Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2223710.22363/2413-3639-2019-65-1-11-20New ResultsНовые результатыResearch ArticleOn Formulation of Modified Problems for the Euler-Darboux Equation with Parameters Equalto 1/2 in Absolute ValueО постановке видоизмененных задач для уравнения Эйлера-Дарбу в случае параметров, равных по модулю 1/2DolgopolovM VДолгополовМ Вmikhaildolgopolov68@gmail.comRodionovaI NРодионоваИ Нmvdolg@yandex.ruSamara National Research UniversityСамарский национальный исследовательский университет им. академика С. П. Королева15122019651Contemporary Problems in Mathematics and PhysicsСовременные проблемы математики и физики112027112019Copyright ©; 2019, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2019, Современная математика. Фундаментальные направления2019Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/22237We consider the Euler-Darboux equation with parameters equal to 1/2 in absolute value. Since the Cauchy problem in the classical formulation in ill-posed for such values of parameters, we proposeformulations and solutions of modified Cauchy-type problems with the following values of parameters: a)α = β = 1 , b) α = - 1 , β = - 1 , c) α = β = - 1 . In the case а), the modified Cauchy problem is solved2 2 2 2by the Riemann method. We use the obtained result to formulate the analog of the problem Δ1 in the first quadrant with shifted boundary-value conditions on axes and nonstandard conjunction conditions on thesingularity line of the coefficients of the equation y = x. The first condition is gluing normal derivatives of the solution and the second one contains limiting values of combination of the solution and its normal derivatives. The problem is reduced to a uniquely solvable system of integral equations.Рассматривается уравнение Эйлера-Дарбу с параметрами, равными по модулю 1/2. В силу того, что задача Коши в классической ее постановке является некорректной для таких значенийпараметров, авторы предлагают постановки и решения видоизмененных задач типа Коши при значениях параметров: а) α = β = 1 , б) α = - 1 , β = 1 , в) α = β = - 1 . В случае а) видоизмененная задача2 2 2 2Коши решается методом Римана. Результат, полученный авторами, используется для постановки ана-лога задачи Δ1 в первом квадранте с заданием граничных условий со смещением на координатных осях и нестандартными условиями сопряжения на линии сингулярности коэффициентов уравнения y = x. Первое из этих условий склеивает производные по нормали искомого решения, второе содержит предельные значения комбинации самого решения и его нормальных производных. Поставленная задача свелась к однозначно разрешимой системе интегральных уравнений.1.Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. I. - М.: Наука, 1973.2.Волкодавов В. Ф., Николаев Н. Я. О новой задаче со смещением в неограниченной области для уравнения Эйлера-Дарбу с положительными параметрами// В сб.: «Математическая физика». - Куйбышев: КПтИ, 1979. - С. 3-9.3.Волкодавов В. Ф., Репин О. А. Решение краевой задачи со смещением для гиперболического уравнения// В сб.: «Дифференциальные уравнения и их приложения». - Куйбышев: КПтИ, 1975. - С. 15-21.4.Волкодавов В. Ф., Родионова И. Н., Бушков С. В. Решение видоизмененной задачи Коши методом Римана для одного пространственного аналога уравнения Эйлера-Дарбу с отрицательным параметром// Дифф. уравн. - 2000. - 36, № 4. - С. 616-619.5.Волкодавов В. Ф., Спицын В. А., Федоров Ю. И. Краевые задачи для одной системы уравнений в жесткопластических средах// В сб.: «Дифференциальные уравнения (математическая физика)». - Куйбышев: Пед. ин-т, 1980. - 236. - С. 36-45.6.Долгополов В. М., Долгополов М. В., Родионова И. Н. Построение специальных классов решений некоторых дифференциальных уравнений гиперболического типа// Докл. РАН. - 2009. - 429, № 5. - С. 583-589.7.Долгополов В. М., Долгополов М. В., Родионова И. Н. О дельта-задачах для обобщенного уравнения Эйлера-Дарбу// Abstracts of the Uzbek-Israel Int. Conf. Contemporary Problems in Mathematics and Physics. - Tashkent: Nat. Univ. Uzbekistan, 2017. - С. 203-204.8.Долгополов В. М., Родионова И. Н. Видоизмененная задача Коши для одного гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерном пространстве// Вестн. Самар. гос. тех. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2009. - 1, № 18. - С. 41-46.9.Долгополов М. В., Родионова И. Н. Задачи для уравнений гиперболического типа на плоскости и в трехмерном пространстве с условиями сопряжения на характеристике// Изв. РАН. Сер. Мат. - 2011. - 75, № 4. - С. 21-28.10.Долгополов В. М., Родионова И. Н. Экстремальные свойства решений специальных классов одного уравнения гиперболического типа// Мат. заметки. - 2012. - 92, № 4. - С. 533-540.11.Долгополов М. В., Родионова И. Н., Долгополов В. М. Об одной нелокальной задаче для уравнения Эйлера-Дарбу// Вестн. Самар. гос. тех. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2016. - 20, № 2. - С. 259-275.12.Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. - М.: Гостехиздат, 1953.13.Нахушев А. М. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения// Докл. АН СССР. - 1969. - 187, № 4. - С. 736-739.14.Нахушев А. М. О некоторых новых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа// Дифф. уравн. - 1969. - 5, № 1. - С. 44-59.15.Нахушева З. А. Нелокальные краевые задачи для основных и смешанного типов дифференциальных уравнений. - Нальчик: Кабардино-Балкарский научный центр РАН, 2012.16.Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. - Минск: Наука и техника, 1987.17.Смирнов М. М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. - Минск: Вышэйшая школа, 1977.18.Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. - М.: Высшая школа, 1985.19.Соколовский В. В. Механика сплошных сред. - М.: Физматгиз, 1960.20.Станюкович К. П. Теория неустановившихся движений газа. - М.: Бюро новой техники, 1948.21.Чаплыгин С. А. О газовых струях. Собрание соч. Т. 2. - М.-Л.: Гостехиздат, 1948.22.Франкль Ф. И. Избранные труды по газовой динамике. - М.: Наука, 1973.23.Rodionova I. N., Dolgopolov V. M., Dolgopolov M. V. Delta-problems for the generalized Euler-Darboux equation// Вестн. Самар. гос. тех. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2017. - 21, № 3. - С. 417-422.