О НАЧАЛЬНОМ ПОСЛЕКРИТИЧЕСКОМ РАВНОВЕСИИ ПРОДОЛЬНО СЖАТОЙ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ И МИНИМАЛЬНОМ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОМ БАРЬЕРЕ

Полный текст

Прошло сто лет с момента появления первых теоретических решений С.П. Тимошенко и Р. Лоренца для критической силы. Однако до сих пор проектировщики не имеют достаточ- но обоснованной величины проектной сжимающей нагрузки. Надежды иссле- дователей на возможность использования для этой цели нижней или верхней критических нагрузок не оправдались. В последнее время повысился интерес к определению минимального энергетического барьера (для исходного равнове- сия центрального сжатия) по отношению к некоторым внешним поперечным воздействиям и возмущениям. В настоящей работе рассмотрены особенности определения минимального энергетического барьера Е? в зависимости от вели- чины сжимающей нагрузки Р. Однако здесь неизбежно всплывает проблема оп- ределения начального послекритического равновесия (перед хлопком), а также некоторые особенности трансформации первых собственных форм потери ус- тойчивости оболочки. 1. Формирование начального послекритического равновесия. Задача устойчивости продольно сжатой цилиндрической оболочки рас- сматривается в геометрически нелинейной постановке, в условиях кинематиче- ского нагружения. Вследствие развития осесимметричного краевого эффекта в приопорных зонах оболочки эта задача оказывается существенно нелинейной. Данная особенность проявляется в двух моментах: 1) Вычисленная и экспериментальная максимальные нагрузки сжатия ( - верхняя критическая нагрузка) для идеальной оболочки не достигают классического значения Здесь Е - модуль упругости, ? - толщина оболочки, ? - коэффициент Пуас- сона. Эта нагрузка, как правило, составляет (0,91-0,95)Ркр.кл, что подтверждено экспериментами и вычислениями Н. Ямаки [1], Р. Теннисон [2], Р. Тилеманна [3]. Вычисления авторов величины при помощи МКЭ подтверждают ука- занную особенность. На рис. 1 показана известная условная характеристика оболочки при кинематическом нагружении. Пунктирные линии - это линии возможных хлопков при нагрузках , Ркр.кл при условиях сохранения осевых укорочений оболочки, достигнутых при максимальном сжатии. 2) В состоянии предкритического равновесия среди первых собственных форм нет осесимметричных. Поэтому ни в экспериментах, ни в расчетах с уче- том геометрической нелинейности среди начальных послекритических равнове- сий отсутствуют осесимметричные формы. Объяснение этого факта - из-за раз- вития осесимметричного краевого эффекта краевая задача устойчивости стано- вится неоднородной по отношению к осесимметричным деформациям. 3) Рис. 1. Характеристики оболочки при кинематическом сжатии: а) общая условная характеристика; б) определение максвелловой силы; в) график изме- нения седловых равновесий оболочки с одиночной вмятиной В отношении собственных значений для предкритического равновесия есть основания считать их попарно кратными. Дискретизация задачи расщепляет двукратные числа в попарно близкие, соответствующие двум одинаковым соб- ственным формам, повернутым вокруг оси оболочки относительно друг друга на 90°. Известно, что в случае простой критической нагрузки для послекритиче- ского равновесия справедливо асимптотическое разложение В. Койтера [4] и Б. Будянского [5]: Wпослекр.= Wпредкр.+ ?W10 +?2W2+?3W3+ …. , (1) где ? - малый параметр, W10 - первая "нулевая" собстенная форма производной нелинейного оператора, W2 и W3 - последующие члены разложения, которые находятся из решения вспомогательных краевых задач [4]. При очень малых ? (?2< n0=0, 1, 2). Кроме того, среди предкритических собственных форм нет форм и ромбо-треугольными вмятинами. Это значит, что такие вмя- тины не образуются в начальном послекритическом равновесии (перед хлоп- ком). В действительности ромбо-треугольные вмятины появляются на оболочке лишь после хлопка по нагрузке (кинематическое нагружение). Подробно обра- зование ромбо-треугольных вмятин рассмотрено в [10, 11]. Наконец, как уже указывалось, одно из главных отличий - отсутствие осе- симметричных собственных форм для предкритического равновесия. Так для модельной оболочки №2 (L/R=4, Рнелв=35600 кг) осесимметричная собственная форма была «первой» вплоть до нагрузки 25000 кг, но уже при Р=30000 кг это формы не оказалось вреди первых десяти собственных форм. Исключение составляют задачи устойчивости для "длинных" оболочек (без торцевых опор), в которых не развивается приопорный краевой эффект, и, сле- довательно, существуют осесимметричные собственные формы потери устой- чивости для предкритического равновесия. Все дело в том, что в нелинейной системе, какой является продольно сжатая закрепленная цилиндрическая обо- лочка, в процессе нагружения собственные формы потери устойчивости "кон- курируют" между собой за право соответствовать наименьшему собственному значению матрицы Якоби. В предкритическом равновесии "побеждает" та фор- ма, которая первой становится "нулевой". Именно эта форма и определяет со- гласно (2) форму начального послекритического равновесия. Для точки бифуркации реализация соотношения (2) применительно к упо- мянутой модельной оболочке №1 показана на рис. 4. Рис.4. Формирование начального послекритического равновесия: а) после точки бифуркации; б), в) после прохождения предельной точки Отметим, что для оболочек в точке бифуркации каждая "нулевая" собст- венная форма должна быть ортогональной к предкритическому равновесию: (W предкр•Wi0) = 0 [12]. Кроме того важным является предложенный авторами энергетический кри- терий бифуркационной потери устойчивости [7, 13], который заключается в ор- тогональности вектора нагрузок Р и «нулевого» собственного вектора : (3) Иначе говоря, в точке бифуркации работа внешних сил на перемещениях, задаваемых «нулевой» собственной формой потери устойчивости должны рав- няться нулю. Это необходимый и достаточный признак бифуркации. Подробнее об этом см. [6, 7, 11, 13]. Если он не выполняется то потеря устойчивости исходного равновесия произойдет в предельной точке. Для этой критической точки соотношение (2) имеет свои особенности: 1) Если предельная точка близка к точке бифуркации, то соответствующая «предкритическая» собственная форма сохраняет "следы" бифуркационной собственной формы. Тогда начальное послекритическое равновесие в отдель- ных деталях волнообразования «напоминает» начальное послебифуркационное равновесие (рис. 4, б, ). 2) Если же предельная точка развивается при нагрузке, сильно отличающей- ся от бифуркационной (или не связана вообще с точкой бифуркации), то тогда «нулевая» собственная форма практически повторяет форму предкритического равновесия. Соответственно, и начальное послекритическое равновесие будет пропорционально предкритическому равновесию (рис. 4, в, ). Почти всегда начальное послекритическое ранвовесие заканчивается хлоп- ком (исключение составляют очень короткие оболочки). Подробный анализ об- разования ромбо-треугольных вмятин в процессе хлопка, а также особенности развития послехлопкового равновесия рассмотрены в работах автором [10, 11]. 2. Определение энергетического барьера В последние 30 лет усилился интерес к энергетическому критерию Тзяня [14, 15] и определению наименьшего энергетического барьера для исходного равновесия осесимметричного сжатия цилиндрической оболочки. Тзянь [] установил на основании работы К. Фридрихса [16], что для ци- линдрической оболочки существует некоторая промежуточная нагрузка Р=РМ< Ркр.кл (так называемая максвеллова сила или критериальная энергетическая сила по Тзяню), при которой полная энергия исходного равновесия будет равна энергии далекого устойчивого (послехлопкового) и сильно деформированного равновесия (точки 1 и 3 на рис. 1, в). Так будет, если равны между собой пло- щади ?2>0 и ?3<0 под условной кривой равновесий и над ее устойчивой частью. Тзянь считал, что если нагрузка сжатия Р больше максвелловой силы (Р>РМ), то за счет влияния неизбежных начальных несовершенств и неидеальности экс- перимента оболочка из исходного равновесия обязательно "прощелкнет" в упо- мянутое далекое и сильно деформированное равновесие (точка 3' на рис. 1, в). Однако это оказалось ошибочным предположением, за что Тзянь извинился в статье в 1947 г. [17]. Для перескока необходимо предварительно вывести обо- лочку в некоторое седловое (неустойчивое) равновесие на энергетическом во- доразделе при помощи внешнего возмущения. Рассмотрим серию кривых неус- тойчивых закритических равновесий, вычисленных Р.Джонсом [18] для весьма тонкостенной оболочки (R/?=787, рис. 5). Здесь каждое число определяет коли- чество поперечных волн n, соответствующего равновесия. Самые нижние кри- вые (n = 8, 9, 10) совпали с результатами вычислений Алмроса и были весьма близки к экспериментальным кривым В. Тилемана [3]. Каждая из этих кривых при определенных значениях нагрузки сжатия ока- зывается «энергетически» ближайшей к исходному равновесию. Чтобы пере- вести сжатую оболочку в любое из упомянутых «ближайших» седловых равно- весий, необходимо дополнительно укоротить ее за счет развития изгибных де- формаций (соответствующих данной форме при неизменной нагрузке Р). Энер- гетический барьер Е? определяется дополнительной частью полной энергии, равной потенциальной энергии деформаций изгиба минус возможная работа ТР нагрузки сжатия Р на дополнительном укорочении оболочки: Е? = Пэ изг - ТР. Долгое время этот энергетический барьер считался минимальным для ис- ходного равновесия. Однако за последние 40 лет с помощью эксперименталь- ных и теоретических исследований было показано, что при нагрузках выше максвелловой силы (Р>РМ) величина минимального энергетического барьера равновесия центрального сжатия цилиндрической оболочки резко снижается (М. Эсслингер, Б. Гейер [19] - эксперимент, Дж. Хант и его сотрудники [20-24] - численные результаты, Дж.М.Т. Томпсон [25] и др.). Рис. 5. Кривые неустойчивых закритических равновесий оболочки В. Тилемана соглас- но работе Р. Джонса Рис. 6. Результаты Ю. Хорака и соавторов: а) вмятина седлового равновесия и кривая изменения энергетического барьера; б) последовательность перехода оболочки в дале- кое сильнодеформированное равновесие В 2006 г. Ю. Хорак и его соавторы [26] строго доказали существование до- полнительных седловых равновесий в виде одиночной вмятины на поверхности оболочки при нагрузках выше максвелловой силы (рис. 6). Эти равновесия ока- зываются энергетически ближе к исходному равновесию, чем описанные выше неустойчивые "периодические" равновесия (рис. 1, в). Кроме того, в работе [26] описан численный алгоритм типа спуска с использованием конечных разностей для определения местоположения указанной седловой одиночной вмятины. Как только оболочка попадает в такое неустойчивое равновесие, она немедленно прохлопывает в далекое и сильно деформированное состояние, означающее ее фактическое разрушение (рис. 1, г нижняя кривая). Но получить описанную одиночную вмятину можно лишь при помощи внешнего воздействия в виде "поперечного сосредоточенного вдавливания" в наиболее "слабой" точке поверхности оболочки. При одинаковых торцевых граничных условиях, наиболее слабые (в смысле изгибной жесткости) точки образуют "среднюю линию" по высоте цилиндрической оболочки. Для модель- ной оболочки №2 (L/R=4, R/?=250, E=104 кг/мм2, ?=0,3, ?=1 мм) с шарнирно закрепленными торцевыми сечениями приложение сосредоточенной силы Q в одной из указанных точек (при нагрузке сжатия Р=16000 кг) приводит к посте- пенному развитию вмятины по глубине и расширению ее по поверхности обо- лочки. При достижении критических размеров вмятины ?кр (или критического значения силы Qкр(?кр)) произойдет местная потеря устойчивости оболочки в предельной точке и оболочка перейдет в седловое равновесие на энергетиче- ском водоразделе. Здесь собственная форма наименьшей жесткости (рис. 7, а) повторяет форму вмятины в предкритическом равновесии. Поэтому начальное послекритическое равновесие (т.е. указанное седловое равновесие) образуется так, как это показано на рис. 4, в, форма вмятины (рис. 8, а) фактически повто- ряет форму предкритической вмятины, полученной Ю. Хораком и его соавто- рами (рис. 6, б). Отметим, что две следующие собственные формы (рис. 7, б, в) определяют возможность бифуркационной потери устойчивости, поскольку формы кососимметричные и перемещение под силой Q равно нулю. Следова- тельно выполняется энергетический признак бифуркации (3). Четвертая собст- венная форма (рис. 7, г) вновь соответствует потере устойчивости в предельной точке. Рис. 7. Собственные формы потери устойчивости оболочки при поперечном вдавлива- нии (Р=16000 кг): а) и г) в предельных точках; б) и в) в точках бифуркации Что касается энергетического барьера, то еще в 1970 г. В.Г. Паламарчук [27] высказал утверждение, согласно которому при поперечном воздействии на сжатую цилиндрическую оболочку развитие ее деформаций идет по пути пре- одоления минимального энергетического барьера. Для определения этого барь- ера удобно воздействовать на оболочку сосредоточенным кинематическим вдавливанием ?. Тогда реактивная сила Q(?) будет сначала возрастать, достиг- нет максимума, а затем уменьшаться (рис. 8, а, б). Рис. 8. Определение максвелловой силы и энергетического барьера модельной оболоч- ки: а) определение максвелловой силы, седловое равновесие на водоразделе и послех- лопковое; б) графики изменения реактивной силы при различных нагрузках сжатия; в) кривая изменения энергетического барьера В момент, когда эта сила станет равной нулю, глубина вмятины окажется критической (? = ?кр), оболочка потеряет устойчивость в предельной точке и перейдет в неустойчивое послекритическое равновесие с вмятиной (т.е. в сед- ловое равновесие на водоразделе). Далее при одностороннем поперечном вдав- ливании (сила Q(?) только сжимающая) произойдет хлопок в далекое сильно деформированное устойчивое равновесие (рис. 8, а). Величина энергетического барьера Е? определяется как площадь под кривой реактивной силы Q(?): Для рассматриваемой модельной оболочки №2 на графиках изменения ре- активной силы Q(?) (рис. 8, б) показан процесс поиска максвелловой силы РМ. Пока сжимающая нагрузка Р меньше РМ, кривые Q(?) не пересекают нулевую ось Q=0, а величина Е?, вообще говоря, неограниченная (или очень большая). Как только кривая Q(?) коснется нулевой оси при ? = ?кр площадь под кривой Q(?) становится конечной. Это позволяет определить величину наименьшего энергетического барьера исходного равновесия по отношению к описанному кинематическому вдавливанию. Для рассматриваемой оболочки касание этой кривой впервые произошло при нагрузке Р?14600 кг. Следовательноэта нагруз- ка и есть максвеллова сила. Выполнив построение кривых Q(?) при других нагрузках, больших мак- свелловой силы (рис. 8, б) и определив площадь под каждой кривой на отрезках между двумя нулевыми значениями реактивной силы, получим значения мини- мальных энергетических барьеров Е?(Р) в зависимости от величины нагрузки Р. С увеличением нагрузки сжатия энергетический барьер достаточно круто пада- ет (рис. 8, в). Характер этого графика совпадает с кривой изменения барьера Е?(Р), полученной в работе [26] рис. 6, а Аналогичным образом было вычислено значение максвелловой силы для реальной дюралюминиевой оболочки (рис. 9, а). Здесь максвеллова сила РМ ока- залось равной ~115 кг при Рнелв=370 кг. При нагрузке Р=130 кг > РМ оболочка была выведена кинематическим вдавливанием на энергетический водораздел (седловое равновесие, глубина вмятины ? 1 мм, рис. 9, в), а затем она прохлоп- нула в далекое устойчивое и сильно деформированное равновесие с глубиной более обширной вмятины ? ? 13 мм (рис. 9, б.). Рис. 9. Максвеллова сила и послехлопковое равновесие алюминиевой оболочки: а) гео- метрия оболочки; б) седловое и послехлопковое равновесия; в) поиск максвелловой силы. Рис. 10. Исследование майларовой оболочки М. Эсслингер и Б. Гейером: а) кривая из- менения глубины критического поперечного вдавливания; б) определение максвелловой силы Далее были численно подтверждены экспериментальные результаты кине- матического вдавливания при разных нагрузках сжатия майларовой оболочки с заделанными торцевыми сечениями, полученные М. Эсслингер и Б. Гейером [19]. Здесь обращает на себя внимание факт резкого уменьшения глубины кри- тического вдавливания в очень узком диапазоне сжимающих нагрузок (между Р?50 кг и Р?52 кг, рис. 10, а). Следовательно в указанном диапазоне сжатия так же резко уменьшился энергетический барьер исходного равновесия за счет по- явления новых седловых решений (при Р>РМ). Численные расчеты авторов дан- ной работы показали, что максвеллова сила для рассматриваемой оболочки рав- на ?56 кг. Соответствующие кривые развития реактивного усилия вдавливания Q(?) при нагрузках сжатия Р = 30, 50, 55, 56 и 60 кг (рис. 10, б) показывают, что при нагрузках, меньших 56 кг, усилие вдавливания Q сохраняет свой знак, а при Р = 56 кг значение Q(?кр) = 0 при критической глубине вдавливания ?кр ?8?, (?=0,254 мм - толщина оболочки). В заключение приведем основные результаты, полученные в этой работе: 1) Впервые детально рассмотрен процесс формирования начального по- слекритического равновесия продольно сжатой цилиндрической оболочки (как для идеальной оболочки, теряющей устойчивость в точке бифуркации, так и для оболочки с начальными несовершенствами (предельная точка)). 2) При анализе собственных форм потери устойчивости показано, что вследствие развития нелинейного осесимметричного краевого эффекта, среди указанных форм предкритического равновесия закрепленной оболочки нет и не может быть осесимметричных собственных форм. Поэтому начальное послек- ритическое равновесие такой оболочки не может быть осесимметричным, что подтверждено экспериментами и вычислениями. 3) Рассмотрены вычислительные особенности определения максвелловой силы и минимального энергетического барьера. Дано сравнение численных ре- зультатов авторов с экспериментальными результатами и теоретическими пред- ставлениями других исследователей.

Об авторах

ГАЙК АЛЕКСАНДРОВИЧ МАНУЙЛОВ

Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ)

Автор, ответственный за переписку.
Email: noxonius@mail.ru

к.т.н., доцент

127994, г. Москва, ул. Образцова, д 9, стр. 9

МАКСИМ МИХАЙЛОВИЧ БЕГИЧЕВ

Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ)

Email: noxonius@mail.ru

к.т.н.

127994, г. Москва, ул. Образцова, д 9, стр. 9

Список литературы