On Formulation of Modified Problems for the Euler-Darboux Equation with Parameters Equalto 1/2 in Absolute Value

Full Text

ВВЕДЕНИЕ β α (1.1) Uxy + y - x Ux - y - x Uy = 0 имеет широкое применение в газовой динамике и гидродинамике, теории оболочек, в различных разделах механики сплошных сред [5, 12, 19-22]. В силу того, что вырождающиеся уравнения гиперболического типа в характеристических коор- динатах сводятся к уравнению (1.1), исследованием краевых задач для уравнения Эйлера-Дарбу занимались многие советские и зарубежные математики. Подробная библиография по этому во- просу содержится в монографии М. М. Смирнова [17]. Наряду с классическими задачами (Коши, Коши-Гурса, Дарбу) для уравнения (1.1) ставились новые краевые задачи (Δ-задачи, со смещением, с интегральными условиями, с нестандартными условиями сопряжения, содержащими производные и интегралы дробного порядка) в областях, являющихся объединением нескольких характеристических треугольников [2-4, 6-11, 13-15, 23]. Значительный вклад в теорию краевых задач для уравнения Эйлера-Дарбу внесен самарскими математиками, в первую очередь, проф. В. Ф. Волкодавовым и его учениками. В работе [14] проведен подробный анализ основных результатов по постановке и решению как классических, так и новых видоизмененных краевых задач для уравнения (1.1), библиография ее содержит труды самарских математиков. Основные результаты по постановке и исследованию краевых задач для уравнения (1.1) по- лучены при начальных условиях, налагаемых на параметры уравнения: 0 < |α|, |β|, |α + β| < 1. Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2019 11 Отметим, что задача Коши для уравнения (1.1) при α = β, 0 < |β| < 1/2 в классической поста- новке с условиями lim U (x, y) = τ (x), lim (y - x)2β (Uy - Ux) = ν(x), y > x, y→x+0 y→x+0 (τ, ν - заданные функции) является некорректной в силу того, что либо само решение, либо его производная по нормали (в зависимости от знака β) на линии сингулярности коэффициентов y = x обращается в бесконечность. В настоящей работе авторами предлагается постановка и решение видоизмененных задач типа Коши для уравнения (1.1) в случаях: а) α = β = 1 ; б) α = - 1 , β = 1 ; в) α = β = - 1 (задачи C , C2, C3, соответственно). 2 2 2 2 1 На основе решения задачи C1 получено решение видоизмененной задачи Δ1 в области, пред- ставляющей первый квадрант, с краевыми условиями на координатных осях и сопряжением на линии y = x. ЗАДАЧА C1 На множестве y > x > 0 найти решение уравнения 1 1 (2.1) удовлетворяющее условиям lim Uxy + 2(y - x) Ux - 2(y - x) Uy = 0, (y - x)(Uy - Ux) = ν1(x), 0 � x < +∞, (2.2) lim y→x+0 г U (x, y) - ν1(x) √ ( ln y - x + ψ( 1 \l ) - ψ(1) = τ1(x), (2.3) y→x+0 2 Γ∗(z) где ν1 определено условием (2.2), ψ(z) = функции [1]. На заданные функции τ1, ν1 налагаются - логарифмическая производная Гамма- Γ(z) Условия A. τ ∗∗(x) ∈ C[0, +∞), ν∗∗(x) ∈ C[0, +∞). Для решения задачи C1 применим метод Римана. Функция Римана для уравнения (1.1) имеет вид [17] y - x 1 1 V0(x, y; x0, y0) = 1 1 F ( , , 1, σ), (2.4) (x - x0)(y0 - y) (y0 - x) 2 (y - x0) 2 2 2 ∞ (α)n(β)n σ = (y0 - x)(y - x0) , F (α, β, γ, z) = n=0 zn (γ)nn! - гипергеометрическая функция Гаусса [1]. Согласно методу Римана, рассмотрим область, огра- ниченную отрезком прямой y = x + ε (ε > 0) и характеристиками уравнения (2.1) x = x0, y = y0. Пусть P (x, x0 + ε) = Q(y0 - ε, y0). Применяя формулу Римана [17], имеем y0-ε U (P )V0(P )+U (Q)V0(Q) { ( V0 1 г ∂V0 ∂V0 l\ U (x0, y0) = + 2 x0 y0-ε + y - x 2 ∂x - ∂y U y=x+ε dx+ 1 { ( ∂U + 2 ∂y x0 ∂U \ - ∂x V0 y=x+ε 3 dx = Jk. (2.5) k=1 где V0 - функция Римана (2.4), U(x0, y0) - искомое решение уравнения (2.1). Воспользуемся представлением функции Гаусса в формуле для случая γ - α - β = 0 (см. [1]): 1 F ( , 2 1 1 г , 1, σ) = 2 2 Γ2( 1 ) 2ψ(1) - 2ψ( 1 2 ) - ln (y - x)(y0 - x0) l (y0 - x)(y - x0) . (2.6) В результате интеграл J3 формулы (2.5) примет вид: y0-ε 1 { J3 = ( ∂U ∂U \ y - x - ln (y0 - x)(y - x0) dx+ 2 2Γ2( 1 ) x0 ∂y ∂x (y0 - x)1/2(y - x0)1/2 (y0 - x0) y=x+ε 1 + y0-ε { ( ∂U ∂U \ y - x г - 1 ψ(1) - ψ( ) - ln √ l y - x dx. (2.7) 2 Γ2( 1 ) x0 ∂y ∂x (y0 - x)1/2(y - x0)1/2 2 y=x+ε Для вычисления производных ∂V0 , ∂V0 в слагаемом J формулы (2.5) представим функцию (2.4) ∂x ∂y 1 1 2 y - x в виде V0 = σ1/2F ( , 2 2 , 1, σ) ω(x, y; x0, y0), где ω = (y0 - y)1/2(x - x0)1/2 , и применим формулу дифференцирования функции Гаусса [1]: ∂ В результате имеем σaF (a, b, c; σ) = aσa-1F (a + 1, b, c; σ)σ∗x. ∂x ∂V0 ∂V0 1 1/2F ( 3 1 ∂x - 2 2 = σ- ∂y 2 , , 1, σ) ω(x, y; x0, y0) (σ∗x - σ∗y l + +σ1/2F ( 1 , 1 , 1, σ) (ω∗ - ω∗ l = i + i . (2.8) 2 2 x y 1 2 К функции F ( 3 , 1 , 1, σ) применим формулу автотрансформации [1]: 2 2 Получаем: F (a, b, c; σ) = (1 - σ)c-a-bF (c - a, c - b, c; σ). 1 (y0 - y)(y - x0)+(x - x0)(y0 - x) 1 1 - i1 = 2 (y - x0)1/2(y0 - x)1/2(x - x0)(y0 - F ( , , 1, σ), (2.9) y) 2 2 i2 = г -2 (y - x0)1/2(y - x0)1/2 - (y - x)(y0 - y + x - x0) l (y - x0)1/2(y0 - x)1/2(x - x0)(y0 - y) 1 F ( , 2 1 , 1, σ). (2.10) 2 Отметим, что первое слагаемое формулы (2.10) равно -2V0 . y - x Подставим результаты вычислений (2.7)-(2.10) в формулу (2.5), положим y = x + ε и перейдем 1 1 2 к пределу при ε → 0. С учетом условий (2.2), (2.3), а также того, что F (- 2 , 2 , 1, 1) = (см. [1]), после переобозначения переменных получаем функцию y 2 Γ2( 1 ) 1 { U (x, y) = 2 Γ2( 1 ) x τ1(t)(y - t)-1/2(t - x)-1/2dt+ y 1 { + 2Γ2( 1 ) ν1(t)(y - t)-1/2(t - x)-1/2 ln г(y - t)(t - x) l y - x dt. (2.11) 2 x Единственность решения задачи C1 следует из метода Римана, существование доказано проверкой. Замечание. Данный результат можно получить также, воспользовавшись формулой общего решения уравнения (2.1), приведенной в работе М. М. Смирнова [18] 1 { U (x, y) = 0 1 { Φ(x + (y - x)t)t-1/2(1 - t)-1/2dt + 0 Ψ(x + (y - x)t)t-1/2(1 - t)-1/2 ln[t(1 - t)(y - x)]dt, (2.12) где Φ, Ψ - произвольные дважды дифференцируемые функции. Не приводя подробных вычислений, сформулируем основные результаты по постановке и реше- нию задач C2 и C3. Задача C2. На множестве y > x > 0 найти решение уравнения 1 1 удовлетворяющее условиям Uxy + 2(y - x) Ux + 2(y - x) Uy = 0, lim y→x+0 U (x, y) = τ2(x), 0 � x < +∞; lim y→x+0 г (Uy - Ux) - d U (x, x) dx ( ln(y - x)+ 2ψ( 1 \l 2 ) - 2ψ(1) + 1 = ν2(x), 0 � x < +∞. Формула решения задачи C2 получена в виде y 1 { U (x, y) = 2 Γ2( 1 ) x ν2(t)(t - x)1/2(y - t)-1/2dt+ y 1 { + Γ2( 1 ) τ2∗(t)(t - x)1/2(y - t)-1/2 ln г(t - x)(y - t) l y - x dt+ 2 x 1 + 2 Γ2( 1 ) y { τ2(t)(t - x)-1/2(y - t)-1/2dt. (2.13) x Задача C3. На множестве y > x > 0 найти решение уравнения 1 1 с условиями: Uxy - 2(y - x) Ux + 2(y - x) Uy = 0, lim y→x+0 U (x, y) = τ3(x), 0 � x < +∞; lim y→x+0 г (Uy - Ux)(y - x)-1 - d2 dx2 U (x, x) ( ln(y - x)+ ψ( \l 2 ) - ψ(3) = ν3(x), 0 � x < +∞. Единственное решение задачи C3 представлено формулой y y 1 { 1 { U (x, y) = 2 Γ2( 1 ) x ν3(t)(t - x)1/2(y - t)1/2dt+ г(t - x)(y - t) l + 2 2Γ2( 1 ) x τ3∗(t)(t - x)-1/2(y - t)-1/2 [(t - x) - (y - t)] ln y y - x dt+ 1 { + 2 Γ2( 1 ) x τ3(t)(t - x)-1/2(y - t)-1/2dt. (2.14) Отметим, что формулы (2.13), (2.14) могут быть получены как из общего решения уравнения Эйлера-Дарбу с соответствующими параметрами, которые получаются из формулы (2.12) с ис- пользованием основных свойств решений уравнения (1.1) [18], так и методом Римана. 1 ЗАДАЧА ΔS Воспользуемся результатами предыдущих пунктов для постановки и решения видоизмененной задачи Δ1. Постановка задачи Δ1 для уравнения Эйлера-Дарбу (1.1) в области, представляющей первый квадрант, предполагает задание граничных условий на координатных осях x = 0 (y > 0) и y = 0 (x > 0) и двух условий сопряжения на линии y = x сингулярности коэффициентов уравнения (1.1), первое из которых содержит предельные значения самого решения, второе - его нормальных производных. В силу того, что решение уравнения (2.1) на линии y = x обращается в бесконечность, первым задается условие разрывности Франкля ∂U (x, x + 0) ∂n - ∂U (x, x 0) = , ∂n второе склеивает предельные значения комбинации самого решения и его производных по нормали. Постановка задачи. Подобно тому, как это было сделано в первом пункте для уравне- ния (2.1), на множестве x > y > 0 получено решение задачи C1 с данными lim (x - y)(Ux - Uy ) = ν2(x), 0 � x < +∞, (3.1) lim y→x-0 Оно имеет вид: y→x-0 г U (x, y) - ν2(x) √ ( 1 ln x - y + ψ( 2 x \l ) - ψ(1) = τ2(x), 0 � x < +∞. (3.2) 1 { U (x, y) = 2 Γ2( 1 ) y τ2(t)(x - t)-1/2(t - y)-1/2dt+ x 1 { + 2Γ2( 1 ) ν2(t)(x - t)-1/2(t - y)-1/2 ln г(x - t)(t - y) l x - y dt. (3.3) 2 y Уравнение (2.1) рассмотрим на множестве D = D1 + D2, D1 = {(x, y)/0 < x < y < +∞}, D2 = {(x, y)/0 < y < x < +∞}. 2 Задача ΔS . На множестве D найти решение уравнения (2.1), удовлетворяющее условиям: U (0, y) = ϕ1(y), 0 � y < +∞, (3.4) x 1 { t 2 ) U (x, 0) - Γ2( 1 0 ν2(t) t -1/2 (x - t) -1/2 ln x dt = ϕ2(x), 0 � x < +∞, (3.5) где ν2(x) определена формулой (3.1). На линии сингулярности коэффициентов уравнения (2.1) заданы условия сопряжения ν1(x) = lim (y - x)(Uy - Ux) = - lim (x - y)(Ux - Uy ) = -ν2(x), (3.6) y→x+0 τ1(x) = lim y→x+0 г U (x, y) - ν1(x) y→x-0 √ ( ln y - x + ψ( 1 \l 2 ) - ψ(1) = = lim y→x-0 (U (x, y) - ν2(x) (ln √x - y + ψ(2) - ψ(1))l = τ2(x). (3.7) На заданные функции ϕk, k = 1, 2 налагаются Условия B. ϕk (0) = 0, ϕk (x) ∈ C(3)[0, +∞), k = 1, 2. За основу решения задачи ΔS 1 возьмем решение задачи C1 в областях D1 и D2, определяемое, соответственно, равенствами (2.2), (2.3), (2.11) и (3.1)-(3.3). Функции (2.11), (3.3) подчиним условиям (3.4), (3.5), получим систему уравнений относительно неизвестных функций νk, τk, k = 1, 2: y 1 { Γ2( 1 ) τ1(t)t -1/2 (y - t) -1/2 y 1 { dt + 2Γ2( 1 ν1(t)t -1/2 (y - t) -1/2 ln (y - t)tdt = ϕ (y), (3.8) y 1 2 2 ) 0 0 1 Γ2( 1 ) x { τ2(t)t -1/2 (x - t) 1 -1/2dt + 2Γ2( 1 x { ν2(t)t -1/2 (x - t) -1/2 ln(x - t)dt- 2 2 ) 0 0 x 1 { г t l -1/2 -1/2 2 - 2Γ2( 1 ) 0 ν2(t) t (x - t) ln x dt = ϕ2(x). (3.9) Неизвестные функции νk, τk, k = 1, 2, ищем в классе функций непрерывных на полуинтервале [0, +∞) и дважды непрерывно дифференцируемых в интервале (0, +∞). В этом случае функ- ции (2.11), (3.3) определяют классическое решение уравнения (2.1) в областях D1 и D2, соответ- ственно, что установлено проверкой. Учитывая условия сопряжения (3.6), (3.7), а также одинаковое изменение переменных x и y, вычтем из уравнения (3.8) уравнение (3.9), обозначив при этом ν1(t) t-1/2 = ν(t), ϕ1(x) - ϕ2(x) = Φ1(x): x 1 { 2 Γ2( 1 ) 0 ν(t)(x - t) -1/2 ln(x - t)dt = Φ1(x). (3.10) Для решения уравнения (3.10) воспользуемся методами работы [16]. Для этого рассмотрим част- ный случай функции Вольтерры [16] +∞ { vh(x - t) = 0 Имеем очевидное тождество - (x t)z-1ehz dz, z > 0, h = const. (3.11) Γ(z) x { (x - t)z-1tα-1 Γ(α)Γ(z) 0 dt = xα+z-1 Γ(α + z) , α > 0, обе части которого умножим на eh(α+z-1) и применим к обеим частям полученного равенства опе- +∞ ратор Г z ... dτ, заменив предварительно z на τ. После замены порядка интегрирования получаем x { tα-1ehα dt Γ(α) 0 +∞ { (x - t)τ -1eh(τ -1) Γ(τ ) z dτ = +∞ { xα+τ -1eh(α+τ -1) Γ(α + τ ) z dτ. (3.12) Учитывая, что d dz Г +∞ d f (α + τ )dτ = z dα +∞ Г f (z + τ )dτ = -f (α + z), продифференцируем по α обе α части тождества (3.12): { x e hα tα-1[ln t + h - ψ(α)] +∞ dt { (x - t) τ -1 eh(τ -1) x dτ = - α+z-1 eh(α+z-1) . 0 Положим z = 1: x { Γ(α) z Γ(τ ) +∞ { (x - t)τ -1eh(τ -1) Γ(α + z) α tα-1[ln t + h - ψ(α)]dt 0 1 Γ(τ ) x dτ = - α . Сделаем замену τ - 1 = σ: x { tα-1[ln t + h - ψ(α)]dt 0 +∞ { (x - t)σehσ Γ(σ + 1) 0 xα dτ = - α . (3.13) Продифференцируем обе части тождества (3.13) по x и с учетом функции (3.11) получим x { tα-1[ln t + h - ψ(α)]vh(x - t)dt = -xα-1. (3.14) 0 В предположении, что решение уравнения (3.10) существует, применим к обеим частям равенy ства (3.10) оператор Г vh(y - x) ... dx и поменяем в левой части полученного выражения порядок 0 интегрирования: 1 2 Γ2( 1 ) y { ν(t)dt 0 y { (x - t) t -1/2 ln(x - t)vh(y - x)dx = y { Φ1(x)vh(y - x)dx. 0 Во внутреннем интеграле делаем замену x - t = z: 1 2 Γ2( 1 ) y { ν(t)dt 0 y-t { z 0 -1/2 ln z vh(y - t - z)dz = y { Φ1(x)vh(y - x)dx. (3.15) 0 В тождестве (3.14) положим α = 1 , h = ψ( 1 ), в результате внутренний интеграл в левой части 2 2 1 равенства (3.15) будет равен -(y - t) 2 . Уравнение (3.10) свелось к уравнению y y где 1 { 2 -Γ2( 1 ) 0 ν(t)(y - t) -1/2 { dt = 0 Φ1(t)vψ (y - t)dt, (3.16) vψ (y - x) = +∞ 1 - z 1 ψ( )z { (y x) - e 2 dz. (3.17) Γ(z) 0 Решая уравнение Абеля (3.16), получаем, с учетом условий B, x +∞ 1 1 1 { { (x - t)z- 2 eψ( 2 )z ν(x) = -Γ( 2 ) Φ1∗(t)dt Γ( 1 + z) dz. (3.18) 0 0 2 Проверкой доказано, что функция (3.18) является решением уравнения (3.10). Для нахождения равенства τ1 = τ2 сложим равенства (3.9), (3.8) с учетом условий сопряже- ния (3.6), (3.7): 2 Γ2( 1 ) x { τ1(t) t -1/2 (x - t) -1/2 1 dt = ϕ1(x)+ ϕ2(x)+ Γ2( 1 x { ν1(t) t -1/2 (x - t) t -1/2 ln dt. x 2 2 ) 0 0 Решая относительно τ1 уравнение Абеля, после ряда преобразований приходим к результату 1 1 { 1/2 1 1 1 { ν1(xμ)dμ где τ1 = τ2 = 2 x 0 (ϕ1∗(μx)+ ϕ2∗(μx)l (1 - μ)- dμ - 2 ν1(x) ln x + 2 0 √μ(1 + √μ) , (3.19) 1 +∞ 1 1 ν1(x) = -ν2(x) = -Γ ( 1 \ { 2 0 { (ϕ1∗(μx) - ϕ2∗(μx)l dμ 0 xz+1(1 - μ)z- 2 eψ( 2 )z 2 Γ( 1 + z) dz. (3.20) Отметим, что νk (0) = 0 (k = 1, 2) [16]. Из формул (3.9), (3.8) следует, что при выполнении условий функции τk, νk, k = 1, 2, принад- лежат указанному выше классу (доказано вычислением). Окончательное выражение для τ1 и τ2 получаем, подставив в формулу (3.19) вместо ν1 ее представление формулой (3.20). 1 Единственность решения задачи ΔS следует из единственности, полученной методом Римана, решения видоизмененной задачи Коши, взятого за основу, и однозначной разрешимости инте- гральных уравнений, получаемых в процессе решения задачи. Существование решения доказано проверкой.

About the authors

M V Dolgopolov

Samara National Research University

Email: mikhaildolgopolov68@gmail.com

I N Rodionova

Samara National Research University

Email: mvdolg@yandex.ru

References

Supplementary files