Редукционный метод в теории возмущения обобщенной спектральной задачи Э. Шмидта

Аннотация

В данной работе рассматриваются возмущения кратных собственных значений спектральных задач Э. Шмидта. С помощью редукционного метода, предложенного в работах [10, 11], исследование кратных возмущенных собственных значений Э. Шмидта сводится к исследованию возмущений некратных собственных значений. Напоследок в качестве приложения к полученным результатам рассматривается задача о краевом возмущении для системы, состоящей из двух задач Штурма-Лиувилля со спектральным параметром Э. Шмидта.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ В начале XX века в цикле работ, посвященных линейным и нелинейным интегральным уравне- ниям, Э. Шмидт ввел понятия [16] собственных значений λk оператора B : H → H в гильбертовом пространстве H с учетом их кратности и собственных элементов {uk }∞, {vk }∞, удовлетворяющих соотношениям 1 1 Buk = λkvk, B∗vk = λkuk. Это позволило расширить теорию Гильберта-Шмидта о несимметричных вполне непрерывных операторах в произвольных сепарабельных гильбертовых пространствах [13, 17-19]. В работе [9] упомянуты некоторые физические приложения спектральных задач Э. Шмидта; в публикации [7] представлена модификация двух версий теорем Гамильтона-Кэли-Аржаных [1, 2, 14] о матрич- ных спектральных задачах Э. Шмидта, полиномиально зависящих от спектрального параметра, с модификацией соответствующих характеристических многочленов. В монографиях [3, 6] были изу- чены нелинейные задачи о распространении электромагнитных волн в волноводах и резонаторах в нелинейной среде, по сути являющиеся после линеаризации спектральными задачами Э. Шмидта. Пусть E1, E2 - это вещественные банаховы пространства с плотным вложением E1 ⊂ E2 ⊂ H, H - гильбертово пространство, а B ∈ L(E1, E2) - замкнутый линейный оператор. Пусть также λ0 ∈ R - это n-кратная фредгольмова точка следующей невозмущенной спектральной задачи Э. Шмидта с соответствующими собственными элементами (ϕi0, ψi0): Bϕi0 = A(λ0, 0)ψi0, B∗ψi0 = A∗(λ0, 0)ϕi0. Это можно переписать в матричном виде в случае прямой суммы двух гильбертовых пространств H = H+˙ H: B (λ0, 0) Φi0 = ( B -A(λ0, 0) \ -A∗(λ0, 0) B∗ Φi0, Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2019 72 где Φi0 = (ϕi0, ψi0)T , а (ϕi0, ψi0)T - транспонированный вектор-столбец. Здесь рассматривается следующая возмущенная спектральная задача Э. Шмидта: Bϕ (ε)= A (λ(ε), ε) ψ(ε), B∗ψ (ε)= A∗ (λ(ε), ε) ψ(ε), т. е. необходимо определить бифуркационные собственные значения Э. Шмидта λ = λ (ε) = λ0 + μ (ε) с соответствующими собственными векторами (ϕ (ε) ,ψ (ε))T = Φ(ε), где μ(ε) → 0 при ε → 0, а [A(λ0 + μ, ε) - A(λ0, 0)] = ), i+j 1 Aijμiεj аналитически зависит от двух малых параметров μ и ε в виде ряда по степеням малого параметра ε. В прямой сумме H = H+˙ H со скалярным произведением ±Φ, Ψ) = /( ϕ1 ϕ2 \ , ( ψ1 ψ2 \\ = ±ϕ1, ψ1) + ±ϕ2, ψ2) поставленная задача может быть переписана в следующей матричной форме: ⎡ ⎤ B (λ, ε)Φ ≡ [B (λ0, 0) -A (μ(ε), ε)] Φ ≡ ⎣B (λ0, 0) - ) i+j 1 μiεj Aij ⎦ Φ ≡ ( B -A(λ0, 0) \( ϕ(ε) \ ) i j ( 0 Aij \( ϕ(ε) \ =0 (1.1) ≡ -A∗(λ0, 0) B∗ ψ(ε) A 0 - μ ε ∗ i+j 1 ij ψ(ε) с сопряженной задачей ⎡ ⎤ B∗ (λ, ε)Ψ ≡ [B∗ (λ0, 0) -A (μ, ε)] Ψ ≡ ⎣B∗ (λ0, 0) - ) i+j 1 ij μiεj A∗ ⎦ Ψ ≡ ( B∗ -A(λ0, 0) \( ϕ(ε) \ ) i j ( 0 Aij \( ϕ(ε) \ = 0. (1.2) ≡ -A∗(λ0, 0) B ψ(ε) A 0 - μ ε ∗ i+j 1 ij ψ(ε) Важно отметить самосопряженность исходной задачи Э. Шмидта, т. е. A (λ0)= λ0I. В этой работе с помощью редукционного метода, предложенного в работах [10, 11], исследова- ние кратных возмущенных собственных значений Э. Шмидта сводится к изучению возмущения некратных собственных значений. В качестве приложения к полученным результатам в разделе 4 будет рассмотрена задача о краевом возмущении для системы из двух задач Штурма-Лиувилля со спектральным параметром Э. Шмидта. Всюду далее будут использованы терминология, обозначения и определения, схожие с таковыми в монографиях [4, 15] и работах [8, 12, 20]. ВОЗМУЩЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И РЕДУКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ Введение понятия биортогональных систем для элементов нуль-пространства и подпространства n n дефекта N (B- A(λ0, 0)) = span {Φk0}k=1 , ±Φk0, Γs0) = δks, N ∗(B∗ - A∗(λ0, 0)) = span {Ψk0}k=1 , ±Zk0, Ψs0) = δks на основании обобщенной леммы Шмидта [15] позволяет определить регуляриза- тор n B� (λ0, 0) = B(λ0, 0) + ) /·, Γ(1) Z(1), Γ(1) = Γk0, Z(1) = Zk0, k=1 k0 k0 k0 k0 -1 который непрерывно обратим, а Γ = rB� (λ0, 0)l k0 - замкнут [15]. Заметим, что ΓZ(1) k0 = Φ(1), Γ∗Γ(1) (1) (1) (1) (1) (1) k0 = Ψk0 , B� Φs0 = Zs0 , B� ∗Ψs0 = Γs0 . Выбором этой биортогональной системы мож- но расширить пространство H в прямых суммах H = Hn+H∞-n, Hn = N (B- A(λ0, 0)) и H = H2,n+˙ H2,∞-n, H2,n = span k0 . Z(1) n k=1 1 ˙ 1 1 Пусть элементы нуль-пространства и подпространства дефекта отвечают полным биканониче- ским A (μ, 0)- и A∗ (μ, 0)-жордановым множествам с цепочками Жордана с длинами p1 � p2 � ... � pn. Это означает, что справедливы соотношения 1 σ-1 B(λ0, 0)Φ(σ) = ) As0Φk0(σ-s), As0 = d A (μ, 0) , (2.1) k0 s=1 s! dμs σ-1 B∗(λ0, 0)Ψ(σ) = ) A∗ Ψ(σ-s),σ = 1, pj,j = 1,n (2.2) и равенства j0 pk s=1 s0 j0 \l As0Φk0(pk +1-s), Ψ(1) det ) j0 = δkj, k,j = 1, n, (2.3) s=1 ps \l det Φk0, ) A∗ Ψ(ps+1-δ) = δks, (2.4) s=0 s0 s0 без ограничения общности. Здесь δks - это символ Кронекера. Жордановы цепочки определяются однозначно из условия принадлежности их элементов допол- нительным подпространствам Φ(s) ∈ H∞-k, Ψ(s) ∈ H2, n,s = 2,p ,k = 1, n. k0 1 k0 ∞- k Жордановы множества, удовлетворяющие соотношениям (2.1)-(2.4), называются биканониче- скими [8]. Более того, если предположить, что построенные жордановы множества удовлетворяют условиям биортогональности /Φ(1) p0 (l) = δks · δjl, /Z(1), Ψ(l) = δil · δks, B� Φ(l) = ) As0Z(p0+1-s) k0 , Γs k0 s0 s0 s=1 s0 , то биортогональные системы (2.1) можно выбрать в таком виде, что s0 = Γ(l) ps+l ) k=1 ∗ Ak0 Ψ , Z = ) (ps+2-l+k) (j) s k0 s=1 Φ (pk +2-j-s) Aso k0 . (2.5) Определение 2.1. Условие, при котором у операторов B и A(λ0, 0) отсутствуют общие нули, далее будет называться устранением вырожденности (условие УВ). Согласно редукционному методу для разрешения поставленной задачи (1.1) для всех i = 1,n необходимо ввести регуляризации Bi (λ, ε)= B (λ, ε)+ ) / , Γ(1) Z(1). (2.6) j0 j0 j/=i Для этих регуляризаций справедлив следующий результат [10, 11]. Теорема 2.1. Пусть выполнено условие УВ. Если собственные значения λi(ε) = λ0 + μi(ε) задачи (1.2) имеют соответствующие собственные элементы Φi(ε)= (ϕi(ε), ψi(ε))T и элемен- T ты дефекта Ψi(ε) = (ϕi(ε), ψi(ε)) , то для всех i = 1,n и достаточно малого ε собственное значение λi(ε) является простым (некратным) собственным значением регуляризованной за- дачи (2.6) с соответствующими собственным вектором и функционалом дефекта вида Φ˜ i(ε)= Φi(ε)+ ) cisΦs(ε), s/=i Ψ˜ i(ε)= Ψi(ε)+ ) disΨs(ε). (2.7) s/=i Доказательство этой теоремы известно [10] и приведено здесь для полноты картины. Доказательство. Если λi(ε) - это собственное значение регуляризации (2.6), то для соответству- ющего собственного элемента вида (2.7) будем иметь 0= Bi (λ, ε) Φ˜ i(ε)= B (λi(ε), ε)+ ), / , Γ(1) Z(1) l l Φi(ε)+ ), cisΦs(ε) = j0 j0 j/=i s/=i = B (λi(ε), ε) Φi(ε)+ ), cij B (λi(ε), ε) Φj (ε)+ j/=i + ), /Φi(ε), Γ(1) Z(1) + ), ), cis /Φs(ε), Γ(1) Z(1) = j/=i j0 j0 j/=i s/=i j0 j0 = ), cij B (λi(ε), ε) Φj (ε)+ ), /Φi(ε), Γ(1) Z(1) + ), ), cis /Φs(ε), Γ(1) Z(1), или j/=i j/=i j0 j0 j/=i s/=i j0 j0 0= ) cij B (λi(ε), ε) Φj (ε)+ ) /Φi(ε), Γ(1) Z(1) + ) ) cis / (ε), Γ(1) Z(1). j/=i j/=i j0 j0 Φs j/=i s/=i j0 j0 После применения функционалов ψk0, k /= i, получим ) cis r/Φs(ε), Γ(1) Z(1) + ±B (λi(ε), ε) Φs(ε), Ψk0)l = - /Φi(ε), Γ(1) Z(1), k /= i. (2.8) Здесь s/=i j0 j0 j0 j0 B (λi(ε), ε) Φs = B (λi(ε), ε) Φi + B (λi(ε), ε) (Φs - ϕi)= B (λi(ε), ε) (Φs - Φi) . Затем в силу расширений Φs(ε)= Φs0 + εΦs1 + ε2Φs2 + ··· и B (λi(ε), ε)= B (λ0; 0) + O(ε) из [16] будем иметь Φi Так как / B (λi(ε), ε) (Φs - Φi)= (B (λ0; 0) + O(ε)) (Φs0 - Φi0 + O(ε)) = O(ε). k0 , Γ(1) = 1 + O(ε), определитель системы (2.8) не равен нулю, следовательно, она имеет единственное решение. Воспользуемся той же схемой для сопряженного уравнения i 0= B∗(λi(ε), ε)Ψ� i(ε). (2.9) Тогда 0= B∗ (λi(ε); ε)+ ), /Z(1), · Γ(1) l l Ψi(ε)+ ), disΨs(ε) = j0 j0 j/=i s/=i = B∗ (λi(ε); ε) Ψi(ε)+ ), disB∗ (λi(ε); ε) Ψs(ε)+ s/=i = ), dis s/=i + ), / Z(1) j0 , Ψi(ε) j/=i B∗ (λi(ε); ε) Ψs(ε)+ ), /Z(1), Ψs(ε) Γ(1) + ), /Z(1), Ψi(ε) Γ(1). j0 j0 j0 j0 j/=i j/=i j0 Γ(1) + ), ), dis j/=i s/=i j0 /Z(1), Ψs(ε) l Γ = (1) j0 Применяя элементы Φk0,k /= i к обеим частям последнего равенства, получаем Z(1) ) dis r/ / ∗ l / (1) s/=i j0 , Ψs(ε) + Φk0, B (λi(ε); ε) Ψs(ε) = - Zk0 , Ψi(ε) , k /= i. (2.10) Здесь в силу расширений Ψs(ε)= Ψs0 + O(ε) и B∗ (λi(ε); ε)= B∗ (λi, 0) + O(ε) будем иметь B∗ (λi(ε), ε) (Ψs - Ψi)= (B∗ (λ0; 0) + O(ε) (Ψs0 - Ψi0 + O(ε)) = O(ε), откуда следует, что определитель системы не равен нулю, что доказывает единственность ее решения. Замечание 2.1. Аналогично доказывается, что все собственные значения операторов (2.6) так- же являются собственными значениями оператора A(t; ε). ВОЗМУЩЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Пример отсутствия обобщенных жордановых цепочек det [Aj0Φi0, Ψj0] /= 0,i = 1, n. В данном случае, не ограничивая общности, можно предположить ±Aj0Φi0, Ψi0) /= 0. Пусть Φ˜ i(ε) - это собственный элемент оператора B- A(λ0 + μi(ε), ε), отвечающий собственному значению λi. Тогда регуляризованное [B- A(μ, ε)]Φ˜ i(ε)=0 уравнение Bi (λ, ε) Φ�i(ε)=0 дает [B- A(λ0, 0)]Φ˜ i(ε)= A(μi(ε), ε)Φ˜ i(ε)+ Hi(λi(ε), ε)Φ˜ i(ε) - )±Φ˜ i(ε), Γj0)Zj0, (3.1) j/=i где A (μi(ε), ε) = A (λ0) -A (μi(ε), ε) , Hi (λi(ε), ε) = A (λi(ε), 0) -A (λi(ε), ε) . После применения -1 оператора Шмидта Γ = rB� (λ0, 0)l последнее уравнение (3.1) сводится к эквивалентной системе 1 B˜ (λ0)Φ˜i(ε)= A (μi(ε)) Φ˜i(ε)+ Hi (λi(ε); ε) Φ˜ i(ε)+ ξiZi0, ξi = ±Φ˜ i(ε), Γi0), (3.2) откуда следует Φ˜i(ε)= ξi rI - ΓA (μi(ε)) - ΓHi (λi(ε); ε)l- Φi0. (3.3) Подстановка Φ˜ i(ε) во второе уравнение (3.2) дает i-ое уравнение ветвления (УрВ) для соб- ственного значения λ0: 1 ±rA (μi(ε)) + Hi (λi(ε); ε)l rI - ΓA (μi(ε)) - ΓHi (λi(ε); ε)l- Φi0, Ψi0) = 0. (3.4) В силу аналитической зависимости оператора A(λ0 + μi(ε), ε) - A(λ0, 0) от μ и ε в окрестности точки (λ0, 0) после расширения (3.3) в степенном ряде будем иметь ∞ ∞ i ε ) ) Lsliμs l = 0, (3.5) где Lsli = ) s=1 l=0 ±As l s l s l i0 i0 (s,l)=(s1,l1)+···+(sk ,lk ) 1 1 ΓA 2 2 ... ΓA k k Φ , Ψ ) . Коэффициент L10 = ±A10Φi0, Ψi0) отличен от нуля. Следовательно, {μi(ε),i = 1, n} выражаются из уравнения (3.5) в виде ряда по целым степеням ε. Подстановка μi(ε) в (3.3) дает соответствующие собственные элементы Φ˜i(ε) также в виде ряда по целым степеням ε. Тем самым нами доказан следующий результат: Теорема 3.1. Если dim N (B- A(λ0, 0)) = dim N (B∗ - A∗(λ0, 0)) = n и ±A10Φi0, Ψi0) /= 0 для всех i = 1, 2,..., n,, то при достаточно малом ε существует ровно n геометрически простых собственных значений λi(ε) = λ0 + μi(ε), λi(0) = λ0, с соответствующими собственными элементами Φ˜ i(ε) и функционалами дефекта Ψ˜ i(ε), аналитически зависимыми от ε. Пример существования биканонических жордановых множеств. Доказательство теоре- мы 2.1, приведенное в [10, 11], может быть преобразовано в случае существования биканонических A (μ, 0)-жордановых множеств для завершения полного устранения вырожденности в термино- n логии В. А. Треногина [4], т. е. для описания появления K = ), ps собственных значений и s=1 соответствующих им собственных векторов возмущенной системы (1.1) или (1.2). Говоря конкрет- / но, в таком случае верны следующие соотношения: ⊗Φs(ε) - Φs(ε)⊗ = ⊗Φs0 - Φs0⊗ +O где ⊗Φ⊗ = j±Φ, Φ) - это норма в пространстве H = H+˙ H. p 1/ \ o s , Теорема 3.2. Допустим существование биканонических жордановых множеств, и пусть / pi (pi+1-k) \ Lpi0 = ), Ak0Φi0 , Ψi0 k=1 /= 0 для всех i = 1, n. Если L0j = 0, j = 1, ∞ и L11 /= 0, то существует K простых собственных значений с соответствующими им собственными эле- 1 - ментами, представляющихся в виде ряда по степеням εpi-1 . Если L0j = 0, j = 1, qi - 1, L0qi /= 0, L11 /= 0, то существует ровно K собственных значений, из которых n (с соответ- ствующими им собственными элементами) представляются в виде ряда по целым степеням ε в зависимости от первого ненулевого коэффициента из последовательности {L1j }, осталь- ные же K n собственных значений со своими собственными элементами представляются в 1 виде ряда по степеням εpi-1 . Доказательство. Для доказательства теоремы мы применим метод диаграмм Ньютона [4]. Допустим существование биканонических жордановых множеств, и пусть pi ) k=1 \ Φ , Ψ (pi+1-k) Ak0 i0 i0 /=0 для всех i = 1, n. Тогда в уравнении (3.5), согласно определению биканонических жордановых множеств, для всех i = 1,n Lpi0 = ± pi ) k=1 Φ , Ψ = 0, (pi+1-k) Ak0 i0 i0) / pi ) k=1 \ Φ , Ψ (pi+1-k) Ak0 i s0 = 0, s /= i. (3.6) Убывающая часть диаграммы Ньютона, построенной для УрВ (3.5), состоит либо из отрезка, соединяющего точки (1; 1) и (pi; 0) (это будет так, если все L0j равны нулю, а L11 /= 0), либо из двух отрезков: указанного выше и того, что соединяет точки (1; 1) и (0; qi), где qi - это номер 1 p первого ненулевого члена последовательности {L0j }. Первому отрезку отвечает показатель , i - 1 а второму, в любом случае, целый показатель. Следовательно, задача (1.1) при достаточно малом n o имеет ровно K = ), pi собственных значений λi(ε) = λ0 + μi(ε), λi(0) = λ0, где n собственных i=1 - значений представляются в виде сходящегося ряда по целым степеням ε, а K n собственных зна- 1 чений - по степеням εpi-1 . Каждому λi(ε) отвечает собственный элемент Φi(ε), представленный в виде сходящегося ряда с той же степенью ε, что и у соответствующих λi(ε). ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧЕ О КРАЕВОМ ВОЗМУЩЕНИИ В качестве приложения рассмотрим задачу о краевом возмущении в следующей системе Штурма-Лиувилля: yll + [λa(x) - p(x)] z = 0, zll + [λa(x) - p(x)] y = 0, (4.1) 11 + α 12 α11y(0) + α12yl(0) = 0, α2 2 21 + α 22 α21y(T )+ α22yl(T )= 0, α2 2 /= 0, /= 0, 11 + β 12 β11z(0) + β12zl(0) = 0, β2 2 21 + β 22 β21z(T )+ β22zl(T )= 0, β2 2 /= 0, /= 0, (4.2) где x ∈ [0,T ] , a(x), p(x) ∈ A(R+), T = 1 + ε (A(R+) - это пространство все аналитических на R+ = [0, +∞) функций. Заменой переменных x = Tτ, y(x)= y(τ + ετ )= ϕ(τ ), z(x)= z(τ + ετ )= ψ(τ ) задача (4.1)-(4.2) сводится к системе ( d2 \ (1 + ε)-2 - ρ(τ ) ∞ ϕ(τ ) - (1 + ε)-2 ) εl τ l-2 × dτ 2 г 2 l=2 l (l - 2)! ∞ l × p(l-2)(τ )+ 2τ p(l-1)(τ )+ τ p(l)(τ ) ϕ(τ )+ λ ) εl τ a(l)(τ )ψ(τ )= 0, l - 1 ( d2 l(l - 1) \ l=0 ∞ l! l-2 - (1 + ε)-2 ρ(τ ) dτ 2 ψ(τ ) - (1 + ε)-2 ) εl τ × l=2 (l - 2)! × гp(l-2)(τ )+ 2τ 2 p(l-1)(τ )+ τ l p(l)(τ ) ∞ l ψ(τ )+ λ ) εl τ a(l)(τ )ϕ(τ )=0 (4.3) с краевыми условиями l - 1 l(l - 1) α11ϕ(0) + α12ϕl(0) = 0, α21ϕ(1) + α22ϕl(1) = 0, β11ψ(0) + β12ψl(0) = 0, l! l=0 β21ψ(1) + β22ψl(1) = 0. (4.4) Оператор, отвечающий задаче (4.3)-(4.4), может быть записан в следующей форме: ∞ ∞ ∞ ∞ A0ϕ = ) εj Ajϕ + (1+ ε)-2 ) εmBmψ, A∗ψ = ) εj A∗ψ + (1+ ε)-2 ) εmB∗ ϕ, где j=1 m=0 2 0 j j=1 m m=0 A0 = d dτ 2 - ρ(τ ), B1ϕ = (-2ρ(τ ) - τρl(τ ))ϕ, k-2 r 2 l k - B ϕ = τ (k-2)! k(k 1) ρ ρ(k-2)(τ )+ 2τ k-1 ρ(k-1)(τ )+ τ - (k) (τ ) ϕ(τ )= ak (τ )ϕ(τ, ) l B0ψ = B(0)ψ = -a(τ )ψ(τ ), Alϕ = - τ a(l)(τ )ϕ(τ )= bl(τ )ϕ(τ ). l! Эти соотношения можно переписать в следующем матричном виде: ( A0 0 0 0 A∗ \( ϕ ψ \ ∞ = ) εj j=1 + ( Am 0 m 0 A∗ \( ϕ \ ψ + ∞ + λ ) (1 + ε)2εm ( 0 Bm \( ϕ \ или j=1 ∞ m B∗ 0 ∞ ψ , (4.5) A0Φ= ) εj Aj Φ+ λ ) (1 + ε)2εmBmΦ. (4.6) j=1 m=0 2 Пусть λ0 - это изолированная фредгольмова точка такая, что N (A0 - λ0A0)= {Φio}1 , N ∗(A0 - 2 2 2 λ0A0) = {Ψio}1 . Пусть {Γi0}1 и {Zi0}1 - это соответствующие биортогональные элементы для 2 2 {Φio}1 и {Ψio}1 . Для каждого i = 1,n введем регуляризованные операторы [A(ε) - λB(ε)]iΦ= (A(ε) - λB(ε))Φ + ) ±Φ, Γj0) Zj0 (4.7) i/=j Исходя из теоремы 2.1, искомое собственное значение λi (ε) явялется простым собственным зна- чением оператора (4.7). Если Φ�i(ε) - это соответствующая собственная функция, то [A(ε) - λB(ε)]iΦ�i(ε)= 0, или откуда следует (A(ε) - λB(ε))Φ�i(ε)+ ) /Φ�i(ε), Γj0 Zj0 = 0, i/=j ∞ (A0(ε) - λ0B0)Φ�(ε)= ) εmAmΦ�i(ε)+ (2ε + ε2)λ0B0Φ�i(ε)+ m=1 ∞ + (1+ 2ε + ε2) · μiB0Φ�i(ε)+ (1 + 2ε + ε2)(λ0 + μi) ) εlBlΦ�i(ε) - ) /Φ�i(ε), Γj0 Zj0. (4.8) l=1 i/=j С помощью регуляризатора Э. Шмидта n (A0 - λ0B0)Φ = (A0 - λ0B0)Φ + ) ±Φ, Γj0)Zj0 i=1 равенство (4.8) может быть переписано в виде ∞ Φ�i(ε)= ) εmΓBmΦ�i(ε)+(2ε + ε2)λ0ΓB0Φ�i(ε)+ (1 + 2ε + ε2) · μiΓB0Φ�i(ε)+ m=1 ∞ / +(1 + 2ε + ε2) · (λ0 + μi) ) εlΓBlΦ�i(ε)+ l=1 Φ�i(ε), Γi0 Φi0, - 1 - где Γ= (A0---λ0B0) , или же в форме системы: ∞ I - ) εmΓAm- (2ε + ε2)λ0ΓB0 - (1 + 2ε + ε2)μiΓB0- m=1 ∞ l -(1 + 2ε + ε2)(λ0 + μi) ) εlΓBl l=1 Φ�i(ε)= ξiΦi0, ξi = /Φ�i(ε), Γi0 . После того, как мы выразили Φ�i(ε) из первого уравнения Φ�i(ε)= ξi ∞ I - ) εmΓAm- (2ε + ε2)λ0ΓB0 - (1 + 2ε + ε2)μiΓB0- m=1 ∞ -(1 + 2ε + ε2)(λ0 + μi) ) εlΓBl l=1 l-1 Φi(ε), подставим ее во второе, что даст нам i-е уравнение ветвления для нахождения μi(ε): ∞ ) L(i) k s ) m 2 2 k+s 1 ks μi ε ≡ 1 - [I- ε m=1 ΓAm - (2ε + ε )λ0ΓB0 - (1 + 2ε + ε )μiΓB0- ∞ -(1 + 2ε + ε2)(λ0 + μi) ) εlΓBl l=1 l-1 \ Φi0, Γi0 = 0, i = 1, 2. (4.9) Здесь L(i) = ±B0Φi0, Ψi0) , L(i) = ±(A1 - 2λ0B0 - λ0B1)Φi0, Ψi0) , 10 01 0j = L(i) ) α1 [Γ(Aj1 - λ0Bj1-2 - 2λ0Bj1-1 - λ0Bj1)] ... j1α1+j2α2+...+jk αk =j \ αk ... [Γ(Ajk - λ0Bjk-2 - 2λ0Bjk-1 - λ0Bjk )] Φi0, Γi0 , j 2. 1 Если, например, ±B0Φi0, Ψi0) = Г a(τ ) rϕ(τ )ψ(τ )+ ϕ(τ )ψ(τ )l dτ /= 0, i = 1, 2, то из УрВ (4.9) 0 10 будет следовать, что L(i) /= 0 и λi(ε) представляются в виде рядов по целым степеням ε. Более j того, эти ряды начинаются с ε , где j - это первый такой номер, при котором L(i) /= 0. Собственные функции 0j Φ�i(ε), i = 1, 2 также содержат лишь целые степени ε. Последующие ϕi коэффициенты в разложениях λi(ε) и � (ε) могут быть определены методом неопределенных коэффициентов (см. [4, § 31]).