УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИН ПОД ДЕЙСТВИЕМ СДВИГАЮЩИХ НАГРУЗОК

Полный текст

Пластины находят широкое применение в строительстве, машиностроении и в других областях техники. На практике пластины подвергаются различным воздействиям (например, действию сдвигающих нагрузок). Поэтому задачи расчета на устойчивость пластин под действием сдвигающих нагрузок являются важными для науки и практики. Исследованиям устойчивости пластин и оболочек посвящены работы многих авторов [1-6]. Цель настоящей работы заключается в разработке метода расчета на устойчивость пластин под действием сдвигающих нагрузок, приложенных в срединной плоскости. Рассмотрим пластину в плане (рис. 1), на которую действует сдвигающая нагрузка S, приложенная в срединной плоскости. Рис. 1. Общая схема пластины в плане с действующей нагрузкой Функцию прогибов w(x,y) пластины представим в виде разложения по В.З. Власову [7]: (1) где - обобщенные перемещения, которые определяются из решения задачи; - функции поперечного распределения прогибов (координатные функции), которые задаются из физического смысла задачи. Запишем выражения для изгибающих моментов Мх, Му и крутящего момен- та Мху: (2) где - цилиндрическая жесткость пластины, ? - толщина пластины, Е, ? - соответственно модуль упругости и коэффициент Пуассона материала. Введем обозначения: (3) Составим выражение полной энергии: (4) где с учетом (1) имеем: (5) Используя (1), (2) и (5), определим экстремальное значение полной энер- гии П с помощью уравнений Эйлера-Лагранжа: (6) где F - подынтегральная функция в выражении (4). Раскрывая (6), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для расчета на устойчивость пластин под действием сдвигающих нагрузок: (7) где а* - общая длина сторон пластины, на которые действует сдвигающая нагрузка S. Коэффициенты уравнений (7) имеют вид: (8) Полученные уравнения (7) можно применять для расчета на устойчивость пластин с различными граничными условиями на краях. В качестве примера выполним расчет на устойчивость шарнирно-опертой по контуру прямоугольной пластины, на которую действует сдвигающая нагрузка S, приложенная в срединной плоскости (рис. 1). Для расчета принимаем два члена ряда: (9) Координатные функции имеют вид: (10) Выбранные функции полностью удовлетворяют граничным условиям: при х = 0 и х = а сами функции и их вторые производные равны нулю. Система дифференциальных уравнений (7) состоит из двух уравнений: (11) Коэффициенты уравнений (11) определяются по формулам (8), некоторые из коэффициентов принимают нулевое значение: В результате получаем уравнения (11) в упрощенном виде: (12) Граничные условия в направлении оси у: при у = 0 и у = b имеем: (13) Систему уравнений (12) можно решать в рядах, принимая в первом приближении: (14) Ортогонализируем уравнения (12). Умножаем первое уравнение на выражение , а второе - на выражение , затем интегрируем в пределах от 0 до b. Для квадратной пластины (b = a) составляем определитель относительно неизвестных W11, W22 и получаем значение критической силы: (15) Значения по табличным данным [8]: (16) Значение критической силы, полученное с помощью данного метода, превышает табличное значение примерно на 11%. Результаты проведенных расче- тов в точности совпадают с результатами, полученными А.С. Вольмиром [1] на основе двойных тригонометрических рядов. Более точное решение данной задачи можно получить при непосредствен- ном интегрировании системы уравнений (12) численно. Для этого в первое уравнение вводится слагаемое, которое связано с малым значением поперечной нагрузки и учитывает начальное несовершенство пластины. Поскольку данная задача является краевой задачей, т.е. известные граничные условия находятся на разных краях, то для численного решения систему дифференциальных уравнений (12) сводим к системе дифференциальных уравнений первого порядка и решаем задачу Коши с начальными условиями: (17) Неизвестные условия ri на производных подбираются таким образом, что- бы на другом краю с определенной точностью выполнялись условия: (18) Для подбора неизвестных ri используется итерационный метод Ньютона. Задаваясь приращением сдвигающей нагрузки S пошагово, каждый раз интегрируем дифференциальные уравнения (12) совместно с начальными условиями (17). Решаем краевую задачу с помощью программы, составленной на языке Фортран (для численного интегрирования применяем метод Рунге-Кутта). По результатам расчетов построена кривая зависимости перемещения w от нагрузки S (при w, стремящемся к бесконечности, находим Sкр.). Получено значение критической нагрузки, достаточно близкое к табличным данным [8]. Таким образом, дифференциальные уравнения, полученные на основе вариационного метода В.З. Власова, позволяют достаточно точно рассчитывать на устойчивость пластины под действием сдвигающих нагрузок, приложенных в срединной плоскости.

Об авторах

СЕРГЕЙ ПАВЛОВИЧ ИВАНОВ

Поволжский государственный технологический университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: sp-ivanov@mail.ru
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой сопротивления материалов и прикладной механики, Поволжский государственный технологический университет; профессор кафедры электромеханики, Марийский государственный университет. Опубликовал 147 научных статей, 2 монографии, 4 учебника, 20 наименований учебно- методической литературы. Научные интересы: расчеты на прочность, устойчивость и колебания физически и геометрически нелинейных стержней, пластин и пластинчатых систем Йошкар-Ола, пл. Ленина, д.3

ОЛЕГ ГЕННАДЬЕВИЧ ИВАНОВ

Поволжский государственный технологический университет

Email: IvanovOG@volgatech.net
кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры со- противления материалов и прикладной механики, Поволжский государственный технологический университет. Опубликовал 35 научных статей, 1 монографию и 6 наименований учебно- методической литературы. Научные интересы: расчеты на прочность и устойчивость физически нелинейных пластин и пластинчатых систем, контактирующих с упругой средой. 424000, г. Йошкар-Ола, пл. Ленина, д.3, e-mail: IvanovOG@volgatech.net ИВАНОВА АНАСТАСИЯ СЕРГЕЕВНА, аспирант, старший преподаватель кафедры сопротивления материалов и прикладной механики, Поволжский государственный технологический университет. Научный руководитель - д.т.н., проф. Иванов С.П. Йошкар-Ола, пл. Ленина, д.3

АНАСТАСИЯ СЕРГЕЕВНА ИВАНОВА

Поволжский государственный технологический университет

Email: ivanova-a-s@list.ru
аспирант, старший преподаватель кафедры со- противления материалов и прикладной механики, Поволжский государственный технологический университет. Научный руководитель - д.т.н., проф. Иванов С.П., Поволжский государственный технологический университет. В настоящее время работает над кандидатской диссертацией «Динамическая устойчивость физически нелинейных стержней, пластин и пластинчатых систем» по специальности 05.23.17 - «Строительная механика». Опубликовала 15 научных статей и 1 учебное пособие. Научные интересы: расчеты на устойчивость физически нелинейных стержней, пластин и пластинчатых систем Йошкар-Ола, пл. Ленина, д.3

Список литературы