ON INITIAL POSTBUCKLING EQUILIBRIUM AND MINIMUM ENERGY BARRIER OF AXIALLY COMPRESSED CYLINDRICAL SHELL

Cover Page

Abstract


The features of formation of the initial postbuckling equilibrium of axially compressed elastic circular cylindrical shell are studied in geometrically nonlinear formulation. The character of energy barrier change with the variation of axial load is computed.


Прошло сто лет с момента появления первых теоретических решений С.П. Тимошенко и Р. Лоренца для критической силы. Однако до сих пор проектировщики не имеют достаточ- но обоснованной величины проектной сжимающей нагрузки. Надежды иссле- дователей на возможность использования для этой цели нижней или верхней критических нагрузок не оправдались. В последнее время повысился интерес к определению минимального энергетического барьера (для исходного равнове- сия центрального сжатия) по отношению к некоторым внешним поперечным воздействиям и возмущениям. В настоящей работе рассмотрены особенности определения минимального энергетического барьера Е? в зависимости от вели- чины сжимающей нагрузки Р. Однако здесь неизбежно всплывает проблема оп- ределения начального послекритического равновесия (перед хлопком), а также некоторые особенности трансформации первых собственных форм потери ус- тойчивости оболочки. 1. Формирование начального послекритического равновесия. Задача устойчивости продольно сжатой цилиндрической оболочки рас- сматривается в геометрически нелинейной постановке, в условиях кинематиче- ского нагружения. Вследствие развития осесимметричного краевого эффекта в приопорных зонах оболочки эта задача оказывается существенно нелинейной. Данная особенность проявляется в двух моментах: 1) Вычисленная и экспериментальная максимальные нагрузки сжатия ( - верхняя критическая нагрузка) для идеальной оболочки не достигают классического значения Здесь Е - модуль упругости, ? - толщина оболочки, ? - коэффициент Пуас- сона. Эта нагрузка, как правило, составляет (0,91-0,95)Ркр.кл, что подтверждено экспериментами и вычислениями Н. Ямаки [1], Р. Теннисон [2], Р. Тилеманна [3]. Вычисления авторов величины при помощи МКЭ подтверждают ука- занную особенность. На рис. 1 показана известная условная характеристика оболочки при кинематическом нагружении. Пунктирные линии - это линии возможных хлопков при нагрузках , Ркр.кл при условиях сохранения осевых укорочений оболочки, достигнутых при максимальном сжатии. 2) В состоянии предкритического равновесия среди первых собственных форм нет осесимметричных. Поэтому ни в экспериментах, ни в расчетах с уче- том геометрической нелинейности среди начальных послекритических равнове- сий отсутствуют осесимметричные формы. Объяснение этого факта - из-за раз- вития осесимметричного краевого эффекта краевая задача устойчивости стано- вится неоднородной по отношению к осесимметричным деформациям. 3) Рис. 1. Характеристики оболочки при кинематическом сжатии: а) общая условная характеристика; б) определение максвелловой силы; в) график изме- нения седловых равновесий оболочки с одиночной вмятиной В отношении собственных значений для предкритического равновесия есть основания считать их попарно кратными. Дискретизация задачи расщепляет двукратные числа в попарно близкие, соответствующие двум одинаковым соб- ственным формам, повернутым вокруг оси оболочки относительно друг друга на 90°. Известно, что в случае простой критической нагрузки для послекритиче- ского равновесия справедливо асимптотическое разложение В. Койтера [4] и Б. Будянского [5]: Wпослекр.= Wпредкр.+ ?W10 +?2W2+?3W3+ …. , (1) где ? - малый параметр, W10 - первая "нулевая" собстенная форма производной нелинейного оператора, W2 и W3 - последующие члены разложения, которые находятся из решения вспомогательных краевых задач [4]. При очень малых ? (?2< n0=0, 1, 2). Кроме того, среди предкритических собственных форм нет форм и ромбо-треугольными вмятинами. Это значит, что такие вмя- тины не образуются в начальном послекритическом равновесии (перед хлоп- ком). В действительности ромбо-треугольные вмятины появляются на оболочке лишь после хлопка по нагрузке (кинематическое нагружение). Подробно обра- зование ромбо-треугольных вмятин рассмотрено в [10, 11]. Наконец, как уже указывалось, одно из главных отличий - отсутствие осе- симметричных собственных форм для предкритического равновесия. Так для модельной оболочки №2 (L/R=4, Рнелв=35600 кг) осесимметричная собственная форма была «первой» вплоть до нагрузки 25000 кг, но уже при Р=30000 кг это формы не оказалось вреди первых десяти собственных форм. Исключение составляют задачи устойчивости для "длинных" оболочек (без торцевых опор), в которых не развивается приопорный краевой эффект, и, сле- довательно, существуют осесимметричные собственные формы потери устой- чивости для предкритического равновесия. Все дело в том, что в нелинейной системе, какой является продольно сжатая закрепленная цилиндрическая обо- лочка, в процессе нагружения собственные формы потери устойчивости "кон- курируют" между собой за право соответствовать наименьшему собственному значению матрицы Якоби. В предкритическом равновесии "побеждает" та фор- ма, которая первой становится "нулевой". Именно эта форма и определяет со- гласно (2) форму начального послекритического равновесия. Для точки бифуркации реализация соотношения (2) применительно к упо- мянутой модельной оболочке №1 показана на рис. 4. Рис.4. Формирование начального послекритического равновесия: а) после точки бифуркации; б), в) после прохождения предельной точки Отметим, что для оболочек в точке бифуркации каждая "нулевая" собст- венная форма должна быть ортогональной к предкритическому равновесию: (W предкр•Wi0) = 0 [12]. Кроме того важным является предложенный авторами энергетический кри- терий бифуркационной потери устойчивости [7, 13], который заключается в ор- тогональности вектора нагрузок Р и «нулевого» собственного вектора : (3) Иначе говоря, в точке бифуркации работа внешних сил на перемещениях, задаваемых «нулевой» собственной формой потери устойчивости должны рав- няться нулю. Это необходимый и достаточный признак бифуркации. Подробнее об этом см. [6, 7, 11, 13]. Если он не выполняется то потеря устойчивости исходного равновесия произойдет в предельной точке. Для этой критической точки соотношение (2) имеет свои особенности: 1) Если предельная точка близка к точке бифуркации, то соответствующая «предкритическая» собственная форма сохраняет "следы" бифуркационной собственной формы. Тогда начальное послекритическое равновесие в отдель- ных деталях волнообразования «напоминает» начальное послебифуркационное равновесие (рис. 4, б, ). 2) Если же предельная точка развивается при нагрузке, сильно отличающей- ся от бифуркационной (или не связана вообще с точкой бифуркации), то тогда «нулевая» собственная форма практически повторяет форму предкритического равновесия. Соответственно, и начальное послекритическое равновесие будет пропорционально предкритическому равновесию (рис. 4, в, ). Почти всегда начальное послекритическое ранвовесие заканчивается хлоп- ком (исключение составляют очень короткие оболочки). Подробный анализ об- разования ромбо-треугольных вмятин в процессе хлопка, а также особенности развития послехлопкового равновесия рассмотрены в работах автором [10, 11]. 2. Определение энергетического барьера В последние 30 лет усилился интерес к энергетическому критерию Тзяня [14, 15] и определению наименьшего энергетического барьера для исходного равновесия осесимметричного сжатия цилиндрической оболочки. Тзянь [] установил на основании работы К. Фридрихса [16], что для ци- линдрической оболочки существует некоторая промежуточная нагрузка Р=РМ< Ркр.кл (так называемая максвеллова сила или критериальная энергетическая сила по Тзяню), при которой полная энергия исходного равновесия будет равна энергии далекого устойчивого (послехлопкового) и сильно деформированного равновесия (точки 1 и 3 на рис. 1, в). Так будет, если равны между собой пло- щади ?2>0 и ?3<0 под условной кривой равновесий и над ее устойчивой частью. Тзянь считал, что если нагрузка сжатия Р больше максвелловой силы (Р>РМ), то за счет влияния неизбежных начальных несовершенств и неидеальности экс- перимента оболочка из исходного равновесия обязательно "прощелкнет" в упо- мянутое далекое и сильно деформированное равновесие (точка 3' на рис. 1, в). Однако это оказалось ошибочным предположением, за что Тзянь извинился в статье в 1947 г. [17]. Для перескока необходимо предварительно вывести обо- лочку в некоторое седловое (неустойчивое) равновесие на энергетическом во- доразделе при помощи внешнего возмущения. Рассмотрим серию кривых неус- тойчивых закритических равновесий, вычисленных Р.Джонсом [18] для весьма тонкостенной оболочки (R/?=787, рис. 5). Здесь каждое число определяет коли- чество поперечных волн n, соответствующего равновесия. Самые нижние кри- вые (n = 8, 9, 10) совпали с результатами вычислений Алмроса и были весьма близки к экспериментальным кривым В. Тилемана [3]. Каждая из этих кривых при определенных значениях нагрузки сжатия ока- зывается «энергетически» ближайшей к исходному равновесию. Чтобы пере- вести сжатую оболочку в любое из упомянутых «ближайших» седловых равно- весий, необходимо дополнительно укоротить ее за счет развития изгибных де- формаций (соответствующих данной форме при неизменной нагрузке Р). Энер- гетический барьер Е? определяется дополнительной частью полной энергии, равной потенциальной энергии деформаций изгиба минус возможная работа ТР нагрузки сжатия Р на дополнительном укорочении оболочки: Е? = Пэ изг - ТР. Долгое время этот энергетический барьер считался минимальным для ис- ходного равновесия. Однако за последние 40 лет с помощью эксперименталь- ных и теоретических исследований было показано, что при нагрузках выше максвелловой силы (Р>РМ) величина минимального энергетического барьера равновесия центрального сжатия цилиндрической оболочки резко снижается (М. Эсслингер, Б. Гейер [19] - эксперимент, Дж. Хант и его сотрудники [20-24] - численные результаты, Дж.М.Т. Томпсон [25] и др.). Рис. 5. Кривые неустойчивых закритических равновесий оболочки В. Тилемана соглас- но работе Р. Джонса Рис. 6. Результаты Ю. Хорака и соавторов: а) вмятина седлового равновесия и кривая изменения энергетического барьера; б) последовательность перехода оболочки в дале- кое сильнодеформированное равновесие В 2006 г. Ю. Хорак и его соавторы [26] строго доказали существование до- полнительных седловых равновесий в виде одиночной вмятины на поверхности оболочки при нагрузках выше максвелловой силы (рис. 6). Эти равновесия ока- зываются энергетически ближе к исходному равновесию, чем описанные выше неустойчивые "периодические" равновесия (рис. 1, в). Кроме того, в работе [26] описан численный алгоритм типа спуска с использованием конечных разностей для определения местоположения указанной седловой одиночной вмятины. Как только оболочка попадает в такое неустойчивое равновесие, она немедленно прохлопывает в далекое и сильно деформированное состояние, означающее ее фактическое разрушение (рис. 1, г нижняя кривая). Но получить описанную одиночную вмятину можно лишь при помощи внешнего воздействия в виде "поперечного сосредоточенного вдавливания" в наиболее "слабой" точке поверхности оболочки. При одинаковых торцевых граничных условиях, наиболее слабые (в смысле изгибной жесткости) точки образуют "среднюю линию" по высоте цилиндрической оболочки. Для модель- ной оболочки №2 (L/R=4, R/?=250, E=104 кг/мм2, ?=0,3, ?=1 мм) с шарнирно закрепленными торцевыми сечениями приложение сосредоточенной силы Q в одной из указанных точек (при нагрузке сжатия Р=16000 кг) приводит к посте- пенному развитию вмятины по глубине и расширению ее по поверхности обо- лочки. При достижении критических размеров вмятины ?кр (или критического значения силы Qкр(?кр)) произойдет местная потеря устойчивости оболочки в предельной точке и оболочка перейдет в седловое равновесие на энергетиче- ском водоразделе. Здесь собственная форма наименьшей жесткости (рис. 7, а) повторяет форму вмятины в предкритическом равновесии. Поэтому начальное послекритическое равновесие (т.е. указанное седловое равновесие) образуется так, как это показано на рис. 4, в, форма вмятины (рис. 8, а) фактически повто- ряет форму предкритической вмятины, полученной Ю. Хораком и его соавто- рами (рис. 6, б). Отметим, что две следующие собственные формы (рис. 7, б, в) определяют возможность бифуркационной потери устойчивости, поскольку формы кососимметричные и перемещение под силой Q равно нулю. Следова- тельно выполняется энергетический признак бифуркации (3). Четвертая собст- венная форма (рис. 7, г) вновь соответствует потере устойчивости в предельной точке. Рис. 7. Собственные формы потери устойчивости оболочки при поперечном вдавлива- нии (Р=16000 кг): а) и г) в предельных точках; б) и в) в точках бифуркации Что касается энергетического барьера, то еще в 1970 г. В.Г. Паламарчук [27] высказал утверждение, согласно которому при поперечном воздействии на сжатую цилиндрическую оболочку развитие ее деформаций идет по пути пре- одоления минимального энергетического барьера. Для определения этого барь- ера удобно воздействовать на оболочку сосредоточенным кинематическим вдавливанием ?. Тогда реактивная сила Q(?) будет сначала возрастать, достиг- нет максимума, а затем уменьшаться (рис. 8, а, б). Рис. 8. Определение максвелловой силы и энергетического барьера модельной оболоч- ки: а) определение максвелловой силы, седловое равновесие на водоразделе и послех- лопковое; б) графики изменения реактивной силы при различных нагрузках сжатия; в) кривая изменения энергетического барьера В момент, когда эта сила станет равной нулю, глубина вмятины окажется критической (? = ?кр), оболочка потеряет устойчивость в предельной точке и перейдет в неустойчивое послекритическое равновесие с вмятиной (т.е. в сед- ловое равновесие на водоразделе). Далее при одностороннем поперечном вдав- ливании (сила Q(?) только сжимающая) произойдет хлопок в далекое сильно деформированное устойчивое равновесие (рис. 8, а). Величина энергетического барьера Е? определяется как площадь под кривой реактивной силы Q(?): Для рассматриваемой модельной оболочки №2 на графиках изменения ре- активной силы Q(?) (рис. 8, б) показан процесс поиска максвелловой силы РМ. Пока сжимающая нагрузка Р меньше РМ, кривые Q(?) не пересекают нулевую ось Q=0, а величина Е?, вообще говоря, неограниченная (или очень большая). Как только кривая Q(?) коснется нулевой оси при ? = ?кр площадь под кривой Q(?) становится конечной. Это позволяет определить величину наименьшего энергетического барьера исходного равновесия по отношению к описанному кинематическому вдавливанию. Для рассматриваемой оболочки касание этой кривой впервые произошло при нагрузке Р?14600 кг. Следовательноэта нагруз- ка и есть максвеллова сила. Выполнив построение кривых Q(?) при других нагрузках, больших мак- свелловой силы (рис. 8, б) и определив площадь под каждой кривой на отрезках между двумя нулевыми значениями реактивной силы, получим значения мини- мальных энергетических барьеров Е?(Р) в зависимости от величины нагрузки Р. С увеличением нагрузки сжатия энергетический барьер достаточно круто пада- ет (рис. 8, в). Характер этого графика совпадает с кривой изменения барьера Е?(Р), полученной в работе [26] рис. 6, а Аналогичным образом было вычислено значение максвелловой силы для реальной дюралюминиевой оболочки (рис. 9, а). Здесь максвеллова сила РМ ока- залось равной ~115 кг при Рнелв=370 кг. При нагрузке Р=130 кг > РМ оболочка была выведена кинематическим вдавливанием на энергетический водораздел (седловое равновесие, глубина вмятины ? 1 мм, рис. 9, в), а затем она прохлоп- нула в далекое устойчивое и сильно деформированное равновесие с глубиной более обширной вмятины ? ? 13 мм (рис. 9, б.). Рис. 9. Максвеллова сила и послехлопковое равновесие алюминиевой оболочки: а) гео- метрия оболочки; б) седловое и послехлопковое равновесия; в) поиск максвелловой силы. Рис. 10. Исследование майларовой оболочки М. Эсслингер и Б. Гейером: а) кривая из- менения глубины критического поперечного вдавливания; б) определение максвелловой силы Далее были численно подтверждены экспериментальные результаты кине- матического вдавливания при разных нагрузках сжатия майларовой оболочки с заделанными торцевыми сечениями, полученные М. Эсслингер и Б. Гейером [19]. Здесь обращает на себя внимание факт резкого уменьшения глубины кри- тического вдавливания в очень узком диапазоне сжимающих нагрузок (между Р?50 кг и Р?52 кг, рис. 10, а). Следовательно в указанном диапазоне сжатия так же резко уменьшился энергетический барьер исходного равновесия за счет по- явления новых седловых решений (при Р>РМ). Численные расчеты авторов дан- ной работы показали, что максвеллова сила для рассматриваемой оболочки рав- на ?56 кг. Соответствующие кривые развития реактивного усилия вдавливания Q(?) при нагрузках сжатия Р = 30, 50, 55, 56 и 60 кг (рис. 10, б) показывают, что при нагрузках, меньших 56 кг, усилие вдавливания Q сохраняет свой знак, а при Р = 56 кг значение Q(?кр) = 0 при критической глубине вдавливания ?кр ?8?, (?=0,254 мм - толщина оболочки). В заключение приведем основные результаты, полученные в этой работе: 1) Впервые детально рассмотрен процесс формирования начального по- слекритического равновесия продольно сжатой цилиндрической оболочки (как для идеальной оболочки, теряющей устойчивость в точке бифуркации, так и для оболочки с начальными несовершенствами (предельная точка)). 2) При анализе собственных форм потери устойчивости показано, что вследствие развития нелинейного осесимметричного краевого эффекта, среди указанных форм предкритического равновесия закрепленной оболочки нет и не может быть осесимметричных собственных форм. Поэтому начальное послек- ритическое равновесие такой оболочки не может быть осесимметричным, что подтверждено экспериментами и вычислениями. 3) Рассмотрены вычислительные особенности определения максвелловой силы и минимального энергетического барьера. Дано сравнение численных ре- зультатов авторов с экспериментальными результатами и теоретическими пред- ставлениями других исследователей.

G A Manuylov

Moskovskiy Gosudarstvennyj Universitet Putey Soobscheniy (MIIT), Moscow

Author for correspondence.
Email: noxonius@mail.ru
127994, г. Москва, ул. Образцова, д 9, стр. 9

к.т.н., доцент

M M Begichev

Moskovskiy Gosudarstvennyj Universitet Putey Soobscheniy (MIIT), Moscow

Email: noxonius@mail.ru
127994, г. Москва, ул. Образцова, д 9, стр. 9

к.т.н.

  • Yamaki, N. (1984). Elastic stability of circular cylindrical shells. Applied Mathematics and Mechanics, Elsevier, Amsterdam, Netherlands.Vol. 27. 500 p.
  • Tennyson, R.C. (1963). A Note on the Classical Buckling Load of Circular Cylindrical Shells Under Axial Compression, AIAA Journal. Vol. 1 (№9). 2194—2196.
  • Thielemann, W.F. (1962). On the postbuckling behavior, NASA Techn. Note, №D-1510. P. 203—216.
  • Koiter, W.T. (1967). On the Stability of Elastic Equilibrium, NASA Technical Translation F-10, 833, Clearinghouse, US Dept. of Commerce, Nat. Bur. of Standards. N67—25033.
  • Budiansky, B. (1967). Dynamic buckling of elastic structures: criteria and estimates, Dynamic stability of structures, edited by G. Hermann, Pergamon, Oxford. P. 83—106.
  • Manujlov, G.A., Begichev, M.M. (2015). O mehanizme poteri ustojchivosti krugovoj prodol'no szhatoj cilindricheskoj obolochki. Trudy seminara «Sovremennye problemy mehaniki, jenergojeffektivnost' sooruzhenij i resursosberegajushhie tehnologii». Moskva. RUDN. Sept. 15 – 17, 2015, M.: Izd-vo RUDN. 2015. P. 82—92.
  • Manujlov, G.A., Kositsyn, S.B., Begichev, M.M. (2015). O kriticheskih i poslekriticheskih ravnovesijah v zadachah ustojchivosti uprugih system, Stroitel'naja Mehanika Inzhenernyh Konstrukcij i Sooruzhenij. №5. P. 47—54.
  • Ispravnikov, L.R. (1955). Jeksperimental'noe issledovanie ustojchivosti cilindricheskoj obolochki pri osevom szhatii, kruchenii i poperechnom davlenii, Trudy Krasnoznamennoj ordena Lenina Voenno-vozdushnoj inzhenernoj akademii im. Prof. N.E. Zhukovskogo; Vyp. 535, pod. red. A.S. Vol'mira. M.: Akademija. 38 p.
  • Kanemitsu, S, Nojima, N. (1939). Axial compression test of thin circular cylinders. A. Length effect. B. Visual study of buckling, Master's thesis. California Institute of Technology. 60 p.
  • Manujlov, G.A, Kositsyn, S.B., Begichev, M.M. (2016). O javlenii poteri ustojchivosti prodol'no szhatoj krugovoj cilindricheskoj obolochki. Chast' 1: O poslekriticheskom ravnovesii obolochki, International J. for Computational Civil and Structural Engineering, Vol. 12(3). P. 58—72.
  • Manujlov, G.A., Kositsyn, S.B., Begichev, M.M. (2016). Jenergeticheskaja ocenka maksimal'noj prodol'no szhimajushhej sily v zadache ustojchivosti krugovoj cilindricheskoj, Aktual'nye problemy chislennogo modelirovanija zdanij, sooruzhenij i kompleksov, Tom 2, K 25-letiju Nauchno-issledovatel'skogo centra StaDiO: Monografija, Pod obshhej redakciej A.M. Belostockogo i P.A. Akimova, M.: Izd-vo ASV. P.533—547.
  • Potier-Ferry, M. (1979). Perturbed Bifurcation Theory, Journal of Differential Equations. 33. P. 112—146.
  • Manujlov, G.A., Zhukov, K.A., Kositsyn, S.B. (1989). Metod «neosobennyh prodolzhenij» v zadachah ustojchivosti nelinejno deformiruemyh uprugih system, Stroitel'naja mehanika i raschet sooruzhenij. №5. P. 68—72.
  • Karman, T.V., Tsien, H.S. (1941). The buckling of thin cylindrical shells under axial compression, J. Aero. Sci., Vol. 8. 303—312.
  • Tsien, H.S. (1942). Theory for the buckling of thin shells, J. Aero. Sci., 9. P. 373—384.
  • Friedrichs, K.O. (1941). On the minimum buckling load for spherical shells, Theodore von Kármán Anniversary Volume, California Institute of Technology, Pasadena, Calif.. P. 258—272.
  • Tsien, H.S. (1947). Lower Buckling Load in the Nonlinear Buckling Theory for Thin Shells, Quarterly of Applied Mathematics, Vol. 5, No 2, July 1947. P. 236—237.
  • Jones, R.M. (1963). Toward a New Snap-Through Buckling Criterion for Axially Compressed Circular Cylindrical Shells, AIAA Journal, Vol. 4, No. 9. P. 1526—1530.
  • Esslinger, M., Geier, B. (1974). Calculated postbuckling loads as lower limits for the buckling loads of thin-walled circular cylinders, Buckling of structures: Proceedings of the Symposium, Cambridge, Mass. P. 274—290.
  • Hunt, G.W., Lord, G.J., Champneys, A.R. (1999). Homoclinic and heteroclinic orbits underlying the post-buckling of axially-compressed cylindrical shells, Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 170. P. 239—251.
  • Hunt, G.W., LucenaNeto, E. (1993). Maxwell critical loads for axially loaded cylindrical shells. ASME, J. Appl. Mech., 60(3). P. 702—706.
  • Hunt, G.W. (2011). Reflections and symmetries in space and time. IMA Journal of Applied Mathematics, 76. P. 2—26.
  • Hunt, G.W., Lord, G.J., Peltier, M.A. (2003). Cylindrical shell buckling: a characterization of localization and periodicity. Discrete & Continuous Dynamical Systems, Series B, 3. P. 505—518.
  • Budd, C.J., Hunt, G.W., Kuske, R. (2001). Asymptotics of cellular buckling close to the Maxwell load. Proc. R. Soc. A, 457. P. 2935—2964.
  • Thompson, J.M.T., Van der Heijden, G.H.M. (2014). Quantified “shock-sensitivity” above the Maxwell load. Int. J. Bifurcation and Chaos, 24 (3). 14 p.
  • Horak, J., Lord, G.J., Peletier, M.A. (2006). Cylinder buckling: the mountain pass as an organizing centre, SIAM J. Appl. Math., 66. P. 1793—1824.
  • Palamarchuk, V.G. (1970). Process vypuchivanija krugovoj cilindricheskoj obolochki pri osevom szhatii. Trudy Sed'moj Vsesojuznoj Konferencii po Teorii Obolochek i Plastin, M.: Nauka. P. 460—464.

Views

Abstract - 121

PDF (Russian) - 298


Copyright (c) 2017 МАНУЙЛОВ Г.А., БЕГИЧЕВ М.М.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.