, {μi(ε),i = 1, n} выражаются из уравнения (3.5) в виде ряда по целым степеням ε. Подстановка μi(ε) в (3.3) дает соответствующие собственные элементы Φ˜i(ε) также в виде ряда по целым степеням ε. Тем самым нами доказан следующий результат: Теорема 3.1. Если dim N (B- A(λ0, 0)) = dim N (B∗ - A∗(λ0, 0)) = n и ±A10Φi0, Ψi0) /= 0 для всех i = 1, 2,..., n,, то при достаточно малом ε существует ровно n геометрически простых собственных значений λi(ε) = λ0 + μi(ε), λi(0) = λ0, с соответствующими собственными элементами Φ˜ i(ε) и функционалами дефекта Ψ˜ i(ε), аналитически зависимыми от ε. Пример существования биканонических жордановых множеств. Доказательство теоре- мы 2.1, приведенное в [10, 11], может быть преобразовано в случае существования биканонических A (μ, 0)-жордановых множеств для завершения полного устранения вырожденности в термино- n логии В. А. Треногина [4], т. е. для описания появления K = ), ps собственных значений и s=1 соответствующих им собственных векторов возмущенной системы (1.1) или (1.2). Говоря конкрет- / но, в таком случае верны следующие соотношения: ⊗Φs(ε) - Φs(ε)⊗ = ⊗Φs0 - Φs0⊗ +O где ⊗Φ⊗ = j±Φ, Φ) - это норма в пространстве H = H+˙ H. p 1/ \ o s , Теорема 3.2. Допустим существование биканонических жордановых множеств, и пусть / pi (pi+1-k) \ Lpi0 = ), Ak0Φi0 , Ψi0 k=1 /= 0 для всех i = 1, n. Если L0j = 0, j = 1, ∞ и L11 /= 0, то существует K простых собственных значений с соответствующими им собственными эле- 1 - ментами, представляющихся в виде ряда по степеням εpi-1 . Если L0j = 0, j = 1, qi - 1, L0qi /= 0, L11 /= 0, то существует ровно K собственных значений, из которых n (с соответ- ствующими им собственными элементами) представляются в виде ряда по целым степеням ε в зависимости от первого ненулевого коэффициента из последовательности {L1j }, осталь- ные же K n собственных значений со своими собственными элементами представляются в 1 виде ряда по степеням εpi-1 . Доказательство. Для доказательства теоремы мы применим метод диаграмм Ньютона [4]. Допустим существование биканонических жордановых множеств, и пусть pi ) k=1 \ Φ , Ψ (pi+1-k) Ak0 i0 i0 /=0 для всех i = 1, n. Тогда в уравнении (3.5), согласно определению биканонических жордановых множеств, для всех i = 1,n Lpi0 = ± pi ) k=1 Φ , Ψ = 0, (pi+1-k) Ak0 i0 i0) / pi ) k=1 \ Φ , Ψ (pi+1-k) Ak0 i s0 = 0, s /= i. (3.6) Убывающая часть диаграммы Ньютона, построенной для УрВ (3.5), состоит либо из отрезка, соединяющего точки (1; 1) и (pi; 0) (это будет так, если все L0j равны нулю, а L11 /= 0), либо из двух отрезков: указанного выше и того, что соединяет точки (1; 1) и (0; qi), где qi - это номер 1 p первого ненулевого члена последовательности {L0j }. Первому отрезку отвечает показатель , i - 1 а второму, в любом случае, целый показатель. Следовательно, задача (1.1) при достаточно малом n o имеет ровно K = ), pi собственных значений λi(ε) = λ0 + μi(ε), λi(0) = λ0, где n собственных i=1 - значений представляются в виде сходящегося ряда по целым степеням ε, а K n собственных зна- 1 чений - по степеням εpi-1 . Каждому λi(ε) отвечает собственный элемент Φi(ε), представленный в виде сходящегося ряда с той же степенью ε, что и у соответствующих λi(ε). ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧЕ О КРАЕВОМ ВОЗМУЩЕНИИ В качестве приложения рассмотрим задачу о краевом возмущении в следующей системе Штурма-Лиувилля: yll + [λa(x) - p(x)] z = 0, zll + [λa(x) - p(x)] y = 0, (4.1) 11 + α 12 α11y(0) + α12yl(0) = 0, α2 2 21 + α 22 α21y(T )+ α22yl(T )= 0, α2 2 /= 0, /= 0, 11 + β 12 β11z(0) + β12zl(0) = 0, β2 2 21 + β 22 β21z(T )+ β22zl(T )= 0, β2 2 /= 0, /= 0, (4.2) где x ∈ [0,T ] , a(x), p(x) ∈ A(R+), T = 1 + ε (A(R+) - это пространство все аналитических на R+ = [0, +∞) функций. Заменой переменных x = Tτ, y(x)= y(τ + ετ )= ϕ(τ ), z(x)= z(τ + ετ )= ψ(τ ) задача (4.1)-(4.2) сводится к системе ( d2 \ (1 + ε)-2 - ρ(τ ) ∞ ϕ(τ ) - (1 + ε)-2 ) εl τ l-2 × dτ 2 г 2 l=2 l (l - 2)! ∞ l × p(l-2)(τ )+ 2τ p(l-1)(τ )+ τ p(l)(τ ) ϕ(τ )+ λ ) εl τ a(l)(τ )ψ(τ )= 0, l - 1 ( d2 l(l - 1) \ l=0 ∞ l! l-2 - (1 + ε)-2 ρ(τ ) dτ 2 ψ(τ ) - (1 + ε)-2 ) εl τ × l=2 (l - 2)! × гp(l-2)(τ )+ 2τ 2 p(l-1)(τ )+ τ l p(l)(τ ) ∞ l ψ(τ )+ λ ) εl τ a(l)(τ )ϕ(τ )=0 (4.3) с краевыми условиями l - 1 l(l - 1) α11ϕ(0) + α12ϕl(0) = 0, α21ϕ(1) + α22ϕl(1) = 0, β11ψ(0) + β12ψl(0) = 0, l! l=0 β21ψ(1) + β22ψl(1) = 0. (4.4) Оператор, отвечающий задаче (4.3)-(4.4), может быть записан в следующей форме: ∞ ∞ ∞ ∞ A0ϕ = ) εj Ajϕ + (1+ ε)-2 ) εmBmψ, A∗ψ = ) εj A∗ψ + (1+ ε)-2 ) εmB∗ ϕ, где j=1 m=0 2 0 j j=1 m m=0 A0 = d dτ 2 - ρ(τ ), B1ϕ = (-2ρ(τ ) - τρl(τ ))ϕ, k-2 r 2 l k - B ϕ = τ (k-2)! k(k 1) ρ ρ(k-2)(τ )+ 2τ k-1 ρ(k-1)(τ )+ τ - (k) (τ ) ϕ(τ )= ak (τ )ϕ(τ, ) l B0ψ = B(0)ψ = -a(τ )ψ(τ ), Alϕ = - τ a(l)(τ )ϕ(τ )= bl(τ )ϕ(τ ). l! Эти соотношения можно переписать в следующем матричном виде: ( A0 0 0 0 A∗ \( ϕ ψ \ ∞ = ) εj j=1 + ( Am 0 m 0 A∗ \( ϕ \ ψ + ∞ + λ ) (1 + ε)2εm ( 0 Bm \( ϕ \ или j=1 ∞ m B∗ 0 ∞ ψ , (4.5) A0Φ= ) εj Aj Φ+ λ ) (1 + ε)2εmBmΦ. (4.6) j=1 m=0 2 Пусть λ0 - это изолированная фредгольмова точка такая, что N (A0 - λ0A0)= {Φio}1 , N ∗(A0 - 2 2 2 λ0A0) = {Ψio}1 . Пусть {Γi0}1 и {Zi0}1 - это соответствующие биортогональные элементы для 2 2 {Φio}1 и {Ψio}1 . Для каждого i = 1,n введем регуляризованные операторы [A(ε) - λB(ε)]iΦ= (A(ε) - λB(ε))Φ + ) ±Φ, Γj0) Zj0 (4.7) i/=j Исходя из теоремы 2.1, искомое собственное значение λi (ε) явялется простым собственным зна- чением оператора (4.7). Если Φ�i(ε) - это соответствующая собственная функция, то [A(ε) - λB(ε)]iΦ�i(ε)= 0, или откуда следует (A(ε) - λB(ε))Φ�i(ε)+ ) /Φ�i(ε), Γj0 Zj0 = 0, i/=j ∞ (A0(ε) - λ0B0)Φ�(ε)= ) εmAmΦ�i(ε)+ (2ε + ε2)λ0B0Φ�i(ε)+ m=1 ∞ + (1+ 2ε + ε2) · μiB0Φ�i(ε)+ (1 + 2ε + ε2)(λ0 + μi) ) εlBlΦ�i(ε) - ) /Φ�i(ε), Γj0 Zj0. (4.8) l=1 i/=j С помощью регуляризатора Э. Шмидта n (A0 - λ0B0)Φ = (A0 - λ0B0)Φ + ) ±Φ, Γj0)Zj0 i=1 равенство (4.8) может быть переписано в виде ∞ Φ�i(ε)= ) εmΓBmΦ�i(ε)+(2ε + ε2)λ0ΓB0Φ�i(ε)+ (1 + 2ε + ε2) · μiΓB0Φ�i(ε)+ m=1 ∞ / +(1 + 2ε + ε2) · (λ0 + μi) ) εlΓBlΦ�i(ε)+ l=1 Φ�i(ε), Γi0 Φi0, - 1 - где Γ= (A0---λ0B0) , или же в форме системы: ∞ I - ) εmΓAm- (2ε + ε2)λ0ΓB0 - (1 + 2ε + ε2)μiΓB0- m=1 ∞ l -(1 + 2ε + ε2)(λ0 + μi) ) εlΓBl l=1 Φ�i(ε)= ξiΦi0, ξi = /Φ�i(ε), Γi0 . После того, как мы выразили Φ�i(ε) из первого уравнения Φ�i(ε)= ξi ∞ I - ) εmΓAm- (2ε + ε2)λ0ΓB0 - (1 + 2ε + ε2)μiΓB0- m=1 ∞ -(1 + 2ε + ε2)(λ0 + μi) ) εlΓBl l=1 l-1 Φi(ε), подставим ее во второе, что даст нам i-е уравнение ветвления для нахождения μi(ε): ∞ ) L(i) k s ) m 2 2 k+s 1 ks μi ε ≡ 1 - [I- ε m=1 ΓAm - (2ε + ε )λ0ΓB0 - (1 + 2ε + ε )μiΓB0- ∞ -(1 + 2ε + ε2)(λ0 + μi) ) εlΓBl l=1 l-1 \ Φi0, Γi0 = 0, i = 1, 2. (4.9) Здесь L(i) = ±B0Φi0, Ψi0) , L(i) = ±(A1 - 2λ0B0 - λ0B1)Φi0, Ψi0) , 10 01 0j = L(i) ) α1 [Γ(Aj1 - λ0Bj1-2 - 2λ0Bj1-1 - λ0Bj1)] ... j1α1+j2α2+...+jk αk =j \ αk ... [Γ(Ajk - λ0Bjk-2 - 2λ0Bjk-1 - λ0Bjk )] Φi0, Γi0 , j 2. 1 Если, например, ±B0Φi0, Ψi0) = Г a(τ ) rϕ(τ )ψ(τ )+ ϕ(τ )ψ(τ )l dτ /= 0, i = 1, 2, то из УрВ (4.9) 0 10 будет следовать, что L(i) /= 0 и λi(ε) представляются в виде рядов по целым степеням ε. Более j того, эти ряды начинаются с ε , где j - это первый такой номер, при котором L(i) /= 0. Собственные функции 0j Φ�i(ε), i = 1, 2 также содержат лишь целые степени ε. Последующие ϕi коэффициенты в разложениях λi(ε) и � (ε) могут быть определены методом неопределенных коэффициентов (см. [4, § 31]).