STRESS STATE CALLED AS "BOUNDARY LAYER" IS BOUNDARY TORSION OF THE RECTANGULAR PLATE

Cover Page

Abstract


Boundary value problem formulated for determining stress state of type "boundary layer" is identically to torsion deformation of edges, and its solution in a way bring to the Dirichlet's problem is given. As a result of calculations, the essential contribution of the boundary torsion stress-strain state to the general stress-strain state of a plate is shown, that is very important for the estimation of strength for various units in thin-walled elements of aircraft structures.

Введение Как известно[1, 2], для создания приближенных методов расчета пластин и оболочек, учитывающих трехмерность напряженного состояния, последнее час- то представляют в виде суммы внутреннего напряженного состояния и погра- ничного слоя. Под первым слагаемым подразумевается напряженное состояние, которое с известной степенью приближенности можно строить при помощи классической теории. В результате какого-либо уточнения последней появляет- ся пограничный слой - самоуравновешенное напряженное состояние, затухаю- щее, на основании принципа Сен-Венана, при удалении от края на расстояние, соизмеримое с толщиной пластинки или оболочки. Одним из возможных путей построения математически обоснованной тео- рии пластинок и оболочек, т. е. теории, позволяющей сколь угодно точно ап- проксимировать решение трехмерной задачи теории упругости, является при- менение асимптотических методов, приводящих, в конечном итоге, к представ- лению решения в виде рядов, расположенных по степеням малого параметра h?- относительной полутолщины пластинки и оболочки. Применяя метод прямого асимптотического интегрирования дифференци- альных уравнений трехмерной задачи теории упругости, А.Л. Гольденвейзер[3] свел задачу определения напряженного состояния изгибаемой изотропной пря- моугольной пластинки постоянной толщины к построению трех итерационных процессов. Первый из них - основной итерационный процесс, начальное при- ближение эквивалентно классической теории, определяет медленно затухающее или внутреннее напряженное состояние пластинки. Два других вспомогатель- ных итерационных процесса определяют быстро затухающие при удалении от края напряженные состояния, эквивалентные напряженным состояниям краево- го скручивания и краевой плоской деформации, определяемым решениями краевых задач, описываемыми гармоническим и бигармоническим уравнениями со специфическими граничными условиями. Решение этих краевых задач связа- но с математическими трудностями, не позволяющими применить эти результа- ты в практике инженерных расчетов. В связи с этим, в работах [1, 2, 4] с помощью вариационно- асимптотиче- ского метода построена приближенная теория расчета НДС прямоугольных пластинок из композиционных материалов, круглых пластинок и круговой ци- линдрической оболочки из изотропного материала постоянной и переменной толщины. На основании расчетов тонких пластинок и оболочек установлено, что вблизи жестко защемленного края дополнительные напряжения краевой плоской деформации одного порядка с максимальными значениями наиболь- ших напряжений. Кроме того, существенное значение приобретают поперечные нормальные и касательные напряжения, что очень важно при оценке прочности авиационных конструкций из слоистых композиционных материалов. С помощью этой теории разработан расчетный аппарат оценки прочности переходных зон конструкций, разностенных стыков, а также непрерывных со- единений [5,6] (фланцевых, сварных) при наличии в них дефектов в виде на- чальных трещин. Однако в этой приближенной теории не учитывается напря- женное состояние краевого кручения типа «пограничный слой». В связи с этим, в данной работе ставится задача о дополнении приближен- ной трехмерной теории расчета НДС прямоугольных пластинок самоуравно- вешенным быстро затухающим НДС - кручением жестко защемленного края. Дана окончательная формулировка краевой задачи для расчета НДС типа «по- гранслой», идентичного деформации краевого кручения, и дано ее решение способом приведения к задаче Дирихле. Постановка задачи Пусть прямоугольная пластинка из изотропного материала нагружена по- перечной распределенной нагрузкой q(x,y). Введем ортогональную систему ко- ординат xyz (рис. 1) таким образом, чтобы оси x и y, лежащие в срединной плос- кости пластинки, совпадали с главными направлениями упругости. Рис.1. Прямоугольная пластинка Обозначив через a, b, 2h длину, ширину и толщину пластинки соответст- венно, отнесем ее к безразмерной системе координат связанной с сис- темой (x,y,z) равенствами: (1) В продольном направлении наряду с координатой будем применять, где это надо, координату (2) которая, очевидно, связана с координатой зависимостью , (3) где . Для определенности будем полагать, что край пластинки жестко за- щемленный, а остальные края могут быть любыми и нагруженными краевыми внешними нагрузками типа распределенных перерезывающих сил или изги- бающих моментов Будем интегрировать систему дифференциальных уравнений трехмерной задачи теории упругости (4) Здесь и в дальнейшем символ означает, что имеет место второе соот- ношение, которое получается из приведенного заменой на и на- оборот. На плоскостях пластинки должны выполняться граничные условия: . (5) Кроме граничных условий (5) будем использовать соотношение: при , (6) которое вытекает из (5) и третьего уравнения (4). Пусть есть любое из напряжений или перемещений, которое будем зада- вать в виде: , (7) где - целое число, различное для разных напряжений и перемещений и s = k, n, c. Следует отметить, что этими индексами обозначаются компоненты НДС, относящиеся к классической теории, краевых плоской деформации и скручива- ния соответственно. Кроме того, при окончательном определении указанных компонентов необходимо учитывать асимптотику каждого НДС, определяемого множителем h-p. Если выбрать р в разложении (7) следующим образом: для ; (8) для ; для ; для , то можно показать [1], что соответствующее решение эквивалентно классиче- ской теории изгиба пластинок не только в смысле тождества дифференциаль- ных уравнений, но и в смысле тождества граничных условий на боковых краях пластинки. Далее полагаем, что основное НДС пластинки, соответствующее классической теории, определено. Обратимся к построению краевых задач, при помощи которых можно на- ходить дополнительные по отношению к классической теории НДС, сколь угодно быстро затухающие при удалении от края . Рассмотрим два типа граничных условий на краю (9) (10) которые моделируют жестко защемленный край пластинки. В работе [1] для граничных условий (9) доказано, что с точностью до вели- чин порядка h* можно пренебречь краевым кручением, а для граничных усло- вий (10) - краевой плоской деформацией. Тогда задача определения краевого напряженного состояния трактуется как задача суперпозиции трех состояний, одно из которых соответствует решению классической теории, другие - допол- нительные, отвечают решению плоской деформации для граничных условий (9) и краевого кручения для граничных условий (10). Применяя прием растяжения масштаба по толщине пластинки, а также в продольном направлении по формуле (2), принимаем в дальнейшем, что ско- рость изменения искомых величин по переменным не слишком велика. Следует отметить, что в дальнейшем учитывается тот факт, что перемещения дополнительных НДС малы [1] в сравнении с перемещениями, отвечающими классической теории. Пусть число в разложении (7) принимает следующие значения: Тогда для определения величин ?n получим систему уравнений, соответст- вующую краевой плоской деформации. В работе [1] приведены основные соот- ношения и граничные условия для этой краевой задачи в прямоугольной пла- стинке из композиционного материала, а также пример расчета. Краевое кручение. Пусть число p в разложении (7) принимает следующие значения: (11) Тогда в соответствии с асимптотическим методом для определения вели- чин ?с в (7) имеем систему дифференциальных уравнений: (12) В системе уравнений(12) основной является система уравнений, из которой определяются Она представляет собой систему дифференциаль- ных уравнений задачи о кручении призматических стержней (с осью, проходя- щей вдоль оси y). Построение этого решения сводится к интегрированию гармонического уравнения. Действительно, первые три уравнения системы (26) можно выпол- нить, положив (13) где - гармоническая функция переменных , т.е. имеет место уравнение: (14) Остальные уравнения из системы (12) будут также выполняться, если по- ложить (15) Система уравнений (12) определяет компоненты НДС краевого кручения, имеющие порядок на единицу меньше, чем компоненты НДС в формуле (13). По этой причине ими в суммарном НДС пластинки будем пренебрегать. Очевидно, что величины, определяемые выражениями (13), должны удов- летворять однородным граничным условиям (5), если потребовать, при (16) Можно показать, что уравнение (14) имеет единственное решение, которое удовлетворяет условию (16), а также обладает свойством затухания: ? = 0 при (17) и на жестко защемленном краю удовлетворяет второму из граничных условий (10), которое приводится к виду при (18) Преобразуем граничное условие (18), учитывая выражение для , соот- ветствующее классической теории, и первую из формул (13),принимая во вни- мание асимптотики (8), (11). Находим: (19) Представим искомую функцию ? в виде: , (20) и подставляя ее в условие (19), окончательно находим: откуда следует , (21) (22) Рассматриваемую краевую задачу приведем к решению задачи Дирихле для прямоугольника. Согласно [7]введем новые переменные (23) Тогда граничные условия (16), (17) перепишутся в виде при ; при ; при . Далее, применяя известную схему решения задачи, находим: или при переходе к старым переменным по формулам (21), имеем: Подставляя эту функцию в аппроксимацию (20) и учитывая равенство (21), окончательно находим: (24) Определим дополнительные касательные напряжения краевого кручения, используя для этого соотношение (13) и выражение (24). Находим: (25) Касательное напряжение ?xyk основного напряженного состояния при изгибе пластинки равно , а его максимальное значение в заделке составляет: . Графики изменения искомых напряжений(25) по толщине пластинки на жестко защемленном краю ?1 = 0 в произвольном сечении ?1 = const показаны на рис. 2, где индекс «1» соответствует выражению , индекс «2» - , индекс «3» - . При построении графиков в рядах выражений (25) удерживались только первые два слагаемых. Рис.2. Графики изменения касательных напряжений по толщине пластинки Иллюстрации на рис. 2 показывают, что дополнительные касательные на- пряжения краевого кручения практически совпадают с основными касательны- ми напряжениями пластинки при изгибе, соответствующими классической тео- рии. Можно отметить, что дополнительные напряжения типа «погранслой», оп- ределяемые в цилиндрической оболочке другими методами [8,9] решения задач трехмерной теории упругости, по величине и характеру затухания практически совпадают с результатами данной работы. Выводы Расчеты НДС изгибаемой прямоугольной пластинки позволили устано- вить, что дополнительные НДС краевого кручения вносят существенный вклад в общее НДС пластинки. Например, максимальные касательные напряжения на жестко защемленном краю практически равны одноименным напряжениям кручения, соответствую- щим классической теории при изгибе пластинки. Очевидно, такой высокий уровень напряжений необходимо учитывать в расчетах на прочность пластинок, особенно из слоистых композиционных ма- териалов, например, при определении концентрации наномодификаторов в зо- нах повышенных напряжений, в том числе их различных соединений.

Val V Firsanov

Moskovskiy Aviazionniy Institute, Moscow, Russia

Email: k906@mai.ru

Views

Abstract - 112

PDF (Russian) - 80


Copyright (c) 2016 ФИРСАНОВ В.В.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.