THE STABILITY OF PLATES UNDER THE ACTION OF SHEARING LOADS

Abstract


The method of stability analysis of plates under the action of shearing loads is presented. Using variation method of Vlasov, the set of differential equations of stability of plates is giv- en. As an example, the stability calculation of rectangular plate hinge-supported along four sides under the action of shearing load in a median surface is realized. The numerical algorism of stability analysis of plates by the method of continuation on parameter of shearing load is developed, the Fortran program is realized. The obtained value of critical load is leveled with the table data


Пластины находят широкое применение в строительстве, машиностроении и в других областях техники. На практике пластины подвергаются различным воздействиям (например, действию сдвигающих нагрузок). Поэтому задачи расчета на устойчивость пластин под действием сдвигающих нагрузок являются важными для науки и практики. Исследованиям устойчивости пластин и оболочек посвящены работы многих авторов [1-6]. Цель настоящей работы заключается в разработке метода расчета на устойчивость пластин под действием сдвигающих нагрузок, приложенных в срединной плоскости. Рассмотрим пластину в плане (рис. 1), на которую действует сдвигающая нагрузка S, приложенная в срединной плоскости. Рис. 1. Общая схема пластины в плане с действующей нагрузкой Функцию прогибов w(x,y) пластины представим в виде разложения по В.З. Власову [7]: (1) где - обобщенные перемещения, которые определяются из решения задачи; - функции поперечного распределения прогибов (координатные функции), которые задаются из физического смысла задачи. Запишем выражения для изгибающих моментов Мх, Му и крутящего момен- та Мху: (2) где - цилиндрическая жесткость пластины, ? - толщина пластины, Е, ? - соответственно модуль упругости и коэффициент Пуассона материала. Введем обозначения: (3) Составим выражение полной энергии: (4) где с учетом (1) имеем: (5) Используя (1), (2) и (5), определим экстремальное значение полной энер- гии П с помощью уравнений Эйлера-Лагранжа: (6) где F - подынтегральная функция в выражении (4). Раскрывая (6), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для расчета на устойчивость пластин под действием сдвигающих нагрузок: (7) где а* - общая длина сторон пластины, на которые действует сдвигающая нагрузка S. Коэффициенты уравнений (7) имеют вид: (8) Полученные уравнения (7) можно применять для расчета на устойчивость пластин с различными граничными условиями на краях. В качестве примера выполним расчет на устойчивость шарнирно-опертой по контуру прямоугольной пластины, на которую действует сдвигающая нагрузка S, приложенная в срединной плоскости (рис. 1). Для расчета принимаем два члена ряда: (9) Координатные функции имеют вид: (10) Выбранные функции полностью удовлетворяют граничным условиям: при х = 0 и х = а сами функции и их вторые производные равны нулю. Система дифференциальных уравнений (7) состоит из двух уравнений: (11) Коэффициенты уравнений (11) определяются по формулам (8), некоторые из коэффициентов принимают нулевое значение: В результате получаем уравнения (11) в упрощенном виде: (12) Граничные условия в направлении оси у: при у = 0 и у = b имеем: (13) Систему уравнений (12) можно решать в рядах, принимая в первом приближении: (14) Ортогонализируем уравнения (12). Умножаем первое уравнение на выражение , а второе - на выражение , затем интегрируем в пределах от 0 до b. Для квадратной пластины (b = a) составляем определитель относительно неизвестных W11, W22 и получаем значение критической силы: (15) Значения по табличным данным [8]: (16) Значение критической силы, полученное с помощью данного метода, превышает табличное значение примерно на 11%. Результаты проведенных расче- тов в точности совпадают с результатами, полученными А.С. Вольмиром [1] на основе двойных тригонометрических рядов. Более точное решение данной задачи можно получить при непосредствен- ном интегрировании системы уравнений (12) численно. Для этого в первое уравнение вводится слагаемое, которое связано с малым значением поперечной нагрузки и учитывает начальное несовершенство пластины. Поскольку данная задача является краевой задачей, т.е. известные граничные условия находятся на разных краях, то для численного решения систему дифференциальных уравнений (12) сводим к системе дифференциальных уравнений первого порядка и решаем задачу Коши с начальными условиями: (17) Неизвестные условия ri на производных подбираются таким образом, что- бы на другом краю с определенной точностью выполнялись условия: (18) Для подбора неизвестных ri используется итерационный метод Ньютона. Задаваясь приращением сдвигающей нагрузки S пошагово, каждый раз интегрируем дифференциальные уравнения (12) совместно с начальными условиями (17). Решаем краевую задачу с помощью программы, составленной на языке Фортран (для численного интегрирования применяем метод Рунге-Кутта). По результатам расчетов построена кривая зависимости перемещения w от нагрузки S (при w, стремящемся к бесконечности, находим Sкр.). Получено значение критической нагрузки, достаточно близкое к табличным данным [8]. Таким образом, дифференциальные уравнения, полученные на основе вариационного метода В.З. Власова, позволяют достаточно точно рассчитывать на устойчивость пластины под действием сдвигающих нагрузок, приложенных в срединной плоскости.

SERGEY PAVLOVICH IVANOV

Volga State University of Technology

Author for correspondence.
Email: sp-ivanov@mail.ru
Russia, 424000, the Republic of Mari El, Yoshkar-Ola, Lenin Sq., b.3

Doctor of Science, Professor, Head of Department of Strength of Materials and Applied Mechanics, the Volga State University of Technology; Professor of Department of Electro-mechanics, the Mari State University. He is the author of 147 scientific articles, 2 monographs, 4 textbooks, 20 names of educational literature. General research interests: Strength, stability and vibrations analyses of the physically and geometric nonlinear rods, plates and plate systems

OLEG GENNADEVICH IVANOV

Volga State University of Technology

Email: IvanovOG@volgatech.net
Russia, 424000, the Republic of Mari El, Yoshkar-Ola, Lenin Sq., b.3

Cand. Sc, Assistant professor, Associate professor of the De- partment of Strength of Materials and Applied Mechanics, the Volga State University of Technology. He is the author of 35 scientific articles, 1 monograph, 6 names of educational literature. General research interests: Strength and stability analyses of the physically nonlinear plates and plate systems resting on elastic foundation.

ANASTASIA SERGEEVNA IVANOVA

Volga State University of Technology

Email: ivanova-a-s@list.ru
Russia, 424000, the Republic of Mari El, Yoshkar-Ola, Lenin Sq., b.3

aspirant, senior lecturer of the Department of Strength of Materials and Applied Mechanics, the Volga State University of Technology. Scientific adviser - Doctor of Science, Professor Ivanov S. P., the Volga State University of Technology. At the present time she works on the Candidate's dissertation «The dynamic stability of physically nonlinear rods, plates and plate systems» in the specialty 05.23.17 - « Structural Mechanics». She is the author of 15 scientific articles, 1 name of educational literature. General research interests: Stability analyses of the physically nonlinear rods, plates and plate systems

  • Volmir, A.S. (1967). Stability of deformable systems, Moscow: Science. 984 p. (In Russ.)
  • Aydin Komur, M., Sonmez, M. (2015). Elastic buckling behavior of rectangular plates with holes subjected to partial edge loading, Journal of Constructional Steel Research. Vol. 112. P. 54—60.
  • Nazarimofrad, E., Barkhordar, A. (2016). Buckling analysis of orthotropic rectangular plate resting on Pasternak elastic foundation under biaxial in-plane loading, Mechanics of Advanced Materials and Structures. Vol. 23. No 10. P. 1144—1148.
  • Upadhyay, A.K., Shukla, K.K. (2013). Post-buckling of composite and sandwich skew plates, Jnt. J. Non-Linear Mech. Vol. 55. P. 120—127.
  • Kolmogorov, G.L., Zibrova, E.O. (2015). Questions of the stability of anisotropic plates, Applied Mathematics and Control Sciences. No 4. P. 36—42. (In Russ.)
  • Trushin, S.I., Zhuravleva, T.A., Sysoeva, E.V. (2013). The stability of nonlinear deformable cylindrical composite shells under non-uniform loads, Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. No 2. P. 3—10. (In Russ.)
  • Vlasov, V.Z. (1958). Tonkostennye prostranstvennye sistemy, Moscow: Gosstrojizdat. 502 p. (In Russ.)
  • Vajnberg, D.V., Vajnberg, E.D. (1959). Plastiny, diski, balki-stenki. Prochnost', ustojchivost' i kolebanija, Kiev: Gosstrojizdat. 1052 p. (In Russ.)

Views

Abstract - 204

PDF (Russian) - 38


Copyright (c) 2017 IVANOV S.P., IVANOV O.G., IVANOVA A.S.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.